Dane oryginału

Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands

The Feynman Lectures on Physics, vol. 3. New Millenium Edition

Copyright © 1963, 2006, 2010 by California Institute of Technology, Michael A. Gottlieb, and Rudolf Pfeiffer.
First published in the United States by Basic Books, a member of the Perseus Books Group

All rights reserved.

No part of this book may be reproduced in any manner whatsoever without written permission except in the case of brief quotations embodied in critical articles and reviews.

For information, address Basic Books, 250 West 57th Street, 15th Floor, New York, NY, 10107.

Zdjęcie na okładce Barauskaite/Shutterstock

Projekt okładki i stron tytułowych Agnieszka Machnicka

Przekład z języka angielskiego Krzysztof Rejmer (O Richardzie Feynmanie, Przedmowa do Nowego wydania milenijnego)

Andrzej Pindor (rozdziały 3–9)

Waldemar Gorzkowski (rozdziały 10–15)

Andrzej Szymacha (rozdziały 16–21)

Wydawca Izabela Ewa Mika

Produkcja Mariola Grzywacka

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w Internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo.

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

Copyright © for the Polish edition by Państwowe Wydawnictwo Naukowe

Warszawa 2014

Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2001, 2007, 2014

ISBN 978-83-01-22160-7

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2014r. (Wydanie 6)

Warszawa 2022

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

infolinia 801 33 33 88

tel. 22 69 54 321; faks 22 69 54 288

e-mail: pwn@pwn.com.pl; www.pwn.pl

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwa Naukowego PWN: mobisfera.pl

Spis treści

O Richardzie P. Feynmanie

Przedmowa do Nowego wydania milenijnego

Wspomnienie o wykładach Feynmana

Historia erraty

Jak powstało to Nowe wydanie milenijne

Podziękowania

Przedmowa Feynmana

Słowo wstępne

Od wydawnictwa (do wydań z lat 1968, 2001, 2007)

Od wydawnictwa do Nowego wydania milenijnego

3.[1] Amplitudy prawdopodobieństwa

3.1. Prawa składania amplitud

3.2. Obraz interferencyjny dla układu dwóch szczelin

3.3. Rozpraszanie na krysztale

3.4. Cząstki identyczne

4. Cząstki identyczne

4.1. Dwa rodzaje cząstek – bozony i fermiony

4.2. Stany z dwoma bozonami

4.3. Stany z bozonami

4.4. Emisja i absorpcja fotonów

4.5. Widmo ciała doskonale czarnego

4.6. Ciekły hel

4.7. Zakaz Pauliego

5. Spin 1

5.1. Filtrowanie atomów za pomocą urządzenia Sterna–Gerlacha

5.2. Doświadczenia z filtrowanymi atomami

5.3. Trzy filtry Sterna–Gerlacha ustawione jeden za drugim

5.4. Stany bazy

5.5. Interferencja amplitud

5.6. Podstawowe metody mechaniki kwantowej

5.7. Przejście do innej bazy

5.8. Inne sytuacje

6. Spin 1/2

6.1. Transformacje amplitud

6.2. Transformacja do obróconego układu współrzędnych

6.3. Obroty wokół osi y

6.4. Obroty o 180° i 90° wokół osi x

6.5. Obroty wokół osi

6.6. Dowolne obroty

7. Zależność amplitud od czasu

7.1. Atomy w spoczynku; stany stacjonarne

7.2. Ruch jednostajny

7.3. Energia potencjalna; zachowanie energii

7.4. Siły; granica klasyczna

7.5. „Precesja” cząstki o spinie ½

8. Hamiltonian

8.1. Amplitudy i wektory

8.2. Rozkład wektorów stanu

8.3. Jakie są stany bazy świata?

8.4. Jak stany zmieniają się w czasie?

8.5. Hamiltonian

8.6. Cząsteczka amoniaku

9. Cząsteczka amoniaku

9.1. Stany cząsteczki amoniaku

9.2. Cząsteczka w statycznym polu elektrycznym

9.3. Przejścia w polu zależnym od czasu

9.4. Przejścia przy rezonansie

9.5. Przejścia poza rezonansem

9.6. Absorpcja światła

10. Inne układy o dwóch stanach

10.1. Jon cząsteczki wodoru

10.2. Siły jądrowe

10.3. Cząsteczka wodoru

10.4. Cząsteczka benzenu

10.5. Barwniki

10.6. Hamiltonian cząstki o spinie ½ w polu magnetycznym

10.7. Elektron wirujący w polu magnetycznym

11. W dalszym ciągu układy o dwóch stanach

11.1. Macierze spinowe Pauliego

11.2. Macierze spinowe jako operatory

11.3. Rozwiązanie równań dla dwóch stanów

11.4. Stany polaryzacyjne fotonu

11.5. Neutralny mezon K

11.6. Uogólnienie na układ o N stanach

12. Rozszczepienie nadsubtelne w wodorze

12.1. Stany bazy układu dwóch cząstek o spinie

12.2. Hamiltonian stanu podstawowego atomu wodoru

12.3. Poziomy energetyczne

12.4. Rozszczepienie zeemanowskie

12.5. Stany w polu magnetycznym

12.6. Macierz transformacji dla spinu 1

13. Propagacja w sieci krystalicznej

13.1. Stany elektronu w sieci jednowymiarowej

13.2. Stany o określonej energii

13.3. Stany zależne od czasu

13.4. Elektron w sieci trójwymiarowej

13.5. Inne stany w sieci krystalicznej

13.6. Rozpraszanie na nieregularnościach sieci

13.7. Pułapkowanie na niedoskonałościach sieci

13.8. Amplitudy rozpraszania i stany związane

14. Półprzewodniki

14.1. Elektrony i dziury w ciele stałym

14.2. Półprzewodniki domieszkowane

14.3. Zjawisko Halla

14.4. Złącza półprzewodnikowe

14.5. Prostujące własności złącza półprzewodnikowego

14.6. Tranzystor

15. Przybliżenie cząstek niezależnych

15.1. Fale spinowe

15.2. Dwie fale spinowe

15.3. Cząstki niezależne

15.4. Cząsteczka benzenu

15.5. Jeszcze trochę chemii organicznej

15.6. Inne przybliżenia

16. Zależność amplitudy od położenia

16.1. Zmiany amplitudy wzdłuż prostej

16.2. Funkcja falowa

16.3. Stany o określonym pędzie

16.4. Normalizacja stanów o określonym położeniu x

16.5. Równanie Schrödingera

16.6. Skwantowane poziomy energetyczne

17. Symetria i zasady zachowania

17.1. Symetria

17.2. Symetria i jej zachowanie

17.3. Prawa zachowania

17.4. Światło spolaryzowane

17.5. Rozpad Λ°

17.6. Macierze obrotu

18. Moment pędu

18.1. Elektryczne promieniowanie dipolowe

18.2. Rozpraszanie światła

18.3. Anihilacja pozytonium

18.4. Macierze obrotu dla dowolnego spinu

18.5. Pomiar spinu jądra

18.6. Składanie momentów pędu

18.7. Uzupełnienie 1. Wyprowadzenie wzoru na elementy macierzy obrotu

18.8. Uzupełnienie 2. Zachowanie parzystości w procesie emisji fotonu

19. Atom wodoru i układ okresowy pierwiastków

19.1. Równanie Schrödingera dla atomu wodoru

19.2. Rozwiązania kulistosymetryczne

19.3. Stany z zależnością kątową

19.4. Ogólne rozwiązanie dla wodoru

19.5. Funkcje falowe dla wodoru

19.6. Układ okresowy pierwiastków

20. Operatory

20.1. Operacje i operatory

20.2. Wartości średnie energii

20.3. Średnia energia atomu

20.4. Operator położenia

20.5. Operator pędu

20.6. Moment pędu

20.7. Zależność wartości średnich od czasu

21. Równanie Schrödingera w kontekście klasycznym, seminarium poświęcone nadprzewodnictwu

21.1. Równanie Schrödingera w polu magnetycznym

21.2. Równanie ciągłości dla prawdopodobieństwa

21.3. Dwa rodzaje pędu

21.4. Znaczenie funkcji falowej

21.5. Nadprzewodnictwo

21.6. Efekt Meissnera

21.7. Kwantyzacja strumienia

21.8. Dynamika nadprzewodnictwa

21.9. Złącze Josephsona

Epilog

Wykaz oznaczeń

Przypisy

O Richardzie P. Feynmanie

Richard P. Feynman urodził się w Nowym Jorku w 1918 roku. Pracę doktorską obronił w Princeton w 1942 roku. W czasie II wojny światowej, pomimo swojego młodego wieku, odegrał ważną rolę w Projekcie Manhattan realizowanym w Los Alamos. Po wojnie wykładał w Cornell i w Kalifornijskim Instytucie Technologicznym. W 1965 roku, wraz z Sin-Itiro Tomonagą i Julianem Schwingerem, został wyróżniony Nagrodą Nobla w dziedzinie fizyki za prace w dotyczące elektrodynamiki kwantowej.

Oprócz skutecznego rozwiązania problemów z teorii elektrodynamiki kwantowej, za które otrzymał Nagrodę Nobla, stworzył on również matematyczną teorię, która wyjaśnia zjawiska nadciekłości w ciekłym helu. Następnie, wraz z Murrayem Gell-Mannem, napisał fundamentalną pracę dotyczącą oddziaływań słabych, rządzących takimi zjawiskami jak rozpad beta. W późniejszych latach Feynman odegrał kluczową rolę w rozwoju teorii kwarków, przedstawiając swój model partonowy zderzeń wysokoenergetycznych protonów.

Poza tymi dokonaniami Feynman wprowadził nową, podstawową metodę stosowaną w obliczeniach i nowy sposób zapisu wzorów – wszechobecne niemal w całej fizyce diagramy Feynmana, które, być może w większym stopniu niż jakikolwiek inny formalizm w historii współczesnej nauki, zmieniły sposób postrzegania procesów fizycznych oraz metodę obliczeń.

Richard Feynman był wyśmienitym wykładowcą i nauczycielem o ogromnym talencie pedagogicznym. Wśród licznych odznaczeń, które otrzymał, szczególnym powodem jego dumy był Medal Oersteda, którym został wyróżniony w 1972 roku. Feynmana wykłady z fizyki, po raz pierwszy wydane w 1963 roku, zostały określone przez recenzenta Scientific American jako „trudne, ale pożywne i pełne smaku”. Po upływie 25 lat wciąż są one „przewodnikiem dla nauczycieli i najlepszych początkujących studentów”. Aby podnieść poziom zrozumienia fizyki wśród szerokiej rzeszy czytelników, Feynman napisał Charakter praw fizycznych oraz QED. Osobliwa teoria światła i materii (The Character of Physical Law and QED: The Strange Theory of Light and Matter). Jest on również autorem licznych specjalistycznych publikacji, które stały się klasycznymi odniesieniami oraz podręcznikami dla badaczy oraz studentów.

Richard Feynman był mocno zaangażowany w sprawy publiczne. Dobrze znana jest jego praca w komisji badającej katastrofę Challengera, w szczególności jego pokaz reakcji uszczelek typu O-ring na niskie temperatury, eleganckie doświadczenie, które wymagało jedynie szklanki lodu i śruby stolarskiej. Mniej znane są jego wysiłki w California State Curriculum Committee w latach sześćdziesiątych XX wieku, gdzie protestował przeciwko mierności podręczników.

Wyliczanie niezliczonych naukowych i dydaktycznych dokonań Richarda Feynmana nie może odpowiednio oddać istoty jego charakteru. Czytelnik nawet najbardziej technicznych jego publikacji dostrzega blask żywej i wielostronnej osobowości we wszystkich jego pracach. Był nie tylko fizykiem, ale wielokrotnie naprawiał odbiorniki radiowe, a nawet rozszyfrowywał hieroglify Majów. Wciąż ciekawy świata, był przykładowym empirykiem.

Richard Feynman zmarł 15 lutego 1988 roku w Los Angeles.

Przedmowa do Nowego wydania milenijnego

Niemal pięćdziesiąt lat minęło od czasów, gdy Richard Feynman wykładał wstęp do fizyki w Caltech, z czego zrodziły się te trzy tomy Feynmana wykładów z fizyki. W ciągu tych pięćdziesięciu lat nasze rozumienie świata fizyki bardzo się zmieniło, ale Feynmana wykłady z fizyki przetrwały. Dzięki jego przenikliwości i umiejętnościom dydaktycznym wykłady Feynmana mają i dziś tę samą wielką wartość, którą miały, gdy opublikowano je po raz pierwszy. Były studiowane na całym świecie zarówno przez nowicjuszy, jak i przez dojrzałych fizyków. Zostały przetłumaczone na co najmniej dwanaście języków, wydano je w ponad półtora miliona egzemplarzy w języku angielskim. Prawdopodobnie żaden inny kurs fizyki nie miał tak wielkiego znaczenia przez tak długi czas.

