Dane oryginału: INTRODUCTION TO Quantum Mechanics, Third edition (2018), DAVID J. GRIFFITHS and DARRELL F. SCHROETER. This translations is published by arrangement with Cambridge University Press.

Tłumacz: Piotr Fabijańczyk na zlecenie WITKOM, Witold Sikorski

Projekt okładki: Ireneusz Gawliński

Ilustracja na okładce: Higyou/Dreamstime

Wydawca: Karol Zawadzki

Koordynator ds. redakcji: Adam Kowalski

Redaktor: Izabela Mika

Produkcja: Mariola Grzywacka

Skład wersji elektronicznej na zlecenie PZWL Wydawnictwo Lekarskie
Michał Latusek

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo.

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2021r. (Wydanie I)

Warszawa 2021

Polskie Wydanie:

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2021

ISBN 978-83-01-22014-3

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321; faks 22 69 54 288; infolinia 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl; reklama@pwn.pl

www.pwn.pl

Bezpłatny fragment

Wprowadzenie do mechaniki kwantowej

Przedmowa

Część I. Teoria

1. Funkcja falowa

1.1. Równanie Schrödingera

1.2. Interpretacja statystyczna

1.3. Prawdopodobieństwo

1.3.1. Zmienne dyskretne

1.3.2. Zmienne ciągłe

1.4. Normalizacja

1.5. Pęd

1.6. Zasada nieoznaczoności

Dodatkowe zadania do rozdziału 1

2. Niezależne od czasu równanie Schrödingera

2.1. Stany ustalone

2.2. Nieskończona kwadratowa studnia kwantowa

2.3. Oscylator harmoniczny

2.3.1. Metoda algebraiczna

2.3.2. Metoda analityczna

2.4. Cząstka swobodna

2.5. Studnia potencjału w kształcie funkcji delta

2.5.1. Stany związane i stany rozproszeniowe

2.5.2. Studnia potencjału w kształcie funkcji delta Diraca

2.6. Skończona kwadratowa studnia potencjału

Dodatkowe zadania do rozdziału 2

3. Formalizm

3.1. Przestrzeń Hilberta

3.2. Obserwable

3.2.1. Operatory hermitowskie

3.2.2. Stany zdeterminowane

3.3. Funkcje własne operatora hermitowskiego

3.3.1. Widma dyskretne

3.3.2. Widmo ciągłe

3.4. Uogólniona interpretacja statystyczna

3.5. Zasada nieoznaczoności

3.5.1. Dowód ogólnej zasady nieoznaczoności

3.5.2. Pakiet falowy minimalizujący zasadę nieoznaczoności

3.5.3. Zasada nieoznaczoności energii-czasu

3.6. Wektory i operatory

3.6.1. Bazy w przestrzeni Hilberta

3.6.2. Notacja Diraca

3.6.3. Zmiana bazy w notacji Diraca

Dodatkowe zadania do rozdziału 3

4. Mechanika kwantowa w trzech wymiarach

4.1. Równanie Schrödingera

4.1.1. Współrzędne sferyczne

4.1.2. Równanie kątowe

4.1.3. Równanie radialne

4.2. Atom wodoru

4.2.1. Radialna funkcja falowa

4.2.2. Widmo wodoru

4.3. Moment pędu

4.3.1. Wartości własne

4.3.2. Funkcje własne

4.4. Spin

4.4.1. Spin 1/2

4.4.2. Elektron w polu magnetycznym

4.4.3. Dodawanie momentów pędu

4.5. Oddziaływania elektromagnetyczne

4.5.1. Minimalne sprzężenie

4.5.2. Efekt Aharonova–Bohma

Dodatkowe zadania do rozdziału 4

5. Identyczne cząstki

5.1. Systemy dwucząstkowe

5.1.1. Bozony i fermiony

5.1.2. Siły wymiany

5.1.3. Spin

5.1.4. Uogólniona zasada symetryzacji

5.2. Atomy

5.2.1. Hel

5.2.2. Układ okresowy

5.3. Ciała stałe

5.3.1. Gaz elektronów swobodnych

5.3.2. Struktura pasmowa

Dodatkowe zadania do rozdziału 5

6. Symetrie i prawa zachowania

6.1. Wstęp

6.1.1. Transformacja w przestrzeni

6.2. Operator translacji

6.2.1. Jak działa operator translacji

6.2.2. Symetria translacyjna

6.3. Prawa zachowania

6.4. Parzystość

6.4.1. Parzystość w jednym wymiarze

6.4.2. Parzystość w trzech wymiarach

6.4.3. Reguły wyboru parzystości

6.5. Symetria obrotowa

6.5.1. Obrót wokół osi z

6.5.2. Obroty w trzech wymiarach

6.6. Degeneracja

6.7. Reguły wyboru obrotów

6.7.1. Reguły wyboru dla operatorów skalarnych

6.7.2. Zasady wyboru dla operatorów wektorowych

6.8 Translacja w czasie

6.8.1. Obraz Heisenberga

6.8.2. Niezmienność translacji w czasie

Dodatkowe zadania do rozdziału 6

Część II. Zastosowania

7. Rachunek zaburzeń zależnych od czasu

7.1. Rachunek zaburzeń bez degeneracji

7.1.1. Ogólne sformułowanie

7.1.2. Rachunek pierwszego rzędu

7.1.3. Energie drugiego rzędu

7.2. Rachunek zaburzeń z degeneracją

7.2.1. Podwójna degeneracja

7.2.2. „Dobre” stany

7.2.3. Degeneracja wyższego rzędu

7.3. Struktura subtelna wodoru

7.3.1. Korekta relatywistyczna

7.3.2. Sprzężenie spinowo-orbitalne

7.4. Efekt Zeemana

7.4.1. Efekt Zeemana w słabym polu

7.4.2. Efekt Zeemana w silnym polu

7.4.3. Efekt Zeemana w średnim polu

7.5. Rozszczepienie nadsubtelne dla wodoru

Dodatkowe zadania do rozdziału 7

8. Zasada wariacyjna

8.1. Teoria

8.2. Stan podstawowy helu

8.3. Jon wodoru cząsteczkowego

8.4. Cząsteczka wodoru

Dodatkowe zadania do rozdziału 8

9. Przybliżenie WKB

9.1. Obszar „klasyczny”

9.2. Zjawisko tunelowania

9.3. Warunki zszycia

Dodatkowe zadania do rozdziału 9

10. Rozpraszanie

10.1. Wstęp

10.1.1. Klasyczna teoria rozpraszania

10.1.2. Kwantowa teoria rozpraszania

10.2. Analiza fal składowych

10.2.1. Formalizm

10.2.2. Strategia

10.3. Przesunięcia fazowe

10.4. Przybliżenie Borna

10.4.1. Całkowa postać równania Schrödingera

10.4.2. Pierwsze przybliżenie Borna

10.4.3. Szeregi Borna

Dodatkowe zadania do rozdziału 10

11. Dynamika kwantowa

11.1. Układy dwustanowe

11.1.1. Układ zaburzony

11.1.2. Rachunek zaburzeń zależny od czasu

11.1.3. Zaburzenia sinosuidalne

11.2. Emisja i absorpcja promieniowania

11.2.1. Fale elektromagnetyczne

11.2.2. Pochłanianie, emisja wymuszona i emisja spontaniczna

11.2.3. Zaburzenia niekoherentne

11.3. Emisja spontaniczna

11.3.1. Współczynniki A i B Einsteina

11.3.2. Czas życia stanu wzbudzonego

11.3.3. Reguły wyboru

11.4. Złota reguła Fermiego

11.5. Przybliżenie adiabatyczne

11.5.1. Proces adiabatyczny

11.5.2. Twierdzenie adiabatyczne

Dodatkowe zadania do rozdziału 11

12. Posłowie

12.1. Paradoks EPR

12.2. Twierdzenie Bella

12.3. Stany mieszane i macierz gęstości

12.3.1. Stany czyste

12.3.2. Stany mieszane

12.3.3. Podsystemy

12.4. Twierdzenie o nieklonowaniu

12.5. Kot Schrödingera

Dodatek. Algebra liniowa

A.1. Wektory

A.2 Iloczyn wewnętrzny

A.3 Macierze

A.4 Zmiana bazy

A.5 Wektory własne i wartości własne

A.6 Transformacje hermitowskie

Przypisy

Wprowadzenie do mechaniki kwantowej

Zmiany w nowym wydaniu tego klasycznego podręcznika obejmują:

• nowy rozdział dotyczący symetrii i praw zachowania;

• nowe problemy i przykłady;

• poprawione wyjaśnienia;

• więcej problemów numerycznych do rozwiązania z wykorzystaniem komputera;

• nowe zastosowania w fizyce ciała stałego;

• skonsolidowane traktowanie potencjałów zależnych od czasu.

David J. Griffiths otrzymał tytuł licencjata w 1964 r., a następnie stopień doktora w 1970 r. na Uniwersytecie Harvarda. Uczył w Hampshire College, Mount Holyoke College oraz w Trinity College, zanim rozpoczął pracę na wydziale w Reed College w 1978 r. W latach 2001–2002 pracował jako wizytujący profesor fizyki w Five Colleges (UMass, Amherst, Mount Holyoke, Smith i Hampshire), a wiosną 2007 r. prowadził wykłady z elektrodynamiki na Uniwersytecie Stanforda. Wprawdzie jego doktorat dotyczył teorii cząstek elementarnych, jednak większość jego badań dotyczy elektrodynamiki i mechaniki kwantowej. Jest autorem ponad pięćdziesięciu artykułów i czterech książek: Introduction to Electrodynamics[1] (wyd. 4, Cambridge University Press, 2013), Introduction to Elementary Particles (wyd. 2, Wiley-VCH, 2008), Introduction to Quantum Mechanics (wyd. 2, Cambridge, 2005) oraz Revolutions in Twentieth-Century Physics (Cambridge, 2013).

