Strony tytułowe zaprojektowała

Joanna Gwis

Przygotowanie wydania rozszerzonego

Monika Bielska-Łach

Copyright © by

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 1998, 2005

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2005 r., (wyd. VIII)

Warszawa 2020

ISBN 978-83-01-21096-0

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321, faks 22 69 54 288

infolinia 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl; reklama@pwn.pl

www.pwn.pl

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwa Naukowego PWN: mobisfera.pl

Spis treści

Słowo wstępne

Rozdział 1. Logiczne własności zdań

1.1. Wartość logiczna zdania. Zdanie analityczne. Związki analityczne między zdaniami

1.2. Prawda logiczna. Wynikanie logiczne. Logiczna forma zdania

1.3. Logika formalna a językoznawstwo. Logiczna kompetencja językowa

Rozdział 2. Rachunek zdań

2.1. Spójniki prawdziwościowe. Prawdziwościowe schematy zdań

2.2. Tautologie rachunku zdań. Metoda zerojedynkowa

2.3. Aksjomatyczna postać rachunku zdań. Najprostsze prawa logiki zdań

Rozdział 3. Rachunek kwantyfikatorów

3.1. Symbolika rachunku kwantyfikatorów. Kwantyfikatorowe schematy zdań

3.2. Tautologie rachunku kwantyfikatorów

3.3. Aksjomatyczna postać rachunku kwantyfikatorów. Najprostsze prawa logiki kwantyfikatorów

Rozdział 4. Granice logiki. Język a komunikacja

4.1. Języki naturalne i sztuczne

4.2. Pytania, rozkazy, oceny

4.3. Nieekstensjonalność

4.4. Wieloznaczność

4.5. Okazjonalność

4.6. Implikatury konwersacyjne

4.7. Interpretacja a znaczenie językowe

4.8. Antynomia kłamcy

4.9. Problem poprawności wnioskowania

Dodatek. Rachunek zbiorów i relacji

1. Rachunek zbiorów

1.1. Teoriomnogościowe pojęcie zbioru. Ważniejsze rodzaje zbiorów

1.2. Stosunki między zbiorami. Działania na zbiorach

1.3. Prawa rachunku zbiorów

1.4. Algebra Boole’a zbiorów

1.5. Podział zbioru

2. Rachunek relacji

2.1. Podstawowe pojęcia teorii relacji. Ważniejsze rodzaje relacji

2.2. Działania na relacjach i układach relacja–zbiór

3. Teoria mnogości a aparat pojęciowy nauki

Słowo wstępne

Podręcznik ten jest przeznaczony dla osób, które zamierzają przyswoić sobie podstawowe wiadomości z dziedziny logiki formalnej, a nadto dowiedzieć się, jaki wkład wnosi ta dyscyplina do współczesnej wiedzy o języku. Zakres i sposób, w jaki prezentuję tu centralne części klasycznej logiki – rachunek zdań i rachunek kwantyfikatorów – nie odbiega pod żadnym istotnym względem od ujęć stosowanych w innych elementarnych podręcznikach. Sposób natomiast, w jaki przedstawiam związki między logiką formalną a nowoczesnym językoznawstwem teoretycznym, a także sugestie dotyczące rozwiązania pewnych problemów logicznych, z jakimi musi się uporać opis języka naturalnego, wyrażają moje własne stanowisko w tych dyskusyjnych kwestiach. Różni się ono nie tylko od poglądów wielu lingwistów, lecz także od rozstrzygnięć preferowanych przez niektórych logików. Różnice te sygnalizuję w odpowiednich miejscach tekstu, nie referuję jednak szczegółowo odmiennych stanowisk w poruszanych sprawach.

Obecne, ósme wydanie tego podręcznika jest nieco zmienione i rozszerzone w stosunku do wydań wcześniejszych. Zmiany, które wprowadziłam w rozdziałach 1–3, są drobne i służą wyłącznie ulepszeniu tekstu pod względem dydaktycznym. Rozdział 4 natomiast został dość gruntownie przebudowany i znacznie poszerzony; nosi też nowy tytuł. Uzupełniłam go bowiem o problematykę, która w ostatnich dziesięcioleciach stała się nowym kontekstem badań logicznych nad językiem naturalnym. Ogólnie można scharakteryzować tę problematykę jako pytanie o granice, w których logika opisuje rzeczywiste akty rozumowania i komunikowania się ludzi za pomocą zwykłego, etnicznego języka. Moc wyjaśniająca logiki w tej empirycznej dziedzinie bywała przeceniana; przesadną reakcją na to są współczesne głosy proklamujące „koniec logiki” jako teorii naturalnej komunikacji językowej. Dlatego podjęłam tu próbę zarysowania owych granic logiki w sposób dostatecznie udokumentowany.

