Panu Profesorowi Michałowi Krejcy z zespołem,
dzięki któremu było możliwe ukończenie tej książki

Projekt serii

Małgorzata Smogorzewska

Opracowanie graficzne

Przemysław Spiechowski

Wydawca

Dorota Siudowska-Mieszkowska

Koordynator ds. redakcji

Renata Ziółkowska

Redakcja i korekta

Jadwiga Witecka

Koordynator produkcji

Mariola Iwona Keppel

Recenzent

Dr Krzysztof Ostaszewski

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwa Naukowego PWN

Katarzyna Błaszczyk/Woblink

Ksiażka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostepnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jesli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiujac jej cześć, rób to jedynie na użytek osobisty. Szanujmy cudzą własność i prawo.

Wiecej na www.legalnakultura.pl.

Polska Izba Ksiażki

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2022

ISBN 978-83-01-22120-1

DOI: https://doi.org/10.53271/2021.031

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2022 r., (wyd. I)

Warszawa 2022

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321, faks 22 69 54 288

infolinia 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl; reklama@pwn.pl

www.pwn.pl

Spis treści

Wstęp

Rozdział 1. Modelowanie ryzyka

1.1. Model ryzyka indywidualnego

1.2. Funkcje generujące momenty i kumulanty

1.3. Model ryzyka łącznego

1.3.1. Liczba szkód w portfelu

1.3.2. Złożone rozkłady łącznej wartości szkód

1.3.3. Wzór rekurencyjny Panjera

1.3.4. Dyskretyzacja ciągłych rozkładów pojedynczej szkody

1.3.5. Funkcja generująca prawdopodobieństwo

Rozdział 2. Modelowanie wypłacalności zakładu ubezpieczeń

2.1. Model dyskretny

2.1.1. Prawdopodobieństwo ruiny i współczynnik dopasowania

2.1.2. Własności operatora ryzyka

2.1.3. Rozkład deficytu w chwili ruiny

2.1.4. Oszacowania rozkładu deficytu

2.1.5. Ogólna metoda uzyskiwania oszacowań górnych i dolnych

2.2. Model ciągły i jego związki z modelem dyskretnym

2.2.1. Złożony model Poissona

2.2.2. Wzór na prawdopodobieństwo ruiny w nieskończonym horyzoncie

2.3. Przełącznikowy model Sparre Andersena

2.3.1. Wektor dopasowania

2.3.2. Operator ryzyka i jego własności

2.3.3. Wzory na prawdopodobieństwo ruiny w skończonym i nieskończonym horyzoncie

2.3.4. Przykłady zastosowań

2.4. Metoda top-down

Rozdział 3. Wprowadzenie do metod naliczania składek ubezpieczeniowych

3.1. Przegląd reguł naliczania składki

3.2. Podstawowe własności reguł naliczania składki

3.3. Optymalny podział składki w konsorcjum ubezpieczycieli

3.4. Towarzystwa ubezpieczeń wzajemnych – korekta składki

Rozdział 4. Systemy bonus-malus określania składki

4.1. System holenderski

4.2. Matematyczny opis systemu bonus-malus za pomocą łańcucha Markowa

4.2.1. Operator P generowany przez macierz przejścia

4.2.2. Warunek wystarczający, aby P był zwężający

4.2.3. Rozkład stacjonarny jako punkt stały P

4.2.4. Warunek wystarczający i konieczny istnienia rozkładu stacjonarnego

4.3. Efektywność Loimaranta

4.3.1. Subsydiowanie „złych” kierowców przez „dobrych” kierowców

4.3.2. Apetyt na bonusy

4.3.3. Wyznaczanie efektywności Loimaranta bez znajomości rozkładu stacjonarnego

Rozdział 5. Teoria zaufania

5.1. Sformułowanie problemu

5.2. Estymator bayesowski składki indywidualnej

5.3. Powiązanie z systemem bonus-malus

5.3.1. Założenia modelu Bichsela

5.3.2. Estymacja parametrów ryzyka

5.3.3. Kalkulacja współczynników bonus-malus

