Płyty i membrany oraz skręcanie prętów pryzmatycznych

Spis treści ebooka

Rozdział I. Membrany izotropowe

1. Wyprowadzenie równania na ugięcie membrany 13

2. Sformułowanie zagadnień brzegowych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych 15

3. Wybrane zagadnienia brzegowe 16

3.1. Ugięcie walcowe membrany 16

3.2. Membrana eliptyczna 19

3.3. Membrany kołowo symetryczne 21

3.4. Zastosowanie podwójnych szeregów sinusowych 22

3.5. Zastosowanie pojedynczych szeregów sinusowych 24

4. Drgania struny i membrany 25

Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa

1. Wstęp 29

2. Skręcanie pręta o przekroju kołowym 30

3. Metoda półodwrotna i funkcja deplanacji 31

4. Funkcja naprężeń 34

5. Analogia membranowa 36

5.1. Membrany izotropowe obciążone równomiernie 36

5.2. Swobodne skręcanie prętów pryzmatycznych. Analogia membranowa Prandtla 36

6. O przybliżonych metodach rozwiązania równania Poissona 38

6.1. Metoda Galerkina i MES 38

6.2. Metoda Ritza 39

7. Przykłady 39

Rozdział III. Teoria płyt Kirchhoffa

1. Założenia i podstawowe zależności teorii płyt cienkich 53

1.1. Podstawowe założenia 53

1.2. Stan przemieszczenia 54

1.3. Stan odkształcenia 56

1.4. Stan naprężenia 56

1.5. Związki fizyczne PSN 57

1.6. Wyznaczenie składowych wektora naprężenia ścinającego 57

2. Lokalne równania równowagi i uogólnione siły wewnętrzne 58

3. Równanie przemieszczeniowe Germain-Lagrange’a 63

4. Zastępcze siły Kirchhoffa 63

5. Warunki brzegowe 65

6. Zagadnienia brzegowe i brzegowo-początkowe teorii płyt 65

7. Płyty spoczywające na sprężystym podłożu 67

8. Energia sprężystości i energia potencjalna w izotropowych płytach Kirchhoffa 68

9. O sformułowaniu zadania zginania płyty izotropowej w postaci dwóch równań różniczkowych cząstkowych 71

10. Hipotezy wytężeniowe w płytach 72

11. O metodach rozwiązania zadania teorii płyt 76

12. Uwagi historyczne 79

Rozdział IV. Płyty anizotropowe

1. Uwagi wstępne 81

2. Anizotropowe relacje konstytutywne PSN 81

3. Związek Hooke’a PSN w notacji Voigta. Materiał ortotropowy 82

4. Wyprowadzenie podstawowych równań teorii płyt anizotropowych 84

4.1. Płyty ortotropowe 85

4.2. Płyty anizotropowe 87

5. Przypadki szczególne, płyty ortotropowe, płyty o symetrii regularnej i płyty izotropowe 88

6. Płyty żelbetowe 89

7. Płyty o ortotropii technicznej 91

7.1. Zastępcze sztywności 91

7.2. Przykład oszacowania sztywności układu użebrowanego 94

Rozdział V. Przykłady zadań elementarnych

1. Zadania zginania płyty sprowadzalne do zagadnienia ugięć membrany 97

1.1. Czyste zginanie płyty izotropowej 97

1.2. Bezpośrednie zastosowanie rozwiązań zadania ugięcia membrany 98

1.3. Zginanie momentami mn trójkątnej płyty równobocznej 99

2. Utwierdzona płyta eliptyczna obciążona równomiernie 99

2.1. Płyta izotropowa 99

2.2. Płyta anizotropowa 105

3. Płyta prostokątna swobodnie podparta obciążona sinusoidalnie 109

4. Zginanie walcowe pasma płytowego 111

4.1. Zestawienie podstawowych równań 111

4.2. Przykłady 112

4.3. Jednorodne ortotropowe pasma płytowe 115

5. Jednorodne izotropowe pasma płytowe na sprężystym podłożu 116

5.1. Zależności podstawowe 116

5.2. Przykłady 117

6. Zagadnienie dynamiczne zginania walcowego 123

6.1. Sformułowanie zadania 123

6.2. Drgania swobodne 123

6.3. Funkcje Kryłowa-Pragera 124

6.4. Przykłady 125

6.5. Drgania wymuszone 127

Rozdział VI. Równania jednorodnych płyt izotropowych we współrzędnych biegunowych

