Michelle Enderson

Od Porządku do Chaosu: Wprowadzenie, Wyzwania i Przyszłość Teorii Chaosu

Projektant okładki Pixabay https://pixabay.com/pl/illustrations/gwiazdy-wielobarwny-chaos-5292676/

© Michelle Enderson, 2023

© Pixabay https://pixabay.com/pl/illustrations/gwiazdy-wielobarwny-chaos-5292676/, projekt okładki, 2023

Autor wnikliwie przedstawia podstawy teorii chaosu, wyjaśniając nieprzewidywalne zachowanie układów dynamicznych. W kolejnych rozdziałach skupia się na wyzwaniach, z jakimi muszą zmierzyć się badacze tej dziedziny, podkreślając kontrowersje i różnice w interpretacjach. Ostatecznie autor analizuje, jak teoria chaosu może rozwijać się w nadchodzących latach, wchodząc w nowe obszary badań i zastosowań. Dla czytelników ta książka to niezbędne źródło inspiracji i refleksji.

ISBN 978-83-8351-975-3

Książka powstała w inteligentnym systemie wydawniczym Ridero

Spis treści

1. Od Porządku do Chaosu: Wprowadzenie, Wyzwania i Przyszłość Teorii Chaosu

2. Wprowadzenie do teorii chaosu

1. Definicja i geneza teorii chaosu

1. Początki: Edward Lorenz i efekt motyla (1963)

2. Badania innych naukowców

3. Rozwój teorii chaosu w latach 70 i 80

4. Rozprzestrzenianie się teorii chaosu

2. Historia odkrycia i rozwoju koncepcji Efektu Motyla

1. Prace Edwarda Lorenza (1960–1970)

2. Sformułowanie Efektu Motyla

3. Rozwój w latach 90

4. Chaos w kulturze popularnej

5. Zastosowania w praktyce

6. Rozwój teorii chaosu

3. Wyzwania i Kontrowersje

1. Determinizm kontra Chaos

1. Zarzut

2. Dyskusja

2. Praktyczne Zastosowania

1. Zarzut

2. Dyskusja

3. Krytyka Granic Odporności

1. Zarzut

2. Dyskusja

4. Problemy z Obserwacją

1. Zarzut

2. Dyskusja

5. Zastosowanie w Naukach Społecznych

1. Zarzut

2. Dyskusja

4. Przyszłość Teorii Chaosu

1. Aktualne Badania i Rozwój

1. Chaos w Biologii

2. Chaos w Komunikacji

3. Chaos w Fizyce

4. Chaos w Inżynierii

5. Chaos w Finansach

2. Potencjalne Nowe Obszary Zastosowań

1. Chaos w Medycynie

2. Chaos w Sztucznej Inteligencji

3. Chaos w Przemysłowym Internecie Rzeczy (IIoT)

4. Chaos w Energii Odnawialnej

5. Chaos w Psychologii

6. Chaos w Edukacji

3. Bibliografia

Michelle Enderson

29.11.2023r.

Wprowadzenie do teorii chaosu

Definicja i geneza teorii chaosu

Teoria chaosu jest gałęzią matematyki i fizyki, która bada złożoność i nieregularność w dynamicznych systemach nieliniowych. Jest to obszar nauki, który skupia się na badaniu wzorców, które wydają się chaotyczne i trudne do przewidzenia, pomimo że są deterministyczne, co oznacza, że ich przyszłość jest ściśle określona przez ich aktualny stan. Geneza teorii chaosu związana jest z kilkoma kluczowymi wydarzeniami i badaniami.

Początki: Edward Lorenz i efekt motyla (1963)

Geneza teorii chaosu zaczęła się od prac meteorologa Edwarda Lorenza. W 1963 roku, Lorenz pracując nad modelowaniem atmosfery zauważył, że bardzo drobne zmiany w warunkach początkowych mogą prowadzić do znacznych różnic w prognozach pogody. W jednym z eksperymentów wprowadził niewielką zmianę w jednym z parametrów równań swojego modelu i odkrył, że efekt tej zmiany był zaskakująco duży. Sformułował to jako „efekt motyla”, co oznacza, że niewielka zmiana może mieć ogromny wpływ na dłuższą metę.

