Dane oryginału

AROUND THE WORLD IN 80 GAMES: A mathematician unlocks the secrets of the greatest games

© 2023 by Marcus du Sautoy

Wydanie polskie

Z języka angielskiego tłumaczyła Agata Sadza

Projekt okładki i stron tytułowych Anna Kulikowska

Wydawca Renata Włostowska

Redaktor prowadząca Barbara Surówka

Redakcja Zespół Eduexpert Sp. z o.o.

Korekta: Magdalena Jabłonowska – Przecinek i spółka

Produkcja Mariola Grzywacka

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwo Naukowe PWN S.A.:
Michał Latusek

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo.

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

ISBN 978-83-01-24184-1

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2025 r. (Wydanie I)

Warszawa 2025

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321; faks 22 69 54 288

infolinia 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl; www.pwn.pl

Fragment

Rozdział 0. Pierwszy ruch

Rozdział 1. Bliski Wschód

1. Tryktrak (backgammon)

2. Królewska gra z Ur

3. Senet

4. Kości do gry

5. Symetryczne kostki

6. Kostka dublująca

Rozdział 2. Morze Arabskie

Czym jest gra i dlaczego gramy?

7. Homo ludens

8. Gry zwierzęce

9. Gry językowe

10. Gry konika polnego

Rozdział 3. Indie

11. Szachy

12. Carrom

13. Ludo (chińczyk)

14. Węże i drabiny

15. Karty ganjifa

16. Zakazane gry Buddy

17. Gra w klasy

Rozdział 4. Morze Południowochińskie

Matematyka gier i gry matematyczne

18. Ruletka „czekolada i chili”

19. Nim

20. Gra ultimatum

21. Dylemat więźnia

Rozdział 5. Chiny

22. Go

23. Szachy chińskie

24. Bierki (mikado)

25. Domino

26. Madżong (mahjong)

27. Zi pai, khanhoo i początki gry w karty

Rozdział 6. Morze Wschodniochińskie

Karty

28. Wist

29. Brydż

30. Pik, kier, karo, trefl

31. Lady Charlotte i Game of Parliament

32. Tarot

Rozdział 7. Japonia

33. Hanafuda

34. Karty Pokémon

Rozdział 8. Północny Pacyfik

Psychologia gier

35. Dungeons and Dragons

36. MangaHigh.com

37. Cranium

Rozdział 9. Australazja

38. Mu torere

Rozdział 10. Pacyfik Południowy

Gry i sztuka

39. Cluedo

40. Azad i Gracz

41. Gry i zagadki

42. Gry teatralne

43. Mozart i jego gra w kości

Rozdział 11. Ameryka Południowa i Środkowa

44. Meksykańskie bingo

45. Jogo do bicho

46. Adugo i komikan

47. Sapo

48. Truco

49. Perudo albo dudo, albo kości oszusta

50. Pitz, gra w piłkę Majów

Rozdział 12. Stany Zjednoczone

51. Kasyno

52. The Mansion of Happiness

53. Monopoly

54. Scrabble

55. Wordle

56. Papier, kamień, nożyce

57. Wsiąść do pociągu (Ticket to Ride)

Rozdział 13. Ocean Atlantycki

Gry komputerowe

58. Prince of Persia

59. Spacewar!

60. Tetris

61. Gra w życie

62. Kółko i krzyżyk

Rozdział 14. Afryka

63. Mancala

64. Gulugufe i fanorona

65. Achi

66. Bolotoudou

67. Młynek

68. Agram

Rozdział 15. Europa

69. Spiel des Jahres

70. Pandemic (Pandemia)

71. Najlepsza planszówka w historii

72. Ludus latrunculorum

73. Ryzyko

74. L’Attaque i kobiety w branży gier

75. Szewc, czyli gra w kreski

76. Dobble

77. SET

78. Mornington Crescent oraz niegry

79. Gry bez końca

80. Gra szklanych paciorków

Rozdział 16. Koniec gry

Dodatek. Jak grać w osiemdziesiąt gier dookoła świata?

Podziękowania

Bibliografia

Przypisy

Pozostałe rozdziały dostępne w pełnej wersji e-booka.

Mojej siostrze Charlotte, godnej przeciwniczce w prowadzonych w dzieciństwie rozgrywkach

ROZDZIAŁ 0

Pierwszy ruch

Wyrzuć sześć oczek, aby zacząć. Skoczek na f3. Dwa bez atu. Czarny kamień na komo-ku. Weź kartę „Szansa”. Przejdź po drabinie na pole trzydzieste ósme. Tak rozpoczynają się jedne z najwspanialszych opowieści stworzonych przez człowieka. Od pradawnych czasów kolejne cywilizacje rozgrywają partię za partią – rzucają kośćmi, rozdają karty, przesuwają pionki po planszy czy blacie stołu…

Niektórzy twierdzą nawet, że nasz gatunek powinien nazywać się homo ludens, a nie homo sapiens, bo przecież to właśnie umiejętność zabawy, a nie myślenia, miała dla naszego rozwoju kluczowe znaczenie. Ewolucja obdarzyła człowieka zamiłowaniem do testowania rozmaitych strategii i przemierzania wyobrażonych krain w bezpiecznych warunkach zapewnianych przez gry, dzięki czemu mamy szansę przygotować się do podejmowania zmagań w prawdziwym życiu. W miarę rozwoju społecznego wczesnych cywilizacji powstawały coraz bardziej złożone gry. Granie nic nie kosztuje. Robimy to na niby. Rozgrywka ma swoje sprecyzowane miejsce i trwa przez określony czas, do tego nie ma związku z prawdziwym życiem. A jednak wpływa na to, jak zachowujemy się poza nią – na nasze wojny, politykę, sztukę, naukę.

Podobnie jak opowiadane przy ognisku historie, gry zacieśniają wspólnotowe więzi i pozwalają nam razem (a do tego bezpiecznie) odbywać wspaniałe wyprawy. Każda gra jest bowiem niczym opowieść, w której przenosimy się do wyimaginowanego świata w innym wymiarze czasu i mierzymy się tam z wymyślonymi przeszkodami, dobrze się przy tym bawiąc.

Gry to także opowieści, w które zanurzamy się wraz z przyjaciółmi, co ma pewną przewagę nad samotnym oddawaniem się lekturze. Mamy tu także możliwość działania i decydowania o tym, jak potoczy się nasza historia – może i powieść wzruszy nas do łez, ale to w grze dopadnie nas prawdziwe poczucie winy związane z naszymi własnymi posunięciami.

Oto książka, która opowiada o całej masie szalonych, fantastycznych, niezwykle wciągających gier, jakie ludzie dotychczas stworzyli w toku swojej bytności na ziemi. Gwoli ścisłości inne zwierzęta również bawią się i grają w dzieciństwie – na przykład lwiątka walczą na niby, a na dalszych etapach życia wykorzystują w polowaniu zdobyte w ten sposób umiejętności. Nasz gatunek, którego również dorosłe osobniki zajmują się graniem, jest chyba jednak wyjątkiem.

Rzecz jasna, nie każdy dorosły lubi grać. Dla niektórych całe to zamieszanie związane z prowadzeniem rozgrywki i mierzeniem się z zasadami, które przyjmujemy z własnej woli, aby osiągnąć jakiś wymyślony cel, to zupełna strata czasu. Cóż, niewątpliwie jest to przyjemność dostępna osobom, które owym czasem dysponują w pewnym nadmiarze. Wierzę jednak, że gdy osiągniemy wreszcie ten utopijny moment, kiedy nie będziemy musieli pracować, bo wszystko będą robiły za nas maszyny, nasze życie zacznie się obracać właśnie wokół grania.

