Tytuł oryginału

SIGNIFICANT FIGURES

Lives and Works of Trailblazing Mathematicians

Copyright © Joat Enterprises, 2017

First published in Great Britain in 2017 by Profile Books Ltd

All rights reserved

Projekt okładki i ilustracje na okładce

© Steve Panton

Redaktor prowadzący

Adrian Markowski

Redakcja

Anna Kaniewska

Korekta

Małgorzata Denys

ISBN 978-83-8169-567-1

Warszawa 2019

Wydawca

Prószyński Media Sp. z o.o.

02-697 Warszawa, ul. Gintrowskiego 28

www.proszynski.pl

Dla Johna Daveya, wydawcy i przyjaciela

(19 kwietnia 1945 – 21 kwietnia 2017)

PRZEDMOWA

Źródeł wszystkich gałęzi nauki można szukać w bardzo odległych czasach, jednak w odniesieniu do większości dyscyplin naukowych ich historyczne osiągnięcia kwitowane są stwierdzeniami w rodzaju „teraz wiemy, że było to błędne” albo „kiedyś tak uważaliśmy, ale dzisiaj pogląd jest inny”. Na przykład grecki filozof Arystoteles sądził, że galopujący koń nigdy nie może całkowicie stracić kontaktu z podłożem. Pogląd ten obalił w 1878 roku Eadweard Muybridge, posłużywszy się szeregiem aparatów fotograficznych podłączonych do przewodu wyzwalającego migawkę. Teoria ruchu Arystotelesa została obalona przez Galileusza i Isaaca Newtona, a jego teorie umysłu nie mają żadnych użytecznych związków ze współczesnymi poglądami neurobiologii i psychologii.

Matematyka jest inna. Wiedza matematyczna nie traci na znaczeniu. Kiedy starożytni Babilończycy znaleźli sposób na rozwiązanie równań kwadratowych – prawdopodobnie około 2000 roku p.n.e., choć najstarsze wiarygodne źródła datowane są na 1500 rok p.n.e. – odkrycie to nigdy się nie zestarzało. Sposób był poprawny i jego twórcy wiedzieli, dlaczego taki jest. Dzisiaj nadal jest poprawny. Owszem, obecnie zapisujemy rozwiązania symbolicznie, ale rozumowanie jest identyczne. Nieprzerwana linia rozwoju myśli matematycznej łączy dzień dzisiejszy z czasami Babilonii. Kiedy Archimedes obmyślił sposób wyznaczenia objętości sfery, nie użył symboli algebraicznych, nie pomyślał o jakiejś szczególnej liczbie π, jak robimy to obecnie. Wyraził wynik geometrycznie, w kategoriach proporcji, co było powszechną praktyką w starożytnej Grecji. Nie zmienia to faktu, że jego rozwiązanie jest natychmiast rozpoznawalne jako odpowiednik dzisiejszego zapisu 4/3πr^3.

Zdecydowanie niewiele antycznych odkryć z innych dziedzin poza matematyką jest podobnie długowiecznych. Jednym z nich jest prawo Archimedesa, mówiące, że siła wyporu jest równa ciężarowi wypartej cieczy, drugim jego zasada dźwigni. Wciąż zachowują aktualność niektóre fragmenty fizyki i inżynierii starożytnych Greków, lecz w tych dziedzinach długowieczność jest wyjątkiem, podczas gdy w matematyce – niemal regułą. Elementy Euklidesa, w których zostały zawarte podstawy logiczne geometrii, wciąż warte są bliskiego poznania. Znajdujące się tam twierdzenia pozostają prawdziwe i wiele z nich wciąż jest użytecznych. W matematyce idziemy naprzód, ale nie odrzucamy naszej historii.

Zanim zaczniecie myśleć, że matematyka stale tkwi w przeszłości, muszę podkreślić dwie sprawy. Po pierwsze, postrzeganie rangi jakiejś metody lub twierdzenia może się zmieniać. Całe działy matematyki zniknęły lub wyszły z mody, stały się przestarzałe, gdy doszło do przesunięcia granic badań naukowych albo pojawienia się nowych technik. Wiedza ta jednak wciąż jest prawdziwa, toteż od czasu do czasu jakaś przykurzona dziedzina matematyki przeżywa odrodzenie, zwykle za sprawą odkrycia jej związków z innym obszarem badań, znalezienia nowych zastosowań albo przełomu w metodologii. Po drugie, w miarę jak matematycy rozwijali swoją dziedzinę, nie tylko ją unowocześniali, lecz także wytwarzali gigantyczne zasoby nowej, ważnej, pięknej i przydatnej wiedzy.

Gdy mamy w pamięci te dwie kwestie, bezsporne pozostaje podstawowe stwierdzenie: kiedy jakieś twierdzenie matematyczne zostaje prawidłowo udowodnione, staje się fundamentem, na którym można budować, i jest nim już zawsze. Chociaż więc od czasów Euklidesa rygory dowodzenia zostały znacznie zaostrzone, aby pozbyć się ukrytych założeń, to możemy wypełnić miejsca, które obecnie postrzegamy jako luki, a wyniki wciąż są poprawne.

* * *

Niniejsza książka analizuje niemal mistyczny proces, w wyniku którego powstają nowe zasoby wiedzy matematycznej. Matematyka nie rodzi się w próżni, tworzą ją ludzie. Są wśród nich osoby wyróżniające się zdumiewającą oryginalnością i jasnością umysłu, ci, których kojarzymy z wielkimi przełomami w nauce – pionierzy, przecierający szlaki pomysłodawcy, postacie znaczące. Historycy słusznie tłumaczą, że praca wielkich naukowców zależy od ogromnej rzeszy ludzi należących do obsady drugoplanowej, którzy dokładają niewielkie elementy składające się na ogólny efekt. Nawet nieznane i przypadkowe osoby mogą zadawać ważne i owocne pytania, a główne idee bywają sygnalizowane przez ludzi, którym brak odpowiedniego przygotowania fachowego, aby przekształcić te idee w potężne nowe metody i niepospolite punkty widzenia. Newton stwierdził kiedyś, że „stoi na barkach gigantów”. Do pewnego stopnia wypowiedź ta nosi znamiona sarkazmu, kilku z tych gigantów bowiem (w szczególności Robert Hooke) uskarżało się, że Newton nie tyle stoi na ich barkach, ile depcze im po palcach, nie uznając ich zasług albo wypaczając publiczną debatę przez cytowanie ich osiągnięć we własnych publikacjach. Newton mówił jednak szczerze: jego wielka synteza zjawiska ruchu, grawitacji i światła nie powstałaby bez ogromnej liczby spostrzeżeń dokonanych przez jego poprzedników na ścieżkach intelektualnych dociekań. Nie wszyscy musieli być gigantami. Zwykli ludzie też odgrywali znaczące role.

Nie zmienia to faktu, że giganci wyróżniają się, wskazują drogę, a reszta z nas za nimi podąża. Dzięki wglądowi w życiorysy i prace wybranych znaczących postaci możemy dostrzec, jak powstają nowe osiągnięcia matematyczne, kto jest ich twórcą i jakie miał życie. Nie myślę o nich jako o pionierach wyłącznie w tym sensie, iż wskazywali nam drogę, ale widzę w nich ludzi, którzy przecierali szlaki w splątanych zaroślach rozległej dżungli matematycznej myśli. Mnóstwo swego życia poświęcili na przedzieranie się przez cierniste krzaki i mokradła, lecz od czasu do czasu trafiali na Zaginione Miasto Słoni lub na El Dorado, znajdując cenne klejnoty ukryte w poszyciu. Penetrowali obszary rozumu, jakich ludzkość wcześniej nie poznała.