Edward Lorenz odegrał kluczową rolę w narodzinach teorii chaosu poprzez swoje badania nad modelowaniem atmosfery w 1963 roku. Jego odkrycie, znane jako „efekt motyla”, zrewolucjonizowało nasze rozumienie deterministycznych systemów dynamicznych i wprowadziło nową perspektywę na analizę skomplikowanych procesów, takich jak pogoda. W trakcie swojej pracy nad prognozami pogody, Lorenz zwrócił uwagę na coś, co początkowo uznano za nieistotne — bardzo drobne zmiany w warunkach początkowych. W ramach jednego z eksperymentów dokonał minimalnej modyfikacji w jednym z parametrów równań swojego modelu atmosferycznego. Zaskoczeniem było dla niego odkrycie, że ta nieznaczna zmiana miała ogromny wpływ na długoterminową prognozę. To właśnie na tym zjawisku oparł termin „efekt motyla” — metafora, która wskazuje, że delikatne ruchy skrzydeł motyla w jednym miejscu mogą prowadzić do potężnych skutków w odległym miejscu i czasie. Jego praca przeciwstawiała się klasycznemu podejściu do prognozowania, zakładając, że drobne błędy w pomiarach mogą prowadzić do znaczących odchyleń w prognozach. Lorenz podkreślał, że nawet najdokładniejsze pomiary i modele są podatne na skomplikowane i nieliniowe interakcje, co sprawia, że prognozowanie długoterminowe staje się zadaniem skomplikowanym i czasami niemożliwym do dokładnego przewidzenia. Efekt motyla stał się kluczowym elementem teorii chaosu, która rozwija się w latach następnych. Teoria ta zakłada, że w pewnych systemach dynamicznych, nawet te o ściśle określonych równaniach, niewielkie zmiany warunków początkowych mogą prowadzić do diametralnie różnych trajektorii ewolucji systemu. To odkrycie miało zastosowanie nie tylko w meteorologii, ale również w dziedzinach takich jak fizyka, biologia, ekonomia i informatyka. Podsumowując, prace Edwarda Lorenza i jego odkrycie efektu motyla zrewolucjonizowały nasze zrozumienie deterministycznych procesów dynamicznych, kładąc podwaliny pod teorię chaosu i otwierając nowe perspektywy badawcze w różnych dziedzinach nauki[1].

Badania innych naukowców

Po odkryciu Lorenza, inni naukowcy zaczęli badać podobne zjawiska w różnych dziedzinach, takich jak fizyka, biologia, ekonomia itp. Prace takich matematyków jak Stephen Smale i matematyków teoretycznych zaczęły dostarczać teoretycznego podłoża dla zrozumienia chaotycznych procesów.

Po odkryciu Edwarda Lorenza, który w latach 60. XX wieku opisał zjawisko chaosu w matematyce, naukowcy z różnych dziedzin zaczęli zwracać uwagę na podobne zjawiska występujące w ich dziedzinach. W fizyce, biologii, ekonomii i wielu innych naukach, pojawiło się zainteresowanie badaniem chaotycznych procesów. W fizyce, teoria chaosu znalazła zastosowanie w różnych obszarach, od układów dynamicznych po teorię kwantową. Matematycy tacy jak Stephen Smale rozwinęli teoretyczne podstawy dla zrozumienia chaotycznych procesów w kontekście równań różniczkowych i układów dynamicznych. Prace Smale’a były kluczowe dla rozwinięcia teorii chaosu w matematyce. W biologii, chaos może występować w systemach biologicznych, takich jak populacje zwierząt czy ekosystemy. Badania nad chaosem w biologii pomagają lepiej zrozumieć, jak zmienne środowiskowe mogą wpływać na dynamikę populacji i ewolucję. W ekonomii, teoria chaosu może być stosowana do analizy rynków finansowych i prognozowania zachowań ekonomicznych. Zjawiska chaotyczne w ekonomii mogą wpływać na stabilność rynków i gospodarek, co staje się istotnym zagadnieniem dla ekonomistów. Matematycy teoretyczni, inspirowani pracami Lorenza, badali różne aspekty chaotycznych procesów, rozwijając bardziej zaawansowane teorie i metody analizy. To pozwoliło na lepsze zrozumienie natury chaosu i jego roli w różnych dziedzinach nauki. Wraz z postępem technologii komputerowej, naukowcy mieli możliwość przeprowadzania symulacji komputerowych, co umożliwiło im lepsze zrozumienie chaotycznych procesów i ich skomplikowanych wzorców. Modele matematyczne oraz eksperymenty numeryczne stały się ważnym narzędziem do badania chaosu w różnych dziedzinach. Podsumowując, po odkryciu Lorenza, chaos stał się fascynującym obszarem badań w wielu dziedzinach nauki. Badania naukowców, takich jak Stephen Smale i inni matematycy teoretyczni, przyczyniły się do rozwinięcia teoretycznych podstaw chaosu. W fizyce, biologii, ekonomii i matematyce chaos stał się ważnym obszarem badań, otwierając nowe perspektywy i pomagając w lepszym zrozumieniu skomplikowanych procesów zachodzących w różnych systemach.