Darrell F. Schroeter jest fizykiem-teoretykiem prowadzącym badania w dziedzinie materii skondensowanej. Uzyskał tytuł licencjata w 1995 r. na Reed College i doktorat w 2002 r. na Uniwersytecie Stanforda, gdzie był stypendystą National Science Foundation. Przed podjęciem pracy na wydziale Reed College w 2007 r. Schroeter wykładał w Swarthmore College i Occidental College. Seria jego owocnych badań teoretycznych prowadzonych ze studentami została doceniona w 2011 r., kiedy został mianowany stypendystą KITP-Anacapa.

Przedmowa

W przeciwieństwie do mechaniki Newtona, elektrodynamiki Maxwella czy teorii względności Einsteina teoria kwantowa nie została stworzona ani nawet ostatecznie uporządkowana przez jedną osobę. Dziedzina ta zachowała do dziś niektóre blizny ze swojej radosnej, ale i traumatycznej młodości. Nie istnieje ogólny konsensus co do jej podstawowych zasad, co do tego, jak należy jej nauczać, ani co tak naprawdę „oznacza”. Każdy kompetentny fizyk może „zajmować się” mechanika kwantową, jednak historie, które opowiadamy o tym, co robimy, są tak różne jak opowieści o Szeherezadzie i prawie tak samo nieprawdopodobne. Niels Bohr powiedział: „Jeśli nie jesteś zdezorientowany fizyką kwantową, to tak naprawdę jej nie rozumiesz”. Richard Feynman zauważył: „Myślę, że mogę śmiało powiedzieć, że nikt nie rozumie mechaniki kwantowej”.

Celem tej książki jest nauczenie czytelnika, jak zajmować się mechaniką kwantową. Poza istotnymi podstawami przedstawionymi w rozdziale 1 głębsze, quasi-filozoficzne kwestie zostały omówione na samym końcu. Nie wierzymy, że można inteligentnie dyskutować o tym, co oznacza termin mechanika kwantowa, dopóki nie zrozumie się dobrze, czym zajmuje się mechanika kwantowa. Jeśli jednak jesteś bardzo niecierpliwy, to zapoznaj się przynajmniej z posłowiem zaraz po przeczytaniu rozdziału 1.

Teoria kwantowa jest nie tylko bogata koncepcyjnie, ale również trudna technicznie, a dokładnych rozwiązań wszystkich, najczęściej sztucznych przykładów z podręczników jest niewiele. Z tego powodu niezbędne jest opracowanie specjalnych technik podejścia do bardziej realistycznych problemów. W związku z tym książka ta została podzielona na dwie części[2]. Część I obejmuje podstawowy teoretyczne, w części II zawarto zaś zbiór schematów aproksymacji z przykładowymi zastosowaniami. Chociaż ważne jest, by te dwie części pozostały logicznie rozdzielone, to nie jest konieczne przyswajanie materiału w przedstawionej tu kolejności. Na przykład, niektórzy wykładowcy mogą chcieć zapoznać się z rachunkiem zaburzeń niezależnym od czasu zaraz po przerobieniu rozdziału 2.

Książka ta została przewidziana na kurs semestralny lub roczny na poziomie mniej lub bardziej zaawansowanym. Kurs semestralny powinien koncentrować się głównie na części I, a w przypadku kursu całorocznego należy omówić także materiał uzupełniający spoza części II. Czytelnik powinien znać podstawy algebry liniowej (które zostały podsumowane w załączniku), liczby zespolone i rachunek różniczkowy w tym pochodne cząstkowe. Pomocna byłaby znajomość analizy Fouriera oraz funkcji delta Diraca. Znajomość podstawowej mechaniki klasycznej jest oczywiście niezbędna, a w niektórych miejscach przydatna jest pewna znajomość elektrodynamiki. Jak zawsze, im większą posiada się wiedzę z zakresu fizyki i matematyki, tym łatwiej będzie przyswoić sobie wiedzę z tej książki i ją pogłębić. Mechanika kwantowa nie jest jednak czymś, co płynnie i naturalnie wynika z wcześniejszych teorii. Jest wprost przeciwnie, a to oznacza gwałtowne i rewolucyjne odejście od klasycznych idei i przywołanie zupełnie nowego i radykalnie sprzecznego z intuicją sposobu myślenia o świecie. To właśnie sprawia, że jest to tak fascynująca tematyka.

Na pierwszy rzut oka ta książka może wydawać się zaskakująco mocno nasączona matematyką. Pojawiają się w niej wielomiany Legendre’a, Hermite’a i Laguerre’a, harmoniki sferyczne, funkcje Bessela, Neumanna i Hankela, funkcje Airy’ego, a nawet funkcja zeta Riemanna, nie wspominając o transformacjach Fouriera, przestrzeniach Hilberta, operatorach hermitowskich oraz współczynnikach Clebscha–Gordana. Czy wszystko to jest tak naprawdę niezbędne? Być może nie, jednak fizyka jest jak stolarstwo. Użycie odpowiedniego narzędzia sprawia, że praca jest łatwiejsza, a nauczanie mechaniki kwantowej bez odpowiedniego aparatu matematycznego przypomina wyrwanie zęba za pomocą szczypiec. Jest to możliwe, ale i bolesne. (Z drugiej strony nauczanie może być nudne i nieprzyjemne, jeśli wykładowca poczuje się zobowiązany do szczegółowego omówienia prawidłowego wykorzystania każdego narzędzia. Intencją autorów było przedstawienie narzędzi studiującemu czytelnikowi i zachęcenie go do korzystania z tych narzędzi. Choć początkowo może to wiązać się z pewnymi trudnościami, uważamy jednak taki sposób uczenia się za najbardziej wydajny i ekscytujący.) W każdym razie możemy zapewnić, że książka ta nie zawiera głębokiej matematyki. Jeśli jednak napotkasz coś nieznanego i uznasz zamieszczone wyjaśnienia za nieadekwatne, to za wszelką cenę poproś kogoś o wyjaśnienie lub wyszukaj potrzebne informacje samodzielnie. Dostępnych jest wiele dobrych książek na temat metod matematycznych. W szczególności polecamy trzecie wydanie Mathematical Methods in the Physical Sciences autorstwa Mary Boas (Wiley, New York 2006) lub siódme wydanie Mathematical Methods for Physicists autorstwa George’a Arfkena i Hansa-Jurgena Webera (Academic Press, Orlando 2013). Lecz przestrzegamy, by matematyka, która jest tu tylko narzędziem, nie przesłoniła zasadniczego celu, którym jest studiowanie fizyki.

Kilku czytelników zauważyło, że książka ta zawiera mniej sprawdzonych przykładów niż zazwyczaj, a niektóre ważne kwestie zostały poruszone w ramach problemów. Było to celowe działanie, ponieważ uważamy, że nie można nauczyć się mechaniki kwantowej bez samodzielnego rozwiązania wielu zadań. Wykładowcy powinni oczywiście omówić podczas wykładów tak dużo materiału, jak jest to możliwe. Należy jednak uprzedzić studentów, że tematyka ta nie dla każdego jest intuicyjna. Każdy musi samodzielnie wykształcić u siebie zdolność do zrozumienia poruszanych w tej książce zagadnień. Mark Semon zasugerował, by poruszanym problemom przypisać gwiazdki niczym w „Przewodniku Michelina”, różnicując ich liczbę w zależności od stopnia trudności i istotności. Wydawało się to dobrym pomysłem (choć podobnie jak w przypadku jakości restauracji określenie znaczenia problemu jest częściowo kwestią subiektywną), więc przyjęliśmy następujący schemat oznaczenia:

* istotny problem, który każdy czytelnik powinien przestudiować;

** problem nieco trudniejszy lub o drugorzędnym znaczeniu;

*** niezwykle trudny problem, którego zrozumienie może zająć nawet ponad godzinę.

(Brak gwiazdek oznacza fast food: dobre dla głodnego, ale niezbyt pożywne). Większość problemów z jedną gwiazdką została umieszczona na końcu odpowiedniego punktu, a większość problemów z trzema gwiazdkami na końcu rozdziału. Jeśli do rozwiązania danego problemu konieczne jest użycie komputera, to na marginesie został umieszczony symbol myszy. Podręcznik zwierający rozwiązania i przeznaczony tylko dla wykładowców jest dostępny u wydawcy.

Przygotowując trzecie wydanie książki, staraliśmy się zachować jak najwięcej z wydania pierwszego i drugiego. Choć książka ma dwóch autorów, do czytelnika zwracamy się w pierwszej osobie liczby pojedynczej („ja”). Wydaje się to bardziej bezpośrednie i przecież tylko jeden z autorów może wypowiadać się w danym momencie. Kiedy w tekście została użyta forma „my”, oznacza to, że odnosi się do czytelnika oraz autora pracujących razem. Schroeter przedstawił nową perspektywę teoretyka ciała stałego i jest w dużej mierze odpowiedzialny za nowy rozdział dotyczący symetrii. Dodaliśmy szereg problemów, wyjaśniliśmy wiele opisów i poprawiliśmy posłowie. Postanowiliśmy jednak nie dopuścić do nadmiernego zwiększenia objętości tekstu i z tego powodu usunęliśmy rozdział o przybliżeniu adiabatycznym, zachowując jedynie istotne spostrzeżenia na ten temat w rozdziale 11. Ponadto z rozdziału 5 usunęliśmy informacje na temat mechaniki statystycznej (które tak naprawdę powinny znaleźć się w książce dotyczącej termofizyki[3]). Oczywistą sprawą jest to, że wykładowcy mogą omawiać inne uznane za stosowne tematy, chcemy jednak, by ten podręcznik stanowił podwaliny mechaniki kwantowej.