Podobnie jak w wydaniach poprzednich, książka ta zawiera jako Dodatek standardowy wykład podstawowego fragmentu teorii zbiorów. Znajomość niektórych pojęć teorii zbiorów zakładałam w różnych miejscach tego podręcznika; czytelnik, któremu są one obce, powinien sięgnąć do Dodatku. Znajdzie tam także wyjaśnienie wielu innych pojęć tej teorii, które warto poznać z uwagi na ich bardzo ogólny charakter, umożliwiający korzystanie z nich w każdej dziedzinie nauki, a właściwie w myśleniu i mówieniu o wszelkich sprawach. Uniwersalność zastosowań jest cechą wspólną głównych pojęć logiki i teorii zbiorów; podobieństwo obu dyscyplin pod tym ważnym względem przemawia za tym, by zapoznawać się z ich podstawami przy tej samej okazji.

Jako elementarny podręcznik logiki książka ta ma pewną poważną wadę: brak w niej tekstów zadań, których samodzielne rozwiązywanie ułatwiłoby czytelnikowi zapamiętanie i stosowanie w praktyce aparatu pojęciowego i metod logiki. Nie ma tu takich zadań, ponieważ dość obszerny ich zbiór przygotowałam i opublikowałam wcześniej; zbiór ten, zatytułowany Ćwiczenia z logiki, stanowi uzupełnienie niniejszego

podręcznika. Najnowsze, szesnaste wydanie Ćwiczeń z logiki zostało rozszerzone w sposób odpowiadający obecnemu, rozszerzonemu wydaniu Wprowadzenia do logiki formalnej.

Za cenne uwagi krytyczne do maszynopisu zawierającego pierwotną wersję tej książki jestem bardzo wdzięczna Profesorowi Marianowi Przełęckiemu oraz Profesorowi Jackowi Jadackiemu; dzięki tym uwagom jej opublikowana wersja ma znacznie mniej usterek.

grudzień 2004

Barbara Stanosz

ROZDZIAŁ 1Logiczne własności zdań

1.1. Wartość logiczna zdania. Zdanie analityczne. Związki analityczne między zdaniami

Zwykliśmy oceniać wypowiedzi językowe pod rozmaitymi względami. Często zwracamy uwagę na ich poprawność: gramatyczną, stylistyczną, czy też – w przypadku wypowiedzi pisemnej – ortograficzną. Czasem – zwłaszcza, gdy jest to wypowiedź literacka – zauważamy jej walory lub braki estetyczne. Oceniamy też wypowiedzi jako uporządkowane lub chaotyczne, rzeczowe lub nierzeczowe, interesujące lub banalne, szczere lub kłamliwe itp.

Szczególną jednak wagę przywiązujemy do trafnej oceny wypowiedzi pod względem jej wartości logicznej, tj. prawdziwości lub fałszywości. Prawdziwą nazywamy wypowiedź zgodną z faktycznym stanem rzeczy, tj. przypisującą przedmiotom, o których w niej mowa, tylko takie własności i relacje, jakie rzeczywiście im przysługują. Wypowiedzi fałszywe są niezgodne z odpowiednimi stanami rzeczy; prawdziwe są zaprzeczenia (negacje) tych wypowiedzi. Szczególna doniosłość rozróżnienia prawdy i fałszu wiąże się z tym, iż główną funkcją języka jest przekazywanie informacji o świecie, w którym żyjemy, i od poznania którego zależy zaspokojenie niemal każdej z naszych podstawowych potrzeb, zarówno cielesnych, jak duchowych. Znaczenie języka trudno pod tym względem przecenić. Dzięki niemu mamy dostęp do wiedzy gromadzonej przez wiele pokoleń; możemy poznać przedmioty i zjawiska przez nas samych nie obserwowane, a także zrozumieć je – mimo, iż nie badaliśmy ich sami – dostatecznie dobrze, by trafnie przewidywać fakty, które dopiero nastąpią.

Nośnikami informacji są zdania oznajmujące. Mniejsze jednostki językowe – słowa lub frazy – przenoszą informacje tylko wtedy, gdy pełnią rolę skrótów zdań oznajmujących. Wypowiedź wielozdaniowa natomiast jest nośnikiem informacji tylko wówczas, gdy można ją „przetłumaczyć” na zdanie oznajmujące, wiążąc odpowiednimi spójnikami (np. „i” czy „jeżeli…, to”) poszczególne zdania składające się na tę wypowiedź. Wolno więc przyjąć, że w dosłownym sensie prawdziwe lub fałszywe jest każde i tylko zdanie oznajmujące.

