Dane oryginału: Feynman Lectures on Gravitation. Richard P. Feynman, Fernando B. Morinigo, William G. Wagner

Copyright © 2003, 1995, by California Institute of Technology, Fernando B. Morinigo and Wiliam G. Wagner. Foreword copyright © 2003 by Taylor & Francis Group LLC

All Rights Reserved. Authorised translation from the English language edition published by CRC Press, a member of the Taylor & Francis Group LLC

Tłumacz: Małgorzata Dąbkowska-Kowalik i Witold Sikorski na zlecenie Witkom, Witold Sikorski

Projekt okładki i stron tytułowych: Weronika Szychowska

Wydawcy: Karol Zawadzki i Renata Włostowska

Koordynator ds. redakcji: Adam Kowalski

Redaktor: Izabela Mika

Produkcja: Mariola Grzywacka

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwo Naukowe PWN S.A.:
Michał Latusek

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

Copyright wydania polskiego © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2024r. (Wydanie I)

Warszawa 2024

ISBN: 978-83-01-23546-8

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321; faks 22 69 54 288; infolinia 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl, reklama@pwn.pl
www.pwn.pl

Fragment

Przedmowa

Kwantowa grawitacja

Wykład 1

1.1. Teoriopolowe podejście do grawitacji

1.2. Cechy zjawisk grawitacyjnych

1.3. Efekty kwantowe w grawitacji

1.4. O problemach filozoficznych związanych z kwantowaniem obiektów makroskopowych

1.5. Grawitacja jako konsekwencja innych pól

Wykład 2

2.1. Postulaty mechaniki statystycznej

2.2. Trudności związane z teoriami spekulatywnymi

2.3. Wymiana jednego neutrina

2.4. Wymiana dwóch neutrin

Wykład 3

3.1. Spin grawitonu

3.2. Amplitudy i polaryzacje w elektrodynamice, nasza typowa teoria pola

3.3. Amplitudy wymiany grawitonu

3.4. Interpretacja fizyczna członów na podstawie amplitud

3.5. Lagranżjan pola grawitacyjnego

3.6. Równania pola grawitacyjnego

3.7. Definicja symboli

Wykład 4

4.1. Związek między rzędem tensora a znakiem pola

4.2. Tensor energii-pędu dla materii skalarnej

4.3. Amplitudy rozproszenia (teoria skalarna)

4.4. Szczegółowe właściwości fal płaskich. Efekt Comptona

4.5. Nieliniowe diagramy dla grawitonów

4.6. Klasyczne równania ruchu cząstki grawitacyjnej

4.7. Ruch orbitalny cząstki wokół gwiazdy

Wykład 5

5.1. Orbity planetarne i precesja Merkurego

5.2. Dylatacja czasu w polu grawitacyjnym

5.3. Kosmologiczne efekty dylatacji czasu. Zasada Macha

5.4. Zasada Macha w mechanice kwantowej

5.5. Energia własna pola grawitacyjnego

Wykład 6

6.1. Dwuliniowe człony tensora energii-pędu

6.2. Sformułowanie teorii poprawnej dla wszystkich rzędów

6.3. Konstrukcja niezmienników względem przekształceń nieskończonych

6.4. Lagranżjan teorii poprawnej do wszystkich rzędów

6.5. Równanie Einsteina dla tensora energii-pędu

Wykład 7

7.1. Zasada równoważności

7.2. Niektóre konsekwencje zasady równoważności

7.3. Maksymalne prędkości zegara w polach grawitacyjnych

7.4. Czas właściwy w ogólnych współrzędnych

7.5. Interpretacja geometryczna tensora metrycznego

7.6. Krzywizny w dwóch i czterech wymiarach

7.7. Liczba wielkości niezmienniczych przy przekształceniach ogólnych

Wykład 8

8.1. Przekształcenia składników tensora we współrzędnych nieortogonalnych

8.2. Równania do wyznaczania niezmienników gµv

8.3. O założeniu, że przestrzeń jest rzeczywiście płaska

8.4. O związkach między różnymi podejściami do teorii grawitacji

8.5. Krzywizny z perspektywy przestrzeni stycznych

8.6. Krzywizny odniesione do dowolnych współrzędnych

8.7. Własności tensora krzywizny

Wykład 9

9.1. Modyfikacje elektrodynamiki wymagane przez zasadę równoważności

9.2. Kowariantne pochodne tensorów

9.3. Przesunięcie równoległe wektora

9.4. Związek między krzywiznami a materią

Wykład 10

10.1. Równania pola grawitacyjnego

10.2. Działanie dla cząstek klasycznych w polu grawitacyjnym

10.3. Działanie dla pól materii w polu grawitacyjnym

Wykład 11

11.1. Krzywizna w pobliżu gwiazdy sferycznej

11.2. O powiązaniu materii z krzywiznami

11.3. Metryka Schwarzschilda, pole na zewnątrz gwiazdy sferycznej

11.4. Osobliwość Schwarzschilda

11.5. Spekulacje na temat koncepcji tunelu czasoprzestrzennego

11.6. Problemy teoretycznych badań tuneli czasoprzestrzennych

Wykład 12

12.1. Problemy kosmologii

12.2. Założenia prowadzące do modeli kosmologicznych

12.3. Interpretacja metryki kosmologicznej

12.4. Pomiar odległości kosmologicznych

12.5. Cechy charakterystyczne ograniczonego lub otwartego Wszechświata

Wykład 13

13.1. O roli gęstości Wszechświata w kosmologii

13.2. O możliwości istnienia niejednolitego i niesferycznego Wszechświata

13.3. Znikające galaktyki i zachowanie energii

13.4. Zasada Macha i warunki brzegowe

13.5. Tajemnice w niebiosach

Wykład 14

14.1. Problem supergwiazd w ogólnej teorii względności

14.2. Znaczenie rozwiązań i ich parametrów

14.3. Pewne wyniki liczbowe

14.4. Projekty i hipotezy związane z przyszłymi badaniami supergwiazd

Wykład 15

15.1. Fizyczna topologia rozwiązań Schwarzschilda

15.2. Orbity cząstek w polu Schwarzschilda

15.3. O przyszłości geometrodynamiki

Wykład 16

16.1. Sprzężenie między polami materii a grawitacją

16.2. Uzupełnienie teorii: prosty przykład promieniowania grawitacyjnego

16.3. Promieniowanie grawitonu w trakcie rozpadu cząstki

16.4. Promieniowanie grawitonu w trakcie zderzeń cząstek

16.5. Źródła klasycznych fal grawitacyjnych

Bibliografia

Przypisy

Pozostałe rozdziały dostępne w pełnej wersji e-booka.

Przedmowa

JOHN PRESKILL I KIP S. THORNE

W roku akademickim 1962/1963 Richard Feynman prowadził w Caltech kurs na temat grawitacji. Przyjmując nietradycyjne podejście do tego tematu, Feynman kierował kurs do zaawansowanych absolwentów i stypendystów po doktoracie, którzy znali metody relatywistycznej kwantowej teorii pola – w szczególności perturbacyjną elektrodynamikę kwantową z użyciem diagramów Feynmana. Dwóch habilitantów, Fernando B. Morinigo i William G. Wagner, sporządziło notatki z kursu. Były one pisane na maszynie, a ich kopie były sprzedawane w księgarni Caltech przez wiele lat.

Notatki nie zostały opublikowane, ale były szeroko rozpowszechniane, a ze względu na ich wyjątkowy wgląd w podstawy fizyki miały znaczący wpływ na wiele osób, które je czytały. Morinigo i Wagner wyświadczyli wielką przysługę, tak dobrze zachowując ten fragment spuścizny Feynmana. Teraz, dzięki wysiłkom Briana Hatfielda, wykłady te są wreszcie publikowane w tym tomie, a więc stają się łatwo dostępne dla szerszej publiczności i dla potomnych. Przygotowując notatki do publikacji, Hatfield poprawił zarówno drobne błędy, jak i zapis, ale poza tym trzymał się oryginalnego maszynopisu przygotowanego przez Morinigo i Wagnera. (Tylko dwa krótkie fragmenty zostały całkowicie usunięte[1]).

Feynman wygłosił w sumie 27 wykładów, po jednym w każdym tygodniu przez cały rok akademicki 1962/1963. Zajęcia odbywały się w maleńkiej sali z zaledwie dwoma rzędami miejsc, na trzecim piętrze East Bridge Laboratory w Caltechu, a w typowym wykładzie uczestniczyło nie więcej niż 15 osób. (Przynajmniej dwóch studentów, James Bardeen i James Hartle, wniosło później znaczący wkład w rozwój teorii grawitacji). Wykłady były nagrywane, ale ponieważ miały charakter wysoce nieformalny, Morinigo i Wagner uznali za konieczne znaczne zrewidowanie materiału w celu stworzenia czytelnego zestawu notatek. W większości Wagner pracował nad prezentacją matematyczną, a Morinigo nad tekstem. Powstałe w ten sposób notatki były następnie przeglądane przez Feynmana, który dokonał różnych poprawek i uzupełnień, a potem zostały rozdane studentom. Notatki te są przesiąknięte duchem Feynmana i okraszone jego żartami, ale nieuchronnie jego specyficzne użycie języka zostało zachowane tylko częściowo.

