Dla Christine, Willow, Lorrie i Artura

oraz w hołdzie dla Rowan

Dane oryginału: First published in English under the title Understanding Gravitational Waves by C.R. Kitchin, edition: 1. Copyright © Springer Nature Switzerland AG, 2021. This edition has been translated and published under licence from Springer Nature Switzerland AG. Springer Nature Switzerland AG takes no responsibility and shall not be made liable for the accuracy of the translation.

Tłumacz: Mariusz Rogulski, Magdalena Rogulska, Witold Sikorski na zlecenie WITKOM – Witold Sikorski

Projekt okładki i stron tytułowych: Ireneusz Gawliński

Ilustracja na okładce: Ruslan Batiuk/Adobe Stock

Wydawca: Karol Zawadzki i Renata Włostowska

Koordynator ds. redakcji: Adam Kowalski

Redaktor: Małgorzata Dąbkowska-Kowalik

Produkcja: Mariola Grzywacka

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2023r. (Wydanie I)

Warszawa 2023

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo.

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

Polskie Wydanie:

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2023

ISBN: 978-83-01-23036-4

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321; faks 22 69 54 288; infolinia 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl; reklama@pwn.pl

www.pwn.pl

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwo Naukowe PWN S.A.: Michał Latusek

Fragment

Wstęp

Rozdział 1. 14 września 2015

Rozdział 2. Grawitacja od 850 000 000 p.n.e. do 1915 n.e.

Rozdział 3. Grawitacja: Od 1915 do dziś i w stronę jutra

Rozdział 4. Fale grawitacyjne: od niejasnych przypuszczeń do pewności

Rozdział 5. Fale grawitacyjne: pochodzenie i źródła

Rozdział 6. Zdarzenia związane z wykryciem fal grawitacyjnych: sprawdzenie listy

Rozdział 7. W nieznane: pierwsze lata poszukiwań fal grawitacyjnych

Rozdział 8. Eureka! przewodnik dla początkujących dotyczący tworzenia skutecznych detektorów fal grawitacyjnych

Rozdział 9. Fale grawitacyjne i ich detektory: ku przyszłości i jeszcze dalej

Epilog

Dodatek A: Odświeżanie pamięci

Dodatek B: Do dalszego poznania

Dodatek C: Dla zaawansowanych

Dodatek D: Stałe, definicje, wielkości, symbole i jednostki

Bibliografia

Przypisy

Pozostałe rozdziały dostępne w pełnej wersji e-booka.

Wstęp

Fizyka to w zasadzie konkretna i opisowa nauka. Matematyka daje tylko środki do wyrażania praw, zgodnie z którymi zachodzą zjawiska, (Albert Einstein, „Lettres à Maurice Solovine”, Gauthier-Villars, 1956).

No właśnie – sam Einstein to powiedział – fizyka to przedmiot opisowy – a matematyka to tylko środek do celu. A więc dlaczego, gdy otwieracie większość książek lub artykułów próbujących coś wam powiedzieć o grawitacji lub falach grawitacyjnych, stajecie w obliczu kolejnych stron wypełnionych równaniami, między którymi znajduje się od czasu do czasu pojedyncze słowo?

Jest tak dlatego, że dla astronomów, astrofizyków i fizyków matematyka jest jak stenogram – za jej pomocą potrafią opisać wszystko szybciej niż za pomocą zwykłego języka.Jednak tak jak stenografistki przepisywały znaczki stenogramu na zwykły język, tak znaki matematyki można także przełożyć na zwykły język. Tak mógł też powiedzieć Einstein „Naprawdę nie rozumiemy czegoś, dopóki nie wytłumaczymy tego swojej babci”. (Powszechnie, ale nie w pełni wiarygodnie, jest to przypisywane Albertowi Einsteinowi.)

Tak więc celem tej książki jest wyjaśnienie – wszystkim babciom, a także dziadkom, matkom, ojcom, dzieciom, wnukom, ciotkom, wujkom, siostrom, braciom, kuzynom, kuzynkom … iż za pomocą prostego języka, a mówiąc prościej, używając samych słów – natury fal grawitacyjnych: czym są, dlaczego są tak istotne, skąd się biorą i dlaczego nikt wcześniej ich nie zauważył. W tej książce nie ma równań, z którymi musielibyście się borykać.

Opisanie fal grawitacyjnych prostym językiem nie oznacza jednak, że omawiane idee i pojęcia będą łatwe do zrozumienia. Przy czytaniu tej książki będziecie musieli się skoncentrować, pracować i myśleć uważnie o tych ideach i pojęciach, jeśli nawet – a może zwłaszcza dlatego – że są wyrażone niematematycznie. Jak powiedział Einstein (do trzech razy sztuka):

Sto razy każdego dnia mówię sobie, że … muszę wytężyć się, aby przyłożyć tę samą miarę do tego, co otrzymałem i otrzymuję [Albert Einstein, „The world as I see it” (Mój obraz świata). Forum and Century, Volume 84, 1930].

Biorąc to wszystko pod uwagę, mam nadzieję, że uznacie tę książkę w dosłownym sensie za cudowną, pouczającą, ciekawą i bogatą w informacje, a nie mam wątpliwości, że uznacie, iż:

(…) Wszechświat jest nie tylko dziwniejszy, niż nam się wydaje, ale dziwniejszy, niż możemy przypuszczać [John B.S. Haldane, „Possible Worlds and Other Essays”, Chatto & Windus, 1927].

C.R. Kitchin

Hatfield, Hertfordshire, UK

Styczeń 2021

Przeczytaj to, zanim skoczysz na koniec

Jak czytać tę książkę

Czytelnicy tej książki mogą być bardzo różni: od ludzi, którzy gdzieś tam słyszeli o falach grawitacyjnych i chcą dowiedzieć się nieco więcej, po amatorów, a nawet profesjonalnych astrofizyków i astronomów, których specjalizacja nie ma związku z falami grawitacyjnymi. Aby umożliwić wszystkim czytelnikom korzystanie z tej książki, ma ona wątek główny stanowiący podstawę oraz oddzielne samouczki zawierające dodatkowe informacje, które mogą się przydać.

Jest mało prawdopodobne, że wszyscy czytelnicy będą korzystali ze wszystkich samouczków, a wielu będzie chciało pominąć je przy pierwszym podejściu, wracając do nich później, gdy okaże się, że mimo wszystko potrzebują więcej informacji.

Samouczki mają trzy poziomy:

• Odświeżanie pamięci – dla przypomnienia czytelnikom materiału, który zapewne napotkali wcześniej.

• Do dalszego poznania – dla tematów, które są potrzebne, ale zapewne są dla większości czytelników nowe i które trzeba będzie dokładnie przeczytać, zanim będzie się kontynuowało główny temat książki.

• Dla zaawansowanych – zaawansowane tematy i/lub ciekawe tematy poboczne, które można bezpiecznie ominąć w pierwszym czytaniu, chyba że temat od razu przyciągnie uwagę czytelników.

Oto dość subiektywny przewodnik wskazujący za pomocą gwiazdek skupienie potrzebne do lektury każdego samouczka:

•  – powinien być dość oczywisty;

•  – nie należy go czytać, mając jednocześnie włączony telewizor;

•  – należy otworzyć butelkę szampana, jeśli uda się to przejść z powodzeniem.

Większość samouczków można znaleźć w dodatkach:

• Dodatek A – odświeżanie pamięci,

• Dodatek B – do dalszego poznania,

• Dodatek C – dla zaawansowanych.

Ponadto niektóre krótkie wstawki są umieszczone w ramkach w obrębie głównego tekstu, aby je przestudiować lub pominąć.

Liczby

Celem tej książki jest więc objaśnienie prostym językiem fal grawitacyjnych i własności samej grawitacji, która leży u podstaw tych fal.

Jednak astronomia to astronomia i przysłowiowo dotyczy ona astronomicznie wielkich liczb. W przypadku fal grawitacyjnych napotkamy ponadto ultramikroskopowo małe liczby.Tak więc, podczas gdy prawdziwej matematyki, tj. równań wzorów, funkcji, twierdzeń, będziemy unikać, to jednak trzeba będzie używać konkretnych liczb, a czasami je dodawać, odejmować, mnożyć lub dzielić.

Zwykłe liczby arabskie jak 1, 2, 3, …, 1000, …, 100000, … lub ich słowne odpowiedniki jeden, dwa, trzy itp. są zbyt niewygodne i często mylące, gdy mamy do czynienia z wartościami bardzo dużymi lub bardzo małymi. Dlatego będziemy szeroko stosować liczby w ich postaci wykładniczej, jak np. 10^14 (= 100 000 000 000 000) lub 10–7 (= 0,0000001). Czytelnicy, którzy poznali notację wykładniczą dawniej, niż są w stanie to pamiętać, znajdą w dodatku A1 odpowiedni przewodnik.