1. Współrzędne biegunowe 129

1.1. Lokalna baza i kobaza oraz baza fizyczna 129

1.2. Gradient, dywergencja, laplasjan i bilaplasjan 130

2. Wyprowadzenie podstawowych równań teorii płyt izotropowych we współrzędnych biegunowych 132

2.1. Układy współrzędnych kartezjańskich, walcowych i biegunowych 132

2.2. Kąty obrotu przekrojów poprzecznych płyty 133

2.3. Laplasjan i bilaplasjan oraz równanie różniczkowe ugięcia płyty 133

2.4. Tensor krzywizn i tensor momentów 134

2.5. Siły poprzeczne 135

2.6. Energia sprężystości 136

Rozdział VII. Płyty o symetrii kołowej

1. Podstawowe zależności 141

2. Ogólne rozwiązanie zadania ugięcia płyty o stałej sztywności 143

3. Najprostsze przykłady 145

3.1. Swobodnie podparta płyta kołowa obciążona momentem na brzegu 145

3.2. Płyta swobodnie podparta z podporą w środku 147

3.3. Płyta pierścieniowa swobodnie podparta na krawędzi zewnętrznej zginana równomiernie rozłożonymi momentami 147

4. Płyty kołowe i pierścieniowe obciążone równomiernie 155

4.1. Zestawienie podstawowych zależności 155

4.2. Swobodnie podparta płyta kołowa obciążona równomiernie 156

4.3. Utwierdzona płyta kołowa obciążona równomiernie 159

4.4. Porównanie rozwiązań w przypadkach płyty swobodnie podpartej i utwierdzonej 162

4.5. Płyta kominowa obciążona równomiernie 164

5. Pełne płyty kołowe obciążone siłą w środku 172

5.1. Podstawowe zależności 172

5.2. Utwierdzona płyta kołowa obciążona siłą w środku 174

5.3. Swobodnie podparta płyta kołowa obciążona siłą w środku 176

5.4. Uwagi o otrzymanych rozwiązaniach 180

6. Pełne płyty kołowe obciążone osiowo symetrycznie 180

6.1. Zestawienie podstawowych zależności 180

6.2. Płyty kołowe obciążone równomiernie p(r)=q0 183

6.3. Płyty kołowe obciążone liniowo wzdłuż promienia p(r)=q1r 183

6.4. Płyty kołowe o obciążeniu rozłożonym według stożka p(r)=q(1–r/R) 184

6.5. Płyty kołowe obciążone zgodnie z funkcją potęgową 185

7. Wybrane przykłady 185

7.1. Pełne płyty kołowe obciążone równomiernie na części obszaru 186

7.2. Płyta ze wspornikiem obciążona momentem 194

Rozdział VIII. Zastosowanie podwójnych szeregów trygonometrycznych

1. Podwójne szeregi sinusowe 201

1.1. Rozwiązanie ogólnego zadania Naviera 201

1.2. Przykład wyznaczenia współczynników obciążenia i ugięcia w podwójne szeregi sinusowe 205

1.3. Zestawienie wzorów na wielkości kinematyczne i statyczne 206

1.4. Płyty prostokątne na sprężystym podłożu 208

2. Przykłady zastosowania metody Naviera 208

2.1. Swobodnie podparta płyta prostokątna obciążona równomiernie 208

2.2. Swobodnie podparta płyta prostokątna obciążona siłą skupioną 220

2.3. Swobodnie podparta płyta prostokątna obciążona na linii 222

2.4. Przegubowo podparta płyta trójkątna obciążona siłą skupioną 225

3. Podwójne szeregi sinusowo-kosinusowe 226

4. Podwójne szeregi kosinusowo-kosinusowe 227

5. Podwójne szeregi trygonometryczne w płytach ortotropowych 228

Rozdział IX. Zastosowanie pojedynczych szeregów trygonometrycznych

1. Pojedyncze szeregi sinusowe 231

1.1. Rozwiązanie ogólnego zadania Lévy’ego 231

1.2. Zestawienie wzorów na wielkości kinematyczne i statyczne 233

2. Płyta utwierdzona na dwóch brzegach obciążona równomiernie 235

3. Nieograniczona płyta na sprężystym podłożu obciążona ciągiem sił skupionych działających w jednej linii 244

4. Zastosowanie szeregów pojedynczych w półpasmach 247

5. Pojedyncze szeregi trygonometryczne w płytach ortotropowych 252

6. Zginanie prostokątnej płyty ortotropowej obciążonej równomiernie 256

6.1. Sformułowanie i rozwiązanie zadania 256

6.2. Analiza wyników dla płyt zbrojonych włóknami 259

Rozdział X. Zastosowanie szeregów trygonometrycznych we współrzędnych biegunowych