Książka zawiera tylko 16 wykładów, które odpowiadają w przybliżeniu pierwszym 16 z 27 wygłoszonych przez Feynmana. Morinigo i Wagner przygotowali notatki ze wszystkich 27 wykładów, ale do końca roku akademickiego Feynman przejrzał i poprawił tylko 11 pierwszych. Najwyraźniej potem rozproszyły go inne projekty i nigdy nie wrócił do redagowania notatek. Tak więc tylko notatki z pierwszych 11 wykładów zostały rozpowszechnione wśród studentów w latach 1962–1963 i były kopiowane w celu sprzedaży w księgarni Caltech w kolejnych latach.

W lipcu 1971 roku przygotowano nowe kopie notatek do dystrybucji w księgarni, a Feynman zezwolił na dołączenie kolejnych 5 wykładów. Nowe wykłady zostały poprzedzone zastrzeżeniem:

Szerokie zainteresowanie tymi wykładami o grawitacji doprowadziło do powstania trzeciej edycji. Podczas przygotowywania tego wydania profesor Feynman uprzejmie zezwolił na włączenie kolejnych pięciu wykładów. Wykłady te miały towarzyszyć poprzednim jedenastu wykładom w notatkach z lat 1962–1963, ale nigdy nie zostały na tyle zadowalająco (sic!) zredagowane i poprawione, by profesor Feynman uznał, że powinny zostać włączone.

Wykłady te zachowują swoją surową formę: z wyjątkiem drobnych błędów poprawionych w transkrypcji pozostają takie same jak osiem lat temu – profesor Feynman nie sprawdził ich. Mamy nadzieję, że czytelnik będzie miał to na uwadze i potraktuje przedstawione wykłady jako relację z tego, co profesor Feynman myślał w tamtym czasie, a nie jako autorytatywne przedstawienie jego dorobku naukowego.

Wydaje się rzeczywiście prawdą, że Feynman nie sprawdził szczegółowo nowych wykładów. Na przykład wykład 14. zawiera błędne stwierdzenia (omówione poniżej), które z pewnością rozpoznałby jako niepoprawne w 1971 roku (lub nawet w ciągu kilku tygodni po wygłoszeniu wykładu), gdyby je sprawdził. Tak więc zachęcamy czytelników, aby pamiętali o powyższym zastrzeżeniu podczas lektury wykładów 12–16.

Ponieważ Feynman nigdy nie autoryzował notatek Morinigo–Wagnera dotyczących ostatnich 11 wykładów, zostały one pominięte w tym tomie. Te późniejsze wykłady dotyczyły głównie poprawek radiacyjnych w grawitacji kwantowej i teorii Yanga–Millsa. Zakładamy, że Feynman nie chciał ich rozpowszechniać, ponieważ był niezadowolony z ich treści.

Znamienne jest, że równolegle z tym kursem o grawitacji Feynman tworzył i prowadził nowatorski kurs fizyki drugiego roku, który został uwieczniony w drugim i trzecim tomie Wykładów Feynmana z fizyki [Feyn 63a]. W każdy poniedziałek Feynman wygłaszał rano swój wykład dla drugiego roku, a po lunchu wykład o grawitacji. W dalszej części tygodnia odbywał się drugi wykład dla studentów oraz wykład dla naukowców w Hughes Research Laboratories w Malibu. Feynman nie tylko prowadził wykłady i własne badania, był również członkiem zespołu recenzującego podręczniki dla Kalifornijskiej Rady Edukacji (California State Board of Education), co samo w sobie było wyczerpującym zadaniem, o czym barwnie opowiada w książce Surely You’re Joking, Mr. Feynman[2] [Feyn 85]. Steven Frautschi, który uczestniczył w wykładach o grawitacji jako młody asystent profesora w Caltech, pamięta, jak Feynman powiedział później, że był „całkiem wyczerpany” pod koniec roku akademickiego 1962/1963.

Kurs Feynmana nigdy nie miał być kompletnym wprowadzeniem do ogólnej teorii względności, a niektóre z wykładów są już mocne przestarzałe. Duża część materiału z wykładów 7–12 jest omówiona bardziej systematycznie i szczegółowo w innych książkach. Dlaczego więc wykłady te powinny zostać teraz opublikowane? Istnieją co najmniej trzy dobre powody. Po pierwsze, nigdzie indziej nie ma porównywalnego pedagogicznego ujęcia niezwykłego podejścia do podstaw ogólnej teorii względności, którego pionierem był Feynman (między innymi). Podejście to, przedstawione w wykładach 3–6, rozwija teorię bezmasowego pola o spinie 2 (grawitonu) sprzężonego z tensorem energii-pędu materii i pokazuje, że próba uczynienia tej teorii spójną ze sobą samą prowadzi nieuchronnie do ogólnej teorii względności Einsteina. (To właśnie z tego powodu notatki stały się najbardziej znane w środowisku fizyków). Po drugie, notatki zawierają szereg fascynujących dygresji i figur retorycznych na temat podstaw fizyki i innych zagadnień, co sprawia, że są pouczającą i ciekawą lekturą. Po trzecie, notatki mają wartość historyczną. W czasie, gdy Feynman prowadził ten kurs, miał już za sobą kilka lat intensywnych rozmyślań na temat fundamentalnych problemów związanych z grawitacją, warto więc mieć zapis jego spostrzeżeń i poglądów z tego okresu. Niektóre z jego opinii wydają się nam trafne 32 lata później, natomiast inne wydają się naiwne lub błędne. W niektórych przypadkach jego poglądy szybko ewoluowały w trakcie prowadzenia kursu. Szczególnie dotyczy to materiału z wykładu 14. o gwiazdach relatywistycznych, o którym powiemy więcej poniżej.

Choć wykłady te mają szczególną wartość ze względu na to, czego uczą nas o poglądach Feynmana na grawitację, nie są dobrym podręcznikiem dla początkującego studenta, który chciałby nauczyć się nowoczesnego, geometrycznego sformułowania ogólnej teorii względności czy też narzędzi obliczeniowych i zastosowań tej teorii. Książki autorstwa Walda [Wald 84], Schutza [Schu 85] czy Misnera, Thorne’a i Wheelera [MTW 73] znacznie lepiej się do tego nadają. Nawet dogmatycznie niegeometryczny punkt widzenia preferowany przez Feynmana jest prezentowany bardziej systematycznie i wszechstronnie przez Weinberga [Wein 72]. Jednak żadne inne źródło nie zawiera wyjątkowych spostrzeżeń Feynmana i jego podejścia do podstaw przedmiotu.

Notatki z wykładów mogą być czytane na kilku różnych poziomach przez osoby o różnym wykształceniu:

• Aby w pełni zrozumieć wykłady, czytelnicy powinni mieć zaawansowaną wiedzę w zakresie fizyki teoretycznej. Feynman zakłada, że jego słuchacze są do tego stopnia formalnie zaznajomieni z metodami kwantowej teorii pola, że potrafią znaleźć reguły Feynmana odpowiadające danemu działaniu i znają reguły obliczania diagramów drzewiastych. Jednak te metody teorii pola są intensywnie wykorzystywane tylko w wykładach 2–4. i 16., a nawet w tych rozdziałach kluczowe koncepcje można zrozumieć, nie mając takiego przygotowania. Co więcej, pozostałe wykłady można czytać mniej więcej niezależnie od nich.

• Dla czytelników z solidnym wykształceniem licencjackim w dziedzinie fizyki wykłady powinny być w dużej mierze zrozumiałe dzięki pedagogicznym umiejętnościom Feynmana. Jednak tacy czytelnicy nie będą w stanie zrozumieć niektórych bardziej technicznych fragmentów.

• Dla wielbicieli Feynmana, którzy nie mają solidnego wykształcenia w dziedzinie fizyki, wykłady te mogą również zawierać wiele cennych informacji, choć ich odnalezienie będzie wymagało przebrnięcia przez materiał techniczny, który przeplata się z bardziej przyziemnymi spostrzeżeniami i fragmentami.

Pozostała część tej przedmowy i następna część autorstwa Briana Hatfielda stanowią streszczenie wykładów i dyskusję na temat tego, w jaki sposób odnoszą się one do wcześniejszych badań nad grawitacją i do późniejszego ich rozwoju. Podobnie jak same wykłady nasze streszczenie można czytać na różnych poziomach. Aby pomóc czytelnikom, którzy nie mają zaawansowanego przygotowania z fizyki teoretycznej, zaznaczyliśmy szarymi paskami na marginesie niektóre bardziej techniczne części przedmowy, które można pominąć lub przejrzeć pobieżnie.