Co więcej, oni te obszary stworzyli. Matematyczna dżungla nie jest podobna do lasów deszczowych Amazonii ani do dzikich ostępów afrykańskiego Konga. Pionier matematyki nie przypomina Davida Livingstone’a, wyrąbującego maczetą ścieżkę wzdłuż rzeki Zambezi lub poszukującego źródeł Nilu. Livingstone „odkrywał” coś, co już tam było. Lokalni mieszkańcy doskonale wiedzieli o istnieniu tych miejsc, ale w tamtych czasach europejscy podróżnicy interpretowali „odkrywanie” następująco: „Europejczycy uświadamiają istnienie tych rzeczy innym Europejczykom”. Pionierzy matematyki nie eksplorowali dżungli, która już istniała. W pewnym sensie oni tę dżunglę tworzyli w miarę przedzierania się przez nią, zupełnie jakby pod ich stopami wyrastały nowe rośliny, błyskawicznie strzelały do góry i stawały się potężnymi drzewami. Można jednak odnieść wrażenie, że jakaś dżungla już tam rosła, ponieważ nie da się dowolnie wybierać, które rośliny miałyby kiełkować. Możemy wybrać kierunek marszu, ale nie zdecydować, że „odkryjemy” zagajnik drzew mahoniowych, kiedy w rzeczywistości natrafimy na bagno namorzynowe.

Jest to, jak sądzę, źródło wciąż popularnego sposobu postrzegania idei matematycznych, typowego dla Platona: prawdy matematyczne istnieją „naprawdę”, ale istnieją w idealnej formie w swego rodzaju równoległej rzeczywistości, która istniała od zawsze i będzie istnieć wiecznie. Zgodnie z tym poglądem, kiedy udowadniamy jakieś nowe twierdzenie, odkrywamy tylko coś, co od zawsze tam było. Nie wydaje mi się, aby platonizm należało odczytywać dosłownie, ale oddaje on wiernie przebieg procesu badań matematycznych. Jakikolwiek wybór jest iluzją: jedyne, co można zrobić, to potrząsnąć zaroślami i zobaczyć, czy coś z nich wypadnie. W książce What is Mathematics, Really? (Czym naprawdę jest matematyka?) Reuben Hersh przedstawia bardziej realistyczną wizję tej nauki: jest to wspólny wytwór ludzkiego umysłu. W takim wypadku matematyka bardziej przypomina pieniądze. Pieniądze nie są „tak naprawdę” kawałkami metalu, świstkami papieru lub cyferkami w komputerze. To dzielony przez ludzi zbiór umów społecznych, dotyczących zasad wymiany kawałków metalu, świstków papieru i cyferek w komputerze pomiędzy sobą lub na różne dobra.

Hersh oburzył wielu matematyków, którzy skupili się na sformułowaniu „wytwór ludzkiego umysłu” i zaprotestowali, twierdząc, że matematyka w żadnym razie nie jest arbitralna. Relatywizm społeczny z nią sobie nie radzi. To prawda, ale Hersh wyjaśnił w sposób doskonale jasny, że matematyka nie jest jakimkolwiek tworem umysłu człowieka. Od nas zależy, czy zajmiemy się Wielkim Twierdzeniem Fermata, ale nie mamy wpływu na to, czy jest ono prawdziwe, czy nie. Wytwór ludzkiego umysłu, jakim jest matematyka, jest obwarowany rygorystycznym systemem uwarunkowań logicznych. Nowe elementy można do niego dodać tylko wtedy, gdy spełniają te uwarunkowania. Potencjalnie uwarunkowania pozwalają nam odróżniać prawdę od fałszu, ale hałaśliwe deklaracje, iż tylko jedna z tych ewentualności jest możliwa, nie wystarczą do stwierdzenia, która z nich rzeczywiście zachodzi. Wielkie pytanie brzmi: która z nich? Straciłem rachubę, ileż to razy ktoś przypuszczał atak na kontrowersyjny artykuł z dziedziny matematyki, który mu się nie spodobał, wskazując, że matematyka jest tautologią: wszystko, co jest w niej nowe, logicznie wynika z dotychczasowej wiedzy. Owszem, to prawda. To, co nowe, wynika ze starego. Autentycznie ciężka praca czeka jednak każdego, kto zechce wykazać to w sposób jawny. Zapytajcie Andrew Wilesa. Nikt go nie przekona, że status Wielkiego Twierdzenia Fermata zawsze był z góry określony przez logiczną strukturę matematyki. Uczony stracił siedem lat na wykazanie, iż z góry określony status to „prawdziwe”. Zanim uda się to wykazać, ów z góry określony status jest równie użyteczny jak wtedy, gdy chcąc trafić do Biblioteki Brytyjskiej, zapytamy przechodnia, gdzie się ona znajduje, i dowiemy się, że w Wielkiej Brytanii.

* * *

Znaczące postacie nie są książką aspirującą do miana uporządkowanej historii matematyki, ale próbą zaprezentowania zagadnień matematycznych w zrozumiały i przejrzysty sposób, tak więc zakres pojęć systematycznie wzrasta wraz z kolejnymi rozdziałami. Zasadniczo wymaga to zachowania porządku chronologicznego. Książka opisująca tematy badań matematycznych w porządku chronologicznym byłaby bardzo trudną lekturą, nieustannie bowiem przeskakiwalibyśmy od jednego matematyka do drugiego, tak więc uporządkowałem rozdziały według dat urodzenia bohaterów i sporadycznie dodałem odnośniki.

Wybrałem 25 znaczących postaci, od starożytności do współczesności, mężczyzn i kobiety, pochodzących ze Wschodu i Zachodu. Przegląd historii opisujących ich życie zaczynam w starożytnej Grecji, od wielkiego geometry i inżyniera Archimedesa (do jego osiągnięć zalicza się przybliżenie wartości liczby π oraz obliczenie powierzchni i objętości kuli, a także skonstruowanie śruby do czerpania wody i podobnej do dźwigu machiny do niszczenia wrogich okrętów). Potem mamy trzech przedstawicieli Dalekiego Wschodu, w średniowieczu głównej areny działań na polu matematyki. Są to: chiński uczony Liu Hui, perski matematyk Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi, z którego prac wywodzą się słowa „algorytm” i „algebra”, oraz indyjski matematyk Madhawa z Sangamagramy, który pierwszy odkrył rozwinięcia funkcji trygonometrycznych w nieskończone szeregi – ponownego odkrycia na Zachodzie dokonał Newton jakieś trzysta lat później.

W czasach włoskiego renesansu Europa znowu stała się głównym ośrodkiem postępu matematycznego. Spotkamy tu Girolama Cardana, jednego z największych łobuzów zasiadających w matematycznym panteonie. Cardano był hazardzistą i awanturnikiem, ale też autorem jednej z najważniejszych prac w dziedzinie algebry, jaka kiedykolwiek ukazała się drukiem, oraz praktykującym lekarzem. Żył tak, jak dzisiaj żyją gwiazdy tabloidów. I jeszcze stawiał horoskopy. Pierre de Fermat, który zasłynął wielkim twierdzeniem nazwanym jego nazwiskiem, był natomiast prawnikiem. Jego pasją była jednak matematyka, co często prowadziło do zaniedbywania obowiązków. To dzięki niemu teoria liczb została uznana za gałąź matematyki. Oprócz tego przyczynił się do rozwoju optyki i opracował podstawy analizy matematycznej, rozwinięte później przez Newtona, którego najważniejsze dzieło nosi tytuł Philosophiae naturalis principia mathematica (Matematyczne zasady filozofii naturalnej), zwykle występujący w skróconej postaci, Principia. To tutaj Newton sformułował zasady dynamiki i prawo powszechnego ciążenia, a następnie zastosował je do opisu Układu Słonecznego. Prace tego uczonego wyznaczają przełom w fizyce matematycznej, przekształcając ją w uporządkowaną dziedzinę badań matematycznych, którą nazwał on „Systemem świata”.

