Spis treści

Karta redakcyjna

Wprowadzenie

1. Symetria: od proporcji do niezmienniczości

1.1 Antyczny czar harmonii

1.2 Symetria sformalizowana: teoria grup

1.3 „Gruppenpest” czyli symetrie we współczesnej fizyce

2. Szczególna teoria względności

2.1 Matematyka czasoprzestrzeni

2.1.1 Odwzorowania

2.1.2 Układy współrzędnych i wektory

2.1.3 Tensory

2.1.3.1 Rząd tensora

2.1.3.2 Pojęcie i własności macierzy

2.1.4 Tensor metryczny

2.1.5 Elementy rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej

2.2 Względność czy niezmienniczość: lekcja historii

2.2.1 Konceptualne podstawy mechaniki newtonowskiej

2.2.2 „Polowa rewolucja”

2.3 Szczególna teoria względności

2.3.1 Świat Minkowskiego

2.3.2 Kinematyka relatywistyczna

2.3.3 Dynamika relatywistyczna

3. Ogólna teoria względności

3.1 Matematyka czasoprzestrzeni i grawitacji

3.1.1 Funkcje wielu zmiennych i ich pochodne

3.1.2 Pochodna kierunkowa i uogólniona definicja wektora

3.1.3 Własności transformacyjne: skalary i wektory 112

3.1.4 Konwencja sumacyjna Einsteina

3.1.5 Własności transformacyjne tensorów drugiego rzędu

3.1.6 Pochodna kowariantna

3.1.7 Matematyczny opis krzywizny

3.2 Z perspektywy historii: grawitacja jako geometria

3.2.1 Akt I: Zasada równoważności – „najszczęśliwsza myśl w moim życiu”

3.2.2 Akt II: z pomocą matematyki

3.2.3 Akt III: równanie pola grawitacyjnego

3.3 Równanie pola grawitacyjnego

3.3.1 Tensor energii-pędu

3.3.2 Scena staje się dramatem

4. Symetria w ogólnej teorii względności

4.1 Dziura Einsteina

4.2 Rozmaitościowy model czasoprzestrzeni ogólnej teorii względności

4.2.1 Od continuum do rozmaitości

4.2.2 Struktura topologiczna

4.2.3 Struktura rozmaitościowa i różniczkowalna

4.2.4 Struktura metryczna

4.3 Ogólna teoria względności jako teoria cechowania

5. Zamknięta koperta? Rzeczywistość Einsteina jako program

5.1 Filozoficzne motywacje

5.2 Ku koncepcji rzeczywistości

5.3 Filozofia cechowania

Zakończenie

Bibliografia

Przypisy

© Copyright by Wojciech P. Grygiel & Copernicus Center Press, 2021

Recenzja naukowa
prof. dr hab. Jerzy Dajka

Konsultacja naukowa
dr Tomasz Miller

Projekt okładki
PontonStudio

Autor rysunków
Piotr Łysakowski

Adiustacja i korekta
Artur Figarski

ISBN 978-83-78865-40-7

Publikacja dofinansowana z subwencji przyznanej dla Uniwersytetu Papieskiego Jana Pawła II w Krakowie w roku 2020

Wydanie I

Kraków 2021

Copernicus Center Press Sp. z o.o.
pl. Szczepański 8, 31-011 Kraków
tel. (+48) 12 448 14 12, 500 839 467
e-mail: marketing@ccpress.pl
Księgarnia internetowa: http://ccpress.pl

Konwersja: eLitera s.c.

Wprowadzenie

Prawda tkwi w głębinie.

W. HEISENBERG

Filozofów najczęściej uważa się za humanistów. Trudno więc od nich oczekiwać zainteresowania wysoce zmatematyzowaną teorią fizyczną, która opisuje jedynie pewien wycinek Wszechświata i raczej nie prowadzi do wielkich pytań, jakimi z racji swej misji się zajmują. Z drugiej jednak strony, nie da się zupełnie obojętnie przejść obok rezultatu, stanowiącego owoc niezwykle głębokiej i precyzyjnie sformułowanej myśli, zwłaszcza że teoria względności to bez wahania jedno z najwybitniejszych osiągnięć intelektualnego wysiłku człowieka. O ile w przypadku teorii szczególnej konieczna dla jej skonstruowania matematyka nie sięga poza prostą algebrę wektorów, o tyle zrozumienie teorii ogólnej wymaga znacznie więcej: zaznajomienia się z podstawami rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych oraz algebry i analizy tensorowej. Owszem, to z pewnością spore wyzwanie. Nie powinno ono jednak zniechęcać tych, którzy legitymują się pasją dla wyrafinowanych intelektualnych poszukiwań.

