Rob Eastaway, Mike Askew

Matma dla rodziców. Mniej cierpienia, więcej liczenia

Tytuł oryginału: Maths For Mums And Dads

Przekład: Jowita Maksymowicz-Hamann

Copyright © Mike Askew and Rob Eastaway, 2010, 2013

Illustrations copyright © Chris Lyon 2010

First published as MATHS FOR MUMS AND DADS in 2010 by Square Peg, an imprint of Vintage. Vintage is part of the Penguin Random House group of companies.

Copyright for the Polish edition and translation © 2023 by Mamania, an imprint of Grupa Wydawnicza Relacja sp. z o.o.

Projekt okładki: Joanna Kosk-Florczak

Redakcja: Kamila Wrzesińska

Korekta: Ewelina Sobol

ISBN 978-83-68021-00-4

Mamania

ul. Marszałkowska 4 lok. 5

00-590 Warszawa

www.mamania.pl

Fragment

O autorach

Przygotuj się

Wstęp

Wielkie pytania

Matematyczne rekwizyty dla mamy i taty

Podsumowanie rok po roku

Zalecenia i zakazy

Arytmetyka – i jak się zmieniała

Liczby i system pozycyjny

Dodawanie i odejmowanie w pamięci

Dodawanie i odejmowanie – metody pisemne

Proste mnożenie i tabliczka mnożenia

Mnożenie poza zakresem tabliczki mnożenia

Dzielenie

Nie tylko arytmetyka

Ułamki zwykłe, procenty i ułamki dziesiętne

Figura, symetria i kąty

Pomiary

Statystyki i prawdopodobieństwo

Matematyka na kalkulatorze

Wielkie idee dla małych ludzi

Pytania

Zadania, na które może natknąć się twoje jedenastoletnie dziecko

Część 1 – bez kalkulatorów

Część 2 – można używać kalkulatora

Odpowiedzi

Odpowiedzi na pytania z serii „sprawdź się”

Słowniczek

Podziękowania

Przypisy

Pozostałe rozdziały dostępne w pełnej wersji e-booka.

O autorach

Rob Eastaway napisał kilka bestsellerów łączących matematykę z życiem codziennym, m.in. Why do Buses Come in Threes? [Dlaczego autobusy jeżdżą trójkami?]. Jego najnowsza książka napisana wraz z Mikiem Askew, skierowana do rodziców nastolatków, to More Maths for Mums and Dads [Więcej matmy dla rodziców]. Regularnie występuje w audycjach radiowych i wygłasza wykłady o matematyce w całej Wielkiej Brytanii dla publiczności w każdym wieku, od teatru Royal Exchange po więzienie Pentonville.

Jest żonaty, ma trójkę dzieci i mieszka w południowym Londynie.

Mike Askew jest profesorem specjalizującym się w edukacji w zakresie szkoły podstawowej na Uniwersytecie Monash w Melbourne. Do niedawna był profesorem edukacji matematycznej w King’s College na Uniwersytecie Londyńskim. Ten były nauczyciel ze szkoły podstawowej obecnie prowadzi badania, wykłada i pisze na temat nauczania i uczenia się podstaw matematyki. W roku akademickim 2006/7 był gościnnym wykładowcą w City College na Uniwersytecie Miasta Nowy Jork.

Opublikował wiele sprawozdań, artykułów i wytycznych dla nauczycieli i jest niezmiennie cenionym wykładowcą konferencyjnym zarówno w kraju, jak i za granicą, z powodu swoich ciekawych i trafnych wystąpień. Jest też utalentowanym magikiem.

PRZYGOTUJ SIĘ

P. Znajdź x

Nie możemy zagwarantować autentyczności tego słynnego przykładu „kreatywnej” odpowiedzi na zadanie matematyczne, ale wszystkie pozostałe przykłady, które znajdziesz w tej książce, naprawdę pojawiły się w klasie.

WSTĘP

To ta chwila, której boi się wielu rodziców: „Pomożesz mi odrobić lekcje z matmy?”. Wiele lat, a może nawet dziesiątek lat temu jako dziecko też to oczywiście przerabiałeś. Ale zupełnie inaczej czujesz się wtedy, kiedy to od ciebie dziecko oczekuje pomocy. Zresztą tak czy inaczej, wiele się zmieniło – zmieniła się matematyka, zmieniły się metody, pewnie zmieniło się też nastawienie dzieci do rodziców. A przynajmniej tak właśnie mówią rodzice, chociaż prawdopodobnie mówili tak od setek lat.

Ze wszystkich przedmiotów szkolnych to właśnie matematyka przysparza rodzicom najwięcej zmartwień. Spotkaliśmy wielu rodziców zaniepokojonych faktem, że ich dziecko zaczyna przynosić do domu prace domowe, których sami nie potrafią wykonać. Jest jednak również wielu rodziców, którzy mają przynajmniej pewne kompetencje matematyczne, a często są nawet bardzo dobrzy i oni martwią się czym innym. Problem polega na tym, że teraz robi się to w szkole jakoś inaczej. Podejmowane przez tatę próby zademonstrowania, jak się odejmuje, spotykają się z pustym spojrzeniem zdumionego dziecka, które ostatecznie idzie do mamy, mówiąc: „Tata tylko mi miesza w głowie”.

Ta książka ma pomóc tobie jako rodzicowi przypomnieć sobie matematykę, spojrzeć na nią w nowym świetle, ma pomóc ci zrozumieć, dlaczego teraz różne rzeczy robi się inaczej (niektóre powody są bardzo dobre) oraz co się dzieje w głowie twojego dziecka, kiedy twierdzi, że „po prostu tego nie ogarnia”. A przede wszystkim naszym celem jest wnieść w domową matematykę trochę więcej radości – czyli czegoś, czego ewidentnie rozpaczliwie jej brakuje.

Szkolna matematyka to ogromny temat i nie mielibyśmy szans ująć jej w całości w ramach jednej książki. Dlatego skupiliśmy się na podstawach, które dzieci omawiają (albo powinny omówić) w brytyjskiej sześcioletniej szkole podstawowej. Mówimy, że to podstawy, chociaż duża część tego materiału w rzeczywistości wcale nie jest taka podstawowa. Tak naprawdę część pytań, która pojawia się w testach dla jedenastolatków (powszechnie zwanych SAT), byłaby wyzwaniem również dla dorosłych. Natomiast nie będzie w tej książce sinusów, cosinusów, wektorów, a już na pewno równań kwadratowych. Jeśli chcesz o nich poczytać, przeczytaj naszą książkę More Maths for Mums and Dads.