Bardzo pomocne okazały się komentarze i rady wielu kolegów, którzy czytali pierwotny manuskrypt i zwrócili uwagę na słabości lub błędy zawarte w dwóch pierwszych wydaniach, zasugerowali, jak poprawić opisy, i zaproponowali wiele ciekawych zagadnień. Na nasze szczególne podziękowania zasługują następujące osoby: P.K. Aravind (Worcester Polytech), Greg Benesh (Baylor), James Bernhard (Puget Sound), Burt Brody (Bard), Ash Carter (Drew), Edward Chang (Massachusetts), Peter Collings (Swarthmore), Richard Crandall (Reed), Jeff Dunham (Middlebury), Greg Elliott (Puget Sound), John Essick (Reed), Gregg Franklin (Carnegie Mellon), Joel Franklin (Reed), Henry Greenside (Duke), Paul Haines (Dartmouth), J. R. Huddle (Navy), Larry Hunter (Amherst), David Kaplan (Washington), Don Koks (Adelaide), Peter Leung (Portland State), Tony Liss (Illinois), Jeffry Mallow (Chicago Loyola), James McTavish (Liverpool), James Nearing (Miami), Dick Palas, Johnny Powell (Reed), Krishna Rajagopal (MIT), Brian Raue (Florida International), Robert Reynolds (Reed), Keith Riles (Michigan), Klaus Schmidt-Rohr (Brandeis), Kenny Scott (London), Dan Schroeder (Weber State), Mark Semon (Bates), Herschel Snodgrass (Lewis and Clark), John Taylor (Colorado), Stavros Theodorakis (Cyprus), A.S. Tremsin (Berkeley), Dan Velleman (Amherst), Nicholas Wheeler (Reed), Scott Willenbrock (Illinois),William Wootters (Williams) i Jens Zorn (Michigan).

Część I

Teoria

Pozostałe rozdziały dostępne w pełnej wersji e-booka.

1

Funkcja falowa

1.1. Równanie Schrödingera

Wyobraźmy sobie cząstkę o masie m, ograniczoną do poruszania się wzdłuż osi x, na którą oddziałuje określona siła F(x, t ) (rysunek 1.1). Zadanie mechaniki klasycznej polega na określeniu położenia cząstki w danej chwili t: x(t ). Kiedy już je znamy, możemy określić prędkość (v = dx/dt ), pęd (p = mv), energię kinetyczną T = (1/2)mv^2 lub jakąkolwiek inną zmienną dynamiczną. W jaki sposób określić x(t )? Wykorzystywane jest drugie prawo dynamiki Newtona: F = ma. (W przypadku układów zachowawczych – jedyny rodzaj, który rozważamy, i na szczęście jedyny, który występuje na poziomie mikroskopowym – siła może zostać wyrażona jako pochodna funkcji energii potencjalnej[4], F = −V/x, a wtedy drugie prawo Newtona można zapisać jako md^2x/dt^2 = −V/x). To wraz z odpowiednimi warunkami początkowymi (którymi zazwyczaj są położenie i prędkość dla t = 0) determinuje x(t ).

Rysunek 1.1. „Cząstka”, której ruch wywołany określoną siłą został ograniczony do jednego wymiaru

W mechanice kwantowej podchodzi się do tego samego problemu zupełnie inaczej. W tym przypadku szukamy funkcji falowej cząstki, Ψ(x, t ), którą otrzymujemy, rozwiązując równanie Schrödingera:

,

(1.1)

gdzie i jest pierwiastkiem z –1, ħ jest stałą Plancka, a właściwie oryginalną stałą (h) podzieloną przez 2π:

.

(1.2)

Równanie Schrödingera odgrywa rolę logicznie analogiczną do drugiego prawa Newtona. Biorąc pod uwagę odpowiednie warunki początkowe (zazwyczaj Ψ(x, 0)), równanie Schrödingera określa Ψ(x, t ) dla całego przyszłego czasu, podobnie jak w mechanice klasycznej prawo Newtona określa x(t ) dla całego przyszłego czasu[5].

1.2. Interpretacja statystyczna

Czym dokładnie jest „funkcja falowa” i do czego można ją wykorzystać, jeśli już zostanie określona? W końcu cząstka z natury jest zlokalizowana w punkcie, podczas gdy funkcja falowa (jak wskazuje na to sama nazwa) jest rozproszona w przestrzeni (jest to funkcja x dla dowolnego określonego t ). W jaki sposób tego typu pojęcie może reprezentować stan cząstki? Odpowiedzią na to pytanie jest interpretacja statystyczna Borna, która mówi, że |Ψ(x, t )|2 określa prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w punkcie x w czasie t, a dokładniej[6]:

.

(1.3)

Prawdopodobieństwo to obszar pod wykresem |Ψ|2. W przypadku funkcji falowej przedstawionej na rysunku 1.2 całkiem prawdopodobne byłoby znalezienie cząstki w pobliżu punktu A, gdzie |Ψ|2 osiąga dużą wartość, i stosunkowo nieprawdopodobne w pobliżu punktu B.

Rysunek 1.2. Typowa funkcja falowa. Zacieniowany obszar reprezentuje prawdopodobieństwo znalezienia cząstki pomiędzy a i b. Cząstka prawdopodobnie zostanie znaleziona w pobliżu A i jest mało prawdopodobne, by została znaleziona w pobliżu B

Interpretacja statystyczna wprowadza pewien rodzaj nieokreśloności do mechaniki kwantowej, ponieważ nawet jeśli znane jest wszystko to, co teoria ma do powiedzenia na temat cząstki, czyli jej funkcji falowej, to nadal nie można z pewnością przewidzieć wyniku prostego eksperymentu polegającego na zmierzeniu położenia cząstki. To, co wprowadza cała mechanika kwantowa, to statystyczna informacja na temat możliwych wyników. Ta nieokreśloność była głęboko niepokojąca zarówno dla fizyków, jak i filozofów i budzi naturalne wątpliwości co do tego, czy jest to fakt natury, czy też wada teorii.

Załóżmy, że mierzę położenie cząstki i stwierdzam, że znajduje się ona w punkcie C [7]. Pojawia się pytanie: gdzie znajdowała się cząstka tuż przed wykonaniem pomiaru? Istnieją trzy wiarygodne odpowiedzi na to pytanie i służą one do scharakteryzowania głównych szkół myślenia o nieokreśloności kwantowej:

1. Postawa realisty: cząstka znajdowała się w C. Z pewnością wydaje się rozsądne i jest to też reakcja zalecana przez Einsteina. Zauważ jednak, że jeśli jest to prawda, to mechanika kwantowa jest teorią niepełną, ponieważ cząstka była naprawdę zlokalizowana w C, a mechanika kwantowa nie była w stanie tego potwierdzić. Dla realisty nieokreśloność nie jest faktem natury, ale odzwierciedleniem naszej ignorancji. Jak to ujął d’Espagnat: „pozycja cząstki nigdy nie była nieokreślona, to eksperymentator po prostu nie znał jej położenia”[8]. Oczywiście Ψ nie jest tu wszystkim i do zapewnienia zupełnego opisu cząstki potrzebne są dodatkowe informacje (znane jako zmienna ukryta).

2. Postawa ortodoksy: cząstki tak naprawdę nigdzie nie było. To sam akt pomiaru wymusił na cząstce „zajęcie położenia” (aczkolwiek nie mamy odwagi zapytać, jak i dlaczego cząstka zdecydowała się na punkt C). Jordan stwierdził w najbardziej zdecydowany sposób: „Obserwacje nie tylko zakłócają to, co ma zostać zmierzone, lecz wręcz wytwarzają wynik… Zmuszamy [cząstkę] do zajęcia określonego położenia”[9]. Takie podejście, nazywane interpretacją kopenhaską, jest związane z Bohrem i jego zwolennikami. Wśród fizyków było to zawsze najczęściej akceptowane podejście. Zauważ jednak, że jeśli jest ono poprawne, to w akcie pomiaru jest coś bardzo osobliwego. Coś, co nie zostało dokładniej wyjaśnione przez prawie sto lat dyskusji i debat.

3. Postawa agnostyka: odmów odpowiedzi. Nie jest to wcale tak głupie, jak się wydaje. W końcu, jaki sens może mieć formułowanie twierdzeń o stanie cząstki przed pomiarem, gdy jedynym sposobem na sprawdzenie, czy masz rację, jest właśnie dokonanie pomiaru, którego rezultat nie jest już tym „przed pomiarem”? Metafizyką (w pejoratywnym tego słowa znaczeniu) jest martwienie się o coś, co z natury nie może zostać przetestowane. Pauli powiedział: „Nie należy już więcej męczyć się z problem, o którym nie wiadomo, czy nawet istnieje, podobnie jak ze starożytnym pytaniem, ilu aniołów jest w stanie usiąść na czubku igły”.[10] Przez dziesięciolecia była to odpowiedź „awaryjna” większości fizyków, którzy próbowali przeforsować ortodoksyjną odpowiedź, jednak gdyby rozmówca był uparty, wycofaliby się do postawy agnostycznej i zakończyli rozmowę.