Jednostki

Jednostki często spotykanych wielkości, jak np. czasu i odległości, są znane większości czytelników – są to sekundy, metry itp. Oczywiście sprawy nieco się komplikują przy wielkościach złożonych, jak prędkość lub przyspieszenie, a dla niektórych wielkości, na przykład stałej grawitacji, jednostki zaczynają wyglądać jak dość rozbudowane równania. Trzeba jednak pamiętać szczery okrzyk Artura Denta:

„Podoba mi się okładka”, powiedział. „NIE PANIKUJ. Jest to pierwsza pomocna lub inteligentna rzecz, jaką ktokolwiek dziś do mnie powiedział.” [Douglas Adams, „Autostopem przez galaktykę”, BBC Radio 4, 1978].

Na szczęście, chociaż dla jasności i dokładności trzeba podczas podawania wartości liczbowych wielkości uwzględnić jednostki, w większości przypadków można je po prostu zignorować.

W książce jest zwykle stosowane oznaczenie indeksowe przy zapisie jednostek wielkości. Tak więc na przykład jednostki prędkości metr na sekundę w postaci m s–1. Pełne objaśnienie sposobu zapisu jednostek można znaleźć w dodatku A2.

Stałe, definicje, wielkości, symbole i jednostki

Wybrane wartości i objaśnienia często używanych stałych, wielkości, definicji i symboli podano w dodatku D. W książce używamy układu SI (Système international d’unités), więc na przykład jednostkami siły są newtony (N), a jednostkami energii dżule (J). Dodatek D podaje jednostki i szczegóły układu SI, a także niektóre jednostki nienależące do SI, jak parseki, które są szeroko stosowane w astronomii. Czytelnicy, którzy potrzebują dodatkowych wyjaśnień, informacji lub przeliczników na inne typy jednostek, których nie ma w dodatku D, łatwo znajdą je podczas szybkiego wyszukiwania w Internecie lub w większości książek do fizyki.

Aktualność

Trzeci cykl obserwacyjny AdvLIGO i AdvVirgo (Advanced Laser Interferometer Gravitational Wave Observatory, Advanced Virgo – rysunek 1.1), zakończony w związku z pandemią Covid-19 w marcu 2020, dał nam do badania 78 zdarzeń (rozdział 6), które obejmują połączenia czarnych dziur z masami miliony razy większymi od naszej małej Ziemi, spektakularne kolizje dwóch gwiazd neutronowych i gwiazdy neuronowe wpadające do czarnych dziur. Książka ta jest aktualna na początek roku 2021. Mamy teraz dostateczną wiedzę o podstawowych rodzajach zdarzeń związanych z falami grawitacyjnymi, a choć w przyszłości z pewnością czekają nas niespodzianki, większość zdarzeń będzie zrozumiała na podstawie naszej obecnej wiedzy i to właśnie napotkacie w dalszej części tej książki.

Rozdział 1

14 września 2015

O znaczeniu 1/400 średnicy protonu

Co było przyczyną {10} GW150914?

To data, która znajdzie się w książkach do historii w wielu kolejnych stuleciach.

Okres 1.1 – fale radiowe

Okres 1.2 – fale grawitacyjne

1864 – Maxwell dokładnie przewiduje istnienie fal radiowych.

1960 – Trautman i Robinson dokładnie przewidują istnienie fal grawitacyjnych.

1886 – Heinrich Hertz tworzy i wykrywa fale radiowe.

2015 – Rainer Weiss i wielu innych wykrywają fale grawitacyjne.

2020 – Większość ludzi na Ziemi korzysta z aplikacji w technologii fal radiowych – komunikacja, Internet, GPS, WiFi, zdalne sterowanie, telefony komórkowe, telewizja, radio, bezstykowe płatności, radar, radio astronomia itd. – dla wielu zależy od nich źródła utrzymania i sposób życia, a dla niektórych nawet życie.

2050? – Większość ludzi na Ziemi wykorzystuje zastosowania techniki fal grawitacyjnych…

Pozostałą część pozostawiam do uzupełnienia czytelnikom – ale bądźcie pewni, że najśmielsze wyobrażenia nie dorównają rzeczywistości – sam Hertz mówił podobno o swoim odkryciu fal radiowych: To jest bezużyteczne (…).

To krótkie porównanie posłuży, mam nadzieję, do podkreślenia ogromnego znaczenia tego, co się zdarzyło 14 września 2015 roku. To nie tylko kolejne nadmiernie nagłośnione odkrycie naukowe, które zostanie zapomniane po następnej reklamie pasty do zębów – to coś, co w okresie życia niektórych z nas będzie wpływało na życie na naszej planecie i poza nią.

Oczywiście istnieją istotne różnice między tymi dwoma scenariuszami – fale radiowe w swojej istocie są identyczne jak światło, podczerwień, ultrafiolet, promienie rentgenowskie, mikrofale itp., a wszystkie są promieniowaniem elektromagnetycznym. Te różne postacie tego promieniowania oddziałują z materią na różne sposoby – i dlatego ludzie znaleźli dla nich wiele różnych i użytecznych zastosowań mówiących nam tyle o Wszechświecie, ale wszystkie te postacie są identyczne w swojej podstawowej naturze.

Fale grawitacyjne są całkiem inne od fal elektromagnetycznych, pochodzą z zupełnie innych mechanizmów fizycznych i oddziałują lub nie oddziałują z materią w zupełnie inny sposób. Na przykład Słońce jest mniej lub bardziej przezroczyste dla fal grawitacyjnych, abyśmy mogli potencjalnie obserwować, co się za nim dzieje.

Możemy więc oczekiwać, że dzięki badaniu fal grawitacyjnych uzyskamy całkowicie inne spojrzenie na naturę Wszechświata, jeśli tylko uda nam się je kontrolować i/lub generować. Wtedy będziemy mogli rozwinąć zastosowania, które mogą sprawić, że najbardziej absurdalne spekulacje dzisiejszych autorów science fiction będą robiły skromne wrażenie (rozdział 9).

Z drugiej strony trzeba zauważyć, że aparat używany przez Hertza mógł w jego czasach zostać kupiony za mniej niż połowę rocznych zarobków. AdvLIGO Weissa i inne detektory fal grawitacyjnych (rozdział 8) kosztują od 10 tys. do 100 tys. razy więcej niż dzisiejsza średnia roczna płaca. Ponadto Hertz nie tylko wykrył fale radiowe, ale także je wytworzył, a my musimy jeszcze zacząć tworzyć fale grawitacyjne, które będziemy mogli wykryć, i zapewne upłynie trochę czasu, zanim będziemy to w stanie zrobić.

Pytanie: Co takiego zdarzyło się 14 września 2015, co miało tak ogromne znaczenie?

Odpowiedź: Dwa instrumenty tworzące detektor fal grawitacyjnych AdvLIGO (rozdział 8) dokonały pierwszego wykrycia fal grawitacyjnych w historii ludzkości.

Tym, co wykrył AdvLIGO, był wyrzut fal grawitacyjnych trwający około jednej trzeciej sekundy, rozpoczynający się przy częstotliwość 35 Hz i rosnący aż do 250 Hz.

Ponieważ była to fala grawitacyjna, która została wykryta 14 września 2015 roku, to zdarzenie otrzymało oficjalną nazwę:

GW150914.

W dalszej części książki nazwy zdarzeń dotyczących fal grawitacyjnych będą miały na początku kolejną liczbę, jak ta:

{10} GW150914,

aby poprawić przejrzystość i ułatwić zapamiętanie, jak to opisano w ramce 1.1.

Ramka 1.1: Terminologia

Ten sposób nazywania przejściowych zjawisk astronomicznych za pomocą kodu rodzaju zdarzenia oraz daty jego zaobserwowania lub odkrycia jest w dzisiejszych czasach dość powszechny. Na przykład wyrzuty promieni gamma (Gamma Ray Bursters) mają nazwy GRB200219A oraz GRB200219C dla dwóch wyrzutów, które zostały zaobserwowane 19 lutego 2020 roku.

Zdarzenia dotyczące fal grawitacyjnych także czasami występują częściej niż raz dziennie, więc od roku 2019 mają dodaną literą na końcu nazw. Tak więc ostatnio mieliśmy GW190930s i GW190930t, które zostały zaobserwowane odpowiednio o 13:35 UTC i 14:34 UTC w dniu 30 września 2019 roku.