WIELKIE PYTANIA

W rozmowach z rodzicami niektóre tematy pojawiają się wciąż na nowo. Nazwaliśmy je Wielkimi Pytaniami. Wybraliśmy cztery, które są tak ważne, że umieściliśmy je na początku książki.

Dlaczego teraz robi się to inaczej?

Kiedy dzieci osiągają wiek sześciu lat, wielu rodziców przeżywa straszliwy szok. Nie tylko dowiadują się, że to, co kiedyś nazywało się po prostu „matematyką”, teraz przemianowano na „rozumowanie matematyczne”, ale odkrywają też, że dzieci przynoszą do domu słownictwo i metody, których rodzice nie rozpoznają. W wielu domach pojawia się w związku z tym problem. Rodzice chcący pomóc zdają sobie sprawę, że (a) nie rozumieją, co dziecko robi, a tym samym nie wiedzą, czy postępuje dobrze, czy też nie, oraz (b) kiedy próbują pokazać dziecku, jak coś zrobić, potrafią tylko jeszcze bardziej je skołować. W związku z tym wielu rodziców odczuwa frustrację i bezradność.

Co się więc dzieje i co możesz z tym zrobić jako rodzic?

W większości szkół minęły już czasy, kiedy lekcje matematyki składały się z niekończących się słupków, które należało podliczać w ciszy za pomocą technik dodawania i mnożenia sięgających setki lat wstecz. Na współczesnych lekcjach o wiele bardziej liczy się współpraca i dociekliwość – długie okresy ciszy są rzadkością, nawet na matematyce.

Techniki też się zmieniły. Jednym z przykładów tych zmian jest sposób wykonywania przez dzieci dużych działań mnożenia, takich jak na przykład 79 × 43. Większość rodziców uczyła się metody „pod kreską” i wielu wciąż używa jej do wykonywania obliczeń na odwrocie koperty. Nie ma jednak zbyt wielu rodziców, którzy potrafiliby wyjaśnić, dlaczego to działa. Można powiedzieć, że to jakby taka czarna skrzynka, w której musisz zakręcić korbką, a prawidłowa odpowiedź wypadnie (masz nadzieję) na drugim końcu. Dzisiaj w szkołach kładzie się nacisk na uczenie metod, które pomagają dzieciom zrozumieć stojącą za nimi matematykę, a tym samym (teoretycznie) zmniejszyć prawdopodobieństwo popełnienia błędu i położyć podwaliny pod późniejsze pojmowanie bardziej złożonych tematów.

To przejście od uczenia się technik – uczenia się jak – do pojmowania stojącej za nimi matematyki – uczenia się dlaczego – odbyło się z kilku powodów. Po pierwsze, zrozumiano, że nie nadejdzie żadna błoga chwila, w której wszyscy opuszczą podstawówkę zdolni bezbłędnie wykonywać mnożenie i dzielenie pod kreską oraz podobne rzeczy. Badania na temat poziomu zrozumienia tematu przez dorosłych obaliły ten mit.

Po drugie, technologia w coraz szybszym tempie zmienia świat, w którym żyjemy. Kalkulatory zastąpiły suwaki i tablice logarytmiczne. Liczba sytuacji, w których ktokolwiek w życiu codziennym naprawdę musi coś pomnożyć lub podzielić pod kreską, drastycznie spadła. Ale świadomość, kiedy mnożyć lub dzielić, się zwiększyła (który supermarket ma najlepszą promocję? Która oferta samochodu jest lepsza?) i musimy mieć pewność, że odpowiedzi dostarczane przez arkusz kalkulacyjny lub kalkulator są rozsądne. Dzisiaj dzieci też uczy się technik pisemnych, ale są one bliższe metodom stosowanym „na odwrocie koperty” przez wprawnych matematyków.

W technikach tych nie chodzi tylko o to, by uzyskać właściwą odpowiedź (kalkulator jest zdecydowanie najbardziej rozsądnym narzędziem w przypadku dużych, nieporęcznych obliczeń), ale o to, by pomóc dzieciom zyskać wgląd w matematykę, wypracować pewne wyczucie liczb. Jak to ujmuje pewien pisarz, Richard Skemp, przypomina to różnicę między zapewnieniem komuś listy instrukcji, jak dotrzeć z punktu A do punktu B, a daniem mu mapy. Jeśli masz listę instrukcji, to kiedy popełnisz błąd, możesz trafić na niewłaściwą ścieżkę i ciężko jest wrócić na właściwe tory. Mając mapę, możesz nakreślić własną, najrozsądniejszą trasę. Współczesne nauczanie matematyki próbuje pomagać dzieciom raczej tworzyć własne mapy matematyczne, niż zapamiętywać listy instrukcji.

To ważne, żebyś jako rodzic nauczył się tych nowych technik. Opisy najważniejszych z nich znajdziesz w różnych miejscach tej książki. Koniecznie musisz poznać metodę siatki w przypadku mnożenia, metodę grupowania służącą do dzielenia oraz koncepcję osi liczbowej i jej zastosowanie. Jest też trochę nieznanej terminologii, z którą musisz się zapoznać, ponieważ dzieci muszą teraz uczyć się i korzystać z takich terminów jak na przykład rozkład liczb na składniki, matryce oraz diagram Carrolla. Skorzystaj ze słowniczka, by dowiedzieć się więcej na temat tych i innych konkretnych terminów, które budzą twoje wątpliwości.

Może pocieszy cię też fakt, że chociaż niektóre techniki nauczane obecnie w szkołach mogą nosić nowe nazwy, tak jak na przykład metoda kompensacji, same w sobie są bardzo stare. Niektóre z nich wręcz wcześniejsze niż te, których uczono w szkole ciebie. Rzymianie i Egipcjanie korzystali z pewnej formy rozkładu liczb na składniki, by szybko dodawać do siebie liczby, a teraz robią to również twoje dzieci. Niech cię nie zaślepi żargon związany ze wszystkimi tymi nowymi metodami – same zasady są bardzo proste i bardzo stare.

