Na co dzień uporczywie zajmują nas pytania, co to jest prawda i fałsz, co jest prawdopodobne, a co nieprawdopodobne, co ma sens, a co jest go pozbawione. Logika to formalnie surowa, ale też zwrócona ku światu siostra matematyki. Jako nauka o zasadach spójnego myślenia i prowadzenia dowodu, przemierza również tereny filozofii i informatyki. Logika wstrząsa podstawami matematyki, ale też ją wzbogaca. Christoph Drösser wprowadza czytelnika w świat poprawnego wnioskowania, poczynając od sylogistycznej logiki klasycznej, poprzez nowoczesne teorie, autorstwa np. George’a Boole’a lub Bertranda Russella, od teorii dowodu i teorii mnogości i informatyki teoretycznej aż do logiki rozmytej. W zajmujących i pouczających opowiadaniach, w niewymuszony sposób przekazuje podstawy, osobliwości i zasadzki logiki. Drösser pokazuje, jak nauka potrafi być bliska codzienności, ale też jak uczeni kiedyś i dziś zdobywali i zdobywają wiedzę.

Pozycja ta, tak jak poprzednie publikacje Drössera, prezentuje czytelnikowi także zadania i ich rozwiązania, łamigłówki dla każdego. Najwięcej przyjemności książka zaś sprawi, z natury rzeczy, fanom „Matematyki”.

Christoph Drösser, urodzony w 1958 roku, jest redaktorem działu naukowego tygodnika „Die Zeit”, dla którego w roku 1997 powołał do życia kolumnę „Zgadza się?”. W roku 2005, przez czasopismo fachowe dla dziennikarzy „Medium-Magazin”, został wybrany „Dziennikarzem naukowym roku”. Oprócz w sumie sześciu książek z serii „Zgadza się?” (w języku polskim Wydawnictwo Naukowe PWN wydało jedną z nich, pod tytułem Czy to prawda, że…), Christoph Drösser opublikował w wydawnictwie rororo następujące bestsellery: Der Mathematikverführer (Matematyka. Daj się uwieść!), Der Physikverführer (Fizyka. Daj się uwieść!) oraz Der Musikverführer (Muzyka. Daj się uwieść!), które ukazały się również w języku polskim w Wydawnictwie Naukowym PWN.

Tytuł oryginału

Der Logikverführer. Schlussfolgerungen für alle Lebenslagen

Copyright © 2012 by Rohwolt Verlag GmbH, Reinbek bei Hamburg

Wydanie polskie

Projekt okładki i stron tytułowych Przemysław Spiechowski z wykorzystaniem ilustracji: bomg/Shutterstock, RTRO/Can Stock Photo, Meranda19/Shutterstock, tsinik/Shutterstock

Wydawca Bartosz Działoszyński, Joanna Banasiak-Lach

Tłumacz Danuta Serwotka

Redakcja merytoryczna Jerzy Pluta

Redakcja Joanna Egert-Romanowska

Produkcja Mariola Iwona Keppel

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwa Naukowego PWN

Weronika Panecka / Woblink

Wszelkie prawa zastrzeżone. Reprodukowanie, kodowanie w urządzeniach przetwarzania danych odtwarzanie w jakiejkolwiek formie oraz wykorzystywanie w wystąpieniach publicznych w całości lub w części tylko za wyłącznym zezwoleniem właściciela praw autorskich.

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie.
Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo.

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2013, 2021

ISBN 978-83-01-21867-6

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2021 r.,

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321, faks 22 69 54 288

infolinia 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl; reklama@pwn.pl

www.pwn.pl

Spis treści

WSTĘP

1. JEŻELI KSIĘŻYC JEST Z ZIELONEGO SERA…
ALBO O LOGICE I RZECZYWISTOŚCI

Co to jest logika? Anemiczny język wzorów, za pomocą którego można formułować retorycznie wyrafinowane wypowiedzi? Nie – to narzędzie, które może nam pomóc jaśniej myśleć.

2. KŁAMSTWO I PRAWDA
ALBO GDY NA LOGICE POTYKAJĄ SIĘ OPRYSZKI

Komisarz Behnke przesłuchuje trzech opryszków podejrzanych o dokonanie napadu na bank, którzy oczywiście do niczego nie chcą się przyznać. Asystentowi komisarza dzięki czystej logice udaje się wywnioskować ze sprzecznych zeznań rabusiów, kim byli sprawcy.

3. SŁABE KARTY SUPERMANA
ALBO O DOBRYCH I NIE ZA DOBRYCH ARGUMENTACH

Matthias Wortman pozwala swemu dziesięcioletniemu synowi uwikłać się we wręcz scholastyczną dyskusję o zdolnościach i cechach charakteru Supermana. Ponadto: przegląd najważniejszych logicznych i retorycznych paralogizmów, który pomoże ci zdemaskować każdy talk-show.

4. ROZRYWKI UMYSŁOWE 1: LOGICALS
Logicals to łamigłówki, w których chodzi o skonstruowanie powiązań między pewną liczbą grup, z których każda zawiera tyle samo elementów. To brzmi abstrakcyjnie, lecz może sprawiać konkretną przyjemność.