Nie dysponujemy żadną ogólną metodą odróżniania prawdy od fałszu. Korzystamy z rozmaitych kryteriów prawdy, przy czym kryteria te często bywają zawodne. Nawet w przypadku zdań zdających sprawę z bezpośrednio obserwowalnych stanów rzeczy zdarza się, iż błędnie oceniamy ich wartość logiczną. W jeszcze większej mierze dotyczy to zdań o minionych lub przyszłych stanach rzeczy, a także o takich, które z natury nie podlegają bezpośredniej obserwacji. Trafna ocena wartości logicznej zdań zawierających szczególnie ważne dla nas informacje jest w istocie podstawowym celem całej nauki. Nawet nauka jednak nie jest nieomylna. Stopień pewności informacji naukowej bywa różny, zależy bowiem od złożoności przedmiotu badań i zaawansowania metodologicznego danej dyscypliny, ale rzadko jest on bliski pewności całkowitej. Tym, czego stanowczo żądamy od nauki, jest dobre uzasadnienie jej twierdzeń, nie zaś ich absolutna pewność.

W każdym języku jednak istnieją zdania, których prawdziwość nie budzi wątpliwości żadnego biegłego użytkownika tego języka, niezależnie od zasobu jego wiedzy o rzeczywistości językowej. Filozofowie nazwali je zdaniami analitycznymi, definiując analityczność zdania jako jego prawdziwość na mocy znaczenia, które posiada ono w danym języku.[1] Oto przykład takiego zdania w języku polskim:

Jeżeli Jan jest starszy od Piotra, to Piotr jest młodszy od Jana. (1)

Gdyby ktokolwiek serio podawał w wątpliwość prawdziwość tego zdania, uznalibyśmy za oczywiste, że go nie rozumie, czy też że interpretuje je niezgodnie ze znaczeniem, jakie zdanie to w języku polskim posiada: np. nie chwyta związku znaczeniowego między wyrażeniami „jest starszy od” i „jest młodszy od”, albo przypisuje niewłaściwy sens spójnikowi „jeżeli…, to”. Zdania (1) nie można bowiem odrzucić (tj. uznać za prawdziwą jego negację), nie gwałcąc przysługującego mu w języku polskim znaczenia. Dotyczy to również np. zdania:

Jan jest starszy od Piotra lub nie jest starszy od Piotra. (2)

W tym przypadku o prawdziwości zdania przesądza sama jego struktura oraz sens słów „lub” i „nie”. W odróżnieniu od (1) nieistotne jest pod tym względem nawet znaczenie wyrażenia „jest starszy od”: (2) pozostałoby zdaniem analitycznym także wtedy, gdybyśmy zastąpili to wyrażenie (konsekwentnie, tj. w obu miejscach, w których występuje ono w (2)) dowolnym innym wyrażeniem należącym do tej samej kategorii syntaktycznej, np. „jest ojcem”, „jest zwierzchnikiem” itp.[2] W obu przypadkach natomiast równie nieistotne dla kwestii prawdziwości zdania są fakty pozajęzykowe, w szczególności to, czy Jan rzeczywiście jest, czy też nie jest starszy od Piotra.

Od faktów tego rodzaju nie zależą również pewne szczególne związki między wartościami logicznymi zdań, te mianowicie, które zachodzą wyłącznie na mocy znaczenia zdań. Nazywamy je związkami analitycznymi między zdaniami i wyróżniamy kilka rodzajów takich związków. By je zilustrować, rozważmy zależności zachodzące między wartościami logicznymi następujących zdań:

Jan jest starszy od Piotra, (3)

Jan jest młodszy od Piotra, (4)

Jan jest rówieśnikiem Piotra, (5)

Piotr jest młodszy od Jana, (6)

Jan nie jest starszy od Piotra, (7)

Jan jest starszy lub młodszy od Piotra, (8)

Jeżeli Jan nie jest starszy od Piotra, to jest rówieśnikiem Piotra. (9)