Do niedawna wszystkie trzy postawy (realisty, ortodoksy i agnostyka) miały swoich zwolenników. Jednak w 1964 r. John Bell zaskoczył społeczność fizyków, pokazując, że istnieje zauważalna różnica, czy cząstka miała dokładną (choć nieznaną) pozycję przed pomiarem, czy też nie. Odkrycie Bella skutecznie wyeliminowało postawę agnostyka jako jedną z możliwych opcji, a wybór pomiędzy postawą realisty i ortodoksy został sprowadzony do pytania eksperymentalnego, który z wyborów jest poprawny, pierwszy czy drugi. Wrócę do tej historii na końcu książki, ponieważ lepiej można docenić argument Bella po zapoznaniu się z większością informacji przedstawionych w książce. W tym momencie wystarczy stwierdzić, że eksperymenty zdecydowanie potwierdziły postawę ortodoksy[11]: cząstka po prostu nie zajmuje dokładnego położenia przed pomiarem analogicznie jak fale na stawie. To właśnie w rezultacie procesu pomiarowego „wymuszana” jest jednak konkretna liczba i tym samym w pewnym sensie tworzony jest określony wynik, ograniczony jedynie istotnością statystyczną narzuconą przez funkcję falową.

Co jeśli zrobię drugi pomiar natychmiast po pierwszym? Czy dostanę ponownie C, czy też za każdym kolejnym razem w wyniku pomiaru otrzymam jakąś zupełnie nową wartość? W tej kwestii wszyscy są zgodni. Wielokrotnie powtarzany pomiar tej samej cząstki musi dać tę samą wartość. Naprawdę ciężko byłoby udowodnić, że cząstka rzeczywiście została znaleziona podczas pierwszego pomiaru w C, gdyby nie można było tego potwierdzić przez natychmiastowe powtórzenie pomiaru. Jak interpretacja ortodoksyjna tłumaczy fakt, że drugi pomiar musi dać wartość C? Musi to wynikać z tego, że pierwszy pomiar radykalnie zmienia funkcję falową i wokół C obserwowany jest wyraźny pik (rysunek 1.3). Mówimy, że funkcja falowa ulega redukcji po pomiarze i następnie obserwowany jest pik w punkcie C, który wkrótce ewoluuje ponownie zgodnie z równaniem Schrödingera, tak więc drugi pomiar należy wykonać szybko. Istnieją zatem dwa całkowicie odmienne rodzaje procesów fizycznych: „zwykłe”, w których funkcja falowa zmienia się powoli zgodnie z równaniem Schrödingera, oraz „pomiary”, w których Ψ nagle i w sposób nieciągły ulega redukcji[12].

Rysunek 1.3. Redukcja funkcji falowej: wykres |Ψ|2 natychmiast po dokonaniu pomiaru – wykrycia cząstki w punkcie C

Przykład 1.1

Interferencja elektronowa. Założyłem, że cząstki (na przykład elektrony) mają naturę falową określoną funkcją Ψ. Jak możemy to sprawdzić w laboratorium?

Klasycznym przykładem zjawiska falowego jest interferencja: dwie fale o tej samej fazie interferują konstruktywnie, a te z przeciwnymi fazami interferują destruktywnie. Falowa natura światła została potwierdzona w 1801 roku w słynnym eksperymencie Younga z dwiema szczelinami, w wyniku którego na odległym ekranie otrzymane zostały „prążki” interferencyjne, gdy przez dwie szczeliny przechodziła wiązka monochromatyczna. Jeżeli zasadniczo taki sam eksperyment zostanie przeprowadzony z wykorzystaniem elektronów, to w rezultacie otrzymany zostanie analogiczny wzór[13], co potwierdza falową naturę elektronów.

Załóżmy teraz, że zmniejszamy natężenie wiązki elektronów, aż w danym momencie w urządzeniu pomiarowym będzie obecny tylko jeden elektron. Zgodnie z interpretacją statystyczną każdy elektron wytworzy punkt na ekranie. Mechanika kwantowa nie jest w stanie przewidzieć dokładnego położenia tego punktu i wszystko, co może nam powiedzieć, to prawdopodobieństwo trafienia danego elektronu w określony punkt. Jeśli jednak bylibyśmy cierpliwi i zaczekali, aż przez szczeliny przejdzie sto tysięcy elektronów, to gromadzące się plamy utworzą klasyczny wzór interferencji charakterystyczny dla dwóch szczelin (rysunek 1.4)[14].

Rysunek 1.4. Tworzenie się wzoru interferencyjnego elektronów: (a) 8 elektronów, (b) 270 elektronów, (c) 2000 elektronów, (d) 160 000 elektronów. Przedruk za zgodą Central Research Laboratory, Hitachi Ltd., Japonia

Oczywiście, jeśli zamkniesz jedną szczelinę lub w jakiś sposób będziesz w stanie określić, przez którą szczelinę przechodzi każdy elektron, to wzór interferencji zniknie. Funkcja falowa powstającej cząstki będzie wtedy zupełnie inna. W pierwszym przypadku będzie to wynikać ze zmiany warunków brzegowych równania Schrödingera, a w drugim – z redukowania się funkcji falowej po pomiarze. Jednak przy otwartych obu szczelinach i bez przeszkód na drodze lotu elektronów dochodzi do interferencji pomiędzy elektronami. Nie przechodzą one ani przez pierwszą, ani przez drugą szczelinę, ale przez obie naraz, podobnie jak fala na wodzie uderzająca o molo oparte na dwóch podporach, interferująca sama ze sobą. Nie ma w tym nic tajemniczego, gdy zaakceptujesz pogląd, że cząstki spełniają równanie falowe. Naprawdę zadziwiające jest to, że wzór jest wykonywany punkt po punkcie. W każdej klasycznej teorii fal wzór rozwijałby się płynnie i ciągle, z czasem stając się coraz bardziej intensywny. Proces kwantowy bardziej przypomina puentylistyczne malarstwo Seurata, gdzie obraz wyłania się ze skumulowanego wkładu wszystkich pojedynczych kropek[15].

1.3. Prawdopodobieństwo

1.3.1. Zmienne dyskretne

Ze względu na interpretację statystyczną prawdopodobieństwo odgrywa kluczową rolę w mechanice kwantowej. Poniżej, w kontekście prostego przykładu, przedstawię krótkie omówienie teorii prawdopodobieństwa, którego głównym celem jest wprowadzenie notacji i terminologii.

Wyobraź sobie, że w pokoju znajduje się 14 osób, których wiek przedstawia się następująco:

jedna osoba w wieku 14 lat,

jedna osoba w wieku 15 lat,

trzy osoby w wieku 16 lat,

dwie osoby w wieku 22 lat,

dwie osoby w wieku 24 lat,

pięć osób w wieku 25 lat.

Jeśli założymy, że N( j) reprezentuje liczbę osób w wieku j, to:

N(14) = 1,

N(15) = 1,

N(16) = 3,

N(22) = 2,

N(24) = 2,

N(25) = 5,

a dla przykładu N(17) = 0. Sumaryczna liczba osób w pokoju wynosi:

(1.4)

(Oczywiście w rozpatrywanym przykładzie N = 14). Na rysunku 1.5 jest pokazany histogram danych. Oto pytania, które można by zadać co do tego rozkładu.

Rysunek 1.5. Histogram pokazujący rozkład liczby osób N( j) w zależności od wieku j dla danych z przykładu z p. 1.3.1

Pytanie 1: Jeśli wybierzesz losowo jedną osobę z tej grupy, to jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie ona miała 15 lat?

Odpowiedź:

Jest jedna szansa na 14, ponieważ istnieje 14 możliwych wyborów, z których wszystkie są równie prawdopodobne i tylko jeden odnosi się do osoby w tym konkretnym wieku. Jeśli P( j) jest prawdopodobieństwem wylosowania osoby w wieku j, to P(14) = 1/14, P(15) = 1/14, P(16) = 3/14 i tak dalej. Ogólnie:

(1.5)

Zauważ, że prawdopodobieństwo wylosowania osoby w wieku 14 lub 15 lat to suma prawdopodobieństw każdego z tych zdarzeń z osobna (w tym przypadku 1/7). W szczególności suma wszystkich prawdopodobieństw wynosi 1. Każda wybrana osoba musi mieć jakiś wiek:

Pytanie 2: Jaki jest najbardziej prawdopodobny wiek wylosowanej osoby?

Odpowiedź: Oczywiście jest to 25 lat. W takim wieku jest aż pięć osób, podczas gdy co najwyżej trzy osoby są w takim samym wieku, innym niż 25 lat. Najbardziej prawdopodobne j to takie, dla którego P( j) jest wartością maksymalną.

Pytanie 3: Jaka jest mediana wieku?

Odpowiedź: Jest to wiek 23 lat, ponieważ 7 osób ma mniej niż 23 lata, a 7 jest starszych. Mediana to taka wartość j, dla której prawdopodobieństwo uzyskania większego wyniku jest takie samo, jak prawdopodobieństwo uzyskania mniejszego wyniku.

Pytanie 4: Jaki jest średni wiek?

Odpowiedź:

Ogólnie, średnia z j wartości (co powinno być zapisywane jako j) wynosi:

(1.7)

Zauważ, że w danych nie musi występować osoba ze średnim wiekiem ani wiekiem równym medianie. W rozpatrywanym przykładzie nikt nie ma 21 ani 23 lat. W mechanice kwantowej średnia jest zwykle wielkością zainteresowania. W tym kontekście nazywa się to wartością oczekiwaną. Jest to termin wprowadzający w błąd, ponieważ sugeruje, że jest to wynik, który najprawdopodobniej uzyskasz, jeśli wykonasz pojedynczy pomiar. Byłaby to zatem najbardziej prawdopodobna wartość, a nie wartość średnia. Obawiam się jednak, że utknęliśmy z tym.

Pytanie 5: Jaka jest średnia z kwadratów wieku rozpatrywanych osób?