Kocham gry. Uwielbiam je do tego stopnia, że gdziekolwiek jadę, staram się tam dotrzeć do gier szczególnie lubianych przez mieszkańców danego kraju, a mój bagaż w drodze powrotnej nieodmiennie zawiera kilka z nich. Odkryłem bowiem, że – podobnie jak historie opowiadane przez miejscowych pomagają nam zrozumieć inne społeczeństwa – gry, w które grają ludzie z różnych miejsc świata, mogą nam sporo powiedzieć o różnicach i podobieństwach międzykulturowych. W niektórych kulturach prym wiodą gry losowe, a nie strategiczne, co być może odzwierciedla tendencję tych grup do przyjmowania fatalistycznej postawy wobec życia zamiast wiary w możliwość kształtowania własnego losu. Podobnie na przykład większa popularność gry polegającej na dążeniu do zajęcia jak największego terytorium, takiej jak go, niż bardziej bezpośrednio agresywnej gry typu szachy zdaje się zdradzać co nieco na temat wartości pielęgnowanych w danej społeczności i jej sposobu postrzegania świata. Niektóre gry rzeczywiście uwydatniają różnice między kulturami, inne jednak są na tyle uniwersalne, że w rozmaite ich wersje gra się na całym świecie.

Dzięki grom i ich historii łatwiej jest zrozumieć, jak rozwijały się i wyodrębniały poszczególne kultury. Można wręcz powiedzieć, że gry są niczym żywe stanowiska archeologiczne, kryjące w sobie namiętności i dążenia naszych przodków. Powiedz mi, w co grasz, a powiem ci, kim jesteś.

Kiedy siedzę w domu i nie mogę wyjechać, moja kolekcja gier pozwala mi powrócić wspomnieniami do miejsc, z których je przywiozłem. Każda z nich to portal do któregoś z odwiedzonych niegdyś krajów, paszport do innego świata – czy to historycznego, geograficznego, czy matematycznego. Zbiór gier otula mnie jak ciepły kokon i niezmiennie przypomina mi o tym, jak dalekie podróże możemy odbywać we własnych myślach, nie wychodząc z domu.

Nie jestem jednak historykiem, antropologiem ani psychologiem, lecz matematykiem. Wydaje mi się, że jest mi z grami tak bardzo po drodze między innymi dlatego, że mają wiele wspólnego z matematyką – wspaniałą dziedziną, którą pokochałem. Reguły gry są jak aksjomaty matematyczne, a sama rozgrywka przypomina odkrywanie, co z nich wynika. W moim odczuciu, grając w grę, gramy w matematykę. Niejedna udana gra jest przecież ucieleśnieniem idei matematycznej. Gry polegające na dopasowywaniu elementów, takie jak Dobble, wykorzystują niezwykłe struktury geometryczne zbudowane w wielowymiarowej przestrzeni. Planszówki takie jak Wsiąść do pociągu[1] sprawdzają się natomiast dzięki systemowi punktowania, który równoważy ryzyko podejmowane przez gracza możliwą do uzyskania nagrodą.

Najlepsze gry mają proste zasady, które umożliwiają prowadzenie zróżnicowanych i złożonych rozgrywek. W starożytnej grze go gracze na zmianę układają czarne i białe kamienie na planszy 19 na 19 pól. Mimo tak prostego układu wyjściowego mamy tu do czynienia z niesamowitym wręcz wachlarzem kierunków, w jakich gra może się potoczyć. I to właśnie ma, według mnie, wiele wspólnego z tym, co najpiękniejsze w matematyce. Bo przecież łatwo jest określić, czym są liczby pierwsze – to liczby niepodzielne[2] – a jednak, choć zajmujemy się nimi od dwóch tysięcy lat, wciąż potrafią nas zaskoczyć.

Jest jeszcze jeden powód, który sprawia, że moim zdaniem to właśnie matematyk dobrze sprawdzi się jako przewodnik po świecie gier. Otóż gracz, który ma w rękawie parę sztuczek matematycznych, zazwyczaj ma też szansę uzyskać dzięki nim przewagę nad rywalem. Gry określa pewien zbiór zasad wyznaczających granice naszych posunięć, matematyka zaś jest bardzo naturalnym językiem, dzięki któremu możemy badać implikacje logiczne owych zasad i wytyczyć optymalną drogę do osiągnięcia celu.

Ludwig Wittgenstein uważał, że nie da się zdefiniować gry jako takiej. Termin „gra” był w jego rozumieniu przykładem słowa, które można zrozumieć i wyjaśnić wyłącznie poprzez posługiwanie się nim, czyli stwierdzanie, że coś jest grą, a coś nią nie jest. Proces ten nazwał grą językową.

Ta książka też jest grą – można ją wręcz potraktować jako próbę zagrania w Wittgensteinowską grę językową. Kiedy będę opowiadał o grach, które udało mi się zgromadzić podczas podróży dookoła świata, każda z nich będzie stanowiła kolejny ruch w grze według Wittgensteina.

W moim zbiorze gier próżno szukać sportu. Jedyny wyjątek stanowi popularna u Majów gra w piłkę zwana pitz – nie mogłem się oprzeć i musiałem o niej opowiedzieć. Na kartach tej książki nie ma jednak piłki nożnej, koszykówki czy futbolu. Nie twierdzę, że futbol to nie gra; mało tego, uwielbiam go, jednak nie bez powodu określamy pewien typ rozgrywek odrębnym terminem, a mianowicie słowem „sport”. Sport to w moim odczuciu gra dla ciała, natomiast mnie interesują gry dla umysłu. Jako dziecko skłaniałem się raczej ku nerdom grającym w karty niż supergościom kopiącym piłkę, w czym miała zapewne wydatny udział moja mikra postura. Takie osobiste preferencje nie umniejszają, rzecz jasna, znaczenia sportu dla ludzkości. Odgrywa on przecież podobną do wspomnianej już rolę przygotowawczą, gdyż umożliwia trenowanie na wypadek niebezpieczeństwa. Jako przewodnik i matematyk mam jednak znacznie więcej do powiedzenia na temat gier umysłowych niż sportowych, opierających się na brutalnej sile i wytrzymałości fizycznej. Niektóre gry, o których opowiem, to w zasadzie niemal łamigłówki – to zresztą kolejna koncepcja, którą warto wyjaśnić. W mojej książce łamigłówka często awansuje do rangi pełnoprawnej gry w momencie, gdy włączane są w nią inne osoby. Wordle przeskoczyło z kategorii łamigłówek do gier, i to rozgrywanych w imponującej skali, w momencie gdy pojawiła się możliwość udostępniania swoich statystyk innym. Elementem różnicującym jest tu właśnie komponent zakładający rywalizację albo współpracę z innymi. Czym zatem jest, powiedzmy, układanie pasjansa? Czy jest to łamigłówka, czy gra, skoro aby wygrać, trzeba grać przeciwko talii kart? A co z grami komputerowymi, w których gracz mierzy się z kodem? Wittgenstein ma rację: gra wymyka się wszelkim definicjom. Zabierając was w podróż w osiemdziesiąt gier dookoła świata, krok po kroku staram się spójnie opowiedzieć, co tak naprawdę mamy na myśli, mówiąc „gra”.

Książka ta przypomina grę z jeszcze jednego względu, a mianowicie istnieje mnóstwo sposobów grania w nią. Można ją czytać od pierwszej do ostatniej strony, w kolejności, w jakiej je dla was ułożyłem, poznając każdą z gier w określonym porządku, zgodnie z numerami, którymi są opatrzone. Mam jednak inną sugestię: rzućcie kostką (sześciościenną) i zacznijcie od gry oznaczonej wyrzuconym numerem. Kiedy już się z nią zaznajomicie, rzućcie ponownie, dodajcie wyrzuconą liczbę oczek do poprzedniej i wykonujcie kolejne ruchy po tekście, jakbyście grali w planszówkę. Po dotarciu do końca listy wróćcie po prostu do początku. Na końcu książki znajdziecie tabelkę z tytułami gier – możecie odhaczać te, które już poznaliście w trakcie swojej wyprawy. Dzięki temu każdy może odbyć swoją podróż, rozegrać własną książkową grę i w ten sposób stworzyć nową książkę. (Mój wewnętrzny matematyk nie mógł sobie odmówić obliczenia, ile różnych książek może w ten sposób powstać. Dojdźcie do tego sami, niech stanie się to dla was jeszcze jedną grą).

Nie jestem pierwszym autorem, który sugeruje różne sposoby czytania jednej książki. Powieść B.S. Johnsona pod tytułem Nieszczęśni składa się z arkuszy luźno umieszczonych w pudełku. Pierwszy i ostatni rozdział są zszyte, ale to czytelnicy decydują, w jakiej kolejności przeczytają pozostałe dwadzieścia pięć części utworu. Oznacza to łącznie 15 511 210 043 330 985 984 000 000 możliwych, różniących się od siebie książek. Francuski poeta Raymond Queneau, współtwórca eksperymentalnego ruchu Oulipo, postanowił dać swoim czytelnikom jeszcze więcej opcji i w tym celu skomponował tomik sonetów, w którym każdy z czternastu wersów każdego poematu ma dziesięć możliwych wariantów.