Literki „s” i „t” wskazują, że te dwa zdarzenia były 19. i 20. alertem jakiegoś typu, który wystąpił w tym dniu w detektorze fal grawitacyjnych. Alerty od 190930a do 190930r oraz te od 190930u i dalej okazały się być spowodowane przyczynami niezwiązanymi z falami grawitacyjnymi.

27. alert w danym dniu jest oznaczany podwójną literą, zaczynając od „aa”, a potem „ab”, „ac” i tak dalej. Stąd mamy GW200106av, 48. zdarzenie 6 stycznia 2020 i jedyne w tym dniu, które, jak się wydaje, powstało z powodu zdarzenia grawitacyjnego. Podczas trzeciego ciągu obserwacji LIGO/Virgo (O3) czasem, zamiast małych liter, używano na końcu rzeczywistego czasu wykrycia zdarzenia . Na przykład zdarzenie {120} GW190408an nastąpiło o 18h 18m 2s UTC, więc jego oznaczenie można znaleźć w innym miejscu jako GW190408_181802.

Przed ostateczną analizą zdarzenia zamiast „GW” używany jest przedrostek „S” – jednak w tej książce dla uproszczenia dla wszystkich rozpoznanych fal grawitacyjnych używany jest przedrostek „GW”.

Zapewne już wydaje się wam trudne zapamiętanie i odróżnienie od siebie tych „nazw”. Dlatego, jako pomoc w zapamiętaniu, w całej tej książce do oficjalnego oznaczenia dodawany jest prosty numer kolejny. Jest on przedstawiony pogrubioną czcionką w nawiasach klamrowych, zaczynając od {10} i kolejno {20}, {30} itd. – powodem zwiększania numerów co 10 jest dopuszczenie późniejszego wstawienia zdarzeń zidentyfikowanych jako rzeczywiste, co jednak ustalono wiele miesięcy lub lat po ich zaistnieniu – choć podczas pisania tej książki nie zaszła taka potrzeba.

Tak więc pierwsza detekcja fali grawitacyjnej będzie nosić nazwę

{10} GW150914 i trzeba zapamiętać tylko {10}, a nie „GW150914”. Gdy omawianych jest kilka zdarzeń dotyczących fal grawitacyjnych, np.:

„(…) binarne połączenia gwiazd neutronowych {90} GW170817, {610} GW191213g i {180} GW190425z są (…)”

to łatwiej będzie je zapamiętać i odnosić do siebie za pomocą oznaczeń w nawiasach klamrowych.

Możecie też uznać, że łatwiej jest opisywać zdarzenia, wiedząc, w którym cyklu obserwacji AdvLIGO/AdvVirgo zostały znalezione:

2015 – cykl O1 – zdarzenia {10} GW150914 do {30} GW151226

2017 – cyklO2 – zdarzenia {40} GW170104 do {110} GW170823

2019 do 2020 – cyklO3 – zdarzenia {120} GW190408an go {780} GW200316bj.

Wróćmy do poprzednich pytań: „co się zdarzyło 14 września 2015?” i czym są „dwa przyrządy tworzące detektor fal grawitacyjnych AdvLIGO (rozdział 8)”?

Współczesne detektory fal grawitacyjnych to wielokilometrowe maszyny obsługiwane przez setki wysoko wykwalifikowanych uczonych i inżynierów, które kosztują setki milionów, a nawet miliardy dolarów, wykrywające kolizje czarnych dziur dziesiątki razy masywniejszych od naszego Słońca, które nastąpiły miliony lub miliardy lat temu w połowie drogi do krańca Wszechświata. Przyrządy te są szczegółowo omówione w rozdziałach 7 i 8.

Od początku lat 60. XX wieku działało wiele detektorów fal grawitacyjnych, w tym wcześniejsze wersje AdvLIGO (rozdział 7), przy czym wyraźnie, konsekwentnie i całkowicie brakowało sukcesów.

Jednak po ponad pół wieku, 9 minut przed dziesiątą UTC w ten poniedziałkowy poranek w połowie września 2015 igła detektora w końcu naprawdę wychyliła się z pozycji zero. 6,9 milisekundy później, w odległości 3002 km, igła drugiego detektora także zadrżała – i tak narodziła się całkiem nowa gałąź nauki. AdvLIGO Livingston mieści się Luizjanie a AdvLIGO Hanford w stanie Waszyngton – w linii prostej jest między tymi przyrządami 3002 km (rys. 1.1).

W istocie zdarzenie {10} GW150914 spowodowało, że niektóre zwierciadła przesunęły się nieznacznie, niż igły na wskaźnikach wychyliły się z pozycji zerowej – ale zasada jest ta sama. Wewnątrz dwóch detektorów fal grawitacyjnych, które wtedy działały – AdvLIGO Livingston i AdvLIGO Hanford (rozdział 8) – osiem zwierciadeł „ćwierkało” przez kilka milisekund tonami narastającymi od około 35 Hz dźwięku wydawanego przez drugi po lewej czarny klawisz na zwykłej klawiaturze fortepianu, czyli C#1, do około 250 Hz, a więc dźwięku 23. białego klawisza, czyli B3 (rys. 1.2).

Rysunek 1.1. | AdvLIGO Livingston i AdvLIGO Hanford [reprodukcja za zgodą Caltech/MIT/LIGO Laboratory]

Rysunek 1.2. | Detekcja {10} GW150914 przez AdvLIGO – Livingston (po lewej) oraz Hanford (po prawej). Zmienna siła sygnału jest pokazana za pomocą względnej jasności obrazu i opisana po prawej jako („znormalizowana amplituda”) [reprodukcja za zgodą B.P. Abbott i in, Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole. Phys. Rev. Lett. 061102-1, 116, 2016. DOI:https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.116.061102]

Jednak żadna z osób pracujących przy detektorach nie usłyszała tych ćwierknięć – po pierwsze dlatego, że zwierciadła znajdowały się wewnątrz gigantycznych rur próżniowych, i fale dźwiękowe nie mogły powstać, a po drugie maksymalny ruch każdego ze zwierciadeł wynosił około czterech attometrów (10-18 m).

Attometr to naprawdę bardzo mała odległość – parafrazując dobrze znany cytat z Douglasa Adamsa:

Attometry są małe, naprawdę małe. Nie uwierzycie, jak bardzo, ogromnie i zadziwiająco małe. Mam na myśli to, że możecie uważać ucho igielne za małe, ale to nic w porównaniu z attometrem [Douglas Adams, w oryginalnej formie w „Autostopem przez galaktykę”, BBC Radio 4, 1978].

W rzeczywistości 4 attometry są nie tylko mniejsze od ucha igielnego, nie tylko mniejsze od atomu, są nie tylko niewiele mniejsze od jądra atomu – stanowią tylko 0,25% wielkości protonu lub neutronu, cząstek składowych jąder.

Dlatego, jeśli nawet zwierciadła detektorów fal grawitacyjnych nie znajdowałyby się w absolutnej próżni, nikt nie mógłby usłyszeć ich ćwierknięć, gdyż ruchy zwierciadeł mierzone w attometrach były około 10–18 razy za małe, aby wytworzyć słyszalne fale z zakresu 35–250 Hz.

O znaczeniu 1/400 średnicy protonu

Cząstki subatomowe, takie jak elektrony, neutrony i protony, są rozmytymi obiektami, których pozorna wielkość zależy do tego, jak próbujemy je zmierzyć. Niemniej jednak w przypadku protonów dość wygodnym oszacowaniem średnicy jest 1,6–1,8 femtometrów, czyli około 1600–1800 attometrów. Wspomniane wcześniej ruchy zwierciadeł w detektorach fal grawitacyjnych wynoszące cztery attometry stanowią więc około 1/400 średnicy protonu. To niezbyt wiele, jak można by pomyśleć, aby mogło być zapamiętane i celebrowane przez następne stulecia.

Jednak detektory fal grawitacyjnych wzmacniają te ruchy, wielokrotnie odbijając promienie świetlne między zwierciadłami. Zwierciadła działają parami, oddzielone w tych pierwszych detektorach o około 4 km, ale wiązki światła, po odbiciu między zwierciadłami około 280 razy, przebywają około 1100 km. Ruchy zwierciadeł są więc wzmacniane 280-krotnie – do około 1100 attometrów, czyli około 70% wielkości protonu. Proste, jeśli ktoś jest fizykiem subatomowym, ale 70% protonu to nadal bardzo niewiele według naszych codziennych standardów. Gdzie więc leży tego znaczenie?