Druga dobra wiadomość jest taka, że w miarę jak dzieci przemieszczają się w górę matematycznej drabiny, wszystkie techniki ostatecznie łączą się z tymi, których uczono ciebie. Na przykład kiedy poczują się już pewnie w mnożeniu, będą wykonywać mnożenie pod kreską takie samo jak to, do którego ty jesteś przyzwyczajony.

Jak mogę poradzić sobie z własnym lękiem przed matematyką?

Jeśli należysz do tych szczęściarzy, dla których matematyka to bułka z masłem, możesz to pytanie pominąć. Chyba że zechcesz zatrzymać się na sekundkę po to, by dowiedzieć się, jak czują się z matematyką niektórzy z twoich rówieśników.

Dla niektórych rodziców matematyka to czyste piekło. Pokaż im egzamin SAT po szóstej klasie, a poczują się fizycznie chorzy. Trudno jest dowiedzieć się na pewno, jaki odsetek dorosłych odczuwa strach lub ma nudności na widok zadań matematycznych, ale sądząc po dowodach z naszych własnych, nieformalnych badań, może to być nawet 30 procent (a są osoby, którym trzeba przypomnieć, że 30 procent oznacza trzy na każde dziesięć osób).

Rodzice, którzy obawiają się matematyki, są też przerażeni, że zostaną na tym nakryci – przez swoje dzieci. Pewna mama, z którą rozmawialiśmy, wyraziła myśli wielu osób: „Kiedy moje dzieci były w szkole, żyłam w strachu przed ich pracą domową z matematyki. Robiłam wszystko, co mogłam, by uniknąć kontaktu z nią, na wypadek gdyby poprosiły mnie o pomoc. Na szczęście ich tata jest całkiem niezły z matmy, mogłam więc zwykle zbyć dzieci mówiąc, że jestem zajęta i żeby poprosiły jego. Ale miałam okropne poczucie winy. Miałam wrażenie, że je zawiodłam. Po pewnym czasie przestały prosić mnie o pomoc w lekcjach – wiedziały, co jest grane”.

Skąd się bierze ten lęk?

Często słyszy się, że niektórzy ludzie nie mają „genów matematyki” (co oczywiście sugeruje, że nie zdołali przekazać ich swoim dzieciom). Czy to wyjaśnia matematykofobię?

Odpowiedź na to pytanie niemal na pewno brzmi „nie”, ponieważ nie ma czegoś takiego jak „geny matematyki”. Jak mogłoby być? Ludzkość zajmuje się algebrą, prawdopodobieństwem i rachunkiem różniczkowym zaledwie od kilkuset lat. Większość współczesnych rodziców, nawet ci, którzy uznają siebie za kiepskich z matmy, jest o wiele bardziej zaawansowana matematycznie niż wszyscy z wyjątkiem maleńkiej grupki dorosłych żyjących w czasach średniowiecza, a geny potrzebują do ewolucji tysięcy, a wręcz milionów lat. Cokolwiek więc w naszych mózgach sprawia, że niektórzy ludzie świetnie radzą sobie z matmą, podczas gdy inni mają z nią kłopoty, nie mogą to być żadne geny odpowiedzialne za matematykę. (Naukowcy sądzą, że zdolności matematyczne mogły być skutkiem ubocznym konieczności komunikowania się za pomocą języka, co wymaga wysokiego poziomu myślenia abstrakcyjnego).

Kiedy porozmawiasz z ludźmi na temat ich niechęci do matematyki, większość z nich najczęściej w końcu wspomni o jakimś nauczycielu – albo rodzicu – który sprawiał, że czuli się gorsi. To nie samej matematyki ludzie się boją, tu chodzi o lęk przed ośmieszeniem.

Szokujące jest też odkrycie, jak wielu rodziców i dziadków ma złe wspomnienia związane z lekcjami matematyki w dawnych czasach (a mówiąc o dawnych czasach, nie mam na myśli tylko drugiej wojny światowej, ale też lata osiemdziesiąte). Opowieści o rytualnym upokarzaniu na forum klasy są czymś powszechnym. Niektórzy wspominają kary i ból fizyczny: „Perkins, ile jest siedem razy osiem?”, „Eee, pięćdziesiąt cztery?”. (I Perkins uchyla się, kiedy gąbka do tablicy przelatuje mu nad lewym uchem).

U niektórych w grę wchodził również ból psychiczny. „Mój największy koszmar”, powiedziała pewna mama, „to pan Gregory, stojący przed klasą i każący nam śpiewać «Matematyka to FRAJDA dla smyka, matematyka to FRAJDA dla smyka»”. Jak zwróciła uwagę ta mama, mówienie ludziom, że coś stanowi FRAJDĘ, może w rzeczywistości wywrzeć zupełnie przeciwny skutek. I bądźmy realistami. Wszystko, czego warto się nauczyć, wymaga wysiłku, a matma nie jest tu żadnym wyjątkiem. Jeden z największych naszych problemów polega na przekonaniu, że nauka powinna być fajna i bezwysiłkowa. W związku z tym dzieci nabierają przeświadczenia, że jeśli muszą wkładać w naukę matematyki wysiłek, to nie mogą być w tym zbyt dobre. W Japonii, gdzie panuje tradycja wysokich standardów w nauczaniu matematyki, kładzie się o wiele większy nacisk na wysiłek niż na umiejętności.

Oczywiście ciężko sprawdzić, jak powszechne były takie koszmarne incydenty, ale być może wystarczy tylko jedna chwila upokorzenia, by cała matematyczna budowla się zawaliła. Wielu rodziców wspomina moment, kiedy matematyka nagle zamieniła się w nieprzebity mur i dalszy postęp wydawał się niemożliwy. Coś takiego może zdarzyć się również dobrym matematykom – tyle że oni zwykle natykają się na swój mur na studiach albo później. I wielu matematyków te mury uwielbia – uważają je za wyzwania do pokonania.

Co możesz więc zrobić, by pokonać swój lęk przed matematyką?

• Zwróć uwagę, że pewnie jesteś z matmy lepszy, niż myślisz. Dorośli mają tendencję, by tę matematykę, której potrafią używać (na przykład identyfikowanie wzorów, wybór między konkurencyjnymi promocjami w supermarkecie i podważanie statystyk publikowanych przez rząd), nazywać „zdrowym rozsądkiem”, a wszystko, czego nie potrafią, „matematyką” – i tym sposobem brak umiejętności matematycznych staje się samospełniającą się przepowiednią.