5. PIEKIELNA MASZYNA

ALBO LICZ SIĘ Z PRAWDĄ!

Superagent James Blond budzi się z omdlenia i widzi, że znajduje się w niebezpiecznej sytuacji. Towarzysząca mu piękna kobieta okazuje się ekspertką w dziedzinie połączeń logicznych. Czy uda im się rozbroić sterowaną elektronicznie bombę, do której oboje są przywiązani łańcuchem?

6. FAŁSZYWEK CZAR
ALBO DWUZNACZNE PRAWO

„Kto podrabia lub fałszuje banknoty…” – kiedyś każde niemieckie dziecko znało zdanie, rzucające się w oczy na wszystkich banknotach marek niemieckich i grożące fałszerzom więzieniem „na okres nie krótszy niż dwa lata”. Ale czy to zdanie było logicznie jednoznaczne? I czy kiedykolwiek w tym kształcie znajdowało się w kodeksie? Fiete Schneider w każdym razie źle je zrozumiał, co przed sądem go zgubi.

7. ROZRYWKI UMYSŁOWE 2: WYSPA KŁAMCÓW
Czy człowiek może stale kłamać? Na fikcyjnej wyspie Mendacino są tacy ludzie. Obcy przyjeżdżający na wyspę nie mogą więc wierzyć każdemu słowu tubylców. Z odrobiną logiki można jednak całkiem dobrze rozeznać się w sytuacji.

8. KATALOG KATALOGÓW
ALBO DLACZEGO Z PORZĄDKIEM TEŻ MOŻNA PRZESADZIĆ

Bibliotekarz Fred Kollman jest fanem drukowanych katalogów i ku ubolewaniu pracowników biblioteki każe ujmować w nich nie tylko wszystkie książki biblioteki miejskiej, lecz również ich katalogi. Omal nie staje się przy tym ofiarą paradoksu logicznego, który w podobnej formie przed 100 laty zachwiał podwalinami matematyki.

9. KIEDY LOGIKA WARIUJE
Słynne PARADOKSY I JAK SIĘ JE ROZWIĄZUJE

Już od czasów starożytnych wielcy i mali myśliciele mieli uciechę ze sprzecznych dykteryjek, wywodzących nasze myślenie w pole. Wykaz najładniejszych paradoksów logicznych – oraz próba rozwiązania sprzeczności w nich tkwiących, o ile w ogóle się da.

10. TEN TYTUŁ JEST AUTOREFERENCYJNY
ALBO PROBLEMY Z KOZAMI NA WYSPIE KŁAMCÓW

Teleturniej „Gorąca cena” to na wyspie kłamców Mendacino jeden z najchętniej oglądanych programów. Kandydaci na podstawie logicznych wskazówek muszą się zorientować, za którymi z dwojga lub trojga drzwi ukryta jest nagroda główna. I część kandydatów nagle zdaje sobie sprawę, że autoreferencyjne zdania ułożone przez asystentów Hansa i Franza często prowadzą do zdumiewających wyników. Za pomocą całkiem podobnych zdań Kurt Gödel przed 80 laty wykazał, że nigdy nie będzie można dowieść wszystkich prawdziwych twierdzeń matematycznych.

11. ROZRYWKI UMYSŁOWE 3: KAPELUSZOWY TELETURNIEJ
Jeszcze jeden fikcyjny program telewizyjny, który raczej nie miałby szans sprostać wymaganiom kwotowym dzisiejszych dyrektorów artystycznych: tym razem kandydaci – wraz z tobą rzecz jasna – muszą zgadnąć, jaki kapelusz akurat mają na głowie. Informacje na ten temat są niepełne i wiele należy wywnioskować z zachowania konkurentów, którzy jednakowoż wiedzą tyle, ile sam kandydat.

12. KOMPUTER LUDOWY
ALBO MASZYNA UNIWERSALNA PANA TU LING

W dalekiej Magnolii rządy silnej ręki sprawuje pan Lang Tsung. Postęp techniczny jest surowo zabroniony. Mimo to jego zausznikowi Tsei Tung wraz z genialnym matematykiem Tu Lingiem udaje się wzbudzić jego zachwyt dla uniwersalnej maszyny liczącej, obywającej się zupełnie bez zasilania i mechaniki, która mimo to, jak nowoczesny komputer, jest w stanie przeprowadzić w zasadzie wszystkie obliczenia.

13. OPTYMALNY SAMOCHÓD UŻYWANY
ALBO PRECYZYJNE MYŚLENIE NA PODSTAWIE NIEPRECYZYJNYCH POJĘĆ

Państwo Schell chcą kupić samochód. Mają raczej mgliste pojęcie o cenie, wieku, szybkości maksymalnej i marce. Czy z takich danych można wytypować optymalny dla nich samochód? Logika rozmyta próbuje wyciągać precyzyjne wnioski z nieostrych założeń.