Odpowiedź jest taka, że te minimalne zmiany w obrębie dwóch instrumentów na Ziemi pochodzą ze zdarzenia, które przez ułamek sekundy wytworzyło pięć razy więcej energii niż cała reszta Wszechświata razem wzięta (a ta cała reszta Wszechświata sprowadza się do około 10^23 gwiazd jak nasze Słońce lub do 3 × 10^28 planet takich jak nasza Ziemia), a niektóre szacunki sugerują, że Wszechświat może mieć nawet około 20 razy większą masę.

Powodem, dla którego tak zadziwiająco ogromna przyczyna wytworzyła tak zadziwiająco mały efekt na Ziemi, jest po prostu odległość.

Zdarzenie, które wytworzyło na Ziemi sygnał {10} GW150914, miało miejsce około 430 megaparseków od nas. A 430 megaparseków to około 1,4 × 10^9 lat świetlnych, czyli inaczej 1,3 × 10^25 m, więc zdarzenie to w istocie miało miejsce około 1,4 × 10^9 lat temu.

A zatem sygnał fali grawitacyjnej, który stał się {10} GW150914, podróżował do nas w przestrzeni – i oczywiście w innych kierunkach też – od początku ery mezoprotezoiku, gdy jednokomórkowe organizmy o wielkości 0,1 mm, zwane eukariontami, ewoluowały na Ziemi. Sygnał przebył około 2/3 drogi w naszym kierunku, gdy trylobity pływały w ziemskich morzach, ale nadal miał do przebycia jeszcze 5% trasy, gdy tyranozaury zajadały się stekami z ankylozaurów na terenach, które są dziś północnym Meksykiem i zachodnią częścią USA i Kanady.

Ta ogromna ilość energii ze zwykłego zdarzenia {10} GW150914 jest dziś rozłożona na kuli o równie niewyobrażalnej powierzchni 2 × 10^18 parseków kwadratowych czyli 2 × 10^51 metrów kwadratowych – a jej natężenie jest więc teraz odpowiednio nieskończenie małe.

Co było przyczyną {10} GW150914?

Pierwsza osoba, która mogła odpowiedzieć na pytanie postawione w tytule tego punktu, zaczerpnęła pierwszy oddech w Boże Narodzenie 1724 roku. Wielebny John Michell urodził się trzy lata przed śmiercią Izaaka Newtona w przybliżeniu 46 km na północ od Woolsthorpe-by-Colsterworth, miejsca urodzenia Newtona. Pięćdziesiąt dziewięć lat później Michell zaczął zastanawiać się nad gwiazdami o średnicy 500 razy większej od Słońca – czyli o masach około 10^8 M[1] – i doszedł do wniosku, że prędkość ucieczki do nich byłaby równa prędkości światła. Nazwał te obiekty „ciemnymi gwiazdami”, gdyż nie jesteśmy w stanie zobaczyć ich światła. Teraz nazywamy je czarnymi dziurami.

Dwieście trzydzieści siedem lat później nadal nikt nie widział czarnej dziury, gdyż są one w końcu czarne. Nawet tak bardzo nagłośniony w 2019 roku „obraz czarnej dziury M87” (rys. 1.3) był w istocie obrazem cienia czarnej dziury.

Rysunek 1.3. | Cień supermasywnej czarnej dziury w środku dużej galaktyki eliptycznej M87 w gwiazdozbiorze Panny [reprodukcja za zgodą EHT Collaboration], https://www.science.org/content/article/images-black-hole-reveal-how-cosmic-beasts-change-over-time

Nasze współczesne rozumienie czarnych dziur nie różni się wiele od tego, co uważał Michell – weźmy Słońce, ściśnijmy je w kulę o promieniu 3 km – i mamy obiekt, którego prędkość ucieczki równa się prędkości światła.

Ten 3-kilometrowy promień nazywany jest promieniem Schwarzschilda dla Słońca – a inne masy stają się czarnymi dziurami, gdy ich rozmiary osiągną promienie Schwarzschilda. Związek opiera się na prostej proporcjonalności, więc ciało mające 10 mas Słońca (10 M) ma promień Schwarzschilda 30 km, a ciało o masie 0,1 M ma promień Schwarzschilda 0,3 km itd. Promień Schwarzschilda Ziemi wynosi 9 mm, a typowy człowiek musiałby zostać ściśnięty do około 0,0000001 attometrów, aby osiągnąć stan czarnej dziury, jednak byłoby to bardzo ulotne – w ciągu około 10–11 sekundy wyparowalibyśmy w postaci promieni γ poprzez promieniowanie Hawkinga (dodatek B3) lub w nawet krótszym czasie (~ 10–34 sekundy) zniknęlibyśmy w naszej własnej osobliwości, osiągając jeszcze większy rozgłos.

Jednak istnienie czarnych dziur we Wszechświecie jest dobrze zbadane, choć czekamy jeszcze na to, aby zobaczyć je bezpośrednio (patrz ramka 4.3). Dowód na ich istnienie opiera się na stabilności obiektów o masach zbliżonych do masy Słońca lub większych. Podczas gdy takie obiekty nadal wytwarzają energię w wyniku syntezy jądrowej, są bardzo gorące, lecz składają się z mniej więcej zwyczajnych gazów, w których normalne ciśnienie gazu równoważy grawitację.

Gdy reakcje termojądrowe dobiegają końca, zwykłe ciśnienie gazu nie wystarcza już do zrównoważenia grawitacji i gwiazdy zaczynają się zapadać. Istnieją jednak jeszcze dwa istotne źródła ciśnienia – to związane z elektronami i to związane z neutronami, a ponadto światło czy bardziej ogólnie promieniowanie elektromagnetyczne także wywiera ciśnienie (dodatek C.1).

Tak więc w przypadku gwiazd, których masy są mniejsze niż około 1,4 masy Słońca, ciśnienie elektronów może zatrzymać zapadanie się i gwiazda staje się białym karłem (rys. 1.4). Gwiazdy o masach między 1,4 a 2,2 M będą się zapadać poza stan białego karła i staną się

Rysunek 1.4. | Obraz HST Syriusza (α Cma). Syriusz jest układem podwójnym z gwiazdą ciągu głównego (Syriusz A) o masie 2 M i białym karłem (Syriusz B) o masie 1 M na wspólnych orbitach. Syriusz A znajduje się na środku obrazu i jest znacznie prześwietlony. Linie ukośne to piki dyfrakcyjne powstające na wspornikach zwierciadeł wtórnych. Syriusz B jest znacznie mniejszą kropką na dole po lewej, ale sama gwiazda ma średnicę około dziesięciotysięcznej części tej kropki w skali tego zdjęcia, w rzeczywistości zaś około 11 000 km. Ma więc masę około 300 tys. mas Ziemi, ściśniętą w objętości nieco mniejszej niż Ziemia [reprodukcja za zgodą NASA, ESA, H. Bond (STScI) i M. Barstow (University of Leicester)]

gwiazdami neutronowymi. Jednak nie ma więcej stanów stabilnych – każdy ściśnięty obiekt o masie powyżej 2,2 M albo musi stać się czarną dziurą, albo być na pewnym etapie procesu zapadania się w czarną dziurę. Silne źródło promieni rentgenowskich, Cyg X-1, jest na przykład układem podwójnym złożonym z gorącej gwiazdy supergiganta oraz zwartego obiektu jako jej towarzysza (rys. 1.5). Masy obu elementów wynoszą 20–30 M dla supergiganta i około 15 M dla zwartego obiektu. Obiekt zwarty Cyg X-1 jest więc z pewnością czarną dziurą.

Rysunek 1.5. | Impresja artystyczna układu podwójnego gwiazdy Cyg X-1 z czarną dziurą. Część widocznej gwiazdy (HD 226868, 9m, typ O) jest pokazana po prawej stronie obrazu. Spada z niej materia w kierunku czarnej dziury i zaczyna krążyć na orbicie dysku akrecyjnego wokół czarnej dziury. Obiekt podobny do gwiazdy na krawędzi dysku akrecyjnego, gdzie wpadająca materia zderza się z nim, to gorący punkt generowany przez zderzenie. Czarna dziura jest ukryta w środku dysku akrecyjnego i w skali tego obrazu miałaby średnicę około 100 nm. Materia wpadająca w czarną dziurę generuje dwie relatywistyczne strugi, które są wyrzucane wzdłuż linii osi obrotu czarnej dziury. Pokazana jest struga (dżet) zbliżająca się do czarnej dziury, a struga oddalająca się jest przesunięta w kierunku czerwieni i niemal niewidoczna [reprodukcja za zgodą NASA/CXC/M. Weiss], https://imagine.gsfc.nasa.gov/features/yba/CygX1_mass/cygX1_more.html

Wracając do {10} GW150914, wiele gwiazd, zapewne więcej niż połowa, należy do układów gwiazd podwójnych, potrójnych, poczwórnych lub z większą liczbą gwiazd. Około 1 400 000 000 lat temu taki układ podwójny powstał z dwóch czarnych dziur, a były one co najmniej dwa razy bardziej masywne niż ta tworząca Cyg X-1. Nasze szacunki mówią w istocie, że mają one odpowiednio 31 i 36 M, a więc średnicę około 190 i 220 km.