• Większość dorosłych zakłada, że matematyka to przedmiot, w którym chodzi wyłącznie o to, by umieć coś zrobić i zrobić to prawidłowo. My kwestionujemy ten pogląd. Naszym zdaniem jednym z najważniejszych aspektów matematyki jest utykanie i popełnianie błędów. Zadania matematyczne po angielsku określa się mianem „problemów” i nie bez powodu – mówi się tak dlatego, że podczas ich rozwiązywania spodziewamy się pewnych trudności. Utknięcie po drodze to stan chwalebny i często najlepiej jest poradzić sobie z nim, porzucając problem na pewien czas – przespanie się z nim potrafi zdziałać cuda.

• Znajdź trochę wolnego czasu, kiedy dzieci pójdą spać, włącz jakąś muzykę relaksacyjną i spróbuj rozwiązać zadania znajdujące się na końcu książki, zaczynając ze świadomością, że są dzieci, dla których wszystkie one są „niewykonalne”. Prawdopodobnie niektóre z nich dla ciebie też będą trudne, ale niektóre rozwiążesz dość szybko i będziesz się zastanawiać, na czym polegał problem. Porównaj swoją reakcję z reakcjami, które otrzymaliśmy od innych rodziców – zobaczysz, że twój sposób myślenia ma wiele wspólnego z rozumowaniem innych. Strach się zmniejszy, kiedy zdasz sobie sprawę, że wiele innych osób jedzie na tym samym wózku.

Jak mogę sprawić, by moje dziecko polubiło matematykę i było w niej lepsze niż ja kiedyś?

Połączyliśmy dwa pytania – o radość i umiejętności – ponieważ ściśle się ze sobą wiążą. Dzieci będą sobie lepiej radzić z matematyką, jeśli będą spędzać więcej czasu, zajmując się nią, a jest bardziej prawdopodobne, że będą to robić, jeśli ją polubią. Duża część ich radości i rozwoju matematycznego będzie zależała od doświadczeń w domu.

Jednym z najpotężniejszych czynników jest pozytywny feedback. Należy chwalić dziecko za wysiłek, który wkłada w matematykę, a nie za to, że jest „mądre” czy „bystre”. Ważne, żeby pomagać mu wypracować podejście do nauki nastawione na „rozwój” – być może nie będzie w stanie zrobić czegoś od razu, ale nie oznacza to, że nie będzie w stanie zrobić tego nigdy. Jeśli dzieci chwali się za to, że są ogólnie mądre czy bystre, to kiedy trafią na taki obszar matematyki, którego nie są w stanie natychmiast opanować – a trafią – mogą uwierzyć, że osiągnęły swoje granice i zrezygnować.

Idealną chwilą na feedback jest moment, kiedy siedzisz z dzieckiem nad pracą domową. Kiedy udzieli błędnej odpowiedzi w zadaniu, kusi nas, by od razu powiedzieć mu, że popełniło błąd, a następnie wyjaśnić prawidłową odpowiedź. Oprzyj się tej pokusie. Poproś dziecko, by opowiedziało ci, jak rozwiązało zadanie i pokieruj nim, aż (jeśli będziesz mieć szczęście) zauważy błąd.

By wyciągnąć z niego więcej, możesz samodzielnie udzielić części wyjaśnień… i w razie potrzeby popełnić ten sam błąd we własnych obliczeniach, po czym poprawić się ze śmiechem, mówiąc: „I teraz trzy plus trzy to siedem – zaraz, coś tu jest nie tak, niemądra mamusia [albo tatuś]…”. Kiedy to dziecko udziela wyjaśnień, daj mu mnóstwo czasu, by doprowadziło je do końca. Często pierwszy błąd, który udaje się ujawnić, to tak naprawdę skutek jakiegoś bardziej podstawowego nieporozumienia. Jeśli pozwolimy dziecku udzielić pełnego wyjaśnienia, czasem samo zorientuje się, co zrobiło nie tak. W ten sposób nauczy się, że błędy to nie jest coś, za co należy się kara, i że nawet rodzice czasem je popełniają.

A kiedy twoje dziecko zrobi jakieś zadanie dobrze, też poproś je, żeby wyjaśniło swoje rozumowanie! Daje ci to szansę je sprawdzić (czasem ludzie dochodzą do właściwej odpowiedzi ze złych powodów), ale pełni też pewną ważniejszą funkcję. Jeśli będziesz prosić o wyjaśnienie tylko wtedy, kiedy dziecko udziela błędnej odpowiedzi, zacznie kojarzyć prośbę o wyjaśnienie z porażką, będzie więc zamykać się w sobie, zamiast ujawniać swoje błędy. Jako rodzic nie masz szans pomóc mu w rozumowaniu, jeśli nie będzie chciało ujawnić swoich procesów myślowych.

Wykaż się wyrozumiałością, jeśli twoje dziecko utknie. Kiedy pracujesz z nim jeden na jeden, bardzo łatwo jest pomyśleć: „Muszę mu to wytłumaczyć” albo „Czemu ona tego nie rozumie?”. Wiedza nie przychodzi od razu. Przerwa, powrót do czegoś następnego dnia lub porzucenie tematu na jakiś tydzień może zdziałać cuda dla zrozumienia – i ukojenia nerwów.

Musisz sprawić, żeby matematyka była czymś ekscytującym, a nie tylko obowiązkiem. A przede wszystkim NIGDY nie mów o sobie, że jesteś „do niczego” z matmy. To nasz największy zakaz i wracamy do niego w rozdziale Zalecenia i zakazy na str. 42[1]. Jeśli okażesz zainteresowanie matematyką, twoje dzieci też się nią zaciekawią, a opowiadając o matematyce i bawiąc się nią jako naturalną częścią codziennego życia, zamiast traktować ją jako coś, co robi się tylko pod przymusem, przy stole podczas odrabiania lekcji, zwiększasz prawdopodobieństwo, że zacznie dziecko bawić. Jak właściwie to wszystko zrobić? O tym właśnie jest reszta tej książki.

Dlaczego oni (albo i ja) muszą to wiedzieć?

Za pierwszymi trzema wielkimi pytaniami czai się jeszcze to jedno, ważne dla niektórych rodziców.

Kiedy twoje dziecko zalewa się łzami nad pracą domową, bo nie rozumie, jak policzyć, jaki ułamek danego kształtu został zamalowany, albo kiedy patrzysz na klasówkę z rozkładania liczb na czynniki pierwsze i myślisz „Odkąd skończyłem szkołę, nigdy nic z tego nie było mi potrzebne”, to naturalne, że się zastanawiasz, czemu musicie z dziećmi przechodzić przez to wszystko.

