Dane oryginału:

First published in English under the title

The Mathematical Universe; From Pythagoras to Planck by Joel L. Schiff, edition: 1

Copyright © Springer Nature Switzerland AG, 2020

This edition has been translated and published under licence from Springer Nature Switzerland AG.

Springer Nature Switzerland AG takes no responsibility and shall not be made liable for the accuracy of the translation.

Wydanie polskie

Tłumaczenie: Witold Sikorski na zlecenie WITKOM

Projekt okładki i stron tytułowych: Barbara Ćwik

Ilustracja na okładce: Agsandrew/Dreamstime

Wydawca: Adam Filutowski

Koordynator ds. redakcji: Adam Kowalski

Redaktor: Agnieszka Jaworska

Produkcja: Mariola Grzywacka

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwo Naukowe PWN S.A.:
Michał Latusek

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w Internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo.

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2022

ISBN: 978-83-01-22217-8

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2022r. (Wydanie I)

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321; faks 22 69 54 288; infolinia 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl; reklama@pwn.pl

www.pwn.pl

Bezpłatny fragment

PODZIĘKOWANIA

O AUTORZE

SŁOWO WSTĘPNE

PROLOG

KRÓTKA OPOWIEŚĆ

WPROWADZENIE

1. TAJEMNICA MATEMATYKI

BĄDŹMY ROZSĄDNI

WSZYSTKO GOTOWE

GDZIE JEST MATEMATYKA?

DOSTRAJANIE

WYBUCH Z PRZESZŁOŚCI: GEOMETRIA EUKLIDESOWA

PODĄŻAJĄC ZA PIĄTYM AKSJOMATEM

PI W NIEBIE

WYRUSZAMY DO MONTE CARLO

ZMIAŻDŻONE PI

BOSKA NIERÓWNOŚĆ IZOPERYMETRYCZNA

2. STĄD DO NIESKOŃCZONOŚCI

PARADOKS ZENONA

SUMOWANIE

W JAKIM WSZECHŚWIECIE JEST TO PRAWDĄ?

MOC LICZBY e

SZYBKIE PIENIĄDZE

CO JEST NORMALNE?

MNOŻENIE AD INFINITUM

3. ŚWIATY UROJONE

DZIWNY PRZYPADEK x^2 + 1 = 0

„i” TAK MAJĄ

TOŻSAMOŚĆ EULERA PODOBNA BOSKIEJ

ZACZEKAJCIE – SĄ JESZCZE OKTONIONY

NAJTRUDNIEJSZY PROBLEM ŚWIATA – HIPOTEZA RIEMANNA

4. LOSOWY WSZECHŚWIAT

PORUSZAMY SIĘ, ZACHOWUJĄC RÓWNOWAGĘ

RUCHY BROWNA

ŻYCIE JEST HAZARDEM

ROZPAD WYKŁADNICZY

GRA W DATOWANIE

INSPIRUJĄCE PRAWA

ŚWIAT ENTROPII – OD PORZĄDKU DO CHAOSU

ENTROPIA INFORMACJI

5. OD PORZĄDKU DO CHAOSU

AUTOMATY KOMÓRKOWE

NAŚLADOWANIE DARWINA

CAŁOŚĆ JEST WIĘKSZA NIŻ SUMA JEJ CZĘŚCI SKŁADOWYCH

PSZCZOŁY I TERMITY

… I MRÓWKI

LICZNIK BAKTERII

UL MATEMATYKI: CIĄG FIBONACCIEGO

UKŁADY DYNAMICZNE

MESSRS, FATOU, JULIA I MANDELBROT

FRAKTALNY WSZECHŚWIAT

6. MATEMATYKA W PRZESTRZENI

SZYBCIEJ NIŻ PĘDZĄCA KULA

Z POWROTEM NA ZIEMIĘ

NAD NAMI NIEBO

LATA ŚWIETLNE

WIELKA UCIECZKA

WSZECHŚWIAT JEST PŁASKI

POMIAR NIEWIDZIALNEGO: CZARNE DZIURY

BARDZO ODLEGŁA GALAKTYKA

7. NIEREALNOŚĆ RZECZYWISTOŚCI

MINIATUROWY WSZECHŚWIAT

KWANTOWY ŚWIAT

NIESKOŃCZONA PRZESTRZEŃ

KUBITY

WSZYSTKO JEST WZGLĘDNE, ALBERCIE

TO RÓWNANIE

CZYM NAPRAWDĘ JEST CZAS?

KWESTIE GRAWITACJI

CZAS W RUCHU

PROMIENIOWANIE

SYMETRIA I GRUPY

8. NIEPOZNAWALNY WSZECHŚWIAT

NIEZUPEŁNOŚĆ GÖDLA

PROBLEM STOPU

EMX

GDZIE TO JEST, DOKTORZE HEISENBERG?

PODSUMOWANIE

DODATEK I

ZACHOWAĆ ROZSĄDEK

DODATEK II

GEOMETRIA HIPERBOLICZNA I CZASOPRZESTRZEŃ MINKOWSKIEGO

DODATEK III

NIEPOLICZALNE LICZBY RZECZYWISTE

DODATEK IV

C^2 = C: POSTAĆ LINIOWA I KWADRATOWA MAJĄ TAKĄ SAMĄ KARDYNALNOŚĆ

DODATEK V

SZEREGI GEOMETRYCZNE

DODATEK VI

SUMY CESÀRO

DODATEK VII

OBRACANIE WEKTORA ZA POMOCĄ KWATERNIONA

DODATEK VIII

KWATERNIONY: Q^2 = –1

DODATEK IX

FUNKCJA DZETA RIEMANNA

DODATEK X

KOD DLA LOSOWYCH PRZEJŚĆ

DODATEK XI

WIEK UKŁADU SŁONECZNEGO

DODATEK XII

METEORYT Z CZELABIŃSKA

DODATEK XIII

BRAMKI LOGICZNE

DODATEK XIV

ODLEGŁOŚCI GALAKTYK LICZONE ZA POMOCĄ CEFEID

DODATEK XV

DYLATACJA CZASU

DODATEK XVI

ROZSZERZANIE SIĘ WSZECHŚWIATA

BIBLIOGRAFIA

PRZYPISY

Pozostałe rozdziały dostępne w pełnej wersji e-booka

Wszechświat jest nie tylko dziwniejszy niż możemy to sobie wyobrazić, jest dziwniejszy niż potrafimy to sobie wyobrazić …

Sir Arthur Eddington

Książka ta jest poświęcona pamięci Emmy Noether (1882–1935), która wiele wniosła do świata matematyki, a jej fundamentalna teoria zmieniła na zawsze świat fizyki.