Moja książka jest wyrazem zachwytu wobec matematyki, która kusząco wyłania się spod powierzchni wielu moich ukochanych gier. Równolegle do głównej narracji zamieściłem tu fragmenty opisujące owe matematyczne wspaniałości. Zapraszam was do zanurzenia się w te fantastyczne opowieści matematyczne, bo w każdej z nich kryje się klucz do tworzenia, a często też wygrywania gier. Jeśli jednak poczujecie, że robi się za głęboko, możecie śmiało wrócić na powierzchnię. Być może zdecydujecie się zajrzeć w te miejsca ponownie przy okazji kolejnej podróży przez książkę.

W trakcie czytania pamiętajcie, że książka ta nie jest encyklopedią gier, wyczerpującym słownikiem czy kompendium zasad. Na końcu zamieściłem kilka adresów stron internetowych, na których znajdziecie informacje na temat tego, jak grać w niemal każdą możliwą grę. Z pewnością znajdą się tacy, którzy z pretensją zauważą, że nie uwzględniłem tej czy innej gry. Cóż, taktownie podkreślam, że przecież to moja własna, bardzo osobista kolekcja. Wybrałem tytuły, które pozwalają mi mówić o tym, w co gramy, w kategoriach filozofii, kultury, matematyki i socjologii.

Każdy rozdział dotyczy innej części globu i zachęca do odkrywania, w co grają jej mieszkańcy. Od Indii po Chiny, od Afryki po Amerykę – przemierzymy świat, zasiadając z miejscowymi do gry. Pomiędzy rozdziałami geograficznymi znajdziecie moje morskie interludia. Przenosząc się z regionu do regionu, będę zatrzymywał się pomiędzy nimi, aby przyjrzeć się rozmaitym aspektom filozoficznym, matematycznym czy kulturowym gier, które nie są w oczywisty sposób związane z żadnym konkretnym punktem na mapie świata.

Kiedy zestawiłem omawiane tu gry i powiązane z nimi tematy, zupełnie nieoczekiwanie okazało się, że jest ich dokładnie osiemdziesiąt. A ponieważ chodzi tu o podróż po grach z całego świata zarówno w sensie historycznym, kulturowym, matematycznym, jak i geograficznym właśnie, nie mogłem powstrzymać się od nawiązania do słynnej opowieści Jules’a Verne’a o podjętej przez Phileasa Fogga próbie okrążenia świata w ciągu osiemdziesięciu dni i postanowiłem wykorzystać jego wyprawę jako ramę narracyjną mojej historii. Dzięki opisanym tu grom udało mi się wyruszyć – zupełnie jak Fogg – we własną podróż wokół globu, w ramach której przeprawiam się po morzach i lądach z jednego kontynentu na drugi. Moją nieocenioną towarzyszką, biletem wstępu i kluczem do wszystkich drzwi, jakie napotkam, moim Passepartout[3] będzie natomiast matematyka – to razem z nią wybieram się w podróż w osiemdziesiąt gier dookoła świata.

ROZDZIAŁ 1

Bliski Wschód

Co sprawia, że gra jest naprawdę dobra? Po pierwsze, nie powinna się kończyć, zanim się na dobre nie zacznie. Nawet jeśli nie idzie nam tak dobrze jak przeciwnikowi, powinna istnieć szansa, że wygramy. Po drugie, powinna wymagać od nas zaangażowania aż do końca. W najlepszych grach aż do ostatniego ruchu każdy z graczy ma możliwość zwyciężyć – oznacza to, że dobre gry zawsze mają w sobie element losowości. Po trzecie jednak, sama losowość nie wystarcza. Powinny tu również zaistnieć strategia i sprawczość, w przeciwnym wypadku gracz staje się zaledwie maszynką do realizowania zasad gry. Po czwarte, powinniśmy mieć do czynienia z sytuacją, w której prostota prowadzi do złożoności. Dzięki nieskomplikowanym regułom można szybko zacząć grać, a różnorodność wynikająca z wielości możliwych przebiegów rozgrywki sprawia, że do gry chce się wracać. Po piąte, nie do przecenienia jest dobra historia. I nie chodzi tu bynajmniej o to, że muszą się w niej koniecznie znaleźć zamki czy gobliny, ale o to, że w dobrej grze – podobnie jak w matematyce – ważna jest wciągająca wędrówka po właściwie skonstruowanym łuku narracyjnym.

W moim przekonaniu pierwsza gra w naszej podróży dookoła świata spełnia wszystkie te kryteria. Jest to jedna z najdoskonalszych, a także, jak się okazuje, najstarszych gier stworzonych przez ludzkość.

1. Tryktrak (backgammon)

Piętnaście pionków czarnych, piętnaście białych i plansza z dwudziestoma czterema polami w kształcie wydłużonych trójkątów. Pionki poruszają się w przeciwnych kierunkach, ścigając się, przy czym o tym, gdzie staniemy, decyduje rzut dwiema kostkami. Jeżeli postawimy pionek na nieobstawionym innymi pionku przeciwnika, ten wraca na pozycję startową.

Gra nie mogłaby być prostsza, a jednak każdy z tysięcy pojedynków, jakie rozegrałem, był inny. Tryktrak to opowieść pełna napięcia i zwrotów akcji. Podobnie jak w przypadku teorii chaosu w matematyce, nawet małe zmiany mogą skierować rozgrywkę na zupełnie inny tor. Zaledwie jeden rzut kośćmi wystarczy, by wysunąć się na prowadzenie – nowicjusz ma zatem szansę pokonać eksperta. Gdy zaś kości nam nie sprzyjają, w uzyskaniu przewagi może pomóc odpowiednia strategia.

W tryktraka zacząłem grać stosunkowo późno. Kiedy mieszkałem na Bliskim Wschodzie, nauczył mnie tego na pustyni pewien Beduin, który bardzo prostym angielskim przedstawił mi zasady. Już po kilku minutach siedzieliśmy pochłonięci grą – od tamtej pory ciągle do niej wracam. Siła tryktraka tkwi w tym, że jego reguły bardzo łatwo pojąć, jednak sama rozgrywka jest naprawdę złożona. Cieszę się, że nauczyłem się grać właśnie w tej części świata, tryktrak wywodzi się bowiem z najdawniejszych gier wielkich cywilizacji starożytnego Egiptu i Babilonu, o czym za chwilę opowiem.

Na Bliski Wschód trafiłem jednak nie ze względu na gry, lecz matematykę. Będąc doktorantem, zaczytywałem się w publikacjach pewnego naukowca – miałem poczucie, że nadawaliśmy na tych samych falach. Myśleliśmy w identyczny sposób i obaj z upodobaniem badaliśmy te same struktury matematyczne. To trochę tak, jakbyśmy grali w tę samą ezoteryczną grę matematyczną, więc kiedy dowiedzieliśmy się o swoim istnieniu, było dla mnie jasne, że musimy się spotkać.

Okazało się, że łączyła nas matematyka, ale dzieliła polityka. Naukowiec, o którym mowa, był izraelskim osadnikiem na Zachodnim Brzegu Jordanu, z kolei mój światopogląd ukształtowała oksfordzka lewica, którą w czasach rządów Margaret Thatcher napędzało poczucie niesprawiedliwości. Piękno matematyki i gier tkwi jednak w tym, że stanowią one dostępne dla wszystkich pole neutralne, które może stać się miejscem spotkania przeciwieństw. Po zakończeniu studiów doktoranckich wyjechałem więc do Izraela, gdzie przez kilka lat współpracowałem ze swoją matematyczną bratnią duszą, o której istnieniu dowiedziałem się, czytając czasopisma naukowe w bibliotece w Oksfordzie.

