Dlaczego ściany dźwiękochłonne nie zawsze pomagają? Jak sprawdzić, czy złoto w biżuterii jest sfałszowane? Czy zderzenie czołowe dwóch samochodów jest gorsze od zderzenia samochodu ze ścianą? Jak naprawdę mógłby wyglądać King Kong albo dwudziestometrowa kobieta? I dlaczego parówki włożone do gorącej wody zawsze pękają wzdłuż?

Również w tej książce, tak jak w swoim bestsellerze Matematyka. Daj się uwieść!, Christoph Drösser na przykładzie zajmujących historyjek z naszego dnia codziennego wyjaśnia, jak siły natury, w opisie fizyki, działają na nas i nasze otoczenie we wszystkich możliwych sytuacjach życiowych. To przy okazji też smakowity kąsek dla przyjaciół matematyki; i również tym razem na końcu każdego rozdziału można znaleźć ciekawe problemy do rozwiązania. Czy chodzi o siłę wyporu, czy też tarcia, dźwięk czy grawitację, napięcie czy ciśnienie, teorię względności albo kwantów – fizyka tak podana naprawdę może sprawiać przyjemność!

Christoph Drösser, urodzony w 1958 roku, jest redaktorem działu naukowego tygodnika „Die Zeit”. W latach 2004–2006 był redaktorem naczelnym magazynu popularnonaukowego „Zeit Wissen”. Christoph Drösser jest znany ze swojej kolumny „Zgadza się?” w tygodniku „Zeit”, z książek, które powstały na jej podstawie, oraz z książki Matematyka. Daj się uwieść! (2008), która tak jak jego poprzednie publikacje stała się bestselerem. W 2005 roku przez czasopismo fachowe dla dziennikarzy „Medium-Magazin” został wybrany „Dziennikarzem naukowym roku”. Ostatnio w wydawnictwie Rowohlt ukazały się: Hast Du Töne? Warum wir Alle musikalisch sind? [Masz dźwięki? Dlaczego wszyscy jesteśmy muzykalni] (2009) i Stimmt’s? Das grosse Buch der moderne Legenden [Zgadza się? Wielka księga współczesnych legend] (2010).

Tytuł oryginału

Der Physikverführer. Versuchsanordnungen für alle Lebenslagen

Copyright © 2010 by Rowohlt Verlag GmbH, Reinbek bei Hamburg
Graphics by Lukas Engelhardt

Wydanie polskie

Projekt okładki i stron tytułowych Przemysław Spiechowski

z wykorzystaniem ilustracji: bomg/Shutterstock, RTRO/Can Stock Photo, Meranda19/Shutterstock, tsinik/Shutterstock

Wydawca Bartosz Działoszyński, Joanna Banasiak-Lach

Tłumacz Danuta Serwotka

Konsultacja merytoryczna Wojciech A. Sysło

Redakcja Izabela Mika

Produkcja Mariola Iwona Keppel

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwo Naukowe PWN Michał Latusek

Wszelkie prawa zastrzeżone. Reprodukowanie, kodowanie w urządzeniach przetwarzania danych, odtwarzanie w jakiejkolwiek formie oraz wykorzystywanie w wystąpieniach publicznych w całości lub w części tylko za wyłącznym zezwoleniem właściciela praw autorskich.

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo.
Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

Copyright © for the Polish edition Wydawnictwo Naukowe PWN SA,
Warszawa 2011, 2021

ISBN 978-83-01-21865-2

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2021r. (Wydanie I)

Warszawa 2021

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

infolinia: 801 33 33 88
ksiegarnia.pwn.pl

Bezpłatny fragment

SŁOWO WSTĘPNE

ZBYT WCZESNA RADOŚĆ
ALBO
A GDZIE TAM „EUREKA”!

OSTATNI ZJAZD
ALBO
DLACZEGO GRUBI ZSUWAJĄ SIĘ SZYBCIEJ?