Amalie Emma Noether – zdjęcie z nieznanego roku, ale zrobione zanim zaczęła pracę na uniwersytecie w Getyndze. Uznany dwudziestowieczny matematyk, Norbert Wiener, przyznał: „Pozostawiając na boku wszelkie zagadnienia płci, należy ona do światowej dziesiątki lub dwunastki wiodących matematyków obecnej generacji”. (Zdjęcie z domeny publicznej)

PODZIĘKOWANIA

Książka ta nie mogłaby powstać bez różnego rodzaju hojnej pomocy ze strony wielu ludzi, którym chcę szczerze podziękować. W szczególności, dziękuję redaktorowi Mike’owi Shaylerowi, za znaczące poprawki w słownictwie tekstu. Wszelkie błędy trzeba jednak zrzucić na barki autora. Poza tym chcę podziękować wymienionym niżej osobom. Są to:

Scott Aaronson, University of Texas

John Baez, University of California, Riverside

Bonnie Bassler, Princeton University

Michael Berry, FRS, University of Bristol

Mario Bonk, University of California, Los Angeles

Douglas Bridges, University of Canterbury

Cristian Calude, University of Auckland

Richard Easther, University of Auckland

Cohl Furey, University of Cambridge

Courtney Griffith, University of Santa Clara

Gerard ′t Hooft, Nobel Prize in Physics 1999, University of Utrecht

Vaughan F.R. Jones, FRS, Fields Medal 1990, University of California, Berkeley

Anita Kean, NeSI/University of Auckland

Chris King, University of Auckland

Ron King, University of Southampton

Kevin McKeegan, University of California, Los Angeles

Katy Metcalf, Auckland, za wiele pięknych ilustracji

David Morrison, NASA/ARC

Aaron Schiff, Economist/Data Scientist, Auckland

Ryan Schiff, Lockheed Martin

Scott Tremaine, Institute for Advanced Study, Princeton

Andrew Yee, HPS Specialist

Philip Yock, University of Auckland

O AUTORZE

Joel K. Schiff ma doktorat z matematyki uzyskany na kalifornijskim uniwersytecie w Los Angeles (UCLA).

Swoją karierę związał z uniwersytetem w Auckland w Nowej Zelandii, gdzie napisał pięć książek na tematy matematyczne i naukowe. Wraz ze swoim kolegą, Waynem Walkerem pomógł w opracowaniu Arytmetycznej transformaty Fouriera, używanej w przetwarzaniu sygnałów. Jest też założycielem i wydawcą międzynarodowego czasopisma Meteorite, a w 1999 roku wraz z żoną odkryli nową asteroidę, wykorzystując swoje obserwatorium ogrodowe. Nazwali ją Brian Mason, na cześć uznanego nowozelandzkiego uczonego zajmującego się meteorytami.

SŁOWO WSTĘPNE

W słoneczny dzień, milion lat temu, nasz świat wyglądał podobnie jak teraz. Były góry, lasy i pustynie, zamieszkałe przez rośliny i zwierzęta, podobnie jak dzisiaj. Ale w pewnych niewielkich grupach naczelnych działo się coś bardzo szczególnego. Stały się bardziej inteligentne od wszystkich innych zwierząt i zauważały różne zadziwiające cechy świata, w którym żyły. W pogodzie, na polach i na niebie widziały wzory różniące się w ciągu dnia i w nocy i wraz ze zmianami pór roku.

Nauczyły się komunikować ze sobą, przewidywać, co się wydarzy i używać swojego rozeznania do poprawy swego bezpieczeństwa i w celu zapewnienia sobie dostępności jedzenia i schronienia. Tak rozpoczęła się nauka, a naczelne nie mogły być już traktowane jak zwierzęta. Zaczęły rozmawiać. Stawały się ludźmi.

Następnie, kilka tysięcy lat temu zaczęli oni pisać i czytać. Poznali pojęcia myślowe, jak liczby. Zaczęli używać swoich palców do porządkowania różnych liczb i zapewne wkrótce zorientowali się, że nie mają dość palców, aby wziąć pod uwagę wszystkie możliwe liczby. Można dojść do 60, ale dalej zaczynają się trudności. Trzeba łączyć liczby, aby opisywać te większe, a czasami potrzebujemy liczb, które nie są całkowite, aby wskazać, ile mamy wody lub jakiej wysokości coś jest. To był początek rachunków. Możemy także używać liczb do rejestrowania czasu, jak godzina w ciągu dnia lub dzień w ciągu roku, ale dokładne wyznaczenie tego wymagało nieco prawdziwego myślenia.

Czasami zdarzało się, że rozumieli wszystko, co trzeba było wiedzieć, ale od czasu do czasu okazywało się, że popełniali błędy. Sztuka korzystania z liczb, aby pokazać rozmiary rzeczy, stała się znana jako matematyka, a nauka opisująca siły natury i jej inne cechy stała się znana jako fizyka. Studiowanie matematyki i fizyki stało się specjalnością, którą potrafiło zrozumieć jedynie niewielu ekspertów. To doprowadziło do potrzeby istnienia ludzi, którzy by likwidowali przestrzeń między ekspertami a resztą populacji. Nie jest to łatwe zajęcie, ale myślę, że ta książka jest w tym zakresie wspaniałą próbą.

Gerard’t Hooft (Laureat Nagrody Nobla z fizyki w 1999 roku)

PROLOG

KRÓTKA OPOWIEŚĆ

Na początku XX wieku urzędnik klasy III w urzędzie patentowym w Bernie w Szwajcarii rozmyślał o świetle. Był to temat, który rozgryzał od czasu, gdy miał 16 lat. Jego praca w urzędzie patentowym nie była zbyt wymagająca, więc miał czas na samodzielne myślenie. Jako punkt startowy wybrał dwa podstawowe postulaty: jeden dotyczący stałej prędkości światła w pustej przestrzeni i drugi dotyczący niezmienności praw fizyki.

Urzędnik ten rozważał następnie rozwinięcie tych dwóch zasad. Męczył się nad tym, nie wykonując żadnych własnych eksperymentów, a jedynie przeprowadzając je w głowie: czyli prowadził „eksperymenty myślowe”. Jego rozważania zaowocowały wkrótce wieloma równaniami, które spływały spod jego pióra.