1. Zestawienie podstawowych zależności 265

1.1. Uwagi wstępne 265

1.2. Płyty o kształcie koła i pierścienia obciążone niesymetrycznie 267

1.3. Płyty o kształcie wycinka koła 270

2. Przykłady wstępne 271

2.1. Sformułowanie rozpatrywanych zadań i zestawienie wzorów 271

2.2. Płyta pierścieniowa 272

2.3. Płyta kołowa zamknięta 273

2.4. Dyskusja rozwiązań 2.2 i 2.3 273

2.5. Płyta półkolista obciążona równomiernie 274

2.5.1. Płyta półkolista swobodnie podparta 275

2.5.2. Płyta półkolista swobodnie podparta na brzegu prostoliniowym i utwierdzona na brzegu krzywoliniowym275

3. Płyta kominowa obciążona nierównomiernie 279

3.1. Sformułowanie zadania 279

3.2. Zestawienie podstawowych wzorów 280

3.3. Warunki brzegowe i ciągłości w płycie kominowej 283

3.4. Rozwiązanie zadania 283

3.5. Dyskusja rozwiązania 285

Rozdział XI. Metody wariacyjne w teorii płyt izotropowych

1. Metoda Ritza-Timoshenki 297

2. Metoda Bubnowa-Galerkina 298

3. Przykłady zastosowania metod wariacyjnych 299

3.1. Płyty kołowo symetryczne 300

3.2. Płyty prostokątne 303

Rozdział XII. Uogólnienia teorii płyt

1. Płyty Kirchhoffa obciążone gradientem temperatury 319

1.1. Obciążenie różnicą temperatury 319

1.2. Modyfikacja równań teorii płyt obciążonych temperaturą 319

1.3. Nieograniczona płyta obciążona gradientem temperatury 321

1.4. Płyta półpłaszczyznowa na sprężystym podłożu, obciążona gradientem temperatury 321

1.5. Pasmo równomiernie obciążone stałym gradientem temperatury 324

1.6. Zależności we współrzędnych biegunowych 327

1.7. Płyta kołowa swobodnie podparta 328

1.8. Utwierdzona płyta kołowa 330

1.9. Płyta pierścieniowa 331

1.10.Swobodnie podparte płyty prostokątne 332

1.11.Płyta prostokątna obciążona stałym gradientem temperatury 333

1.12.Płyta prostokątna obciążona sinusoidalnym gradientem temperatury 334

1.13.Rozwiązania pojedynczym szeregiem trygonometrycznym 336

2. Superpozycja stanu tarczowego i płytowego 338

2.1. Stan przemieszczenia 338

2.2. Stan odkształcenia 338

2.3. Stan naprężenia 339

2.4. Siły przekrojowe 339

2.5. Równania równowagi 341

2.6. Równania przemieszczeniowe 341

2.7. Warunki brzegowe 341

2.8. Zagadnienie brzegowe dla płyto-tarczy 342

3. Płyty warstwowe 342

3.1. Wyprowadzenie podstawowych zależności dla płyt warstwowych 342

3.2. Nieskończona płyta na sprężystym podłożu, obciążona równomiernie na pasie 346

4. Wybrane zagadnienia stateczności płyt Kirchhoffa 348

4.1. Wyboczenie prostokątnej płyty swobodnie podpartej na brzegach 348

4.2. Płyta swobodnie podparta w jednym kierunku i utwierdzona w drugim 352

4.3. Płyta swobodnie podparta na trzech brzegach i na jednym utwierdzona 354

4.4. Stateczność płyty swobodnie podpartej obciążonej w dwóch kierunkach 355

Dodatek. Podstawowe równania teorii sprężystości materiałów anizotropowych

1. Sformułowanie zadania brzegowego 359

2. Podstawowe wnioski wynikające z własności tensorów Hooke’a 361

3. Standardowa notacja Voigta 363

4. Techniczne „stałe sprężystości” i ich interpretacja 364

5. Reprezentacje tensorów Hooke’a w szczególnych przypadkach anizotropii 365

6. Zagadnienia brzegowe liniowej teorii sprężystości jednorodnych materiałów izotropowych 366

6.1. Sformułowanie zadania statyki 366

6.2. Sformułowanie zadania brzegowego w przemieszczeniach 367

7. Macierze sztywności i podatności materiału ortotropowego 369

8. Tarcze 371

9. Zagadnienie wyznaczenia trajektorii wartości własnych tensorów płaskich drugiego rzędu 372

10. Uwagi o hipotezach wytężeniowych 375

Bibliografia 376

pokaż cały spis treści

ukryj recenzje