Dane oryginału

A Student’s Guide to Waves

© D. Fleisch and L. Kinnaman 2015

This translation of A Student’s Guide to Waves is published by arrangement with Cambridge University Press.

Wydanie polskie

Z języka angielskiego tłumaczył Mariusz Krasiński

Projekt okładki i stron tytułowych Anna Kulikowska

Wydawca Renata Włostowska

Redaktor prowadzący Adam Kowalski

Redaktor Maria Kasperska

Produkcja Mariola Grzywacka

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwo Naukowe PWN S.A.:
Michał Latusek

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo.

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2025

ISBN 978-83-01-24183-4

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2025 r. (Wydanie I)

Warszawa 2025

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321; faks 22 69 54 288

infolinia 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl; www.pwn.pl

Fragment

Wstęp

Podziękowania

Fale – przewodnik dla studenta

Rozdział 1. Fale – podstawy

1.1. Definicje

1.2. Podstawowe zależności

1.3. Wektory – pojęcia podstawowe

1.4. Liczby zespolone

1.5. Wzory Eulera

1.6. Funkcje falowe

1.7. Przedstawienie funkcji falowej za pomocą wskazów

1.8. Zadania

Rozdział 2. Równanie falowe

2.1. Pochodne cząstkowe

2.2. Klasyczne równanie falowe

2.3. Własności równania falowego

2.4. Cząstkowe równania różniczkowe powiązane z równaniem falowym

2.5. Zadania

Rozdział 3. Fale składowe

3.1. Ogólne rozwiązanie równania falowego

3.2. Warunki brzegowe

3.3. Teoria Fouriera

3.4. Pakiety falowe i dyspersja

3.5. Zadania

Rozdział 4. Równanie falowe dla fal mechanicznych

4.1. Własności fal mechanicznych

4.2. Fale na strunie

4.3. Fale ciśnienia

4.4. Energia i moc fali mechanicznej

4.5. Odbicie, transmisja i impedancja fali

4.6. Zadania

Rozdział 5. Równanie falowe dla fal elektromagnetycznych

5.1. Własności fal elektromagnetycznych

5.2. Równania Maxwella

5.3. Równanie falowe dla fal elektromagnetycznych

5.4. Rozwiązanie w postaci fali płaskiej równania falowego dla pola elektromagnetycznego

5.5. Energia, moc i impedancja fal elektromagnetycznych

5.6. Zadania

Rozdział 6. Kwantowe równanie falowe

6.1. Własności fal i cząstek

6.2. Dualizm korpuskularno-falowy

6.3. Równanie Schrödingera

6.4. Funkcje falowe prawdopodobieństwa

6.5. Kwantowy pakiet falowy

6.6. Zadania

Literatura

Przypisy

Pozostałe rozdziały dostępne w pełnej wersji e-booka.

Wstęp

Ta książka powstała w jednym celu: aby pomóc ci zrozumieć podstawowe pojęcia dotyczące fal oraz matematyczne aspekty równania falowego. Autorzy starali się umieścić w książce jasne i proste wyjaśnienia, używając tylko tyle matematycznego formalizmu, ile jest potrzebne, aby pomóc ci zrozumieć najważniejsze idee bez zaciemniania ich sensu fizycznego. Wyposażony w te informacje będziesz gotowy, aby zmierzyć się z wieloma doskonałymi (ale trudniejszymi) tekstami omawiającymi bardziej zaawansowane zagadnienia dotyczące fal mechanicznych, elektromagnetycznych i kwantowych.

Powinieneś mieć na uwadze, że ta książka pomyślana została jako tekst uzupełniający i nie ma na celu kompleksowego opracowania zjawisk falowych. Oznacza to, że nie próbowaliśmy omówić każdego aspektu fal. Zamiast tego uwzględniliśmy tematy, które nasi studenci uznali za sprawiające najwięcej kłopotów.

Jak zobaczysz, układ książki ułatwia wykorzystanie jej jako tekstu uzupełniającego. Tam, gdzie to możliwe, sprawiliśmy, że rozdziały są modułowe, co pozwala pominąć materiał, który już opanowałeś, dzięki czemu możesz przejść bezpośrednio do tych tematów, z którymi masz problemy. Książce, która jest Przewodnikiem dla studentów, towarzyszy oczywiście ogólnodostępna strona internetowa, zawierająca różnorodne materiały, które naszym zdaniem mogą okazać się bardzo pomocne. Obejmują one kompletne, interaktywne rozwiązania każdego zadania zamieszczonego w książce, jak również serię podcastów, w których wyjaśniamy najważniejsze pojęcia, równania i wykresy z każdej sekcji każdego rozdziału. Przez „interaktywne” rozumiemy to, że możesz natychmiast zobaczyć pełne rozwiązanie lub możesz poprosić o jedną lub więcej wskazówek, które poprowadzą cię do ostatecznego rozwiązania. Ikona pojawiająca się w całej książce wskazuje fragmenty tekstu, do których można znaleźć materiały towarzyszące, dostępne online. Jeśli będziesz korzystać z e-booka na urządzeniu obsługującym interaktywność, te dodatkowe możliwości pojawią się bezpośrednio w tekście. Jeśli twoje urządzenie nie obsługuje interaktywności, kliknięcie na ikonę przeniesie cię bezpośrednio na stronę internetową książki.

Czy ta książka jest odpowiednia dla ciebie? Tak, z pewnością jest taka, jeśli szukasz pomocy w zrozumieniu zagadnień związanych z falami, niezależnie od tego, czy potrzebujesz tej pomocy, aby uzupełnić swoją wiedzę na zajęciach z fizyki lub inżynierii, przygotować się do standardowego egzaminu z fizyki, czy też w ramach samodzielnej nauki. Bez względu na powód, pochwalamy twoje starania.