Teoria względności wzbudzała i nadal wzbudza zainteresowanie filozofów. Sam jej twórca, Albert Einstein, wielokrotnie wspominał o swoich filozoficznych inspiracjach, które stanowiły – używając reichenbachowskiego rozróżnienia – kontekst odkrycia tak szczególnej jak i ogólnej teorii względności. Natomiast jednym z istotnych pytań, jakie Einstein stawiał sobie w wyniku filozoficznej refleksji nad teorią względności i jej metodą, a szczególnie na kanwie rodzącej się mechaniki kwantowej i wynikłego sporu z Nielsem Bohrem, było pytanie o to, kiedy powstający opis teoretyczny można uznać za rzeczywisty. Chodziło o wskazanie takich warunków formalnych, które gwarantują niezależność przewidywań teorii od aktu obserwacji. Taka niezależność zapewniała z kolei obiektywność teorii. Pytania o rzeczywistość oraz pytania o obiektywność stanowią jedne z najbardziej fundamentalnych pytań filozofii, podejmowanych przez myślicieli od czasów antycznej Grecji i wokół których nadal toczą się żywe dyskusje. Rzeczywistość oraz obiektywność łączy ze sobą również głęboka konceptualna więź, ponieważ tak jedno, jak i drugie pojęcie nie tylko wyrażają niezależność rozważanych obiektów teoretycznych od umysłu badacza, ale nakierowują uwagę na filozoficznie brzemienny problem istnienia. Filozoficzna analiza teorii względności stwarza więc okazję do prześledzenia, jak pojęcia te funkcjonują wewnątrz abstrakcyjnego formalizmu zmatematyzowanej teorii fizycznej i jak takie konceptualnie wyrafinowane środowisko może wpływać na zmianę sposobu ich rozumienia. Z metodologicznego punktu widzenia dociekania tego typu stanowią ciekawy przykład filozofii uprawianej w kontekście nauk.

W niniejszym studium nacisk położony zostanie na idee i ich matematyczne realizacje, prowadzące do sformułowania teorii względności. Filozofii w kontekście tej teorii nie da się bowiem w pełni wydobyć bez wejścia wgłąb formalizmu, wewnątrz którego filozofia ta właściwie się rozgrywa. Z tego też powodu czytelnik znajdzie tu stosunkowo niewiele szczegółowych rozwiązań i zastosowań, po takowe wystarczy przecież sięgnąć do standardowych podręczników z dziedziny. W zamian za to wiele uwagi poświęcone zostanie pojęciowym podstawom ogólnej teorii względności ze szczególnym uwzględnieniem sposobu, w jaki zasada ogólnej kowariantności steruje formułowaniem tej teorii. Zasada ta postuluje, że formalizm teorii musi być niezmienniczy względem wyboru czasoprzestrzennego układu współrzędnych. Natomiast z uwagi na swoją tak fizyczną, jak i filozoficzną doniosłość jako centralna kategoria, która nada całościową perspektywę niniejszego studium, wybrana zostanie symetria. Wybór ten motywowany jest tym, że szereg dobrze empirycznie potwierdzonych współczesnych teorii fizycznych – a w szczególności teorii oddziaływań – wynika z nałożenia na ich formalizmy ściśle określonych reguł symetrii. W przypadku ogólnej teorii względności symetria przejawia się jako niezmienniczość równania pola Einsteina względem grupy aktywnych dyfeomorfizmów, działających na czterowymiarowej rozmaitości różniczkowej z metryką Lorentza. Czy jest to jednak symetria odpowiedzialna za oddziaływanie grawitacyjne analogicznie do symetrii cechowania, definiujących oddziaływania elektromagnetyczne, jądrowe słabe i jądrowe silne? Czy można w takiej sytuacji powiedzieć, że symetria leży u ontycznych podstaw rzeczywistości? Choć takie przekonanie intuicyjnie żywi wielu fizyków, odpowiedź na nie okaże się nie być zupełnie oczywista.

Prezentowane studium zrodziło się na kanwie wykładów z teorii względności dla filozofów, prowadzonych przez jego autora dla studentów filozofii na Uniwersytecie Papieskim Jana Pawła II w Krakowie. Ilość wprowadzonej abstrakcyjnej matematyki jest tak dobrana, aby można było samodzielnie wykonać każdy następny krok, bez większej konieczności przyjmowania wyników wyprowadzeń „na wiarę”. Owszem, na takim kompromisie traci niewątpliwie matematyczny rygor i właściwa mu elegancja, a niekiedy wkrada się wręcz przysłowiowe „machanie rękami”. Używając określenia amerykańskiego fizyka teoretyka i popularyzatora nauki Leonarda Susskinda, jest to więc teoretyczne minimum szczególnej i ogólnej teorii względności, rozbudowane jednak o komponentę filozoficzną, znacznie pogłębiającą rozumienie genezy oraz sensu tych teorii.