Jest to sprawa, która dręczy system edukacji od wielu lat. W związku z tym toczą się niekończące się debaty nad tym, co powinno, a co nie powinno znajdować się w obowiązkowej podstawie programowej. Faktem jest, że czy ci się to podoba, czy nie, twoje dzieci będą musiały się tego nauczyć, a to wielu rodziców irytuje.

Niektóre obszary matematyki bardzo łatwo uzasadnić, ponieważ mają oczywiste zastosowanie w życiu. Każde dziecko zauważy, że podstawy arytmetyki przydają się, by obliczyć składniki do wykonania przepisu, wydać resztę, zmierzyć wzrost czy dowiedzieć się, ile będą musiały zaoszczędzić, żeby kupić sobie nową grę. Są też inne obszary, których użyteczność potrafią dostrzec rodzice, nawet jeśli dzieci jeszcze nie: procenty, szacowanie i interpretacja statystyk okażą się kluczowymi umiejętnościami życiowymi, kiedy dzieci wyjdą z domu i zaczną radzić sobie same.

Problemy zaczynają się pojawiać w przypadku matematyki, która jest bardziej abstrakcyjna. Kiedy będzie im potrzebna wiedza na temat liczb pierwszych? Jak może im się kiedykolwiek w praktyce przydać znajomość kątów wewnętrznych pięciokąta?

Próba udzielenia odpowiedzi na pytanie: „Po co to wszystko?” bywa trudnym zadaniem. Szybko można zacząć pytać, po co jest cokolwiek, jeśli nie ma ewidentnego praktycznego zastosowania życiowego teraz lub w przyszłości. Po co wiedzieć, że Henryk VIII miał sześć żon, albo że magnez podczas spalania wydziela jasne, białe światło? Jeśli przekonuje cię koncepcja, że wiedza i nauka to pożyteczne sprawy i że dobrze jest wiedzieć różne rzeczy po prostu dla samej wiedzy, to matematyka przynależy do tych podstawowych informacji tak samo jak Henryk VIII. Niektórym rodzicom może to wystarczyć, większość jednak potrzebuje czegoś więcej.

Jednym z ważnych powodów, dla których twoje dziecko musi uczyć się tak dużo matematyki, niezależnie od tego, czy mu się to podoba i czy ma do tego zdolności, jest fakt, że egzaminy z matematyki stały się kluczową przepustką do większości karier zawodowych. To, czy cała ta matematyka będzie ci w rzeczywistości potrzebna, nie ma w większości znaczenia – ważne jest to, że społeczeństwo uznało ją za wymóg, a skoro już tak się stało, mało prawdopodobne, by zmieniło zdanie. Jeśli więc chcesz, żeby twoje dziecko miało przynajmniej opcję zostać pielęgniarką, mechanikiem, prawnikiem czy projektantką gier komputerowych, to będzie musiało zdobyć dobrą ocenę z egzaminu z matematyki. To nie jest argument, który nam się podoba, ale pewien fakt życiowy, którego nie można zignorować.

Niektórzy uzasadniają matematykę, mówiąc: „Matematyka uczy myśleć i kreatywnie rozwiązywać problemy”. To prawda, ale dla większości dzieci jest to o wiele zbyt abstrakcyjna koncepcja, a w każdym razie (jak powiedzieliby niektórzy): czy PlayStation nie robi dokładnie tego samego? Tak naprawdę argument z PlayStation nie jest zbyt mocny, bo ten rodzaj myślenia, którego uczy większość gier komputerowych, jest bardzo ograniczony. Dobra edukacja matematyczna daje ci umiejętność myślenia, którą możesz stosować wszędzie, szczególnie w zakresie logicznego rozumowania oraz dostrzegania wzorów i formułowania wiarygodnych przewidywań. Umiejętności te można zastosować do ważnych koncepcji, takich jak zrozumienie kształtu wszechświata, ale są tak samo przydatne w przyziemnych sprawach typu świadomość, jakiej emerytury możesz się spodziewać za trzydzieści lat.

Ale najlepszą odpowiedzią na pytanie „Po co?” jest często inne pytanie: „Dlaczego musi być jakieś «po coś»?”. Po co jest sudoku? Po nic, a nie powstrzymuje to milionów osób przed rozwiązywaniem tych łamigłówek, i to z przyjemnością. Czy czytanie poezji jest „po coś”? Chociaż jednym z celów matematyki jest zapewnić twoim dzieciom praktyczne umiejętności, które będą mogły zabrać ze sobą w dorosłe życie, to jej wartość nie ma znaczenia, jeśli dobrze się bawią. A zabawa nie musi oznaczać śmiechu co minutę. Gra w piłkę, wspinanie się po górach i wiele innych przyjemnych zajęć zwykle obejmują też liczne chwile dyskomfortu, frustracji, a nawet bólu, ale bez nich całe doświadczenie byłoby mniej satysfakcjonujące.

I to właśnie o przyjemność tak naprawdę chodzi tym, którzy kwestionują celowość matematyki. W przypadku większości ludzi problemem nie jest to, czy mają wrodzoną umiejętność zajmowania się nią, ale fakt, że nie sprawia im to przyjemności. Częścią problemu jest sposób, w jaki przedstawia się wiele obszarów matematyki. Jeśli twoje matematyczne doświadczenia z dzieciństwa kojarzą ci się z mozolnym, powtarzalnym ćwiczeniem technik, które wymyślili inni ludzie, to jest bardzo mało prawdopodobne, by udało ci się wynieść z nich pozytywne wrażenia.

Zabawa to kluczowa część matematyki na każdym poziomie. Dlatego w tej książce tak pokaźne miejsce zajmują gry. Ważna jest też ciekawość. Dlatego dołączyliśmy trochę wyzwań, które mogą twoje dziecko zaintrygować. Nie oczekujemy, że wszyscy nabiorą apetytu, by zajmować się matematyką, tak jak nie każdy pasjonuje się historią czy geografią. Ale jeśli nie przedstawia się matematyki jako intrygującego tematu, który może sprawiać przyjemność, to mało prawdopodobne, by dzieci kiedykolwiek nabrały na nią chęci.