Żadne spośród zdań (3) – (9) nie jest analityczne. Nie są analityczne również negacje tych zdań. Aby którekolwiek z nich zasadnie uznać lub odrzucić, nie wystarczy znać język polski; trzeba nadto posiadać odpowiednią wiedzę o rzeczywistej relacji wieku Jana i Piotra. Sama znajomość języka pozwala natomiast ustalić, że wartości logiczne tych zdań nie są wzajemnie niezależne. I tak, wśród zdań (3) – (5) nie ma dwóch takich, które mogłyby być równocześnie prawdziwe; mówimy, że zdania te analitycznie wykluczają się parami. Każde dwa z nich mogą być jednak równocześnie fałszywe; nie dopełniają się one analitycznie parami. Zdania (3) i (6) muszą mieć tę samą wartość logiczną; są analitycznie równoważne. Dzięki temu zdania (4) – (6), podobnie jak (3) – (5), również wykluczają się, lecz nie dopełniają się parami. Jeżeli prawdziwe jest zdanie (4) lub zdanie (5), to prawdziwe musi być także zdanie (7); mówimy, iż (7) wynika analitycznie zarówno z (4), jak i z (5). Zdania (3) i (7) nie mogą mieć tej samej wartości logicznej; są one analitycznie sprzeczne wzajemnie. Ten sam związek zachodzi między (6) i (7). Zdanie (8) wynika analitycznie zarówno z (3), jak i z (4), jest natomiast analitycznie sprzeczne z (5). Analityczna sprzeczność zachodzi również między (4) i (9). Zdania (8) i (9) dopełniają się, lecz nie wykluczają wzajemnie. Wreszcie, jeśli prawdziwe jest zarówno zdanie (7), jak i zdanie (8), to musi być prawdziwe zdanie (4); powiemy, że ze zbioru zdań {(7), (8)} wynika analitycznie zdanie (4). W tym samym sensie ze zbioru zdań {(7), (9)} wynika analitycznie zdanie (5).

W analogiczny sposób można ustalić związki analityczne zachodzące między negacjami zdań (3) – (9). Pozostawiamy to Czytelnikowi jako ćwiczenie.

Zauważmy, że podobnie jak w przypadku naszych przykładowych zdań analitycznych (1) i (2), tak i przy ustalaniu związków analitycznych między zdaniami (3) – (9) znaczenie zwrotów wyrażających relacje wieku nie zawsze odgrywało istotną rolę. Korzystaliśmy z naszej znajomości znaczenia tych wyrażeń ustalając związki (nazwijmy je związkami typu A) zachodzące między zdaniami (3) – (5) oraz (4) – (6), a także między: (3) i (6), (4) i (7), (5 i (7), (6) i (7), (5) i (8), (4) i (9), (8) i (9). Nie musieliśmy natomiast brać pod uwagę znaczenia owych wyrażeń ustalając związki (nazwijmy je związkami typu B) zachodzące między: (3) i (7), (3) i (8), (4) i (8), a także między zbiorem zdań {(7) i (8)} i zdaniem (4) oraz między zbiorem {(7) i (9)} i zdaniem (5). Aby się o tym przekonać, wystarczy zauważyć, że związki typu A mogą (choć nie muszą) zostać naruszone, gdy w zdaniach (3) – (9) zastąpimy wyrażenie „jest starszy od”, „jest młodszy od” oraz „jest rówieśnikiem” wyrażeniami odnoszącymi się do jakichś innych relacji dwuczłonowych. Na przykład, zastępując je kolejno wyrażeniami „jest ojcem”, „jest zwierzchnikiem” i „jest przyjacielem”, otrzymamy ze zdań (3) – (5) zdania, które się parami ani nie wykluczają, ani nie dopełniają; ze zdań (3) i (6) otrzymamy zdania, które nie są analitycznie równoważne, itd. Związki typu B natomiast pozostaną po tej zmianie nienaruszone. Zdanie otrzymane z (3), tj.

Jan jest ojcem Piotra, (3′)

jest oczywiście analitycznie sprzeczne ze zdaniem otrzymanym z (7):

Jan nie jest ojcem Piotra. (7′)

Zdanie otrzymane z (8), tj.

Jan jest ojcem lub zwierzchnikiem Piotra (8′)

wynika analitycznie zarówno z (3′), jak i ze zdania otrzymanego z (4):

Jan jest zwierzchnikiem Piotra. (4′)

Zachowane zostaną również związki wynikania analitycznego między zdaniem a zbiorem zdań: ze zbioru {(7′), (8′)} wynika analitycznie (4′), a ze zbioru, do którego należy (7′) oraz zdanie otrzymane z (9):

Jeżeli Jan nie jest ojcem Piotra, to jest przyjacielem Piotra, (9′)

wynika analitycznie zdanie otrzymane z (5):

Jan jest przyjacielem Piotra. (5′)

Łatwo też przekonać się, że znaczenie wyrażeń „nie”, „lub” i jeżeli…, to” jest istotne dla zachodzenia związków analitycznych typu B; zastępując w naszych zdaniach te wyrażenia innymi wyrażeniami należącymi do tej samej kategorii syntaktycznej, można owe związki naruszyć. Na przykład, zastępując w zdaniu (8) spójnik „lub” spójnikiem „i”, otrzymamy zdanie, które nie wynika analitycznie ani z (3), ani z (4). Istotna jest również struktura zdań, na przykład: zamieniając miejscami nazwy „Jan” i „Piotr” w którymś ze zdań (3) – (9) lub przedstawiając poprzednik i następnik okresu warunkowego (9), naruszymy związki analityczne zachodzące między pewnymi zdaniami.