Sto lat po Newtonie najważniejsze ośrodki badań matematycznych znajdowały się w Europie kontynentalnej i Rosji. Leonhard Euler, najpłodniejszy matematyk w historii, publikował ważne prace naukowe z częstotliwością prasy publicystycznej, systematyzując wiele obszarów matematyki serią napisanych przejrzystym językiem, eleganckich podręczników. Żadna dziedzina matematyki nie umknęła jego uwadze. Euler przewidział nawet pojawienie się niektórych idei sformułowanych potem przez Josepha Fouriera, którego badania nad przewodzeniem ciepła doprowadziły do powstania jednej z najważniejszych technik wykorzystywanych we współczesnej inżynierii, analizy Fouriera. Pozwala ona przedstawić drgania okresowe o dowolnym kształcie w postaci sumy nieskończonego szeregu trygonometrycznego o wyrazach będących tylko funkcjami sinus lub cosinus. Fourier też pierwszy zrozumiał, jak ważną rolę w równowadze termicznej Ziemi odgrywa ziemska atmosfera.

Nowożytną erę w rozwoju matematyki otwiera badacz niemający sobie równych, Carl Friedrich Gauss, mocny kandydat do miana matematyka wszech czasów. Gauss rozpoczął od teorii liczb, swoją reputację w dziedzinie mechaniki nieba zbudował dzięki przewidzeniu ponownego pojawienia się świeżo odkrytej planetoidy Ceres, przyczynił się do znacznych postępów w dziedzinie liczb zespolonych, szacowania metodą najmniejszych kwadratów i geometrii nieeuklidesowej, choć na temat tej ostatniej nie opublikował żadnych prac, ponieważ obawiał się, że jego pomysły za mocno wyprzedzają swój czas i wystawiłby się na pośmiewisko. Nikołaj Iwanowicz Łobaczewski nie był tak nieśmiały. Publikował jedną pracę za drugą na temat geometrii alternatywnej wobec euklidesowej, teraz nazywanej geometrią hiperboliczną. On i Janós Bolyai są odtąd uważani za właściwych twórców geometrii nieeuklidesowej, którą można interpretować jako naturalną geometrię powierzchni o stałej krzywiźnie. Gauss miał prawo sądzić, że idea rzeczywiście wyprzedza swoje czasy, ani Łobaczewski, ani Bolyai nie zostali bowiem za życia docenieni. Wizytę w tej epoce kończymy tragiczną historią rewolucjonisty Évariste’a Galois, który w wieku lat dwudziestu zginął w pojedynku o honor pewnej młodej kobiety. Dokonał znacznego postępu w algebrze, który doprowadził do przyjętego dzisiaj ujęcia kluczowego pojęcia symetrii w kategoriach grupy przekształceń.

W tym miejscu pojawia się w naszej opowieści nowy wątek i pierwsza w tym zestawieniu matematyczka. Nowy wątek dotyczy matematyki obliczeniowej, a pionierka, o której mowa, to Augusta Ada King, hrabina Lovelace, w zasadzie pełniąca funkcję asystentki Charlesa Babbage’a, pełnego determinacji naukowca, doskonale rozumiejącego potencjał maszyn obliczeniowych. Miał on w planach zbudowanie maszyny analitycznej, programowalnego komputera, skonstruowanego z mechanizmów zapadkowych i kół zębatych, obecnie kluczowego gadżetu odmiany fantastyki naukowej funkcjonującej pod nazwą steampunk. Adzie powszechnie przypisuje się miano pierwszego programisty komputerowego w historii, jednak łączą się z tym pewne kontrowersje. Temat komputerów jest kontynuowany w rozdziale poświęconym George’owi Boole’owi, który w Laws of Thought (Prawa myślenia) zawarł podstawy formalizmu matematycznego dla logiki cyfrowej, wykorzystywanej przez dzisiejsze komputery.

Matematyka staje się coraz bardziej zróżnicowana, taka też jawi się nasza opowieść, gdy przedzieramy się w nowe obszary stale rozrastającej się dżungli. Bernhard Riemann wspaniale potrafił wydobyć proste, ogólne idee kryjące się za pozornie złożonymi pojęciami. Jego wkład obejmuje prace w zakresie podstaw geometrii, zwłaszcza zakrzywione „rozmaitości”, bez których Albert Einstein nie sformułowałby swej rewolucyjnej teorii grawitacji, czyli ogólnej teorii względności. Oprócz tego znacznie przyczynił się do rozwoju teorii liczb pierwszych, wiążąc teorię liczb z analizą zespoloną za pośrednictwem wprowadzonej przez siebie „funkcji dzeta”. Hipoteza Riemanna, dotycząca miejsc zerowych tej funkcji, jest jednym z największych i najważniejszych nierozwiązanych problemów w całej matematyce, za którego rozwiązanie przewidziano nagrodę w wysokości miliona dolarów.

Następnym matematykiem jest Georg Cantor, który wprowadzając do matematyki teorię mnogości, przyczynił się do zmiany sposobu, w jaki matematycy myślą o podstawach swojej dziedziny wiedzy. Zdefiniował też nieskończone odpowiedniki liczb porządkowych 1, 2, 3, …, co doprowadziło do odkrycia, że niektóre nieskończoności są większe niż inne – w rygorystycznym, konstruktywnym i użytecznym sensie. Jak wielu nowatorów, Cantor był za życia niezrozumiany i wyśmiewany.

Teraz na scenie pojawia się nasza druga matematyczka, cudownie uzdolniona Zofia Kowalewska. Miała dość skomplikowane życie, zaplątała się bowiem w działalność rewolucyjną i musiała się borykać z przeszkodami, jakie wyrastały przed genialnymi intelektualistkami w zdominowanym przez mężczyzn społeczeństwie. Niesamowite jest już to, że w ogóle coś udało jej się osiągnąć w matematyce. Tym czymś były niezwykłe odkrycia dotyczące rozwiązania równań różniczkowych cząstkowych, ruchu bryły sztywnej, struktury pierścieni Saturna i załamania promieni świetlnych w kryształach.

Nasza opowieść nabiera tempa. Na przełomie wieków XIX i XX jednym z czołowych matematyków na świecie był Francuz Henri Poincaré. Z pozoru ekscentryk, w rzeczywistości był szalenie bystry. Docenił znaczenie rodzącej się gałęzi topologii – „geometrii gumowej płachty”, w której kształt może być deformowany w sposób ciągły – i znalazł jej rozszerzenie z dwóch wymiarów na trzy i więcej. Zastosował ją do równań różniczkowych, badając zagadnienie trzech ciał dla grawitacji newtonowskiej. Dzięki temu odkrył możliwość istnienia deterministycznego chaosu, pozornie losowego zachowania w nielosowym układzie. Był również bliski odkrycia przed Einsteinem szczególnej teorii względności.