Nie wiemy, jak ten układ podwójny powstał ani skąd się wzięły te czarne dziury, ale dwa składniki w postaci czarnych dziur zapewne były kiedyś bardziej oddalone od siebie i poruszały się po spirali do środka, zbliżając się do siebie coraz bardziej przez milion lub więcej lat. Wiemy, że wszystkie układy podwójne ciągle emitują fale grawitacyjne, jak to zobaczymy później (rys. 5.12), a w rezultacie ich orbity przeważnie się kurczą.

Energia tracona w układzie podwójnym zależy od prędkości, z jaką składniki układu krążą wokół siebie. Okresy obiegu skracają się w miarę kurczenia się orbit, a więc promieniowanie grawitacyjne rośnie – co z kolei powoduje wzrost szybkości kurczenia się – i tak dalej. Jest to proces ucieczki, który może mieć tylko jeden koniec: zderzenie i scalenie elementów podwójnego układu.

Do czasu, gdy podwójne czarne dziury emitowały pierwszą wykrytą (35 Hz) część sygnału {10}GW150914, znajdowały się mniej niż 2000 km od siebie, przebiegając orbitę co około 50 milisekund i poruszając się z prędkościami bliskimi jednej trzeciej prędkości światła.

Jednak nadal zbliżały się do siebie, jeszcze bardziej przyspieszając. W ciągu kolejnej jednej czwartej sekundy „dotknęły” się (patrz „horyzont zdarzeń” w dodatku B.3), łącząc się w jedną czarną dziurę z wzajemnymi prędkościami bliskimi prędkości światła. Emitowane fale grawitacyjne w tym momencie osiągnęły największą częstotliwość około 250 Hz.

Dwie lub trzy milisekundy później dwie czarne dziury stały się jedną czarną dziurą 63 M, która następnie gwałtownie oscylowała przez kolejne dwie lub trzy milisekundy z częstotliwością około 200 Hz.

Potem wszystko się skończyło – lub przycichło na tyle, że nie mogliśmy już wykrywać fal grawitacyjnych.

Mogliście zauważyć, że masy dwóch zderzających się czarnych dziur dają w sumie więcej niż masa pozostałości po pojedynczej czarnej dziurze. Dokładniejsze obliczenia sugerują, że rozbieżność wynosi około 3,1 M. Ta utracona podczas zderzenia i połączenia masa została przekształcona w energię, a ponieważ zderzające się czarne dziury bardzo skutecznie wywołują fale grawitacyjne, energia niemal w całości przyjęła ich postać.

Całkowite przekształcenie nawet bardzo małej ilości materii tworzy ogromną ilość energii. Średnie zużycie energii na godzinę przez całą ludzkość wynosi obecnie około 4,5 × 10^16 J – to energia, którą można by uzyskać w wyniku całkowitego przekształcenia w energię tylko pół kilograma materii na godzinę.

Jednak 3,1 M to 6,2 × 10^30 kg materii i to zostało przekształcone, podczas połączenia się czarnych dziur w ciągu zaledwie kilku dziesiątych milisekundy, w 6 × 10^47 J energii fali grawitacyjnej. Jeśli teraz dodamy do siebie całą energię elektromagnetyczną: promienie gamma, światło, fale radiowe itp., emitowane przez wszystkie obiekty we Wszechświecie: jony, atomy, molekuły, pył, asteroidy, planety, mgławice, gwiazdy, galaktyki itd., daje to w sumie około 10^47 W, czyli 10^47 J s–1 – ilość zwaną LWszechświata. Jasność fali grawitacyjnej {10} GW150914 osiągnęła krótki szczyt o pięć czy sześć razy większej emisji energii od całkowitej energii wszystkich obiektów w całym widzialnym Wszechświecie i dlatego te niezmiernie małe ruchy zwierciadeł AdvLIGO wywołały takie poruszenie.

{10} GW150914 należy do najsilniejszych sygnałów fal grawitacyjnych, jakie zostały dotąd wykryte, ale nadejdą dużo silniejsze, które wystąpiły w przeszłości. Centra wielu galaktyk zawierają czarne dziury o masach liczonych w milionach M, a niektóre z tych supermasywnych czarnych dziur tworzą układy podwójne. Wydaje się nawet, że w galaktyce NGC 6240 (rys. 1.6) istnieje układ trzech czarnych dziur o masach z zakresu od 90 milionów do 700 milionów M, a odstęp między nimi jest w zakresie 200 do 1000 megaparseków – pierwsza kolizja między tymi supermasywnymi czarnymi dziurami może być oddalona o kilkaset milionów lat. Kiedy, a nie jeśli, takie supermasywne układy połączą się, naprawdę odczujemy, że Ziemia się poruszy.

Rysunek 1.6. | NGC 6240 [reprodukcja za zgodą NASA, ESA, Hubble Heritage (STScI/AURA)-ESA/Hubble CollaborItion i A. Evansa (University of Virginia, Charlottesville/NRAO/Stony Brook University)], https://esahubble.org/images/potw1520a/

To jest jednak temat, do którego wrócimy po ustaleniu teoretycznych podstaw fal grawitacyjnych, zrozumieniu praktycznych zasad działania detektorów fal grawitacyjnych i przeglądzie dotychczasowych obserwacji – a te kwestie są tematem kilku kolejnych rozdziałów.

Rozdział 2

Grawitacja od 850 000 000 p.n.e. do 1915 n.e.

Od prehistorii do Galileusza

Newton

Od Newtona do Einsteina: interregnum

Niewielu ludzi jest zdolnych do wyrażania ze spokojem opinii, które różnią się od przekonań ich środowiska społecznego.

[Albert Einstein, „Out of my later years”, New York: Philosophical Library, 1950]

Od prehistorii do Galileusza

Wprowadzenie

Grawitacja to jedno z najstarszych pojęć w nauce, podczas gdy zmiany jej własności znane jako fale grawitacyjne, są jednymi z najnowszych. Większość z nas słyszała o spadającym jabłku Izaaka Newtona, które skłoniło go do zastanowienia się, jak takie zjawisko mogło się zdarzyć.

Odpowiedzią na pytanie Newtona „dlaczego” pozostaje i zapewne pozostanie „Taki jest po prostu Wszechświat” lub jak to wyraził Runrig [2] w piosence Caluma i Rory’ego Macdonaldów The apple came down:

Jabłko spadło

Musiało spaść

*

*

Jabłko musi spaść

Na ziemię

[Fragment za zgodą R. Macdonalda].

Odpowiedź na pytanie Newtona „jak” zajmie resztę tej książki, tak jak zajmuje już wiele innych książek.

Jeśli nie jesteście rybami, (a niestety udział ryb w czytelnictwie tej książki jest minimalny) od chwili narodzin doświadczacie swojego ciężaru, czyli odczuwalnego wpływu grawitacji. Wcześniej, lub jeśli jesteście rybami, wasz ciężar byłby równoważony przez wypór płynów owodniowych lub wody. Dla większości ludzi i większości form życia, poczynając od tych pierwszych, które około 850 milionów lat temu nauczyły się żyć na lądzie, ciężar jest po prostu częścią środowiska, nad którym się nie zastanawiamy.

Newton wyróżnia się tu jako ktoś wyjątkowy dzięki temu, że zainteresował się w ogóle grawitacją – ale w istocie nie zastanawiał się nad jej przyczynami i naturą.

Na początku

Samo słowo „grawitacja” pochodzi od łacińskiego gravitas, a to z kolei od starszego protoindoeuropejskiego gwerǝ. Tak więc pochodzenie słowa można prześledzić 6500 lat wstecz i pokazuje ono, że istniała świadomość „ciężaru”, czyli „ciężkości” wśród ludzi tamtych czasów. Jednak niemal na pewno taki powszechny efekt musiał być uważany za godny własnego słowa, gdy tylko powstała ludzka mowa i język. Data tego rozwoju nie jest znana, ale neandertalczyk, 450– 40 tys. lat temu, miał już fizyczne struktury, jak język, krtań itp., wystarczająco rozwinięte, aby możliwe było pojawienie się mowy, zatem być może neandertalczycy także zastanawiali się nad jabłkami?