Tak więc, związki analityczne typu B zachodzące między zdaniami (3) – (9) zdeterminowane są – podobnie jak analityczność zdania (2) – wyłącznie przez strukturę tych zdań oraz przez znaczenie niektórych, dość szczególnych wyrażeń składowych. Cechą charakterystyczną owych wyrażeń jest rozległy zasięg ich zastosowań: słowa „nie”, „lub” i „jeżeli…, to” pojawiają się w dyskursach dotyczących wszelkich tematów, zarówno w języku codziennym, jak i w językach wszystkich dyscyplin naukowych. Nie są one, oczywiście, jedynymi wyrażeniami mającymi tę własność; równie uniwersalne zastosowanie posiadają inne spójniki zdaniowe, a także tzw. słowa kwantyfikujące, takie jak „każdy”, „żaden”, „niektóre” i pewne inne. Jest jednak takich wyrażeń stosunkowo niewiele, a przy tym niektóre z nich są tylko stylistycznymi wariantami innych lub są definiowalne za pomocą innych, można je zatem pominąć. Lista wyrażeń o uniwersalnym zastosowaniu zmaleje wówczas do kilku pozycji.

Uniwersalny charakter danych wyrażeń uzasadnia wyróżnienie zdań, które są prawdziwe wyłącznie na mocy swej struktury oraz znaczenia tych wyrażeń, jako szczególnego rodzaju zdań analitycznych. Zależności między wartościami logicznymi zdań, zdeterminowane wyłącznie przez strukturę tych zdań oraz przez sens występujących w nich wyrażeń o uniwersalnym zastosowaniu, również zasługują na wyróżnienie jako szczególny typ związków analitycznych między zdaniami. Teoretycznego opisu takich właśnie zdań analitycznych i takich związków analitycznych między zdaniami dostarcza logika formalna.

Zdania, których analityczność uwarunkowana jest znaczeniem innych, nieuniwersalnych wyrażeń (takich jak: „jest starszy od”, „jest zwierzchnikiem” czy „jest przyjacielem”, a także „jest ssakiem”, „żyje”, „jest liczbą parzystą”, „jest trójkątem” itd.) oraz związki analityczne między zdaniami uwarunkowane znaczeniem takich wyrażeń, nie mają odrębnej, wspólnej teorii. Istnieją wszakże teorie rozmaitych rodzajów takich zdań i związków zdaniowych, wyróżniające relewantne dla nich zbiory wyrażeń na innej niż logika zasadzie, mianowicie wedle kryterium wspólnego zakresu zastosowań. Na przykład, poszczególne teorie matematyczne są w istocie teoretycznym opisem tych prawd analitycznych i tych analitycznych związków między zdaniami, które zależą od znaczenia pojęć występujących w odpowiednim dziale matematyki. Ponieważ zaś prawdy takie i takie związki zależą też zawsze od struktury zdań oraz od znaczenia wyrażeń o uniwersalnym zastosowaniu, więc każda teoria tego rodzaju zawiera jako swój fragment logikę formalną.

1.2. Prawda logiczna. Wynikanie logiczne. Logiczna forma zdania

Wyrażenia, które z powodu uniwersalności swych zastosowań są obiektem zainteresowania logików, noszą nazwę stałych logicznych. Jak już mówiliśmy, należą do nich spójniki zdaniowe i słowa kwantyfikujące, przy czym dzięki ich wzajemnym związkom znaczeniowym (równoznaczności lub definiowalności) teorie logiczne mogą uwzględniać bezpośrednio tylko nieliczne z nich.

Zdania, których analityczność ma źródło wyłącznie w ich strukturze oraz w znaczeniu występujących w nich stałych logicznych, nazywamy zdaniami logicznie prawdziwymi lub prawdami logicznymi[3]. Tak więc, zdanie (2) jest – w odróżnieniu od zdania (1) – nie tylko analityczne, lecz także logicznie prawdziwe.

