Tytuł oryginału

GENERAL RELATIVITY

The Theoretical Minimum

Copyright © 2023 by Leonard Susskind

and André Cabannes

All rights reserved

Projekt okładki

Zbigniew Larwa

Redaktor prowadzący

Adrian Markowski

Redakcja

Anna Kaniewska

Korekta

Małgorzata Denys

ISBN 978-83-8352-736-9

Warszawa 2024

Wydawca

Prószyński Media Sp. z o.o.

02-697 Warszawa, ul. Rzymowskiego 28

www.proszynski.pl

Mojej rodzinie

– LS

Moim rodzicom,

którzy nauczyli mnie

pracowitości i wytrwałości

– AC

Przedmowa

W czwartej części cyklu Teoretyczne minimum omawiamy ogólną teorię względności, jest to więc naturalny ciąg dalszy tomu trzeciego, który był poświęcony szczególnej teorii względności.

Dzięki szczególnej teorii względności, opartej na bardzo prostej zasadzie głoszącej, że prawa fizyki powinny być takie same w nierozróżnialnych galileuszowych układach odniesienia, Einsteinowi udało się dogłębnie wyjaśnić w kilku artykułach opublikowanych w 1905 roku różne bardzo niepokojące obserwacje poczynione przez fizyków, a także równania opisujące światło i inne zjawiska, które sformułowano w ostatnich latach XIX i na początku XX wieku. Szczególna teoria względności doprowadziła do uzyskania niezwykłej konstrukcji opartej na czasoprzestrzeni – strukturze, w której czas i przestrzeń są ze sobą nierozerwalnie związane. Teoria ta pozwoliła na przykład wyjaśnić, jak to się dzieje, że cząstki o czasie połowicznego rozpadu wynoszącym ułamek sekundy mogą przemierzać drogę ze Słońca na Ziemię, której przebycie w naszym układzie odniesienia zabiera ponad osiem minut.

Później, w latach 1907–1915, Einstein praktycznie w pojedynkę powtórzył ten wyczyn, wychodząc tym razem od innej bardzo prostej zasady, z której wynika, że przyspieszenie i jednorodne pole grawitacyjne są zjawiskami równoważnymi. Zasada ta pozwoliła mu uogólnić szczególną teorię względności w taki sposób, by opisywała również czasoprzestrzeń zawierającą ciała obdarzone masą. Teoria ta, znana obecnie jako ogólna teoria względności, prowadzi do uzyskania jeszcze dziwniejszego opisu czasoprzestrzeni, w którym masa zakrzywia światło, a w ogólnym przypadku także przestrzeń i czas.

W wykładzie 1. przygotujemy podstawy pod nową teorię. Wyjaśnimy, że zasada równoważności w nieuchronny sposób prowadzi do wniosku, iż masywne ciała muszą zakrzywiać bieg promieni światła.

Wykład 2. będzie poświęcony rachunkowi tensorowemu, ponieważ w ogólnej teorii względności musimy bardzo często zmieniać układy odniesienia, a równania wiążące ze sobą współrzędne w różnych układach są równaniami tensorowymi. Dużą część ogólnej teorii względności wyraża się za pomocą równań tensorowych, ponieważ mają one ogromną zaletę polegającą na tym, że jeśli są spełnione w jednym układzie odniesienia, to muszą być spełnione także we wszystkich innych.

Wykłady 3., 4. i 5. poświęcimy omówieniu przestrzeni Riemanna i czasoprzestrzeni Minkowskiego, ponieważ można w dużym uproszczeniu powiedzieć, że grawitacja jest geometrią czasoprzestrzeni Minkowskiego.

W wykładach 6., 7. i 8. przyjrzymy się uważniej czarnym dziurom, nie tylko dlatego, że same w sobie są one interesującym zjawiskiem astronomicznym, ale również z tego powodu, że są odpowiednikiem newtonowskich mas punktowych w czasoprzestrzeni Minkowskiego. Jak się okazuje, własności czasoprzestrzeni w pobliżu czarnych dziur są o wiele bardziej niezwykłe od tych, jakie można zaobserwować w przestrzeni newtonowskiej w pobliżu mas punktowych. Jeśli chcemy zrozumieć ogólną teorię względności, musimy dobrze poznać czarne dziury, wytwarzaną przez nie metrykę i ich horyzont zdarzeń, opisać szczegółowo czas i grawitację w pobliżu tego horyzontu, a także wyjaśnić, jakie są możliwości nawiązania łączności między osobami znajdującymi się na zewnątrz i w środku czarnej dziury.