Niniejsze, Nowe wydanie milenijne, zapoczątkowuje nową erę Feynmana wykładów z fizyki (FLP): dwudziesty pierwszy wiek, czyli epokę publikacji elektronicznych. FLP zostały przekształcone w eFLP, w którym tekst i wzory są zapisane za pomocą elektronicznego systemu składu wykorzystującego LATEX, a wszystkie rysunki zostały wykonane ponownie, za pomocą nowoczesnego oprogramowania graficznego.

Rezultat, w porównaniu z wersją drukowaną, nie jest wstrząsający; wszystko wygląda prawie tak samo jak w oryginalnych czerwonych książkach, znanych i uwielbianych przez studentów przez całe dziesięciolecia. Podstawowe różnice to poszerzony i poprawiony skorowidz, korekta 885 błędów znalezionych przez ponad 5 lat od czasu pierwszego ukazania się poprzedniego wydania oraz łatwość korygowania błędów, które przyszli czytelnicy mogą znaleźć. Do tego powrócę dalej.

Nowa wersja e-booka i udoskonalona wersja elektroniczna to innowacje elektroniczne. W odróżnieniu od większości elektronicznych wersji dwudziestowiecznych książek technicznych, w których równania, rysunki, a nawet tekst przy powiększaniu się pikselizują, LATEX-owy tekst Nowego wydania milenijnego pozwala na stworzenie e-booka o najwyższej jakości, w którym wszystkie elementy strony (za wyjątkiem fotografii) mogą być powiększane bez ograniczeń, z zachowaniem ich dokładnego kształtu i ostrości. Natomiast udoskonalona wersja elektroniczna, z nagraniami i z czarno-białymi fotografiami oryginalnych wykładów Feynmana oraz linkami do innych źródeł, jest innowacją, która sprawiłaby Feynmanowi wielką radość.

Wspomnienie o wykładach Feynmana

Te trzy tomy są samowystarczalnym dziełem dydaktycznym. Są one historycznym zapisem licencjackiego kursu fizyki prowadzonego przez Feynmana w latach 1961–1964, kursu wymaganego od studentów pierwszego i drugiego roku, niezależnie od ich kierunku studiów.

Czytelnicy mogą być zadziwieni, tak jak i ja, tym, w jaki sposób wykłady Feynmana oddziaływały na studentów, którzy na nie uczęszczali. Feynman we wstępie do swej książki wyraził nieco pesymistyczny pogląd. Napisał: „Nie sądzę bym, według studentów, zrobił bardzo dobrze”. Matthew Sands, w swych wspomnieniach w Feynmana wykładach z fizyki. Feymnan radzi, postrzegał to znacznie bardziej pozytywnie. „Z ciekawości, wiosną 2005 roku wymieniłem e-maile bądź rozmawiałem z siedemnastoma (spośród około 150) niemal losowo wybranymi studentami uczestniczącymi w zajęciach Feynmana w latach 1961–1963”. Dla niektórych były one bardzo trudne, niektórzy łatwo dali sobie z nimi radę; większość studiowała biologię, chemię, inżynierię, geologię, matematykę i astronomię, lecz także fizykę.

Choć wskutek upływu czasu wspomnienia mogły wyblaknąć, jednak wciąż wzbudzają fascynację. Około 80% słuchaczy wspomina wykłady Feynmana jako frapujące przeżycie z ich studenckich czasów.

„Było to jak wizyty w świątyni”. Wykłady były „doświadczeniem, które zmienia”, „doświadczeniem życiowym, najważniejszą rzeczą jaką dał mi Caltech”. „Byłem studentem biologii, ale wykłady Feynmana wyróżniały się jako moje najważniejsze studenckie doświadczenie ... choć muszę przyznać, że nie potrafiłem wówczas rozwiązać zadań domowych i z trudem dawałem sobie z którymkolwiek z nich radę”. „Należałem do najgorzej rokujących studentów tego kursu i nigdy nie opuściłem wykładu; pamiętam i wciąż czuję radość Feynmana płynącą z odkrycia. Jego zajęcia oddziaływały... na emocje, co prawdopodobnie zagubiło się w wydrukowanych Wykładach”.

Lecz niektórzy z tych studentów mają negatywne wspomnienia spowodowane przede wszystkim przez dwie rzeczy:

1. (i) „Uczęszczając na wykłady, nie można było nauczyć się rozwiązywać zadań domowych. Feynman był zbyt zręczny – znał sztuczki i wiedział, jakie przybliżenia można poczynić, miał intuicję płynącą z doświadczenia i geniuszu, której nie ma początkujący student”. Feynman i jego współpracownicy zdawali sobie sprawę z tej wady wykładów, odnieśli się do niej częściowo w materiałach, które zostały włączone do Feynmana wykładów z fizyki. Feymnan radzi: są to trzy wykłady Feynmana poświęcone rozwiązywaniu problemów oraz zbiór zadań z rozwiązaniami przygotowany przez Roberta B. Leightona i Rochusa Vogta.

2. (ii) „Niepewność związana z niewiedzą, co mianowicie będzie rozważane na następnym wykładzie, brak podręcznika lub odniesień do wykładanego materiału, a w konsekwencji niemożność wcześniejszej lektury, były dla nas bardzo frustrujące... Odbierałem wykłady jako ekscytujące i zrozumiałe na sali wykładowej, ale poza nią były Sanskrytem [gdy próbowałem odtworzyć szczegóły]”. Ten problem oczywiście został rozwiązany dzięki tym trzem tomom, drukowanej wersji Feynmana wykładów z fizyki. Stały się one podręcznikiem, z którego studenci Caltech uczyli się przez następnych wiele lat, i które żyją dziś jako największe dziedzictwo Feynmana.

Historia erraty

Feynmana wykłady z fizyki zostały bardzo szybko przygotowane przez Feynmana i jego współautorów, Roberta B. Leightona oraz Matthew Sandsa, na podstawie nagrań magnetofonowych i fotografii tablicy wykonanych podczas kursowych wykładów Feynmana[2] (jedne i drugie zostały włączone do Udoskonalonej wersji elektronicznej bieżącego Nowego wydania milenijnego). Ze względu na ogromne tempo prac, jakie narzucili sobie Feynman, Leighton i Sands, nie dało się uniknąć wielu błędów, które wkradły się do pierwszego wydania. W następnych latach Feynman zebrał długą listę niezbędnych poprawek – wskazanych zarówno przez studentów, jak i pracowników wydziału Caltech oraz czytelników z całego świata. W latach sześćdziesiątych i siedemdziesiątych Feynman znalazł czas w swoim intensywnym życiu, by sprawdzić większość z zauważonych błędów w tomach I oraz II (choć nie wszystkie) i wprowadzić poprawki do następnych wydań. Jednak jego poczucie obowiązku nigdy nie wygrało z radością płynącą z odkrywania nowych rzeczy, nie doszło więc do poprawienia tomu III[3]. Po jego przedwczesnej śmierci w 1988 roku lista poprawek do wszystkich trzech tomów została złożona w Archiwach Caltech i tam leżała w zapomnieniu.

W roku 2002 Ralph Leighton (syn zmarłego Roberta Leightona i rodak Feynmana) poinformował mnie o starych poprawkach i o nowej ich liście ułożonej przez przyjaciela Ralpha – Michaela Gottlieba. Leighton zaproponował, by Caltech przygotował nowe wydanie Feynmana wykładów z fizyki z poprawionymi wszystkimi błędami i opublikował je wraz z nowym tomem materiałów uzupełniających, Feynmana wykłady z fizyki. Feymnan radzi, który on i Gottlieb przygotowali.

Feynman był dla mnie wzorem oraz bliskim, osobistym przyjacielem. Gdy ujrzałem listę błędów i spis treści proponowanego nowego tomu, szybko zgodziłem się nadzorować prace nad tym wydaniem w imieniu Caltech (przez długi czas macierzystej uczelni Feynmana, której on, Leighton i Sands powierzyli prawa do Wykładów Feynmana i odpowiedzialność za nie). W czasie półtorarocznej skrupulatnej pracy Gottlieba i uważnej kontroli dr. Michaela Hartla (obiecującego naukowca przebywającego w Caltech na postdoktorskim stażu, który sprawdził wszystkie poprawki oraz nowy tom) narodziło się Feynmana wykładów z fizyki. Ostateczne wydanie 2005, z poprawionymi około 200 błędami, któremu towarzyszyły Feynmana wykłady z fizyki. Feymnan radzi Gottlieba i Leightona.

Myślałem, że wydanie to rzeczywiście będzie „ostateczne”. To, czego nie przewidziałem, to entuzjastyczna odpowiedź czytelników z całego świata na prośbę Gottlieba, by wyszukiwać dalsze błędy i przesyłać mu je poprzez stronę internetową, którą stworzył i dalej utrzymuje jej istnienie, The Feynman Lectures Website, www.feynmanlectures.info. Przez kolejnych pięć lat zostało wysłanych 965 nowych błędów i przetrwało skrupulatną kontrolę Gottlieba, Hartla oraz Nate'a Bode'a (obiecującego absolwenta Caltech, który po Hartlu przejął sprawdzanie błędów). Spośród tych 965 błędów 80 zostało poprawionych w czwartym dodruku Ostatecznego wydania (sierpień 2006 r.), a pozostałych 885 zostało wprowadzonych do pierwszego nakładu obecnego Nowego wydania milenijnego (332 w tomie I, 263 w tomie II i 200 w tomie III). Szczegóły można znaleźć na stronie www.feynmanlectures.info.

Oczywiście, przygotowanie wolnego od błędów wydania Feynmana wykładów z fizyki stało się przedsięwzięciem ogólnoświatowym. W imieniu Caltech dziękuję 50 czytelnikom, którzy od 2005 roku wzięli w nim udział, i wielu innym, którzy mogą w tym uczestniczyć w nadchodzących latach. Nazwiska wszystkich uczestników są zapisane na stronie www.feynmanlectures.info/flp_errata.thml.

Niemal wszystkie błędy należą do jednej z trzech kategorii: (i) błędy drukarskie w tekście; (ii) drukarskie oraz matematyczne błędy we wzorach, błędy w tabelach i podpisach pod rysunkami, nieprawidłowe liczby (np. 5, gdy powinno być 4), brakujące wskaźniki, znaki sumy, nawiasy i wyrazy w równaniach, (iii) nieprawidłowe odnośniki do rozdziałów, tabel i rysunków. Ten rodzaj błędów, choć nie są one bardzo istotne dla dojrzałych fizyków, mogą być frustrujące i mylące dla podstawowych czytelników Feynmana: dla studentów.

Jest godne odnotowania, że spośród 1165 błędów poprawionych pod moim patronatem, jedynie kilka uważam za prawdziwe błędy fizyczne. Na przykład w tomie II, na stronie 5-9, obecnie jest: „...żaden statyczny rozkład ładunku wewnątrz zamkniętego uziemionego przewodnika nie wytworzy pola [elektrycznego] na zewnątrz” – słowo uziemionego było pominięte w poprzednich wydaniach. Na ten błąd zwróciło Feynmanowi uwagę wielu czytelników, wśród nich Beulach Elizabeth Cox, studentka The College of William and Mary, która powołała się na błędne stwierdzenie Feynmana podczas egzaminu. W 1972 roku Feynman napisał do niej[4]: „Pani nauczyciel miał rację, nie przyznając Pani żadnego punktu, ponieważ Pani odpowiedź była błędna, co wynika z prawa Gaussa. W nauce powinna Pani wierzyć logice i uważnie dobranym argumentom, a nie autorytetom. Pani przecież czyta książkę poprawnie i ją rozumie. Popełniłem błąd, tak więc w książce sformułowanie jest niepoprawne. Zapewne myślałem o przewodzącej uziemionej sferze lub może o tym, że przemieszczanie ładunków w różne miejsca wewnątrz nie wywołuje zmian na zewnątrz. Nie wiem, jak to się stało, ale się wygłupiłem. Lecz Pani również się wygłupiła, ufając mi”.