Jeden z wniosków, jakie wyciągnął urzędnik z matematycznych zawijasów zapisanych przez niego był fakt, że zegar na pokładzie statku kosmicznego poruszającego się w przestrzeni będzie dla jego pasażerów tykał wolniej. Rok w przestrzeni mógłby dla nich odpowiadać nawet dziesięciu latom na Ziemi. Tak, czas, który zawsze był uważany za wielkość niepodlegającą zmianom, już takim nie był. Przynajmniej tak to wynikało z równań.

Po publikacji przez urzędnika tych idei, skierował on swoje myśli ku grawitacji, kolejnemu pojęciu, które wszyscy znamy, a sam urzędnik został profesorem uniwersyteckim. Po jakichś dziesięciu latach rozważań nad grawitacją, jego nowe zawijasy dotyczące grawitacji pokazały, że może ona także spowalniać czas i może zakrzywiać przestrzeń, która zagina nieposiadające masy promienie światła.

Wiele osób uznało ten stan rzeczy za bardzo mylący i tylko niewielu potrafiło zrozumieć znaczenie tych zawiłości. Chodziło w końcu o czas i przestrzeń, rzeczy, które ludzie blisko znali ze swego życiowego doświadczenia. Rewelacje urzędnika po prostu zaprzeczały zdrowemu rozsądkowi.

Powyższe podsumowanie nie zostało wzięte z jakiejś dziwnej opowieści science fiction. Te rozważania na temat światła i grawitacji zostały wypowiedziane w dwóch przełomowych publikacjach odpowiednio z lat 1905 i 1916 dotyczących teorii względności. Autor nazywał się Albert Einstein. Gdy jego zakręcone historie pojawiły się na papierze, całkowicie przedefiniowały naturę czasu i przestrzeni, a jego teorie okazały się rozległą platformą do zrozumienia działania Wszechświata. Wszystkie teoretyczne wyniki zostały zweryfikowane naukowo, często z dokładnością wielu miejsc po przecinku.

Inne fantastyczne przewidywanie wynikające z zagadek Einsteina to pojęcie czarnych dziur.

Ale, czy te na pozór zawiłe równania matematyczne mają coś wspólnego z naszym życiem codziennym? Odpowiedź brzmi tak. Dlatego, że bez pełnego zrozumienia, jak czas może spowalniać i przyspieszać na pokładzie orbitującego satelity, nie byłoby systemu GPS (Global Positioning System) i bylibyśmy beznadziejnie zagubieni, podróżując z A do B. W każdym razie niektórzy z nas zgubiliby się, a innym już się to zdarzyło. Co więcej, GPS stanowi integralną część systemów nawigacji samolotów oraz statków na morzu.

Inne zagadki, które pojawiły się w pierwszej publikacji Einsteina dotyczące względności mówiły, że masa i energia są równoważne i są zgodne z równaniem E = mc^2. Te trzy litery plus jedna liczba wraz ze znakiem równości w takim ustawieniu mają najbardziej dramatyczny wpływ na przebieg historii ludzkości. Co więcej, działają w każdej sekundzie na naszym Słońcu, przekształcając masę na energię i przynosząc nam światło. Światło, za pomocą którego badamy naturę rzeczywistości, cofając się do początków naszego Wszechświata.

Albert Einstein namalowany przez amerykańskiego artystę Paula Meltsnera (1905–1966). Obraz ten był wykorzystany do zakupu w 1943 roku obligacji wojennych o wartości 1 mln dolarów. (Obraz zamieszczono za zgodą Rabina Naomiego Levy’ego/Roba Eshmana. Autor fotografii – Ted Levy)

WPROWADZENIE

Natura imituje matematykę ….

MATEMATYK, GIAN-CARLO ROTA

Jest to książka o matematycznej naturze Wszechświata, w którym żyjemy. Zapewne w jakimś innym wszechświecie, jeśli taki istnieje, matematyka może być inna. Pytanie, czy nasza matematyka została odkryta czy wynaleziona zaprzątało wiele wielkich umysłów od czasów Platona (który twierdził, że została odkryta). Dotkniemy tego zagadnienia, gdyż autor ma swój własny pogląd w tej materii, podobnie jak większość matematyków. Niezależnie od tego istnieje wiele podstawowych cech naszego Wszechświata, a nawet przewidywań, które są pięknie opisane przez niewielkie zawijasy na papierze, które nazywamy matematyką.

Celem autora na kolejnych stronach jest wytłumaczenie niektórych matematycznych aspektów Wszechświata, w którym żyjemy, bez wykorzystywania czegokolwiek, co wykracza poza podstawową matematykę na poziomie szkoły średniej. Tym, co analizujemy w kolejnych rozdziałach są wybrane tematy, które są łatwo dostępne dla każdego, kto zetknął się z twierdzeniem Pitagorasa i symbolem π, i niewielką warstwą algebry. Ale nie ma potrzeby się martwić, jeśli nie pamiętacie szczegółów, gdyż zostaną tu one podane. Jako bonus dodajmy, że dla naszych rozważań nie będzie potrzebne nam nic, co by dotykało rachunku różniczkowego i całkowego.

Po drodze zatrzymamy się kilka razy, odwiedzając wysublimowany, ale dziwaczny świat cząstek subatomowych, pszczół, teorii względności, galaktyk, czarnych dziur i oczywiście nieskończoności, a także wszechświat wykreowany przez nas samych, jako zbiór reguł zwanych automatami komórkowymi. Chodzi o to, że cały Wszechświat jest połączony fragmentami matematyki, którą większość ludzi już zna, a to czego Czytelnicy jeszcze nie wiedzą, będzie staraniem autora zrozumiałe po przeczytaniu tej książki, gdyż będzie to dla was frapujące i dostępne.

Jest to więc, w przeciwieństwie do innych podobnych książek naukowych, które są czysto opisowe, książka naukowa dla laików, którzy znają kilka równań. Jednak sama znajomość równania prostej (y = mx + b) pozwala nam na określenie wieku naszego Układu Słonecznego lub na pomiar wielkości czarnej dziury o ogromnej masie, która leży w sercu większości galaktyk, a nawet pozwala na opisanie rozszerzania się samego Wszechświata. Co więcej opisujemy, jak czas przyśpiesza i zwalnia, a wy w to uwierzycie. Teraz wszystko wydaje się dość niezwykłe i jest tylko próbką tego, co możemy zrobić za pomocą najbardziej podstawowych zawijasów.

Będziemy mogli jedynie dotknąć najważniejszych rzeczy matematycznego wszechświata, ponieważ matematyka stanowi podstawę bardzo wielu starań naukowych, a rygorystyczne szczegóły tych starań wymagają pojęć wykraczających poza zakres tej książki. Nie mniej jest wiele do odkrycia za pomocą najprostszych narzędzi matematycznych.