Odpowiedź: Możesz otrzymać 14^2 = 196 z prawdopodobieństwem 1/14, 15^2 = 225 z prawdopodobieństwem 1/14 lub 16^2 = 256 z prawdopodobieństwem 3/14 i tak dalej. Średnia z kwadratów wynosi więc:

(1.8)

Ogólnie, średnia wartość pewnej funkcji zmiennej j wynosi:

(1.9)

(Równania (1.6), (1.7) i (1.8) są specjalnymi przypadkami tego wzoru). Uwaga: średnia kwadratów j 2 nie jest na ogół równa kwadratowi średniej j^2. Na przykład, jeśli w pokoju jest tylko dwoje dzieci w wieku 1 i 3 lat, to wtedy j 2 = 5, lecz j^2 = 4.

Histogramy przedstawione na rysunku 1.6 wyraźnie się różnią, pomimo że mają taką samą medianę, średnią, najbardziej prawdopodobną wartość i taką samą liczebność. Pierwszy jest mocno skupiony wokół wartości średniej, podczas gdy drugi jest szeroki i płaski. (Pierwszy histogram może reprezentować profil wiekowy uczniów w klasie w dużym mieście, a drugi – być może profil wiekowy uczniów w wiejskiej jednosalowej szkole). Potrzebujemy liczbowej miary wielkości „rozproszenia” rozkładu w odniesieniu do wartości średniej. Najbardziej oczywistym sposobem na zrobienie tego byłoby sprawdzenie, jak bardzo każda wartość różni się od średniej:

(1.10)

i następnie obliczenie średniej ∆ j. Problemem jest jednak to, że w rezultacie otrzymasz zero.

(Zauważ, że j jest stałe i nie zmienia się, gdy przechodzisz od jednego wartości próbki do drugiej, tak więc można to wyrażenie wyciągnąć przed sumę). W celu uniknięcia tego irytującego problemu możesz zdecydować o uśrednieniu wartości bezwzględnej ∆ j, jednak wartości bezwzględne są kłopotliwe w obliczeniach. Zamiast tego omijamy problem ze znakiem, podnosząc wyrażenie do kwadratu przed jego uśrednieniem:

(1.11)

Rysunek 1.6. Dwa histogramy z taką samą medianą, średnią i najbardziej prawdopodobną wartością, ale z różnymi odchyleniami standardowymi

Taka wartość jest znana jako wariancja rozkładu. Wartość σ (pierwiastek kwadratowy ze średniej z kwadratu odchyleń od średniej – o ho!) nazywa się odchyleniem standardowym. Jest ono zwyczajową miarą rozproszenia j.

Istnieje przydatne twierdzenie o wariancjach:

Pierwiastkując wyrażenie, samo odchylenie standardowe można zapisać jako:

(1.12)

W praktyce jest to znacznie szybszy sposób na wyznaczenie σ niż bezpośrednie zastosowanie równania (1.11). Wystarczy po prostu obliczyć j 2 oraz j^2, odjąć je i następnie spierwiastkować. Nawiasem mówiąc, ostrzegałem wcześniej, że j^2 nie jest na ogół równe j^2. Ponieważ σ^2 jest z oczywistych powodów nieujemne (z definicji (1.11)), z równania (1.12) wynika, że:

(1.13)

a j 2 oraz j^2 są równe jedynie wtedy, gdy σ = 0, co oznacza, że rozkład nie charakteryzuje jakiekolwiek rozproszenie i składa się z danych o takich samych wartościach.

1.3.2. Zmienne ciągłe

Do tej pory zakładałem, że mamy do czynienia ze zmienną dyskretną, czyli taką, która może przyjmować tylko niektóre odrębne wartości (w omawianym przykładzie j musiało być liczbą całkowitą, ponieważ wiek podawany był tylko w latach). Uogólnienie na rozkłady ciągłe jest jednak stosunkowo proste. Jeśli wybiorę przypadkową osobę na ulicy, to prawdopodobieństwo, że jej wiek to dokładnie 16 lat, 4 godziny, 27 minut i 3,333… sekundy wynosi zero. Jedyną rozsądną rzeczą, o której można zatem mówić, jest prawdopodobieństwo, że wiek tej osoby mieści się w pewnym przedziale, powiedzmy między 16 a 17 lat. Jeśli przedział jest wystarczająco krótki, to prawdopodobieństwo jest proporcjonalne do długości tego przedziału. Na przykład szansa, że wiek osoby zawiera się w przedziale od 16 lat do 16 lat i dwóch dni jest prawdopodobnie dwukrotnie większa niż w przypadku przedziału od 16 lat do 16 lat i jeden dzień. (Oczywiście zakładając, że 16 lat temu nie miał miejsca jakiś niezwykły wyż demograficzny, dokładnie w tym dniu. W takim przypadku po prostu wybrany przedział czasu jest zbyt długi, by obowiązywała wspomniana zasada. Jeśli wyż demograficzny trwał sześć godzin, należałoby dla bezpieczeństwa założyć przedziały sekundowe lub krótsze. Z technicznego punktu widzenia mówimy o infinitezymalnych odstępach). Czyli:

(1.14)

Współczynnik proporcjonalności ρ(x) jest często potocznie nazywany „prawdopodobieństwem otrzymania x”. Jest to jednak nieprecyzyjne określenie i znacznie lepszym terminem jest gęstość prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo, że x leży między a i b (przedział domknięty) jest określone całką z ρ(x):

(1.15)

a reguły określone uprzednio dla rozkładów dyskretnych można zapisać w oczywisty sposób:

(1.16)

(1.17)

(1.18)

(1.19)

Przykład 1.2

Załóżmy, że ktoś zrzucił kamień z urwiska o wysokości h. Gdy kamień spada, robię milion zdjęć w losowych odstępach czasu. Na każdym zdjęciu mierzę odległość, jaką pokonał spadający kamień.

Pytanie: Jaka jest średnia tych wszystkich odległości? To znaczy, jaki jest średni czas przebytej odległości?[16]

Rozwiązanie. Początkowo kamień znajduje się w spoczynku i zaczyna nabierać prędkości, gdy spada. Tak więc w pobliżu szczytu znajduje się dłuższy przedział czasu, a średnia odległość będzie z pewnością mniejsza niż h/2. Jeśli zaniedbam opór powietrza, odległość x przebytą w czasie t mogę opisać wzorem:

Prędkość to dx/dt = gt, a całkowity czas spadania kamienia wynosi Prawdopodobieństwo, że zdjęcie zostało wykonane pomiędzy t i t + dt jest równe dt/T, tak więc prawdopodobieństwo, że zdjęcie pokazuje przebytą odległość pomiędzy x i x + dx wynosi:

Gęstość prawdopodobieństwa (równanie (1.14)) opisuje zatem wyrażenie:

(oczywiście poza tym przedziałem gęstość prawdopodobieństwa jest równa zeru).

Możemy sprawdzić ten wynik, wykorzystując równanie (1.16):

Średnia odległość (równanie (1.17)) wynosi:

co jest mniejsze niż h/2, jak wcześniej przypuszczaliśmy.

Na rysunku 1.7 jest pokazany wykres ρ(x). Zauważ, że gęstość prawdopodobieństwa może być nieskończona, aczkolwiek samo prawdopodobieństwo (całka z ρ) musi oczywiście być skończone i w rzeczywistości – mniejsze lub równe 1.

Rysunek 1.7. Gęstość prawdopodobieństwa z przykładu 1.2:

*

Zadanie 1.1. Dla rozkładu wieku osób jak w przykładzie w punkcie 1.3.1:

(a) Oblicz j 2 oraz j^2.

(b) Określ ∆j dla każdego j oraz wykorzystaj równanie (1.11) do obliczenia odchylenia standardowego.

(c) Wykorzystaj wyniki z punktów (a) i (b) do sprawdzenia równania (1.12).

Zadanie 1.2

(a) Znajdź odchylenie standardowe rozkładu z przykładu 1.2.

(b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrane zdjęcie będzie pokazywać odległość x większą o więcej niż jedno odchylenie standardowe od średniej?

*

Zadanie 1.3. Rozważ rozkład gaussowski

gdzie A, a oraz λ są dodatnimi stałymi (zestawienie potrzebnych całek znajdziesz na końcu, na wewnętrznej stronie okładki).

(a) Wykorzystaj równanie (1.16) do wyznaczenia A.

(b) Znajdź x^2, x^2 oraz σ.

(c) Narysuj wykres ρ(x).

1.4. Normalizacja

Wracamy teraz do statystycznej interpretacji funkcji falowej (równanie (1.3)), która mówi, że |Ψ(x, t )|2 jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie x w czasie t. Wynika z tego (równanie (1.16)), że całka z |Ψ|2 po wszystkich x musi wynosić 1 (cząstka musi gdzieś być):

(1.20)

Bez tego interpretacja statystyczna nie miałaby sensu.

Jednak ten wymóg powinien cię niepokoić. W końcu funkcja falowa ma być określona równaniem Schrödingera. Nie możemy narzucać warunków zewnętrznych na Ψ bez sprawdzania, czy oba są spójne. Spójrz na równanie (1.1), a dostrzeżesz, że jeśli Ψ(x, t ) jest rozwiązaniem, to jest nim także AΨ(x, t ), gdzie A jest dowolną (zespoloną) stałą. Musimy zatem wybrać taką wartość tego nieokreślonego mnożnika, dla której równanie (1.20) jest spełnione. Proces ten nazywa się normowaniem funkcji falowej. Dla niektórych rozwiązań równania Schrödingera całka jest nieskończona. W takim przypadku żaden czynnik mnożnikowy nie sprawi, że całka będzie równa 1. Dotyczy to także trywialnego rozwiązania Ψ = 0. Takie nienormowalne rozwiązania nie mogą reprezentować cząstek i muszą zostać odrzucone. Fizycznie możliwe do zrealizowania stany odpowiadają całkowalnym z kwadratem rozwiązaniom równania Schrödingera[17].