Niemieckim odpowiednikiem Poincarégo był David Hilbert, w którego karierze można wyróżnić pięć osobnych okresów. W pierwszym poszedł linią rozumowania zapoczątkowaną przez Boole’a, a dotyczącą „niezmienników” – wyrażeń algebraicznych, które pozostają takie same mimo zmian współrzędnych. Następnie przygotował systematyczne opracowanie najważniejszych gałęzi teorii liczb. Później zabrał się do aksjomatów Euklidesa w geometrii, stwierdził, że są niepełne, i dodał jeszcze jeden, aby wypełnić luki logiczne. Potem zajął się logiką i podstawami matematyki, inicjując program, który miał dowieść, że można dokonać pełnej aksjomatyzacji i formalizacji całej matematyki, zachowując spójność (żadna dedukcja logiczna nie może prowadzić do sprzeczności) i zupełność (każde stwierdzenie można albo udowodnić, albo obalić). Na koniec zwrócił się ku fizyce matematycznej i niewiele brakowało, by wyprzedził Einsteina i sformułował ogólną teorię względności. Wprowadził pojęcie przestrzeni Hilberta, kluczowe dla mechaniki kwantowej.

Emmy Noether jest naszą trzecią matematyczką w zestawieniu, żyjącą w czasach, gdy większość wpływowych mężczyzn wciąż krzywo patrzyła na udział kobiet w życiu akademickim. Podobnie jak Hilbert zaczęła od teorii niezmienników i zdarzyło się, że w późniejszym czasie z nim współpracowała. Hilbert usilnie starał się przebić szklany sufit i zapewnić jej stałą posadę na uczelni, co częściowo się powiodło. Noether przecierała szlaki w algebrze abstrakcyjnej, wprowadzając struktury aksjomatyczne znane dzisiaj jako grupy, pierścienie i pola. Udowodniła też istotne twierdzenie wiążące symetrie praw fizyki z zachowywanymi wielkościami fizycznymi, takimi jak energia.

Nasza opowieść weszła w wiek XX. Aby pokazać, że wielkie zdolności matematyczne nie dotyczą tylko wykształconych przedstawicieli świata Zachodu, przyjrzymy się życiu i karierze hinduskiego geniusza, Srinivasy Ramanujana, który był samoukiem i pochodził z biednej rodziny. Miał niezwykłą umiejętność intuicyjnego odkrywania dziwnych, ale prawdziwych formuł. Jeśli ktokolwiek w historii matematyki mógł się z nim pod tym względem równać, to tylko giganci w rodzaju Eulera lub Carla Jacobiego. Dość mgliście pojmował zasady dowodzenia, ale znajdował formuły, o których ktokolwiek inny nie mógł nawet marzyć. Jego artykuły i zeszyty do dzisiaj eksploatowane są w poszukiwaniu świeżego spojrzenia.

Dwóch matematyków z zacięciem filozoficznym sprawia, że wracamy do podstaw tej dziedziny wiedzy i jej związku z obliczeniami. Pierwszym jest Kurt Gödel, który udowodnił, że każdy aksjomatyczny system arytmetyki musi być niezupełny i nierozstrzygalny, czym zdemolował program Hilberta, zmierzający do wykazania czegoś odwrotnego. Drugi to Alan Turing, którego badania zdolności programowalnego komputera doprowadziły do prostszego i bardziej naturalnego dowodu tych rezultatów. Znany jest zwłaszcza, oczywiście, z udziału w pracach zespołu łamiącego szyfry w Bletchley Park podczas drugiej wojny światowej. Jest też autorem testu Turinga, mającego wykrywać, czy sztuczna inteligencja opanowała sposób myślenia podobny do ludzkiego. Po wojnie pracował nad zagadnieniami biologii matematycznej. Był gejem, okoliczności jego tragicznej śmierci nie są do końca wyjaśnione.

Postanowiłem nie umieszczać w zestawieniu żadnych żyjących badaczy, ale na zakończenie opowieści pojawią się dwaj współcześni matematycy, którzy odeszli niedawno: jeden uprawiający matematykę czystą, drugi stosowaną (lecz również niekonwencjonalną). Tym drugim jest Benoît Mandelbrot, szeroko znany z prac nad fraktalami, strukturami geometrycznymi, które zachowują kształt we wszystkich skalach powiększenia. Fraktale często modelują naturę znacznie lepiej niż tradycyjne, gładkie powierzchnie, takie jak powierzchnie sfery lub walca. Choć kilku innych matematyków pracowało nad strukturami, które dzisiaj nazywamy fraktalami, Mandelbrot dokonał znacznego postępu, gdy dostrzegł ich potencjał w zakresie modelowania świata natury. Nie był typem matematyka swobodnie przeprowadzającego rygorystyczne dowody twierdzeń, ale miał za to intuicyjne wyczucie geometrii, które pozwalało mu dostrzegać zależności i formułować hipotezy. Był też po trosze showmanem i energicznie promował swoje idee. Nie zaskarbił sobie tym sympatii w środowisku matematyków, ale nie da się zadowolić wszystkich.

Na zakończenie opowieści wybrałem przedstawiciela czystej matematyki, matematyka matematyków, Williama Thurstona. Thurston również miał intuicyjne wyczucie geometrii, w szerszym i głębszym sensie niż Mandelbrot. Potrafił uprawiać matematykę opartą na rygorystycznych dowodach w najlepszym wydaniu, ale na późniejszych etapach kariery miał tendencję do skupiania się na twierdzeniach, a dowody nakreślał jedynie w ogólnym zarysie. W szczególności zajmował się topologią, w której dostrzegł niespodziewany związek z geometrią nieeuklidesową. Koniec końców idee te zainspirowały Grigorija Perelmana do znalezienia dowodu pewnej nieuchwytnej hipotezy w topologii, autorstwa Poincarégo. Zastosowana przez niego metoda pozwalała dowieść również bardziej ogólną hipotezę Thurstona, dotyczącą niespodziewanego spostrzeżenia na temat wszystkich rozmaitości trójwymiarowych.

* * *

W ostatnim rozdziale zbieram wątki, które pojawiały się we wszystkich 25 opowieściach o tych nadzwyczajnych osobach, starając się sformułować wnioski wynikające z obserwacji pionierów matematyki – kim są ci ludzie, jak pracują, skąd biorą swoje szalone pomysły, a przede wszystkim co motywuje ich do zajmowania się matematyką.

W tym miejscu jednak chciałbym dodać dwa zastrzeżenia. Po pierwsze, musiałem w dużym stopniu przeprowadzać selekcję materiałów, mając na uwadze fakt, że nie było miejsca na spisanie wyczerpujących biografii, wyszczególnienie wszystkich zagadnień, nad którymi moi pionierzy pracowali, albo zagłębienie się w szczegóły opisu, jak ich pomysły ewoluowały i jak wyglądały na przykład relacje z kolegami po fachu. Zamiast tego przedstawiam reprezentatywną próbkę najważniejszych – lub najbardziej interesujących – odkryć i koncepcji, dostarczając wystarczająco dużo szczegółów historycznych, aby nakreślić obraz ludzi i umiejscowić ich w społeczeństwie. W odniesieniu do niektórych matematyków żyjących w starożytności nawet taki szkic musi mieć bardzo szczątkowy charakter, ponieważ przetrwało niewiele materiałów źródłowych zawierających informacje o ich życiu (często brakuje nawet oryginalnych dokumentów dotyczących ich prac).

Po drugie, dokonanego przeze mnie wyboru 25 nazwisk żadną miarą nie należy traktować jako zestawienia jedynych znaczących postaci, które przyczyniły się do rozwoju matematyki. Mój wybór podyktowany był wieloma czynnikami – znaczeniem dla matematyki, własnym zainteresowaniem daną gałęzią, urokiem ludzkiej historii, okresem historycznym, poszukiwaniem różnorodności i tą nieuchwytną cechą, „równowagą”. Jeśli pominąłem waszych ulubionych matematyków, to najprawdopodobniej stało się to z powodu ograniczonej objętości i chęci dobrania bohaterów opowieści w taki sposób, aby jak najszerzej pokryć trójwymiarową rozmaitość, której współrzędnymi są położenie geograficzne, okres historyczny i płeć. Wierzę, że każdy w tym zestawieniu w pełni zasługuje na miejsce na kartach książki, choć jedna czy dwie postacie mogą wywoływać kontrowersje. Nie mam żadnych wątpliwości, że na podstawie porównywalnych kryteriów można by wybrać wielu innych matematyków.