Nasza najwcześniejsza wiedza o kimś, kto próbuje w jakiś sposób zmierzyć ciężar, czyli ciężkość, pochodzi z 330 r. p.n.e., gdy Arystoteles argumentował, że cięższe obiekty spadają szybciej niż lekkie. O ile wiemy, Arystoteles nie przeprowadził eksperymentów, aby zweryfikować swój wniosek: zwykle uważał eksperymenty za zbędne, ale nawet gdyby je przeprowadził, jego wniosek okazałby się zapewne poprawny – w końcu w ziemskiej atmosferze piórko spada wolniej niż młotek. Twierdził również, że obiekty spadają „prostopadle”, gdyż należą one do grupy ziemskiej, wśród czterech klasycznych żywiołów – powietrza, ziemi, ognia i wody i dlatego są zmuszone poruszać się do ich „naturalnego” miejsca w środku planety Ziemi.

Sugestie dotyczące poprawnej idei, że ciężkie i lekkie obiekty spadają z taką samą szybkością (rys. 2.1), pojawiały się przez ponad dwa tysiąclecia po Arystotelesie, ale w większości przypadków nie jest jasne, czy bazowały one na jakiejkolwiek formie eksperymentu. Tak więc Jan Filipon w swojej książce z ok. 517 roku Komentarze do Fizyki i Metafizyki Arystotelesa zauważył, zapewne na podstawie eksperymentów, że różnica w czasie spadania dwóch różnych ciężarów jest bardzo mała. Na początku XII wieku Ibn Bâjja, inaczej Avempace, mógł wygłosić podobne komentarze na temat niepoprawności Fizyki Arystotelesa i z pewnością miał świadomość wpływu oporu powietrza na spadające ciała. W XVI wieku Francesco Beato, Luca Ghini, Domingo de Soto, Giovanni Bellaso, Girolamo Borro i Giuseppe Moletti także wygłosili podobne komentarze na temat eksperymentów ze spadającymi ciałami i sami publikowali swoje przemyślenia na ten temat.

Rysunek 2.1. | 1971:Astronauta Apollo 15 David Scott pokazujący, że młotek geologiczny i pióro sokoła w próżni na powierzchni Księżyca spadają z taką samą szybkością [reprodukcja za zgodą NASA – oryginalne wideo, z którego pochodzą te klatki filmowe, można znaleźć pod adresem https://solarsystem.nasa.gov/resources/329/the-apollo-15-hammer-feather-drop/]

Galileusz

Pierwsze jasno opisane i opublikowane eksperymentalne badania grawitacji, których zapisy posiadamy, zaczęły się od Simona Stevina, czyli Stevinusa. W 1586 roku opublikował on po flamandzku notatkę o zrzucaniu ołowianych kulek z wieży kościoła w Delft. Odkrył, że dwie ołowiane kulki, jedna dziesięć razy cięższa od drugiej, zostały jednocześnie wypuszczone, aby spaść 10 metrów w dół, a dźwięki ich uderzenia o ziemię też nastąpiły jednocześnie. Na tej podstawie doszedł do wniosku, że obiekty o różnej wadze spadają z tą samą szybkością, co ku konsternacji większości jemu współczesnych, było sprzeczne z założeniem Arystotelesa. Praca Stevina nie stała się jednak szerzej znana i to Galileusz (rys. 2.2) kilka lat później opisał badania, które zyskały najwięcej uznania jako pierwsze ilościowe opisanie cech grawitacji.

Rysunek 2.2. | Posąg Galileusza w galerii Uffizi, Florencja [domena publiczna, reprodukcja za zgodą Pixabay, zdjęcie wykonane przez wgbieber]

Powszechnie uważa się, że Galileusz przeprowadził taki sam eksperyment jak Stevin i inni, upuszczając obiekty o różnym ciężarze z pewnej wysokości. W tym przypadku wykorzystana została wieża w Pizie. W istocie opowieść może być zmienioną wersją wcześniejszej pracy Stevina lub innych albo czystym wymysłem asystenta i biografa Galileusza, Vincenso Vivianiego. Niektórzy historycy uważają jednak, że ta opowieść jest prawdziwa. Z pewnością istnieje kilka nawiązań do upuszczania różnych ciężarów z wysokości w pracy Galileusza Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze, opublikowanej w 1638 roku i znanej jako Rozmowy i dowodzenia matematyczne w zakresie dwóch nowych umiejętności lub po prostu jako Dialogi.

Badania Galileusza nad grawitacją zaczęły się, gdy miał około 17 lub 18 lat. Według Vivianiego, na początku lat 80. XVI wieku mierzył czas kołysania się zawieszonego żyrandola w katedrze w Pizie, wykorzystując swój puls jako zegar. Wtedy studiował medycynę, więc zapewne wiedział, że szybkość pulsu jest w miarę stała, jeśli siedzi się spokojnie. Zauważył, że okres, z jakim wahał się żyrandol, był z grubsza taki sam, niezależnie do tego, czy na zewnątrz pełnej przeciągów katedry była wichura, czy też poruszał się lekko przy łagodnej bryzie.

Pierwsze zapiski Galileusza na ten temat nie pojawiły się aż do roku 1588, a on sam zaczął dokładnie badać wahadła od roku 1602. Jego główne odkrycia to stwierdzenie, że wahadła o równej długości mają takie same okresy, podobnie jak żyrandol w katedrze, ale okres zależy od długości wahadła (rys. 2.3). W istocie odkrył on, że jeśli czterokrotnie zmniejszył lub zwiększył długość wahadła, to okres zmniejsza się lub zwiększa dwukrotnie, czyli okres zmieniał się jak pierwiastek kwadratowy (ramka 2.1) długości.

Ramka 2.1: Kwadraty i pierwiastki kwadratowe, sześciany i pierwiastki sześcienne

Ponieważ pole powierzchni kwadratu można znaleźć mnożąc przez siebie dwie identyczne długości jego dwóch boków, zwykle iloczyn dwóch jednakowych wartości nazywa się kwadratem tej liczby. Tak więc 2 × 2 równa się 4, a 4 jest „kwadratem liczby 2”. Podobnie 9 jest „kwadratem 3”, a 100 „kwadratem 10”.

Trzy identyczne liczby pomnożone przez siebie nazywane są sześcianem tej liczby, gdyż w ten sposób znajdujemy objętość sześcianu. Tak więc 8 = 2 × 2 × 2, a 8 jest sześcianem 2. Podobnie 27 jest sześcianem 3, a 1000 sześcianem 10.

Powiązane z tym pojęcia, pierwiastek kwadratowy i pierwiastek sześcienny, są używane dla działań odwrotnych. Tak więc pierwiastek kwadratowy z 4 to 2, a pierwiastek sześcienny z 1000 to 10. Mimo że można dokładnie obliczyć kwadrat lub sześcian każdej skończonej liczby, nie zawsze jest tak z działaniem odwrotnym. Wiele liczb ma pierwiastki kwadratowe lub sześcienne, które mają nieskończone rozwinięcie i są znane jako liczby niewymierne. Tak więc pierwiastek kwadratowy z 2 to 1,41421356237…, gdzie kropki oznaczają, że liczba może się ciągnąć w nieskończoność. Podobnie pierwiastek sześcienny z 10 to 2,15443469003… W praktyce zupełnie wystarczające są przybliżenia takich liczb z dokładnością do kilku miejsc po przecinku.

W postaci wykładniczej kwadraty i pierwiastki można zapisać za pomocą potęg 2 i 3, czyli

2 × 2 = 2 do kwadratu = 4 = 2^2

oraz

10 × 10 × 10 = 10 do sześcianu = 1000 = 10^3

Pierwiastki kwadratowe i sześcienne mają specjalne symbole √ i ∛, a można je też zapisać w postaci z wykładnikiem:

2 = pierwiastek kwadratowy z 4 = √4 = 40,5 = 41⁄2

oraz

3 = pierwiastek sześcienny z 27 = ∛27 = 270,333 = 271⁄3

Rysunek 2.3. | Galileusz odkrył, że okresy wahadła nie zmieniają się wraz z amplitudą wahnięć (część (a)), ale zależą od pierwiastka kwadratowego ich długości (część (b)). Nawiasem mówiąc, termin „okres” jest tu użyty w sensie jednego pełnego obiegu ciężarka wahadła od lewej do prawej i z powrotem do lewej lub od prawej do lewej i z powrotem do prawej. Termin „wahnięcie” może być także użyty w sensie jednego ruchu od lewej do prawej lub od prawej do lewej, czyli w tym sensie wahnięcia dwóch wahadeł w części (a) i środkowego wahadła w części (b) wynoszą wtedy 1 s, a wahadło o rzeczywistej długości 0,994 m jest często nazywane „wahadłem sekundowym”

Prawdopodobnie nie zdawał sobie wtedy sprawy, że ponieważ ciężarek wahadła wznosi się i opada podczas wahania dzięki ziemskiemu polu grawitacyjnemu, to w zasadzie badał on grawitację.