MATEMATYCZNE REKWIZYTY DLA MAMY I TATY

Jako mama lub tata najwięcej okazji do rozmów z dzieckiem na temat matematyki będziesz mieć w domu. Posiadanie w nim pewnych kluczowych przedmiotów codziennego użytku zwiększy szansę, by matematyka pojawiła się w rozmowie spontanicznie.

Wyraźnie widoczny zegar w kuchni (lub w innym miejscu, gdzie z reguły jadacie śniadania). Jeśli możesz mieć zegar analogowy ORAZ cyfrowy, to jeszcze lepiej, ponieważ porównywanie i odczytywanie godziny na obydwu zegarach stanie się codziennym zwyczajem.

Tradycyjny kalendarz ścienny. Kalendarze to dobry sposób oswajania się z liczeniem dni, ale mają też w sobie pewne subtelne schematy. Jedna z kolumn to tabliczka mnożenia przez 7. Spoglądając na liczby po przekątnej, w kwadratach po cztery i tak dalej, znajdziesz inne wzory.

Gry planszowe z kostkami lub tarczą z obrotową wskazówką. Umiejętność posługiwania się nimi nie tylko pomaga w liczeniu, ale buduje też zrozumienie prawdopodobieństwa. A gry z obrotową wskazówką będą często pojawiać się w szkolnych zadaniach matematycznych.

Talia tradycyjnych kart do gry – i kilka gier w rękawie (takich jak wojna i oczko). Gry karciane to naturalny sposób uczenia się sortowania i losowości.

Kalkulator. Podstawowy wystarczy. Częściowo ma on pomagać dziecku wtedy, kiedy oczekuje się od niego korzystania z kalkulatora, ale ważniejsze będą zabawy z kalkulatorem (zob. rozdział Matematyka na kalkulatorze na str. 267).

Pojemniki z podziałką i waga. Twoje dziecko spotka się z nimi w szkole, więc posiadanie ich w domu sprawi, że się z nimi oswoi. Pojemniki pokazujące miary w pintach i litrach zapewniają natychmiastowy, wzrokowy przelicznik. Zbieraj puste butelki po szamponie lub wodzie, żeby dzieci mogły zrobić sobie własne pojemniki z podziałką.

Suszona fasola, makaron lub drażetki. Przydają się do zliczania dużych zbiorów, by zbadać, ile zostanie, jeśli weźmiesz dużą garść i podzielisz na dwie części, na trzy i tak dalej.

Miarka i linijka. Zaangażuj dziecko w mierzenie nowych mebli, firanek i projektów „zrób to sam”. Jeśli dopilnujesz, żeby trzymać koniec taśmy, na którym jest zero, dziecko będzie musiało odczytać miarę.

Rodzinna tabliczka czekolady (na przykład taka, która ma cztery rzędy po osiem kawałków), schowana w szafce na sytuacje awaryjne, kiedy trzeba będzie porozmawiać o ułamkach. Czekolada to świetny motywator i dobrze nadaje się na nagrody.

I kilka rekwizytów, w które może zechcesz zainwestować…

Magnesy na lodówkę z liczbami i symbolami. Sposób na spontaniczne wprowadzenie do domu równań i zadań matematycznych. Znamy pewnego ojca, który po kolacji układał na lodówce działania typu „7 × 9 = ?” i po prostu zostawiał je tam jako tajemnicę czekającą na rozwiązanie, kiedy dzieci zejdą na śniadanie – wyobraź sobie tylko uśmiechy na ich twarzach…

Staroświecka waga kuchenna, gdzie składniki waży się za pomocą odważników. Nie tylko jest to wspaniały, namacalny sposób na dodawanie liczb (lub ułamków, jeśli masz stare odważniki), wprowadza też koncepcję równania, gdzie rzeczy po jednej stronie skali są „równe” tym po drugiej stronie.

Tablica do rzutek (być może lepsza będzie wersja na rzepy!). Rzutki uczą nie tylko dodawania i odejmowania, ale oswajają też dzieci z podwajaniem i potrajaniem liczb. A na koniec gry trzeba tworzyć działania, które będą pasowały do założonego celu: „Jak mogę trafić 47 w dwóch rzutach, kończąc na polu punktowanym podwójnie”.

Gry z nietypowymi kostkami. Kostki nie muszą być w kształcie sześcianu. Tradycyjna kostkowa gra imitująca krykieta „Howzat!” ma sześciokątne kostki (to świetna gra podróżna, bo jest taka przenośna). Inne gry, w szczególności fantasy, mają kostki o dwudziestu trójkątnych ściankach (dwudziestościany foremne).

Domino. Ta gra jest chyba na wymarciu, ale możesz pomóc ją ożywić. Domino często wykorzystuje się, by pokazywać kombinacje liczb (w tym przypadku wszystkie sposoby połączenia liczb od 0 do 6). Jest też świetne do zabaw w przewracanie, kiedy ustawia się je na boku i przewraca pierwsze…

Zgadnij kto to? Dzieci w każdym wieku uwielbiają tę grę, w której trzeba domyślić się, którą z dwudziestu czterech osób wybrał przeciwnik. Jest to doskonały przykład dzielenia na kategorie (w tym przypadku mężczyzn i kobiety, osoby w okularach i bez itd.).

Termometr wewnętrzny i zewnętrzny. Świetne urządzenie do trzymania w kuchni, które pokazuje temperaturę w domu i na dworze. Zimą liczby schodzą poniżej zera, więc dzieci naturalnie przyzwyczajają się do koncepcji mrozu, „poniżej zera”, i symbolu minusa.

PODSUMOWANIE ROK PO ROKU

Oto krótkie streszczenie zagadnień matematycznych, które twoje dziecko najprawdopodobniej napotka w poszczególnych klasach szkoły podstawowej. Przez wiele lat wszystkie brytyjskie państwowe szkoły podstawowe pracowały zgodnie z ogólnokrajowymi ramami ustalonymi przez rząd. Ramy te zapewniały pewien schemat pokazujący, jakie tematy powinny zostać omówione na jakim etapie i w której klasie. Niektóre szkoły trzymały się ich tak skrupulatnie, że można było wręcz przewidzieć, jakie konkretne zadania twoje dziecko dostanie w trzecim tygodniu klasy czwartej.

Ten program ramowy był jednak przewidziany tylko jako wytyczne i szkoły mają coraz więcej swobody decydowania, kiedy i jak uczą poszczególnych zagadnień, chociaż w ogólnych zarysach większość szkół działa dość podobnie.