SIŁA DWÓCH KONI
ALBO
PRÓBA RO ZDARCIA NIEBIE SKICH SPODNI

DWUDZIESTOMETROWA KOBIETA
ALBO
SIZE MATTERS

FIZYKA SERDELKÓW
CZYLI
DLACZEGO PARÓWKI PĘKAJĄ ZAWSZE WZDŁUŻ

W URZĘDZIE PATENTOWYM
ALBO
ENERGIA ZA DARMO

MUR
CZYLI
PRZEMINĘŁO Z WIATREM

ODMŁODZONA BLIŹNIACZKA
CZYLI
PARADOK SALNA PODRÓŻ W CZASIE

IMPREZA
CZYLI
ZABAWA Z DŁUGIMI SŁOMKAMI

NA RÓWNIKU
CZYLI
SZTUCZKA Z WIREM WODNYM

W POKOJU DZIECINNYM
CZYLI
(NIE) ZDROWA PÓŁWIEDZA

WSZYSTKO PRZYPADEK?
CZYLI
Z KOMPUTEREM W BUCIE DO KASYNA GRY

PIJANY WINIAR Z
CZYLI
JAK LÓD MOŻE CHRONIĆ PRZED MROZEM

KULT KWANTÓW
CZYLI
SAMOBÓJSTWO DLA NAUKI

DWANAŚCIE NAJWAŻNIEJSZYCH
ALBO
FUNDAMENTALNE RÓWNANIA FIZYKI

TWOJA KOLEJ – ROZWIĄZANIA

ŹRÓDŁA

PRZYPISY

SŁOWO WSTĘPNE

„Fizyka jest jak seks. Czasem powstaje przy tym coś pożytecznego. Ale nie dlatego ją uprawiamy”.

Richard Feynman

Kiedy po sukcesie książki Matematyka. Daj się uwieść! zapytano mnie, jakiej dyscyplinie mam zamiar poświęcić następną, nie musiałem długo się zastanawiać – było jasne, że będzie to fizyka. Matematykę studiowałem i nadal to ona jest dla mnie królową nauk (zastosowałbym też do niej powyższy cytat z Feynmana), lecz fizyka nie mniej mnie fascynuje. Podczas gdy matematyka z poniekąd niczego innego niż uformowany w toku ewolucji mózg ssaka stwarza najbardziej złożone światy myślowe, fizycy idą o jeden krok dalej, twierdząc, że za pomocą równań matematycznych i modeli potrafią opisać kosmos, być może nawet w całej jego różnorodności. Pozostałe zaś nauki ścisłe nie są niczym innym, jak tylko kontynuacją i uzupełnieniem fizyki. Chemia zajmuje się reakcjami między cząsteczkami opisywanymi przez fizykę, a biologia to nauka o życiu, które można opisać za pomocą reakcji chemicznych, objaśnianych znowu przez fizykę. Tymi słowy nie opowiadam się bynajmniej za jakimś totalnym redukcjonizmem – począwszy od pewnego stopnia złożoności fizyka też nic już nie poradzi, demon Laplace’a to przecież istota baśniowa (patrz s. 187). Ale to rzeczywiście fizyka stoi u podstaw opisu każdego zjawiska na tym świecie, nawet narodzin wszechświata.

Ale bez obaw, w tej książce nie chodzi o wyrafinowane modele fizyczne, na których opierają swoje obliczenia fizycy zajmujący się teorią Wielkiego Wybuchu albo teorią strun. Tak jak w książce Matematyka. Daj się uwieść! również w książce Fizyka. Daj się uwieść! zajmuję się przede wszystkim owymi podstawami nauki, które każdy jest w stanie sobie wyobrazić i zrozumieć. Z wyjątkiem rozdziałów 8 i 14, w których chodzi o teorię względności i teorię kwantową, oznacza to, że zajmujemy się światem, w którym praktycznie wszystkie zjawiska można sprowadzić do oddziaływania małych lub większych ciał. Do opisu tego świata, czy to w skali makro – na przykład gdy zderzają się dwa samochody – czy też w skali mikro – temperatura to średnia energia ruchu cząstek, które możemy sobie wyobrazić jako gumowe piłeczki, a ciśnienie powstaje, gdy owe piłeczki uderzają o ściany naczynia – wystarczą wielkości takie jak siła, przyspieszenie i energia. W książce pokazuję, jak daleko taki prosty model fizyczny da się zastosować w praktyce: bądź co bądź potrafimy na jego podstawie objaśnić, dlaczego samolot lata i dlaczego niemożliwe jest zbudowanie perpetuum mobile. Nasze rozważania można by jeszcze rozszerzyć na zjawiska elektryczne i magnetyczne, których w tej książce dotykam tylko na marginesie.