Oczywiście, czas spędzony na Uniwersytecie Hebrajskim w Jerozolimie poświęcałem nie tylko matematyce. Z wielką ochotą podróżowałem po okolicy i wyjeżdżałem do Jordanii, Syrii i Egiptu, gdzie szczególnie chętnie odwiedzałem Beduinów na półwyspie Synaj. Podobało mi się podążanie śladem Lawrence’a z Arabii, którego portret – w tradycyjnym beduińskim stroju – zdobił ścianę mojego college’u w Oksfordzie. Podróżując, odkryłem, że najpopularniejszą grą w bliskowschodnich kawiarenkach jest właśnie tryktrak.

Nie zliczę wieczorów, które przesiedziałem w skromnych domach synajskich Beduinów, przy fajkach wodnych, zwanych tam nargilami, herbacie i planszy do tryktraka. W języku arabskim gra ta nazywa się tawhah, czyli „stół”, ale Izraelczycy, z którymi podróżowałem, mówili o niej shesh besh. Shesh to z hebrajskiego „sześć”, besh zaś to tureckie słowo oznaczające „pięć”. Wyrzucenie sześciu i pięciu oczek to wymarzone otwarcie – tradycja mówi, że można wtedy gromko zakrzyknąć „shesh besh”, żeby wszyscy bywalcy kawiarni wiedzieli, jak nam się poszczęściło już na samym początku gry.

Z jednej strony świadomość, że w miejscu tak naznaczonym przez podziały polityczne popularna gra określana jest połączeniem słów pochodzących z dwóch różnych kultur, jest naprawdę krzepiąca. Z drugiej jednak strony pomysł, że gry miałyby jednoczyć zwaśnione społeczności, może wydawać się dość osobliwy, biorąc pod uwagę to, chodzi w nich przecież o rywalizację, o to, kto zwycięży. O silnym powiązaniu między grami a prawdziwą walką świadczy choćby ogromna popularność na całym świecie gier o tematyce wojennej. Plansza może jednak przecież być polem rywalizacji i bitwy na rozum i spryt, a rozgrywka jako taka może wspierać poczucie wspólnoty i więzi.

Dobrym przykładem inicjatywy angażującej ową potęgę wspólnego grania w działania mające na celu likwidowanie barier pomiędzy Izraelczykami a Palestyńczykami jest projekt „Games for Peace”[4]. Najpierw dzieci z obu tych społeczności zapraszane są do gier online, w ramach których współdziałają w małych zespołach, razem stawiając czoła różnym wyzwaniom i starając się pokonać inne drużyny. Korzystają przy tym z awatarów, co oznacza, że nie wiedzą, do której grupy etnicznej należą inni gracze. Kiedy dzieci spotykają się wreszcie osobiście, zawsze starają się znaleźć osobę, z którą grały. Odkrywają wtedy, że nowy znajomy pochodzi z drugiej strony politycznej barykady. Gry mogą więc sprawić, że ze współzawodnictwa i z rywalizacji zrodzą się zaufanie i przyjaźń.

Wiemy już, że w Izraelu gra znana jest jako shesh besh, mnie jednak zawsze intrygowała jej angielska nazwa, czyli backgammon, która dla moich uszu brzmiała jak określenie fragmentu tuszy zwierzęcej[5]. Okazuje się tymczasem, że słowo to odnosi się do strategii back game[6], w której gracz stawia swoje pionki w domu przeciwnika z myślą o tym, aby popsuć mu szyki bliżej końca partii. Nazwę backgammon po raz pierwszy powiązano z tą właśnie grą około XVII wieku, mniej więcej w tym samym czasie, gdy wprowadzono regułę nagradzającą wyrzucenie dubletu oczek, co dodało rozgrywce dynamiki. Według tej zasady wyrzucenie dwóch szóstek oznacza, że możemy przesunąć o sześć pól nie dwa, a cztery pionki. We współczesnej wersji tryktraka takie przyspieszenie tempa jest jedną z kluczowych zasad gry.

Od słowa backgammon wywodzą się ponadto nazwy dwóch szczególnych typów zwycięstwa w tej grze. Jeśli uda nam się wyjść poza planszę wszystkimi pionkami, zanim przeciwnik zdąży wyprowadzić swój pierwszy pionek, nasza wygrana jest dodatkowo premiowana. Współcześnie taką sytuację określa się jako gammon – podwaja ona stawkę wygranej. Jeżeli natomiast w momencie naszego triumfu przeciwnik nadal ma w naszym domu pionki, które jeszcze nie okrążyły planszy, oznacza to, że udało nam się osiągnąć backgammon i stawka wygranej wzrasta trzykrotnie.

Ilekroć gram w tryktraka, zawsze muszę odgrzebać w pamięci dość specyficzny układ otwarcia. Być może rozsądniej byłoby, gdyby w momencie rozpoczęcia partii wszystkie pionki po prostu znajdowały się poza planszą, jednak pierwszy etap gry byłby wtedy dość nudny – bądź co bądź wprowadzenie piętnastu pionków na planszę, a potem interakcja z przeciwnikiem zajmują trochę czasu. Dlatego właśnie ktoś wpadł na genialny pomysł, aby rozpocząć grę niejako w połowie. To trochę tak, jakby dwóch szachistów znało już swoje otwarcia tak dobrze, że szliby na skróty do momentu, w którym rozgrywka zaczyna obierać własną, unikalną ścieżkę. Dlaczegóż by nie rozpoczynać gry od punktu, w którym staje się ona naprawdę interesująca?

Jedną z charakterystycznych cech tryktraka jest to, że gracze poruszają się w przeciwnych kierunkach, co prowadzi do niezwykle interesujących interakcji. Gdy pionki wreszcie się miną, gra zamienia się w wyścig, w którym gracze rywalizują o to, komu uda się wcześniej wyprowadzić swoje pionki z planszy. Dramaturgia towarzysząca rozgrywce w tryktraka wynika jednak najczęściej z tarć, które pojawiają się po drodze, na przykład wtedy, kiedy uda nam się zbić niechroniony pionek przeciwnika i w ten sposób odesłać go z powrotem na pozycję startową. Należy przy tym oczywiście zachować ostrożność, gdyż taki zawrócony rywal, zmuszony do ponownej wędrówki po planszy, może po drodze siać spustoszenie wśród naszych pionków.

Bardzo podoba mi się w tryktraku to, że łączy on w sobie wiele cech naprawdę dobrej gry: zasady są proste, lecz rozgrywki prowadzone z ich zastosowaniem – bogate i zróżnicowane. Mamy tu elementy dramatyczne i niespodzianki – to, kto prowadzi, może się zmieniać dynamicznie po każdym rzucie kośćmi – wciąż jednak liczy się strategiczne podejście do tego, jak przestawiać pionki, żeby zablokować przeciwnika.

Warto też wspomnieć, że tryktrak wywodzi się z najdawniejszych gier, w które grywali nasi przodkowie. Opierały się one nie tyle na walce i strategii, ile na mechanice wyścigu – celem rozgrywki było wyprowadzenie swoich pionków z planszy, zanim zdąży to uczynić przeciwnik.

Chociaż samego tryktraka poznałem stosunkowo późno, okazuje się, że wyewoluował on z innej gry polegającej na wyścigu graczy, z którą zetknąłem się jeszcze jako dziecko.

2. Królewska gra z Ur

Do zakładu Phileasa Fogga o to, że uda mu się okrążyć kulę ziemską w osiemdziesiąt dni, doszło w klubie Reforma, mieszczącym się przy londyńskiej ulicy Pall Mall.

Zaledwie dwadzieścia minut spacerem stamtąd znajduje się miejsce, które obudziło we mnie zapał do ruszenia we własną wyprawę po świecie w poszukiwaniu gier – British Museum. Kiedy byłem dzieckiem, moi dziadkowie mieszkali tuż obok. Uwielbiałem zaglądać do muzeum, wędrować po jego korytarzach i napawać wzrok niesamowitymi artefaktami wystawianymi w tamtejszych salach. Do dziś pamiętam pewien sobotni poranek, kiedy udałem się do galerii eksponatów z Bliskiego Wschodu i odkryłem tam królewską grę z Ur.