Szkoły mają też oczywiście opcję wprowadzania innych materiałów „wzbogacających”. Na przykład tradycyjny program szkoły podstawowej nie obejmuje już prawdopodobieństwa, ale wiele dzieci się z nim zetknie (szczególnie grając w gry karciane lub kostkowe) i jeśli dziecko jest na takie koncepcje gotowe, nie zaszkodzi wprowadzić je, zanim harmonogram uzna, że trzeba. Tak naprawdę naszym zdaniem prawdopodobieństwo oraz powiązane z nim zagadnienia szczęścia i ryzyka to niezwykle dobre rzeczy, które warto poznawać już w młodym wieku!

Dlatego właśnie sekcja ta celowo jest tak krótka. Nie chcemy, żeby ogarnęła cię obsesja na punkcie tego, czy twoje dziecko jest na „odpowiednim” poziomie, wybiega w przód, czy zostaje w tyle, ponieważ może to niechcący doprowadzić do tego, że będziesz wywierać na nie niepożądaną presję. („Sam, w tej książce piszą, że powinieneś już umieć dodawać ułamki, co się z tobą dzieje?”)

Być może zauważysz, że poziom wymaganych od dzieci umiejętności matematycznych jest wyższy niż w latach dziewięćdziesiątych i na początku XXI wieku. Teoria jest taka, że im więcej od dzieci wymagasz, tym więcej osiągną. W przypadku niektórych się to sprawdza, ale ryzyko polega na tym, że inne mogą czuć się przeciążone, zmuszone radzić sobie z koncepcjami, których nie rozumieją – i te dzieci mogą bardzo szybko stracić zainteresowanie matematyką. Tak więc chociaż program być może głosi, że dziecko „powinno” być w stanie robić to czy tamto, wraz z jego nauczycielem prawdopodobnie będziecie umieli wyczuć, czy jest to realistyczne, czy też nie.

Zanim zajmiemy się szczegółowo kolejnymi klasami, wspomnę jeszcze o terminologii, która wprowadza zamęt wśród niektórych rodziców:

Key Stages 1, 2, 3…

Kiedy rząd wprowadził National Curriculum (Ogólnokrajową podstawę programową), nadał też numery wszystkim rocznikom edukacji. Dzieci zaczynają formalne kształcenie w roku, w którym kończą pięć lat, i pierwszy rok nazywamy Reception (zerówką). Po niej idą do klasy pierwszej (Year 1, Y1), a następnie drugiej (Year 2, Y2): te dwa lata określane są mianem Key Stage 1 (KS1, kluczowy etap 1). Key Stage 2 (KS2) zaczyna się od trzeciej klasy i dzieci opuszczają go po ukończeniu Y6, czyli szkoły podstawowej. Key Stage 3 to pierwszy etap szkoły ponadpodstawowej, Y7, 8 i 9, a KS4 to lata GCSE, Y10 oraz Y11. Dla tych, którzy zostają w szkole, KS5 to Y12 i Y13, które wciąż często nazywa się Sixth Form.

Żeby jeszcze bardziej wszystko skomplikować, często słyszy się, jak nauczyciele mówią o poziomach („Levels”). Pierwotnie National Curriculum zawierało tzw. Attainment Levels („poziomy osiągnięć”), używane do opisywania postępów dzieci. Obejmowały one z grubsza okres dwóch lat (mówimy „z grubsza”, ponieważ niektóre dzieci w niektórych latach robią postępy szybciej). Większość dzieci powinna osiągnąć Level 2 pod koniec drugiej klasy, a Level 4 pod koniec klasy szóstej. Jednak ku zadowoleniu wielu osób, terminologia ta wychodzi z użycia. Niektórzy nauczyciele z przyzwyczajenia wciąż mogą posługiwać się poziomami, ale będzie to coraz rzadsze.

Reception

Ważne jest liczenie i podstawy arytmetyki. Dzieci w zerówce uczą się recytować nazwy liczb po kolei, rosnąco i malejąco, oraz liczyć zbiory obiektów. Nauczyciele będą zachęcać je do używania określeń „więcej” i „mniej” oraz porównywania liczb.

W zerówce dzieci zajmują się takimi pytaniami jak: „ile to jest o 1 więcej niż 6?” lub „czy potrafisz powiedzieć, jaka liczba jest o 1 mniejsza od 7?”, na liczbach do 10. Mają zajęcia typu łączenie dwóch grup przedmiotów codziennego użytku i obliczanie ich ogólnej liczby. Mogą zabierać część przedmiotów z grupy i w ten sposób zapoznawać się z odejmowaniem jako „zabieraniem”.

Początki mnożenia i dzielenia rozpracowuje się przez zliczanie grup tej samej wielkości, na przykład obliczając całkowitą liczbę cukierków, jeśli mamy po trzy cukierki na czterech talerzykach. W ramach wprowadzenia do dzielenia dzieci mogą dzielić dziewięć ciasteczek między trzy niedźwiadki.

Tworzenie wzorów, budowanie modeli i sortowanie rzeczy znajdujących się w klasie rozwija ich rozumowanie matematyczne, chociaż na tym etapie opisują to za pomocą języka codziennego. Porównują rzeczy i używają określeń typu „większy”, „cięższy” i „lżejszy”.

Klasa pierwsza

W klasie pierwszej zagadnienia matematyczne wprowadzone w zerówce poszerza się o liczenie do i powyżej 100, zarówno w górę, jak i w dół, oraz począwszy od dowolnej liczby. Dzieci ćwiczą czytanie i pisanie do 100 liczbami i do 20 słowami. W pierwszej klasie dzieci uczą się par liczb takich jak 4 + 6, 7 + 3 oraz innych kombinacji, które dają odpowiedzi nieprzekraczające 20, a także powiązanych faktów dotyczących odejmowania (na przykład wiedząc, że powiedzmy 6 + 5 = 11, wiedzą też, że 11 – 6 = 5 oraz 11 – 5 = 6). Umiejętności potrzebne do mnożenia rozwija się przez naukę liczenia po dwa, po pięć i po dziesięć. Pierwszaki poznają ułamki 1/2 oraz 1/4. Porównują, opisują i rozwiązują praktyczne zadania pomiarowe dotyczące długości, wysokości i wagi. Uczą się rozpoznawać i pamiętać wartość monet i banknotów. Ćwiczą podawanie godzin, pełnych i z dokładnością do pół godziny. Uczą się nazw popularnych figur, takich jak prostokąty, trójkąty, sześciany i kule.