5.4. Najlepszy liniowy estymator składki indywidualnej

5.4.1. Prosty model heterogeniczny

5.4.2. Model Bühlmanna–Strauba

Rozdział 6. Rezerwy typu IBNR

6.1. Metoda chain ladder

6.1.1. Estymacja szkodowości metodą największej wiarogodności

6.1.2. Algorytm wyznaczania współczynników w metodzie chain ladder

6.2. Metoda oddzielania arytmetycznego

6.2.1. Ekstrapolacja metodą najmniejszych kwadratów

6.2.2. Algorytm wyznaczania współczynników

6.3. Metoda oddzielania geometrycznego i inne modyfikacje chain ladder

Bibliografia

Przypisy

Wstęp

Niniejsza monografia dotyczy metod takiego określenia składki ubezpieczeniowej, aby osiągnąć jednocześnie dwa cele:

1. zapewnić wypłacalność zakładu ubezpieczeń z odpowiednio dużym prawdopodobieństwem,

2. zachować konkurencyjność ubezpieczyciela na rynku.

Ponieważ wypłacalność ubezpieczyciela zależy od wielkości łącznej składki dla portfela polis, a konkurencyjność – od wielkości indywidualnej składki pojedynczego klienta, głównym obiektem naszego zainteresowania będzie badanie wzajemnej relacji tych składek.

W rozdziale 1 omawiamy podstawowe modele opisujące ryzyko pojedynczych klientów i ich zbiorowości, jak np. grupy ryzyka.

W rozdziale 2 przedstawiamy modele wypłacalności ubezpieczyciela, ze szczególnym uwzględnieniem modeli dyskretnych. Specjalną uwagę poświęcamy przełącznikowemu modelowi Sparre Andersena, na temat którego w literaturze można znaleźć niewiele wyników.

Rozdział 3 zawiera przegląd podstawowych reguł naliczania składek oraz omówienie ich własności.

Rozdział 4 prezentuje metodę bonus malus indywidualizacji składki pojedynczego klienta z uwzględnieniem historii jego szkodowości. Omawiamy w nim łańcuchy Markowa, które dobrze opisują własności metody bonus malus. Podajemy także pełną charakteryzację stacjonarności rozkładu stanów łańcucha Markowa.

W rozdziale 5 przedstawiamy teorię zaufania i jej związek z metodą bonus malus.

Szczegółowo omawiamy podejście bayesowskie oraz model Bühlmanna–Strauba.

Rozdział 6 dotyczy metod tworzenia rezerw dla ubezpieczeń majątkowych. Ponieważ są to na ogół ubezpieczenia krótkoterminowe (roczne lub krótsze), istotną rolę odgrywają w nich rezerwy na ryzyka, które zaszły, ale nie zostały jeszcze zgłoszone (IBNR). Rozdział 6 jest poświęcony omówieniu różnych wariantów rezerw typu IBNR.

Jak zauważyliśmy wyżej, ubezpieczenia majątkowe mają charakter krótkoterminowy, dlatego zmiana wartości pieniądza w czasie nie odgrywa w nich tak dużej roli jak w ubezpieczeniach życiowych. Z tego powodu ryzyko stopy procentowej będzie pomijane, a wszystkie rozliczenia będą dokonywane według ustalonej wartości w chwili obecnej. Niemniej jednak stopa procentowa w skali roku może być istotnym czynnikiem generowania zysku w grupie kapitałowej, co jest dokładniej omówione np. w pozycji Buffett (2004).

Monografia powstała na podstawie pozycji wymienionej w bibliografii, z wykorzystaniem wcześniej niepublikowanych prac własnych autora. Przy tej okazji autor składa podziękowanie Profesorowi Krzysztofowi Ostaszewskiemu, dyrektorowi Actuarial Centre of Excellencena Illinois State Universityza poprowadzenie wykładu na podstawie manuskryptu tej monografii na Politechnice Łódzkiej w roku akademickim 2020 2021. Uwagi zebrane w trakcie wykładu zostały uwzględnione przy końcowej redakcji monografii. Autor dziękuje również Pani Doktor Elżbiecie Krajewskiej za uwagi dotyczące wstępnych wersji tekstu.