Wyprowadzenie równania pola Einsteina

W czasie tych wykładów Feynman zmagał się z kwestią kwantowania grawitacji – czyli ze sformułowaniem syntezy ogólnej teorii względności i podstawowych zasad mechaniki kwantowej. Całe podejście Feynmana do ogólnej teorii względności zostało ukształtowane przez jego pragnienie, aby dojść do kwantowej teorii grawitacji tak prosto, jak to tylko możliwe. W tym kontekście subtelności geometryczne wydają się mieć znaczenie marginalne, w szczególności konwencjonalne, geometryczne podejście do grawitacji przesłania wymowną analogię między grawitacją a elektrodynamiką.

Z perspektywy czasu możemy dojść do klasycznej elektrodynamiki Maxwella, wychodząc od obserwacji, że foton jest pozbawioną masy cząstką o spinie 1. Postać kwantowej teorii bezmasowej cząstki o spinie 1, sprzężonej z naładowaną materią jest znacznie ograniczona przez fundamentalne zasady, takie jak niezmienność Lorentza i zasada zachowania prawdopodobieństwa. Spójną wewnętrznie wersją teorii kwantowej – elektrodynamiką kwantową – rządzą, w klasycznym przybliżeniu, klasyczne równania pola Maxwella.

Ośmielony tą analogią Feynman postrzega kwantową teorię grawitacji jako „jeszcze jedną kwantową teorię pola”, taką jak elektrodynamika kwantowa. Pyta więc w wykładach 1–6: czy w zwykłej, płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego możemy znaleźć sensowną kwantową teorię pola opisującą bezmasowe kwanty o spinie 2 (grawitony) sprzężone z materią? Klasyczne ograniczenie takiej teorii kwantowej powinno być określone przez ogólne, relatywistyczne równanie pola Einsteina dla klasycznego pola grawitacyjnego. Dlatego, aby ustalić postać teorii klasycznej, Feynman odwołuje się do cech teorii kwantowej, które muszą leżeć u jej podstaw. Koncepcje geometryczne wchodzą do rozważań Feynmana jedynie „tylnymi drzwiami” i są rozwijane przede wszystkim jako narzędzia techniczne, które mają pomóc w zadaniu skonstruowania akceptowalnej teorii. Na przykład tensor krzywizny Riemanniana (centralny element konwencjonalnego sformułowania ogólnej teorii względności) jest wprowadzony przez Feynmana początkowo (podrozdz. 6.4) tylko jako narzędzie do konstruowania członów w działaniu grawitacyjnym o pożądanych własnościach niezmienniczych. Dopiero w podrozdziale 9.3 Feynman ujawnia, że krzywizna ma interpretację w kategoriach równoległego transportu wektora stycznego na zakrzywionej czasoprzestrzeni.

Jedną z kluczowych cech teorii kwantowej jest to, że bezmasowy grawiton o spinie 2 ma tylko dwa stany skrętności. Zatem klasyczne pole grawitacyjne musi również mieć tylko dwa dynamiczne stopnie swobody. Jednak klasyczne pole odpowiadające cząstce o spinie 2 jest symetrycznym tensorem hµν o dziesięciu składowych. W istocie cztery z tych składowych h_00, h_0i (z i = 1, 2, 3) są niedynamicznymi zmiennymi ograniczonymi, więc do opisu dwóch fizycznych stanów skrętności pozostaje nam sześć dynamicznych składowych hij . Właśnie z powodu tego niedopasowania liczby stanów cząstek do liczby składowych pola kwantowa teoria grawitacji, a więc i odpowiadająca jej teoria klasyczna, są silnie ograniczone.

Aby rozwiązać to niedopasowanie liczenia, teoria musi zawierać redundancję, tak aby wiele różnych klasycznych konfiguracji pola opisywało ten sam stan fizyczny. Innymi słowy, musi to być teoria cechowania. Można wykazać, że dla bezmasowego pola o spinie 2 wymaganą zasadą pomiarową jest ogólna kowariancja, co prowadzi do teorii Einsteina.

W wykładzie 3 Feynman konstruuje kwadratowe działanie bezmasowego pola o spinie 2, które jest liniowo sprzężone z zachowanym tensorem energii–pędu. W podrozdziale 3.7 komentuje niezmienniczość cechowania wynikającego z liniowego równania pola, a w podrozdziale 4.5 zauważa, że z wymagania niezmienności cechowania amplitud rozpraszania można wywnioskować nieliniowe samosprzężenie pola. Jednak nie doprowadza tego programu do końca. (Stwierdza, że byłoby to trudne do zrobienia). Stosuje natomiast dość odmienną metodę, aby dojść do nieliniowego klasycznego równania pola Einsteina – metodę, która skupia się na spójności. Ponieważ liniowe równanie pola dla swobodnego bezmasowego pola o spinie 2 siłą rzeczy ma niezmienniczość cechowania (aby usunąć niepożądane stany skrętności), ogólne modyfikacje tego równania pola (takie jak modyfikacje, które powstają, gdy pole o spinie 2 jest sprzężone z materią) nie mają żadnych rozwiązań. Nowe człony w zmodyfikowanym równaniu muszą spełniać nietrywialny warunek spójności, który jest zasadniczo wymogiem, aby nowe człony spełniały symetrię układu pomiarowego. Ten warunek zgodności jest wystarczający, gdy jest spełniony, by wskazać drogę do specyficznego zbioru Einsteina nieliniowych sprzężeń i odpowiadającego mu nieliniowego równania pola.

Bardziej szczegółowo: problem sformułowany w podrozdziale 6.2, polega na znalezieniu takiej funkcji działania F [h] dla pola o spinie 2 hµν , że równanie pola grawitacyjnego

(P.1)

jest zgodne z równaniem ruchu spełnianym przez materię. Tutaj Tµν jest tensorem energii–pędu materii. Feynman znajduje w wykładzie 3 kwadratowe wyrażenie na F, które daje spójne liniowe równanie pola dopóty, dopóki energia–pęd materii jest zachowana (w specjalnym relatywistycznym sensie), Tµν,ν = 0. Kłopot w tym, że gdy pole hµν jest sprzężone z materią (tak, że materia działa jako źródło dla hµν ), równanie ruchu materii jest modyfikowane przez siły grawitacyjne, a Tµν,ν już nie znika. Zatem równanie pola i równanie ruchu materii nie są zgodne; równania te nie mają jednoczesnych rozwiązań. Jest to problem spójności (teorii liniowej).

Wymagając, by równanie pola spełnione przez hµν było zgodne z równaniem ruchu materii, Feynman wyciąga wniosek, że do działania F trzeba dodać nieliniowe poprawki wyższego rzędu. Wymóg spójności można ująć w postaci zasady niezmienniczości spełnianej przez działanie, która jest po prostu niezmienniczością przy ogólnych przekształceniach współrzędnych. Następnie analiza Feynmana jest dość konwencjonalna i prowadzi do wniosku, że najbardziej ogólnym spójnym równaniem pola zawierającym nie więcej niż dwie pochodne jest równanie Einsteina (ze stałą kosmologiczną).

Wynikające z tego poprawki nieliniowe mają przyjemną interpretację fizyczną. Bez tych poprawek grawitacja nie sprzęga się sama ze sobą. Po uwzględnieniu poprawek nieliniowych o wymaganej postaci źródłem pola grawitacyjnego (widzianego w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego) jest całkowity energetyczny moment pędu, w tym wkład wynikający z samego pola grawitacyjnego. Innymi słowy, spełniona jest (silna) zasada równoważności. Prawo zachowania energii pędu materii staje się kowariancją Einsteina, Tµν,ν = 0, co w rezultacie pozwala na wymianę energii i pędu między materią a grawitacją.

Z komentarzy Feynmana na konferencji w Chapel Hill w 1957 roku [DeWi 57] wiemy, że już wtedy opracował on obliczenia opisane w wykładach 2–6. Murray Gell-Mann podaje [Gell 89], że Feynman i on dyskutowali o zagadnieniach kwantowej grawitacji podczas przerwy świątecznej w latach 1954/1955 i że Feynman poczynił już wtedy „znaczne postępy”.

Twierdzenie, że jedyną sensowną teorią oddziałującego bezmasowego pola o spinie 2 jest zasadniczo ogólna teoria względności (lub jest ona dobrze przybliżona przez ogólną teorię względności w granicy niskich energii) jest jeszcze dziś często przywoływane. (Na przykład mówi się, że skoro teoria superstrun zawiera oddziałującą bezmasową cząstkę o spinie 2, to musi być teorią grawitacji). W rzeczywistości Feynman nie był pierwszym, który zaprononował takie twierdzenie.