DODATEK

ROZWIĄZANIA ZAGADEK

NAJWAŻNIEJSZE WZORY LOGICZNE

AKSJOMATY TEORII MNOGOŚCI ZERMELO-FRAENKELA

LITERATURA I ŹRÓDŁA

Przypisy

WSTĘP

To, co logiczne, w żaden sposób nie jest w stanie zachwiać tym, co nielogiczne.

Homar von Ditfurth Dziedzictwo Neandertalczyka

Logika ma zły image. Jest ponoć zimna i wyrachowana, a w kulturze popularnej pojawia się mnóstwo postaci, które się ośmieszają, bo nielogicznym stronom życia próbują przeciwstawić biało-czarny formalizm praw logiki – pomyślmy tylko o Wolkanie Spocku ze Star Treka.

Jest tak dlatego, że logika jako taka nie wypowiada się merytorycznie, lecz tylko wyciąga wnioski z założeń, do których właściwie nic nie dodaje. Czy to tylko puste słowa? Również w tej książce znajdą się formalne wyprowadzenia twierdzeń, o których z pewnością można powiedzieć: to przecież logiczne – dlaczego trzeba tego dowodzić w tak skomplikowany sposób?

Wielu matematyków i filozofów także tak myśli. Logika, jako dyscyplina łącząca obie dziedziny, na uniwersyteckich wydziałach matematyki albo filozofii traktowana jest raczej niszowo. Studentów filozofii irytują obowiązkowe kolokwia, na których muszą przekształcać dziwaczne twory słowne, matematycy często uważają logikę za przesadnie drobiazgowy formalizm, który przeszkadza im w zapisywaniu swoich przekonań krótko, zwięźle i „elegancko”.

Lecz przed mniej więcej stu laty to właśnie matematycy dowiedzieli się, że zbyt nonszalanckie traktowanie logiki wprost zagraża im usunięciem ziemi spod stóp. Logiczne sprzeczności kilkakrotnie wstrząsnęły matematyką i długo trwało, zanim stanęła z powrotem na w miarę pewnych fundamentach.

Chociaż logika nie dodaje nic nowego do twierdzeń, w których znajduje zastosowanie, nie znaczy to jeszcze, że nie pozwala na zdobywanie nowej wiedzy. Najlepszym przykładem jest znowu matematyka: w nowoczesnej formie wszystkie twierdzenia wyprowadza się z prostych aksjomatów. To znaczy, że matematyka nie dodaje do takich przesłanek nic od siebie, wszystko od początku zawiera się w owych niewinnie wyglądających założeniach. Wielkie twierdzenie Fermata[1], hipoteza Poincarégo[2] – cała spektakularna wiedza matematyczna ostatnich czasów, do której genialne umysły dochodziły latami, to w końcu „tylko” logika stosowana.

Zajmowanie się prawami logiki, a przynamniej ich podstawami, dobrze zrobi również niematematykom. Zmuszają one do pewnego rodzaju „higieny umysłowej”, do ścisłego formułowania myśli. W rozdziale trzecim wymieniam 25 nieścisłych sposobów argumentacji, paralogizmy logiczne i inne, z którymi codziennie mamy do czynienia w popularnych programach publicystycznych.

Logika jest oczywiście również źródłem przyjemności związanej z zagadkami różnego rodzaju. Wyszukałem trzy typy takich łamigłówek: logicals, zagadki z kłamcami oraz zagadki z kapeluszami. Wyróżniają się tym, że można je rozwiązać, nie mając żadnej wiedzy, wyłącznie siłą logiki. Wskazuję przykładowe sposoby rozwiązań, a potem niech czytelnik sam spróbuje swoich sił w zadaniach.

Chciałbym podziękować Andreasowi Loosowi i Berndowi Schuhowi za przejrzenie maszynopisu i ważne wskazówki merytoryczne oraz mojej agentce Heike Wilhelmi i mojemu redaktorowi Frankowi Strickstrockowi z wydawnictwa Rowohlt.

Czytelniku, jeśli chciałbyś wskazać ewentualne nielogiczne miejsca albo podzielić się pomysłami, proszę o odwiedziny mojej strony internetowej www.droesser.net!

Christoph Drösser, Hamburg, wrzesień 2012

1. JEŻELI KSIĘŻYC JEST Z ZIELONEGO SERA…

ALBO O LOGICE I RZECZYWISTOŚCI

Trzech logików wchodzi do baru.

– Chcecie wszyscy po piwie? – pyta barmanka.

– Nie wiem – mówi pierwszy logik.

– Nie wiem – mówi drugi.

– Tak! – mówi trzeci.

Dla zajmujących się logiką jest to śmieszne do rozpuku. Inni zaś myślą: z takimi to bym nie chciał iść na piwo!

Logiczne wyjaśnienie dowcipu: pierwszy logik chciałby piwo, lecz nie wie, czy towarzysze też chcą, dlatego nie może na pytanie odpowiedzieć ani „tak”, ani „nie”.