Autor nie może zagwarantować, że otrzymacie na koniec książki sześciopak z ABS’em, ale poszerzenie horyzontów może ewentualnie prowadzić do sześciopakowego mózgu.

1

TAJEMNICA MATEMATYKI

Czysta matematyka jest religią …

FILOZOF, FRIEDRICH VON HARDENBERG

Nie można być matematykiem bez posiadania duszy poety …

MATEMATYCZKA, SOFIA KOWALEWSKA

Każdy kto chodził do szkoły nauczył się nieco matematyki, ale dla wielu było to bolesne doświadczenie. Gdy kiedykolwiek ktoś w samolocie czy na przyjęciu pyta autora, czym się zajmuje, a on odpowiada, że jest matematykiem, konwersacja albo natychmiast się kończy, jakby powiedział, że jest grabarzem lub poborcą podatkowym, albo rozmówcy wyznają, że matematyka nigdy im nie szła w szkole. Tak więc autor rozumie fobię, koszmar i budzącą grozę naturę tego, co ma teraz do powiedzenia, ale zapewniam was, że będzie to całkowicie bezbolesne.

W 1999 roku autor opublikował książkę pod tytułem Rodziny normalne. Tytuł był nieco mylący i podejrzewam, że część egzemplarzy książki została zakupiona z nadzieją na jakieś głębokie psychologiczne przemyślenia dotyczące życia rodzinnego. Jednak była ona w całości poświęcona bardzo ezoterycznej gałęzi matematyki o tej samej nazwie. W istocie zawierała wiele pięknych twierdzeń, które nie mają absolutnie żadnych podstaw w świecie naturalnym. Po prawdzie był to materiał tak bardzo daleki od rzeczywistości, jak to tylko możliwe. A jednak wyniki można uważać nawet za majestatyczne w taki sposób, w jaki można traktować V Symfonię Mahlera. Struktura ich dowodów była tak wypracowana, tak bogata i cudowna w swej konstrukcji, a wyniki końcowe tak rozświetlały ciemne zakamarki matematycznej rzeczywistości, że autor często podziwiał geniusz, jaki objawił się podczas ich tworzenia. Były to wyniki osiągnięte przez innych i autor nie mógł w żaden sposób przypisywać sobie zasługi za wyniki. Był jedynie posłańcem.

Ale prosi się to o pytanie: „Posłańcem, z jaką wiadomością?” Czym jest naprawdę matematyka? Gdzie jest jej miejsce? Czy jest wyłącznie produktem naszej wyobraźni czy można ją znaleźć, w jakimś podziemnym świecie poza czasem i przestrzenią? Czy matematyka to religia? Czy jest językiem Boga? A może to Bóg jest matematyką?

Są to same w sobie głębokie pytania i niepokoiły one przez tysiąclecia na równi matematyków i filozofów. Autor sam mierzy się z nimi od czterech dekad, czyli od czasu, gdy został matematykiem, gdyż często zastanawiał się, czym tak naprawdę zajmował się przez te wszystkie lata. Jest jednak nadzieja, że pod koniec tej książki Czytelnicy będą lepiej rozumieli, czym jest matematyka, choć nie ma prostej odpowiedzi na to pytanie.

Wspaniała historia matematyki liczy co najmniej 4 tys. lat, a wyrafinowanie niektórych najwcześniejszych prac jest dość niezwykłe. Na przykład Babilończycy używali systemu liczbowego o podstawie 60. W istocie my nadal tak postępujemy, mierząc czas w sekundach i minutach lub używając minut i sekund kątowych przy pomiarze kątów. Przekątna kwadratu z rysunku 1.1 (z poziomym wierszem liczb) reprezentuje:

1 +24/60 + 51/(60)2 + 10/(60)3 = 1,41421296,

co daje wartość z dokładnością do 6 dziesięciomilionowych .

Pierwiastek z dwóch był znany matematycznie jako stosunek przekątnej kwadratu do boku o długości 1. W tym konkretnym antycznym ćwiczeniu szkolnym wartość „1” jest zastąpiona wartością „30” w lewym górnym rogu jako długość boku, zatem przekątna ma długość 30 razy większą, a konkretnie: reprezentowane przez dolne liczby. Jest to wyrafinowana matematyka poza możliwościami jakiegokolwiek przyrządu pomiarowego z tamtych czasów i stanowi (z wykorzystaniem podstawy 60) spore wyzwanie dla ucznia liceum w dzisiejszych czasach. Spróbujcie sami.

RYSUNEK 1.1.

W czasach babilońskich nie ograniczano się do liczenia owiec i kóz. Tu widzimy szkolną tabliczkę z pismem klinowym YBC 7289 z 1600–1800 lat przed Chrystusem. Wyjaśnienie znajduje się w tekście. (Zdjęcie za zgodą Billa Cassemana (https://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/ybc/ybc.html) oraz Yale Babylonian Collection)

Jednak oddanie sprawiedliwości historycznej stronie matematyki wymagałoby dodatkowego podręcznika o podobnej objętości. Nie mniej nazwiska wielu sławnych ludzi, którzy mieli swój ważny wkład w nasze rozumienie świata matematyki i fizyki są rozrzucone w tekście.

W pozostałej części tekstu będziemy analizować tajemnicze związki między matematyką a Wszechświatem, gdyż bez matematyki niewiele byłoby do odkrycia. Nie moglibyśmy nawet w nocy liczyć owiec, aby łatwiej zasnąć. Ale najpierw musimy rozpatrzeć pewne podstawowe elementy logiki matematycznej, aby nasza analiza stała się możliwa.

BĄDŹMY ROZSĄDNI

Logika: Sztuka myślenia i argumentacji w ścisłej zgodności z ograniczeniami i niesprawnościami ludzkiego niezrozumienia …

Ambrose Bierce, Diabli dykcjonarz

Matematyka w swojej istocie polega na mocy rozumowania w sposób rygorystyczny. Takie systematyczne rozumowanie, znane jako logika symboliczna, jest sposobem myślenia zainicjowanym przez Arystotelesa, rozwiniętym przez stoików, a dalej rozwiniętym w bardziej matematyczny układ na początku XIX wieku między innymi przez George’a Boole’a, Augustusa De Morgana i Charlesa Sandersa Pierce’a. Jest to próba sprawienia, aby rozumowanie – a w szczególności rozumowanie matematyczne – stało się bardzo rygorystyczne.