Cząsteczki jednak nie są gumowymi piłeczkami, lecz składają się z atomów, które dzielą się na jeszcze mniejsze cząstki elementarne. Ale jeżeli nadal myślisz, że jądro atomowe to przypominający jeżynę mały zlepek neutronów i protonów, wokół którego w pewnej odległości krążą elektrony jak ćmy wokół żarówki – to daj sobie powiedzieć, że są to jedynie wyobrażenia pomocnicze, które mają pobudzić naszą wyobraźnię. W „prawdziwej” fizyce wszystkie te kuleczki rozpływają się, tworząc funkcje falowe drgające w pustej przestrzeni i opisujące jeszcze tylko prawdopodobieństwo. Tego nawet fizycy nie są już w stanie sobie konkretnie wyobrazić i prowadzi się prawie religijny dyskurs, jak należy interpretować rezultaty tej teorii, znajdującej świetne potwierdzenie eksperymentalne (patrz rozdz. 14).

Tak jak jej matematyczna poprzedniczka, również Fizyka zawiera równania i wzory. Jestem bowiem przekonany, że dobry wzór matematyczny albo fizyczny lepiej opisuje sedno sprawy niż niejedno kwieciste sformułowanie. Z drugiej strony wiem przecież, że wzorów nie da się czytać jak zajmującego tekstu, że potrzeba do tego czasu i spokoju, a czasem też kawałka papieru i ołówka, aby móc je sobie przekształcać, podstawiać dane i wyliczać. Dlatego zaznaczyłem jeszcze wyraźniej ustępy, w których przeprowadzam obliczenia. Czytając, możesz je pominąć lub zostawić sobie na później, a mimo to zrozumiesz wywód rozdziału. Nie można z nich jednak całkowicie zrezygnować – inaczej bym to uczynił!

Książka Fizyka. Daj się uwieść! nie jest podręcznikiem i nie pretenduje do miana wyczerpującej. Ma na podstawie zabawnych historyjek przekazać lub przywołać czytelnikowi z pamięci niektóre pojęcia fizyczne, a jeśli czegoś szukasz na próżno, to prawdopodobnie dlatego, że nie wpadła mi do głowy żadna pogodna opowiastka na ten temat, albo książka była już pełna. Nie muszę tu przecież odpracowywać żadnego pensum, tylko cieszę się, gdy temu czy tamtej sprawię tyle radości i wzbudzę u nich tyle ciekawości, żeby mieli ochotę wypełnić te luki na własną rękę.

W tym miejscu chciałbym złożyć serdeczne podziękowania mojej agentce Heine Wilhelmi oraz mojemu lektorowi Frankowi Strickstrockowi z wydawnictwa Rowohlt; Berndowi Schuhowi i Maxowi Raunerowi za krytyczną lekturę rękopisu i niektóre istotne uwagi merytoryczne; Rüdigerowi Dammannowi ze strony Booklett, który poddał pomysł napisania Matematyki, bez której nie byłoby przecież Fizyki. Oraz mojemu synowi Lukasowi Engelhardtowi za opracowanie grafik do niniejszej książki.

Hamburg, październik 2010 roku
Christoph Drösser

ZBYT WCZESNA RADOŚĆ
ALBO
A GDZIE TAM „EUREKA”!

Archimedes przechadza się niespokojnie tam i z powrotem. Właściwie tego popołudnia chciał wypocząć w ciepłej kąpieli i dlatego wcześniej niż zwykle wstąpił do łaźni. Inni obywatele miasta Syrakuzy, którzy po to tu przyszli, by uciec przed pośpiechem, a może też przed domowymi rządami swoich żon, już mu się ukradkiem przyglądają. Jak tu wypoczywać, skoro ten wyśmienity mąż jawnie lekceważy radę Homera, aby „kąpieli zażywać jako środka przeciwko pracy wycieńczającej ducha”? Trzymając jedną ręką ręcznik zakrywający jego nagość, chodzi pocąc się i sapiąc, tam i z powrotem. Nie jest to piękny widok. Ale nikt się nie waży powiedzieć tego głośno – Archimedes to w końcu nie tylko podziwiany przez wszystkich myśliciel, lecz też dobry przyjaciel króla Hierona II.