Drugi logik z odpowiedzi pierwszego może wywnioskować, że ten miałby ochotę na piwo. Jeśliby bowiem tak by nie było, to pierwszy mógłby odpowiedzieć na pytanie „nie” – już jeden wyjątek sprawia, że zdanie, zaczynające się od „wszyscy”, jest fałszywe. Drugi logik też chciałby piwo, ale ponieważ nie wie nic o tym, czego chce trzeci logik, też musi odpowiedzieć: „Nie wiem”.

Dopiero trzeci logik może udzielić definitywnej odpowiedzi na pytanie. Wie, że obaj towarzysze mają ochotę na piwo, on sam też – czyli może odpowiedzieć: „Tak!”.

Witamy w kraju pedanterii! Jeśli bawił cię sposób myślenia w dowcipie, to możesz zaraz rzucić okiem do rozdziału jedenastego i rozwiązać kilka zagadek, w których trzeba myśleć podobnie okrężną drogą. W prawdziwym życiu takie sytuacje zdarzają się na szczęście dość rzadko – gdy kelnerka pyta grupę gości, czy wszyscy chcą piwo, to odpowiedzią nie będzie wzruszenie ramion, lecz wielogłosowe „Tak”, „No jasne!”, „Pewnie!”. Potem trzeba tylko policzyć, żeby ustalić liczbę żądanych piw.

W życiu nie wszystko dzieje się zgodnie z prawami logiki, i dobrze. Inaczej Hamlet nie mógłby powiedzieć: „Być albo nie być, oto jest pytanie” – ponieważ zdanie o formie „A albo nie-A” jest zawsze prawdziwe i nie może być pytaniem. Kiedy zaś pieśniarz i poeta Wolf Biermann, mieszkający wtedy jeszcze w NRD, dał wyraz swemu wewnętrznemu rozdarciu słowami: „Najchętniej chciałbym, żeby mnie tu nie było i najchętniej bym tu pozostał”, to z pewnością nie życzyłby sobie zarzutu, że zdanie ma formę „A i nie-A”, dlatego jest wewnętrznie sprzeczne. Życie jest właśnie pełne sprzeczności, czasem, inaczej niż w logice, trzeba je znosić[3].

Kiedy przed kilkoma dziesiątkami lat studiowałem na uniwersytecie matematykę i filozofię, logika dla studentów filozofii należała do programu obowiązkowego, a wykładów większość się bała. Apogeum niezrozumienia przyszło, kiedy profesor z całym stoicyzmem wydeklamował zdanie: „Jeśli księżyc jest z zielonego sera, to liczba pięć jest pijana”, twierdząc do tego, że zdanie jest prawdziwe – bo z czegoś fałszywego można wywnioskować coś fałszywego, a wypowiedź mimo to jest prawdziwa.

Być może wydawca FAZ[4], Frank Schirrmacher, który obok germanistyki i anglistyki studiował także filozofię, na studiach urywał się z tych wykładów, w każdym razie w apogeum afery byłego prezydenta Niemiec Christiana Wulffa napisał dla swego czasopisma komentarz pełen oburzenia. Wulff podczas osławionego wywiadu telewizyjnego próbował osłabić robione mu wyrzuty związane z przyjęciem korzyści majątkowych i dostarczyć przekonującego wyjaśnienia swego zachowania. Schirrmacher nie wierzył w ani jedno słowo tych wybiegów i napisał: „Wywiad z prezydentem wypadł tak fatalnie, bo nieprawdziwa przesłanka sprawia, że nieprawdziwe staje się wszystko”. Wywiad był rzeczywiście fatalny, tyle że w logice fałszywe przesłanki nie sprawiają, iż wszystko jest fałszywe, lecz że wszystko jest prawdziwe. „Gdyby nie było słówka «gdyby», to mój ojciec byłby milionerem” – to zdanie jest prawdziwe, mimo to w kieszeni ani grosza.

Zdrowy rozsądek ma problemy z implikacją logiczną nie tylko wtedy, gdy przesłanka jest fałszywa – także, gdy jest prawdziwa, powstają dziwne prawdziwe zdania: „Jeśli Berlin jest stolicą Niemiec, to Angela Merkel jest ich kanclerzem”. Oba człony wypowiedzi są rzecz jasna prawdziwe, lecz co mają ze sobą wspólnego? Odpowiedź brzmi – nic. W logice nie chodzi o treściowy związek pomiędzy wypowiedziami. W języku potocznym „jeśli… to” sugeruje zawsze związek przyczynowo-skutkowy między zdaniami podrzędnymi, lecz logice nic o tym nie wiadomo (więcej na ten temat w rozdziale dziewiątym).

Moi koledzy na matematyce również nieszczególnie interesowali się logiką. W Bonn, gdzie studiowałem, w Instytucie Matematycznym był też wydział „Logiki i badań podstawowych”, który znajdował się w małym, wynajmowanym przez instytut budyneczku w bocznej uliczce. Większość studentów nigdy nie znalazła doń drogi. I chociaż logika matematyczna w XX wieku silnie zachwiała podstawami matematyki, wykazując, że nie wszystkie prawdziwe twierdzenia tej tak logicznej przecież nauki można logicznie udowodnić (patrz rozdziały ósmy i dziesiąty), to matematycy w swej codziennej pracy traktują logikę zdumiewająco naiwnie. Nauczyli się kilku technik dowodzenia, a używając poza tym zdrowego rozsądku, dochodzą dość daleko.