Klasa druga

W klasie drugiej na bazie liczenia po dwa, pięć i dziesięć przechodzi się do liczenia co trzy oraz odliczania wstecz, a nie tylko w przód. Dzieci poznają wagę pozycji cyfr w systemie dziesiętnym, identyfikując jedności i dziesiątki w liczbach dwucyfrowych, i uczą się korzystać z tej umiejętności do rozwiązywania zadań. Oczekuje się, że będą płynnie dodawać i odejmować liczby do 20 oraz obliczać powiązane działania do 100. Na przykład wiedząc, że 9 + 5 = 14, mogą obliczyć, że 39 + 5 musi się równać 44. Uczą się o liczbach parzystych i nieparzystych, że dodawanie i mnożenie jest przemienne, a odejmowanie i dzielenie nie jest, a także o relacjach między dodawaniem i odejmowaniem oraz mnożeniem i dzieleniem. Naukę ułamków rozszerza się o 1/3, 1/4, 2/4 i 3/4 długości, figur lub zbiorów obiektów. Podawanie godziny rozszerza się o kwadranse i odcinki co pięć minut. Dzieci ćwiczą tworzenie wzorów, opisywanie położenia, kierunku i ruchu, łącznie z obrotami o ćwierć-, pół- i trzy czwarte koła. Zagadnienie przetwarzania danych wprowadza się poprzez interpretowanie i tworzenie prostych piktogramów, zestawień zapisywanych systemem kresek, wykresów słupkowych i prostych tabel, oraz zadawanie i odpowiadanie na pytania związane z danymi przedstawionymi w ten sposób.

Klasa trzecia

Jeśli twoje dziecko jest w trzeciej klasie, prawdopodobnie będzie wykonywać działania na liczbach całkowitych przynajmniej do 1000, czytać, pisać i porównywać takie liczby oraz rozpoznawać wagi pozycji ich cyfr (setki, dziesiątki i jedności). Liczenie obejmuje wielokrotności 4, 8, 50 i 100 oraz o 10 lub 100 więcej lub mniej niż podana liczba. Dzieci dodają i odejmują liczby w pamięci, łącznie z dodawaniem pojedynczej cyfry lub wielokrotności dziesięciu do liczby trzycyfrowej, oraz zapoznają się z pisemnymi metodami dodawania i odejmowania pod kreską liczb do 1000. Szacują odpowiedzi do sprawdzenia i rozwiązują zadania. Mnożenie i dzielenie rozszerza się o tabliczkę mnożenia przez 3, 4 i 8. Uczniowie klasy trzeciej ćwiczą mnożenie liczb dwucyfrowych przez jednocyfrowe i rozwiązują zadania na mnożenie i dzielenie. Ułamki obejmują już części dziesiętne. Za pomocą diagramów dzieci wskazują proste ułamki równe sobie oraz dodają, odejmują i porównują ułamki o tym samym mianowniku. W nauce mierzenia wprowadza się obwody prostych kształtów. Pieniądze wykorzystuje się do wydawania reszty, a godzinę podaje co do minuty. Wprowadza się informacje dotyczące czasu, takie jak liczba sekund w minucie i dni w każdym miesiącu oraz rok i rok przestępny. Dzieci uczą się rysować kształty, tworzyć kształty trójwymiarowe i opisują je coraz dokładniej. Naukę o kątach łączy się z obracaniem, a kąty proste wiąże się z obrotami o ćwierć, połowę i trzy czwarte koła oraz wykorzystuje jako punkt odniesienia do porównywania innych kątów. Analizuje się linie poziome, pionowe, prostopadłe i równoległe w odniesieniu do innych linii. Dzieci interpretują i przedstawiają dane za pomocą wykresów słupkowych, piktogramów oraz tabel i odpowiadają na pytania o dane przedstawione w ten sposób.

Klasa czwarta

W klasie czwartej liczenie obejmuje wielokrotności 6, 7, 25 i 1000 oraz podawanie liczb o 1000 większych lub mniejszych niż dana liczba. Dzieci liczą teraz wstecz poniżej zera, do liczb ujemnych. Ćwiczą czytanie, pisanie, porządkowanie i porównywanie czterocyfrowych liczb całkowitych oraz rozpoznawanie wagi pozycji ich cyfr (tysiące, setki, dziesiątki i jedności). Zaokrąglają liczby do najbliższej 10, 100 lub 1000 i uczą się historii rzymskiego systemu liczbowego. Dodają i odejmują liczby czterocyfrowe pisemnie, za pomocą metody pod kreską, szacując wyniki dla sprawdzenia. Nadal rozwiązują zadania. Informacje na temat mnożenia i dzielenia poszerza się o całą tabliczkę mnożenia do 12. Dzieci z klasy czwartej ćwiczą mnożenie liczb dwu- i trzycyfrowych przez liczbę jednocyfrową za pomocą metody pisemnej oraz rozwiązują zadania na mnożenie i dzielenie. Ułamki poszerza się o części setne, znajdowanie równych ułamków, łącznie z dziesiętnymi i setnymi, dodawanie i odejmowanie ułamków o tym samym mianowniku oraz rozwiązywanie zadań na ułamki. Wprowadza się ułamki dziesiętne, w tym odpowiedniki 1/4, 1/2, 3/4, wraz z zaokrąglaniem liczb z jednym miejscem po przecinku do najbliższej liczby całkowitej oraz porównywaniem ułamków dziesiętnych.

Ćwiczenia pomiarowe obejmują już zamianę jednostek (na przykład kilometrów na metry) oraz obliczanie pól przez zliczanie kwadracików w obrębie danej figury. Podawanie godziny obejmuje przeliczanie wersji analogowej i cyfrowej oraz 12- i 24-godzinnej, a także rozwiązywanie zadań obejmujących zamianę jednostek, na przykład sekund na minuty lub tygodni na dni. Do opisywania położenia i kreślenia punktów wykorzystuje się siatki i współrzędne. Dzieci interpretują i przedstawiają dane dyskretne za pomocą wykresów słupkowych, dane ciągłe za pomocą wykresów liniowych oraz rozwiązują zadania dotyczące danych przedstawianych na wiele różnych sposobów.

[1] Dotyczy wydania papierowego.