Gra była przepiękna. Planszę wykonano nie z tektury, jak w przypadku większości gier, które miałem w domu, lecz z muszli, którymi inkrustowane było wieko kunsztownego, drewnianego pudełka w odcieniach czerwieni i niebieskiego. Nazwa gry nawiązuje do dawnego miasta Ur, znajdującego się na terenie dzisiejszego Iraku, gdzie odkryto ją podczas wykopalisk prowadzonych przez archeologa sir Leonarda Wooleya w latach dwudziestych XX wieku. Szacuje się, że znaleziona wówczas w królewskich grobowcach gra pochodzi z okresu pomiędzy latami 2600 a 2400 przed naszą erą.

Plansza, która tak mnie zachwyciła, składała się z dwudziestu pól wykonanych z muszli, w których wyrzeźbiono misterne, symetrycznie ułożone wzory. Pola zgrupowane były w dwa prostokąty o wymiarach trzy na cztery oraz trzy na dwa pola i łączył je wąski mostek składający się z dwóch pól. Do planszy dołączono zestaw pionków, a także kości. Co ciekawe, nie miały one kształtu sześcianów, jakimi zwykłem rzucać, kiedy graliśmy w domu w Monopoly. Były to piramidki o podstawie trójkąta, zwane przez matematyków czworościanami.

Rzucanie kostką w kształcie piramidy to interesujące doświadczenie. Kiedy taka bryła upada po rzucie na stół, nie widać konkretnej ściany, lecz skierowany w górę wierzchołek. Dokładna analiza ujawniła, że dwa z czterech wierzchołków kostek pomalowane były na biało. Wszystko wskazuje na to, że gracz rzucał garścią piramidek, a następnie zliczał białe wierzchołki. Suma ta wskazywała liczbę pól, o jaką można było się w tej kolejce przesunąć. Biorąc pod uwagę, że czworościan ma cztery wierzchołki, z których dwa są koloru białego, prawdopodobieństwo, że uda nam się wyrzucić wierzchołek biały, wynosi 50 procent. Matematycznie ma to taki sam skutek, jak rzucanie monetą i liczenie, ile razy wypadnie reszka.

Wokół gry było jednak wiele niewiadomych. Do momentu gdy odkryłem ją w British Museum, nie udało się jeszcze odnaleźć żadnego zapisu reguł gry, zatem jedynie spekulowano na temat ruchu pionków po planszy. Dopiero wiele lat później, gdy poznałem Irvinga Finkela, kustosza British Museum, dowiedziałem się, że od tamtego czasu odkryto także instrukcję do gry. Babilończycy odgniatali tekst kawałkiem trzciny w mokrych, glinianych tabliczkach, które suszyli następnie na słońcu lub w palenisku i utrwalali w ten sposób zapisaną pismem klinowym treść. W przeciwieństwie do notatek sporządzanych na papierze miała ona szansę przetrwać tysiące lat. Kiedy znaleziono tabliczkę z tekstem, który zdawał się dotyczyć gry, Irving Finkel podjął się odszyfrowania opisanych na niej reguł.

Treść na tabliczce zapisał babiloński skryba, Itti-Marduk-balatu, 3 listopada 177 (albo 176) roku przed naszą erą – wiemy to, gdyż skrupulatnie opatrzył tekst datą i podpisem. Wynika z tego, że tabliczka powstała znacznie później niż wystawiona w muzeum gra. Na jednej stronie tabliczki umieszczono siatkę krzyżujących się linii poziomych, pionowych i ukośnych, natomiast na drugiej jej stronie znalazły się dwie gęsto zapisane kolumny tekstu. Finkel dotarł ponadto do fotografii innej, jeszcze starszej tabliczki, która uległa zniszczeniu podczas II wojny światowej, i wykazał, że opisuje ona tę samą grę. Ów starszy tekst podawał również prawdziwą nazwę gry: stado psów.

Na pierwszy rzut oka widniejąca na tabliczce siatka czterdziestu ośmiu pól wyznaczonych przecinającymi się liniami w niczym nie przypomina planszy, na której prowadzona jest rozgrywka. To właśnie w siatce jednak znajdziemy klucz do zrozumienia gry. Finkel stwierdził, że na rysunku widnieje dwanaście zbiorów po siedem pól, przy czym w każdym ze zbiorów zauważył jedno pole środkowe otoczone pozostałymi sześcioma. W pola środkowe wpisano dwanaście znaków zodiaku, a ich kolejność podpowiadała, w jakiej sekwencji należy czytać pola wchodzące w skład wyrysowanej na tabliczce siatki. Z sześciu pól otaczających każdy ze znaków zodiaku odczytać można było ciąg dziwnych zdań, na przykład w przypadku Skorpiona: „Trafi ci się dobre piwo”, w przypadku Bliźniąt zaś: „Poznasz przyjaciela”.

Wygląda zatem na to, że gra ta służyła też do wróżenia. Jak się zresztą okazuje, w całej wczesnej historii gier traktowano je jako nie tylko formę spędzania wolnego czasu, ale także sposób przewidywania przyszłości. Analogie pomiędzy grami a życiem były dla starożytnych czymś niemal magicznym. Przypadkowość wyniku rzutu kostką to przecież świetna metafora tego, jak bardzo los ludzki zależny jest od sił zewnętrznych.

Gra, o której tu opowiadam, była z pewnością popularna – na terenie Iraku, Iranu, Izraela, Jordanii, Libanu, Turcji, Cypru, Egiptu, a także na Krecie odnaleziono setki podobnych plansz z okresu obejmującego niemal dwa tysiące lat. Istnieją nawet dowody na to, że w bardzo podobną grę grywano jeszcze na początku XX wieku w żydowskiej społeczności w indyjskim mieście Koczin.

Niektóre z odnalezionych plansz mają inny układ, dzięki któremu łatwiej jest zrozumieć przebieg rozgrywki i z którego dowiadujemy się, które pola odpowiadają poszczególnym znakom zodiaku. Zamiast wąskiej kładki składającej się z dwóch pól i prowadzącej do sześciu pól ułożonych w prostokąt dwa na trzy widzimy na nich linię liczącą aż osiem pól, wychodzącą z prostokąta składającego się z dwunastu pól w układzie trzy na cztery. Sama ta środkowa linia liczyła zatem łącznie aż dwanaście pól – to właśnie one zdają się odpowiadać dwunastu znakom zodiaku.

Tekst zapisany pismem klinowym w dwóch kolumnach na odwrocie wspomnianej tabliczki podaje szczegółowe reguły gry. Są to najstarsze znane zasady gry planszowej, jednak nawet po przetłumaczeniu cechują się małą przejrzystością. Możliwe, że skryba sporządzał tak naprawdę zapis rozgrywki (prowadzonej przez osoby znające już dobrze wersję podstawową) na zaawansowanym poziomie.

Z tekstu na tabliczce dowiadujemy się, że każdy z graczy ma do dyspozycji pięć pionków, których nazwy nawiązują do określeń ptaków: jaskółka, ptak burzowy[7], kruk, kogut, orzeł. Pionki wyglądają identycznie, dlatego nie jest jasne, czy faktycznie odgrywały w grze rozmaite role, w zależności od tego, którego ptaka reprezentowały. (Uważa się, że pierwszą grą, w której poszczególnym bierkom przypisano konkretne, inne od siebie funkcje, były szachy). Możliwe jednak, że ptaki miały na przykład pojawiać się na planszy w różnych momentach rozgrywki. Nadana grze nazwa „stado psów” wiąże się natomiast z tym, że słowo „pies” w wielu starożytnych językach oznaczało właśnie pionek w grze. Można by zatem zapytać, po co pionkom psom nadawać nazwy ptaków. Istnieje ciekawe wyjaśnienie tej kwestii, sugerujące, że pięć ptaków przechodzących przez dwanaście znaków zodiaku jest być może odzwierciedleniem pięciu widocznych z Ziemi planet przechodzących kolejno przez dwanaście zodiakalnych konstelacji. Mars na przykład tradycyjnie kojarzony jest z krukiem; być może pozostałe ptaki również mają odpowiedniki wśród ciał niebieskich.

Jeśli chodzi o samą rozgrywkę, gracze zasiadali zapewne po przeciwnych stronach planszy i najpierw przesuwali pionki po czterech polach po swojej stronie, a następnie wchodzili na wspólny tor składający się z dwunastu pól. Celem grających było doprowadzenie wszystkich swoich pionków do końca toru, zanim uczyni to przeciwnik. Gracze mogli sobie jednak przeszkadzać – stając na polu zajętym już przez oponenta, wysyłało się jego pionek z powrotem na początek planszy.