W wykładzie 9. przedstawimy skrócone wyprowadzenie równań pola Einsteina, natomiast wykład 10. będzie poświęcony omówieniu prostej możliwości praktycznego zastosowania przewidywań tych równań, która jest związana z falami grawitacyjnymi.

Ta książka, podobnie jak poprzednie tomy cyklu, jest rozwinięciem wykładów, które z ogromną przyjemnością wygłaszałem przez kilka lat na Uniwersytecie Stanforda w ramach programu Continuing Studies (edukacja ustawiczna) przeznaczonego dla dorosłych miłośników nauki.

Tym razem współautorem książki jest André Cabannes. Choć André nie zajmuje się zawodowo nauką, odebrał ścisłe wykształcenie, uzyskał stopień doktora na Uniwersytecie Stanforda i przez kilka lat wykładał nawet matematykę stosowaną w Massachusetts Institute of Technology (MIT). To doświadczenie było nieocenione podczas pisania tej książki.

Bardzo bym się cieszył, gdyby einsteinowski model uprawiania fizyki, który starałem się pokazać w tej książce – polegający na wychodzeniu od prostych zasad i niezmordowanym rozwijaniu opisu matematycznego i fizycznego aż do wyciągnięcia ostatecznych wniosków, bez względu na to, jak mogą być niepokojące – stał się źródłem inspiracji dla młodych ludzi i przyszłych fizyków.

Leonard Susskind

Palo Alto, Kalifornia

jesień 2022

Przed dziesięciu laty, gdy dwójka moich nastoletnich wówczas dzieci zaczęła się przygotowywać do egzaminów wstępnych na uczelnie należące do francuskiego systemu Grandes Écoles, postanowiłem odświeżyć swoją wiedzę zdobytą jeszcze w latach siedemdziesiątych i towarzyszyć im w nauce. Odkryłem wtedy, że Internet dogłębnie odmienił nasz sposób kształcenia się. Oprócz zaglądania do książek można teraz brać udział w doskonałych darmowych kursach dostępnych w sieci. W wolnym czasie słuchałem więc wykładów z matematyki, fizyki, informatyki i innych dziedzin, zarejestrowanych w MIT, na Uniwersytecie Stanforda i w wielu innych uczelniach. Przekonałem się, że zagadnienia omawiane w tych materiałach wideo są lepiej wyjaśnione, a same zajęcia bardziej zajmujące i łatwiejsze do zrozumienia niż wykłady, które pamiętam z przeszłości. W dodatku dają nam możliwość uczenia się od najlepszych specjalistów na świecie.

Jednym z kursów, które mnie szczególnie zainteresowały, była seria wykładów z cyklu Teoretyczne minimum, wygłoszonych przez Leonarda Susskinda, znanego między innymi z pionierskich prac w dziedzinie teorii strun. Tak bardzo mi się spodobały, że gdy dowiedziałem się, iż dwie serie wykładów wchodzących w skład cyklu zostały już wydane w formie książkowej, postanowiłem przetłumaczyć je na francuski. Później przetłumaczyłem także trzecią książkę. Ponieważ kolejny tom nie został jeszcze wydany po angielsku, zacząłem sporządzać notatki w języku angielskim z czwartej serii wykładów dostępnej w Internecie, przypuszczając, że moje spostrzeżenia przydadzą mi się w późniejszej pracy nad przekładem. Potem jednak okazało się, że profesor Susskind zaprosił mnie do współpracy i razem z zespołem wydawnictwa Basic Books przygotowaliśmy czwarty tom cyklu Teoretyczne minimum poświęcony ogólnej teorii względności, który trzymasz teraz w ręku.