Rozwój teorii chaosu w latach 70 i 80

W latach 70. i 80. XX wieku teoria chaosu zaczęła się rozwijać jako samodzielna dziedzina nauki. Matematycy, tacy jak Robert May, James Yorke, oraz Mitchell Feigenbaum, przyczynili się do dalszego zrozumienia chaotycznych systemów dynamicznych, wprowadzając pojęcia takie jak atraktory chaotyczne i teoria bifurkacji.

W latach 70. i 80. XX wieku teoria chaosu narodziła się jako samodzielna dziedzina nauki, wyłaniając się z obszarów matematyki, fizyki i inżynierii. Kluczowymi postaciami tego rozwoju byli matematycy, tacy jak Robert May, James Yorke oraz Mitchell Feigenbaum. Ich wkład w zrozumienie chaotycznych systemów dynamicznych oraz wprowadzenie nowych pojęć stanowiły kamienie milowe w tej dziedzinie nauki. Robert May był jednym z pierwszych, który pokazał, że prosty nieliniowy model matematyczny może wykazywać chaotyczne zachowanie. W 1976 roku opublikował swoją słynną pracę, w której przedstawił model logistyczny opisujący dynamikę populacji. Jego badania ujawniły, że nawet bardzo proste układy dynamiczne mogą prowadzić do złożonych i nieprzewidywalnych trajektorii. James Yorke wprowadził pojęcie „chaosu” do matematyki, nadając mu precyzyjne matematyczne definicje. Wspólnie z Mayem opublikowali pracę, w której przedstawili koncepcję „liczby Lyapunova” jako narzędzia do określania stopnia chaosu w systemie dynamicznym. Ta liczba mierzy, jak szybko dwie trajektorie w przestrzeni fazowej oddzielają się od siebie, co jest kluczowym wskaźnikiem chaotycznego zachowania. Mitchell Feigenbaum zasłynął ze swoich badań nad bifurkacjami w układach dynamicznych. Bifurkacje są punktami, w których system zmienia swoje zachowanie, przechodząc z porządku do chaosu. Feigenbaum odkrył, że stosunek między odległościami między kolejnymi bifurkacjami w pewnych klasach układów jest stały, co później zostało nazwane stałą Feigenbauma. To odkrycie miało ogromne znaczenie dla zrozumienia przejść od porządku do chaosu w różnych systemach. Pojęcie atraktorów chaotycznych również zyskało na znaczeniu w tych latach. Atraktory to obszary w przestrzeni fazowej, do których dąży trajektoria systemu dynamicznego. Atraktory chaotyczne charakteryzują się tym, że są ograniczone, ale wciąż wykazują skomplikowane, nieprzewidywalne wzorce. W wyniku tych prac, teoria chaosu znalazła zastosowanie w wielu dziedzinach nauki, od biologii i ekonomii po inżynierię. Odkrycia matematyków z lat 70. i 80. otworzyły nowe horyzonty zrozumienia skomplikowanych systemów, które wcześniej były uznawane za nieprzewidywalne. Dziś teoria chaosu ma ogromne znaczenie w badaniach naukowych oraz znalazła praktyczne zastosowanie w różnych dziedzinach życia.

Rozprzestrzenianie się teorii chaosu

W miarę postępów badań, teoria chaosu zaczęła znajdować zastosowanie w różnych dziedzinach nauki i życia codziennego, takich jak biologia, ekonomia, inżynieria, psychologia czy sztuczna inteligencja.

Teoria chaosu, pierwotnie rozwinięta w kontekście dynamiki płynów i układów nieliniowych, z biegiem lat znalazła zastosowanie w szerokim spektrum dziedzin naukowych oraz życia codziennego. Jej wpływ rozciąga się na obszary takie jak biologia, ekonomia, inżynieria, psychologia i sztuczna inteligencja, wprowadzając nowe spojrzenie na złożoność i nieregularność występującą we wszystkich aspektach naszego otoczenia.