Jednak Galileusz zdecydowanie chciał badać grawitację i jej własności, gdy w roku 1603 zaczął swoje eksperymenty, Jego badania nad przyspieszeniem spowodowanym na powierzchni Ziemi przez grawitację polegały na wykorzystywaniu pochyłości, czyli ramp lub pochylni, zwykle określanych w tym kontekście jako równie pochyłe. Jak na ironię, Stevin pracował intensywnie z równiami pochyłymi i jako pierwszy określił ich mechaniczne zalety, czyli redukcję siły potrzebnej do podniesienia czegoś poprzez przesuwanie w górę po równi pochyłej w porównaniu z wysiłkiem potrzebnym do bezpośredniego podniesienia przedmiotu, ale nie myślał o ich użyciu do ułatwienia eksperymentów ze spadającą kulą. W przypadku eksperymentów takich jak te Stevina, z użyciem oczu i uszu jako czujników, przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Ziemi g – około 10 m s–2, czyli metrów na sekundę do kwadratu – jest zbyt silne i przedmioty spadają zbyt szybko, aby łatwo dokonać wyraźnych i dokładnych pomiarów – ołowiane kulki Stevina spadały na przykład tylko 1,4 sekundy z dziesięciometrowej wieży kościelnej. Nawiasem mówiąc, „g” tu używane do oznaczenia przyspieszenia grawitacyjnego na powierzchni Ziemi i nie należy go mylić z symbolem „g” oznaczającym jednostkę masy w gramach. W tej książce używane są jednostki SI, więc ta ostatnia będzie wyrażana jako 10–3 kg, czyli 0,001 kg.

Galileusz w swoich eksperymentach zmniejszył efektywną wartość g, korzystając z pochylni. Obiekt ześlizgujący się po zboczu nachylonym pod kątem 45o do powierzchni Ziemi będzie przyspieszał, jeśli pominiemy efekty tarcia, w tempie 6,9 m s–2, czyli 70% g na powierzchni Ziemi, zaś nachylenie 20o zmniejszy przyspieszenie do 35% g. To podejście zmniejsza także efekt oporu atmosferycznego, gdyż można wykorzystać dużo mniejszą wysokość, powiedzmy jeden metr dla górnego punktu równi pochyłej w porównaniu z dziesięcioma metrami przy zrzucaniu z wieży – a więc obiekty będą poruszały się wolniej, niż gdyby je po prostu zrzucić.

W przypadku litych kul toczących się w dół nachylenia, jak te użyte przez Galileusza w jego eksperymentach, przyspieszenie ulega dalszemu zmniejszeniu do 4,9 m s–2, tj. do 50% przy nachyleniu 45° i do około jednej czwartej g przy nachyleniu 20° (rys. 2.4).

Eksperymenty te zostały opisane przez Galileusza w jego Dialogues i pomimo upływu wieków trudno jest je opisać współczesnym czytelnikom lepiej niż jego własnymi słowami. Książka została napisana trzy lub cztery dekady po wykonaniu eksperymentów, w czasie gdy Galileusz przebywał w areszcie domowym za herezje, ale zapewne opierała się na notatkach eksperymentatora.

Na koniec trzeciego dnia dyskusji, a Dialogues to zapis trwającej przez 4 dni rozmowy między Salviatim, uczonym, który reprezentuje głównie własne opinie Galileusza, Simplico, tradycjonalistą o poglądach arystotelejskich, oraz Sagredo, laikiem, którego pozostali dwaj starają się przekonać do swego zdania:

Salviati: (…) Wzięto fragment drewnianego sufitu lub konstrukcji o długości około 12 łokci (ok. 7 m – przyp. aut.), szerokości pół łokcia i grubości trzech palców (ok. 60 mm). Na jego

Rysunek 2.4. | Kula tocząca się w dół po zboczu lub równi pochyłej o nachyleniu 20º doznaje przyspieszenia 2,4 m s–2 – około jednej czwartej tego, jakie miałaby kula spadająca pionowo. Tak więc obserwator ma znacznie więcej czasu na dokonanie pomiarów

brzegu wycięto mały kanał o szerokości nieco ponad jednego palca, starając się, aby był on bardzo prosty, gładki, wypolerowany i wyłożono go pergaminem, także możliwie gładkim i wypolerowanym, tocząc nim bardzo okrągłą kulę z brązu. Umieszczając tę belkę w nachylonej pozycji przez podniesienie jednego końca o jeden lub dwa łokcie nad drugim, toczyliśmy kulę (…) wzdłuż kanału, notując (…) czas potrzebny do upadku.

Jednak Galileusz mógł równie dobrze wykorzystać swoje doświadczenia z wahadłami, aby eksperymentalnie porównać przyspieszenia lekkich i ciężkich obiektów:

Salviati: (…) Eksperyment wykonany w celu stwierdzenia, czy dwa ciała, bardzo różniące się ciężarem, będą spadać z danej wysokości z tą samą prędkością, sprawia pewne trudności (…).

Przyszło mi więc do głowy, żeby powtórzyć wiele razy spadek z małej wysokości w taki sposób, aby zsumować te małe odstępy czasu upływające pomiędzy przybyciem odpowiednio ciężkich i lekkich ciał do ich wspólnego końca (…). Zgodnie z tym wziąłem dwie kule, jedną z ołowiu, a drugą z korka, przy czym ta pierwsza była sto razy cięższa od drugiej, i zawiesiłem je na dwóch jednakowych cienkich sznurkach, o długości czterech lub pięciu łokci każdy. Odciągając każdą z kul od pionu, puściłem je w tym samym momencie, a one, opadając wzdłuż obwodów okręgów mających te równe sznurki jako połowę średnicy, mijały pionową prostą i wracały tą samą ścieżką. Te swobodne wahania powtórzone sto razy jasno pokazały, że ciężkie ciało trzyma się blisko lekkiego ciała, że ani po stu wahnięciach, a nawet po tysiącu, pierwsze nie wyprzedzi drugiego nawet o jeden moment, tak idealnie dotrzymują sobie kroku. [Tamże].

Galileusz powtarza również w Dialogues paradoks pokazujący, że twierdzenie Arystotelesa musi być błędne. Paradoks ten jednak poprzedza o pewien czas Galileusza. We współczesnym stylu możemy go sparafrazować następująco:

• Przypuśćmy, że ciężkie obiekty spadają szybciej niż lekkie.

• Połączmy lekki obiekt z ciężkim za pomocą cienkiego sznurka. Gdy oba obiekty spadają razem, wolniejszy, lżejszy obiekt będzie opóźniał szybszy cięższy obiekt, a ten cięższy będzie przyśpieszał lżejszy. Tak więc takie połączenie spadnie z prędkością między normalną dla lekkiego obiektu a prędkością normalną dla ciężkiego obiektu, czyli wolniej niż sam ciężki obiekt.

• Mocno połączmy lekki i ciężki obiekt w jedną całość. Połączony obiekt jest teraz cięższy niż oryginalny ciężki obiekt, więc będzie spadał szybciej niż ten ostatni.

• Tak więc w naszym eksperymencie myślowym dwa oryginalne obiekty razem będą spadały jednocześnie wolniej niż oryginalny ciężki obiekt i szybciej niż oryginalny cięższy obiekt.

• Ponieważ jest to absurd, Arystoteles musiał się mylić, a obiekt lekki i ciężki oraz ich połączenie muszą spadać z tą samą prędkością.

Galileusz był geniuszem w prawdziwym znaczeniu tego mocno przecenianego pojęcia i rozciągał swoje talenty na wiele dziedzin nauki – znanej potem jako filozofia naturalna – wraz z innymi aktualnymi tematami. Wykorzystanie przez niego jednego z pierwszych teleskopów do obserwacji obiektów niebieskich jest zapewne znane większości czytelników. Ograniczając się tylko do jego osiągnięć zgodnych z tematyką tej książki, podsumować je można następująco:

• Pokazanie, że czas wahania dwóch wahadeł jest taki sam, jeśli ich długości są takie same – niezależnie od ciężaru ich obciążników, materiału, z którego są zrobione, czy amplitudy wahań – choć bardziej dokładne pomiary pokazują, że nie jest to do końca prawdą.