Osobne podziękowania należą się Pani Kindze Fryś, której udział w tworzeniu tego tekstu jest trudny do przecenienia.

Rozdział 1

Modelowanie ryzyka

Polisa ubezpieczeniowa jest umową między ubezpieczycielem a klientem, która przenosi na zakład ubezpieczeń, w zamian za z góry opłaconą składkę, skutki finansowe opisanych w niej różnych rodzajów ryzyk. Rozróżnienie między polisą ubezpieczeniową a ryzykiem jest dość subtelne: jedna polisa może zawierać wiele rodzajów ryzyk, a jedno ryzyko może być wspólne dla wielu polis. Na przykład polisa OC, oprócz ryzyka szkód w pojeździe osoby trzeciej, ubezpiecza także ryzyko uszczerbku na zdrowiu tych osób. Z kolei ryzyko powodzi jest wspólne dla wielu polis ubezpieczenia majątku na obszarze zagrożonym powodzią. Jednakże tam, gdzie nie będzie prowadzić to do nieporozumień, oba te pojęcia będziemy stosować dość swobodnie w zamienny sposób.

1.1. Model ryzyka indywidualnego

Zacznijmy od omówienia przypadku portfela, w którym każda polisa generuje nieujemną szkodę, przy czym z jednej polisy nie może być więcej niż jedna dodatnia szkoda. Nieujemna zmienna losowa Y określona na przestrzeni probabilistycznej () oznaczać będzie wyrażoną w jednostkach pieniężnych wielkość szkody. Zakładać będziemy, że (Y = 0) = 1 - q, gdzie q ∈ (0, 1), natomiast na zbiorze (0,∞), zmienna Y może być typu ciągłego lub dyskretnego. W efekcie Y będzie albo typu mieszanego, z atomem w zerze i ciągłym rozkładem na półosi dodatniej, albo typu dyskretnego z najmniejszym atomem w zerze.

Dystrybuantę FY zmiennej losowej typu mieszanego Y o zbiorze atomów Z = {zi} można zapisać w postaci

gdzie fY jest gęstością Lebesgue’a części absolutnie ciągłej rozkładu Y , przy czym będziemy przyjmować, że sumowanie (lub odpowiednio całkowanie) przebiegać będzie po zbiorze wszystkich wartości, jeśli obszar sumowania (całkowania) nie został specjalnie wyróżniony. Niech = (−∞, ∞). Dla funkcji borelowskiej h : → , na mocy definicji

(1.1)

Będziemy przyjmować, że [h(Y)] istnieje i jest skończona, gdy suma i całka we wzorze (1.1) istnieją i są skończone. Wzór (1.1) można zapisać za pomocą tzw. całki Lebesgue’a–Stiltjesa:

którą należy rozumieć jako skrócony zapis (1.1).

Ubezpieczyciel w praktyce rejestruje tylko szkody dodatnie. Dystrybuanta warunkowa

jest dystrybuantą takiej dodatniej zmiennej losowej X, że

Zmienne losowe X i Y są sobie równe na przestrzeni zdarzeń elementarnych obciętej przez zdarzenie {Y > 0}. W bazie danych szkodowych ubezpieczyciel rejestruje wyłącznie realizacje zmiennej losowej X.

Mamy

Podobnie

oraz

Zmienne X i Y służą do modelowania szkodowości portfela. Niech n oznacza liczbę polis w portfelu, a J oznacza zbiór indeksów polis, na których wystąpiły dodatnie szkody. Łączna szkoda z portfela, S, dana jest wzorem

(1.2)

gdzie Yi jest nieujemną szkodą z i-tej polisy, a Xi dla i ∈ J jest odpowiadającą jej szkodą dodatnią. Zbiór J jest losowy. Jeżeli założymy, że Yi są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie z dystrybuantą FY, to obcięte zmienne losowe Xi, i ∈ J, są też niezależne o tym samym rozkładzie z dystrybuantą FX . Powiemy wtedy, że portfel jest homogeniczny lub jednorodny. Portfel, który nie jest homogeniczny nazywać będziemy heterogenicznym lub niejednorodnym.