A to właśnie myśli o królu nie pozwalają Archimedesowi się uspokoić. Nie, nie chodzi wcale o te fantastyczne machiny wojenne do obrony przed Rzymianami i Kartagińczykami, które wynalazca ma budować dla Hierona – rysunki konstrukcyjne katapulty i lustra są już prawie gotowe. Ich urzeczywistnienie to teraz zadanie dla rzemieślników, a Archimedes nie ma żadnych wątpliwości, że jego rewolucyjne wynalazki będą funkcjonować. Nie, w tej chwili zastanawia się nad mogłoby się wydawać prostym problemem, przed którym król postawił go dziś rano.

Hieron II, zwany również Hieronem młodszym, zasłużony żołnierz, za każdym krzakiem wietrzy wroga. Archimedes jest jednym z niewielu, do których król ma zaufanie. Złotnik Filippos, który ma sklepik w nędznej uliczce na Starym Mieście, na pewno nie należy do kręgu zaufanych króla. Temu właśnie Filipposowi król przekazał dwie miny (w dzisiejszych jednostkach około kilograma) czystego złota, wraz ze zleceniem wykonania złotego wieńca. Wieniec Hieron ma zamiar złożyć w sławnej świątyni Apollona, oczywiście w całym majestacie i ze wszystkimi ceregielami, w końcu każdy obywatel Syrakuz powinien zobaczyć, jakim bogobojnym mężem jest król.

Filippos wykonał przepiękny wieniec, kasując za swoją pracę naprawdę skromną płacę, wieniec zaś waży dokładnie dwie miny. Wszystko jest więc w porządku, wszyscy mogą być zadowoleni, lecz Hierona ciągle jeszcze trapią wątpliwości. „A co”, powiedział król dziś rano do Archimedesa, „jeśli złotnik podebrał część złota, a resztę uzupełnił srebrem?”. Już dziesiąta część miny, czyli 10 drachm, zrobiłaby z tego biedaczyny bogatego człowieka. A po złocie domieszki nie da się poznać. „Nie wierzę Filipposowi”, powiedział Hieron do Archimedesa. „Weź ten wieniec do siebie. Badaj go, jak długo ci się podoba, ale pozostaw go całym, bo wyszedł naprawdę piękny! I powiedz mi jutro, czy jest prawdziwy, czy też Filippos mnie oszukał!”. I w dowód zaufania dał uczonemu jeszcze sztabkę złota ważącą tyle samo, ile wieniec.

Gdyby Archimedes mógł stopić to cacko, nie byłoby oczywiście problemu. Każdy wie, że złoto jest cięższe od srebra, że sztaba srebra o tej samej wadze jest większa od sztaby złota lub przy tej samej wielkości – lżejsza. Różnica jest znaczna: złoto przy tej samej objętości waży prawie dwa razy tyle, co srebro. Archimedes musiałby tylko stopić wieniec, uformować go w sztabę i porównać jej objętość z objętością sztaby, którą dał mu Hieron. Archimedes rozwiązywał już trudniejsze problemy matematyczne.

Lecz nie wolno mu przecież zniszczyć tego pięknego wieńca, a jego wycyzelowany kształt z zaznaczonymi liśćmi laurowymi jest zbyt skomplikowany, aby wymyślić dla niego wzór matematyczny. Jakże więc porównać objętość wieńca z objętością sztaby złota?

Zamyślenie Archimedesa przerywa okrzyk bólu. „Na Zeusa, Archimedesie, uważaj!”. Sędziwy poeta Teokryt trzyma się za stopę – medytujący uczony nastąpił mu widocznie na mały palec. „Od dziesięciu minut biegasz gorączkowo tam i z powrotem” – mówi Teokryt z wyrzutem, „zakłócasz nasz spokój, a teraz jeszcze wlazłeś mi na stopę. Kto wstępuje do łaźni, ten swoje troski i problemy powinien zostawić za progiem! Dlatego zbieramy się tu w męskim gronie, dlatego przestrzegamy dawnych zasad, które nosimy w sercu od czasów Hipokratesa. A jedna z nich brzmi: w łaźni ma być spokój!”.