Logika jest ślepa na rzeczywistość. Interesuje się tylko związkami formalnymi między wypowiedziami albo zdaniami. Wnioskami, które można wyprowadzić z pewnej liczby przesłanek, o ile są prawdziwe. Domeną logiki nie jest indukcja, czyli wyprowadzanie prawidłowości poprzez obserwację rzeczywistości, lecz dedukcja. Logika jako taka nie dostarcza argumentów do dyskusji, lecz może sprawdzić ich moc przekonywania.

Z tego powodu często zarzuca się logice, że jest w pewnym stopniu zimna. Pierwszy oficer Spock, Wulkan ze statku Enterprise, był wprawdzie ścisłym analitykiem, ale dość nieporadnym pod względem uczuć. Lecz właśnie tę cechę logiki wielcy myśliciele mieli w przeszłości za zaletę, marząc o rozstrzyganiu gorących dysput ludzkości za pomocą chłodnej logiki. Należał do nich Gottfried Wilhelm Leibniz, urodzony dwa lata przed końcem wojny trzydziestoletniej, konfliktu, w którym prawie połowa ludności za spór o wiarę zapłaciła życiem. Leibniz marzył o tym, żeby miejsce krewkich i kończących się przemocą potyczek słownych mogła zająć logika. „Wtedy, w przypadku pojawienia się kwestii spornych, dwóch filozofów nie kosztowałoby to więcej wysiłku naukowej dysputy niż dwóch rachmistrzów”, pisał Leibniz. „Wystarczyłoby wziąć do ręki coś do pisania i siąść przed liczydłem, mówiąc do siebie (jeśli się podoba, to przyjaznym tonem): «Zacznijmy więc liczyć»”.

Środkami logiki uczeni od czasów średniowiecza chcieli odpowiadać nawet na pytania ostateczne – niejeden raz próbowano wywnioskować istnienie Boga z zasad logiki przez czyste rozważanie. Pierwszym, który się tego podjął, był w XI wieku Anzelm z Canterbury. Jego argumentacja wyglądała mniej więcej tak:

■ Bóg to jest to, ponad co nie można pomyśleć niczego większego.

■Przyjmijmy, że Bóg istnieje tylko w naszych umysłach. Wtedy można pomyśleć coś, co jest większe od tego, ponad co nie można pomyśleć niczego większego.

■ Jeśli można pomyśleć coś, co jest większe niż to, ponad co nie można pomyśleć niczego większego, to jest to, ponad co nie można pomyśleć niczego większego, czymś, ponad co można pomyśleć coś większego.

■ Czyli to, ponad co nie można pomyśleć niczego większego, jest czymś, ponad co można pomyśleć coś większego.

■ To sprzeczność. Czyli założenie, że Bóg w rzeczywistości nie istnieje, musi być fałszywe, a Bóg istnieje.

Dzisiaj ta argumentacja wydaje się nam zawiła, średniowieczna i scholastyczna, nikogo też nie nawróci. Z konstruktu słownego (to, ponad co nie można pomyśleć niczego większego) wnioskuje się o istnieniu istoty wykazującej odpowiednie właściwości. Lecz na początku XX wieku coś podobnego przydarzyło się matematyce. Dozwolony zgodnie z naiwną teorią mnogości[5] Cantora[6] „zbiór wszystkich zbiorów”, niedopuszczający niczego większego od siebie, był podobnym konstruktem, który, jak wykazał w roku 1903 Bertrand Russell[7], pogrążył matematykę w sprzecznościach. Doprowadziło to bezpośrednio do bardzo poważnego kryzysu podstaw tej dziedziny, opierającej się przecież na czystej logice. Więcej na ten temat w rozdziale ósmym!

Leibniz marzył o opracowaniu uniwersalnego opisu świata, „Characteristica universalis”, składającego się z encyklopedii uzasadnionych prawd, formalnego języka służącego do ich opisu oraz kompletu reguł wnioskowania, za pomocą których można by wyprowadzić z istniejących nowe prawdy i w taki sposób rozstrzygnąć każdą dysputę. Był przekonany, że przy udziale zespołu uczonych potrafi zrealizować taki projekt w ciągu pięciu lat. Lecz zmarł, zanim mógł się do tego zabrać[8].

Pomysł Leibniza skazany był na niepowodzenie nie tylko dlatego, że byłby to zbyt wielki wysiłek. Jest jeszcze jeden, głębiej leżący powód: tylko za pomocą logiki nie można dowieść wszystkich prawd. Dotyczy to szczególnie matematyki: w 1931 roku Kurt Gödel[9] wykazał, że każdy dostatecznie złożony system formalny (o tym, co to znaczy, mówi rozdział dziesiąty) zawiera prawdziwe twierdzenia, których jednakże nie można udowodnić środkami logiki. Dla matematyki było to już drugie uderzenie poniżej pasa w ciągu 30 lat.