Równanie pola dla swobodnego, bezmasowego pola o spinie 2 zostało zapisane przez Fierza i Pauliego w 1939 roku [FiPa 39]. Później pomysł potraktowania grawitacji Einsteina jako teorii pola o spinie 2 w płaskiej przestrzeni pojawiał się sporadycznie w literaturze. Jednakże, o ile nam wiadomo, pierwsza opublikowana próba wyprowadzenia nieliniowych sprzężeń w teorii Einsteina w tych ramach pojawiła się w 1954 roku w pracy Suraja N. Gupty [Gupt 54]. Gupta zauważył, że działanie teorii musi spełniać nietrywialny warunek spójności, który jest spełniony w przypadku ogólnej teorii względności. Nie podał jednak żadnego szczegółowego argumentu potwierdzającego wyjątkowość równania pola Einsteina.

Z grubsza rzecz biorąc, wywód Gupty jest następujący. Chcemy skonstruować teorię, w której „źródłem” sprzężonym z bezmasowym polem hµν o spinie 2 jest tensor energii–pędu, obejmujący energię–pęd samego pola o spinie 2. Jeśli za źródło przyjmiemy tensor energii–pędu 2Tµν teorii pola swobodnego (który jest kwadratowy w h), to sprzężenie tego źródła z hµν sprawia, że w lagranżjanie pojawia się człon sześcienny. Z tego sześciennego członu w lagranżjanie można wywnioskować odpowiadający mu sześcienny człon 3Tµν w tensorze energii–pędu, który jest następnie włączony do źródła. To generuje człon 4 stopnia 4Tµν i tak dalej. Ta iteracyjna procedura generuje nieskończony szereg, który można zsumować, aby otrzymać pełne nieliniowe równania Einsteina. Gupta naszkicował tę procedurę, ale nie doprowadził jej do końca. Pierwsza pełna wersja tego wywodu (i szczególnie elegancka) została opublikowana przez Desera w 1970 roku [Dese 70].[3] Deser zauważył również, że teorię Yanga–Millsa można wyprowadzić za pomocą podobnego wywodu.

Kilka lat przed opublikowaniem pracy Gupty Robert Kraichnan, wówczas 18-letni student MIT, również badał problem wyprowadzenia ogólnej teorii względności jako spójnej teorii bezmasowego pola o spinie 2 w płaskiej przestrzeni. Swoje wyniki opisał w niepublikowanej pracy licencjackiej z lat 1946–1947 [Krai 47]. Kraichnan dalej zajmował się tym problemem w Institute for Advanced Study w latach 1949–1950. Wspomina, że choć otrzymał pewną zachętę od Bruce’a DeWitta, bardzo niewielu kolegów wspierało jego wysiłki. Dotyczyło to z pewnością samego Einsteina, który był zbulwersowany podejściem do grawitacji, które odrzucało ciężko wypracowane przez niego spostrzeżenia geometryczne. Kraichnan opublikował swoje wyniki dopiero w 1955 roku [Krai 55, Krai 56], kiedy wreszcie znalazł wyprowadzenie, z którego był zadowolony. W przeciwieństwie do Gupty Kraichnan nie założył, że grawitacja sprzęga się z całkowitym tensorem energii–pędu. Raczej, podobnie jak Feynman, wyprowadził ten wynik jako konsekwencję spójności równań pola. Wydaje się prawdopodobne, że Feynman był zupełnie nieświadomy istnienia prac Gupty i Kraichnana.

Należy zauważyć, że analiza Feynmana była daleka od najbardziej ogólnej z możliwych (i była znacznie mniej ogólna niż analiza Kraichnana). Założył on szczególną postać działania materii (relatywistycznej cząstki), a następnie założył ściśle liniowe sprzężenie pola o spinie 2 z materią (co nie byłoby możliwe w przypadku bardziej ogólnego działania materii). W szczególności zauważamy, że wszystkie fizyczne przewidywania teorii pozostają niezmienione, jeśli dokona się nieliniowej, lokalnej redefinicji pola h o spinie 2. Możemy swobodnie zastąpić hµν przez . Feynman implicite usunął swobodę dokonywania takich redefinicji pola, wymagając, by sprzężenie z materią było liniowe w h. (Redefinicje pola są szczegółowo potraktowane przez Boulware’a i Desera [BoDe 75]). Znacznie ogólniejsza analiza warunku spójności dla równania pola, przeprowadzona znacznie później przez Walda [Wald 86], prowadzi w końcu do wniosków podobnych do tych, które przedstawili Kraichnan i Feynman.

Zupełnie inne podejście do dedukcji postaci oddziaływania grawitacyjnego opracował Weinberg [Wein 64a, Wein 64b]. Z bardzo rozsądnych założeń dotyczących własności analityczności amplitud rozpraszania grawiton–grawiton Weinberg pokazał, że teoria oddziałującej bezmasowej cząstki o spinie 2 może być niezmiennikiem Lorentza tylko wtedy, gdy cząstka ta sprzęga się z materią (w tym sama ze sobą) za pomocą uniwersalnej siły – innymi słowy, tylko wtedy, gdy spełniona jest silna zasada równoważności. W pewnym sensie argument Weinberga jest najgłębszy i najmocniejszy ze wszystkich, ponieważ własność, że grawiton sprzęga się z tensorem energii–pędu, wynika z innych, dość ogólnych zasad. Po ustaleniu zasady równoważności można przystąpić do konstrukcji teorii Einsteina (patrz [Wein 72]).

Na koniec pozostaje kwestia, jak należy wykluczyć w lagranżjanie człony zawierające więcej niż dwie pochodne hµν . Feynman ma niewiele do powiedzenia na ten temat, poza uwagą w podrozdziale 6.2, że uwzględnienie tylko członów z dwiema lub mniejszą liczbą pochodnych doprowadzi do „najprostszej” teorii. (Patrz także podrozdział 10.3, gdzie znajduje się podobna uwaga w nieco innym kontekście). Nie wydaje się, by przewidywał on współczesny punkt widzenia [Wein 79], że człony o większej liczbie pochodnych muszą być obecne, ale mają one negatywny wpływ na przewidywania teorii, gdy krzywizna czasoprzestrzeni jest słaba. Filozofią leżącą u podstaw tego punktu widzenia jest to, że lagranżjan teorii Einsteina jest jedynie „efektywnym lagranżjanem”, który opisuje niskoenergetyczną fenomenologię bardziej fundamentalnej teorii – teorii, która może obejmować nowe stopnie swobody (superstruny?) w skalach długości rzędu długości Plancka  cm. W efektywnym lagranżjanie dozwolone są wszystkie człony zgodne z ogólnymi zasadami, w tym człony z dowolną liczbą pochodnych. Jednak ze względów wymiarowych człon z większą liczbą pochodnych będzie miał współczynnik proporcjonalny do wyższej potęgi LP. Tak więc w procesie o charakterystycznym promieniu krzywizny rzędu L człony lagranżjanu z czterema pochodnymi mają efekty stłumione w porównaniu z efektami warunków z dwiema pochodnymi – zmniejszone około (LP /L)2-krotnie, co jest niezwykle małe dla każdego rozsądnego procesu. Możemy więc łatwo zrozumieć, dlaczego okrojona teoria zawierająca tylko człony z dwiema lub mniejszą liczbą pochodnych będzie doskonale zgadzać się z eksperymentem.

Jednakże to samo rozumowanie prowadzi również do oczekiwania członu „kosmologicznego” (bez pochodnych) o współczynniku rzędu jeden w jednostkach LP. To, że stała kosmologiczna jest w rzeczywistości nadzwyczaj mała w porównaniu z tym naiwnym oczekiwaniem, pozostaje jedną z wielkich nierozwiązanych tajemnic fizyki grawitacji [Wein 89].

Geometria

Po przeprowadzeniu poszukiwań sensownej teorii opisującej oddziaływania bezmasowego pola o spinie 2 w płaskiej przestrzeni Feynman nie omieszkuje wyrazić zachwytu (w podrozdziale 8.4), że otrzymana teoria ma geometryczną interpretację: „[...] faktem jest, że pole o spinie 2 ma tę geometryczną interpretację i nie jest to coś, co można łatwo wyjaśnić – jest to po prostu cudowne”. Rozwinięcie teorii w wykładach 8–10 wykorzystuje język geometryczny i jest znacznie bardziej tradycyjne niż podejście z wcześniejszych wykładów.

W podrozdziale 9.3 Feynman stwierdza, że nie zna geometrycznej interpretacji tożsamości Bianchiego i szkicuje, jak można by ją znaleźć. Interpretacja geometryczna, którą przewiduje, była w rzeczywistości zawarta implicite w pracy francuskiego matematyka Elie Cartana z 1928 roku [Cart 28]. Jednak w 1962 roku była ona w dużej mierze nieznana fizykom, nawet zawodowym relatywistom, i była sformułowana w języku form różniczkowych, którego Feynman nie znał. Interpretacja Cartana, że „granicą granicy jest zero”, została ostatecznie wydobyta z jego pomysłów przez Charlesa Misnera i Johna Wheelera w 1971 roku i od tego czasu była dzięki nim szeroko dostępna; patrz np. rozdział 15 w [MTW 73] na poziomie technicznym i rozdział 7 w [Whee 90] na poziomie popularnym.