Należę właśnie do tej grupy ludzi, do której są kierowane wykłady z cyklu Continuing Studies – chodzi o osoby, które uczyły się fizyki na studiach magisterskich, czasem nawet doktoranckich, a potem zajęły się innymi rzeczami, ale nadal żywo interesowały się nauką i teraz chciałyby się dowiedzieć, czym zajmuje się obecnie fizyka, ale zależy im na uzyskaniu informacji wykraczającej poza uproszczone teksty popularnonaukowe. Osobiście uważam, że uproszczenia przyjmowane przez wielu popularyzatorów nauki tylko bardziej wszystko gmatwają i są trudniejsze do zrozumienia niż prawdziwe wyjaśnienia poparte odpowiednimi równaniami.

Dzięki wykładom Leonarda mogłem zapoznać się z klasyczną mechaniką Lagrange’a, mechaniką kwantową i klasyczną teorią pola w sposób tak przejrzysty, jakiego nigdy nie doświadczyłem. Talent pedagogiczny Leonarda i stosowany przez niego sposób prezentacji omawianych zagadnień sprawiają, że nauka staje się przyjemnością. Oczywiście nie bez znaczenia jest fakt, że nie musimy się martwić koniecznością zdania końcowego egzaminu. Okazało się jednak, że z wykładów i książek z cyklu Teoretyczne minimum mogą z powodzeniem korzystać także studenci przygotowujący się do bardziej zaawansowanych studiów.

Zatem, bez względu na to, czy jesteś kimś, kto chce dla własnej satysfakcji zrozumieć, o czym naprawdę jest ogólna teoria względności – owa teoria mówiąca, że grawitacja jest geometrią, a masa zakrzywia przestrzeń, światło i czas, że gdzieś tam istnieją czarne dziury i lepiej byłoby do nich nie wpaść, że wykrywane obecnie fale grawitacyjne rozchodzą się w całym kosmosie i tak dalej – czy studentem fizyki szukającym dobrego wprowadzenia do ogólnej teorii względności, ta książka jest dla ciebie.

André Cabannes

Saint-Cyr-sur-mer,

Lazurowe Wybrzeże

jesień 2022

Wykład 1.

Zasada równoważności i analiza tensorowa

– No dobrze, Lenny, więc uważasz, że gdybym był w windzie i czuł, że jestem naprawdę ciężki, to w żaden sposób nie mógłbym stwierdzić, czy to winda przyspiesza, czy też złośliwie umieściłeś mnie na Jowiszu?

– Zgadza się, nie udałoby ci się tego ustalić.

– Ale przecież na Jowiszu, gdyby winda była nieruchoma, promienie światła by się nie uginały.

– Nieprawda, też by się uginały.

– Hmm, rozumiem.

– A gdybyś, mój drogi Andy, spadał do czarnej dziury, to lepiej miej się na baczności, bo wszystko będzie się zachowywało naprawdę dziwnie. Nie martw się jednak, niedługo rzucimy na tę kwestię nieco światła.

– Eee, zakrzywionego czy prostego?

Wprowadzenie

Ogólna teoria względności jest czwartym tomem cyklu Teoretyczne minimum. Pierwsze trzy były poświęcone, kolejno, mechanice klasycznej, mechanice kwantowej oraz szczególnej teorii względności i klasycznej teorii pola. W pierwszym tomie wyjaśniliśmy opis zjawisk fizycznych zaproponowany przez Lagrange’a i Hamiltona, a także zasadę najmniejszego działania, która jest jedną z najważniejszych reguł leżących u podstaw całej fizyki (mówiliśmy o tym w wykładzie 7. tomu trzeciego, który był poświęcony podstawowym zasadom i niezmienniczości ze względu na cechowanie). Z podejścia Lagrange’a i Hamiltona, a także z zasady najmniejszego działania korzystaliśmy w trzech pierwszych częściach cyklu i bez wątpienia dalej będziemy się nimi posługiwali w tym tomie i następnych.