Jak powstało to Nowe wydanie milenijne

Między listopadem 2005 roku a lipcem 2006 roku wysłano 340 poprawek do The Feynman Lectures Website, www.feynmanlectures.info. Zauważalne jest, że większość z nich przyszła od dr. Rudolfa Pfeifera przebywającego wówczas na stażu postdoktorskim na Uniwersytecie Wiedeńskim w Austrii. Wydawca, Addison Wesley, wprowadził 80 poprawek, ale uchylał się od wprowadzenia pozostałych ze względu na koszty: książka była drukowana metodą offsetu z wykorzystaniem zdjęć stron wydania z lat sześćdziesiątych. Poprawienie błędu wymagało wykonania ponownego składu całej strony, a żeby osiągnąć pewność, że nie wkradną się nowe błędy, strona była składana dwukrotnie przez dwie różne osoby, potem porównywało je i robiło korektę kilka innych osób, co w istocie było bardzo kosztowne, jeśli w grę wchodziły setki błędów.

Gottfried, Pfeifer and Ralph Leighton byli z tego powodu bardzo nieszczęśliwi i dlatego opracowali plan, którego celem było ułatwienie poprawienia błędów, jak również wydanie e-booka oraz udoskonalonej elektronicznej wersji Feynmana wykładów z fizyki.

W 2007 roku przedstawili mi ten plan jako reprezentantowi Caltech. Przyjąłem go entuzjastycznie, ale z ostrożnością. Po zapoznaniu się z dalszymi szczegółami, w tym z prezentacją jednego rozdziału Udoskonalonej wersji elektronicznej, zarekomendowałem uczelni współpracę z Gottliebem, Pfeifferem i Leightonem w celu realizacji ich pomysłu. Plan został przyjęty kolejno przez przewodniczących wydziałów Fizyki, Matematyki i Astronomii Caltech – Toma Tombrello, Andrew Langa i Toma Soifera, a potem kwestie prawne oraz zagadnienia dotyczące umowy zostały przygotowane przez radcę Urzędu Biura Ochrony Własności Intelektualnej, Adama Cohrana.

Plan niniejszego Nowego wydania milenijnego został szczęśliwie zrealizowany, pomimo złożoności tego przedsięwzięcia. W szczególności: Pfeiffer i Gottlieb przetworzyli na LATEX wszystkie trzy tomy FLP (a także ponad 1000 zadań z kursu Feynmana, by włączyć je do Feynmana wykładów z fizyki. Feymnan radzi). Rysunki z FLP zostały wykonane w nowoczesnej postaci elektronicznej w Indiach pod przewodnictwem tłumacza FLP na język niemiecki, Henniga Heintzego, w celu wykorzystania ich w wydaniu niemieckim. Gottlieb i Pffeifer zgodzili się na wykorzystanie ich LATEX-owych równań w wydaniu niemieckim (opublikowanym przez Oldenbourga) w zamian za prawo wykorzystania rysunków Heintzego w Nowym wydaniu milenijnym w języku angielskim. Pfeiffer i Gottlieb skrupulatnie sprawdzili cały LATEX-owy tekst i równania oraz od nowa przygotowane rysunki, wprowadzając niezbędne poprawki. Nate Bode i ja, w imieniu Caltech, na miejscu dokonaliśmy kontroli tekstu, równań i rysunków; i uwaga: nie znaleźliśmy błędów. Pfeiffer i Gottlieb byli niewiarygodnie skrupulatni i dokładni. Gottlieb i Pfeiffer zaangażowali Johna Sullivana z Huntington Library do zdigitalizowania fotografii 64 tablic z wykładów Feynmana z 1962 roku i George Blood Audio do zdigitalizowania taśm z nagraniami wykładów przy finansowym wsparciu i zachęcie Shelleya Ervina, archiwariusza Caltech i prawnym wsparciu Cochrana.

Kwestie prawne miały istotne znaczenie: w latach sześćdziesiątych XX wieku Caltech udzielił wydawnictwu Addison Wesley licencji na wydanie wersji papierowej, a w latach dziewięćdziesiątych dał prawa do dystrybucji nagrań wykładów Feynmana oraz do wersji wydania elektronicznego. W pierwszej dekadzie nowego stulecia, na skutek kolejnych przeniesień praw do tych licencji, prawo druku przeszło na grupę wydawniczą Pearson, podczas gdy prawa do nagrań oraz do wydania elektronicznego na grupę wydawniczą Perseus. Cochran z pomocą Ike'a Williamsa, adwokata specjalizującego się w prawach wydawniczych, z sukcesem powiązali te prawa z Perseusem (Basic Books), co umożliwiło publikację niniejszego Nowego wydania milenijnego.

Podziękowania

W imieniu Caltech składam podziękowania wielu osobom, dzięki którym mogło powstać niniejsze Nowe wydanie milenijne. W szczególności dziękuję najważniejszym osobom wspomnianym już wcześniej: Ralphowi Leightonowi, Michaelowi Gottliebowi, Tomowi Tombrello, Michaelowi Hartlowi, Rudolfowi Pfeifferowi, Henningowi Heinzowi, Adamowi Cochranowi, Carver Mead, Nate Bode'owi, Shelleyowi Ervinowi, Andrew Lange'owi, Tomowi Soiferowi, Ike'owi Williamsowi oraz 50 osobom, które przysłały poprawki (są one wyszczególnione na stronie www.feynmanlectures.info). Dziękuję również Michelle Feynman (córce Richarda Feynmana) za jej nieustające wsparcie oraz porady, Alanowi Rice'owi za zakulisową pomoc i porady w Caltech, Stephanowi Pucheggerowi i Calvinowi Jacksonowi za pomoc okazaną Pfeifferowi przy konwersji FLP na LATEX. Michaelowi Figlowi, Manfredowi Smolikowi i Andreasowi Stanglowi za dyskusje dotyczące poprawek w erracie. Dziękuję też pracownikom Perseus/Basic Books i (za poprzednie wydania) personelowi Addisson Wesley.

Kip S. Thome

Emerytowany profesor fizyki teoretycznej

Kalifornijski Instytut Technologiczny

Październik 2010

Przedmowa Feynmana

Oto są wykłady fizyki, które wygłosiłem w ciągu ubiegłych dwóch lat dla słuchaczy pierwszego i drugiego roku studiów Kalifornijskiego Instytutu Technologicznego. Nie jest to, oczywiście, tekst dosłowny, lecz już opracowany – czasem w większym, czasem w mniejszym stopniu. Wykłady te stanowią jedynie część pełnego procesu dydaktycznego. Dla ich wysłuchania cała grupa 180 studentów zbierała się dwa razy tygodniowo w wielkiej sali wykładowej, po czym w mniejszych, 15–20-osobowych grupach, odbywały się ćwiczenia rachunkowe pod kierunkiem asystenta. Ponadto raz na tydzień odbywały się ćwiczenia laboratoryjne.

Szczególnym celem, który wytknęliśmy sobie, przygotowując te wykłady, było podtrzymanie zainteresowania pełnych entuzjazmu i wcale pojętnych studentów, którzy ze szkoły średniej trafiają do naszej uczelni. Słyszeli oni wiele o tym, jaka to fizyka jest ciekawa i urzekająca, słyszeli o teorii względności, o mechanice kwantowej i o innych współczesnych osiągnięciach fizyki. Po dwóch latach wykładów prowadzonych według poprzedniego programu część studentów się zniechęcała, bo prawdę mówiąc, nie przedstawiano im zbyt wielu porywających, nowych, współczesnych idei. Kazano im się uczyć o równiach pochyłych, elektrostatyce i tak dalej, co po dwóch latach niemal ośmieszało przedmiot. Zadaliśmy więc sobie pytanie, czy potrafimy ułożyć taki program, który by uchronił bardziej zaawansowanego i interesującego się przedmiotem studenta przed zniechęceniem, podtrzymując jego entuzjazm.

Niniejsze wykłady nie zostały bynajmniej pomyślane jako zwykły kurs przeglądowy; przypisuję im większe znaczenie. Starałem się kierować je do najzdolniejszych studentów roku i to w taki sposób, by nawet ten najzdolniejszy student nie mógł w pełni ogarnąć wszystkiego, o czym była mowa na wykładzie; w tym celu wprowadzałem wzmianki o zastosowaniach omawianych pojęć i koncepcji w różnych dziedzinach, poza głównym nurtem wykładu. Starałem się przy tym bardzo usilnie, aby wszystkie sformułowania były możliwie precyzyjne. Starałem się również wskazywać w każdym przypadku, jakie jest miejsce równań i pojęć w ogólnej strukturze fizyki oraz jak – w miarę pogłębiania się wiedzy słuchaczy – będą następowały modyfikacje tych pojęć. Uważałem też, że dla tego typu studentów jest ważne, by im wskazywać, co przy pewnej dozie sprytu mogą wydedukować sami na podstawie materiału poznanego uprzednio, a co jest istotnie nowe. Gdy pojawiały się nowe koncepcje, starałem się albo, jeśli to było możliwe, wysnuć je z innych, poznanych uprzednio, albo wyjaśnić, że nie mamy tu do czynienia z wynikiem, który by można było udowodnić, lecz że chodzi o pojęcie nowe, niemające oparcia w poznanym uprzednio materiale, a więc o pojęcie, które trzeba po prostu wprowadzić dodatkowo.

Zaczynając wykłady, założyłem, że studenci wynieśli jakieś wiadomości ze szkoły średniej, że na przykład znają optykę geometryczną, elementarną chemię i tak dalej. Nie widziałem też powodu, by w wykładach trzymać się określonego porządku w tym sensie, że nie miałbym prawa wspomnieć o czymś przed omówieniem tego szczegółowo. Bardzo często wspominałem bez szczegółowego omówienia o problemach, które miały się dopiero pojawić. Omówienia bardziej szczegółowe następowały później, gdy słuchacze byli już lepiej przygotowani. Przykładem może być potraktowanie zagadnienia indukcyjności oraz poziomów energetycznych, które to pojęcie wprowadzono najpierw w sposób bardzo jakościowy, a pełniej rozwinięto dopiero potem.

Kierując mój wykład do studenta bardziej aktywnego, nie chciałem jednak zapomnieć i o takim studencie, któremu dodatkowe fajerwerki myśli i mimochodem wzmiankowane zastosowania przysparzają tylko kłopotu i od którego nie można oczekiwać, by w ogóle opanował większość materiału zawartego w wykładzie. Dla tego studenta starałem się utworzyć przynajmniej pewien centralny rdzeń, pewien „kościec” zawierający materiał, który mógłby zrozumieć. Jeśli taki student nawet nie zrozumie wszystkiego z wykładu, nie chciałbym, aby się denerwował. Nie oczekiwałem od niego, że zrozumie wszystko, a tylko, że zrozumie główne myśli, najściślej wiążące się z tematem. Oczywiście, musi on wykazać pewną inteligencję, by odróżnić główne twierdzenia i główne pojęcia od omawianych tylko marginesowo partii trudniejszych i od przytaczanych zastosowań, które będzie mógł zrozumieć dopiero na dalszych latach studiów.

Prowadząc te wykłady, natknąłem się na pewną poważną trudność: metoda prowadzenia sprawiała, że brak było sprzężenia zwrotnego w kierunku od studentów do wykładowcy, sprzężenia, które by się pozwoliło zorientować, jak się wykłady udają. Jest to istotnie bardzo poważna trudność i doprawdy nie wiem, jak ocenić wartość tych wykładów. Cała impreza była w gruncie rzeczy eksperymentem. I gdybym miał go powtarzać, zrobiłbym to inaczej – mam jednak nadzieję, że nie będę musiał tego powtarzać! Zdaje mi się jednak, że jeśli chodzi o nauczenie studentów fizyki, wszystko poszło w pierwszym roku dość gładko.

W drugim roku nie byłem tak zadowolony. W pierwszej części kursu, w której była mowa o elektryczności i magnetyzmie, nie udało mi się wymyślić żadnej naprawdę oryginalnej metody przedstawienia materiału, niczego, co by było wyraźnie ciekawsze od ujęcia tradycyjnego. Dlatego wykładów o elektryczności i magnetyzmie nie uważam za szczególne osiągnięcie. Początkowo zamierzałem pod koniec drugiego roku, po wykładach z elektryczności i magnetyzmu, umieścić jeszcze kilka wykładów na temat właściwości materiałów, ale przede wszystkim chciałem się zająć takimi tematami, jak: rodzaje normalne, rozwiązania równania dyfuzji, układy drgające, funkcje ortogonalne itd., wprowadzając początki tego, co się zwykle określa mianem „metod matematycznych fizyki”. Patrząc na to z perspektywy czasu, myślę, że gdybym miał znów wszystko powtarzać, wróciłbym do owego pierwotnego zamierzenia. Ale ponieważ nie planowano powtarzania tych wykładów, wysunięto propozycję, by spróbować wyłożyć wstęp do mechaniki kwantowej – to właśnie można znaleźć pod koniec tomu II.