Związki analityczne między zdaniami uwarunkowane wyłącznie strukturą tych zdań oraz znaczeniem występujących w nich stałych logicznych nazywamy związkami logicznymi. Wyróżniamy wśród nich: wynikanie logiczne, równoważność logiczną, sprzeczność logiczną oraz logiczne wykluczanie się i logiczne dopełnianie się zdań jako – odpowiednio – takie rodzaje analitycznych związków wynikania, równoważności, sprzeczności, wykluczania się i dopełniania się, które są związkami logicznymi. Tak więc, wśród odnotowanych przez nas związków analitycznych między zdaniami (3) – (9) logiczny charakter ma sprzeczność między (3) i (7), wynikanie między (3) i (8), wynikanie między (4) i (8), a także wynikanie zdania (4) ze zbioru zdań {(7), (8)} oraz zdania (5) ze zbioru zdań {(7), (9)}. Pozostałe związki analityczne między zdaniami (3) – (9) mają charakter pozalogiczny.

Teorię związków logicznych między zdaniami można w istocie ograniczyć do teorii wynikania logicznego (zwanego także konsekwencją logiczną). Pozostałe związki logiczne można bowiem zdefiniować za pomocą pojęcia wynikania logicznego jak następuje.

Niech symbole Z_1, Z_2 reprezentują dowolne zdania, a neg (Z_1) i neg (Z_2) – odpowiednio – zaprzeczenia zdań Z_1, Z_2. Wówczas:

(D1) Z_1 jest logicznie równoważne Z_2 zawsze i tylko, gdy Z_1 wynika logicznie z Z_2 a Z_2 wynika logicznie z Z_1.

(D2) Z_1 jest logicznie sprzeczne z Z_2 zawsze i tylko, gdy neg (Z_1) wynika logicznie z Z_2 (wówczas także neg (Z_2) wynika logicznie z Z_1) oraz Z_1 wynika logicznie z neg (Z_2) (wówczas także Z_2 wynika logicznie z neg (Z_1)).

(D3) Z_1 wyklucza się logicznie z Z_2 zawsze i tylko, gdy neg (Z_1) wynika logicznie z Z_2 (wówczas także neg (Z_2) wynika logicznie z Z_1).

(D4) Z_1 dopełnia się logicznie z Z_2 zawsze i tylko, gdy Z_1 wynika logicznie z neg (Z_2) (wówczas także Z_2 wynika logicznie z neg (Z_1))[4].

Przyjmując pewne założenie co do warunków prawdziwości zdań, które gramatycy nazywają okresami warunkowymi, można dokonać kolejnego ograniczenia przedmiotu i zadań teorii logicznych. Umówmy się nazywać poprzednikiem okresu warunkowego zdanie występujące między słowami „jeżeli” i „to”, następnikiem zaś – zdanie występujące po „to”; na przykład, poprzednikiem okresu warunkowego (1) jest zdanie „Jan jest starszy od Piotra” a jego następnikiem – zdanie „Piotr jest młodszy od Jana”. Otóż przy założeniu, że okres warunkowy jest prawdziwy zawsze, z wyjątkiem przypadku, gdy jego poprzednik jest prawdziwy a następnik fałszywy, pojęcie wynikania logicznego można zdefiniować za pomocą pojęcia prawdy logicznej jak następuje:

(D5) Z_2 wynika logicznie z Z_1 zawsze i tylko, gdy okres warunkowy, którego poprzednikiem jest Z_1 a następnikiem Z_2, jest prawdą logiczną.

Tak więc, jako przedmiot badań logiki formalnej wolno traktować prawdy logiczne, a jej zadania sprowadzić do zadania sporządzenia teoretycznego opisu zbioru prawd logicznych. Ponieważ w każdym języku jest nieskończenie wiele prawd logicznych, opis taki nie może polegać po prostu na wyliczeniu elementów tego zbioru. Winien on natomiast dostarczyć jednoznacznej syntaktycznej charakterystyki wszystkich prawd logicznych oraz – jeśli jest to możliwe – efektywnej metody rozstrzygania o dowolnym zdaniu, czy jest ono, czy też nie jest logicznie prawdziwe. Przez syntaktycznącharakterystykę wyrażeń danego rodzaju (w tym przypadku – prawd logicznych) rozumiemy charakterystykę ich zewnętrznej postaci, tj. ich kształtu graficznego lub akustycznego. Mówiąc zaś o efektywnej metodzie rozstrzygania, czy dane wyrażenie ma daną własność (w tym przypadku – czy jest prawdą logiczną), mamy na myśli procedurę, która w skończonej liczbie kroków prowadzi „automatycznie” (tj. bez udziału inwencji ludzkiej) do prawdziwej odpowiedzi na to pytanie.