ROZDZIAŁ 1

NIE ZAMAZUJ MOICH KÓŁ

Archimedes

Archimedes z Syrakuz

Urodzony: Syrakuzy na Sycylii, ok. 287 roku p.n.e.

Zmarły: Syrakuzy, ok. 212 roku p.n.e.

Jest rok 1973. Miejsce: baza morska Skaramangas w pobliżu Aten. Wszystkie oczy są zwrócone na wykonaną ze sklejki makietę rzymskiego okrętu. Na okręcie skupione są też promienie słoneczne, odbite od znajdujących się w odległości pięćdziesięciu metrów siedemdziesięciu luster z polerowanej miedzi, z których każde ma metr szerokości i pół metra wysokości.

Po kilku sekundach makieta okrętu staje w ogniu.

Współcześnie żyjący grecki naukowiec, Ioannis Sakkas, rekonstruuje jedno z być może mitycznych osiągnięć naukowych starożytnych Greków. W II wieku n.e. rzymski pisarz Lukian napisał, że w trakcie oblężenia Syrakuz, około 214–212 roku p.n.e., inżynier i matematyk Archimedes wynalazł urządzenie, którym podpalił i zniszczył wrogie okręty. Nie jest jasne, czy urządzenie to naprawdę istniało, a jeśli tak, to jak działało. Relacja Lukiana mogła po prostu odnosić się do zwyczajnego ataku płonącymi strzałami lub podpalonymi szmatami, wystrzelonymi z katapulty, ale w takim przypadku trudno dostrzec, dlaczego miałoby to być prezentowane w aurze nowego wynalazku. W VI wieku Antemiusz z Tralles zasugerował w swym traktacie O spalających szkłach, iż Archimedes posłużył się ogromną soczewką, jednak zgodnie z najczęściej powtarzaną legendą było to gigantyczne zwierciadło albo grupa zwierciadeł ustawionych łukiem, dzięki czemu tworzyły w przybliżeniu jedno duże zwierciadło paraboliczne.

Parabola jest krzywą w kształcie litery U, dobrze znaną greckim geometrom. Z całą pewnością Archimedes wiedział o jej własności ogniskującej: wszystkie linie równoległe do osi przechodzą po odbiciu od paraboli przez ten sam punkt, nazywany ogniskiem. Mniej pewne jest to, iż ktokolwiek zdawał sobie sprawę z tego, że w taki sam sposób ogniskowane mogą być odbite od zwierciadła parabolicznego promienie światła słonecznego (więc także ciepło), ponieważ Grecy mieli na temat światła bardzo elementarne pojęcie. Eksperyment Sakkasa pokazał jednak, że Archimedes mógł wcale nie potrzebować ustawienia parabolicznego. Równie skuteczna byłaby duża grupa żołnierzy uzbrojonych w odbijające światło tarcze, niezależnie kierujących odbite promienie słoneczne na tę samą część statku.

Wykonalność tego przedsięwzięcia, często określanego mianem „promienia cieplnego Archimedesa”, była tematem ożywionej dyskusji. Filozof Kartezjusz, autor pionierskich prac w dziedzinie optyki, nie wierzył w jego powodzenie. Eksperyment Sakkasa sugeruje, że zadanie mogło być wykonalne, ale użyta przez niego makieta statku była mizerna i pokryta opartą na smole farbą, toteż szybko stanęła w ogniu. W czasach Archimedesa pokrywanie powierzchni statku smołą w celu ochrony kadłuba było normalną praktyką. W 2005 roku grupa studentów MIT powtórzyła eksperyment Sakkasa, z powodzeniem podpalając drewnianą makietę statku, jednak aby to się udało, musieli skupiać na niej promienie słoneczne przez dziesięć minut, a obiekt pozostawał wówczas w całkowitym bezruchu. Potem spróbowali zrobić to jeszcze raz dla programu telewizyjnego Pogromcy mitów, wykorzystując łódź rybacką w zatoce San Francisco. Udało się osmalić drewno i wywołać rachityczne płomyki, ale łódź nie stanęła w ogniu. Pogromcy mitów doszli do wniosku, że mit został obalony.

* * *

Archimedes był człowiekiem wszechstronnie wykształconym, dał się poznać jako astronom, inżynier, wynalazca, matematyk i fizyk. Zapewne należy mu się tytuł największego naukowca (we współczesnym sensie tego słowa) swych czasów. Oprócz ważnych odkryć w dziedzinie matematyki był autorem wynalazków oszałamiających zasięgiem oddziaływania – śruby Archimedesa do czerpania wody i wielokrążka do podnoszenia dużych ciężarów przy zastosowaniu niewielkiej siły. Poza tym sformułował prawo Archimedesa określające siłę wyporu i zasadę dźwigni (ale nie budował urządzeń, te pojawiły się znacznie później). Przypisuje mu się też konstrukcję jeszcze jednej machiny wojennej, pazura. Rzekomo posłużył się tym przypominającym dźwig urządzeniem w trakcie obrony Syrakuz, aby podnosić wrogie statki z wody i je zatapiać. Na potrzeby dokumentalnego serialu telewizyjnego Superweapons of the Ancient World (Superbroń starożytnego świata) w 2005 roku zbudowano działający model tej konstrukcji. Starożytne teksty zawierają wiele innych zwodniczych odniesień do twierdzeń i wynalazków przypisywanych Archimedesowi. Wśród nich jest mechaniczny kalkulator do obliczania pozycji planet, podobny do słynnego mechanizmu z Antykithiry z mniej więcej 100 roku p.n.e., odkrytego w latach 1900–1901 we wraku zatopionego statku, ale którego działanie dopiero od niedawna rozumiemy.

Niewiele wiemy o Archimedesie. Urodził się w Syrakuzach, antycznym mieście na Sycylii, umiejscowionym na południowym krańcu wschodniej części wyspy, założonym w 734 lub 733 roku p.n.e. przez greckich kolonistów, którym prawdopodobnie przewodził Archias. Była to na poły mityczna postać. Archias znalazł się na Sycylii, gdy sam skazał się na wygnanie z Koryntu. Według Plutarcha zadurzył się w Akteonie, przystojnym młodzieńcu. Kiedy jego awanse zostały odrzucone, próbował porwać chłopaka, ale doszło do szamotaniny, w wyniku której Akteon został rozerwany na strzępy. Jego ojciec, Melissos, domagał się sprawiedliwości, lecz nie został wysłuchany. Wszedł więc na dach świątyni Posejdona, wezwał bogów, aby pomścili syna, a potem rzucił się na skały w dole. Po tych tragicznych zdarzeniach nastał czas strasznej suszy i głodu. Lokalna wyrocznia ogłosiła, że tylko zemsta może przebłagać Posejdona. Archias dowiedział się o tym i dobrowolnie skazał się na wygnanie, aby uniknąć ołtarza ofiarnego. Skierował się ku Sycylii i założył Syrakuzy. W każdym razie po latach przeszłość go dopadła, zginął bowiem z ręki Telefosa, który jako chłopiec również był obiektem jego pożądania.