Archimedes w poczuciu winy spuszcza oczy. On też ma w poważaniu sędziwego poetę. A poza tym ten ma przecież rację, zwracając mu uwagę na stare zwyczaje. Chociaż – przynajmniej rozdział płci można by jeszcze raz przemyśleć…

„A w ogóle, jak ty wyglądasz!” – drze się dalej stary poeta, coraz bardziej rozeźlony. „Cały spocony, ręcznik klei ci się do ciała! Może powinieneś uczynić wreszcie to, po co tu przyszedłeś! Spójrz, tam niewolnik właśnie przygotował gorącą kąpiel – tylko dla ciebie!”.

„Masz rację, Teokrytosie”, odpowiada speszony Archimedes. „Kąpiel oczyści pewnie nie tylko moje ciało, ale też moje myśli”.

„Miejmy nadzieję” – burczy Teokryt, uznając rozmowę za skończoną.

Gorąca woda paruje z marmurowego cebra wypełnionego do wysokości piędzi od górnej krawędzi. Archimedes wciska ręcznik niewolnikowi do ręki i wskakuje do cebra, zważając, by nie robić przy tym zbyt wiele hałasu. Następnie, wzdychając z rozkoszy, przechyla się w tył, zamyka oczy i zanurza całe ciało pod wodę.

Plusk! Wszystkie głowy robią zwrot w jego stronę, gdy woda chlupocze z cebra na podłogę. Archimedes widocznie się przeliczył i piędź powietrza ponad powierzchnią wody nie wystarczyła, aby zmieścić korpulentne ciało uczonego. Gdy jeszcze rozmyśla, czy przypadkiem w ciągu ostatnich miesięcy nie przybrał kilku funtów, inna myśl przykuwa jego uwagę: widocznie ciało kąpiącego wypiera wodę! Tyle wody, ile wynosi jego własna objętość. Gdyby ceber wypełniony był po brzegi, to wychlapałoby się dokładnie tyle wody, ile odpowiada objętości ciała Archimedesa…

„Heureka! Znalazłem!” – wykrzykuje Archimedes. Wstaje w cebrze, wyskakuje z niego cały mokry i biegnie nagusieńki po wykafelkowanej podłodze. „Heureka! Że też już wcześniej na to nie wpadłem!”. Dopiero, kiedy zauważa karcące spojrzenie Teokryta, Archimedes sięga po ręcznik i owija go prowizorycznie wokół bioder. Inaczej może wybiegłby golusieńki na ulicę. „Dzięki Teokrycie! Dzięki twojej radzie znalazłem rozwiązanie ważnego problemu! Życzę wszystkim błogiego popołudnia!”. Archimedes jest już na ulicy. Obecni w łaźni mężczyźni chwilę kiwają nad nim głowami, a potem zapada cisza.

Z powrotem w swojej pracowni Archimedes zabiera się natychmiast do pracy, aby przekuć swą genialną myśl w czyn. Przeżycie w łaźni nauczyło go, że można mierzyć objętość ciała, zanurzając je w naczyniu wypełnionym po brzegi wodą i odmierzając tę jej ilość, która się wylała. Wieniec i sztaba złota ważą tyle samo. Gdyby oba te przedmioty były z czystego złota, musiałyby też wypierać tyle samo wody. Jeśli złoto wieńca jest zanieczyszczone, musi przelać się więcej wody.

Archimedes szpera na półce ze swoimi utensyliami i znajduje okrągły gliniany garnek, w którym można całkowicie zanurzyć wieniec, a sztabę tym bardziej. Garnek wkłada do płaskiej miski, w której znajdzie się przelana woda. Następnie napełnia garnek po brzegi.

Najpierw ostrożnie zanurza w nim złoty wieniec. Lustro wody uwypukla się przy tym ponad brzegiem garnka jak błona. Po chwili zaś woda spływa małym strumyczkiem z jednej strony, tak jak z doniczki z kwiatkiem, który się zanadto podlało. Archimedes czeka, aż woda się uspokoi, po czym przelewa zawartość płaskiej miski do kieliszka na wino. Zdumiewające, jaka mała jest ilość wody!

Potem wyławia złoty wieniec z dużego naczynia i znowu dolewa wody aż do krawędzi garnka. Teraz zanurza sztabę złota. Oczekuje, że powierzchnia wody znowu się uwypukli, lecz tym razem woda wychlapuje się od razu – wskutek fali, którą spowodowała gruba sztaba i dlatego, że krawędź naczynia była już mokra.