W życiu codziennym wciąż używamy podstawowych postaci logicznego rozumowania, nawet nie zdając sobie z tego sprawy:

Jeśli jest 2:30, to pora na wizytę u dentysty[1].

Jest 2:30.

A więc nadeszła pora na wizytę u dentysty.

Ten rodzaj rozumowania, czyli reguła wnioskowania, ma konkretną nazwę: modus ponens. Inna podstawowa reguła wnioskowania jest znana jako modus tollens, jak w poniższym przykładzie.

Jeśli babcia miałaby kółka, to byłaby autobusem[2].

Jednak moja babcia nie ma kółek.

A więc nie jest autobusem.

Obie postacie wnioskowania logicznego mają swoje początki w odległej starożytności. W klasycznym rozumowaniu każde stwierdzenie logiczne (propozycja) P w postaci: „Pora na wizytę u dentysty” (lub „moja babcia jest autobusem”) może być zarówno prawdą, jak i fałszem. Zaprzeczeniem P jest stwierdzenie: „To nie jest pora na wizytę u dentysty” (lub „moja babcia nie jest autobusem”) i jest nazywane stwierdzeniem „nie P”, jak w „to nie jest przypadek, a którym P jest prawdą”.

Inna postać rozumowania logicznego pochodząca z czasów Arystotelesa to:

Stwierdzenie P jest prawdą lub jego zaprzeczenie, nie P, jest prawdą.

Tak więc „jest 2:30” lub „nie jest 2:30”, albo „babcia jest autobusem” lub „babcia nie jest autobusem”. Nie ma stanu pośredniego i dlatego ten rodzaj myślenia jest nazywany prawem wyłączonego środka.

Jest to kamień węgielny rozumowania matematycznego, w którym dane stwierdzenie matematyczne jest albo prawdą, albo fałszem. I tak 17 + 32 – 6 = 43 lub się nie równa, a 10 357 jest liczbą pierwszą, albo nie[3]. Jeśli mamy stwierdzenia (a) 10 357 jest liczbą pierwszą oraz (b) liczba 10 357 nie jest liczbą pierwszą, to jedno z tych stwierdzeń musi być prawdą.

Gdybyście się nad tym zastanawiali, to 10 357 jest liczbą pierwszą, a więc dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie.

Opierając się na prawie wyłączonego środka, podajmy wywód, który wielu z nas bez wątpienia spotkało na szkolnym placu zabaw. Przypuśćmy, że propozycja P to:

P: Nie istnieje największa liczba.

Zaprzeczeniem P jest więc proste stwierdzenie:

Nie P: Istnieje największa liczba.

Jeśli założymy na chwilę, że nie P jest stwierdzeniem prawdziwym, to możemy oznaczyć największą liczbę przez N. Ale N + 1 jest większa, więc stwierdzenie nie P, nie może być prawdziwe. Ponieważ jedno ze stwierdzeń, P lub nie P, zgodnie z prawem wyłączonego środka musi być prawdziwe, wynika stąd, że stwierdzenie przeciwne, czyli „nie istnieje największa liczba” jest stwierdzeniem prawdziwym.

Istotnie tym prostym przykładem udowodniliśmy prawdziwe matematyczne twierdzenie, a konkretnie fakt, że nie ma największej liczby. Jeśli Czytelnicy na pewnym etapie sformułowali jakąś postać powyższego dowodu, zapewne zrobili to nie zdając sobie sprawy, że używali wyrafinowanych postaci rozumowania logicznego i robili coś, co matematycy robią na co dzień, czyli udowadniają twierdzenia.

Na pozór prawo wyłączonego środka wydaje się oczywiste, ale zostało ono zaatakowane przez dwudziestowiecznego matematyka L.E.J. Brouwera (1881–1966), który odrzucił je na podstawie filozoficznej, gdy zajmował się nieskończonymi zbiorami. Dla Brouwera nieskończony zbiór to coś, co jest niekompletne, jak na przykład liczby naturalne 1, 2, 3, …, które nie mogą być traktowane jako ogół niezależnie od naszego sprytu. Dlatego potrzebujemy trzech kropek (wielokropka), który oznacza i tak dalej w tym samym tonie. W dodatku I można znaleźć szersze omówienie tej tematyki. Podajemy tam dowód nie wprost, a także „konstruktywny” dowód propozycji:

P: Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.

W 1946 roku słynny matematyk Hermann Weyl napisał: „Brouwer postawił to jasno i jak myślę poza wszelkimi wątpliwościami, że nie ma dowodu na potwierdzenie przekonania co do egzystencjalnego charakteru całokształtu wszystkich liczb naturalnych … Sekwencja liczb, która rośnie poza każdy osiągnięty etap, przechodząc do następnej liczby, stanowi różnorodność możliwości otwarcia w kierunku nieskończoności. Pozostaje na zawsze w stanie tworzenia, ale nie stanowi zamkniętej sfery rzeczy istniejących jako takie”.

Istotnie istnieje ogromna różnica między sferą bytów skończonych a tych nieskończonych, a to jak traktować te nieskończone stanowi przedmiot rozdziału 2.

Z drugiej strony prawo wyłączonego środka prowadzi do metody dowodzenia znanego jako „dowód nie wprost”, co znacznie lepiej brzmi po łacinie: reductio ad absurdum. Jest to sposób rozumowania, który zastosowaliśmy, aby udowodnić nasze małe twierdzenie, że nie istnieje największa liczba. Założyliśmy, że prawda jest zaprzeczeniem tego twierdzenia, tj. że istnieje największa liczba N, i doprowadziliśmy do sprzeczności, gdyż liczba N + 1 jest oczywiście większa. Dlatego zaprzeczenie twierdzenia nie może być prawdziwe, a stąd wynika, że nasze twierdzenie jest jednak prawdziwe: nie istnieje największa liczba. Jest to istotnie technika o bardzo dużych możliwościach, w przypadku gdy nie można znaleźć bezpośredniego dowodu twierdzenia. W dodatku III opisano słynny dowód nie wprost.

Przedmiot rozumowania logicznego jest fascynujący, ale oddala nas nieco od zasadniczego tematu, więc zainteresowanych Czytelników kieruję do wyśmienitej książki R.L. Epsteina wymienionej w bibliografii.

Co ciekawe, niektóre z podstaw logiki symbolicznej odnajdują się w projektowaniu przełączników elektrycznych, znanych jako bramki logiczne, które stanowią jądro komputerów. W dodatku XII trzy najbardziej podstawowe bramki logiczne zostały omówione w powiązaniu z logiką symboliczną.