Oznaczmy losową liczność zbioru J przez N. W przypadku homogenicznego portfela

(1.3)

Ponadto

gdzie oznacza równość rozkładów zmiennych losowych X i Y . Powyższa równość wynika z faktu, że zmienne Xi są niezależne i mają ten sam rozkład. Po uwzględnieniu równości (1.2) otrzymujemy zatem

(1.4)

Równość rozkładów zmiennych losowych nie oznacza oczywiście równości tych zmiennych, tym niemniej w tym podrozdziale interesować nas będzie rozkład S oraz wartości funkcjonałów od tego rozkładu (jak np. momenty zwyczajne, centralne itp.), a dla tych celów reprezentacja (1.4) jest wystarczająca.

Równość (1.4) ma następujące zalety:

- wyraża rozkład łącznej szkody za pomocą obserwowalnych zmiennych X j ;

- w dalszej części wykładu będzie można odejść od poczynionych dotąd założeń o niezależności i jednakowym rozkładzie składników.

Aby wyznaczyć rozkład łącznej szkody S z portfela polis, wystarczy zatem wyznaczyć rozkład sumy losowej liczby niezależnych składników o tym samym rozkładzie. Zacznijmy od sumy dwu takich zmiennych losowych U i V . Z niezależności U i V mamy

(1.5)

Powyższą równość zapisujemy symbolicznie

FU+V = FU ∗ FV ,

przy czym będziemy mówić, że rozkład (dystrybuanta) sumy zmiennych losowych jest splotem rozkładów (dystrybuant) składników. W równości (1.5) nie korzystaliśmy z tego, że zmienne losowe U i V są nieujemne i mają ten sam rozkład – zatem równość zachodzi dla dowolnych niezależnych zmiennych losowych.

Ponieważ sumowanie skończonej liczby składników nie zależy od kolejności dodawania, operacja splotu jest symetryczna, tzn.

FU ∗ FV = FV ∗ FU .

Jeżeli U i V są typu ciągłego o gęstościach fU i fV, to gęstość fU+V sumy U + V jest postaci

(1.6)

Przykład 1.1

Jeżeli U, V są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym

to suma U + V ma rozkład gamma o gęstości

Istotnie, z wzoru (1.6) otrzymujemy dla x ≥ 0,

Jeśli x < 0, to dla v ≥0 zbiór {x − v ≥ 0} jest pusty i fU+V (x) = 0.

Niech oznacza zbiór {1, 2, ...}.

Definicja 1.1

Mówimy, że skokowa zmienna losowa ma rozkład arytmetyczny, jeżeli jej zbiór atomów zawarty jest w zbiorze ∪ {0}.

Przykład 1.2

Przykładem rozkładu arytmetycznego jest rozkład Poissona:

gdzie > 0 oznacza jego intensywność.

Dla zmiennych o rozkładzie arytmetycznym wzór (1.5) przyjmuje następującą postać:

(1.7)

przy czym FV(-1)= 0. Gdy t < 0, sumowanie po prawej stronie równości zachodzi na pustym zbiorze indeksów i z definicji daje 0.

Przykład 1.3

Rozważmy dwie niezależne zmienne losowe U i V o rozkładach Poissona z parametrami 1, 2 > 0. Ze wzoru (1.7) dostajemy

Stąd prawdopodobieństwo, że U + V = t dla t ≥ 1 wyraża się wzorem

W przypadku gdy t = 0, z wzoru (1.7) dostajemy

A zatem splot dwu niezależnych zmiennych U i V , które mają rozkłady Poissona o intensywnościach 1 i 2 ma rozkład Poissona o intensywności 1 + 2.