Kosmologia

Niektóre pomysły Feynmana dotyczące kosmologii mają nowoczesny wydźwięk. Dobrym przykładem jest jego stosunek do pochodzenia materii. Koncepcja ciągłego tworzenia materii w kosmologii stanu ustalonego poważnie go nie razi (w podrozdziale 12.2 zauważa on, że kosmologia Wielkiego Wybuchu ma równie poważny problem z wyjaśnieniem, skąd wzięła się cała materia na początku). W podrozdziale 1.2 i ponownie w podrozdziale 13.3 podkreśla, że całkowita energia Wszechświata może naprawdę wynosić zero, a tworzenie materii jest możliwe, ponieważ energia spoczynkowa materii jest w rzeczywistości eliminowana przez jej grawitacyjną energię potencjalną. „Ekscytująca jest myśl, że stworzenie nowej cząstki nic nie kosztuje, [...]”. Jest to bliskie popularnemu obecnie poglądowi, że Wszechświat jest „darmowym obiadem”, niczym lub prawie niczym rozdmuchanym do kosmologicznych rozmiarów przez cud inflacji [Guth 81]. Feynman martwi się bardziej o konieczność niezachowania liczby barionowej, jeśli Wszechświat miałby powstać z „niczego”.

Feynman wyraża również swoje poparcie dla „krytycznej” wartości gęstości Wszechświata w podrozdziale 13.1, przekonanie, które jest dziś powszechnie utrzymywane [LiBr 90]. W podrozdziale 13.2 podaje interesujący (i jakościowo poprawny) argument na poparcie tego, że gęstość jest bliska krytycznej: zauważa, że istnienie gromad i supergromad galaktyk oznacza, że „energia grawitacyjna jest tego samego rzędu co energia kinetyczna ekspansji – to dla mnie sugeruje, że średnia gęstość musi być wszędzie bardzo bliska gęstości krytycznej”. Był to dość nowatorski argument w 1962 roku.

Jest oczywiste, że już na początku lat sześćdziesiątych Feynman dostrzegł potrzebę nowych fundamentalnych zasad fizyki, które dostarczyłyby przepis na warunki początkowe Wszechświata. Na początku tych wykładów, w podrozdziale 2.1, Feynman snuje rozważania na temat podstaw mechaniki statystycznej, by wyrazić swoje przekonanie, że drugie prawo termodynamiki musi mieć kosmologiczne pochodzenie. Zwróćmy uwagę na jego stwierdzenie: „Pytanie brzmi, jak w mechanice kwantowej opisać pomysł, że stan Wszechświata w przeszłości był czymś szczególnym”. (Podobne spostrzeżenie pojawia się również w Wykładach Feynmana z fizyki [Feyn 63a] oraz w The Character of Physical Law [Feyn 67], które pochodzą z tego samego okresu). W ten sposób Feynman zdaje się przewidywać fascynację kosmologią kwantową, która zaczęła ogarniać część społeczności fizyków jakieś dwadzieścia lat później. Podkreśla on także, w podrozdziałach 1.4 i 2.1, niestosowność kopenhaskiej interpretacji mechaniki kwantowej w kontekście kosmologicznym.

Supermasywne gwiazdy

W latach 1962–1963, kiedy Feynman wygłaszał swoje wykłady o grawitacji, Caltech był zalany nowymi odkryciami dotyczącymi „silnych źródeł fal radiowych”.

Przez 30 lat astronomowie zastanawiali się nad naturą tych najsilniejszych ze wszystkich obiektów emitujących fale radiowe. W 1951 roku Walter Baade [Baad 52] użył nowego, 200-calowego teleskopu optycznego Caltech na górze Palomar, by odkryć, że najjaśniejsze źródło fal radiowych, Cygnus A, nie jest (jak spodziewali się astronomowie) gwiazdą w naszej własnej galaktyce, ale jest raczej związane z osobliwą, nieco odległą galaktyką. Dwa lata później R.C. Jennison i M.K. Das Gupta [JeDG 53], badając Cygnusa A za pomocą nowego interferometru na fale radiowe zainstalowanego w Jodrell Bank w Anglii, odkryli, że większość fal radiowych pochodzi nie z wnętrza odległej galaktyki, lecz z dwóch gigantycznych płatów po przeciwnych stronach galaktyki, o rozmiarach około 200 tys. lat świetlnych i oddalonych od siebie o 200 tys. lat świetlnych. Interferometr radiowy Owens Valley firmy Caltech rozpoczął pracę pod koniec lat pięćdziesiątych XX w., a do roku akademickiego 1962/1963, roku wykładów Feynmana o grawitacji, był on używany, wraz z 200-calowym teleskopem Palomar, do identyfikacji wielu innych źródeł fal radiowych o podwójnych płatach. Niektóre z nich, jak Cyg A, były skupione na galaktykach, a inne na gwiazdopodobnych punktowych źródłach światła (które, co odkrył Maarten Schmidt z Caltech 5 lutego 1963 roku, mają ogromne przesunięcia ku czerwieni [Schm 63], a Hong-Yee Chiu później w tym samym roku ochrzcił mianem kwazarów). W 1962 roku i na początku roku 1963, gdy astronomowie z Caltech rywalizowali ze sobą o nowe i lepsze obserwacje tych dziwnych obiektów i interpretację ich widm, astrofizycy konkurowali w konstruowaniu modeli[4].

Jeden ze szczególnie obiecujących modeli, opracowany latem 1962 roku przez Freda Hoyle’a z Cambridge i Williama Fowlera z Caltech [HoFo 63], zakładał, że moc każdego silnego źródła fal radiowych pochodzi od supermasywnej gwiazdy w centrum galaktyki. Ogromna energia płatów radiowych (oszacowana przez Geoffreya Burbidge’a na 10^58 do 10^60 ergów, tj. równowartość energetyczną 10^4 do 10^6 mas Słońca) wymagała, aby zasilająca je gwiazda miała masę rzędu 10^6 do 10^9 mas Słońca. W porównaniu z górną granicą ~100 mas Słońca dla normalnych gwiazd te obiekty Hoyle’a–Fowlera były rzeczywiście „supermasywne”. W niektórych kręgach zaczęto je nazywać supergwiazdami.

Gdzieś na początku 1963 roku (prawdopodobnie w lutym lub marcu) Fred Hoyle prowadził seminarium SINS[5] w Caltech’s Kellogg Radiation Laboratory na temat modelu supergwiazdy dla silnych źródeł fal radiowych. W czasie pytań Richard Feynman zaprotestował, że ogólne efekty relatywistyczne uczyniłyby wszystkie supergwiazdy niestabilnymi – przynajmniej gdyby się nie obracały. Zapadłyby się, tworząc to, co obecnie nazywamy czarnymi dziurami.

Hoyle i Fowler mieli wątpliwości, ale w ciągu kilku miesięcy oni i niezależnie Icko Iben [Iben 63] (starszy współpracownik naukowy w laboratorium Fowlera w Kellogg) zweryfikowali, że Feynman prawdopodobnie miał rację, a S. Chandrasekhar [Chan 64] z Uniwersytetu w Chicago niezależnie odkrył ogólną relatywistyczną niestabilność i ostatecznie ją przeanalizował.

Dla Hoyle’a i Fowlera uwaga Feynmana była „gromem z jasnego nieba”, zupełnie niespodziewanym i niemającym żadnych widocznych podstaw poza niesamowitą fizyczną intuicją Feynmana. Fowler był pod takim wrażeniem, że opisał seminarium i spostrzeżenie Feynmana wielu kolegom na całym świecie, dodając jeszcze jedną (prawdziwą) opowieść do legendy Feynmana.

W rzeczywistości intuicyjne odkrycie Feynmana nie przyszło bez wysiłku. W tym przypadku, w przeciwieństwie do innych, Feynman pozostawił nam szczegółowy obraz jednego momentu walki, w której dokonał odkrycia: wykład 14 tego tomu.