Ziemia była urodzajna, tubylcy przyjaźni, Syrakuzy więc szybko zyskały status najlepiej prosperującego i najpotężniejszego greckiego miasta w całym basenie Morza Śródziemnego. W dziele O liczeniu piasku Archimedes pisze, że jego ojcem był astronom Fidiasz. Zgodnie z informacjami zawartymi w Żywotach równoległych Plutarcha, był odległym krewnym władcy Syrakuz, Hierona II. Uważa się, że w młodości Archimedes studiował w Aleksandrii, egipskim mieście położonym w delcie Nilu, gdzie poznał Konona z Samos i Eratostenesa z Cyreny. Pośród dowodów jest jego własne stwierdzenie, że Konon był mu przyjacielem. Ponadto we wstępach do dzieł O metodzie mechanicznego rozwiązywania zadań geometrycznych i O problemie bydła zwraca się do Eratostenesa.

O jego śmierci również krążą opowieści, ale dojdziemy do tego w swoim czasie.

* * *

Reputacja Archimedesa jako wielkiego matematyka opiera się na pracach, które przetrwały – wszystkie jako kopie powstałe w późniejszym okresie. Kwadratura paraboli, napisana w formie listu do przyjaciela Dozyteusza, składa się z 24 twierdzeń dotyczących parabol, z których ostatnie opisuje powierzchnię odcinka paraboli w kontekście odpowiadającego mu trójkąta. Parabola często pojawia się w pracy wielkiego Greka. Jest ona rodzajem krzywej stożkowej, czyli należy do rodziny krzywych, które odgrywały główną rolę w greckiej geometrii. Krzywe stożkowe otrzymuje się, dokonując cięcia płaszczyzną podwójnego stożka, który uzyskuje się przez połączenie wierzchołkami dwóch identycznych stożków. Wyróżnia się trzy ich podstawowe rodzaje: elipsę, która jest zamkniętym owalem, parabolę, która jest krzywą w kształcie litery U, oraz hiperbolę, złożoną z dwóch liter U ustawionych do siebie zamkniętym końcem.

Trzy podstawowe rodzaje przekrojów stożka

Dzieło O równowadze płaszczyzn składa się z dwóch osobnych ksiąg. Zawiera fundamentalne twierdzenia w dziedzinie, którą obecnie nazywamy statyką: dziale mechaniki zajmującym się analizowaniem warunków, w których ciało pozostaje w spoczynku. Rozwinięcie tego tematu tworzy podstawę działania całej inżynierii budowlanej, umożliwia bowiem wyliczanie sił działających na elementy konstrukcyjne budynków i mostów, a więc zyskanie pewności, że naprawdę pozostaną one w spoczynku, zamiast odkształcać się i zawalać.

Pierwsza księga koncentruje się na prawie dźwigni, które Archimedes formułuje następująco: „Wielkości znajdują się w równowadze, jeżeli ich odległości od punktu podparcia są odwrotnie proporcjonalne do ich ciężaru”. Jedną z konsekwencji jest to, że długie dźwignie zwielokrotniają stosowaną siłę. Plutarch mówi nam, jak Archimedes udramatyzował ten fakt w liście do króla Hierona: „Daj mi punkt podparcia, a ruszę z posad Ziemię”. Musiałby użyć bardzo długiej i doskonale sztywnej dźwigni, ale i tak mimo wzmocnienia stosowanej siły główną wadą używania dźwigni było to, że jej odległy koniec poruszał się na znacznie mniejszym dystansie niż ten, do którego przykładano siłę. Archimedes mógłby poruszyć Ziemię o tę samą (bardzo małą) odległość zwyczajnie w wyniku energicznego podskoku. Niemniej dźwignia jest bardzo skutecznym narzędziem, także jej wariant, który Archimedes również rozumiał – wielokrążek. Kiedy sceptyczny Hieron zażyczył sobie demonstracji, Archimedes

zajął się należącym do królewskiej floty statkiem handlowym, którego wydostanie z suchego doku wymagało ogromnego nakładu pracy wielu ludzi; nakazał załadować go towarami i wejść na pokład wielu pasażerom, a sam, siedząc sobie wygodnie w pewnej odległości i bez specjalnego wysiłku, trzymając w dłoni jedynie uchwyt wielokrążka i pociągając za sznury naciągu, podniósł statek prosto do góry, tak gładko i równomiernie, jakby wypychała go morska woda.

Druga księga poświęcona jest głównie znajdowaniu środka ciężkości różnych figur – trójkątów, równoległoboków, trapezów i wycinków paraboli.

Praca zatytułowana O kuli i walcu zawiera wywody, z których Archimedes był tak dumny, że kazał je umieścić na swoim nagrobku. Dowiódł mianowicie w sposób rygorystyczny, że powierzchnia kuli jest czterokrotnie większa od powierzchni dowolnego koła wielkiego (takiego jak równik sferycznej kuli ziemskiej), że objętość kuli jest równa dwóm trzecim objętości walca ciasno dopasowanego tak, by zamknąć ją w swym wnętrzu, oraz że powierzchnia dowolnego wycinka kuli powstałego przez cięcie płaszczyzną jest taka sama jak powierzchnia odpowiadającego mu wycinka tegoż walca. Sporządzony przez niego dowód wykorzystywał zawiłą metodę znaną jako wyczerpywanie, po raz pierwszy zastosowaną przez Eudoksosa do zagadnienia proporcji obejmujących liczby niewymierne, których nie da się jednoznacznie przedstawić w postaci ułamka. We współczesnej terminologii powiedzielibyśmy, że Archimedes dowiódł, iż powierzchnia kuli o promieniu r jest równa 4πr^2, natomiast jej objętość to 4/3πr^3.

Matematycy mają nawyk prezentowania ostatecznych wyników swojej pracy w sposób pięknie uporządkowany, ukrywając często zagmatwany i mętny proces, który do nich prowadził. Mamy szczęście, że kilka dodatkowych wskazówek, jak Archimedes dokonywał swoich odkryć dotyczących kuli, znalazło się w księdze O metodzie mechanicznego rozwiązywania zadań geometrycznych. Długo sądzono, że dzieło to zaginęło, ale w 1906 roku duński historyk Johan Heiberg odkrył niekompletną kopię, palimpsest Archimedesa. Palimpsest jest tekstem, który w starożytności został wytarty lub sprany, aby umożliwić ponowne wykorzystanie pergaminu lub papirusu. Około 530 roku Izydor z Miletu zebrał prace Archimedesa w Konstantynopolu (współcześnie Stambuł), stolicy cesarstwa bizantyjskiego. Zostały one skopiowane przez nieznanego bizantyjskiego skrybę w 950 roku, gdy na czele szkoły matematycznej studiującej dzieła Archimedesa stał Geometra Leon. Manuskrypt trafił do Jerozolimy, gdzie w 1229 roku został rozkawałkowany, zmyty (niezbyt skutecznie), złożony wpół i wykorzystany do zapisania 177-stronicowej liturgii chrześcijańskiej.

W latach czterdziestych XIX wieku na ten tekst – znajdujący się teraz ponownie w bibliotece greckiego kościoła prawosławnego w Konstantynopolu – natknął się badacz Biblii Constantin von Tischendorf. Zauważył wątłe ślady greckiej matematyki, zabrał więc jedną kartkę i zdeponował w bibliotece Uniwersytetu w Cambridge. W 1899 roku Athanasios Papadopoulos-Kerameus przetłumaczył jego część w trakcie katalogowania bibliotecznych manuskryptów. Heiberg rozpoznał pracę Archimedesa i udał się tropem kartki aż do Konstantynopola, gdzie pozwolono mu sfotografować cały dokument. Na podstawie zdjęć dokonał transkrypcji i opublikował wyniki pomiędzy rokiem 1910 a 1915, a Thomas Heath przełożył tekst na język angielski. W wyniku skomplikowanego splotu okoliczności, wśród których była aukcja zakończona procesem sądowym o uznanie własności, dokument sprzedano anonimowemu Amerykaninowi za dwa miliony dolarów. Nowy właściciel udostępnił manuskrypt do badań, a dzięki zastosowaniu najróżniejszych technik obrazowania cyfrowego udało się wydobyć znajdujący się w głębszej warstwie tekst.