W biologii teoria chaosu pomaga zrozumieć skomplikowane interakcje wewnątrzorganizmowe, takie jak dynamika populacji czy ewolucja gatunków. W ekonomii, gdzie wiele czynników wpływa na rynki i decyzje finansowe, chaos może być kluczowym elementem w analizie i prognozowaniu zmian. W inżynierii, zwłaszcza w kontekście systemów dynamicznych, chaos stanowi wyzwanie i jednocześnie szansę do optymalizacji procesów.

Psychologia również korzysta z teorii chaosu w badaniu ludzkich zachowań i procesów myślowych. Zastosowanie tej teorii pozwala lepiej zrozumieć, dlaczego ludzie podejmują nieprzewidywalne decyzje czy jakie czynniki wpływają na rozwój zaburzeń psychicznych. Ponadto, w dziedzinie sztucznej inteligencji, teoria chaosu może być wykorzystywana do tworzenia bardziej adaptacyjnych i elastycznych algorytmów, umożliwiając maszynom lepsze radzenie sobie w dynamicznych i zmiennych środowiskach.

W życiu codziennym chaos może być obserwowany w wielu sytuacjach, od zmiany pogody po korki uliczne. Zrozumienie tych chaotycznych zjawisk pozwala lepiej się nimi adaptować i podejmować bardziej świadome decyzje.

Wnioski płynące z teorii chaosu są zatem wszechstronne i dotykają wielu dziedzin, co sprawia, że staje się ona nieodłącznym elementem współczesnego myślenia naukowego i technologicznego. Jej zastosowania mają potencjał prowadzenia do nowych odkryć, lepszej prognozowania zjawisk naturalnych oraz doskonalenia procesów zarządzania i podejmowania decyzji w różnych obszarach życia.

Teoria chaosu przyniosła nowe spojrzenie na złożone systemy, uwydatniając ich zdolność do generowania pozornie przypadkowych i nieregularnych wzorców. Jednak z czasem stała się narzędziem nie tylko do opisu chaotycznych procesów, ale także do ich kontrolowania i zrozumienia.

[1] James Gleick, Chaos: Nowe spojrzenie na życie, 1987r.

Historia odkrycia i rozwoju koncepcji Efektu Motyla

Efekt Motyla, znany również jako chaos deterministyczny, to koncepcja z zakresu teorii chaosu w dynamice nieliniowej. Nazwa „Efekt Motyla” została po raz pierwszy użyta przez meteorologa Edwarda Lorenza w 1972 roku, ale idea ta była rozwijana przez wiele lat, a jej wpływ na różne dziedziny nauki i życia codziennego stał się bardziej widoczny w latach 90. i później.

Prace Edwarda Lorenza (1960–1970)

Edward Lorenz, pracujący nad modelami atmosferycznymi w MIT, odkrył, że drobne zmiany w warunkach początkowych w numerycznych symulacjach pogody mogą prowadzić do znacznych różnic w prognozach długoterminowych. W jednym z przypadków zmiana w jednym parametrze wyniosła zaledwie 0,000127, a jednak miała istotny wpływ na wyniki.

Prace Edwarda Lorenza w latach 1960–1970 były fundamentalne dla rozwoju teorii chaosu i miały ogromny wpływ na dziedzinę nauk atmosferycznych oraz matematyki stosowanej. Lorenz, będący profesorem meteorologii na Massachusetts Institute of Technology (MIT), zajmował się badaniami nad modelami atmosferycznymi, próbując doskonalić prognozy pogody przy użyciu komputerowych symulacji[1].

Jedno z kluczowych odkryć Lorenza związane było z obserwacją, że nawet najmniejsze zmiany w warunkach początkowych numerycznych symulacji pogody mogą prowadzić do znacznych różnic w prognozach długoterminowych. W jednym z przypadków, Lorenz zauważył, że zmiana wartości jednego parametru wyniosła zaledwie 0,000127, co w skali całego modelu atmosferycznego wydawało się znikomą modyfikacją. Jednakże, pomimo tej pozornej bez istotności zmiany, prognozy pogody uzyskane na skutek tej modyfikacji zaczęły znacznie odbiegać od oryginalnych wyników.