Matematyka odgrywa w fizyce rolę narzędzia pozwalającego konstruować formalne, ilościowe i, co najważniejsze, sprawdzające się w praktyce teorie zjawisk naturalnych. Do tej pory korzystaliśmy z trygonometrii, przestrzeni wektorowych oraz rachunku różniczkowego i całkowego. Te ważne obszary matematyki zostały wyjaśnione w pierwszym tomie cyklu, a w pozostałych dwóch można znaleźć krótkie przypomnienie najważniejszych informacji. Przyjmujemy więc, że czytelnik zna te narzędzia matematyczne, a także idee fizyczne omówione w tomach pierwszym i trzecim. Obecny, czwarty już tom, podobnie jak pierwszy i trzeci (ale inaczej niż drugi), dotyczy fizyki klasycznej w tym sensie, że nie rozważamy w nim kwantowej nieoznaczoności.

W tomie trzecim, poświęconym szczególnej teorii względności i klasycznej teorii pola, zaczęliśmy także korzystać z tensorów. Teraz, przy okazji omawiania ogólnej teorii względności, będziemy się nimi posługiwali o wiele częściej. Przeanalizujemy je bardzo szczegółowo. Jak wyjaśniliśmy w poprzednim tomie, tensory są uogólnieniem wektorów. Wektory można przedstawiać w różny sposób, za pomocą różnych zbiorów liczb (składowych wektora, nazywanych też jego współrzędnymi), które zależą od bazy przyjętej podczas definiowania przestrzeni wektorowej. Podobnie jest w przypadku tensorów. Ten sam tensor może mieć różne składowe w różnych układach współrzędnych. Z tego powodu w naszych rozważaniach bardzo duże znaczenie będą miały reguły pozwalające przenosić tensory między poszczególnymi układami odniesienia. Ponadto będziemy się zajmowali głównie polami tensorowymi, które są zbiorami tensorów skonstruowanymi w taki sposób, że z każdym punktem przestrzeni związany jest inny tensor. Tensory pojawiły się matematyce za sprawą Ricciego-Curbastra i Leviego-Civity[1], którzy wprowadzili je głównie po to, by kontynuować prace Gaussa[2] i Riemanna[3] dotyczące, odpowiednio, krzywizny powierzchni i geometrii nieeuklidesowej. Einstein[4] wykorzystał je do skonstruowania swojej ogólnej teorii względności. Wniósł też istotny wkład w rozwój analizy tensorowej, ponieważ wprowadził stosowaną obecnie, standardową notację indeksów (wskaźników) i tak zwaną konwencję sumacyjną Einsteina.

W książce Savants et écrivains (Uczeni i pisarze) z 1910 roku Poincaré[5] zauważa, że „w naukach matematycznych dobra notacja ma takie samo znaczenie filozoficzne jak dobra klasyfikacja w naukach przyrodniczych”. Obiecujemy, że dołożymy wszelkich starań, by stosowana tu notacja była jak najbardziej przejrzysta i prosta.

CIĄG DALSZY DOSTĘPNY W PEŁNEJ, PŁATNEJ WERSJI

[1] Gregorio Ricci-Curbastro (1853–1925) i jego student Tullio Levi-Civita (1873–1941) byli włoskimi matematykami. Ich najważniejsza wspólna publikacja, zatytułowana Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications, ukazała się w 1900 roku („Mathematische Annalen” 1900, tom 54, s. 125–201; tłum. pol.: Metody rachunku różniczkowego bezwzględnego i ich zastosowania, „Prace Matematyczno-Fizyczne” 1901, tom 12, s. 11–94). Ricci-Curbastro i Levi-Civita nie posługują się jeszcze w tej pracy słowem tensor, które zostało wprowadzone dopiero później przez innych matematyków.

[2] Carl Friedrich Gauss (1777–1855), matematyk niemiecki.

[3] Bernhard Riemann (1826–1866), matematyk niemiecki.

[4] Albert Einstein (1879–1955), fizyk niemiecki, szwajcarski, potem znowu niemiecki i w końcu amerykański.

[5] Henri Poincaré (1854–1912), matematyk francuski.

Spis treści

Przedmowa

Wykład 1. Zasada równoważności i analiza tensorowa

Wprowadzenie