Metoda wyczerpywania wymaga zaawansowanej wiedzy, toteż badacze długo się zastanawiali, jakim sposobem Archimedes odgadł wzory na powierzchnię i objętość kuli. O metodzie dostarcza wyjaśnienia:

Pewne rzeczy stały się dla mnie jasne po zastosowaniu metody mechanicznej, choć muszą one być potem udowodnione geometrycznie, albowiem badanie ich wspomnianą metodą nie wyczerpuje znamion właściwego dowodu. Jest jednak oczywiście łatwiej, kiedy wcześniej uzyskaliśmy, dzięki tej metodzie, pewną wiedzę na temat poruszanych kwestii i możemy ją zastosować w dowodzie, aniżeli szukać rozwiązania bez zdobytych wcześniej wskazówek.

Archimedes wyobraża sobie bryły kuli, walca i stożka, ustawione jedna na drugiej w taki sposób, że całość znajduje się w równowadze. Następnie tnie je na nieskończenie cienkie plasterki, które mógł przestawiać tak, aby nie zaburzyć równowagi. Potem używa prawa dźwigni do opisania relacji pomiędzy tymi trzema objętościami (objętości walca i stożka były znane) i drogą dedukcji uzyskuje pożądane wielkości. Sugerowano, że Archimedes był pionierem stosowania nieskończoności w matematyce. Być może zbyt wiele próbujemy wyczytać z tego niejasnego dokumentu, lecz nie ma wątpliwości, że dzieło O metodzie przewiduje pewne idee analizy matematycznej.

* * *

Inne prace Archimedesa pokazują, jak różnorodne były jego zainteresowania. W dziele O liniach spiralnych dowodzi pewnych podstawowych wniosków dotyczących długości i powierzchni związanych ze spiralą Archimedesa, krzywą zakreślaną przez punkt poruszający się ze stałą prędkością wzdłuż linii obracającej się ze stałą prędkością. Natomiast w pracy O konoidach i sferoidach bada objętości wycinków brył powstałych w wyniku obrotu krzywych stożkowych wokół osi.

Dzieło O ciałach pływających jest najwcześniejszą pracą z zakresu hydrostatyki, działu zajmującego się stanem równowagi dla ciał zanurzonych w cieczach. Znajduje się w nim prawo Archimedesa: na ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu równa ciężarowi wypartej przez nie cieczy. Z prawem tym związana jest słynna anegdota relacjonująca, jak Archimedes wywiązał się z zadania zleconego przez króla Hierona II, który zażyczył sobie znalezienia sposobu na sprawdzenie, czy wykonana dla niego korona wotywna naprawdę jest ze złota. Siedząc w kąpieli, Archimedes nagle doznał olśnienia i rozemocjonowany wyskoczył na ulicę, krzycząc: „Eureka!” (Znalazłem!) – zapomniawszy nałożyć ubranie. Warto przypomnieć, że w starożytnej Grecji nagość w miejscach publicznych nie była czymś specjalnie skandalicznym. Z punktu widzenia inżynierii najważniejszym wnioskiem zaprezentowanym w tym dziele jest stwierdzenie, iż unosząca się na powierzchni cieczy paraboloida pozostaje w spoczynku, co stanowi zapowiedź leżących u podstaw architektury statków idei stabilności i wywrotności.

W księdze O wymierzaniu koła Archimedes stosuje metodę wyczerpywania do udowodnienia, że powierzchnia koła jest równa iloczynowi obwodu i połowy promienia – zgodnie z dzisiejszą terminologią πr^2. Aby to udowodnić, przedstawia okręgi wpisane i opisane na wielokątach foremnych o 6, 12, 24, 48 i 96 bokach. Rozważając dziewięćdziesięciosześcioboki, otrzymuje wynik równoważny szacunkowej wartości liczby π: pomiędzy 3^1/7 a 3^10/71.

Praca O liczeniu piasku dedykowana jest tyranowi Syrakuz, Gelonowi II, który był synem Hierona II. To dodatkowy dowód na to, że Archimedes miał powiązania z dworem królewskim. Tak wyjaśnia on swoje motywacje:

Są tacy, królu Gelonie, którzy uważają, że liczba ziaren piasku jest nieskończona... Ja jednak spróbuję pokazać Ci... że niektóre z liczb nazwanych przeze mnie i wyłożonych w pracy, którą posłałem Zeuksipposowi, przewyższają nie tylko liczbę opisującą masę piasku, jaka wypełniłaby całą Ziemię, ale także masę piasku, jaka wypełniłaby cały Wszechświat.

To w tej pracy Archimedes propaguje nowy system nazewnictwa dużych liczb, walcząc z powszechnym błędem, który polegał na przypisywaniu słowu „nieskończoność” znaczenia „bardzo dużo”. W sposób oczywisty Archimedes rozróżnia te dwa pojęcia. Jego tekst łączy dwie główne idee. Pierwsza to rozszerzenie standardu greckiego systemu nazewnictwa liczb, umożliwiające opisanie liczb większych niż miriady miriad (sto milionów, 10^8). Druga – oszacowanie rozmiarów Wszechświata, oparte na heliocentrycznej (ze Słońcem w centrum) teorii Arystarcha. Ostateczny wynik tego oszacowania jest następujący: według stosowanego dziś zapisu do wypełnienia Wszechświata potrzebnych jest 10^63 ziaren piasku.

* * *

Od dawien dawna istnieje tradycja wzbogacania matematyki o elementy rekreacyjne, przyjmujące postać gier i zagadek. Czasem służą one tylko zabawie, czasem są żartobliwymi problemami, które naświetlają poważniejsze koncepcje. W pracy O problemie bydła Archimedes zajmuje się kwestią, która do dzisiaj pozostaje przedmiotem badań. W 1773 roku Gotthold Lessing, niemiecki bibliotekarz, natknął się na grecki manuskrypt, liczący 44 wersy utwór, którego autor zachęca czytelnika do obliczenia, ile krów i byków liczy stado boga Słońca. Tytuł wiersza nadaje mu formę listu Archimedesa do Eratostenesa. Zaczyna się tak:

Wylicz, przyjacielu, liczebność bydła Słońca, które niegdyś pasło się na równinach Sycylii, podzielone według barwy na cztery stada, jedno mlecznobiałe, jedno czarne, jedno łaciate i jedno rude. Liczba byków jest większa od liczby krów, a związki pomiędzy nimi są takie.

Tu pojawia się lista siedmiu równań w rodzaju

białe byki = (1/2 + 1/3) czarne byki + rude byki

i następuje kontynuacja instrukcji:

Jeżeli potrafisz, przyjacielu, podać liczbę byków i krów każdego gatunku, z pewnością nie jesteś nowicjuszem w operowaniu liczbami, ale nie możesz uważać swych umiejętności za wysokie. Rozważ jednakże następujące dodatkowe związki pomiędzy bykami Słońca:

białe byki + czarne byki = liczba kwadratowa;

łaciate byki + rude byki = liczba trójkątna.