Wodą, która się przelała, Archimedes napełnia drugi kieliszek do wina. Teraz, trzymając oba kieliszki obok siebie, może porównać ich zawartość. I rzeczywiście, pierwszy jest troszkę pełniejszy. Ale czy oba eksperymenty zostały naprawdę przeprowadzone w tych samych warunkach?

Archimedesa dziwi przede wszystkim to, jak mało wody w ogóle się przelało – znikoma część w porównaniu do całkowitej objętości naczynia. Sam nie jest co do swojego eksperymentu całkiem przekonany. Doświadczenie zawiera zbyt wiele źródeł błędów, żeby można było wydać pewny werdykt. A od tego werdyktu wszakże może zależeć życie złotnika Filipposa.

„A gdzie tam heureka!” – burczy Archimedes. „Oj, chyba za wcześnie się ucieszyłem. Ale przecież musi istnieć jakiś elegantszy sposób określenia różnicy między prawdziwym a fałszywym złotem…”.

SIŁA WYPORU TO UJAWNI. Opowiedziana powyżej historia opiera się na doniesieniu pozostawionym potomnym w pierwszym wieku p.n.e. przez rzymskiego pisarza Witruwiusza. Jako architekt orientował się on wprawdzie w nauce swojego czasu, lecz opis historii eureki jest jednak odrobinę za skromny. Akcja nie tłumaczy zwłaszcza odkrycia tzw. prawa Archimedesa.

To, co Archimedesa w historii Witruwiusza rzekomo tak zachwyca, to doprawdy prosty wniosek, że ciała o większej objętości wypierają przy zanurzeniu więcej wody. Jeśli się w dodatku wie, że srebro ma mniejszą gęstość niż złoto i dlatego ciało ze srebra zajmuje więcej miejsca niż tak samo ciężkie ciało ze złota, to jest to już prawie banalne. Prawo Archimedesa natomiast traktuje o sile wyporu, działania której doznaje każde ciało w wodzie lub innym dowolnym ośrodku – cieczy lub gazie:

Na ciało znajdujące się w dowolnym ośrodku działa siła wyporu równa ciężarowi ośrodka wypartego przez to ciało.

W rozdziale szóstym wytłumaczę bardziej szczegółowo, jak powstaje siła wyporu. Z tego prawa wynika na przykład, że statek zanurza się w wodzie dokładnie na taką głębokość, by wyprzeć tyle wody, ile sam waży. Lecz znaczy to również, że grudka srebra w wodzie doznaje większej siły wyporu niż tak samo ciężka grudka złota – właśnie dlate- go, że wypiera więcej wody. Ściśle biorąc, obowiązuje to już w powietrzu, lecz wyparte powietrze waży tak niewiele, że we wszystkich obliczeniach i ważeniach można to zaniedbać.

Ten wniosek natomiast banalny nie jest. W tamtych czasach z pewnością przeczył intuicji i oznaczał przełom w nauce, bez którego wiele wynalazków, aż do współczesnego samolotu, byłoby nie do pomyślenia.

Lecz zastanówmy się wpierw, jak daleko doszedłby Archimedes w swojej pierwszej próbie rozwiązania: złote wieńce honorowe, plecione w antycznej Grecji dla bogów, miały średnicę około 20 cm. Przejdźmy na dziś stosowane jednostki i załóżmy, że wieniec zamówiony przez króla Hierona miał tę wielkość i masę 1000 g. Do obliczenia objętości potrzebujemy gęstości obu materiałów. Gęstość złota wynosi 19,3 g/cm^3, gęstość srebra 10,5 g/cm^3.

Objętość wieńca z czystego złota można łatwo obliczyć: należy podzielić jego masę, czyli 1000 g, przez gęstość złota, co daje 51,8 cm^3.

Załóżmy, że 100 g złota w sfałszowanym wieńcu oszukańczy złotnik zastąpił srebrem. Objętość tych 100 g srebra wynosi 100/10,5 = 9,5 cm^3. Zastąpione srebrem złoto ma objętość wynoszącą 5,2 cm^3 – otrzymujemy 4,3 cm^3 naddatku, to właśnie jest dodatkowa objętość fałszywego wieńca!