Skoro mowa już o Uniwersytecie Papieskim Jana Pawła II w Krakowie, to jest to też stosowna okoliczność, aby wytłumaczyć się teraz z głównego tytułu niniejszego studium. Scena i dramat nawiązują bowiem do zetknięcia się myśli dwóch wybitnych profesorów tej uczelni, Michała Hellera i Józefa Tischnera. Choć całe lata pracowali pod dachem jednego wydziału i darzyli się wzajemnie wielkim szacunkiem, to ich filozofowanie dzieliła dość znacząca przepaść. Wspominając te chwile Heller wyznaje, że oddany całkowicie fenomenowi człowieka Tischner postrzegał dramat człowieka jako rozgrywający się na traktowanej przez nauki przyrodnicze scenie, nie mającej w tym dramacie żadnego udziału[1]. Tymczasem dynamicznie rozwijające się dziś nauki kognitywne wskazują na wyraźne sprzężenia dramatu człowieka ze sceną. Nabiera więc sensu pytanie: czy tak radykalna cezura nadal utrzymuje swoją adekwatność? Wszelkie paralele z ogólną teorią względności mogą w tym momencie słusznie wydawać się zdecydowanie odległe. Jednak dzieje się w niej jedno: będąca do tej pory sceną dramatu fizyki absolutna czasoprzestrzeń staje się jego częścią, gdyż sama przybiera funkcję nośnika oddziaływania grawitacyjnego. Czy nie jest to wszystko choćby jakimś mglistym drogowskazem, że całość przyrody wraz z będącym jej integralnym elementem człowiekiem, u swoich najgłębszych podstaw stanowi ontyczną jedność?

Dzięki ukazaniu zarysu historii pojęcia symetrii, pierwszy rozdział wstępnie nakreśli, jak zrozumieć głęboką konceptualną łączność teorii względności z dziedzictwem myśli starożytnej, dla której wyrażona przez symetrię harmonia stanowiła ontologiczny fundament rzeczywistości. W kolejności szeroko omówiona zostanie przemiana, jaka dokonała się w rozumieniu symetrii od antyku do czasów współczesnych, gdzie symetria głównie manifestuje się w zmatematyzowanych formalizmach teorii fizycznych. Mówiąc krótko, chodzi tutaj o przejście od współmierności do równoważności, matematycznie ujmowanej przy pomocy teorii grup. W zwieńczeniu rozdziału sporo uwagi poświęcone będzie roli, jaką symetria odgrywa we współczesnej fizyce, ze szczególnym wyakcentowaniem kluczowej dla teorii oddziaływań symetrii cechowania.

Drugi rozdział i trzeci rozdział, poświęcone odpowiednio szczególnej i ogólnej teorii względności, będą miały taką samą strukturę. Pierwsze ich podrozdziały przybliżą natury matematycznych pojęć i struktur, które konieczne są dla sformułowania szczególnej i ogólnej teorii względności. Co więcej, bez języka matematyki nie da się uchwycić filozofii, rodzącej się w kontekście tych teorii. Chodzi tutaj między innymi o podstawowe elementy rachunku różniczkowego, teorię grup, algebrę liniową oraz analizę tensorową. Największe wyzwanie tych podrozdziałów to natomiast wskazanie możliwie prostych intuicji, pozwalających zrozumieć sens abstrakcyjnych pojęć matematycznych.

W drugim podrozdziale wspomnianych rozdziałów przedstawione zostaną historyczne i konceptualne uwarunkowania powstania szczególnej i ogólnej teorii względności. Znaczenie tych podrozdziałów wynika przede wszystkim z tego, że pozwolą one dokładnie zrozumieć konceptualne przemiany w opisie dynamiki układów fizycznych, od mechaniki newtonowskiej począwszy, i w ten sposób dostrzec w jakim kierunku przemiany te musiały przebiegać, aby zapewnić opis coraz dalszych od bezpośrednio zmysłowo doświadczanych obszarów fizycznej rzeczywistości. Jak się okaże, kluczową rolę w tym względzie odegra niezwykle heurystycznie płodna dla fizyki koncepcja pola. W końcu ogólna teoria względności to nic innego jak teoria pola grawitacyjnego.

Trzeci podrozdział stanowić będą odpowiednio systematyczne wykłady ze szczególnej i ogólnej teorii względności, prowadzące ostatecznie do sformułowania równania pola grawitacyjnego. Mówiąc krótko, rozdział trzeci to naturalna kontynuacja i zwieńczenie rozdziału drugiego we wszystkich trzech wyszczególnionych aspektach. Podrozdziały 3.1 oraz 3.3 z małymi uściśleniami, uzupełnieniami i zmianami symboli bazują na dostępnych w internecie otwartych wykładach Leonarda Susskinda z ogólnej teorii względności[2].