Okoliczności, w jakich odbył się wykład 14, udało nam się poskładać w całość, głównie na podstawie notatek i wspomnień Icka Ibena ze stycznia 1963 roku, a także rozmowy Feynmana z Thornem z około 1971 roku oraz wypowiedzi Jamesa Bardeena, Stevena Frautschiego, Jamesa Hartle’a i Williama Fowlera:

Gdzieś pod koniec 1962 lub na początku stycznia 1963 roku Feynmanowi musiało przyjść do głowy, że na supermasywne gwiazdy Hoyle’a–Fowlera mogą silnie oddziaływać ogólne siły relatywistyczne. Według notatek Ibena Feynman przyszedł do jego biura w Kellogg Lab gdzieś przed 18 stycznia, poruszył kwestię wpływu ogólnej teorii względności na supergwiazdy, pokazał Ibenowi ogólne równania relatywistyczne, które rządzą strukturą supergwiazdy, a które Feynman sam opracował, wykorzystując podstawowe zasady, i zapytał, jak astrofizycy tacy jak Iben radzą sobie z budowaniem newtonowskich modeli gwiazd z analogicznych równań Newtona. Po dyskusji Feynman wyszedł, a następnie wrócił kilka dni później, w tygodniu 21–25 stycznia. „Feynman wprawił mnie w osłupienie” – wspomina Iben – „przychodząc i mówiąc, że [już] rozwiązał te … równania. Powiedział mi, że prowadził konsultacje dla firmy komputerowej i rozwiązywał równania w czasie rzeczywistym na czymś, co musiało być wersją stacji roboczej tej generacji”.

W poniedziałek 28 stycznia, mając zaledwie kilka dni na przemyślenie swoich rozwiązań numerycznych (i przypuszczalnie spędzając większość tego czasu w inny sposób, ponieważ musiał również przygotować wykład z fizyki dla drugiego roku na ten sam poniedziałek), Feynman wygłosił wykład 14 z tego tomu. (Zauważmy, że było to zaledwie osiem dni przed odkryciem przez Maartena Schmidta przesunięć kwazarów w kierunku czerwieni).

Wykład 14 powstał w samym środku zmagań Feynmana, by dowiedzieć się, jak powinny zachowywać się supermasywne gwiazdy – i to zanim zdał sobie sprawę, że ogólna względność je destabilizuje. W rezultacie część wykładu 14 (podrozdziały 14.3 i 14.4) jest w dużej mierze błędna – ale błędna w interesujący sposób, który pokazuje intuicyjne podejście Feynmana do rozwiązywania problemów.

Feynman nigdy nie przejrzał pisemnej wersji wykładu 14 autorstwa Morinigo i Wagnera. A w 1971 roku, kiedy zatwierdził wykłady 12–16 do rozpowszechnienia, prawdopodobnie zapomniał, że część interpretacyjna wykładu 14 była tylko sprawozdaniem z postępów w rozważaniach, które jeszcze nie przyniosły rezultatów.

Feynman rozpoczyna wykład 14 od przedstawienia modelu supermasywnej gwiazdy, „który jest bardzo prosty, ale może mieć wiele cech prawdziwych rzeczy. Gdy zrozumiemy, jak rozwiązać ten prosty problem, możemy zająć się udoskonalaniem modelu”. (Udoskonalenia – wpływ par elektron–pozyton, emisja neutrin, spalanie jądrowe, rotacja i niestabilność – zostały dodane później, w latach 1963–1964, przez Ibena [Iben 63], Curtisa Michaela [Mich 63], Fowlera [Fowl 64] i Bardeena [Bard 65], z ważnymi uwagami i przy dużym wkładzie Feynmana).

Ponieważ celem Feynmana jest poznanie efektów względności, jego model supermasywnej gwiazdy jest w pełni ogólnie relatywistyczny – w przeciwieństwie do poprzednich modeli Fowlera–Hoyle’a, które były newtonowskie. Lecz tam, gdzie Fowler i Hoyle uwzględnili zarówno udział gazu, jak i promieniowania w ciśnieniu gwiazdy p i w gęstości energii wewnętrznej gwiazdy ϵ, Feynman upraszcza to, pomijając pgazu i ϵgazu. Feynman skupiał się głównie na gwieździe o masie M = 10^9 MSłońca, a Hoyle i Fowler pokazali, że w newtonowskich granicach supergwiazdy są silnie zdominowane przez promieniowanie:

(P.2)

(Tutaj, dla uproszczenia, zakłada się, że gaz jest czystym wodorem). Ponieważ gwiazdy te są silnie konwekcyjne, ich entropia na nukleon jest niezależna od promienia, co oznacza, że β, czyli 8-krotność stosunku stałej Boltzmanna do entropii na nukleon, jest również niezależna od promienia. Feynman zdawał sobie sprawę, że jest to prawda w całkowicie relatywistycznym porządku, chociaż równanie (P.2) jest tam zmienione o czynnik rzędu jedności.

Po opisaniu przybliżenia wartości pgazu i ϵgazu Feynman idzie dalej w podrozdziałach 14.1 i 14.2 wykładu 14, by skonstruować ogólne relatywistyczne równania struktury supergwiazdy i informuje, że scałkował je numerycznie. Przedstawia swoje wyniki w tabeli 14.1. Tabela ta ma być interpretowana za pomocą równań (14.2.1), w których parametr Feynmana τ jest opisany wzorem:

(P.3)

ponieważ Feynman używa jednostek, w których masa spoczynkowa nukleonu i 10^9 K są równe jedności.

W omawianiu modeli Feynmana i jego (błędnej) interpretacji przydatny będzie rysunek P.l. Na tym rysunku są pokazane niektóre cechy rodziny modeli supergwiazd, które Feynman skonstruował (gruba krzywa) wraz z ich rozszerzeniem na porządek ultrarelatywistyczny (górna cienka krzywa) i na porządek prawie newtonowski (dolna cienka krzywa) – rozszerzenia, które były obliczane później przez Ibena [Iben 63], Fowlera [Fowl 64], Bardeena [Bard 65] i Toopera [Toop 66]. W pionie zaznaczono ujemną wartość grawitacyjnej energii wiązania gwiazdy, a poziomo – promień gwiazdy. W porządku prawie newtonowskim (zacieniony obszar krzywej energii wiązania), którego Feynman nie bada, pgazu i ϵgazu nie mogą być pominięte, a energia wiązania jest dana (tak jak zrobiłby to Fowler [Fowl 64]) w odpowiedzi na Feynmana „grom z jasnego nieba”) przez delikatną równowagę między efektami gazowymi (pierwszy człon) i ogólnymi efektami relatywistycznymi (drugi człon):

(P.4)

Tutaj 2M to promień Schwarzschilda czarnej dziury o tej samej masie M co supergwiazda.

Interpretując swoje modele (podrozdział 14.3), Feynman zaczyna od pytania o ewolucję supergwiazdy, która zawiera stałą liczbę nukleonów (tj. stałą masę spoczynkową nukleonów Mspocz) i stopniowo wypromieniowuje energię cieplną, zmniejszając w ten sposób swoją całkowitą masę M i staje się bardziej zwarta. Odkrywa on dziwną ewolucję: w miarę wypromieniowywania gwiazdy jej promień rośnie (ruch w dół i w prawo na grubej krzywej rys. P.l), a jej temperatura w środku maleje. Jest to zachowanie przeciwne do zachowania większości gwiazd, które kurczą się i ogrzewają w miarę promieniowania, jeśli nie spalają paliwa. (Gdyby zamiast zajmować się w pełni relatywistycznym obszarem na lewo od minimum krzywej wiązania, Feynman zachował efekty gazowe i obliczył prawie newtonowski obszar na prawo, znalazłby odwrotne zachowanie: supergwiazda kurczyłaby się i ogrzewała w miarę promieniowania).

Feynman pyta następnie, czy jego modele supergwiazdy są stabilne. „Stabilność naszej gwiazdy nie była badana [ilościowo]”, podkreśla, a następnie przechodzi do ujawnienia swoich początkowych rozmyślań na ten temat:

„[Modele, które mają] tę samą liczbę nukleonów i tę samą τ [tę samą entropię], mogą być porównywane pod kątem promieni i temperatury we wnętrzu. Fakt, że najwyraźniej istnieje wartość minimalna promienia [lewe skrajne zagięcie na rys. P.l] [...] jest bardzo sugestywny; gwiazda może mieć stabilną pozycję”. Feynman w tym miejscu próbuje zastosować metodę analizy stabilności, która została udoskonalona około rok później przez Jamesa Bardeena, kiedy to Bardeen został doktorantem