Aby całkowicie zanurzyć złoty wieniec w wodzie, okrągłe naczynie musi mieć większą średnicę, wieniec wygodnie wchodzi do garnka o średnicy 25 cm. Niech będzie on wypełniony wodą po brzegi. O ile podniesie się lustro wody? Złoty wieniec ma objętość V wynoszącą 51,8 cm^3, które rozkładają się na powierzchnię wody A. Obliczmy najpierw, za pomocą wzoru na pole koła, powierzchnię wody przy promieniu 12,5 cm (promień garnka o średnicy 25 cm):

A = π · r^2 = 3,14 · 156,25 = 490,8 cm^2

(W całej książce będę zaokrąglał liczby wynikające z obliczeń i pomimo tego używał znaku równości – nie chodzi tu o wartości matematycznie dokładne, lecz najczęściej o przybliżone dane!)

Na tę powierzchnię rozkłada się 51,8 cm^3 wody, które wyparł wieniec – lustro wody podniesie się prawie dokładnie o 1 milimetr.

Z obliczeń wynika zatem, że zwierciadło wody odrobinę się podniesie. W praktyce zaobserwowanie tego będzie trudne: jak wspomniano w opowiadaniu, woda ma napięcie powierzchniowe powodujące, że ponad naczyniem może powstać wypukła „błona”. Może się zdarzyć, że przy zanurzaniu wieńca woda się w ogóle nie wyleje!

Ale nawet, gdy się wyleje – różnica między objętością wody wylanej przez wieniec prawdziwy i fałszywy jest jeszcze o wiele mniejsza. Dodatkowa objętość wieńca wykonanego ze stopu ze srebrem wynosi 4,3 cm^3, a gdy rozłożymy tę objętość na powierzchnię, stwierdzimy, że lustro wody leży tylko o 0,09 mm wyżej niż w przypadku prawdziwego wieńca – tylko o jedną dziesiątą milimetra wyżej! Wobec niedokładności pomiaru takiej metody żaden sędzia dysponujący wykształceniem matematycznym nie zaakceptuje tego wyniku jako dowodu oszustwa.

Zatem, żeby udowodnić kradzież złota, trzeba użyć dokładniejszej metody pomiaru. Archimedes zaś ma jedną pod ręką – swoje prawo Archimedesa. Wystarczy bowiem wykorzystać tylko siłę wyporu, której ulegają różne materiały pod wodą.

Za pomocą prostej, w tamtych czasach powszechnie używanej wagi dwuramiennej Archimedes porównuje wagi wieńca i sztaby złota, którą dostał dodatkowo od Hierona, kładąc przedmioty na przeciwległych szalach. Oba przedmioty mają masę po 1000 g, a wypór w powietrzu możemy zaniedbać. Waga musiałaby więc być w równowadze.

Teraz zanurza wagę z oboma przedmiotami w zbiorniku z wodą, tak aby i wieniec, i sztaba złota znalazły się całkowicie pod wodą. Jeśli oba przedmioty byłyby z czystego złota, powinny mieć też tę samą objętość i ulegać tej samej sile wyporu. Waga pozostałaby zatem w równowadze.

Lecz co się stanie, gdy wieniec jest sfałszowany? Wtedy będzie miał większą objętość, będzie wypierał więcej wody, ulegał według prawa Archimedesa większej sile wyporu, a waga przechyli się na stronę sztaby złota.

Czy tak też wygląda to w praktyce? Aby to obliczyć, musimy przejść z masy przedmiotów na ich ciężar. To jest jedna z pierwszych rzeczy, których uczymy się na lekcjach fizyki, ale w codziennym życiu o nich zapominamy. Mówimy, że ktoś waży 80 kg, lecz kilogram to jednostka masy. Tę masę zachowamy także wtedy, gdy znajdziemy się na przykład na Księżycu, gdzie waga pokaże tylko jedną szóstą tej wartości. Bo waga mierzy właściwie nie masę, lecz siłę, którą ta masa na nią wywiera. A ta jest zależna od warunków panujących na miejscu pomiaru. Stań kiedyś na wadze, będąc pod wodą – nie pokaże ona w ogóle nic, ponieważ siła wyporu odpowiada dość dokładnie ciężarowi ciała w powietrzu.

Kiedy chodziłem do szkoły, jako jednostki wagi używało się jeszcze kiloponda[1] – wygodna sprawa, bo przynajmniej ciała o dużej gęstości ważyły w powietrzu prawie dokładnie jeden kilopond na jeden kilogram masy. Dzisiaj w fizyce wszystkie siły podaje się w niutonach (N) i na razie wystarczy wiedzieć, że jeden kilogram złota, srebra czy wody waży na Ziemi około 9,8 niutona.