Należy także zauważyć, że Brouwer jest najbardziej znany ze swojej „teorii punktu stałego”. Prosty przykład to wzięcie okrągłego dysku i obrócenie go wokół środka o 30°. Po zakończeniu obrotu, który jest płynnym i ciągłym działaniem, wszystkie punkty dysku przemieściły się, prócz jednego punktu w jego środku, który pozostaje bez zmian. Twierdzenie Brouwera mówi, że każde ciągłe działanie, które przekształca odpowiednio zamknięty obszar na siebie samego, zawsze pozostawi przynajmniej jeden punkt w ustalonym położeniu. Jak na ironię dowód Brouwera jego twierdzenia o punkcie stałym nie jest konstruktywny. Po prostu „dowodzi”, że taki punkt istnieje nie zapewniając możliwości do określenia (zbudowania go) w sposób jawny[4].

Jest wiele twierdzeń o punkcie stałym i choć na pozór może to interesować tylko matematyków, mają one ważne zastosowania w wielu gałęziach nauki, jak ekonomia. W istocie teoria punktu stałego stanowiła serce teoretycznej pracy z zakresu gier amerykańskiego matematyka Johna Nasha, za co otrzymał w 1994 roku Nagrodę Nobla z ekonomii. Punkt „równowagi Nasha” to ustalony punkt określonych funkcji ciągłych[5], a do udowodnienia tego można wykorzystać teorię punktu stałego Brouwera, choć Nash oryginalnie wykorzystał inną teorię punktu stałego przypisywaną Shizuo Kakutaniemu.

Świetny biograficzny film o Johnie Nashu, Piękny umysł, z rolami Russella Crowe’a i Jennifer Connelly w reżyserii Rona Howarda powstał w 2001 roku. Podobnie jak sam John Nash zdobył wiele nagród.

WSZYSTKO GOTOWE[6]

Innym zagadnieniem, które pojawiło się na początku XX wieku, było odkrycie pewnych rys na samej strukturze ówczesnego gmachu matematyki. Miało to związek ze zbiorami, które są po prostu zestawami odrębnych obiektów, które same w sobie są elementami (członkami) zbioru. Na przykład zbiór liter angielskiego alfabetu można zapisać w postaci:

{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}.

Składa się on z 26 elementów. Zwróćmy też uwagę na stosowaną konwencję zapisu wykorzystującą nawiasy sześcienne {•} dla oznaczenia zbioru. Aby łatwiej było odwoływać się do zbioru, możemy nadać mu nazwę, przy czym zwykle stosuje się wielką literę. Można więc napisać:

A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}.

Wybór konkretnej litery jest całkiem arbitralny.

Ponadto okazuje się, że możemy tworzyć zbiory niemal wszystkiego, o czym pomyślimy, jak zbiory konkretnych liczb całkowitych {1, 2, 3}, zbiór wszystkich amerykańskich stanów, zbiór dat urodzin autora tej książki (istotnie ogromny zbiór), a nawet zbiór, który nie ma żadnych elementów, znany jako zbiór pusty[7].

Teoria zbiorów to ważna gałąź matematyki, a duża część jej rozwoju wyrasta z inspirujących prac niemieckiego matematyka Georga Cantora (1845–1918). Powyższe przykłady zbiorów to zbiory skończone. Oznacza to, że można policzyć skończoną liczbę elementów w każdym ze zbiorów. Praca ze zbiorami skończonymi jest dość prozaiczna i można ich uczyć nawet w szkole podstawowej.

Natomiast Cantor był najbardziej zainteresowany egzotycznym światem zbiorów nieskończonych, a zajmując się nimi jesteśmy zmuszeni do pozostawienia za sobą zdrowego rozsądku. Trzeba było geniusza jak Cantor, aby określić jak postępować w tej nieskończonej sferze, co jest pokazane w rozdziale 2., choć za swoje wysiłki zapłacił on cierpieniem.

Rozpatrzmy teraz wyboje na drodze matematycznego wszechświata dotyczące zbiorów, a konkretnie Paradoks Russela (1901) sformułowany przez angielskiego filozofa Bertranda Russela. Zakwestionował on status zbioru

S = {wszystkie zbiory, które nie są członkami samych siebie}.

Brzmi to jako rozsądna propozycja zbioru do analizy. Czy jednak tak jest?

Weźmy pod uwagę dwa poniższe stwierdzenia:

(i) S jest członkiem samego siebie.

(ii) S nie jest członkiem samego siebie.

Przypuśćmy, że S jest członkiem samego siebie, co spełnia stwierdzenie (i). Wtedy zgodnie z definicją S jest to jeden z tych zbiorów, które nie są członkami samych siebie, co spełnia stwierdzenie (ii). OK, ale teraz przypuśćmy, że S nie jest członkiem samego siebie (stwierdzenie (ii)). Z samej definicji zbioru S jest on członkiem samego siebie (stwierdzenie (i)). Dlatego, zakładając, że prawdziwe jest albo (i), albo jego zaprzeczenie (ii) dochodzimy do sprzeczności. Może jednak Brouwer miał rację.

Powyższy dylemat pojawia się przede wszystkim z powodu dopuszczenia istnienia takich zbiorów, jak S. Trzeba bardziej ostrożnie tym zarządzać i znalazło się w bieżących aksjomatach teorii zbiorów opracowanych przez Ernsta Zermelo i Abrahama Fraenkela na początku XX wieku. Jest to omawiane w rozdziale drugim, gdyż najciekawsze są zbiory nieskończone.

Oto inne warianty paradoksu Russela:

Fryzjer z Sewilli goli tylko tych mężczyzn, którzy nie golą się sami.

Jeśli fryzjer nie goli się sam, to zgodnie ze stwierdzeniem, goli się sam. Ale jeśli fryzjer goli siebie, to stwierdzenie mówi, że nie goli samego siebie. Wyjściem z tego dylematu jest stwierdzenie, że taki fryzjer nie istnieje. Wszystko to ma na celu przypomnienie nam, że gdy chcemy zbudować znaczące stwierdzenia dotyczące świata, musimy postępować ostrożnie. Nawet idealny świat matematyki ma swoje pułapki, których trzeba się strzec.

RYSUNEK 1.2.

Centralne figury słynnego obrazu, Sokrates w Atenach rozmawiający z Platonem, namalowanego przez Rafaela. Znajduje się on w Watykanie. (Obraz należy do domeny publicznej.)

GDZIE JEST MATEMATYKA?