Jest zupełnie oczywiste, że studenci specjalizujący się w fizyce mogą na mechanikę kwantową poczekać do trzeciego roku. Z drugiej strony wysuwano argument, że wielu studentów uczęszczających na nasze wykłady studiuje fizykę jako podstawę do rozwijania swych właściwych zainteresowań w innych dziedzinach wiedzy. Sposób zaś, w jaki mechanika kwantowa jest zwykle przedstawiana, sprawia, że jest ona prawie niemożliwa do przyswojenia dla znacznej większości studentów, ponieważ studiowanie jej trwa zbyt długo. A przecież w rzeczywistych zastosowaniach – zwłaszcza w zastosowaniach bardziej skomplikowanych, jak na przykład w elektrotechnice czy w chemii – nie korzysta się właściwie z pełnego aparatu matematycznego, który jest potrzebny, gdy za punkt wyjścia wykładu mechaniki kwantowej przyjąć równanie różniczkowe. Spróbowałem więc omówić zasady mechaniki kwantowej w sposób, który nie wymagałby uprzedniej znajomości równań różniczkowych cząstkowych. Myślę, że taka próba przedstawienia mechaniki kwantowej w odwróconej kolejności jest ciekawa nawet i dla fizyka – z różnych względów, które będą się stawać jasne w miarę studiowania materiału wykładów. Uważam jednak, że w części dotyczącej mechaniki kwantowej eksperyment nie był w pełni udany – głównie dlatego, że pod koniec wykładów nie miałem już właściwie dość czasu (na przykład powinienem był mieć jeszcze trzy czy cztery wykłady, aby móc dokładniej omówić takie zagadnienie, jak pasma energetyczne czy zależności przestrzenne amplitud). Poza tym nigdy dotychczas nie wykładałem tego przedmiotu w ten sposób, toteż brak sprzężenia zwrotnego, o którym już mówiłem, był tu szczególnie dotkliwy. Obecnie jestem przekonany, że mechanikę kwantową należy wykładać później. Może będę jeszcze miał kiedyś okazję wszystko to powtórzyć. Wtedy zrobię to, jak należy.

Brak wykładów o metodach rozwiązywania zadań wynika stąd, że równolegle z wykładami odbywały się ćwiczenia rachunkowe. Choć na pierwszym roku poświęciłem metodom rozwiązywania zadań trzy wykłady, nie zostały one włączone do książki. Miałem też wykład o sterowaniu bezwładnym, który z pewnością mógłby się znaleźć po wykładzie o układach obracających się, ale go niestety opuszczono. Wykłady piąty i szósty wygłaszał w czasie mej nieobecności Matthew Sands, który też jest ich właściwym autorem.

Oczywiście, powstaje pytanie, w jakim stopniu nasz eksperyment się udał. Jestem w tym względzie pesymistą, choć mego poglądu nie podziela, jak się zdaje, większość tych, którzy prowadzili zajęcia ze studentami. Nie uważam, bym wiele zdziałał dla studentów. Gdy sobie przypomnę, jak większość ich rozwiązywała zadania egzaminacyjne, myślę, że cała metoda okazała się fiaskiem. Oczywiście, przyjaciele powiadają mi, że było dziesięciu czy dwudziestu studentów, którzy – zupełnie niespodziewanie – rozumieli prawie wszystko na wszystkich wykładach i którzy bardzo czynnie przerabiali materiał, zatrzymując się zafascynowani i zainteresowani, nad wieloma jego punktami. Myślę, że ci studenci mają obecnie pierwszorzędne podstawy w zakresie fizyki, a przecież ostatecznie do nich właśnie starałem się trafić. Ale z drugiej strony: „Nauczanie rzadko okazuje się prawdziwie skuteczne, z wyjątkiem tych szczęśliwych jednostek, dla których jest ono niemal zbędne.”' (Gibbons).

Mimo to nie chciałem pozostawić żadnego studenta całkiem w tyle, choć może tak się zdarzało. Myślę, że jednym ze sposobów dopomożenia studentom byłoby włożenie większej pracy w przygotowanie kompletu zadań, które naświetlałyby niektóre zagadnienia z wykładów. Zadania stwarzają dobrą okazję do uzupełnienia materiału wykładowego oraz sprawiają, że wyłożone zagadnienia stają się bardziej realne, pełniejsze i lepiej ugruntowane w umysłach.

Uważam jednak, że jedynym rozwiązaniem owego problemu przekazywania wiedzy jest uświadomienie sobie, że do tego, by nauczanie było najbardziej skuteczne, konieczny jest bezpośredni, osobisty kontakt między studentem a dobrym nauczycielem – sytuacja, w której student dyskutuje nad zagadnieniami, myśli o tych sprawach i o nich rozmawia. Nie można się dużo nauczyć przez samą tylko obecność na wykładzie, czy nawet z samego tylko odrobienia zadań. Mamy jednak dziś tak wielu studentów, że trzeba się zastanowić nad jakimś rozwiązaniem, które by zastępowało ten ideał. Być może, moje wykłady okażą się tu pewnym przyczynkiem. Może w jakiejś małej uczelni, gdzie wykładowców i studentów jest niewielu, znajdą oni w tych wykładach źródło pomysłów i idei. Może sprawi im przyjemność ich przemyślenie – a może pójdą naprzód i dalej rozwiną niektóre idee.

Richard P. Feynman

Czerwiec 1963

Słowo wstępne

Chociaż od czasu wielkiego triumfu fizyki XX wieku – narodzin mechaniki kwantowej – minęło ponad 40 lat, studenci we wstępnym kursie fizyki (a dla wielu z nich jest to w dodatku ostatni) spotkali się co najwyżej z przypadkowymi wzmiankami dotyczącymi centralnej roli, jaką mechanika kwantowa odgrywa w naszej wiedzy o fizycznym świecie. Wypada powiedzieć im coś więcej na ten temat. Podjęliśmy zatem próbę przedstawienia studentom podstawowych idei mechaniki kwantowej w sposób, jak mam nadzieję, przystępny. Jest to pierwsza próba tego rodzaju, szczególnie na poziomie wykładów dla II roku, i traktowana była zdecydowanie jako eksperyment. Uważam, że zakończyła się sukcesem, jeżeli wziąć pod uwagę łatwość, z jaką niektórzy studenci przyswajali sobie materiał. Oczywiście, można tu jeszcze wiele poprawić i sprawy te wyłonią się w dalszej praktyce. Wykłady zawarte w niniejszej książce są próbą odtworzenia tego pierwszego eksperymentu.

W dwuletnim cyklu wykładów z fizyki, wygłoszonych od września 1961 do maja 1963 w Kalifornijskim Instytucie Technologicznym jako wstępny kurs fizyki, pojęcia i idee mechaniki kwantowej wprowadzono wszędzie tam, gdzie były one konieczne do zrozumienia opisywanych zjawisk. Dodatkowo, 12 ostatnich wykładów na drugim roku bardziej poświęcono systematycznemu omówieniu pewnych pojęć mechaniki kwantowej. W miarę jak wykłady dobiegały końca, stało się jasne, że na mechanikę kwantową poświęcono jednak zbyt mało czasu. W trakcie przygotowywania materiału wykładowego okazywało się ciągle, że wypracowane metody rozumowania mogą być zastosowane do innych ważnych i interesujących zagadnień. Można się było także obawiać, że zbyt skrótowe potraktowanie funkcji falowej Schrödingera, zawarte w wykładzie dwunastym, nie wystarczy, by studenci mogli czytać standardowe podręczniki zawierające bardziej klasyczne podejście do tego zagadnienia. Zdecydowano zatem poszerzyć ten cykl o siedem dodatkowych wykładów. Wygłoszone one zostały dla studentów II roku w maju 1964 r. Wykłady te „wygładzały” i rozszerzały nieco materiał przedstawiony wcześniej.

W niniejszym tomie zebrane są wykłady z obu lat, z pewnymi zmianami kolejności. Ponadto dwa wykłady wygłoszone pierwotnie dla studentów I roku jako wprowadzenie do mechaniki kwantowej, zostały w całości przeniesione z tomu I (gdzie stanowią one rozdziały 37 i 38) i umieszczone tutaj jako dwa pierwsze rozdziały, a to w tym celu, aby tom ten stanowił całość stosunkowo niezależną od dwóch poprzednich tomów.

Kilka idei dotyczących kwantyzacji momentu pędu (łącznie z dyskusją eksperymentu Sterna–Gerlacha) zostało wprowadzonych w rozdziałach 34 i 35 tomu II i zakłada się ich znajomość; dla wygody czytelników, którzy nie będą mieli tego tomu pod ręką, dwa wymienione rozdziały umieszczone zostały tu w uzupełnieniu[5]. Niniejszy zbiór wykładów próbuje wyjaśnić od podstaw te cechy mechaniki kwantowej, które są najbardziej zasadnicze i najbardziej ogólne. Pierwsze wykłady wprowadzają od razu pojęcie amplitudy prawdopodobieństwa, interferencji amplitud, abstrakcyjne pojęcie stanu oraz superpozycji i rozkładu stanów; notacja Diraca używana jest od samego początku. Nowe pojęcia wprowadzane są zawsze wraz z wnikliwą dyskusją pewnych przypadków szczególnych, aby w miarę możności ukazać ich związek z fizyczną rzeczywistością. Następnie przychodzi kolej na zależność stanów od czasu, w tym stanów o określonej energii. Pojęcia te są natychmiast zastosowane do analizy układów o dwóch stanach. Przy okazji szczegółowych rozważań dotyczących masera amoniakalnego omówiona jest absorpcja promieniowania i przejścia wymuszone. W kolejnych wykładach rozważane są bardziej złożone układy co prowadzi następnie do dyskusji propagacji elektronów w krysztale i w miarę kompletnego omówienia mechaniki kwantowej momentu pędu. Nasz wstęp do mechaniki kwantowej kończy się w rozdziale 20 dyskusją funkcji falowej Schrödingera, równania różniczkowego, które ona spełnia i rozwiązania tego równania dla przypadku atomu wodoru.

Ostatni rozdział tego tomu nie jest pomyślany jako część „kursu”. Jest to jak gdyby „seminarium” na temat nadprzewodnictwa i ma ono ten sam charakter co niektóre dygresyjne rozdziały z pierwszych dwóch tomów. Zamiarem ich było umożliwienie studentom szerszego spojrzenia na związki między tym, czego się uczyli, a ogólnym problemem fizycznej interpretacji rzeczywistości. „Epilog” Feynmana stanowi zamknięcie tego trzytomowego cyklu wykładów.

Jak wyjaśniono w przedmowie do tomu I, wykłady te były tylko jednym z aspektów programu realizowanego w Kalifornijskim Instytucie Technologicznym pod nadzorem Komitetu do Spraw Nowego Programu Fizyki (Robert Leighton, Victor Neher i Matthew Sands). Program ten miał na celu opracowanie nowego kursu wstępnego. Program korzystał z subwencji Fundacji Forda. W opracowaniu tego tomu od strony technicznej wzięli udział: Merylou Clayton, Julie Curcio, James Hartle, Tom Harvey, Martin Israel, Patricia Preuss, Fanny Warren i Barbara Zimmerman. Profesor Gerry Neugebauer i Charles Wilts przyczynili się w znacznym stopniu do dokładności i jasności materiału, przeglądając starannie dużą część rękopisów.

Sposób przedstawienia mechaniki kwantowej, z jakim się tu zetkniecie, jest jednak dziełem Richarda Feynmana. Wysiłek, jaki włożyliśmy w przygotowanie tej książki, nie będzie stracony, jeżeli zdołamy przekazać wam choć część tych przeżyć intelektualnych, których doświadczyliśmy słuchając jego wykładów.

Matthew Sands

W grudniu 1964 r.

Od wydawnictwa
(do wydań z lat 1968, 2001, 2007)

Książka, którą oddajemy do rąk polskiemu czytelnikowi, jest z pewnością najbardziej niezwykłym podręcznikiem fizyki, jaki został kiedykolwiek napisany. Inaczej być nie mogło, jeśli głównym autorem książki jest indywidualność tak niezwykła, jak profesor Richard P. Feynman – fizyk-teoretyk, współodkrywca elektrodynamiki kwantowej, laureat nagrody Nobla, jeden z kilku najznakomitszych fizyków świata współczesnego.