W rozdziale czwartym podjęte zostaną interpretacyjne problemy ogólnej teorii względności, narosłe po wyprowadzeniu w 1915 roku jej podstawowego równania i mające swoje źródło w słynnym argumencie dziury, który Einstein przedstawił w trakcie prac nad teorią i który te prace znacznie opóźnił. Przynajmniej częściowe rozwikłanie tych problemów okaże się możliwe na bazie nowoczesnego sformułowania ogólnej teorii względności z wykorzystaniem modelu czasoprzestrzeni jako czterowymiarowej rozmaitości różniczkowej z metryką Lorentza. Bogata struktura matematyczna tego modelu pozwoli na ujawnienie szeregu ważnych własności symetrii tej teorii.

Piąty i ostatni rozdział to filozoficzne zwieńczenie całości przeprowadzonych analiz. Posiada ono charakter interpretacji einsteinowskiego rozumienia rzeczywistości jako programu, w ramach którego symetria spełnia między innymi rolę epistemicznego narzędzia, pozwalającego na stopniowe uwalnianie teoretycznego opisu od uwarunkowań podmiotowych i sukcesywne odsłanianie obiektywnie istniejących struktur świata. Proponowana interpretacja okaże się być naturalną kontynuacją i uzupełnieniem filozoficznych poglądów Einsteina, które sprecyzowane zostały w jawnej formie dopiero po sformułowaniu ogólnej teorii względności. Pozwalają one dostrzec, jak wielce Einstein inspirował się kluczowymi osiągnięciami europejskiej myśli filozoficznej oraz na tej podstawie docenić niezwykłą aktualność klasycznych problemów filozoficznych w kontekście współczesnych zmatematyzowanych teorii fizycznych.

Oprócz wielu płaszczyzn wzajemnego przenikania i oddziaływania, nauka i filozofia mają ze sobą jeden bardzo istotny punkt styczności: ani jedna, ani druga nie są nigdy w całości dziełem odizolowanych od dziedzictwa rozwoju myśli samotników. Choć można odnieść wrażenie, że w trakcie formułowania ogólnej teorii względności Einstein taką postawę przyjął, to jednak bez zasugerowanych mu przez Marcela Grossmanna narzędzi analizy tensorowej, jego projekt rozszerzenia zasady względności na układy odniesienia poruszające się z przyspieszeniem nie ruszyłby dalej z martwego punktu, w którym się znalazł. Innymi słowy, nauka ani też filozofia nie są nigdy solowymi dramatami, rozgrywanymi przez narcystycznych aktorów na niemej scenie, ale powstają, używając rozsławionej przez Izaaka Newtona frazy, „na ramionach gigantów”.

Mając pełną świadomość powagi podjętej w niniejszym studium trudnej interdyscyplinarnej tematyki i chyląc czoło przed bardzo niewielkim rąbkiem Tajemnicy Wszechświata, jaki może ono uchylić, jego autor chciałby okazać swoją wdzięczność tym, dzięki którym doczekało się ono ostatecznej realizacji. Przede wszystkim wyrazy podziękowania należą się Michałowi Hellerowi, którego myśl stanowiła inspirację, a także stały punkt odniesienia i motywację do przedzierania się przez gąszcz skomplikowanych konceptualnych problemów, jakie na granicy teorii względności i filozofii się rodzą. W kolejności wypada wymienić tych, którzy podjęli się trudu czytania i korekty tekstu, poświęcając swój cenny czas na dyskusje i sugerując wiele koniecznych poprawek, wyzwalających autora z ciążącego na nim samym „efektu Kanta”. Są to Bogdan Dembiński, Jerzy Dajka, Tomasz Miller, Zdzisław Pogoda, Anna Szczepanek, Zbigniew Liana oraz Janusz Mączka. Osobne wyrazy wdzięczności autor pragnie skierować pod adresem Piotra Łysakowskiego, który przygotował wszystkie zamieszczone w studium ilustracje, oraz Piotra Urbańczyka za pomoc w formatowaniu tekstu w systemie Latex. Dziękując więc wszystkim, którzy już okazali pomoc, a także tym, którzy w przyszłości zaoferują swoje krytyczne uwagi, autor ma nadzieję, że jego badawczy trud pozwoli wspólnie znaleźć się bliżej Tajemnicy.

Zapraszamy do zakupu pełnej wersji książki

Przypisy

Wstęp

[1] Zob. np. M. Heller, Dyskusji z Tischnerem ciąg dalszy, [w:] W. Zuziak, Pytając o człowieka. Myśl filozoficzna Józefa Tischnera, Wydawnictwo Znak, Wydział Filozoficzny Papieskiej Akademii Teologicznej w Krakowie, Kraków 2002, s. 67–76.

[2] theoreticalminimum.com/courses/general-relativity/2012/fall, dostęp 11/2020.