Przepiękne, symetryczne wzory na inkrustowanej muszlami planszy to więcej niż tylko ozdoba. Pola oznaczone rozetami to pola bezpieczne, takie, na których przeciwnik nie może nam zaszkodzić. Co więcej, według zasad zaawansowanej rozgrywki spisanych na glinianej tabliczce pionek, który stanął na takim polu, był za to nagradzany. Nagrody te opisano dość barwnym językiem, na przykład jaskółka na rozecie da nam „sukces przy kobiecie”. Inne gatunki ptaków miały dawać graczowi jedzenie bądź piwo. Przekładało się to też na punktację, odzwierciedlającą prawdopodobieństwo, z jakim dany ptak ma szansę stanąć na rozecie. I tak na przykład orzeł wchodzi do gry dopiero na dziesiątym polu, zatem do końca wyścigu ma tylko dwa pola oznaczone rozetą i w związku z tym uzyskuje wysoką liczbę punktów, jeśli uda mu się stanąć na jednym z nich. Spisana pismem klinowym instrukcja przewiduje też, że jeżeli pionek przejdzie po polu z rozetą bez zatrzymywania się na nim, z puli gracza potrącane są karne punkty, co określane jest fantazyjnie jako „głód” albo „porażka przy kobiecie”.

Gra jest zatem dość złożona – to nie tylko wyścig, lecz także rozgrywka, w której zdobywa się punkty, różne pionki odgrywają różne role, kolejno wkraczając do gry, a wszystko to opatrzone jest dodatkową warstwą narracji zbudowanej wokół wróżb.

Zanim gra dotarła do British Museum, przebyła jednak długą i skomplikowaną drogę. Jako dziewięciolatek nie zastanawiałem się nad tym, dlaczego w ogóle gra pochodząca z Mezopotamii znajduje się w muzeum w Londynie. Kiedy jednak myślę o tym po latach, towarzyszy mi bolesna świadomość tego, że zamiłowanie minionych pokoleń do kolekcjonowania artefaktów z całego świata wiązało się w gruncie rzeczy z okradaniem kultur, z których te przedmioty pochodzą, z ich dziedzictwa. Ta ważna refleksja towarzyszy mi, kiedy sam przemierzam kontynenty – granica pomiędzy podziwianiem kultury i poznawaniem jej poprzez odkrywanie gier a pozbawionym szacunku zawłaszczaniem ich dla własnej rozrywki jest bowiem naprawdę cienka. Nawet jeśli nie dochodzi do fizycznej kradzieży gry, przedmiotem rabunku może paść sam pomysł na nią. Dosyć często podczas mojej podróży dookoła świata okazywało się, że gry, o których sądziłem, że pochodzą z Zachodu, inspirowane są grami z Indii czy Azji, choć wcale się o tym nie wspomina.

Oprócz tego, że przyszło jej tułać się przez pół świata, warto zaznaczyć, że królewska gra z Ur to niezwykły dowód istnienia głęboko zakorzenionej u człowieka potrzeby tworzenia gier i grania w nie. Dzięki temu, że Irving Finkel podjął się odszyfrowania jej zasad, otrzymała nowe życie. Kiedy podczas niedawnej wizyty w British Museum wspominałem, jak będąc dzieckiem, natknąłem się tam na starożytną planszę, odkryłem, że w muzealnym sklepiku można obecnie kupić replikę gry w stado psów, znanej dzisiaj jako królewska gra z Ur – nie mogłem się powstrzymać i nabyłem egzemplarz dla siebie. Daleko mu oczywiście do urody oryginału, do tego instrukcję wydrukowano na papierze, a nie odciśnięto w glinianej tabliczce. Mimo to dobrze jest móc rozegrać partyjkę tej samej gry, w której pięć tysięcy lat temu lubowali się Babilończycy.

3. Senet

Starożytni Egipcjanie nie pozostawali w tyle za sąsiadami z Babilonu, mieli bowiem własną, opartą na mechanice wyścigu grę – seneta. Plansza miała jednak w przypadku Egipcjan znacznie mniej skomplikowany kształt – grali oni bowiem na trzydziestu polach ułożonych w prostokąt trzy na dziesięć. Na ścianach grobowców, w tym choćby na pochodzącym z XXVII wieku przed naszą erą grobie Hesy-Re, naczelnego dentysty i zapalonego kolekcjonera gier, odkryto malunki przedstawiające ludzi grających w seneta. Niestety, zapiski na papirusie nie miały szansy przetrwać tylu lat, co babilońskie tabliczki gliniane, więc nie zachowały się żadne instrukcje opisujące reguły rozgrywki. Częściowo można je jednak odtworzyć na podstawie wspomnianych już malowideł ściennych.

Gracze rozpoczynali rozgrywkę od ustawienia na zmianę po pięć pionków na początku planszy. Często dysponowali zestawami pionków różniących się kształtem, które można by określić jako pionki i szpulki albo lwie głowy i psy. Gra polegała na jak najszybszym doprowadzeniu ich do końca planszy. Po drodze rywale mogli zbijać nawzajem swoje pionki i odsyłać je na początek, podobnie jak w tryktraku, przy czym pionków pogrupowanych w trójki nie można było atakować ani przeskakiwać.

Wciąż mam w pamięci, jakie poruszenie wywołała w Londynie wystawa skarbów Tutenchamona w 1972 roku. Większość znajomych ekscytowała się mumiami, jednak moją uwagę przykuły niesamowite plansze do gry – okazało się bowiem, że te do seneta nie tylko widniały na malowidłach naściennych, lecz także chowano je wraz z innymi skarbami w grobowcach z myślą o tym, by towarzyszyły zmarłym w życiu pośmiertnym. W grobowcu Tutenchamona odnaleziono aż pięć wersji gry. Jedna z nich robiła szczególne wrażenie – na drewnianej konstrukcji przypominającej płozy sań umieszczono planszę wykonaną z mahoniu i kości słoniowej, pod którą znajdowała się szufladka na pionki. Ci, którzy nie mogli sobie pozwolić na tak zdobne plansze, wycinali siatkę trzy na dziesięć pól na płaskich dachach budynków. Jednym z przykładów jest pochodząca z I wieku naszej ery plansza wykreślona na dachu sali hipostylowej świątyni poświęconej bogini Hathor w egipskiej miejscowości Dendera.

Fakt, że Egipcjanie umieszczali tę grę w grobowcach zmarłych faraonów, ma szczególne znaczenie. Sama jej nazwa, senet, oznacza „przejście”, ponieważ nie była to tylko gra, lecz także opowieść o przejściu do życia pozagrobowego. Pięć pól znajdujących się na końcu planszy zawsze oznaczano zgodnie ze szczególną symboliką odnoszącą się zarówno do samej gry, jak i do podróży od życia ku śmierci. Na piątym polu od końca znajdował się okrąg z symbolem „+”. Pole to nazywano Domem Szczęścia – pionka, który na nim stanął, rywal nie mógł zbić bądź przeskoczyć. Kolejne pole, zawierające znak „X” lub faliste linie, określano Domem Wody. Pionek, który zatrzymał się na nim, trzeba było cofnąć na pole położone pośrodku planszy, czyli do Domu Odrodzenia. Ostatnie trzy pola ponumerowano symbolami „III”, „II”, „I”, z których każdy wskazywał wynik, jaki należy uzyskać, żeby wyprowadzić pionki poza planszę, do tego, co czeka człowieka po śmierci. Na niektórych planszach zamiast cyfr widniały ptaki, symbolizujące ostatnią drogę ludzkiej duszy. Widzimy więc, że senet był zarówno grą, jak i wyrazem pragnienia nieśmiertelności po zakończeniu życia doczesnego.

W zbiorach British Museum znajduje się piękny zwój papirusu z rysunkiem przedstawiającym Hunefera, skrybę królewskiego, grającego w seneta. Papirus jest częścią Księgi umarłych, która opisuje pochówek Hunefera, a biorąc pod uwagę, że ten był skrybą, wydaje się prawdopodobne, że sam ową księgę napisał. Na ilustracji przedstawiającej uroczystości odbywające się przy wejściu do grobowca w dniu pochówku Hunefer gra w seneta, jakby już walczył z losem o miejsce w zaświatach.