Bóg dał nam liczby całkowite, a wszystko inne jest dziełem człowieka …

Niemiecki matematyk, Leopold Kronecker (1823–1891)

Otrzymaliśmy poczucie rozumowania matematycznego, ale czym jest sama matematyka? Co to dokładnie jest? Niektórzy badacze, jak neuropsycholog Brian Butterworth przekonywali na podstawach ewolucyjnych, że ludzki mózg jest zaprogramowany na liczbowość (to interesujące podsumowanie można znaleźć w bibliografii.)

Autor jest zdania, że ludzki genom – pełny zbiór genów, które nas tworzą – zawiera instrukcje do tworzenia specjalnych obwodów w mózgu, które określa mianem Modułu liczbowego. Zadaniem Modułu liczbowego jest kategoryzacja świata w kategoriach liczebności – liczby rzeczy w kolekcji.

Nasz mózg matematyczny zawiera więc te dwa elementy: Moduł liczbowy oraz zdolność do korzystania z narzędzi matematycznych dostarczanych przez naszą kulturę.

Narzędzia te obejmują dla początkujących liczenie na palcach, a także na liczydle, ręcznym kalkulatorze i wszystkich innych urządzeniach liczących, które dała nam historia. Oczywiście handel i sprzedaż zrobiły ze zdolności liczenia podstawowy składnik i przyśpieszyły rozwój arytmetyki.

Dla wielu ludzi matematyka to jakaś forma gloryfikowanej arytmetyki. Lub jeśli uczyli się nieco algebry lub geometrii w szkole średniej, często przyznają się, że nie byli z niej dobrzy. Komiczka Fran Lebowitz ładnie podsumowuje ten punkt widzenia, stwierdzając: „Zapewniam was, że w prawdziwym życiu nie ma czegoś takiego, jak algebra”[8]. To nie tylko jest dobry dowcip, bo jest w nim element prawdy, w tym zakresie, że algebra jest w istocie matematyczną abstrakcją. Zapewniam cię Fran, że nie można jej zobaczyć nigdzie na ulicach Nowego Jorku.

Z drugiej strony pojęcie liczby jest także abstrakcją, więc musimy dojść do wniosku, że jeśli w ogóle będziemy rozmawiać o matematyce, to będziemy zmuszeni zajmować się abstrakcjami.

Istotnie poza abstrakcyjnym pojęciem liczby, matematyka zamieszkuje świat idealnych okręgów, linii prostych, trójkątów, które mają dokładnie 180 stopni i tak dalej. Jednak jest to jedynie idealizacja, a świat, w którym żyjemy, nie będzie nigdy zawierał doskonałego okręgu lub idealnie prostej linii. Wszystkie linie będą miały jakieś odchylenia od idealnej doskonałości, choć odchylenia te mogą być niezwykle małe. Będą miały także jakąś szerokość, podczas gdy w matematyce linia jej nie ma. Liczby można ciągnąć do nieskończoności, choć nic z naszych doświadczeń nie wydaje się trwać wiecznie, poza być może nudnymi wykładami o matematyce. Spodziewamy się nawet, że sam Wszechświat będzie miał swój koniec – końcem świata zajmujemy się dalej.

A jednak matematyka jest najbardziej potężnym narzędziem, które pozwala nam na opisanie świata. Dlaczego tak może być? W pewnym sensie, do czego przychyla się autor, matematyka leży poza tym światem, jest w „idealnym świecie” postulowanym przez Platona (rys. 1.2). Zatem pojęcia matematyczne wydają się zajmować jakąś transcendentną sferę (pogląd zwany platonizmem), istniejącą poza czasem i przestrzenią.

To, jak ten transcendentny idealny świat wchodzi w interakcję ze światem rzeczywistym jest przedmiotem tej książki, a gdy dojdziemy do mechaniki kwantowej, prawdziwy świat także przyjmie postać czegoś jakby z innego świata.

Podajmy jeden historyczny przykład, który zna większość ludzi: mające 2500 lat twierdzenie Pitagorasa, które mówi nam, że dla każdego trójkąta prostokątnego kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków (rys. 1.3).

RYSUNEK 1.3.

Słynne twierdzenie jest przypisywane Pitagorasowi (ok. 570–495 p.n.e.), choć świadectwo przeprowadzenia przez niego dowodu jest pobieżne, a wynik był znany już wcześniej. (Rysunek za zgodą Katy Metcalf.)

Jednak znowu jest to idealizacja, która jest poprawna tylko we wszechświecie matematycznym, a każdy prawdziwy trójkąt prostokątny, który możemy wytworzyć będzie miał jakieś niewielkie odchylenia od tego, co mówi teoria. Jednak im dokładniej narysujemy trójkąt prostokątny, tym bardziej dokładne wyniki uzyskamy.

Z drugiej strony ten starożytny wynik nazwany imieniem Pitagorasa, który zapewne pierwotnie został narysowany na piasku, ma niezliczone zastosowania dla zrozumienia prawdziwego świata. Ma nawet swoje przełomowe miejsce w teorii względności Einsteina związanej z tym, jak czas zwalnia podczas ruchu, co stanowi serce systemu GPS (Global Positioning System)[9].

Mamy też przeciwieństwo twierdzenia, czyli, że dla każdego trójkąta, który ma boki o długościach a, b, c, które spełniają związek

c^2 =a^2 + b^2,

kąt utworzony między bokami o długościach a i b jest kątem prostym (90°). Dowody obu tych twierdzeń znajdują się w pracy Euklidesa Elementy, omawianej dalej w tym rozdziale.

Twierdzenia matematyczne, jak to Pitagorasa, wydają się być „odkryte”. Rozwlekły labirynt matematycznego odkrycia pojawił się z wraz z pojęciem „liczb urojonych”, które reprezentują pierwiastek kwadratowy z –1 i są przedmiotem rozdziału 3. Jest to piękne dzieło znane jako analiza zespolona, które stanowi podstawę wielu „rzeczywistości” w naukach przyrodniczych, od mechaniki kwantowej po obwody elektryczne, teorię względności lub projekt skrzydeł samolotu. A jednak matematyka analizy zespolonej nie jest czymś konkretnym. Istnieje poza naszym światem fizycznym i można się poważyć na stwierdzenie, że jest w swoim własnym wszechświecie.

Roger Penrose, niewątpliwie jeden z największych żyjących umysłów matematycznych na tej planecie, mówi, „Argumentowałem, że takie ‘dane od Boga’ idee matematyczne powinny mieć jakąś formę poza czasowego istnienia, niezależnego od naszych ziemskich postaci”. Autor nie będzie tu zgadywał, czy jest to stwierdzenie teistyczne czy nie.