To odkrycie zapoczątkowało ideę tzw. „efektu motyla” w teorii chaosu, gdzie małe, pozornie nieistotne zmiany w początkowych warunkach systemu dynamicznego mogą prowadzić do znacznych i trudnych do przewidzenia zmian w jego późniejszym zachowaniu. Lorenz sformułował to odkrycie jako „czułość na warunki początkowe”, co oznaczało, że małe perturbacje w początkowych danych wejściowych mogą powodować znaczące różnice w długoterminowym zachowaniu systemu atmosferycznego[2].

Teoria chaosu, rozwijająca się na podstawie prac Lorenza, miała istotne konsekwencje dla nauk przyrodniczych, matematyki, a także innych dziedzin, takich jak ekonomia czy biologia. Wprowadzenie pojęcia chaosu i czułości na warunki początkowe miało ogromny wpływ na sposób, w jaki naukowcy rozumieją i modelują skomplikowane systemy dynamiczne. Prace Edwarda Lorenza odegrały kluczową rolę w rewolucji, która zaszła w myśleniu naukowym na temat przewidywania i zrozumienia skomplikowanych procesów w przyrodzie.

Sformułowanie Efektu Motyla

Efekt Motyla, zainicjowany przez publikację Edwarda Lorenza w 1972 roku pod tytułem „Predictability: Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas?” (Przewidywalność: Czy trzepotanie skrzydeł motyla w Brazylii może wywołać tornado w Teksasie?), jest koncepcją, która ukazuje złożoność i nieliniowość wpływu małych, pozornie nieistotnych zdarzeń na ogromne systemy dynamiczne.

Lorenz wykorzystał metaforę trzepotania skrzydeł motyla jako ilustrację delikatnej równowagi w przyrodzie. Według tego konceptu, drobne zmiany w jednym miejscu, takie jak ruch skrzydeł motyla w odległym regionie, mogą rozpocząć łańcuch zdarzeń, który w końcu prowadzi do dużych, trudnych do przewidzenia skutków w innej części świata[3].

Ta idea podkreśla wrażliwość systemów dynamicznych na warunki początkowe oraz istnienie zakłóceń, które mogą być wywołane nawet najmniejszymi perturbacjami. W praktyce oznacza to, że małe zmiany w jednym obszarze, na przykład w atmosferze, ekosystemie lub gospodarce, mogą się nasilać i przenosić, generując potężne efekty kaskadowe.

Efekt Motyla zyskał na znaczeniu nie tylko w kontekście meteorologii, ale także w naukach społecznych, ekonomii i innych dziedzinach, gdzie układy są dynamiczne i skomplikowane. Ta koncepcja podkreśla ważność uwzględniania małych, pozornie nieistotnych czynników w analizie systemów, co może pomóc w lepszym zrozumieniu ich dynamiki i poprawie prognoz dotyczących ich zachowania.

Rozwój w latach 90

W latach 90. XX wieku idea Efektu Motyla, znana również jako teoria chaosu, zaczęła szeroko przenikać do różnych dziedzin nauki, a jej wpływ był szczególnie zauważalny w fizyce, biologii, ekonomii i informatyce. Efekt Motyla odnosi się do koncepcji, że małe zmiany początkowe w pewnym systemie dynamicznym mogą prowadzić do znaczących i trudnych do przewidzenia rezultatów w dłuższej perspektywie czasowej. W fizyce, teoria chaosu zaczęła odgrywać istotną rolę w badaniach nieliniowych systemów dynamicznych. Wprowadzenie do chaosu miało znaczący wpływ na teorię chaosu kwantowego oraz na zrozumienie niestabilności pewnych układów dynamicznych. Badacze zaczęli analizować chaotyczne trajektorie w układach dynamicznych, co znalazło zastosowanie w dziedzinach takich jak mechanika kwantowa czy teoria układów dynamicznych. W biologii teoria chaosu została zastosowana do badania skomplikowanych interakcji w ekosystemach, dynamiki populacji i ewolucji. Chaos biologiczny był używany do analizy skomplikowanych zjawisk, takich jak zdrowie populacji, rozprzestrzenianie się chorób czy ewolucja gatunków. Zrozumienie nieliniowych interakcji w biologii było kluczowe dla rozwinięcia bardziej precyzyjnych modeli opisujących złożone zjawiska przyrodnicze. W dziedzinie ekonomii, teoria chaosu została zastosowana do analizy niestabilności i trudności w przewidywaniu rynków finansowych. Badania chaosu ekonomicznego koncentrowały się na próbie zrozumienia skomplikowanych wzorców w zachowaniach rynkowych, które mogą być trudne do przewidzenia z powodu wielu czynników wpływających na te rynki. W informatyce idea Efektu Motyla znalazła zastosowanie w analizie algorytmów, zwłaszcza tych, które są używane do symulacji skomplikowanych systemów[4]. Badania nad obliczeniem chaosu i uczeniem maszynowym z wykorzystaniem teorii chaosu pomogły rozwijać nowatorskie podejścia do analizy danych i prognozowania zdarzeń. Podsumowując, lata 90. to okres, w którym teoria chaosu znalazła szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach nauki, co przyczyniło się do lepszego zrozumienia nieliniowych interakcji w różnych systemach i rozwinięcia nowych metod analizy i modelowania zjawisk dynamicznych.