Logika jest „treściowo neutralna”, do twierdzeń, do których jest stosowana, nic nie dodaje. Wyciąga z nich tylko prawdy, które już zawsze były w nich zawarte. Ostatecznie produkuje tylko tautologie – twierdzenia, które są prawdziwe niezależnie od ich treści. Jednak co to może oznaczać, pokazuje matematyka: cała wiedza matematyczna w końcu zawiera się w tautologiach, czyli wnioskach z aksjomatów przyjętych jako prawdziwe. Pokazuje to, jakim silnym narzędziem może być logika.

Zapraszam cię, czytelniku, w podróż przez świat logiki – podróż, w której natrafimy na zagadki i szarady, spotkamy się z dobrymi i złymi argumentami, antynomiami i paradoksami, a która ostatecznie wskaże nam granice ludzkiego myślenia.

Istnieje jeszcze jedna wersja cytowanego na początku dowcipu o logikach. Do baru wchodzi czterech logików.

– Chcecie wszyscy po piwie? – pyta barmanka.

– Nie wiem – mówi pierwszy logik.

– Nie wiem – mówi drugi.

– Nie wiem – mówi trzeci.

– Nie! – odpowiada czwarty logik.

– Ach, pewnie jesteście logikami? – śmieje się barmanka. – To podam wam trzem po piwku!

– Tak – potwierdza czwarty logik – a ja poproszę o kieliszek czerwonego wina!

2. KŁAMSTWO I PRAWDA

ALBO GDY NA LOGICE POTYKAJĄ SIĘ OPRYSZKI

„Dobrze zaczyna się ten dzień”, myśli komisarz Detlef Behnke. Poprzez otwarte na oścież drzwi biura może rzucić okiem na korytarz, gdzie siedzą jego trzej podejrzani: Arnold Sägemeister (o przydomku Arnie), Bodo Kümmerling (w półświatku znany jako Bodo Bomba) oraz Christian Würger (alias Chris Sejf). Wszyscy trzej są już po przesłuchaniach indywidualnych i najwyraźniej zadowoleni z wyników. W każdym razie są w świetnych humorach, szepczą między sobą, Arnie bije się nawet po udach. Świetny humor jest uzasadniony, bo jeśli Behnke szybko nie wpadnie na jakiś dobry pomysł, będzie musiał swoich trzech podejrzanych zwolnić.

Jest przy tym pewien, że co najmniej jeden z nich dopuścił się napadu na bank, o którym rozmawiano wczoraj w miasteczku przez cały dzień. W nocy z poniedziałku na wtorek drzwi miejscowego banku zostały fachowo wyłamane. Sprawcy wyłączyli instalację alarmową, następnie za pomocą tak zwanej lancy tlenowej rozcięli skarbiec i ukradli z niego 20 tysięcy euro w gotówce. Doskonale wiedzieli, gdzie muszą przyłożyć narzędzie – tu działali profesjonaliści, to pewne. Albo może był tylko jeden sprawca? Żadnych odcisków palców, żadnych świadków, z początku wszystko wskazywało na długie śledztwo z wątpliwymi szansami na powodzenie. To pierwszy przypadek Behnkego w wydziale rozbojów, do którego przeniósł się przed kilkoma tygodniami po przepracowaniu 20 lat w wydziale zabójstw[10].

– Dość się naoglądałem zwłok – powiedział na usprawiedliwienie swojemu szefowi. Szybkim wyjaśnieniem spektakularnego napadu mógłby się naprawdę dobrze wprowadzić w nowy wydział.

Wczoraj jeszcze na to wyglądało. Do komisariatu przyszła kobieta w wieku około 75 lat, pani Meister, trochę chwiejnie trzymająca się na nogach, lecz najwyraźniej w pełni sił umysłowych. Opowiedziała, co zaobserwowała w zeszłym tygodniu. Jadła akurat kiełbaskę przy straganie ulicznym „Wolfgangs Wurtswagen[11]”, zaś przy stoliku barowym obok stali trzej mężczyźni, którzy z jakiegoś powodu wzbudzili w niej lęk. Przesunęła się przy swoim stoliku tak, aby być od nich jak najdalej, ale i tak dochodziły do niej strzępy rozmowy: „bank”, „poniedziałek wieczorem”, „lanca tlenowa”. Przede wszystkim ostatnie wyrażenie zapadło jej w pamięć, bo usłyszała je po raz pierwszy. Słysząc później na mieście o włamaniu, natychmiast przypomniała sobie o zdarzeniu i udała się prosto na policję.

Jej zeznania zachwyciły Behnkego. Wyszukanie podejrzanych w bazie danych policji i przedstawienie ich zdjęć pani Meister zajęło raptem kilka minut. A ta była całkowicie pewna, że Arnie, Bodo i Chris to ci trzej mężczyzni, których podsłuchała przy jedzeniu kiełbaski. Konfrontacja, tego był Behnke pewien, przekona każdego sędziego.