Przypomnijmy, że logiczna prawdziwość zdania nie zależy od znaczenia tych jego wyrażeń składowych, które nie są stałymi logicznymi; inaczej mówiąc, prawdy logiczne są inwariantne ze względu na zastępowanie w nich (z zachowaniem kategorii syntaktycznej) wyrażeń pozalogicznych. Pozwala to sprowadzić zadanie podania syntaktycznej charakterystyki zdań logicznie prawdziwych do wskazania niektórych tylko syntaktycznych aspektów takich zdań, z pominięciem kształtu ich pozalogicznych składników. Powiedzieliśmy już, że tym, co przesądza o logicznej prawdziwości zdania, a także o jego związkach logicznych z innymi zdaniami, jest struktura tego zdania i znaczenie występujących w nim stałych logicznych. Syntaktyczna charakterystyka prawd logicznych winna zatem wskazywać odpowiednie aspekty struktury każdego z takich zdań oraz te jego wyrażenia składowe, które są stałymi logicznymi.

Ogół tych syntaktycznych cech danego zdania, które łącznie stanowią o jego logicznej prawdziwości bądź o związku wynikania logicznego, łączącym je z innymi zdaniami (a więc o logicznej prawdziwości odpowiednich okresów warunkowych), nazywamy formą logiczną tego zdania. Tak więc formę logiczną zdania wyznacza jego struktura i występujące w nim stałe logiczne.

Nasuwa się myśl, że jako formę logiczną danego zdania można traktować wspólny schemat tych wszystkich zdań, które powstają w wyniku zastępowania (konsekwentnego) pozalogicznych składników tego zdania dowolnymi wyrażeniami należącymi do tej samej kategorii syntaktycznej. Za schemat taki wolno uznać napis, w który przekształci się to zdanie po zastąpieniu jego pozalogicznych wyrażeń składowych dowolnymi symbolami, markującymi tylko kategorię syntaktyczną tych wyrażeń (na miejscu tych samych wyrażeń winny się znaleźć te same symbole, a na miejscu różnych – różne, jest to bowiem warunek zachowania struktury zdania). Na przykład, przyjmując umowę, że litery a, b reprezentują dowolne imiona własne, a R, S – dowolne wyrażenia odnoszące się do relacji dwuczłonowych, można by uznać za formy logiczne zdań (1), (2) – odpowiednio – schematy zdaniowe:

Jeżeli aRb, to bSa, (S1)

aRb lub nieprawda, że aRb. (S2)[5]

Schematy (S1), (S2) adekwatnie oddają własności logiczne zdań (1), (2). Z (S1) można bowiem, przez konsekwentne podstawianie odpowiednich wyrażeń za symbole literowe, otrzymać zarówno zdania prawdziwe, jak i fałszywe. Z (S2) natomiast otrzyma się na tej drodze wyłącznie zdania prawdziwe. Zatem (S2) jest, a (S1) nie jest schematem prawd logicznych. Taka metoda konstruowania formy logicznej zdania jest jednak nieekonomiczna, a co gorsze – zwodnicza. Nieekonomiczność tej metody polega na zbędnym „rozmnożeniu” form logicznych. Stosując ją literalnie należałoby przypisać odmienną formę logiczną, na przykład,

każdemu ze zdań:

Jan lubi Piotra, (10)

Piotr jest lubiany przez Jana, (11)

a także zdaniom:

Jan biegnie szybko, (12)

Bieg Jana jest szybki. (13)

Tymczasem każda z tych par zdań jest niewątpliwie parą parafraz strukturalnych: zdania (10) i (11), a także zdania (12) i (13), są analitycznie równoważne na mocy samej swej struktury, wolno im zatem przypisać wspólną formę logiczną.

Rozważana metoda jest również zwodnicza, prowadzi bowiem do przypisania tej samej formy logicznej zdaniom o wyraźnie odmiennych własnościach logicznych. Weźmy pod uwagę zdania:

Jan jest małoletnim przestępcą, (14)

Jan jest małoletni. (15)

Wydaje się niewątpliwie, że zdanie (15) wynika logicznie ze zdania (14), tj. że okres warunkowy:

Jeżeli Jan jest małoletnim przestępcą, to Jan jest małoletni (16)

jest logicznie prawdziwy. Tymczasem rekonstruując formę logiczną zdania (16) zgodnie z zaproponowaną metodą, uzyskujemy schemat, z którego można otrzymać przez podstawianie m.in. zdanie:

Jeżeli Jan jest pospolitym przestępcą, to Jan jest pospolity. (17)

Zdanie to z pewnością nie jest prawdą logiczną. Czy zatem należy odmówić logicznej prawdziwości także zdaniu (16)? Bardziej naturalne jest rozwiązanie polegające na przyjęciu, iż (16) ma inną formę logiczną niż (17). Źródeł tej różnicy należy upatrywać w odmiennej formie logicznej poprzedników tych zdań. Przemawia za tym istnienie strukturalnej parafrazy zdania:

Jan jest pospolitym przestępcą (18)

w postaci zdania:

Przestępstwo Jana jest pospolite, (19)

podczas gdy (14) analogicznej parafrazy nie posiada.