Rysunek P.1. Energie wiązania supergwiazd zbudowanych z wodoru. Po lewej stronie na osi pionowej przedstawiono ujemną wartość ułamkowej energii wiązania gwiazdy, czyli (M - Mspocz) /Mspocz, gdzie M to całkowita masa gwiazdy, a Mspocz to całkowita masa spoczynkowa wszystkich jej nukleonów. Na osi poziomej na górze podano promień gwiazdy R w jednostkach promienia Schwarzschilda 2M czarnej dziury o tej samej masie. Lewa i górna skala obowiązują dla białego obszaru dla supergwiazd o dowolnej masie, ale w zacienionym obszarze (prawie newtonowskim) tylko dla M = 10^6MSłońca. Na osi pionowej po prawej stronie przedstawiono ujemną wartość energii wiązania gwiazdy w jednostkach masy Słońca MSłońca; oś pozioma na dole jest wyskalowana w R / 2M pomnożonym przez β – stosunek ciśnienia gazu do ciśnienia całkowitego. Prawa i dolna skala obowiązują dla supergwiazd o dowolnej masie w prawie newtonowskim zacienionym obszarze, ale zawodzą one w całkowicie relatywistycznym białym obszarze. Skala osi pionowej jest arcus tangensem, czyli jest prawie liniowa dla |(M - Mspocz) /MSłońca| ≲ 1 i logarytmiczna dla |(M - Mspocz) /MSłońca| ≳ 1. Gruba część krzywej pochodzi z obliczeń Feynmana z wykładu 14, a cienkie części zawdzięczamy Fowlerowi [Fowl 64], Ibenowi [Iben 63], Bardeenowi [Bard 65] i Tooperowi [Toop 66]

Feynmana. Z ulepszonej przez Bardeena wersji tego argumentu [Bard 65, BTM 66] wynika, że w miarę przesuwania się wzdłuż krzywej energii wiązania, ograniczając się do gwiazd o stałej Mspocz, entropia zmienia się w zależności od modelu, z wyjątkiem sąsiedztwa każdego minimum lub maksimum wiązania, gdzie pozostaje stała. Oznacza to, że gwiazda ma tryb deformacji o zerowej częstotliwości przy każdym minimum lub maksimum – tryb, który przenosi ją z jednego modelu równowagi do innego z tą samą entropią, energią wiązania i masą spoczynkową. To z kolei oznacza, że jeden tryb oscylacji radialnej zmienia stabilność w każdym ekstremum wiązania. Badając postaci, które muszą przyjąć funkcje charakterystyczne trybów, Bardeen wywnioskował, że jeśli krzywa wiązania wygina się zgodnie z ruchem wskazówek zegara podczas przechodzenia przez ekstremum, to tryb staje się niestabilny, a jeśli przeciwnie do ruchu wskazówek zegara – to staje się stabilny. (Stwierdzenie to jest prawdziwe niezależnie od kierunku, w którym poprowadzona jest krzywa.) Analiza Bardeena, zastosowana na rys. P.l, pokazuje, że prawie newtonowskie modele w prawym dolnym rogu (które kurczą się w miarę wypromieniowywania) są stabilne i muszą stracić stabilność i zapaść się, tworząc czarną dziurę, gdy osiągną minimum krzywej wiązania. Modele poza minimum (w tym wszystkie modele Feynmana) mają jeden niestabilny tryb pulsacji radialnej, a modele poza pierwszym maksimum krzywej wiązania (lewa górna część rys. P.l) mają dwa niestabilne tryby itd.

Feynman nie był oczywiście tego świadomy 28 stycznia 1963 roku, więc w wykładzie 14 szukał zrozumienia stabilności swoich modeli innymi metodami. Wyobrażał sobie, że bierze jedną ze swoich supergwiazd o barionowej masie spoczynkowej Mspocz i rozbija ją na dwie supergwiazdy, każda o masie spoczynkowej Mspocz / 2, utrzymując przy tym stałą entropię na nukleon. „Czy z tego procesu uzyskamy pracę, czy też musieliśmy wykonać pracę, aby [gwiazda] została rozbita?”. Ze swojej tabeli 1 i równań (14.2.1) dedukuje, że „dwa obiekty [...] byłyby bardziej masywne, więc do rozbicia tego układu jest wymagana praca”. To sugeruje, że gwiazda może nie wyrzucać materii, ale utrzymywać ją w jednej bryle”, tzn. gwiazda może być stabilna.

Na pierwszy rzut oka wydaje się to przekonującym argumentem. Jednak w rzeczywistości jest on wątpliwy (jak Feynman przypuszczalnie zdał sobie sprawę między tym wykładem a seminarium Hoyle’a). Dwie nowe gwiazdy, które Feynman tworzy poprzez rozbicie swojej oryginalnej gwiazdy, znajdują się dalej u góry grubej krzywej energii wiązania na rysunku P.l, tzn. są bardziej relatywistyczne niż oryginalna gwiazda. Jednakże istnieją również dwa modele gwiazd, o tych samych masach spoczynkowych i entropii na nukleon, na stabilnej, prawie newtonowskiej gałęzi krzywej wiązania w prawym dolnym rogu rys. P.l. Gdyby oryginalna gwiazda została rozbita na te dwie gwiazdy, energia zostałaby uwolniona, co sugeruje, że oryginalna gwiazda jest w rzeczywistości niestabilna. Feynman przeoczył ten punkt, ponieważ ani on, ani nikt inny 28 stycznia 1963 roku nie znał kształtu krzywej energii wiązania w zacienionym obszarze. Można jednak przypuszczać, że domyślił się jej na tyle przed seminarium Hoyle’a, by dostrzec swój błąd.

Po błędnej diagnozie stabilności gwiazd Feynman w podrozdziale 14.4 proponuje kierunki przyszłych badań nad gwiazdami. Zaczyna od zaproponowania zasady wariacyjnej, dzięki której można by skonstruować modele równowagowe w pełni relatywistycznych, izentropowych supergwiazd: „oblicz konfigurację najmniejszej masy, wychodząc od stałej liczby nukleonów” (i stałej entropii na nukleon). Dwa lata później John Cocke [Cock 65], pracujący w Paryżu i prawdopodobnie nieznający propozycji Feynmana, opracuje szczegółową zasadę wariacyjną równoważną zasadzie Feynmana (utrzymując stałą masę i liczbę nukleonów oraz maksymalizując entropię) i użyje jej do skonstruowania relatywistycznych modeli gwiazd.

Feynman kontynuuje w podrozdziale 14.4: „Po zbadaniu rozwiązań statycznych możemy zwrócić uwagę na pełny problem dynamiczny. Równania różniczkowe są przerażające”. Feynman, w istocie, opracował niektóre z tych równań dla siebie. Zostały one później wyprowadzone samodzielnie i rozwiązane numerycznie przez Michaiła Podureta [Podu 64] w ZSRR oraz Michaela Maya i Richarda White’a [MaWh 66] w USA, przy użyciu potomków kodów komputerowych, które zostały opracowane do projektowania broni termojądrowej. Wynik jest dobrze znany: gwiazdy, które doświadczają relatywistycznej niestabilności Feynmana/Chandrasekhara implodują, tworząc czarne dziury.

Przez około 10 lat po wykładzie Feynmana gwałtownie wirujące supergwiazdy pozostawały silnym konkurentem na rynku modeli siłowych dla kwazarów i silnych źródeł fal radiowych. Jednak w latach siedemdziesiątych XX wieku modele oparte na szybko wirujących, supermasywnych czarnych dziurach stopniowo zyskiwały na popularności i dziś supergwiazdy są powszechnie uważane za fascynujące, choć przejściowe obiekty na drodze jądra galaktyki do uformowania supermasywnej czarnej dziury, która później ją zdominuje (por. [Thor 94]).

Czarne dziury

Koncepcja czarnej dziury dopiero zaczynała się pojawiać na początku lat sześćdziesiątych XX wieku i poglądy Feynmana mogły być nieco opóźnione. Tak więc najbardziej nieaktualnymi wykładami są prawdopodobnie 11 i 15, które dotyczą rozwiązania Schwarzschilda i jego implikacji.

W pewnym sensie to, co obecnie nazywamy czarną dziurą, stało się znane już w 1916 roku, kiedy Karl Schwarzschild odkrył swoje rozwiązanie równania pola Einsteina [Schw 16]. Jednak przez dziesięciolecia większość fizyków uparcie opierała się skandalicznym konsekwencjom rozwiązania Schwarzschilda. (W tym sam Einstein, który w 1939 roku napisał godną pożałowania pracę, w której dowodził, że czarne dziury nie mogą istnieć [Eins 39]). Nawet piękna i definicyjna analiza (również z 1939 r.) kolapsu grawitacyjnego autorstwa Oppenheimera i Snydera [OpSn 39] miała przez wiele lat zaskakująco mały wpływ. Oppenheimer i Snyder badali zapadanie się sferycznie symetrycznej, bezprądowej „gwiazdy” o jednolitej gęstości i zauważyli, że implozja gwiazdy, widziana przez nieruchomego obserwatora pozostającego na zewnątrz, będzie powolna i ostatecznie zamrożona, gdy powierzchnia gwiazdy zbliży się do krytycznego obwodu Schwarzschilda. Wyjaśnili jednak również, że takiego zamrożenia implozji nie zobaczą obserwatorzy jadący z zapadającą się materią – obserwatorzy ci przekroczą krytyczny obwód we właściwym skończonym czasie, a następnie nie będą w stanie wysłać sygnału świetlnego do obserwatorów na zewnątrz. Ta skrajna różnica między opisami w dwóch układach odniesienia okazała się wyjątkowo trudna do uchwycenia. Oba opisy udało się pogodzić dopiero w 1958 roku, kiedy David Finkelstein [Fink 58] przeanalizował rozwiązanie Schwarzschilda przy użyciu układu współrzędnych, który ułatwiał jednoczesną wizualizację linii świata cząstek pyłu wpadających do środka przez obwód krytyczny i linii świata wychodzących fotonów, które tam zastygają. Analiza ta ujawniła niezwykłą „strukturę przyczynową” czasoprzestrzeni Schwarzschilda – nic wewnątrz „horyzontu” nie może uniknąć przyciągania w kierunku sfer o coraz mniejszej powierzchni. Wyłaniający się obraz wskazywał (dla niektórych), że gdy gwiazda przekroczy swój krytyczny obwód, jej kompresja do postaci czasoprzestrzennej osobliwości jest nieunikniona. To, że tak jest, niezależnie od wszelkich założeń idealizujących, takich jak symetria sferyczna i zerowe ciśnienie, udowodnił Roger Penrose w 1964 roku [Penr 65].