Również dzisiejsze aresztowanie rabusiów nie było filmowym dramatem – wszystkich policja zastała w domu, ochoczo dali się zakuć w kajdanki i wywieść pod eskortą na policję.

Na posterunku asystent Behnkego Oliver Hufnagel uważał, aby podejrzani nie mieli ze sobą kontaktu. Nie powinni mieć sposobności uzgodnienia zeznań. Pojedynczo wprowadzano ich do pokoju przesłuchań. Kiedy przedstawiono im zeznania pani Meister, niespodziewanie wszyscy trzej zdecydowali się złożyć zeznania w sprawie, zamiast ich odmówić, do czego mieliby przecież prawo.

Pierwszy przesłuchiwany był Arnold Sägemeister.

– Przy straganie z kiełbaskami spotkaliśmy się właściwie przez przypadek – wyjaśnił. Znają się przecież od czasów ostatniego pobytu w pobliskim zakładzie penitencjarnym, więc wywiązała się pogawędka. Fachowa dyskusja o interesach, o ile można to tak nazwać, w każdym razie o sprawach, które dla niego, Arniego, już dawno należą do przeszłości. – Jednak Bodo i Chris najwyraźniej widzą w tej branży jeszcze przyszłość – mówił Arnie. – W każdym razie opowiadali, jak łatwo można wyłączyć instalację alarmową banku i że opancerzenie sejfu też nie powinno być wielką przeszkodą… – Potem zmienili temat, lecz Bodo i Chris nie pozostawiali wątpliwości, że miejscowy bank mają na oku.

Następnie przesłuchiwany był Bodo. Ten też opowiadał, że spotkanie przy barze nie było planowane, ale ucieszył się, widząc byłych kumpli. On sam prowadzi teraz życie czyste, uczciwe i skromne, lecz szczególnie Arnie dał do zrozumienia, że woli szybką kasę z napadu na bank, zamiast mozolnie wypracowanego zarobku robotnika niewykwalifikowanego. Arnie opowiedział też kumplom o planach w związku z miejscowym bankiem.

– Proponował nam nawet, żebyśmy wzięli w tym udział, a łup podzielili na trzy części – lecz Chrisowi i mnie sprawa wydawała się zbyt niepewna, obaj nie mamy ochoty powędrować za kratki na następne kilka lat.

Zeznanie Chrisa zaś było bardzo podobne do zeznania Arniego, prawie dosłownie – tyle że zmienione były imiona. Arnie i Bodo mieli szczegółowe plany napadu najwyraźniej już przed spotkaniem, nawet go nie spytali, czy chce brać w tym udział – nie chcieli widocznie dzielić z nim pieniędzy. Poza tym na pewno odmówiłby udziału w takim przedsięwzięciu, spokojne, skromne życie na wolności jest dla niego zbyt ważne.

„Trzy zeznania, trzy różne wersje zdarzenia. Każdy z podejrzanych obwinia jednego lub obu przyjaciół. Honor w półświatku dziś się już nie liczy”, myśli Behnke. A może sprawa jest ukartowana? Może wszyscy trzej wcześniej uzgodnili złożenie trzech różnych sprzecznych zeznań, żeby potem z uśmieszkiem przyglądać się, jak policja próbuje im coś udowodnić?

– Hufnagel, niech pan tu do mnie na chwilę przyjdzie! – burczy Behnke w kierunku sąsiedniego pokoju.

Asystent sporządził protokoły wszystkich zeznań, teraz Behnke chciałby usłyszeć jego zdanie, jak dalej prowadzić sprawę. W ostatnich latach młody człowiek przeszedł rozwój od raptusa, który w telewizji naoglądał się kryminałów, do policjanta, który najpierw się zastanowi, zanim wyciągnie zbyt pochopne wnioski. Może też w tym przypadku będzie miał jakiś pomysł.

Hufnagel, wkraczając do pokou Behnkego, dzierży pod pachą notatnik w kratkę. Oczy mu się świecą – czyżby przesłuchania doprowadziły go na gorący trop?

–Szefie, mam – wykrzykuje Hufnagel, jeszcze nim usiadł. – Zawsze mnie pan uczył, że zanim zrezygnuje się z dalszych poszukiwań, należy jeszcze włączyć rozum!

– Tak, tego cię uczyłem. I co, w tym wypadku ci pomogło?

– Tak, pomogło! Niech pan spojrzy, sporządziłem do tych trzech zeznań pewien diagram.

Behnke bez zrozumienia przygląda się kartce, która przypomina raczej krzyżówkę niż protokół przesłuchania.

– Gdy wyjdziemy z założenia – kontynuuje Hufnagel– że winny kłamie, a niewinny mówi prawdę, to możemy już aresztować Bodo.

– Naprawdę? Musisz mi to wyjaśnić… – odpowiada zdumiony Behnke. Po kilku wyjaśniających zdaniach Hufnagela szybko daje się przekonać. – I co, był sam, czy miał kompanów?

– Na pewno nie był sam – odpowiada asystent. – Lecz nie możemy jeszcze powiedzieć z pewnością, kto mu pomagał. Proponuję, żeby przesłuchać go jeszcze raz, skonfrontować z naszymi wynikami, może się załamie i wszystko nam opowie!