Rozważania powyższe prowadzą do wniosku, że jeśli forma logiczna zdania ma być wyznaczona przez jego strukturę i występujące w nim stałe logiczne, to pojęcia struktury zdania nie wolno utożsamiać z pojęciem budowy składniowej, które zawdzięczamy szkolnej nauce gramatyki. Mówiąc o strukturze zdania jako wyznaczniku jego formy logicznej ma się na myśli nie tylko (i nie wszystkie) własności syntaktyczne tego zdania wziętego w izolacji, lecz także pewne relacje, w jakich pozostaje ono do innych zdań danego języka. Korzystając z terminologii, którą wprowadziło współczesne językoznawstwo, można to spostrzeżenie sformułować następująco: forma logiczna odzwierciedla nie powierzchniową, lecz głęboką strukturę syntaktyczną zdania. Struktura głęboka zaś nie musi (choć może) być identyczna ze strukturą powierzchniową.

Tak więc, forma logiczna zdania nie zawsze przypomina jego zewnętrzną postać. Różni sie ona od zdania języka naturalnego także i tym, że stałe logiczne są w niej wyrażone za pomocą sztucznych symboli. Decyzję zastąpienia naturalnych spójników zdaniowych i słów kwantyfikujących arbitralnie wybranymi symbolami usprawiedliwiają wymogi oszczędności miejsca i związanej z tym przejrzystości zapisu. Zabieg ten pozwala też nadać logice dostatecznie „abstrakcyjny” charakter. Nie jest ona dzięki temu teorią prawd logicznych właściwych jakiemuś określonemu językowi naturalnemu: stosuje się w jednakowym stopniu do wszystkich – naturalnych i sztucznych

– języków, w których występują wyrażenia spełniające warunki znaczeniowe, nałożone w logice na odpowiednie symbole.

Podanie pełnego rejestru reguł, według których należy przyporządkowywać formy logiczne zdaniom danego języka, nie jest zadaniem logiki. Reguł takich dostarczyć powinien opis gramatyczny języka, sporządzony w myśl założeń teorii gramatyk generatywno-transformacyjnych. Jak dotąd, dla żadnego języka naturalnego nie podano kompletnego opisu tego rodzaju. Nie uniemożliwia to jednak badań formalnologicznych nad którymkolwiek językiem naturalnym. Reguły przyporządkowania form logicznych zdaniom takiego języka są bowiem w większości przypadków dostatecznie proste i intuicyjne, by jego biegły użytkownik mógł – zapoznawszy się z formalizmem logicznym – stosować je w praktyce bezbłędnie nawet wtedy, gdy nie potrafi ich sformułować jako zasad ogólnych.

Przypisy

Rozdział 1

[1] Zdania, które są fałszywe na mocy swego znaczenia (np. negacje zdań analitycznych), bywają nazywane kontranalitycznymi. Używa się również terminów „prawda analityczna” i „fałsz analityczny”; „analityczny” znaczy wówczas tyle, co: „prawdziwy lub fałszywy na mocy swego znaczenia”. Zdania, których znaczenie nie przesądza o ich wartości logicznej, tj. których prawdziwość lub fałszywość zależy od faktów pozajęzykowych (np. „Jan jest starszy od Piotra”), nazywamy zdaniami syntetycznymi.

[2] Kategorią syntaktyczną danego języka nazywamy każdy zbiór takich wyrażeń tego języka, które można wzajemnie zastępować w dobrze zbudowanych zdaniach, otrzymując w wyniku również dobrze zbudowane zdania. W rozważanym przypadku mowa o kategorii wyrażeń, które odnoszą się do relacji dwuczłonowych.

[3] Zdania, które są fałszywe na mocy swojej struktury i znaczenia występujących w nich stałych logicznych (np. negacje prawd logicznych), nazywamy zdaniami logicznie fałszywymi lub fałszami logicznymi.

[4] Z definicji tych łatwo wyprowadzamy wniosek, iż zdania logicznie sprzeczne wykluczają się i zarazem dopełniają logicznie, a nadto, że każde z nich jest logicznie równoważne negacji drugiego.

[5] Schemat (S2) różni się od zdania (2) także sposobem wyrażenia negacji i „dopisaniem” tzw. podmiotu domyślnego w drugim zdaniu składowym. Przeróbkę tę usprawiedliwia fakt, iż nie tylko nie narusza ona struktury zdania (2), lecz przeciwnie, czyni ją bardziej przejrzystą i jednoznaczną.