Tak więc czas wykładów Feynmana na temat grawitacji jest niefortunny. Rozpoczął się „złoty wiek” badań nad czarnymi dziurami, który w ciągu następnej dekady miał przynieść wiele niezwykłych odkryć. Te spostrzeżenia, których nie można było przewidzieć w latach 1962–1963, całkowicie odmieniłyby badanie ogólnej teorii względności i pomogłyby zapoczątkować nową dyscyplinę, którą jest astrofizyka relatywistyczna.

Na pogląd Feynmana z lat 1962–1963 dotyczący rozwiązania Schwarzschilda duży wpływ miał John Wheeler. Wheeler przez wiele lat uważał, że wnioskom Oppenheimera i Snydera nie można ufać – według niego były fizycznie nieuzasadnione. Jeszcze w 1958 roku opowiadał się za tym, że gdyby w analizie kolapsu grawitacyjnego zastosować bardziej realistyczne równanie stanu, otrzymano by jakościowo inne wyniki [HWWh 58]. (Pogląd ten stałby się mniej możliwy do obrony, w miarę jak przyczynowo-skutkowa struktura geometrii czarnej dziury zostałaby właściwie zrozumiana). Stopniowo jednak Wheeler doszedł do zaakceptowania nieuchronności grawitacyjnego kolapsu w powstawaniu czarnej dziury, w zgodzie z wnioskami Oppenheimera–Snydera. (Tę zmianę punktu widzenia ułatwiły spostrzeżenia Martina Kruskala [Krus 60], który, niezależnie od Finkelsteina, również wyjaśnił strukturę przyczynową czarnej dziury. W rzeczywistości wpływowa praca Kruskala została w dużej mierze napisana przez Wheelera, choć spostrzeżenia i obliczenia należały do Kruskala). Jednak w latach, gdy pozostawał sceptyczny, Wheeler reagował w charakterystyczny sposób – rzadko wspominał o wynikach Oppenheimera i Snydera w swoich opublikowanych pracach. Odkrywcze jest to, że w podrozdziale 11.6 Feynman zauważa, że interesujące byłoby zbadanie zapadania się pyłu. Wydaje się nie wiedzieć, że Oppenheimer i Snyder badali szczegółowo zapadanie się pyłu 23 lata wcześniej! W podrozdziale 15.1 spekuluje, opierając się na (błędnych!) rozważaniach z wykładu 14, że gwiazda złożona z „prawdziwej materii” nie może zapaść się wewnątrz swojego krytycznego obwodu.

Feynman czyni kilka odniesień do programu „geometrodynamiki”, który Wheeler forsował od połowy lat pięćdziesiątych XX wieku i nadal to robił (choć mniej energicznie) w 1962 roku; por. [Whee 62]. Wheeler i współpracownicy mieli nadzieję na interpretację cząstek elementarnych jako geometrycznych bytów powstających z (kwantowych wersji) klasycznych rozwiązań bezmaterialnych równań pola grawitacyjnego. Wheeler był szczególnie zainteresowany koncepcją „ładunku bez ładunku”. Zauważył, że jeśli linie sił pola elektrycznego zostałyby uwięzione przez nietrywialną topologię „tunelu ślimakowego” w przestrzeni, to każde ujście tunelu ślimakowego jawiłoby się obserwatorowi jako punktowy naładowany obiekt, którego rozdzielczość nie wystarcza do dostrzeżenia maleńkiego otworu [MiWh 57]. Wheeler podkreślił, że rozwiązanie Schwarzschilda zawiera plastry przestrzenne, w których dwa asymptotycznie płaskie obszary są połączone wąską szyjką, a więc stanowi model geometrii ślimaka, którą przewidywał.

Feynman jest wyraźnie zafascynowany koncepcją tuneli czasoprzestrzennych i opisuje je krótko w podrozdziale 11.5, a następnie ponownie w podrozdziałach 15.1 i 15.3. Zauważmy, że Feynman nazywa gwiazdę zamkniętą wewnątrz swojego promienia grawitacyjnego „tunelem ślimakowym”. Termin „czarna dziura” został ukuty (przez Wheelera) dopiero w 1967 roku. Dla tego, co obecnie nazywamy „horyzontem” czarnej dziury, Feynman używa starszego terminu „osobliwość Schwarzschilda”. Jest to szczególnie niefortunne określenie, gdyż grozi pomyleniem z rzeczywistą osobliwością, czyli obszarem nieskończonej krzywizny czasoprzestrzeni w centrum dziury. Feynman nigdy nie mówi wprost o tej prawdziwej osobliwości.

Do 1962 roku struktura przyczynowa rozwiązania Schwarzschilda była dość dobrze zrozumiana. Dobrze wyjaśnili ją Fuller i Wheeler [FuWh 62] w pracy, o której wspomina Feynman i na której opiera się podrozdział 15.1. (Praca ta, jedna z niewielu cytowanych w wykładach Feynmana, wykorzystuje współrzędne Kruskala do skonstruowania kompletnej, analitycznie rozszerzonej geometrii Schwarzschilda i przedstawia „diagram Kruskala”, który w sposób szczególny ilustruje własności linii geodezyjnej czasowej i zerowej). Feynman przytacza główny wniosek: rozwiązanie Schwarzschilda nie jest tak naprawdę tunelem ślimakowym rodzaju tego, którym interesuje się Wheeler, ponieważ gardziel tunelu ślimakowego jest w istocie dynamiczna i zaciska się, zanim jakakolwiek cząstka może ją przekroczyć. Jednak praca Fullera–Wheelera nie wspomina o żadnych szerszych implikacjach tej struktury przyczynowej dla problemu grawitacyjnego kolapsu, a Feynman nie daje żadnych oznak, że docenił te implikacje.

Z komentarzy Feynmana w podrozdziałach 15.2 i 15.3 wynika również, że nie rozumiał on struktury przyczynowej rozwiązania („Reissner–Nordström”) naładowanej czarnej dziury, które zostało opracowane w 1960 roku przez Gravesa i Brilla [GrBr 60]. Zauważmy uwagę „[...] nie jest nie do pomyślenia, że może się okazać, że odbita cząstka wychodzi wcześniej niż weszła!”. W rzeczywistości w analitycznie rozszerzonej geometrii linia geodezyjna przechodzi do „nowego Wszechświata” w skończonym czasie właściwym, zamiast wyłaniać się ponownie z czarnej dziury (patrz np. [HaEl 73]). Wiadomo jednak, że wnętrze tego rozwiązania jest niestabilne ze względu na ogólne zakłócenia [ChHa 82]; dla „realistycznego” przypadku naładowanej czarnej dziury powstałej w kolapsie grawitacyjnym sytuacja jest jakościowo inna i wciąż nie w pełni zrozumiała – choć wydaje się wysoce prawdopodobne, że jądro dziury jest tak osobliwe, że nic nie może przez nie przejść do „nowego Wszechświata”, przynajmniej w sferze klasycznej ogólnej teorii względności [BBIP 91].

Przypisy

[1] Usunięte fragmenty to nieprawidłowe wyrażenie na działanie pola materii na końcu podrozdziału 8.7 (prawidłowe wyrażenie pojawia się w podrozdziale 10.2) oraz kilka nieprawidłowych stwierdzeń na temat newtonowskiej teorii stabilności gwiazd w trzecim akapicie podrozdziału 14.3.

[2] Pierwsze wydanie polskie – Pan raczy żartować, panie Feynman! Przypadki ciekawego człowieka, przekład: Tomasz Bieroń; Znak, Kraków 1996 (przyp. tłum.).

[3] Patrz też [BoDe 75], [Dese 87].

[4] Dalsze szczegóły historyczne patrz np. rozdział 9 w [Thor 94] i odniesienia tamże.

[5] „Stellar Interiors and Nucleosynthesis”, seria seminariów, które Fowler zorganizował i prowadził.