Ale poczekaj chwilkę! Załóżmy, że unormowałem funkcję falową dla czasu t = 0. Skąd mam wiedzieć, że pozostanie ona unormowana w miarę upływu czasu i zmian Ψ? (Nie można ciągle ponownie normować funkcji falowej, ponieważ A staje się funkcją t i nie masz już rozwiązania równania Schrödingera). Na szczęście równanie Schrödingera ma niezwykłą właściwość polegającą na tym, że automatycznie zachowuje normalizację funkcja falowej. Bez tej kluczowej cechy równanie Schrödingera byłoby niezgodne z interpretacją statystyczną, a cała teoria by się rozpadła.

Jest to bardzo istotne, więc omówmy dokładny dowód. Zacznijmy od równania:

(1.21)

(Zauważ, że całka jest funkcją tylko t, więc używam pochodnej zupełnej (d/dt ) po lewej stronie, ale funkcja podcałkowa jest już funkcją zarówno x, jak i t, więc po prawej równania występuje pochodna cząstkowa (/t ).) Korzystamy ze wzoru na pochodną iloczynu:

(1.22)

Zgodnie z równaniem Schrödingera:

(1.23)

a zatem także (biorąc sprzężenie zespolone równania (1.23))

(1.24)

a więc

(1.25)

Można teraz obliczyć całkę z równania (1.21):

(1.26)

Jednak Ψ(x, t ) musi dążyć do zera, gdy x dąży do (±) nieskończoności – w przeciwnym razie funkcja falowa nie byłaby normowalna[18]. Wynika z tego, że:

(1.27)

a zatem, że całka jest stała (niezależna od czasu). Jeśli Ψ jest unormowana dla t = 0, to pozostaje unormowana dla całego przyszłego czasu. QED

Zadanie 1.4. W czasie t = 0 cząstka jest reprezentowana funkcją falową:

gdzie A, a oraz b są dodatnimi stałymi.

(a) Znormalizuj Ψ, czyli znajdź A w zależności od a i b.

(b) Narysuj wykres Ψ(x, t ) jako funkcją x.

(c) Określ najbardziej prawdopodobne położenie cząstki w czasie t = 0.

(d)

Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia cząstki na lewo od a? Sprawdź swój wynik dla ograniczonych przypadków b = a i b = 2a.

(e) Jaka jest wartość oczekiwana x?

Zadanie 1.5. Rozważ następującą funkcję falową:

gdzie A, λ oraz ω są dodatnimi stałymi. (W rozdziale 2 zobaczymy, dla jakiego potencjału (V) ta funkcja falowa spełnia równanie Schrödingera.)

(a) Znormalizuj Ψ.

(b) Określ wartości oczekiwane x i x^2.

(c) Znajdź odchylenie standardowe x. Naszkicuj wykres |Ψ|2 w funkcji x i zaznacz punkty (x + σ) oraz (x – σ), aby zilustrować, w jaki sposób σ reprezentuje „rozrzut” x. Jakie jest prawdopodobieństwo, że cząstka zostanie znaleziona poza tym zakresem?

1.5. Pęd

Dla cząstki znajdującej się w stanie Ψ wartość oczekiwana x wynosi:

(1.28)

Co to dokładnie oznacza to równanie? To zdecydowanie nie oznacza, że jeśli wykonałbyś wielokrotnie pomiar położenia jednej cząstki, to całka byłaby średnią wyników, które byś otrzymał. Wręcz przeciwnie. Pierwszy pomiar (którego wynik jest nieokreślony) spowoduje redukcję funkcji falowej do piku przy faktycznie uzyskanej wartości, a kolejne pomiary, jeśli zostaną wykonane szybko, po prostu dadzą ten sam wynik. Wartość x jest raczej średnią z pomiarów wykonanych na wszystkich cząstkach znajdujących się stanie Ψ, co oznacza, że albo musisz znaleźć jakiś sposób na przywrócenie cząstki do jej pierwotnego stanu po każdym pomiarze, albo musisz przygotować cały zestaw cząstek znajdujących się w tym samym stanie Ψ i zmierzyć położenie ich wszystkich: x jest średnią z takich wyników. Lubię wyobrażać sobie rząd butelek na półce, z których każda zawiera cząstkę w stanie Ψ (w odniesieniu do środka butelki). Do każdej butelki przypisany jest student z linijką i na sygnał wszyscy mierzą położenie swoich cząstek. Następnie tworzymy histogram wyników, który powinien pasować do |Ψ|2, i obliczamy średnią, która powinna wynosić x. (Oczywiście, ponieważ używamy tylko skończonej próbki, nie możemy oczekiwać idealnej zgodności, jednak im więcej butelek użyjemy, tym większą zgodność powinniśmy uzyskać.) Krótko mówiąc, wartość oczekiwana jest średnią z pomiarów wykonanych na zespole identycznie przygotowanych systemów, a nie średnią z wielu powtarzanych pomiarów wykonanych na tym samym systemie.

Ponieważ Ψ zależy od czasu, zatem w miarę upływu czasu x zmienia się i możemy być zainteresowani tym, z jaką prędkością się porusza. Odnosząc się do równań (1.25) i (1.28), można zauważyć, że[19]:

(1.29)

Wyrażenie to można uprościć, korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części[20]:

(1.30)

(Wykorzystałem fakt, że x/x = 1 i odrzuciłem granice całkowania, opierając się na tym, że Ψ dąży do zera dla ±∞). Wykonując kolejne całkowanie przez części na drugim elemencie, otrzymujemy:

(1.31)

Co oznacza taki wynik? Zauważ, że mówimy o „prędkości” wartości oczekiwanej x, która nie jest tym samym co prędkość cząstki. Nic, co do tej pory mówiliśmy, nie pozwoliłoby nam obliczyć prędkości cząstki. Nie jest nawet jasne, co oznacza prędkość w mechanice kwantowej. Jeśli (przed pomiarem) cząstka nie ma określonego położenia, to nie ma również dobrze określonej prędkości. Jedyne, o czym moglibyśmy zasadnie mówić, to prawdopodobieństwo uzyskania określonej wartości. W rozdziale 3 zobaczymy, jak skonstruować gęstość prawdopodobieństwa prędkości dla danej Ψ. Na razie wystarczy postulować, że wartość oczekiwana prędkości jest równa pochodnej po czasie z wartości oczekiwanej położenia:

(1.32)

Wykorzystując równanie (1.31), można obliczyć v wprost z Ψ.

W rzeczywistości zwykle stosuje się pęd (p = mv), a nie prędkość:

(1.33)

Napiszmy teraz wyrażenie na x i p w bardziej sugestywny sposób:

(1.34)

(1.35)

Mówimy, że operator[21] x „reprezentuje” położenie, a operator –iħ(/x) „reprezentuje” pęd. W celu obliczenia wartości oczekiwanych musimy umieścić odpowiedni operator pomiędzy Ψ i Ψ* i scałkować.

To urocze, ale co z innymi wartościami? Faktem jest, że wszystkie klasyczne zmienne dynamiczne można wyrazić za pomocą położenia i pędu. Na przykład energię kinetyczną opisuje wzór:

a moment pędu:

(to ostatnie wyrażenie nie występuje oczywiście w przypadku ruchu w jednym wymiarze). W celu obliczenia wartości oczekiwanej dowolnej takiej wielkości, Q(x, p), po prostu zamieniamy każde p na –iħ(/x), wstawiamy wynikowy operator pomiędzy Ψ a Ψ* i całkujemy:

(1.36)

Na przykład, wartość oczekiwana energii kinetycznej wynosi:

(1.37)

Równanie (1.36) pozwala na obliczanie wartości oczekiwanej dowolnej wielkości dynamicznej dla cząstki w stanie Ψ. Równania (1.34) i (1.35) są przypadkami szczególnymi tego równania. Próbowałem przedstawić równanie (1.36) w wiarygodny sposób, uwzględniając statystyczną interpretację Borna. Jest to jednak naprawdę radykalnie nowy sposób myślenia (w porównaniu z mechaniką klasyczną) i dobrym pomysłem jest nabycie wprawy w stosowaniu go przed omówieniem mocniejszych podstaw teoretycznych w rozdziale 3. Tymczasem, jeśli wolisz myśleć o tym jak o aksjomacie, nie mam nic przeciwko.

Zadanie 1.6. Dlaczego nie możesz wykonać całkowania przez części bezpośrednio na środkowym wyrażeniu w równaniu (1.29), czyli wyciągnąć pochodnej po czasie przed x, zauważyć, że x/t = 0, i wnioskować, że dx/dt = 0?

*

Zadanie 1.7. Oblicz dp/dt. Odpowiedź:

(1.38)

Jest to przykład twierdzenia Ehrenfesta, które stwierdza, że wartości oczekiwane są zgodne z klasycznymi prawami [22].

Zadanie 1.8. Załóżmy, że dodajesz stałą V_0 do energii potencjalnej (przez „stałą” mam na myśli wartość niezależną od x oraz t ). W mechanice klasycznej nic to nie zmienia, ale co z mechaniką kwantową? Pokaż, że funkcja falowa przyjmuje zależny od czasu współczynnik fazy: exp(−iV_0t / ħ ). Jaki to ma wpływ na wartość oczekiwaną zmiennej dynamicznej?