Bodo Kümmerling został więc jeszcze raz zaproszony do pokoju przesłuchań. Behnke siedzi cicho, przesłuchanie prowadzi Hufnagel. Pokazuje podejrzanemu swoje notatki i wyjaśnia mu, że jest bez wyjścia. Behnke musi się uśmiechnąć, kiedy widzi, że Bodo, który dużo lepiej zna się na materiałach wybuchowych niż na logice, musi się natrudzić, żeby podążyć myślami za młodym komisarzem. Ale w końcu pojmuje, że przesłuchujący zamknęli go w potrzasku, i przestaje się opierać.

– Ale sam tego nie zrobiłem! – mówi Bodo płaczliwie.

–Wiemy o tym – odpowiada Hufnagel. –No to już, kto był pana kompanem? Kto powiedział prawdę, Arni czy Chris?

Na twarzy Bodo pojawia się uśmieszek.

– Prawdę? Prawdy nie powiedział żaden z nich.

Teraz z kolei zdumioną minę robi Oliver Hufnagel. Lecz Detlef Behnke tym razem nie zaspał.

– To jasne – przeoczył pan jeden z możliwych przypadków. – Behnke przywołał do siebie policjanta, stojącego na straży w korytarzu. – Sierżancie, niech pan nie wypuszcza żadnego z dwóch pozostałych wspólników do domu – na razie zatrzymamy wszystkich trzech. Jeśli nie opuścił mnie zmysł logiki, to napadu dopuścili się we trójkę!

Przypisy

1 Wielkie twierdzenie Fermata – twierdzenie, które brzmi: „dla liczby naturalnej n > 2 nie istnieją takie dodatnie liczby naturalne, które spełniałyby równanie xn + yn = zn”, sformułowane w 1637 roku przez francuskiego matematyka Pierre‘a de Fermata (1601–1655), a opublikowane bez dowodu w 1670 roku. Ponad 300 lat twierdzenie to opierało się wszelkim próbom dowodu w ogólności. Dowód został ostatecznie przeprowadzony w 1994 roku przez angielskiego matematyka Andrew Johna Wilesa (przyp. red.).

2 Hipoteza Poincarégo – twierdzenie topologii sformułowane w 1904 roku przez francuskiego matematyka, fizyka i filozofa nauki Henriego Poincarégo (1854–1912). Niemal przez sto lat twierdzenia tego nie udawało się ani udowodnić, ani obalić. Dowód twierdzenia sformułował rosyjski matematyk Grigorij Perelmann w 2003 roku (przyp. red.).

3 Biermann w czasie słynnego koncertu w kolońskiej hali sportowej, który był powodem pozbawienia go obywatelstwa, powiedział o tych wersach: „Wyrażają one bardzo dokładnie polityczny stan umysłu wielu młodych ludzi w NRD”.

4 FAZ – „Frankfurtem Allgemeine Zeitung”, niemiecki wysokonakładowy dziennik reprezentujący poglądy konserwatywne, wydawany od 1949 roku we Frankfurcie nad Menem (przyp. tłum.).

5 Teoria mnogości lub inaczej teoria zbiorów to dział matematyki, a zarazem logiki matematycznej. Powstał pod koniec XX wieku i pełni rolę fundamentu, na którym opiera się obecnie niemal cała matematyka (przyp. red.).

6 Georg Ferdynand Ludwig Cantor (1845–1918) – niemiecki matematyk, twórca teorii mnogości (przyp. red.).

7 Bertrand Arthur William Russell (1872–1970) – brytyjski filozof, logik, matematyk, działacz społeczny i eseista. Laureat Literackiej Nagrody Nobla za rok 1950 (przyp. red.).

8 Kiedy dziś podśmiewamy się z marzenia Leibniza, stawiamy sprawę być może zbyt prosto. Także w najnowszych czasach dochodziło do podobnie zuchwałych prób: na przykład projekt „Cyc” amerykańskiego informatyka Douga Lenata, który zamierzał wyposażyć komputer w kompletną codzienną wiedzę człowieka. Również w tym wypadku elementami były komplet prawd zdroworozsądkowych, formalny język służący do ich opisu oraz kluczowe reguły logiki predykatów. Projekt wystartował w 1984 roku, a Lenat oszacował okres jego ukończenia na 350 człowiekolat. Projekt jednak nie został zakończony do dziś, powstało jedynie kilka modułów wiedzy dla specjalnych zastosowań.

9 Kurt Gödel (1906–1978) – austriacki logik i matematyk, autor ważnych twierdzeń z zakresu logiki formalnej, współautor jednej z aksjomatyk teorii mnogości. Rezultaty Gödla zalicza się do największych osiągnięć matematyki XX wieku (przyp. red.).

10 Patrz „Zabójca ze stacji benzynowej” w Matematyka. Daj się uwieść! oraz „Kult kwantów” w Fizyka. Daj się uwieść!

11 W wolnym przekładzie „Kiełbaski u Wolfganga” (przyp. tłum.).