Operację splotu dla rozkładów n niezależnych zmiennych losowych U_1, ..., Un definiujemy indukcyjnie, korzystając z definicji splotu dla n − 1 elementów. Niech S(n) = U_1 + ... + Un; wówczas

gdzie FS (n−1) jest zdefiniowane w poprzednim kroku indukcyjnym.

Przykład 1.4

Załóżmy, że X_1, . . ., Xn są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach Poissona z intensywnościami równymi odpowiednio 1, . . ., n. Z przykładu 1.3 wynika, że splot rozkładów dwu niezależnych zmiennych losowych o rozkładach Poissona z intensywnościami + 1, 2 jest rozkładem Poissona o intensywności 1 2. Postępując indukcyjnie zgodnie z powyższą definicją, otrzymujemy, że splotem rozkładów n zmiennych X_1, . . ., Xn jest rozkład Poissona o intensywności 1 + . . . + n.

1.2. Funkcje generujące momenty i kumulanty

Niech X będzie dowolną zmienną losową.

Definicja 1.2

Funkcję

MX (t) = [exp (t X)], t ∈ ,

nazywamy funkcją generującą momenty (FGM) zmiennej losowej X.

Zbiór , na którym MX(.) przyjmuje wartości skończone, zależy od rozkładu X.

Przykład 1.5

Rozważmy zmienną losową X o rozkładzie wykładniczym z gęstością

gdzie > 0 jest parametrem skali. Wówczas

Powyższa całka jest równa dla t < oraz +∞ dla t ≥ . A zatem

Dla dowolnej nieujemnej zmiennej losowej X, zbiór M_0 zawiera przedział (−∞, 0], gdyż dla t z tego przedziału zachodzi

Następujący lemat mówi, kiedy równość funkcji generującyh momenty implikuje równość dystrybuant zmiennych losowych.

Lemat 1.3

Jeżeli dla dwu nieujemnych zmiennych losowych X, Y :

Dowód. Patrz [16], twierdzenie 7 s. 378.

Twierdzenie 1.4

Dla dowolnej dodatniej zmiennej losowej X zachodzi równość

gdzie

Dowód. Mamy dla t ∈ M_0,

gdzie ostatnia równość wynika z tego, że jeżeli t > 0, to dla dowolnego a > 0,

oraz

zatem . Podobnie, jeżeli t ≤ 0, to

Twierdzenie 1.5

Jeśli dla nieujemnej zmiennej losowej X na pewnym otoczeniu punktu t_0 zachodzi , to

Dowód. Najpierw zauważmy, że jeżeli MX t jest skończona na pewnym otoczeniu t_0, to dla dostatecznie małego Δ > 0 zachodzą nierówności

a zatem . Następnie zauważmy, że pochodna

istnieje na mocy twierdzenie Lebesque’a o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki, jeśli . Istotnie, dla Δ > 0

Podobnie, dla Δ < 0

patrz rysunek 1.1 poniżej.

Dlatego

Wniosek 1.6

Kładąc t_0 = 0, otrzymamy równość

Podobnie można pokazać, że

Przykład 1.6

Rozkład Poissona. FGM dla zmiennej losowej X o rozkładzie Poissona (patrz przykład 1.2) ma następującą postać

gdzie > 0 jest intensywnością rozkładu Poissona. Stąd

Z wniosku 1.6 wynika wzór

Dalej

Po skorzystaniu z wniosku 1.6 otrzymujemy

Wariancja zmiennej losowej X wyraża się zatem wzorem

Rozkład Poissona jest jedynym rozkładem dyskretnym w rodzinie rozkładów typu wykładniczego (patrz punkt 6.1.1), który ma wariancję równą tożsamościowo wartości oczekiwanej.

Twierdzenie 1.7

Jeżeli funkcja generująca momenty nieujemnej zmiennej losowej X jest skończona dla pewnego t_0 > 0, to istnieją momenty [X k ] dowolnego rzędu k = 1, 2, . . . .

Dowód. Ponieważ dla t_0 > 0,

(1.8)

dla każdego k = 0, 1, 2, ..., zatem