Gdy na początku lat sześćdziesiątych rozeszła się wśród fizyków wiadomość o tym, że profesor Feynman podjął się wykładu elementarnej fizyki dla studentów Kalifornijskiego Instytutu Technologicznego (Caltech), zabrzmiało to jak sensacja. Ukształtowany w ostatnich dziesięcioleciach styl pracy fizyków sprawia, że wykłady fizyki elementarnej nigdy niemal nie są prowadzone przez profesorów o wielkiej, międzynarodowej sławie, którzy wolą swój czas przeznaczać na wykłady i seminaria bardziej zaawansowane. (Jednym z nielicznych wyjątków są tu piękne wykłady fizyki ogólnej innego wielkiego teoretyka, zmarłego niedawno profesora Lwa Landaua, prowadzone w Uniwersytecie Moskiewskim; niestety, tylko niewielka część tych wykładów ukazała się drukiem.) W dodatku, wykładu podjął się nie tylko wielki fizyk, ale i świetny wykładowca, którego referaty na konferencjach naukowych ściągają tłumy słuchaczy, pragnących usłyszeć, powie Feynman, ale również ciekawych, on to powie.

Znakomity polski fizyk, profesor Leopold Infeld, zwykł był mawiać, że istnieją dwa rodzaje wykładowców. Są tacy, kiepscy, którzy wykładając, zdają się mówić do słuchaczy: „Patrzcie, jaki ja jestem mądry!” I są inni, którzy mówią: „Patrzcie, jakie to proste!” Feynman ma właśnie ów rzadki dar przedstawiania trudnych zagadnień w prosty sposób, jak czasem żartobliwie powiadają fizycy, „na palcach”. Robi to przy tym z pasją, w sposób żarliwy, wkładając w wykład cały swój ogromny temperament.

Niezwykłość wykładów Feynmana polega nie tylko na nietradycyjnym doborze materiału i niekonwencjonalnym porządku jego wyłożenia. Polega ona głównie na tym, że ukazuje on fizykę niejako in statu nascendi, że wciąga czytelnika w wielki sensacyjny dramat naszych czasów – odkrywanie coraz to głębszych prawidłowości, rządzących przyrodą. Na kartach książki Feynmana fizyka przestaje być zbiorem prawd o bloczkach, dźwigniach i pryzmatach, a staje się tym, czym jest w rzeczywistości: fascynującą opowieścią o pięknie praw przyrody.

Książka ta jest przeznaczona dla tych wszystkich, którzy lubią fizykę albo chcą ją polubić. Studentowi Politechniki czy też Uniwersytetu pozwoli ona spojrzeć z nowego punktu widzenia na materiał wykładany w kursie fizyki ogólnej. Wykładowcę wyższej uczelni skłoni do zastanowienia się nad jego własnym wykładem, do szukania form uczynienia go bardziej nowoczesnym i atrakcyjnym. Nauczycielowi fizyki w szkole średniej dostarczy bodźca do rozwijania w jego uczniach zamiłowania do fizyki. Inżynierowi, który kiedyś, w czasie studiów lubił fizykę, pozwoli się przekonać, jak trafnie ulokował swoje sympatie.

Układ programu studiów w uczelniach amerykańskich sprawił, że w swych wykładach musiał Feynman zamieścić wstawki matematyczne, wprowadzając w nich potrzebny mu aparat pojęciowy z zakresu matematyki. W ten sposób wprowadzony zostaje rachunek różniczkowy, całkowy, rachunek wektorowy, liczby zespolone itp. – zagadnienia pozostające tradycyjnie poza schematem wykładu fizyki. Wstawki te zostały w polskim przekładzie utrzymane z dwóch względów. Po pierwsze, ich usunięcie naruszyłoby jednolitość wykładu, co musiałoby się odbić niekorzystnie na jego jakości. Po drugie, jest rzeczą ze wszech miar pouczającą przyjrzeć się, w jaki sposób wielki fizyk wprowadza pojęcia matematyczne dla potrzeb fizyki. I jeśli nawet komuś znającemu analizę matematyczną niektóre sformułowania wydadzą się mało precyzyjne, warto pamiętać, że ten brak precyzji jest świadomy i że jest to cena, którą trzeba czasem płacić, jeśli się chce pomocniczy, w końcu, aparat matematyczny wprowadzić w bardzo krótkim czasie.

Nie wszystkie propozycje programowe Feynmana wytrzymają próbę praktyki. Sam autor przyznaje, że gdyby miał swój wykład powtarzać, zrobiłby to już inaczej. Jednakże w wielkiej, światowej dyskusji nad reformą nauczania fizyki padł głos znakomitego uczonego. Dobrze się staje, że głos ten dociera do polskiego czytelnika.

Od wydawnictwa do Nowego wydania milenijnego

Podobnie jak nowy wydawca oryginalnej książki oddajemy do rąk Czytelników Feynmana wykłady z fizyki w zmienionej szacie graficznej, z tekstem i wzorami zapisanymi za pomocą elektronicznego systemu składu LATEX i rysunkami wykonanymi ponownie przy użyciu nowoczesnego oprogramowania graficznego.

W nowej edycji wprowadziliśmy poprawki z erraty wersji oryginalnej z lat 2011–2013 i ostatnie z marca 2014 roku. Znaczna część błędów wykazanych w erracie na stronie www.feynmanlectures.info została zauważona przez naszych znakomitych tłumaczy, a wynikające z nich poprawki wprowadzono do poprzednich wydań polskich z lat 2001–2007.

Za wydawcą oryginału poszerzyliśmy również skorowidz, dzieląc go na skorowidz nazwisk oraz skorowidz rzeczowy i podając w poszczególnych tomach odniesienia do wszystkich trzech tomów – co znacznie ułatwia korzystanie z tekstu i poruszanie się po całości wykładów. Poprzednim polskim edycjom Feynmana wykładów z fizyki towarzyszyły zadania. Obecnie, idąc za przykładem wydawcy oryginału, przygotowujemy wydanie osobnego zbioru zadań, znacznie rozszerzonego szczególnie w części dotyczącej zagadnień poruszanych w tomie pierwszym. Nad udoskonaloną wersją elektroniczną, wzbogaconą o nagrania i czarno-białe fotografie oryginalnych wykładów Feynmana oraz o linki do innych źródeł, o której wydawca oryginału pisze w Przedmowie do Nowego wydania milenijnego, wciąż jeszcze trwają prace i nie została ona udostępniona Czytelnikom.

Oprócz wspomnianego wyżej Zbioru zadań, jako uzupełnienie całego cyklu w polskiej edycji zostaną w tej samej szacie graficznej opublikowane: Feynman radzi. Feynmana wykłady z fizyki – wydanie 2, zawierające cztery wykłady, które Richard Feynman prowadził dla studentów, a których nie włączył do swojego sławnego podręcznika, zadania z rozwiązaniami oraz wywiady z Richardem Feynmanem, Robertem Leightonem i Rochusem Vogtem – a także Rozwiązania zadań. Pracujemy również nad wydaniem cyklu w wersji elektronicznej na urządzenia mobilne.

Warszawa, kwiecień 2014 r.

3. Amplitudy prawdopodobieństwa

3.1. Prawa składania amplitud

Schrödinger, odkrywając po raz pierwszy właściwe prawa mechaniki kwantowej, podał równanie określające amplitudę prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w różnych miejscach przestrzeni. Równanie to było bardzo podobne do równań znanych już fizykom klasycznym, którzy posługiwali się nim do opisu ruchu powietrza w fali akustycznej, rozchodzenia się światła itp. Stąd też w początkach rozwoju mechaniki kwantowej fizycy poświęcali większość czasu na rozwiązywanie tego równania. Równocześnie jednak upowszechniało się i pogłębiało, szczególnie dzięki pracom Borna i Diraca, zrozumienie zasadniczo nowych idei fizyki, kryjących się w mechanice kwantowej. Dalszy rozwój mechaniki kwantowej wykazał istnienie wielu problemów, bezpośrednio nieobjętych przez równanie Schrödingera – takich jak spin elektronu i różne zjawiska relatywistyczne. Tradycyjnie, wszystkie wykłady mechaniki kwantowej zaczynano w ten sam sposób: od powtórzenia historycznej drogi rozwoju przedmiotu. Słuchacz studiował najpierw obszernie mechanikę klasyczną, tak aby móc zrozumieć metody rozwiązywania równania Schrödingera. Następnie spędzał wiele czasu, rozwiązując to równanie dla różnych przypadków i dopiero wtedy zapoznawał się z tak „zaawansowanym” pojęciem jak spin elektronu.

Początkowo my również uważaliśmy, że właściwym sposobem podsumowania tych wykładów będzie zademonstrowanie metod rozwiązywania równań fizyki klasycznej dla różnych skomplikowanych przypadków, takich jak opis fal akustycznych w zamkniętych obszarach, typy promieniowania elektromagnetycznego we wnękach cylindrycznych itp. Tak przedstawiał się pierwotny plan wykładów, od którego zdecydowaliśmy się jednak odstąpić, dając w zamian wstęp do mechaniki kwantowej. Doszliśmy bowiem do wniosku, że działy uważane zazwyczaj za zaawansowane, są w rzeczywistości bardzo proste. Wymagane wiadomości z matematyki są niewielkie, ograniczają się do nieskomplikowanych operacji algebraicznych i nie zawierają żadnych, bądź zawierają tylko bardzo proste równania różniczkowe. Jedyny problem polega na tym, że musimy stanąć od razu wobec faktu niemożności szczegółowego opisu zachowania się cząstek w przestrzeni. To, co zamierzamy zrobić, będzie więc próbą przedstawienia działów mechaniki kwantowej, nazywanych tradycyjnie „zaawansowanymi”. W istocie jednak, zapewniamy was, są one działami najprostszymi – w pewnym znaczeniu tego słowa – jak również działami najbardziej podstawowymi. Szczerze mówiąc, jest to eksperyment dydaktyczny; o ile nam wiadomo, przedmiot ten nigdy nie był wykładany w podobny sposób.

Powstaje tu oczywiście trudność, wynikająca z osobliwości kwantowomechanicznego zachowania się obiektów fizycznych. Żadne codzienne doświadczenie nie może dać choćby przybliżonego, intuicyjnego pojęcia o przebiegu zjawisk. Istnieją więc dwa sposoby przedstawienia przedmiotu: moglibyśmy bądź z grubsza opisywać od strony fizycznej to, co następuje, przedstawiając mniej więcej przebieg zjawisk bez podawania ścisłych praw, bądź też, z drugiej strony, moglibyśmy podać ścisłe prawa w ich abstrakcyjnej postaci. Wtedy jednak, z powodu ich abstrakcyjności, nie wiedzielibyście, o co w nich chodzi od strony fizycznej. Zatem druga metoda jest niezadowalająca jako całkowicie abstrakcyjna, natomiast pierwsza – pozostawia uczucie niepewności, ponieważ nie wie się dokładnie, co jest prawdziwe, a co fałszywe. Nie wiemy dobrze, jak pokonać tę trudność. Możecie zauważyć, że problem ten wystąpił już w rozdz. 37 i 38, t. I, cz. 2. Pierwszy z tych rozdziałów był stosunkowo ścisły, drugi zaś zawierał ogólną charakterystykę różnych zjawisk. Obecnie spróbujemy znaleźć złoty środek między tymi skrajnościami.

Rozdział niniejszy zaczniemy od przedstawienia niektórych ogólnych idei mechaniki kwantowej, przy czym niektóre z podanych niżej twierdzeń będą całkowicie ścisłe, podczas gdy inne – tylko częściowo. Trudno wam będzie wyjaśniać na bieżąco, które jest które, ale nim przeczytacie książkę do końca, sami zrozumiecie, które z tych twierdzeń pozostają w mocy, a które wyjaśniane były jedynie z grubsza. Następne rozdziały nie będą już zawierać podobnych niejasności. Jednym z powodów, dla których szczególnie staraliśmy się o zachowanie ścisłości w następnych rozdziałach, było dążenie do pokazania wam jednej z najpiękniejszych cech mechaniki kwantowej – jak wiele można wywnioskować z tak niewielu założeń.