Grę uwieczniono również na ścianie grobowca Pepiego Ankha w miejscowości Meir. Malunkowi, pochodzącemu z 2300 roku przed naszą erą, towarzyszą hieroglify, dzięki którym poznajemy intrygującą wymianę zdań pomiędzy graczami. Jeden z nich chwali się: „Oto wylądował. Ciesz się, serce ty moje, bo sprawię, że ujrzysz, jak znika”. Jego rywal nie ma jednak zamiaru tak szybko się poddawać: „Niewłaściwie prawisz, przejdę bowiem ja”.

Jako matematyk uważam, że cywilizacje babilońska i egipska stanowiły punkt zwrotny w historii rozwoju naszego gatunku – to ich przedstawiciele jako pierwsi przeszli od zwykłego liczenia i mierzenia do naprawdę interesującej matematyki. Co ciekawe, to właśnie te dwie cywilizacje stworzyły również pierwsze gry oparte na złożonych regułach, a to wskazywałoby, iż moje przeświadczenie na temat tego, że istnieje głęboki związek pomiędzy matematyką a grami, nie jest całkiem chybione.

Stworzenie gry polega na określeniu reguł zachowania pionków na planszy. Reguły te powinny być proste, a ich logiczne konsekwencje – bogate i zróżnicowane. Zasady muszą też być spójne i rozsądne tak, żeby nie rodziły nieporozumień czy sprzeczności.

Fakt, że cywilizacje babilońska i egipska stworzyły opisane tu gry, świadczy o tym, iż dostrzegały, że otaczającym je światem kierują pewne reguły matematyczne. Wykazały się również przekonaniem, że możliwe jest zrozumienie tych zasad, a nawet wykorzystanie ich do panowania nad otoczeniem. Zauważ i zrozum schemat, wedle którego rozlewają się wody Nilu, a wygrasz rolniczą grę w życie. Opanuj matematyczne reguły budownictwa, a będziesz mógł zbudować imperium ogromne niczym sam Babilon.

W owym czasie granie nie było jednak jeszcze szczególnie wciągającą rozrywką. W senecie mamy wprawdzie do czynienia z wyścigiem graczy podobnym do tego w królewskiej grze z Ur, jest on natomiast znacznie bardziej nużący, a już z całą pewnością daleko mu do dramatyzmu towarzyszącego rozgrywce w tryktraka. Wystarczy, że nasz pionek utknie gdzieś blisko końca trasy, a pozostaje nam jedynie czekać, aż uda nam się wykonać ruch umożliwiający dotarcie do końca planszy. W senecie najzwyczajniej w świecie brakuje zwrotów akcji, które towarzyszą nam w grze stworzonej przez Babilończyków. Co więcej, chociaż obie cywilizacje świetnie orientowały się w matematyce, to właśnie Babilończyków oceniłbym jako bardziej uzdolnionych w tej dziedzinie. Weźmy na przykład zapis liczb – Egipcjanie wymyślali nowe hieroglify dla coraz większych liczb, natomiast Babilończycy poszli o krok dalej i wpadli na sprytny pomysł posłużenia się pozycyjnym systemem liczbowym.

Egipcjanie dokonali ogromnego postępu w geometrii i opracowali przemyślny wzór na objętość piramidy (przydatny choćby do obliczenia, ile bloków potrzeba do zbudowania niesamowitych budowli na pustyni w Gizie). Jednak to właśnie Babilończycy już wcześniej wypracowali algorytmy służące do rozwiązywania równań kwadratowych, przydatne do… cóż, nie do końca przydatne, co nie zmienia faktu, że z pewnością dobrze się przy tym bawili, poczuli bowiem, iż matematyka może być źródłem przyjemności. Obie cywilizacje zdawały sobie sprawę ze znaczenia liczby pi i wymyśliły różne strategie obliczania stosunku obwodu koła do jego średnicy. Egipcjanie oszacowali, że jest to około (w przybliżeniu 3,16), według szacunków Babilończyków zaś liczba pi to około (3,125). Jak się przekonamy, w niektórych przypadkach do wskazania dokładnych szacunkowych wartości tej ważnej liczby mogła przyczynić się gra.

W zbiorach British Museum znajduje się także dość komiczny papirus z lat 1250–1150 przed naszą erą, przedstawiający zwierzęta grające w gry planszowe. Jest to zresztą motyw wielokrotnie w historii powracający.

Królewska gra z Ur i senet zostały przez wielu okrzyknięte wczesnymi protoplastami tryktraka. W obu przypadkach chodzi o wyścig, a nie walkę. W królewskiej grze z Ur gracze poruszają się w innych kierunkach, podobnie jak w tryktraku właśnie, natomiast w obu grach zbite pionki wracają na początek wyścigu. Dzięki lepszej mechanice królewska gra z Ur odniosła sukces również poza Babilonem, podczas gdy plansze do gry w seneta nie dotarły poza imperium egipskie, choć z drugiej strony udało im się przetrwać tysiące lat. Możliwe, że miał na to wpływ fakt, że senet był w Egipcie postrzegany nie tylko jako gra, lecz także jako integralna część procesu śmierci i przejścia do życia pozagrobowego. O podobnie głęboko zakorzenionym szacunku wobec śmierci, przeznaczenia i losu świadczą też inne pochodzące ze starożytności artefakty.

4. Kości do gry

Nie mielibyśmy możliwości zagrać w tryktraka, seneta ani królewską grę z Ur, gdyby nie kości do gry. Te mające zapewnić losowość rekwizyty są zresztą prawdopodobnie starsze od wszystkich trzech wspomnianych już gier, co odkryłem, kiedy pewnego dnia wcieliłem się w rolę archeologa amatora.

Było to lata temu, gdy podczas podróży do Izraela zabrałem dzieci na wykopaliska w Bet Guwrin. Prawdę mówiąc, byłem nieco zdziwiony tym, że ot tak wpuszczono tam rodzinę laików, ale kierownik prac wyjaśnił nam, dlaczego tak się stało. Otóż wiązało się to z faktem, że w czasach starożytnych było to bardzo popularne miejsce, które zamieszkiwały kolejne grupy ludności – w stopniowo odkrywanych warstwach starożytnych osad było tak wiele rzeczy do odkopania, że archeolodzy byli gotowi przymknąć oko na kilka stłuczonych naczyń w zamian za dodatkowe ręce do pracy.

Faktycznie udało nam się znaleźć całkiem sporo fragmentów naczyń – było wśród nich kilka interesujących wzorów, ale większość to przeciętne, gliniane skorupy. Odkryliśmy również sporo kości, co do których przypuszczaliśmy, że były pozostałościami po starożytnych ucztach. Archeolog, który się nami opiekował, zaskoczył nas jednak, gdy oznajmił, że w rzeczywistości były to jedne z najwcześniejszych kości do gry, określane mianem knucklebones[8]. Są to głównie astragale, kości skokowe zwierząt kopytnych, takich jak owce. Kostki te nie były raczej przysmakiem kulinarnym, za to ze względu na ich szczególny kształt nadano im zupełnie nową funkcję.

Kości skokowe są niemalże symetryczne, a kiedy się nimi rzuci, spadają na jeden z boków niczym nieco wydłużone prostopadłościany. Sprawia to, że są bardzo dobrymi kandydatkami na kostki do gry. Przewaga tych właśnie fragmentów zwierzęcych szkieletów nad innymi w miejscach takich jak Bet Guwrin dowodzi, że już starożytni lubili gry losowe. Tamtejsze znaleziska pochodzą sprzed ledwie około dwóch tysięcy lat, ale podobne kostki odkryto również na innych stanowiskach archeologicznych, których wiek szacuje się na siedem tysięcy lat.

W sierpniu 2022 roku w Bet Guwrin dokonano niezwykłego odkrycia. W przeciwieństwie do większości wcześniej wykopanych w tym miejscu astragali, na których nie widniały żadne inskrypcje, 530 nowo odkrytych kostek, co do których ustalono, że pochodzą sprzed 2300 lat, z okresu hellenistycznego, wyglądało inaczej. Na bokach niektórych z nich wyryto imiona greckich bóstw, takich jak Afrodyta, bogini płodności, czy Hermes, bóg handlu, na innych natomiast widniały bardziej przyziemne hasła, takie jak „złodziej”, „więzień” czy „stop”. Na tabliczkach znalezionych wraz z kostkami zapisano instrukcje dotyczące gry. Były tam również kości, które dociążono poprzez wypełnienie ich ołowiem.