• Pokazanie, że okres wahadła jest proporcjonalny (ramka 2.2) do pierwiastka kwadratowego z jego długości.

• Pokazanie, że obiekty poruszające się w dół z identycznej wysokości robią to w takim samym czasie, niezależnie od ich ciężaru i materiału, z którego zostały wykonane.

• Pokazanie, że obiekty spadają ze stałym przyspieszeniem, więc przebyte przez nie odległości są proporcjonalne do czasu spadania.

Równanie na odległość, jaką pokonuje obiekt poddany stałemu przyspieszeniu, zostało sformułowane ogólnie trzy wieki wcześniej przez Thomasa Bradwardine’a, Johna Dumbletona, Williama Heytesbury’ego i Richarda Swinsheada, pracujących w Merton College w Oxfordzie. Na szczęście ich twierdzenie zostało nazwane na cześć ich uczelni, a nie wszystkich jego twórców. Twierdzenie Merton zostało udowodnione za pomocą metod graficznych, a nie eksperymentalnie, przez Nicholasa Oresme’a około połowy XIV wieku.

• Rozwinięcie koncepcji bezwładności i tego, że naturalnym stanem obiektów jest pozostawanie w stanie spoczynku lub w ruchu jednostajnym.

• Sugerowanie, że prawa fizyki są takie same dla wszystkich obserwatorów i ich przyrządów poruszających się ze stałymi prędkościami – to, co teraz nazywamy „względnością” i jest fundamentalną zasadą prac Newtona i Einsteina.

Ramka 2.2. Proporcjonalność

Gdy wielkości są wzajemnie proporcjonalne, to zmieniają się w taki sam sposób. Tak więc, jeśli mamy 10 tys. dolarów na koncie, które daje 1% odsetek rocznie, to na koniec każdego roku otrzymamy 100 $. Gdybyśmy mieli 100 tys. $, to otrzymalibyśmy 1000 $ odsetek rocznie – odsetki są proporcjonalne do zainwestowanego kapitału – gdy w drugim przypadku mamy kapitał 10 razy wyższy niż w pierwszym, to odsetki w drugim przypadku są 10 razy większe niż w pierwszym. W bardziej ogólnym przypadku zmian proporcjonalnych odsetki, 1% czyli 0,01 lub 1/100, będą nazywane stałą proporcjonalności. G (poniżej) jest więc stałą proporcjonalności, która wiąże zmiany siły grawitacji między dwoma ciałami z ich masami i odległością.

Brahe i Kepler

Rysunek 2.5. | Pomnik Tychona Brache (po lewej) i Johannesa Keplera (po prawej) w Pohorelcu niedaleko zamku w Pradze [domena publiczna; reprodukcja za zgodą Pixabay, zdjęcie Karla Nappa]

Mimo że działania Tychona Brache i Johannesa Keplera nie miały na celu badania grawitacji, jednak później ich praca miała, w rękach Newtona, fundamentalne znaczenie dla rozwoju badań nad grawitacją.

Brache był z pochodzenia bogatym duńskim szlachcicem i oddanym badaczem nieba gołym okiem. Jego obserwacje były tak dokładne, że minęło wiele lat, zanim pomiary teleskopowe mogły je poprawić. Poza własnymi środkami miał też wsparcie innych bogatych patronów. To umożliwiło mu zbudowanie dużych i drogich przyrządów astronomicznych w obserwatorium na wyspie Hven (Hveen), zwanej teraz Ven, leżącej w cieśninie Øresund między Danią a Szwecją, około 30 km na północ od Kopenhagi. Jego przyrządy były na tyle duże, że ich skale pomiarowe, z wieloma małymi podziałkami, pozwalały na pomiar małych kątów z wysoką dokładnością. Stosował także nowoczesną praktykę poprawek obserwacji o znane błędy, jak np. zwiększenie wysokości obiektu na niebie wynikające z refrakcji atmosferycznej.

Niektóre z przyrządów Brachego były w stanie zmierzyć położenie obiektów na niebie z dokładnością około plus minus pół minuty kątowej, a najlepsza rozdzielczość ludzkiego oka to kilka minut kątowych. Zapisy Brachego dotyczące położenia planet osiągały dokładność ±2 minut kątowych, więc jego wzrok musiał być niezwykle ostry. Miarą jakości jego pracy jest fakt, że Kepler odrzucił później model ruchu planet, nad którym pracował dziewięć lat – ponieważ przewidywały on położenie Marsa 8′ od położenia zaobserwowanego przez Brachego. 8′ to jest wielkość kątowa osoby w odległości około 1 kilometra, ale Kepler wiedział, że Brache nigdy nie popełniłby tak dużego błędu.

Wśród projektów obserwacyjnych Brachego było systematyczne rejestrowanie położenia planet na niebie, aby dowieść modelu ruchu planet na niebie, który on sam opracował. Niestety Brache nie był tak dobrym matematykiem jak obserwatorem i w końcu zatrudnił błyskotliwego matematyka, Keplera, do analizy swoich wyników.

Kepler był biednym plebejuszem urodzonym na terenie dzisiejszych Niemiec. Mimo że początkowo miał zostać duchownym, został nauczycielem matematyki w szkole. Kepler fascynował się astronomią od najmłodszych lat, kiedy w 1577 roku zobaczył jasną kometę, a w roku 1580 zaćmienie Księżyca. Jednak miał bardzo słaby wzrok, gdyż w wieku trzech lat zachorował na ospę, więc ograniczało to jego zdolność do prowadzenia obserwacji astronomicznych. Ponadto Kepler był protestantem mieszkającym w katolickim kraju, więc gdy zbliżał się do trzydziestki, problemy na tle religijnym skłoniły go do przeprowadzki do Pragi, gdzie w roku 1600 zaczął pracować dla Brachego. Rok później, po śmierci Brachego, Kepler został cesarskim matematykiem świętego cesarza Rzymu Rudolfa II, a dziesięć lat później, z przyczyn rodzinnych, powrócił do nauczania matematyki.

Kepler, po śmierci Brachego w 1601 roku, uzyskał, nie całkiem legalnie, zapisy wielu jego obserwacji, a w szczególności tych dotyczących Marsa. Później, gdy tylko mógł, pracował na jego pomiarach, próbując pokazać, że dane te wyjaśniały heliocentryczny model Układu Słonecznego Kopernika. Kepler pracował empirycznie. Nie rozumiał, jak zachowuje się grawitacja, ale zdawał sobie sprawę, że ta siła ciągnie w kierunku środka Ziemi. Po dziewięciu latach wysiłków i z powodu wymienionych wcześniej odchyleń wynoszących 8′, zdecydował, że odpowiedź brzmi „nie”; model Układu Słonecznego, jaki wyobraził sobie Kopernik, z planetami poruszającymi się po kołowych orbitach wokół Słońca, nie pasował do jego danych – zaczął więc od nowa.

Niemal natychmiast po odrzuceniu idei, że ruchy na niebie muszą być koliste (twierdzenie sprzed 2000 lat pochodzące od Platona i Eudoksosa) i przyjęciu owali jako kształtu ścieżek planet, Kepler zaczął otrzymywać wyniki. Potem prawidłowo zmienił je na elipsy (rys. 2.6 (i)), które mają tę zaletę, że są dobrze zdefiniowane matematycznie. Owale, których nazwa pochodzi od łacińskiego słowa ovum (jajko) są jedynie ogólnie opisane jako „jajowate”.

W 1609 roku opublikował Astronomia Nova i przedstawił dowód, że orbita Marsa ma kształt eliptyczny. Następnie w Epitome Astronomiae Copernicanae opublikowanej w częściach w latach 1617 i 1621, pokazał, że wszystkie znane planety mają orbity eliptyczne i że Słońce leży w jednej z ognisk tych elips. W ten sposób otrzymujemy pierwsze prawo Keplera w nowoczesnej postaci (rys. 2.6 (ii)): planety poruszają się po orbitach eliptycznych, a Słońce znajduje się w jednym z ognisk.

Przypisy

[1] M – masa Słońca (przyp. red.).

[2] Runrig to szkocki zespół folkowo-rockowy założony w 1973 roku przez braci Caluma i Rory’ego Macdonaldów; https://pl.wikipedia.org/wiki/Runrig (przyp. tłum.).