Rys. 3.1. Eksperyment interferencyjny z elektronami

Rozpoczniemy od ponownego omówienia superpozycji amplitud prawdopodobieństwa. Dla przykładu odwołamy się do doświadczenia opisanego w rozdz. 37, t. I, cz. 2, pokazanego tu ponownie na rys. 3.1.  jest źródłem cząstek, powiedzmy elektronów, dalej mamy przesłonę z dwiema szczelinami, a za nią w punkcie umieszczony jest detektor. Interesować nas będzie prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w . Nasza pierwsza ogólna zasada mechaniki kwantowej mówi, że prawdopodobieństwo przybycia cząstki do punktu , jeżeli wyszła ona ze źródła , może być ilościowo reprezentowane przez kwadrat modułu pewnej liczby zespolonej, zwanej amplitudą prawdopodobieństwa – w tym wypadku „amplitudą prawdopodobieństwa, że cząstka z  przybędzie do ”. Podobnych amplitud będziemy używać bardzo często i dlatego zastosujemy skrótową notację wprowadzoną przez Diraca i powszechnie przyjętą w mechanice kwantowej. Amplitudę prawdopodobieństwa zapisujemy w następujący sposób:

cząstka przybywa do xcząstka opuszcza s

(3.1)

Innymi słowy, dwa nawiasy równoważne są zwrotowi „amplituda prawdopodobieństwa, że”; wyrażenie po prawej stronie kreski pionowej podaje zawsze stan początkowy, a wyrażenie po lewej – stan końcowy. Czasami wygodniej będzie przyjąć jeszcze bardziej skróconą notację i oznaczać stany początkowy i końcowy pojedynczymi symbolami. Amplitudę (3.1) możemy wtedy zapisać jako:

(3.2)

Chcemy podkreślić, że taka amplituda jest oczywiście po prostu liczbą zespoloną.

Widzieliśmy już w rozdz. 37, t. 1, cz. 2, że jeżeli cząstka może osiągnąć detektor dwiema drogami, całkowite prawdopodobieństwo nie jest sumą dwóch odpowiednich prawdopodobieństw, ale musi być zapisane jako kwadrat modułu sumy dwóch amplitud. Stwierdziliśmy poprzednio, że prawdopodobieństwo, iż elektron przybędzie do detektora, kiedy obie drogi są otwarte, wynosi

(3.3)

Chcielibyśmy teraz zapisać ten wynik, posługując się naszą nową notacją. Przedtem jednak podamy naszą drugą ogólną zasadę mechaniki kwantowej: w przypadku kiedy cząstka może osiągnąć dany stan dwiema możliwymi drogami, całkowita amplituda prawdopodobieństwa dla tego procesu jest sumą amplitud dla procesów odpowiadających przejściu cząstki po każdej z tych dróg z osobna. W naszej nowej notacji napiszemy więc:

(3.4)

Nawiasem mówiąc, będziemy zakładać, że szczeliny 1 i 2 są dostatecznie małe na to, abyśmy mówiąc o przejściu elektronu przez szczelinę nie potrzebowali się zastanawiać, przez którą jej część on przechodzi. Moglibyśmy oczywiście podzielić każdą szczelinę na części i rozważać amplitudy przejścia elektronu przez górną lub dolną część szczeliny itd. Przyjmiemy jednak, że szczelina jest wystarczająco mała, abyśmy nie musieli kłopotać się takimi szczegółami. Tu, między innymi, tkwi wspomniana nieprecyzyjność naszego opisu; zagadnienie można bardziej uściślić, ale nie chcemy tego robić na tym etapie.

Chcemy się teraz zastanowić bardziej szczegółowo nad tym, co możemy powiedzieć o amplitudzie procesu, w którym elektron dobiega do detektora znajdującego się w punkcie przez szczelinę 1. Posłużymy się przy tym naszą trzecią ogólną zasadą: w przypadku gdy cząstka porusza się po określonej drodze, odpowiednia amplituda prawdopodobieństwa może być zapisana jako iloczyn amplitudy przebycia części drogi i amplitudy przejścia pozostałej drogi. Dla układu pokazanego na rys. 3.1 amplituda przejścia z punktu do przez szczelinę 1 równa jest amplitudzie przejścia z punktu do 1, pomnożonej przez amplitudę przejścia z punktu 1 do :

(3.5)

I znów wynik ten nie jest całkiem ścisły. Powinniśmy dołączyć tu również czynnik odpowiadający amplitudzie prawdopodobieństwa, że elektron przejdzie przez szczelinę 1; w omawianym przypadku jest to jednak prosta szczelina i przyjmiemy, że czynnik ten jest równy jedności.

Możecie zauważyć, że równanie (3.5) sprawia wrażenie, jakby było napisane w odwrotnym porządku. Należy je czytać od strony prawej do lewej; elektron porusza się z punktu do 1, a następnie z 1 do . Podsumowując, możemy powiedzieć, że jeżeli zdarzenia następują po sobie – to znaczy, jeżeli możecie przeanalizować ruch cząstki po określonej drodze, stwierdzając, że cząstka robi to, następnie tamto, a następnie jeszcze coś – wypadkową amplitudę prawdopodobieństwa dla tej drogi obliczamy, mnożąc kolejno amplitudy dla obu dróg odpowiadające następującym po sobie zdarzeniom. Posługując się tą zasadą, możemy przepisać równanie (3.4) w postaci:

Rys. 3.2. Bardziej skomplikowany eksperyment interferencyjny

Chcemy teraz pokazać, że właśnie stosując te zasady, możemy przeprowadzić obliczenia dla problemu znacznie bardziej skomplikowanego, takiego jak pokazany na rys. 3.2. Mamy tutaj dwie przesłony: jedną – z dwiema szczelinami: 1 i 2, a drugą – z trzema szczelinami: i . Poza drugą przesłoną, w punkcie , umieszczony jest detektor. Chcemy znaleźć amplitudę prawdopodobieństwa, że cząstka osiągnie ten detektor. Jednym ze sposobów znalezienia tej amplitudy jest obliczenie wyniku nakładania się, czyli interferencji fal przechodzących przez szczeliny; to samo możecie jednak uzyskać, stwierdzając, że istnieje sześć dróg, po których cząstka może dotrzeć do detektora, i składając odpowiednie amplitudy. Elektron może przejść przez szczelinę 1, następnie przez szczelinę , a stamtąd do ; może także przejść przez szczelinę 1, następnie przez szczelinę i stamtąd do itd. Zgodnie z naszą drugą zasadą, amplitudy dla różnych dróg dodają się, a więc amplitudę przejścia z punktu do : będziemy mogli zapisać jako sumę sześciu kolejnych amplitud. Z drugiej strony, zgodnie z trzecią zasadą, każda z tych oddzielnych amplitud może być zapisana jako pewien iloczyn trzech amplitud. Jedna z nich jest, na przykład, iloczynem amplitud z  do 1, z 1 do i z do . Posługując się naszą skrótową notacją, całkowitą amplitudę przejścia z  do możemy zapisać jako

Możemy zaoszczędzić sobie pisania, używając notacji sumacyjnej:

(3.6)

Do wykonania jakichkolwiek obliczeń przy użyciu wymienionych metod niezbędna jest oczywiście znajomość amplitudy odpowiadającej przejściu cząstki z jednego miejsca na inne. Podamy teraz, jak z grubsza wygląda typowa amplituda. Pominiemy przy tym takie szczegóły, jak polaryzacja światła lub spin elektronu, ale poza tym wyrażenie to będzie całkiem ścisłe. Podamy je w postaci, która umożliwi wam rozwiązywanie problemów zawierających różne kombinacje szczelin. Przypuśćmy, że cząstka o określonej energii porusza się w pustej przestrzeni z pozycji do pozycji . Innymi słowy, jest to cząstka swobodna, na którą nie działają żadne siły. Przy pominięciu współczynnika liczbowego, amplituda prawdopodobieństwa przejścia z  do wynosi[6]:

(3.7)

gdzie r , a p jest pędem związanym z energią równaniem relatywistycznym:

lub nierelatywistycznym:

energia kinetyczna

Równanie (3.7) mówi w praktyce, że cząstka ma własności falowe, propagacja amplitudy odpowiadającej cząstce zachodzi tak, jak propagacja fali o liczbie falowej równej pędowi podzielonemu przez .

W najogólniejszym przypadku amplituda i odpowiednie prawdopodobieństwo będą także zawierały czas. Większość tych wstępnych rozważań będzie prowadzona przy założeniu, że źródło zawsze emituje cząstki o danej energii, tak więc nie będziemy potrzebowali martwić się czasem. W ogólnym jednak przypadku moglibyśmy interesować się innymi problemami. Przypuśćmy, że cząstka zostaje wypuszczona w pewnym punkcie w pewnej chwili i chcielibyśmy znać amplitudę odpowiadającą przybyciu jej do jakiegoś innego miejsca, powiedzmy r, w jakiejś późniejszej chwili. Symbolicznie moglibyśmy tę amplitudę zapisać jako . Wyrażenie to będzie oczywiście zależało zarówno od r, jak i od . Otrzymacie różne wyniki, jeżeli umieścicie detektor w różnych miejscach i dokonacie pomiarów w różnych chwilach. Ta funkcja r i , ogólnie rzecz biorąc, spełnia równanie różniczkowe, które jest równaniem falowym. Tak na przykład w przypadku nierelatywistycznym jest to równanie Schrödingera. Mamy wtedy do czynienia z równaniem falowym analogicznym do równania dla fal elektromagnetycznych lub fal akustycznych w gazie. Należy jednak podkreślić, że fala reprezentowana przez funkcję falową, spełniającą to równanie, nie jest rzeczywistą falą w przestrzeni; nie można przypisywać jej żadnej realności, tak jak się to robi dla fali dźwiękowej.

Jakkolwiek myślenie terminami „fal materii” może być kuszące w przypadku jednej cząstki, to – powiedzmy – w przypadku dwóch cząstek amplituda prawdopodobieństwa znalezienia jednej z nich w r, a drugiej – w r, nie przedstawia prostej fali w przestrzeni trójwymiarowej, ale zależy od sześciu zmiennych przestrzennych i r. Mając na przykład do czynienia z dwiema cząstkami lub większą ich liczbą, będziemy potrzebowali następującej dodatkowej zasady: przy założeniu, że dwie cząstki nie oddziałują między sobą, amplituda prawdopodobieństwa, że jedna cząstka zrobi jedną rzecz, natomiast druga – inną, jest iloczynem dwóch amplitud odpowiadających zajściu tych samych procesów dla każdej cząstki z osobna. Przykładowo, jeżeli jest amplitudą przejścia cząstki 1 z  do , a jest amplitudą przejścia cząstki 2 z  do , amplituda odpowiadająca zajściu tych wydarzeń jednocześnie wynosi:

Jest jeszcze jedna rzecz, którą należy podkreślić. Przypuśćmy, że w przypadku układu pokazanego na rys. 3.2 nie wiedzielibyśmy, skąd się biorą cząstki przybywające do szczelin 1 i 2 w pierwszej przesłonie. Nadal możemy przewidywać, co się wydarzy poza przesłoną (np. jaka będzie amplituda odpowiadająca osiągnięciu przez cząstkę punktu , zakładając, że dysponujemy dwiema liczbami: amplitudą odpowiadającą przybyciu cząstki do 1 i amplitudą odpowiadającą przybyciu cząstki do 2. Innymi słowy, ponieważ amplitudy zdarzeń następujących po sobie mnożą się, jak to widać z równania (3.6), wszystko, co wam jest potrzebne do kontynuowania rozważań, to dwie liczby – w tym szczególnym przypadku i  . Te dwie liczby zespolone są wystarczające do przewidywania całej przyszłości. Na tym właśnie polega prostota mechaniki kwantowej. Jak się okaże w następnych rozdziałach, podobny problem wystąpi przy określaniu warunków początkowych przez dwie lub kilka liczb. Oczywiście, liczby te zależą od położenia źródła i – być może – od innych szczegółów układu eksperymentalnego, ale mając te dwie liczby, nie potrzebujemy znać więcej żadnych szczegółów.