1.6. Zasada nieoznaczoności

Wyobraź sobie, że trzymasz jeden koniec bardzo długiej liny i generujesz falę, potrząsając końcem liny rytmicznie w górę i w dół (rysunek 1.8). Gdyby ktoś zapytał: „Gdzie dokładnie jest ta fala?”, prawdopodobnie pomyślałbyś, że jest trochę szalony. Fala nie jest nigdzie dokładnie. Rozciąga się na około 50 stóp. Lecz gdyby zapytał cię, jaka jest długość fali, mógłbyś dać mu rozsądną odpowiedź, że to około 6 stóp. Gdybyś natomiast gwałtownie szarpną liną (rysunek 1.9), spowodowałoby to powstanie stosunkowo wąskiego piku przemieszczającego się wzdłuż liny. Tym razem to pierwsze pytanie (gdzie dokładnie jest fala?) jest sensowne, natomiast drugie ( jaka jest długość fali?) wydaje się szalone. Trudno nawet określić, jak możesz przypisać takiemu pikowi długość fali. Oczywiście możesz narysować przypadki pośrednie, w których fala jest dość dobrze zlokalizowana, a długość fali jest dość dobrze określona. Prowadzi to jednak do nieuniknionego kompromisu. Im dokładniej zostanie określone położenie fali, tym mniej dokładnie można podać jej długość i vice versa[23]. Twierdzenie z analizy Fouriera czyni to wszystko rygorystycznym, ale na razie zajmuję się tylko argumentem jakościowym.

Rysunek 1.8. Fala o (dość) dobrze określonej długości fali, ale o słabo określonym położeniu

Rysunek 1.9. Fala o dość dobrze określonym położeniu, ale o słabo określonej długości fali

Odnosi się to oczywiście do każdego zjawiska falowego, a zatem w szczególności do kwantowej funkcji falowej. Jednak długość fali jest związana z pędem cząstki wzorem de Broglie’a[24]:

(1.39)

Zatem rozproszenie długości fali odpowiada rozproszeniu pędu, a nasza ogólna obserwacja mówi teraz, że im dokładniej określone jest położenie cząstki, tym mniej precyzyjnie określony jest jej pęd. Ilościowo jest to opisane wzorem:

(1.40)

gdzie σx to odchylenie standardowe x, a σp to odchylenie standardowe p. Jest to słynna zasada nieoznaczoności Heisenberga. (Udowodnimy ją w rozdziale 3, ale chciałem od razu o niej wspomnieć, abyś mógł to przetestować na przykładach z rozdziału 2).

Proszę zrozumieć, co oznacza zasada nieoznaczoności: pomiary pędu, podobnie jak pomiary położenia, dają dokładne odpowiedzi – „rozrzut” odnosi się tutaj do faktu, że pomiary wykonane na identycznie przygotowanych systemach nie dają identycznych wyników. Jeśli chcesz, to możesz określić stan, w którym pomiary położenia będą skupione bardzo blisko siebie (czyniąc Ψ zlokalizowanym „pikiem”), jednak będzie to okupione tym, że pomiary pędu w takim stanie będą bardzo rozproszone. Możesz oczywiście (przyjmując Ψ jako długą falę sinusoidalną) określić stan z ustalonym pędem, ale w takim przypadku pomiary położenia będą szeroko rozproszone. I oczywiście, jeśli jesteś w naprawdę złym nastroju, to możesz stworzyć stan, dla którego ani pozycja, ani pęd nie będą dobrze określone. Wyrażenie (1.40) jest nierównością i nie ma ograniczenia co do wielkości σx i σp – wystarczy po prostu określić Ψ jako długą i krętą linię z mnóstwem wypukłości i dziur, bez okresowej struktury.

*

Zadanie 1.9. Cząstka o masie m jest opisana następującą funkcję falową:

gdzie A oraz a to dodatnie stałe rzeczywiste.

(a) Znajdź A.

(b) Dla jakiej funkcji energii potencjalnej V(x) jest to rozwiązaniem równania Schrödingera?

(c)

Oblicz wartości oczekiwane x, x^2, p i p^2.

(d) Znajdź σx i σp. Czy ich iloczyn jest zgodny z zasadą nieoznaczoności?

Dodatkowe zadania do rozdziału 1

Zadanie 1.10. Rozważ początkowe 25 cyfr w dziesiętnym rozwinięciu liczby π (3, 1, 4, 1, 5, 9, …).

(a) Jeśli wybrałeś losowo jedną cyfrę z tego zestawu, jakie są szanse na uzyskanie każdej z 10 cyfr?

(b) Jaka jest najbardziej prawdopodobna cyfra? Jaka jest mediana? Jaka jest wartość średnia?

(c) Znajdź odchylenie standardowe tego rozkładu.

Zadanie 1.11. (Zadanie to jest uogólnieniem zadania 1.2). Wyobraź sobie cząstkę o masie m i energii E w studni potencjału V(x), ślizgającą się bez tarcia w przód i w tył między klasycznymi punktami zwrotu (a i b na rysunku 1.10). Klasycznie prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w przedziale dx (na przykład poprzez wykonanie zdjęcia w losowej chwili t ) jest równe ułamkowi czasu T potrzebnego do przejścia od a do b, który cząstka spędza w przedziale dx:

(1.41)

gdzie v(x) jest prędkością, a

(1.42)

Zatem

(1.43)

Rysunek 1.10. Klasyczna cząstka w studni potencjału

Jest to być może najbliższy klasyczny analog[25] |Ψ|2.

(a) Wykorzystaj zasadę zachowania energii do wyrażenia v(x) za pomocą E i V(x).

(b) Jako przykład, znajdź ρ(x) dla prostego oscylatora harmonicznego, V(x) = kx^2/2. Narysuj wykres ρ(x) i sprawdź, czy jest poprawnie unormowany.

(c) Dla klasycznego oscylatora harmonicznego z punktu (b) znajdź x, x^2 i σx.

**

Zadanie 1.12. Co by było, gdybyśmy byli zainteresowani rozkładem pędu (p = mv) dla klasycznego oscylatora harmonicznego (zadanie 1.11(b))?

(a) Znajdź klasyczny rozkład prawdopodobieństwa ρ(p) (zwróć uwagę, że p zawiera się w przedziale od do

(b) Oblicz p, p^2 i σp.

(c) Ile wynosi iloczyn klasycznej niepewności σxσp dla tego układu? Zauważ, że przy podejściu klasycznym iloczyn ten może być tak mały, jak chcesz, po prostu zakładając, że E → 0. Jednak w mechanice kwantowej, jak zobaczymy w rozdziale 2, energia prostego oscylatora harmonicznego nie może być mniejsza niż ħω/2, gdzie jest klasyczną częstością. Co w takim razie możesz powiedzieć o iloczynie σxσp?

Zadanie 1.13. Porównaj wyniki uzyskane w zadaniu 1.11(b) z następującym „eksperymentem numerycznym”. Pozycja oscylatora w czasie t wynosi:

(1.44)

Równie dobrze możesz przyjąć ω = 1 (co określa skalę czasu) i A = 1 (co określa skalę odległości). Wykonaj wykres x dla 10 000 losowych chwil czasowych i porównaj go z ρ(x). Wskazówka: W programie Mathematica najpierw zdefiniuj:

x[t_] := Cos[t]

następnie tabelę położenia:

snapshots = Table[x[π RandomReal[j]], {j, 10000}]

a na końcu wyznacz histogram z danych:

Histogram[snapshots, 100, „PDF”, PlotRange → {0,2}]

W międzyczasie narysuj wykres funkcji gęstości ρ(x) i wykorzystując polecenie Show, nałóż je na siebie.

Zadanie 1.14. Niech Pab(t ) będzie prawdopodobieństwem znalezienia cząstki w przedziale (a < x < b) w czasie t.

(a) Pokaż, że

gdzie:

W jakich jednostkach jest wyrażone J(x, t )? Komentarz: J jest nazywane prądem prawdopodobieństwa, ponieważ odnosi się do natężenia, z jakim prawdopodobieństwo „płynie” poza punkt x. Jeśli Pab(t ) rośnie, to więcej prawdopodobieństwa wpływa do obszaru z jednego końca niż wypływa z drugiego.

(b) Znajdź prąd prawdopodobieństwa dla funkcji falowej z zadania 1.9. (Obawiam się, że nie jest to zbyt treściwy przykład, w dalszej części zostały zamieszczone poważniejsze zadania.)

Zadanie 1.15. Wykaż, że:

dla dowolnej pary Ψ_1 i Ψ_2 unormowanych rozwiązań równania Schrödingera, z takim samym V(x).

Zadanie 1.16. W czasie t cząstka jest reprezentowana funkcją falową:

(a) Wyznacz stałą normalizacji A.

(b) Jaka jest wartość oczekiwana x?

(c) Jaka jest wartość oczekiwana p? Zauważ, że nie możesz otrzymać jej z x = m dx/dt. Dlaczego?

(d) Znajdź wartość oczekiwaną x^2.

(e) Znajdź wartość oczekiwaną p^2.

(f) Znajdź niepewność w x (σx).

(g) Znajdź niepewność w p.

(h) Sprawdź, czy wyniki są zgodne z zasadą nieoznaczoności.

**

Zadanie 1.17. Załóżmy, że chcesz opisać niestabilną cząstkę, która spontanicznie rozpada się po upływie jej „czasu życia” τ. W takim przypadku całkowite prawdopodobieństwo znalezienia gdzieś cząstki nie powinno być stałe i powinno maleć, załóżmy w tempie wykładniczym:

Prosty sposób otrzymania takiego wyniku jest następujący. W równaniu (1.24) milcząco przyjęliśmy, że V (energia potencjalna) jest rzeczywista. Jest to z pewnością uzasadnione, ale prowadzi do „zachowania prawdopodobieństwa” określnego w równaniu (1.27). Co będzie, jeśli przypiszemy V część urojoną:

gdzie V_0 jest prawdziwą energią potencjalną, a Γ jest dodatnią stałą rzeczywistą?

(a) Pokaż, że zamiast równania (1.27) możemy otrzymać:

(b) Rozwiąż to równanie dla P(t ) i znajdź czas życia cząstki wyrażony za pomocą Γ.