Możemy teraz zacząć obliczać.

Sztaba złota i fałszywy wieniec ważą każde po 9,8 N. Pod wodą oba przedmioty ulegają różnym siłom wyporu. Sztaba złota wypiera 51,8 cm^3 wody. Jej masa wynosi 51,8 g (jednostki fizyczne często odnoszą się do wody!), jej ciężar 0,51 N. Oznacza to, że siła ciężkości (ciężar) zanurzonej sztaby wynosi tylko 9,29 N.

Fałszywy wieniec ma objętość większą o 4,3 cm^3, czyli 56,1 cm^3, wyparta woda waży 0,55 N. Odpowiednio zanurzony wieniec waży więc tylko 9,25 N. Waga przechyla się na stronę sztaby złota!

Ale czy tę różnicę można rzeczywiście zmierzyć, szczególnie za pomocą wagi używanej za czasów Archimedesa? Różnica wynosi 0,04 N, co odpowiada masie około 5 g, a taką różnicę za pomocą dobrze wytarowanej wagi dwuramiennej można zmierzyć!

Nawet sędzia w antycznych Syrakuzach zaakceptowałby ten oczywisty dowód.

Ta elegancka metoda byłaby dobra nawet wtedy, gdyby król Hieron był większym sknerą i dał Archimedesowi jako wzorzec tylko sztabkę o masie 100 g. Za pomocą przelewającego się garnka uczony nie mógłby wtedy już nic ustalić. Lecz różne ciężary można całkiem dobrze zrównoważyć, używając wagi o zmiennym punkcie zawieszenia. Obowiązuje wtedy – dla wagi w równowadze – prawo dźwigni: siła działająca na prawe ramię razy długość prawego ramienia równa jest sile działającej na lewe ramię razy długość lewego ramienia. Wyraźmy to za pomocą wzoru:

F_1 · l_1 = F_2 · l_2

F_1 i F_2 oznaczają przy tym obie siły ciężkości, a l_1 i l_2 długości obu ramion wagi.

Jeśli ramię l_1 jest dziesięć razy dłuższe od ramienia l_2, to waga pozostaje w równowadze. A jeśli zanurzy się ją w wodzie, to i w tym przypadku okaże się, czy wieniec jest prawdziwy, czy też fałszywy. Eureka!

TWOJA KOLEJ. Mówi się, że z wody wystaje jedna siódma góry lodowej. Lód ma mniejszą gęstość niż woda (morska), dlatego pływa po wodzie, wypierając tyle wody, ile odpowiada jego ciężarowi. Lecz czy jest to rzeczywiście jedna siódma, jeśli przyjmiemy, że gęstość wody morskiej wynosi 1,02 g/cm^3, a gęstość lodu – 0,9 g/cm^3?

Rozwiązanie tutaj.

TWOJA KOLEJ – ROZWIĄZANIA

Poniżej Czytelnik znajdzie rozwiązania zadań zamieszczonych w książce.

Rozwiązanie

Przyjmijmy dla uproszczenia, że mała góra lodowa ma masę 1000 ton. Jej objętość wynosi wtedy 1111 metrów sześciennych. Góra wypiera wodę morską o masie 1000 ton, która ma objętość 980 metrów sześciennych. Czyli z wody wystaje 131 metrów sześciennych lodu, a to stanowi między jedną ósmą a jedną dziewiątą objętości góry (i między jedną siódmą a jedną ósmą jej masy)! Ponieważ wartość ta zależy od gęstości, to w rzeczywistości może się jeszcze bardziej wahać – bo gęstość lodu może być mniejsza, gdy góra zawiera dużo powietrza.

Powrót do zadania

PRZYPISY

[1] W polskich szkołach, kiedy był jeszcze stosowany układ jednostek CGS, używano jednostki o nazwie kilogram-siła (stosowane oznaczenie kG). Jest to siła, z jaką Ziemia przyciąga masę 1 kg. W niektórych krajach (np. na Węgrzech, w Austrii, Niemczech, Szwecji) kilogram-siła był nazywany kilopondem (oznaczenie kp) – przyp. red.