3.2. Obraz interferencyjny dla układu dwóch szczelin

Chcielibyśmy teraz rozważyć problem, którym zajmowaliśmy się w pewnych szczegółach w rozdz. 37 (t. I, cz. 2). Tym razem uczynimy to, korzystając z zalet pojęcia amplitudy, ażeby pokazać wam, jak się z niego robi praktyczny użytek. Rozpatrzymy ten sam eksperyment, który pokazany był na rys. 3.1, tym razem jednak z dodatkowym źródłem światła umieszczonym poza dwiema szczelinami, jak przedstawiono na rys. 3.3. W rozdziale 37 (t. I, cz. 2) otrzymaliśmy następujący, interesujący wynik: jeżeli patrzyliśmy na to, co się dzieje za szczeliną 1, i obserwowaliśmy fotony stamtąd rozproszone, to otrzymany w punkcie rozkład elektronów w koincydencji z tymi fotonami był taki sam, jak gdyby szczelina 2 była przesłonięta. Całkowity rozkład elektronów, które były „zauważone” albo przy szczelinie 1, albo przy szczelinie 2, był sumą oddzielnych rozkładów i różnił się całkowicie od rozkładu otrzymanego w przypadku wyłączonego źródła światła. Było to prawdziwe przynajmniej wtedy, gdy używaliśmy światła o wystarczająco małej długości fali. Jeżeli długość fali była większa, tak że nie byliśmy pewni, w pobliżu której szczeliny nastąpiło rozproszenie światła, rozkład stawał się bardziej podobny do rozkładu otrzymanego w przypadku wyłączonego źródła światła.

Rys. 3.3. Eksperyment mający na celu określenie, przez którą szczelinę przechodzi elektron

Zbadajmy, jaki jest przebieg zjawisk, posługując się naszą nową notacją i stosując zasady składania amplitud. Dla uproszczenia zapisu przez oznaczymy ponownie amplitudę prawdopodobieństwa, że elektron przybędzie do punktu przez szczelinę 1, to znaczy

Podobnie, niech oznacza amplitudę odpowiadającą przybyciu elektronu do detektora przez szczelinę 2:

Są to amplitudy przejścia przez szczeliny i przybycia do w przypadku wyłączonego źródła światła. Teraz, jeżeli światło jest włączone, zadajemy sobie pytanie: jaka jest amplituda procesu, podczas którego elektron wychodzi z , a foton opuszcza źródło światła , i w wyniku którego elektron znajduje się w , a foton jest obserwowany w pobliżu szczeliny 1? Przypuśćmy, że za pomocą detektora obserwujemy fotony rozproszone w pobliżu szczeliny 1, jak to pokazuje rys. 3.3, i używamy podobnego detektora do rejestracji fotonów rozproszonych w pobliżu szczeliny 2. Przybyciu fotonu do detektora , a elektronu – do punktu odpowiadać będzie pewna amplituda; jakaś inna amplituda odpowiadać będzie także przybyciu fotonu do detektora i elektronu do punktu . Spróbujmy je obliczyć.

Chociaż nie dysponujemy poprawnymi wzorami matematycznymi dla wszystkich wyrażeń biorących udział w tych rachunkach, następujące rozważania pozwolą wam dostrzec ich myśl przewodnią. Przede wszystkim, znamy amplitudę przejścia elektronu ze źródła do szczeliny 1. Przypuśćmy następnie, że istnieje pewna amplituda, iż elektron znajdujący się w pobliżu szczeliny 1 rozproszy foton w kierunku detektora . Oznaczmy tę amplitudę przez . Wreszcie amplituda odpowiada przejściu elektronu ze szczeliny 1 do detektora elektronów umieszczonego w punkcie . Zatem amplituda odpowiadająca procesowi, w którym elektron przechodzi z punktu do przez szczelinę 1 oraz rozprasza foton do , wynosi:

W naszej poprzedniej notacji jest to po prostu .

Istnieje także pewna amplituda prawdopodobieństwa, że elektron przechodzący przez szczelinę 2 rozproszy foton w kierunku licznika . Powiecie: „To niemożliwe, w jaki sposób taki elektron może rozproszyć foton do licznika , który zwrócony jest w kierunku szczeliny 1?”. Jeżeli długość fali jest dostatecznie duża, występują efekty ugięciowe i jest to z pewnością możliwe. Jeżeli aparatura jest dobrze zaprojektowana i używamy fotonów o małej długości fali, to amplituda procesu odpowiadającego rozproszeniu fotonu do licznika przez elektrony znajdujące się w pobliżu szczeliny 2 jest bardzo mała. Aby jednak zachować ogólność rozważań, chcemy wziąć pod uwagę fakt, że pewna amplituda dla takiego procesu zawsze istnieje i oznaczymy ją przez . Zatem amplituda prawdopodobieństwa, że elektron przechodzi przez szczelinę 2 oraz rozprasza foton do licznika , wynosi:

Amplituda znalezienia elektronu w  i fotonu w  jest sumą dwóch członów, które odpowiadają dwu możliwym drogom elektronu. Każdy człon składa się z kolei z dwóch czynników: pierwszego, mówiącego, że elektron przejdzie przez szczelinę, i drugiego, mówiącego, że taki elektron rozproszy foton do licznika . Tak więc mamy:

(3.8)

Podobne wyrażenie otrzymamy w przypadku, gdy foton zarejestrowany będzie przez drugi detektor . Jeżeli założymy dla uproszczenia, że układ jest symetryczny, to będzie także amplitudą rozproszenia fotonu do , gdy elektron przechodzi przez szczelinę 2, a  – amplitudą rozproszenia fotonu do , gdy elektron przechodzi przez szczelinę 1. Całkowita amplituda odpowiadająca zaobserwowaniu fotonu w  i elektronu w  wynosi

(3.9)

I to już wszystko. Możemy teraz łatwo obliczyć prawdopodobieństwa odpowiadające różnym sytuacjom. Przypuśćmy, że chcemy wiedzieć, jakie będzie prawdopodobieństwo, że foton znajdzie się w , a elektron w . Będzie ono kwadratem modułu amplitudy danej równaniem (3.8), czyli po prostu . Przyjrzyjmy się uważniej temu wyrażeniu. Przede wszystkim, jeżeli amplituda równa jest zeru – a tak właśnie chcielibyśmy zaprojektować aparaturę – to odpowiedź wynosi po prostu pomniejszone o czynnik . To jest właśnie rozkład prawdopodobieństwa, który otrzymalibyście, gdyby istniała tylko jedna szczelina – przedstawia go rys. 3.4a. Z drugiej strony, jeżeli długość fali jest bardzo duża, rozpraszanie spoza szczeliny 2 do może być prawie takie samo, jak spoza szczeliny 1. Chociaż amplitudy i  mogą zawierać jakieś fazy, rozważymy prosty przypadek, w którym ich fazy są równe. Jeżeli jest praktycznie równe , to całkowite prawdopodobieństwo wynosi pomnożone przez , ponieważ wspólny czynnik może być wyciągnięty przed znak modułu. Jednakże jest to właśnie rozkład prawdopodobieństwa, który otrzymalibyśmy, gdyby fotonów w ogóle nie było. Zatem w przypadku, gdy długość fali jest bardzo duża – i detekcja fotonów nieskuteczna – powracamy do pierwotnej krzywej rozkładu, która wykazuje efekty interferencyjne, jak pokazano na rys. 3.4b. W przypadku gdy detekcja jest częściowo skuteczna, wystąpi interferencja, w której będzie brać udział ze znacznie większym współczynnikiem niż , i otrzymacie jakiś rozkład pośredni, jak pokazano na rys. 3.4c. Jest rzeczą oczywistą, że szukając koincydencji zliczeń fotonów w liczniku i elektronów w punkcie , otrzymacie wyniki tego samego typu. Jeżeli pamiętacie rozważania z rozdz. 37 (t. I, cz. 2) stwierdzicie, że powyższe wyniki dają jakościowy opis omówionych tam zjawisk.

Rys. 3.4. Prawdopodobieństwo zarejestrowania elektronu w w koincydencji z fotonem w w eksperymencie przedstawionym na rys. 3.3: (a) dla ; (b) dla ; (c) dla

Chcielibyśmy teraz podkreślić pewną ważną rzecz, co pozwoli wam uniknąć powszechnego błędu. Przypuśćmy, że chcecie znać tylko amplitudę przybycia elektronu do , niezależnie od tego, czy foton był zarejestrowany przez , czy przez . Czy w tym celu powinniście dodać amplitudy dane przez równania (3.8) i (3.9)? Nie! Nie powinniście nigdy dodawać amplitud dla różnych, odrębnych stanów końcowych. Jeżeli tylko foton jest zarejestrowany przez jeden z liczników, zawsze możemy ustalić, gdy tylko chcemy, która z możliwości była zrealizowana, bez wprowadzania dalszych zakłóceń do układu. Każda alternatywa charakteryzuje się jakimś prawdopodobieństwem, całkowicie niezależnym od innych. Powtórzmy: nie należy dodawać amplitud odpowiadających różnym warunkom końcowym, gdzie przez „końcowe” rozumiemy warunki w momencie, gdy potrzebne jest prawdopodobieństwo, tzn. gdy eksperyment jest zakończony. Dodawać powinniście amplitudy odpowiadające rozmaitym, nieokreślonym alternatywom podczas eksperymentu, zanim cały proces zostanie zakończony. Na końcu procesu możecie powiedzieć, że „nie interesujecie się fotonem”. To wasza sprawa, ale amplitud nadal nie należy dodawać. Natura nie wie, co was interesuje, a co nie, i jej zachowanie nie jest zależne od tego, czy zadajecie sobie trud zebrania danych, czy też nie. Tak więc w tym przypadku podnosimy do kwadratu amplitudy odpowiadające wszystkim możliwym zdarzeniom końcowym i dodajemy do siebie. Poprawny wynik dla prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w i fotonu w lub jest następujący:

(3.10)

Rys. 3.5. Pomiar rozpraszania neutronów przez kryształ

3.3. Rozpraszanie na krysztale

Naszym następnym przykładem jest zjawisko, które wymaga przeanalizowania interferencji amplitud prawdopodobieństwa bardziej szczegółowo. Rozważamy proces rozpraszania neutronów na krysztale. Przypuśćmy, że mamy kryształ zbudowany z dużej liczby periodycznie ułożonych atomów, mających w środku jądra, i padającą nań wiązkę neutronów. Jądra w krysztale możemy pooznaczać za pomocą wskaźnika , gdzie przebiega liczby całkowite , przy czym równa się całkowitej liczbie atomów. Problem polega na obliczeniu prawdopodobieństwa zarejestrowania neutronów w liczniku w układzie pokazanym na rys. 3.5. Dla każdego poszczególnego atomu amplituda przybycia neutronu do licznika równa jest amplitudzie przejścia neutronu ze źródła do jądra , pomnożonej przez amplitudę , odpowiadającą rozproszeniu neutronu, i pomnożonej przez amplitudę przejścia neutronu od do licznika . Zapiszmy to:

neutron w    neutron z

(3.11)

Pisząc to równanie, przyjęliśmy, że amplituda rozpraszania jest taka sama dla wszystkich atomów. Istnieje zatem ogromna liczba nieodróżnialnych od siebie dróg, po których neutron może dojść do licznika. Są one nieodróżnialne dlatego, że niskoenergetyczny neutron rozprasza się na jądrze, nie powodując wybicia atomu z jego miejsca w krysztale – rozpraszanie nie pozostawia po sobie żadnego „śladu”. Zgodnie z poprzednimi rozważaniami, całkowita amplituda znalezienia neutronu w jest sumą wyrażenia (3.11) po wszystkich atomach:

neutron w

(3.12)

Ponieważ podajemy amplitudy rozproszenia od atomów znajdujących się w różnych położeniach, amplitudy te mają różne fazy, co da charakterystyczny obraz interferencyjny, który już analizowaliśmy w przypadku rozpraszania światła na układzie szczelin.

Rys. 3.6. Szybkość zliczeń neutronów jako funkcja kąta: (a) dla jąder o spinie zero; (b) prawdopodobieństwo rozproszenia z przeskokiem spinu; (c) obserwowana szybkość zliczeń dla jąder o spinie

Natężenie neutronów jako funkcja kąta wykazuje często w podobnych doświadczeniach rzeczywiście bardzo silne zmiany – obserwujemy bardzo ostre maksima interferencyjne i prawie nic pomiędzy nimi – jak to pokazuje rys. 3.6a. Jednakże, dla pewnych typów kryształów sprawy mają się inaczej, mianowicie obok maksimów interferencyjnych rozważanych powyżej występuje tło rozpraszania we wszystkich kierunkach. Musimy spróbować zrozumieć pozornie tajemnicze przyczyny tego zjawiska. Otóż nie rozważaliśmy do tej pory jednej ważnej cechy neutronu. Neutron ma spin o wartości . Może zatem znajdować się w jednym z dwóch stanów: albo ze spinem „w górę”, powiedzmy prostopadle do płaszczyzny rys. 3.5, albo ze spinem „w dół”. Jeżeli jądra atomów kryształu nie mają spinu, spin neutronu nie ma żadnego wpływu na przebieg rozpraszania. Jeżeli jednak jądra atomów kryształu także mają spin, powiedzmy spin równy , zaobserwujecie opisane powyżej rozmazane tło rozpraszania. Wyjaśnienie tego jest następujące.