Chaos w kulturze popularnej

W tym okresie idea chaosu i Efektu Motyla stały się popularne nie tylko w środowisku naukowym, ale także w kulturze popularnej. Pojawiały się w książkach, filmach i innych mediach, co pomogło w rozpowszechnianiu tych koncepcji w szerszym społeczeństwie.

W latach ostatnich, idea chaosu i Efektu Motyla znalazły szerokie zastosowanie nie tylko w kręgach naukowych, ale także w kulturze popularnej. Te teorie, pierwotnie rozwijane w kontekście matematyki i nauk przyrodniczych, znalazły swoje odzwierciedlenie w różnych formach sztuki, literatury, filmu i mediów, co przyczyniło się do ich rozpowszechnienia w społeczeństwie.

W literaturze, zwłaszcza w gatunku science fiction, zaczęto eksplorować temat chaosu jako siły wpływającej na ludzką egzystencję. Książki zaczęły analizować, jak drobne zmiany w jednym obszarze mogą prowadzić do ogromnych skutków w innych dziedzinach życia, podobnie jak opisuje to Efekt Motyla. Autorzy zaczęli badać skomplikowane relacje między przyczynami a skutkami, co prowadziło do powstania intrygujących i czasem zaskakujących narracji.

W kinematografii tematy związane z teorią chaosu i Efektem Motyla zaczęły odgrywać istotną rolę w fabułach filmowych. Produkcje zaczęły eksplorować koncepcję niemożności przewidzenia dalekosiężnych konsekwencji działań bohaterów. Przykłady takich filmów to często produkcje science fiction, ale również dramaty psychologiczne czy thrillery, które ukazują, jak małe, przypadkowe zdarzenia mogą mieć ogromne znaczenie dla rozwoju historii.

[1] James Gleick, Chaos: Tworzenie nowego naukowego obrazu
świata, 1987r.

[2] James Gleick, Chaos: Tworzenie nowego naukowego obrazu
świata, 1987r.

[3] Jan Swafford, Chaos: Tworzenie porządku, 1989r.

[4] Jan Swafford, Chaos: Tworzenie porządku, 1989r.

[5] Jan Swafford, Chaos: Tworzenie porządku, 1989r.

[6] Stanisław Drożdż, Chaos w nauce, 1995r.

[1] Piotr Garbaczewski, Wprowadzenie do dynamiki chaosu, 2001r.

[2] Piotr Garbaczewski, Wprowadzenie do dynamiki chaosu, 2001r.

[1] Jan Trąbka, Odwieczny chaos a tworzenie się świata, 2000r.

[2] Jan Trąbka, Odwieczny chaos a tworzenie się świata, 2000r.

[1] Marek Biskup, Chaos: wprowadzenie do teorii chaosu,1998r.

[2] Marek Biskup, Chaos: wprowadzenie do teorii chaosu,1998r.

[1] Sławomir Rybak, Elementy teorii chaosu i fraktali, 2002r.

[2] Sławomir Rybak, Elementy teorii chaosu i fraktali, 2002r.

[3] Sławomir Rybak, Elementy teorii chaosu i fraktali, 2002r.

[1] David Hand, Zasada nieprawdopodobieństwa, 2015r.

[2] David Hand, Zasada nieprawdopodobieństwa, 2015r.

[3] David Hand, Zasada nieprawdopodobieństwa, 2015r.

[1] Monika Bagińska, Efekt motyla, 2005r.

Koniec darmowego fragmentu książki.

Zachęcamy do zakupu pełnej wersji.