Ekscentryczny wędrowny węgierski geniusz matematyczny (ateista), Paul Erdös, często wspominał o książce, w której Bóg zapisał wszystkie najbardziej eleganckie i najpiękniejsze dowody matematyczne. To uczucie odzwierciedla pojęcie, odczuwane przez wielu matematyków, że matematyka jest podstawą dla samej natury Wszechświata.

Także Godfery Harold (G.H.) Hardy, jeden z najlepszych matematyków XX wieku, miał podobny pogląd: „Uważam, że rzeczywistość matematyczna leży poza nami, że naszym zadaniem jest odkrycie lub zaobserwowanie jej, a twierdzenia, których dowodzimy i które opisujemy patetycznie jako nasze ‘twory’, są po prostu notatkami z naszych obserwacji. Ten pogląd jest podzielany, w takiej czy innej postaci, przez wielu renomowanych filozofów, począwszy od Platona …”[10].

Z drugiej strony wielu podawało argumenty przeciwko platońskiej perspektywie, przyjmując pogląd, że matematyka jest grą, graną przez matematyków na podstawie zbioru reguł logicznych i zbioru aksjomatów. Żaden zbiór aksjomatów nie jest nadrzędny wobec innego. Jest to pogląd utrzymywany chętnie przez nie-matematyków i podtrzymywany przez wielu filozofów.

Właściwe uzupełnienie pytania, czy matematyka jest jedynie konstrukcją myślową ludzkości czy istnieje w jakimś podziemnym świecie jest trwałą tajemnicą, jest ciągle zadawane pytanie, dlaczego matematyka jest tak niezwykle użyteczna w naukowym badaniu prawdziwego świata. Laureat nagrody Nobla z fizyki Eugene Wigner podsumował tę sytuację w 1960 roku w artykule zatytułowanym The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences[11]: „Niezwykła użyteczność matematyki w naukach przyrodniczych jest czymś ocierającym się o tajemnicę i nie ma to racjonalnego wytłumaczenia … jest to przedmiot wiary”.

Artykuł zamieszał w gnieździe szerszeni kontrowersji wśród uczonych i filozofów, przy czym ponownie zgadzało się z nim wielu uczonych, a wśród niezgadzających się byli filozofowie. Czytelnicy mogą wyrobić sobie swoje własne zdanie po przeczytaniu tej książki.

Sytuacja została ładnie podsumowana przez kosmologa Briana Greene’a, który sam ma mieszane odczucia w kwestii poglądów platonistów i nie-platonistów na istotę matematyki: „Mogę sobie wyobrazić spotkanie z obcym, podczas którego w odpowiedzi na poznawanie naszych naukowych teorii, obcy rzuci uwagę ‘Ach, matematyka. Próbowaliśmy tego przez jakiś czas. Na początku wydawało się to obiecujące, ale w końcu okazało się ślepą uliczką. Pozwólcie, że wam pokażemy jak to naprawdę działa’. Kontynuując jednak moje własne wahania, nie wiem, jak obcy zakończyliby to zdanie, a przy dostatecznie szerokiej definicji matematyki (np. dedukowanie logiczne wynikające ze zbioru założeń), nie jestem nawet pewien, jaki rodzaj odpowiedzi nie sprowadzałby się do matematyki”[12].

Przypisy

[1] Aby czas bardziej ukonkretnić, należałoby napisać 14:30, ale mamy tu do czynienia z dziecinnym żartem, gdyż dentyści i tak nie pracują o 2:30 nad ranem.

[2] Tekst ten autor słyszał często jako dziecko w odpowiedzi na życzenia stanowiące czystą spekulację, jak „Gdyby tylko rodzice naciskali na mnie, abym uczył się gry na skrzypcach, zostałbym wielkim skrzypkiem”. (Ten przypis w części dotyczy różnicy między angielskim brytyjskim i amerykańskim i ten fragment pominięto – przyp. tłum.).

[3] Przypomnijmy, że liczba pierwsza jest liczbą całkowitą dodatnią (liczebnikiem) większą od 1, która nie może zostać podzielona (bez reszty) przez żadną dodatnią liczbę całkowitą poza 1 i samą sobą. Tak więc początkowe liczby pierwsze to 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 …

[4] Dziękuję Douglasowi Bridgesowi za wskazanie ironii, jaką jest niekonstruktywny dowód Brouwera.

[5] W matematyce funkcja to związek między elementami dwóch zbiorów omawianych w kolejnym punkcie tekstu), który przypisuje każdemu elementowi pierwszego zbioru (dziedziny) unikatowy element z drugiego zbioru (zakresu). Przykładem funkcji może być wyrażenie: y = x^2, które przypisuje każdemu elementowi x z dziedziny liczb rzeczywistych, unikatową liczbę rzeczywistą y wyznaczoną ze związku y = x^2, a y jest także liczbą rzeczywistą. Dziedzina często zależy od kontekstu, ale ogólnie przyjmuje się, że ma być możliwie największa.

[6] Oryginalny tytuł punktu All set to dwuznaczność – dosłownie znaczy Wszystko gotowe, ale set to także zbiór (w matematyce i nie tylko), a więc można go rozumieć jako Wszystko o zbiorach lub Wszystko to zbiory. (przyp. tłum.)

[7] Zbiór zaobserwowanych obcych pochodzących z kosmosu może stanowić przykład zbioru pustego, choć osoby, które twierdzą, że zostały napadnięte przez obcych, mogą sądzić inaczej.

[8] Ponieważ wielu ludzi, którzy mieli w szkole do czynienia z algebrą uważa ją za bardzo nieprzeniknioną, przyciągnęło to wiele przykładów humoru:

„Gdy jesteś niezadowolony i chciałbyś wrócić do swojej młodości, pomyśl o algebrze” … Will Rogers

„Czym jest dokładnie algebra: czy to jedna z tych rzeczy o trzech narożnikach?” … James M. Barrie

„Dopóki algebra jest nauczana w szkołach, będzie w nich także modlitwa.” … Cokie Roberts

[9] Patrz punkt Czas w ruchu w rozdziale 7., a także dodatek XV, gdzie GPS jest jawnie wykorzystywany.

[10] A Mathematician′s Apology, G.H. Hardy, 1940, s. 123.

[11] Comm. Pure and Appl. Math., 13, s. 1–14, 1960. Był to wykład Richarda Couranta dotyczący nauk matematycznych wygłoszony na uniwersytecie nowojorskim 11 maja 1959 roku.

[12] B. Greene, The Hidden Reality, s. 297.