Zadanie 1.18. Z grubsza rzecz ujmując, mechanika kwantowa jest ma znaczenie, gdy długość fali de Broglie’a danej cząstki (h/p) jest większa niż charakterystyczny rozmiar układu (d). W równowadze termicznej w temperaturze T (w kelwinach) średnia energia kinetyczna cząstki wynosi:

(gdzie kB jest stałą Boltzmanna), więc typowa długość fali de Broglie’a to:

(1.45)

Celem tego zadania jest określenie, które układy będą musiały być traktowane zgodnie z mechaniką kwantową, a które można bezpiecznie opisać w sposób klasyczny.

(a) Ciała stałe. Stała sieci krystalicznej w typowym ciele stałym jest równa około d = 0,3 nm. Znajdź temperaturę, poniżej której niezwiązane[26] elektrony w ciele stałym należy traktować zgodnie z mechaniką kwantową. Poniżej jakiej temperatury jądra atomów w ciele stałym należy traktować zgodnie z mechaniką kwantową? (Jako przykładu użyj krzemu).

Morał: wolne elektrony w ciele stałym zawsze należy traktować kwantowo, podczas gdy jądra zasadniczo nie. To samo dotyczy cieczy (dla których odstępy międzyatomowe są w przybliżeniu takie same), z wyjątkiem helu poniżej 4 K.

(b) Gazy. Dla jakich temperatur atomy w gazie doskonałym pod ciśnieniem p należy traktować kwantowo? Wskazówka: Wykorzystaj prawo dla gazu doskonałego ( p V = N kB T) do określenia odstępów międzyatomowych.

Odpowiedź: T < (1 / kB)(h^2 / 3m)3/5 p2/5. Oczywiście, jeśli gaz ma zachowywać się kwantowo, to chcemy, by m była jak najmniejsza, a p tak duże, jak to możliwe. Podaj wartości dla helu pod ciśnieniem atmosferycznym. Czy wodór w przestrzeni kosmicznej (gdzie odstęp międzyatomowy wynosi około 1 cm, a temperatura wynosi co najmniej 3 K) należy traktować zgodnie z mechaniką kwantową? (Załóż, że jest to wodór zbudowany z pojedynczych atomów, a nie H_2).

Przypisy

[1] Nakładem WN PWN ukazało się w 2001 r. tłumaczenie w języku polskim trzeciego wydania tej książki (przyp. red.).

[2] Taka struktura została zainspirowana lekturą klasycznego tekstu autorstwa David Parksa: Introduction to the Quantum Theory, wyd. 3, McGraw-Hill, New York (1992).

[3] Angielski termin thermal physics oznacza połączenie termodynamiki, mechaniki statystycznej i kinetycznej teorii gazów (przyp. red.).

[4] Siły magnetyczne są wyjątkiem, w tym miejscu książki nie będą jednak jeszcze rozpatrywane. Nawiasem mówiąc, w całej tej książce założono, że ruch jest nierelatywistyczny (v  c).

[5] Wyborne informacje z pierwszej ręki o pochodzeniu równania Schrödingera można znaleźć w artykule autorstwa Felixa Blocha opublikowanego w Physics Today w grudniu 1976 r.

[6] Sama funkcja falowa jest zespolona, lecz |Ψ|2 = Ψ* Ψ (gdzie Ψ* jest funkcją sprzężoną do Ψ) jest rzeczywiste i nieujemne, czyli taka, jakie z oczywistych powodów musi być prawdopodobieństwo.

[7] Oczywiście żaden przyrząd pomiarowy nie jest idealnie dokładny. Mam na myśli to, że cząstka została znaleziona w pobliżu C z dokładnością, którą umożliwia sprzęt.

[8] Bernard d’Espagnat, The quantum theory and reality, Scientific American, listopad 1979, str. 165.

[9] Zacytowane w błyskotliwym artykule autorstwa N. Davida Mermina, Is the moon there when nobody looks?, Physics Today, kwiecień 1985, str. 38.

[10] Ibid., str. 40.

[11] Jest to trochę zbyt mocne stwierdzenie. Istnieją realne nielokalne teorie zmiennych ukrytych (zwłaszcza Davida Bohma) i inne sformułowania (takie jak interpretacja wielu światów), które nie pasują do żadnej z moich trzech kategorii. Uważam jednak, że rozsądne jest, przynajmniej z pedagogicznego punktu widzenia, przyjąć jasną i spójną platformę na tym etapie, a inne możliwości rozpatrzyć później.

[12] Rola pomiaru w mechanice kwantowej jest tak krytyczna i tak dziwna, że można się zastanawiać, czym dokładnie jest pomiar. Nawiązanie do tego problemu zostało zamieszczone w posłowiu. Na razie spójrzmy na niego naiwnie: pomiar jest czymś, co naukowiec w białym fartuchu wykonuje w laboratorium, używając z linijki, stopera, licznika Geigera i tym podobnych.

[13] Ponieważ długość fali elektronów jest zazwyczaj bardzo mała, szczeliny muszą być bardzo blisko siebie. Historycznie zostało to osiągnięte w 1925 r. przez Davissona i Germera, którzy jako „szczeliny” wykorzystali warstwy atomowe w krysztale. Dla zainteresowanych, zobacz R.K. Gehrenbeck, Physics Today, styczeń 1978, str. 34.

[14] Zobacz: Tonomura i in., American Journal of Physics, 57, 2, 117–120 (1989) oraz niesamowite wideo na https://www.hitachi.com/rd/research/materials/quantum/doubleslit/index.html. Eksperyment ten można teraz wykonać przy użyciu cząstek o znacznie większej masie, w tym „kul Bucky’ego”. Zobacz M. Arndt i in., Nature, 40, 680 (1999). Nawiasem mówiąc, to samo można zrobić ze światłem. Należy zmniejszyć natężenie światła, tak by w danej chwili był tylko jeden „foton”, a otrzymany identyczny wzór interferencyjny. Zobacz R.S. Aspden, M.J. Padgett i G.C. Spalding, Am. J. Phys., 84, 671 (2016).

[15] Uważam za istotne odróżnienie takich zjawisk jak interferencja i dyfrakcja, które miałyby zastosowanie w dowolnej teorii fal, począwszy od niepowtarzalnych cech procesu pomiarowego w mechanice kwantowej, które wynikają z interpretacji statystycznej.

[16] Statystyk będzie miał uwagi dotyczące tego, że mylę średnią ze skończonej próbki (w tym przypadku miliona) z „prawdziwą” średnią (w całym continuum). Może to być niezręczny problem dla eksperymentatora, szczególnie gdy wielkość próby jest niewielka. Jednak w tym przypadku chodzi mi tylko o prawdziwą średnią, której średnia próbki jest prawdopodobnie dobrym przybliżeniem.

[17] Najwyraźniej Ψ(x, t ) musi dążyć do zera szybciej niż gdy |x| → ∞. Nawiasem mówiąc, normalizacja naprawia tylko moduł A, faza pozostaje nieokreślona. Jednak, jak zobaczymy, i tak nie ma to fizycznego znaczenia.

[18] Kompetentny matematyk mógłby przedstawić patologiczne kontrprzykłady, nie są one jednak istotne w fizyce. Dla nas funkcja falowa i wszystkie jej pochodne dążą do zera w nieskończoności.

[19] W celu uproszczenia pominąłem granice całkowania (± ∞).

[20] Zgodnie z twierdzeniem o pochodnej iloczynu:

na podstawie którego wynika:

Zatem pod znakiem całki możesz odłączyć pochodną od jednego czynnika w iloczynie i dołożyć ją do drugiego czynnika. Konieczna będzie zmiana znaku i określenie granic całkowania.

[21] „Operator” to instrukcja wykonania czegoś w stosunku do funkcji, która jest za nim. Operator przyjmuje jedną funkcję i daje w rezultacie inną funkcję. Operator położenia nakazuje pomnożenie przez x, a operator pędu każe policzyć pochodną względem x i pomnożyć wynik przez −iħ.

[22] Niektórzy autorzy ograniczają to twierdzenie do pary równań p = m dx/dt oraz −V/x = dp/dt.

[23] Dlatego grający na flecie piccolo musi trafić dokładnie w wysokość tonu, podczas gdy kontrabasista może sobie pozwolić na założenie rękawic ogrodowych. W przypadku piccolo sześćdziesięcioczwórka obejmuje wiele pełnych cykli, a częstotliwość (odnosimy się teraz do dziedziny czasu zamiast przestrzeni) jest dobrze określona. Tymczasem dla basu, przy znacznie niższym rejestrze, sześćdziesięcioczwórka obejmuje tylko kilka cykli, a wszystko, co słyszysz, to pewnego rodzaju „oomph” bez bardzo wyraźnego tonu.

[24] Wyjaśnienie tego zostało zamieszczone w dalszej części. Wielu autorów przyjmuje formułę de Broglie’a jako aksjomat, z którego następnie wnioskują związek pędu z operatorem –iħ(/x). Chociaż jest to koncepcyjnie czystsze podejście, to wiąże się z pewnymi komplikacjami matematycznymi.

[25] Jeśli chcesz, to zamiast zdjęć jednego systemu w przypadkowych momentach, wyobraź sobie zestaw takich systemów, wszystkie z tą samą energią, ale z losowymi położeniami początkowymi i sfotografuj je wszystkie w tym samym czasie. Taka analiza jest identyczna, jednak taka interpretacja jest bliższa kwantowemu pojęciu nieokreśloności.

[26] W ciele stałym wewnętrzne elektrony są powiązane z określonym jądrem, a odpowiednim dla nich rozmiarem byłby promień atomu. Jednak najbardziej zewnętrzne elektrony nie są przyłączone i odpowiednią dla nich odległością jest stała sieci krystalicznej. Ten problem dotyczy elektronów zewnętrznych.