Jeżeli i to wyliczyłeś, przyjacielu, i wyznaczyłeś całkowitą liczbę bydła, tedy raduj się jako zwycięzca, ty sam bowiem dowiodłeś, żeś najsprawniejszym w operowaniu liczbami.

Liczby kwadratowe to 1, 4, 9, 16 i tak dalej, powstałe z mnożenia liczby całkowitej przez samą siebie. Liczby trójkątne to 1, 3, 6, 10 i tak dalej, powstałe z dodawania kolejnych liczb całkowitych, na przykład 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Warunki te tworzą coś, co obecnie nazywamy układem równań diofantycznych. Nazwa pochodzi od Diofantosa z Aleksandrii, który opisał je około 250 roku w Arytmetyce. Rozwiązanie musi być liczbą całkowitą, ponieważ bóg Słońca raczej nie chciałby mieć w swym stadzie połówki krowy.

Pierwszy zestaw warunków prowadzi do nieskończonej liczby możliwych rozwiązań, z których najmniejsze to 7 460 514 czarnych byków i porównywalne liczby innych zwierząt. Uzupełniające warunki przesiewają te rozwiązania i prowadzą do pewnego typu równania diofantycznego, znanego jako równanie Pella (rozdział 6). Równanie to dla liczb całkowitych x i y ma postać nx^2 + 1 = y^2, gdzie n jest liczbą całkowitą. Na przykład dla n = 2 równanie przybiera postać 2x^2 + 1 = y^2, którego rozwiązaniami są pary liczb x = 2, y = 3 oraz x = 12, y = 17. W 1965 roku Hugh Williams, R.A. German i Charles Zarnke, wykorzystując komputery IBM, znaleźli najmniejsze rozwiązanie zgodne z dwoma dodatkowymi warunkami. W przybliżeniu wynosi ono 7,76 × 10^206544.

Nie ma takiej możliwości, aby Archimedes mógł otrzymać ten wynik, przeprowadziwszy obliczenia bez maszyn liczących, nie ma też dowodu, że cokolwiek łączy go z tym problemem poza tytułem wiersza. Problem bydła wciąż przyciąga uwagę pewnej liczby teoretyków, stał się również inspiracją do szukania nowych rozwiązań równania Pella.

* * *

Historyczne przekazy dotyczące życia Archimedesa są dość wątłe, być może nieco więcej wiemy o jego śmierci, zakładając, że którakolwiek z tych opowieści jest zgodna z faktami. Prawdopodobnie jest w nich przynajmniej ziarno prawdy.

W trakcie drugiej wojny punickiej, około 212 roku p.n.e., rzymski generał Marek Klaudiusz Marcellus oblegał Syrakuzy, aby ostatecznie zdobyć je po dwóch latach. Plutarch relacjonuje, iż postarzały Archimedes zajęty był oglądaniem diagramu geometrycznego, który sporządził na piasku. Generał posłał żołnierza, który miał przekazać uczonemu, iż dowódca chce się z nim widzieć, ale matematyk zaprotestował, mówiąc, że jeszcze nie uporał się z problemem, nad którym pracował. Żołnierz stracił nerwy i zabił Archimedesa mieczem. Rzekomo ostatnie słowa mędrca brzmiały: „Nie zamazuj moich kół!”. Znając matematyków, sądzę, że to ze wszech miar możliwe, lecz Plutarch podsuwa jeszcze jedną wersję, w której Archimedes chciał się poddać, ale żołnierz pomyślał, że trzymane przez mędrca przyrządy matematyczne są cenne, i zamordował go, aby je ukraść. W obu wersjach śmierć darzonego podziwem geniusza mechaniki rozzłościła Marcellusa.

Nagrobek Archimedesa ozdobiono rzeźbą przedstawiającą jego słynne twierdzenie, zaprezentowane w pracy O kuli i walcu: kula wpisana w walec ma dwie trzecie jego objętości i taką samą jak walec powierzchnię. Ponad sto lat po śmierci Archimedesa rzymski mówca Cyceron był na Sycylii kwestorem (urzędnikiem państwowym, sprawującym funkcję sędziego śledczego). Usłyszawszy o nagrobku, odnalazł go w podupadłym stanie blisko bramy agrygenckiej w Syrakuzach. Nakazał go odnowić, dzięki czemu mógł odczytać wyryte na nim inskrypcje, wśród nich diagram z kulą i walcem.

Obecnie położenie nagrobka nie jest znane, wydaje się, że nie przetrwał po nim najmniejszy nawet ślad. Archimedes jednak żyje w swych pracach matematycznych, z których wiele nadal zachowuje ważność mimo upływu ponad dwóch tysięcy lat.

CIĄG DALSZY DOSTĘPNY W PEŁNEJ, PŁATNEJ WERSJI

PEŁNY SPIS TREŚCI:

PRZEDMOWA

ROZDZIAŁ 1. NIE ZAMAZUJ MOICH KÓŁ. Archimedes

ROZDZIAŁ 2. MISTRZ DROGI. Liu Hui

ROZDZIAŁ 3. DIXIT ALGORISMI. Muhammad al-Chuwarizmi

ROZDZIAŁ 4. PIONIER NIESKOŃCZONOŚCI. Madhawa z Sangamagramy

ROZDZIAŁ 5. ASTROLOG I HAZARDZISTA. Girolamo Cardano

ROZDZIAŁ 6. WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA. Pierre de Fermat

ROZDZIAŁ 7. SYSTEM ŚWIATA. Isaac Newton

ROZDZIAŁ 8. MISTRZ NAS WSZYSTKICH. Leonhard Euler

ROZDZIAŁ 9. OPERATOR PRZEPŁYWU CIEPŁA. Joseph Fourier

ROZDZIAŁ 10. NIEWIDZIALNE RUSZTOWANIE. Carl Friedrich Gauss

ROZDZIAŁ 11. NAGINAJĄC REGUŁY. Nikołaj Iwanowicz Łobaczewski

ROZDZIAŁ 12. RADYKAŁOWIE I REWOLUCJONIŚCI. Évariste Galois

ROZDZIAŁ 13. CZARODZIEJKA LICZB. Augusta Ada King

ROZDZIAŁ 14. PRAWA MYŚLENIA. George Boole

ROZDZIAŁ 15. WIRTUOZ LICZB PIERWSZYCH. Bernhard Riemann

ROZDZIAŁ 16. LICZBA KARDYNALNA CONTINUUM. Georg Cantor

ROZDZIAŁ 17. PIERWSZA WIELKA DAMA. Zofia Kowalewska

ROZDZIAŁ 18. MYŚLI RODZIŁY SIĘ ROJAMI. Henri Poincaré

ROZDZIAŁ 19. MUSIMY WIEDZIEĆ, BĘDZIEMY WIEDZIEĆ. David Hilbert

ROZDZIAŁ 20. OBALAJĄC AKADEMICKI PORZĄDEK. Emmy Noether

ROZDZIAŁ 21. CZŁOWIEK FORMUŁA. Srinivasa Ramanujan

ROZDZIAŁ 22. NIEZUPEŁNY I NIEROZSTRZYGALNY. Kurt Gödel

ROZDZIAŁ 23. MASZYNA SIĘ ZATRZYMUJE. Alan Turing

ROZDZIAŁ 24. OJCIEC FRAKTALI. Benoît Mandelbrot

ROZDZIAŁ 25. WYWRÓCONA NA LEWĄ STRONĘ. William Thurston

LUDZIE MATEMATYKI

POLECANE LEKTURY

Spis treści

PRZEDMOWA

ROZDZIAŁ 1. NIE ZAMAZUJ MOICH KÓŁ. Archimedes