Jeżeli spin neutronu i spin jądra atomu są jednakowo skierowane, w procesie rozpraszania nie może zajść żadna zmiana spinu. Jeżeli neutron i jądro atomowe mają spiny skierowane przeciwnie, rozpraszanie może zajść na dwa sposoby: albo bez zmiany spinów, albo z zamianą kierunków spinów. Ta zasada niezmienności sumy spinów jest analogiczna do naszej klasycznej zasady zachowania momentu pędu. Aby zrozumieć to zjawisko, przyjmiemy najpierw, że wszystkie rozpraszające jądra mają spiny skierowane w jedną stronę. Rozpraszanie neutronu z tak samo skierowanym spinem da oczekiwany rozkład z ostrymi maksimami interferencyjnymi. A co będzie w przypadku neutronu z przeciwnie skierowanym spinem? Jeżeli rozpraszanie zajdzie bez zmiany kierunku spinu, w przebiegu zjawiska nie zajdzie żadna zmiana. Jeżeli jednak podczas rozpraszania spiny zamienią się kierunkami, moglibyśmy w zasadzie stwierdzić, które jądro rozproszyło neutron, ponieważ byłoby to jedyne jądro z odwróconym spinem. No, a jeżeli możemy powiedzieć, na którym atomie zaszło rozpraszanie, to co inne atomy mają z tym wspólnego? Oczywiście, nic. Rozpraszanie jest dokładnie takie samo, jak na pojedynczym atomie.

Aby uwzględnić ten efekt, matematyczny zapis równania (3.12) musi być zmodyfikowany, ponieważ opis atomów w przeprowadzonej tam analizie był niekompletny. Przyjmijmy na początku, że wszystkie neutrony ze źródła mają spiny skierowane do góry, a wszystkie jądra kryształu mają spiny skierowane w dół. Najpierw chcielibyśmy znaleźć amplitudę prawdopodobieństwa, że neutron zarejestrowany w liczniku ma spin skierowany do góry, a wszystkie spiny w krysztale są nadal skierowane w dół. Przypadek ten nie różni się od poprzednio rozważanego. Niech będzie amplitudą rozpraszania bez zmiany kierunku spinu. Amplituda rozpraszania na -tym atomie wynosi oczywiście:

Ponieważ spiny wszystkich atomów są nadal skierowane w dół, nie można odróżnić rozmaitych możliwości, odpowiadających odmiennym wartościom . Jest rzeczą oczywistą, że nie ma możliwości stwierdzenia, na którym atomie zaszło rozpraszanie. W procesie tym będzie zachodzić interferencja wszystkich amplitud.

Mamy jednakże inny przypadek, w którym spin zarejestrowanego neutronu skierowany jest w dół, chociaż neutron ten opuścił źródło ze spinem skierowanym w górę. Jeden ze spinów w krysztale musiał ulec zmianie i jest teraz skierowany do góry. Niech będzie to spin -tego atomu. Założymy, że amplituda rozpraszania ze zmianą kierunku spinu jest taka sama dla wszystkich atomów i wynosi (W krysztale rzeczywistym istnieje nieprzyjemna możliwość, że odwrócony spin przesunie się na jakiś inny atom, ale rozważmy przypadek kryształu, dla którego prawdopodobieństwo to jest bardzo małe). Amplituda rozpraszania wynosi wtedy

(3.13)

Prawdopodobieństwo, że spin neutronu będzie skierowany w dół, a spin -tego jądra – w górę, jest równe kwadratowi modułu tej amplitudy, co wynosi po prostu . Drugi czynnik jest prawie niezależny od położenia w krysztale, a wszystkie fazy zniknęły przy podniesieniu modułu do kwadratu. Prawdopodobieństwo rozproszenia na jakimkolwiek jądrze w krysztale ze zmianą kierunku spinu wynosi teraz

co da gładką krzywą, jak na rys. 3.6b.

Możecie na to powiedzieć: „Wszystko mi jedno, który atom ma spin w górę”. Wam, być może, jest wszystko jedno, ale naturze – nie, i prawdopodobieństwo wyraża się rzeczywiście wzorem, który podaliśmy powyżej – nie ma żadnej interferencji. Z drugiej strony, jeżeli interesuje nas prawdopodobieństwo, że spin neutronu w detektorze skierowany jest w górę, a wszystkie atomy mają nadal spiny skierowane w dół, to musimy wziąć moduł wyrażenia

Ponieważ składniki tej sumy mają określone fazy, będą zatem interferować ze sobą i otrzymamy wyraźny obraz interferencyjny. Jeżeli przeprowadzamy doświadczenie, w którym nie obserwujemy spinu zarejestrowanego neutronu, mogą zajść wydarzenia obu omawianych typów, a poszczególne prawdopodobieństwa dodają się. Całkowite prawdopodobieństwo (czyli liczba zliczeń na jednostkę czasu) jako funkcja kąta wygląda tak, jak pokazuje wykres na rys. 3.6c.

Rozważmy jeszcze raz fizyczną stronę tego doświadczenia. Jeżeli w zasadzie bylibyśmy w stanie odróżnić rozmaite możliwe stany końcowe (nawet jeżeli nie zadalibyście sobie trudu, aby to uczynić), całkowite, ostateczne prawdopodobieństwo uzyskalibyście przez obliczenie prawdopodobieństwa dla każdego stanu, a nie amplitudy, i następnie dodanie ich do siebie. Jeżeli nie możecie odróżnić stanów końcowych, nawet w zasadzie, to w celu znalezienia faktycznego prawdopodobieństwa amplitudy muszą być dodane do siebie przed podniesieniem modułu do kwadratu. Rzeczą, na którą powinniście zwrócić szczególną uwagę, jest to, że gdybyście próbowali przedstawić sobie neutron jedynie jako falę, otrzymalibyście ten sam typ rozkładu dla rozpraszania neutronów ze spinami w dół, jak i dla neutronów ze spinami w górę. Musielibyście stwierdzić, że „fala” nadeszła od wszystkich atomów i uległa interferencji zupełnie tak samo, jak fala o tej samej długości, odpowiadająca neutronowi ze spinem do góry. Wiemy jednak, że wygląda to inaczej. Jak to stwierdziliśmy poprzednio, musimy być ostrożni, aby nie przypisywać zbytniej realności tym falom. Są one użyteczne dla pewnych problemów, ale nie dla wszystkich.

3.4. Cząstki identyczne

Następny z kolei eksperyment, którym się zajmiemy, ukazuje jedną ze wspaniałych konsekwencji mechaniki kwantowej. Będziemy ponownie mieli tu do czynienia z fizyczną sytuacją, w której jakieś zdarzenie może przebiegać na dwa nierozróżnialne sposoby, tak że zachodzi interferencja amplitud – co zawsze jest prawdziwe w takich okolicznościach. Będziemy rozważać rozproszenie jądra na innym jądrze, przy stosunkowo niskiej energii. Zaczniemy od wyobrażenia sobie cząstek  (które, jak wiecie, są jądrami helu) bombardujących, powiedzmy, tlen. Dla ułatwienia sobie analizy reakcji będziemy rozważać zjawisko w układzie środka masy, w którym jądra tlenu i cząstki mają prędkości skierowane przeciwnie przed zderzeniem i znów dokładnie przeciwnie – po zderzeniu (patrz rys. 3.7a). (Wartości prędkości są oczywiście różne, ponieważ masy są różne). Założymy także, że ma miejsce zachowanie energii i że energia zderzenia jest wystarczająco mała na to, aby żadna z cząstek nie uległa rozerwaniu lub wzbudzeniu. Przyczyną, dla której obie cząstki powodują wzajemne odchylanie swoich torów, jest oczywiście to, że każda z nich ma ładunek dodatni i – mówiąc językiem klasycznym – występuje między nimi elektryczne odpychanie, gdy przebiegają obok siebie. Rozpraszanie pod różnymi kątami będzie zachodzić z różnym prawdopodobieństwem i chcielibyśmy zastanowić się nad kątową zależnością takiego rozpraszania. (Jest rzeczą oczywistą, że można obliczyć to w sposób klasyczny, i fakt, że rozwiązanie tego problemu nie różni się od wyniku otrzymanego drogą klasyczną, stanowi jeden z najbardziej godnych uwagi przypadków występujących w mechanice kwantowej. Zbieżność ta jest tym bardziej zadziwiająca, że nie zachodzi ona dla żadnej innej siły, z wyjątkiem takiej, która podlega prawu odwrotnych kwadratów – jest to więc rzeczywiście przypadek).

Rys. 3.7. Rozpraszanie cząstek na jądrach tlenu, tak jak wygląda ono w układzie środka masy

Prawdopodobieństwo rozpraszania w różnych kierunkach może zostać zmierzone za pomocą eksperymentu pokazanego na rys. 3.7a. Licznik umieszczony w pozycji 1 mógłby być przystosowany do rejestracji tylko cząstek ; licznik w pozycji 2 mógłby rejestrować tylko jądra tlenu – po prostu dla sprawdzenia. (W układzie laboratoryjnym liczniki nie byłyby umieszczone naprzeciwko siebie, ale w układzie , środka masy, tak właśnie jest). Eksperyment nasz polega na pomiarze prawdopodobieństwa rozpraszania w różnych kierunkach. Niech oznacza amplitudę rozpraszania do liczników, gdy umieszczone są one pod kątem ; wtedy będzie właśnie wyznaczonym doświadczalnie prawdopodobieństwem.

Moglibyśmy teraz ustawić inny eksperyment, w którym nasze liczniki reagowałyby zarówno na cząstki , i na jądra tlenu. Musimy się następnie zastanowić nad tym, co się będzie działo, gdy nie zadamy sobie trudu odróżniania zliczanych cząstek. Oczywiście, jeżeli mamy zarejestrować jądro tlenu pod kątem , po stronie przeciwnej pod kątem musi pojawić się cząstka , jak pokazuje to rys. 3.7b. Tak więc, jeżeli jest amplitudą rozpraszania cząstek pod kątem , jest amplitudą rozpraszania jąder tlenu pod kątem [7].
Zatem prawdopodobieństwo zarejestrowania jakiejś cząstki w detektorze umieszczonym w pozycji wynosi:

(3.14)

Przypisy

[1] Polskie wydanie niniejszego tomu nie zawiera rozdziałów 1 i 2 wydania oryginalnego, gdyż rozdziały te odpowiadają dokładnie rozdziałom 37 i 38 tomu I, cz. 2 tego podręcznika (przyp. red.). Wydanie oryginalne tomu III zawiera również (jako Dodatek) rozdziały 34 i 35 z tomu II (w polskim wydaniu tom II, cz. 2).

[2] Na temat narodzin wykładów Feynmana i tych książek – patrz Wstęp Feynmana i Słowo wstępne do każdego z tych trzech tomów, a także Wspomnienia Matthew Sandsa w Feynmana wykładach z fizyki. Feymnan radzi oraz Specjalny wstęp do pamiątkowego wydania FLP napisany przez Davida Goodsteina i Gerry'ego Neugebauera, który również pojawia się w Wydaniu ostatecznym z 2005 r.

[3] W 1975 roku Feynman zaczął sprawdzać erratę do tomu III, ale oderwany od niej przez inne zajęcia, nigdy tej pracy nie ukończył, tak więc żadne poprawki nie zostały wprowadzone.

[4] Perfectly Reasonable Deviations from the Beaten Track, The Letters of Richard P. Feynman, ed. Michelle Feynman (Basic Books, New York 2005), str. 288–289.

[5] Polskie wydanie niniejszego tomu nie zawiera tych rozdziałów. Są one zawarte w części 2 tomu II (przyp. red.).

[6] W tym tomie wielkość , w odróżnieniu od – numeru stanu, będziemy oznaczali prostą czcionką.

[7] Ogólnie rzecz biorąc, kierunek rozpraszania powinien być oczywiście opisany przez dwa kąty: kąt biegunowy i kąt azymutalny . Powiedzielibyśmy wtedy, że jądro tlenu w kierunku oznacza, że cząstka udała się w kierunku . Jednakże, dla rozpraszania kulombowskiego (jak i dla wielu innych przypadków) amplituda rozpraszania jest niezależna od . Wobec tego amplituda znalezienia tlenu pod kątem jest taka sama, jak amplituda znalezienia cząstki pod kątem .