Znalezisko to jest tak istotne, gdyż na bokach większości wcześniej wydobytych (również przez nas) kości nie widniały żadne inskrypcje. Według izraelskiego archeologa, doktora Lee Pri-Gala, owo nowe odkrycie to „coś wyjątkowego, zarówno pod względem jakości, jak i liczby inskrypcji na kościach. Kolekcja ta pokazuje, że w chwilach wątpliwości ludzie zwracali się w poszukiwaniu odpowiedzi ku siłom zewnętrznych, takim jak magia czy bogowie. W czasach starożytnych ludzie – a zwłaszcza kobiety – borykali się z ciągłą niepewnością i starali się chronić siebie za pomocą magii. Kostki takie jak te traktowano jak amulety i umieszczano przy wejściu do domu z nadzieją, że przyniosą pomyślność jego mieszkańcom”[9].

Jeśli chodzi o różne wartości nadawane poszczególnym wynikom rzutów, istotne znaczenie miała zapewne asymetryczna forma kostek. Rzymianie każdą ze ścianek astragali nazywali inaczej, nawiązując do kształtu, z jakim im się kojarzyła – mieli więc brzuch, dziurę, ucho i sępa. Z kolei w Mongolii, gdzie kości do gry określa się terminem shagai, stosuje się nazwy zwierząt: koń, wielbłąd, owca, koza. Zdarza się też, choć rzadko, że kość upadnie na piątą, niezbyt stabilną ściankę, którą Mongołowie nazywają krową.

Odmienne kształty poszczególnych ścianek przekładają się na różne prawdopodobieństwo ich wyrzucenia. To z kolei oznacza, że ścianki, które wypadają rzadziej, dają graczowi inną liczbę punktów niż te, które wyrzucane są częściej. Ścianki określane przez Rzymian jako brzuch i otwór są znacznie szersze niż pozostałe, a zatem rzymscy gracze przypisywali im – jako rzadziej wyrzucanym – sześć punktów i jeden punkt, bardziej płaskie ścianki zaś uważali za warte trzy i cztery punkty, w ten sposób uwzględniając w punktacji fakt, że zarówno niebywałe szczęście, jak i pech zdarzają się jedynie sporadycznie. Współczesna analiza tych kostek wykazała, że prawdopodobieństwo wyrzucenia rzadkich ścianek wynosi jeden do dziesięciu, natomiast którąś z szerszych ścianek wyrzucimy mniej więcej cztery na dziesięć razy.

Na wspomnianej wcześniej tabliczce, opisującej pismem klinowym zaawansowane zasady królewskiej gry z Ur, skryba wspomina, że do gry używa się dwóch kostek o różnych rozmiarach: jednej kostki owcy i jednej wołu. Finkel przypuszcza, że po rzucie kostką owcy gracze mieli możliwość wyboru, czy chcą rzucić również kostką wołową i – w zależności od wyniku tego rzutu – zyskać szansę na podwojenie liczby uzyskanych punktów, ryzykując jednak utratę kolejki w razie niepowodzenia. Przypomina to nieco koncepcję kostki dublującej w tryktraku, którą omówię na końcu rozdziału.

Wiadomo, że Rzymianie rzucali zazwyczaj czterema takimi kośćmi, przy czym prawo rzymskie stanowiło, że granie należy ograniczać do Saturnaliów – święta na cześć boga Saturna obchodzonego w grudniu. Wyrzucenie samych jedynek nazywano czasami „zdobyciem psa”, niekiedy także „sępem”. Zwycięstwo przynosiło natomiast najprawdopodobniej wyrzucenie Wenus, czyli sytuacja, w której na każdej kości wypadła inna ścianka. Jak pisze cesarz August: „Zarówno wczoraj, jak i dziś graliśmy podczas posiłku jak starcy, bo gdy kości zostały już rzucone, ten, kto wyrzucił psa lub szóstkę, wkładał do puli denara za każdą kostkę, a całość zgarniał ten, kto wyrzucił Wenus”. Cesarz Klaudiusz był tak uzależniony od gier, że jak ujął to Swetoniusz w Żywotach Cezarów: „grywał nawet, powożąc, na planszy przytwierdzonej do powozu w taki sposób, żeby nie musieć gry przerywać”.

Kośćmi rzucano nie tylko po to, żeby określić punktację, lecz także korzystano z nich w inny sposób, w grach, które do dziś znane są na całym świecie. Gracze popisywali się zręcznością, na zmianę podrzucając i łapiąc kości w określony sposób – należało na przykład podrzucić kość jedną ręką, a następnie, zanim ta upadnie, podnieść inną kość drugą dłonią.

Również i te gry służyły nie tylko rozrywce, ale i wróżbom. Rzymianie przychodzili do świątyni, gdzie rzucali czterema lub pięcioma kostkami albo robił to w ich imieniu kapłan, zwracając się w ten sposób do wyroczni z prośbą o przewidzenie przyszłości przybyszy. I tak na przykład rzut Kronosa dzieciożercy, czyli trzy czwórki i dwie szóstki, przynosił następujący omen: „Pozostań w swym domu, nie idź nigdzie indziej, by nie zbliżyła się do ciebie żarłoczna i niszczycielska bestia. Nie widzę bowiem, by było to bezpieczne. Nie spiesz się jednak”.

W świątyniach tybetańskich także wykorzystywano planszę o wymiarach osiem na siedem pól i kostki, tym razem po to, by przewidzieć, w jakiej postaci dana osoba odrodzi się w cyklu reinkarnacji. Laurence Waddell, wiktoriański badacz buddyzmu, odkrył jednak przy okazji wizyty w Tybecie, że kapłani grali nie do końca uczciwie: „Kostka towarzysząca mojej planszy wydaje się obciążona w taki sposób, żeby wypadała litera »Y«, oznaczająca nieuniknioną egzystencję jako duch, co z kolei wymaga odprawienia wielu kosztownych rytuałów przeciwdziałających tak marnemu losowi”. Bywało więc i tak, że kapłani używali obciążonych kości, a następnie zarabiali na złych wróżbach, które z tego wynikały.

Z czasem zrodziła się coraz silniejsza potrzeba zastosowania w grach takiego kształtu kostki, w którym żadna ze ścian nie byłaby lepsza od innych. Rozwiązaniem była symetria, gracze zaczęli zatem nadawać dotychczas wykorzystywanym kościom kształty, które zapewniałyby bardziej sprawiedliwe wyniki rzutów. Możliwe, że niespodziewanym efektem ubocznym tego procesu było odkrycie matematyczne: bryły platońskie.

Przypisy

[1] Oryginalna, angielska nazwa tej gry to Ticket to Ride (wszystkie przypisy pochodzą od tłumaczki).

[2] A dokładniej: niepodzielne przez żadne inne liczby niż przez 1 i przez same siebie.

[3] Użyte przez autora, pochodzące z języka francuskiego słowo passe-partout oznacza „stały bilet wstępu”, a także „klucz uniwersalny”, a jednocześnie nawiązuje do postaci z powieści Verne’a – Jean Passepartout to kamerdyner towarzyszący Foggowi w podróży dookoła świata, bez którego bezpieczne i terminowe zakończenie jej byłoby zapewne niemożliwe.

[4] Gry dla pokoju.

[5] Jest to o tyle zrozumiałe, że słowo gammon to po angielsku rodzaj wędliny wieprzowej.

[6] Dosłownie: gra z tyłu/do tyłu.

[7] Prawdopodobnie chodzi o kukiela pacyficznego (Eudynamys orientalis), ptaka z rodziny kukułkowatych, potocznie zwanego ptakiem burzowym albo deszczowym.

[8] Dosłownie: astragale. Słowo knucklebones jest również nazwą gry z użyciem takich przedmiotów, znanej w Polsce jako hacele.

[9] Ten i następne cytaty nieoznaczone przypisem bibliograficznym podaję we własnym tłumaczeniu.