Podziękowania

To, co dobre w tej książce, jest przede wszystkim zasługą naszych studentów, których ciekawość, inteligencja i wytrwałość zainspirowały nas do poszukiwania (i czasami znajdowania) głębszego zrozumienia i lepszych wyjaśnień fizyki fal. Dziękujemy tym studentom.

Dziękujemy również dr. Nickowi Gibbonsowi, dr. Simonowi Capelinowi i światowej klasy zespołowi redakcyjnemu Cambridge University Press, których wsparcie było niezbędne podczas dwuletniego procesu, którego rezultatem jest ta książka. Wersja e-book tego tekstu nie byłaby możliwa bez przemyślanych wskazówek Claire Eudall i Catherine Flack.

Laura dziękuje również swojej siostrze, dr Carrie Miller, za wszystkie opinie, wsparcie i zachętę. Zawsze mogę liczyć na Carrie, która pomoże mi znaleźć wyjście z trudnej sytuacji. Dziękuję również Bennettowi za jego cierpliwość i wsparcie, gdy zaszywam się w samotności, pisząc. Dziękuję moim rodzicom, siostrom, szwagrom, siostrzenicom i siostrzeńcom, którzy dodawali mi otuchy i odwracali uwagę od problemów!

I jak zawsze, Dan dziękuje Jill za jej niezachwiane wsparcie i docenia dalekowzroczność i intuicję dr. Johna Fowlera, który umożliwił mi wniesienie wkładu w serię Przewodników dla studentów wydawnictwa Cambridge.

Fale – przewodnik dla studenta

Fale są ważnym tematem w mechanice, elektromagnetyzmie i teorii kwantowej, ale wielu studentów zmaga się z ich aspektami matematycznymi. Książka ta, napisana jako uzupełnienie podręczników do kursów uniwersyteckich, koncentruje się na tematach, które studenci uważają za najtrudniejsze.

Zachowując bardzo popularne podejście stosowane w innych Przewodnikach dla studentów Fleischa, w książce użyto zwykłego języka, aby wyjaśnić podstawowe idee w prosty i jasny sposób. Zadania i w pełni opracowane przykłady pomagają czytelnikom sprawdzić zrozumienie pojęć, co czyni ją idealną książką dla studentów fizyki i inżynierii, którzy próbują uporać się z tym trudnym tematem.

Książkę uzupełnia zestaw zasobów internetowych dostępnych na stronie internetowej www.cambridge.org/wavesguide. Należą do nich interaktywne rozwiązania każdego zadania zamieszczonego w tekście oraz seria podcastów, w których autorzy wyjaśniają ważne pojęcia zawarte w każdej części książki.

Daniel Fleisch jest profesorem na Wydziale Fizyki Uniwersytetu w Wittenberdze, gdzie specjalizuje się w elektromagnetyzmie i fizyce kosmicznej. Jest autorem kilku książek z serii Student’s Guide, w tym ostatnio A Student’s Guide to the Schrödinger Equation (Cambridge University Press, 2020) oraz A Student’s Guide to Laplace Transforms (Cambridge University Press, 2022).

Laura Kinnaman jest adiunktem (Assistant Professor) fizyki w Morningside College, gdzie prowadzi badania w dziedzinie obliczeniowej fizyki chemicznej i organizuje Koło Fizyki.

Rozdział 1

Fale – podstawy

W tym rozdziale omawiane są podstawowe pojęcia dotyczące fal. Podobnie jak w przypadku wszystkich innych rozdziałów książki możesz czytać sekcje w tym rozdziale w dowolnej kolejności albo nawet pominąć je całkowicie, jeśli czujesz się już komfortowo z tymi zagadnieniami. Jeśli jednak podczas lektury jednego z późniejszych rozdziałów stwierdzisz, że nie rozumiesz w pełni tekstu czy wyprowadzeń, możesz zawsze wrócić do odpowiedniej sekcji tego rozdziału.

W dwóch pierwszych sekcjach możesz się zapoznać z podstawową terminologią dotyczącą fal (sekcja 1.1) oraz relacjami pomiędzy parametrami opisującymi fale (sekcja 1.2). W kolejnych sekcjach omówiono tematy, które pozwalają stworzyć fundament dla pełnego zrozumienia zagadnień związanych z falami, takie jak wektory (sekcja 1.3), liczby zespolone (sekcja 1.4), wzory Eulera (sekcja 1.5), funkcje falowe (sekcja 1.6) i wskazy (fazory) (sekcja 1.7)

1.1. Definicje

Kiedy rozpoczynasz naukę nowego tematu, dobrze jest poznać i zrozumieć terminologię używaną przez ludzi nim się zajmującymi. Ponieważ ta książka w całości poświęcona jest falom, dobrym punktem startu będzie zadanie pytania „Czym właściwie są fale?”.

Poniżej kilka odpowiedzi na to pytanie, jakie możesz znaleźć w różnych źródłach.

„Klasyczna fala biegnąca to samopodtrzymujące się zaburzenie ośrodka, rozchodzące się w przestrzeni i przenoszące energię oraz pęd” [6].[1]

„Warunkiem koniecznym, aby uznać zjawisko fizyczne za falę, jest to, że jego matematyczny opis spełnia pewne specyficzne równanie, znane jako równanie falowe.” [9].

„[Kluczową własnością ruchu falowego jest to, że] pewien stan jest przenoszony z jednego miejsca do drugiego za pomocą ośrodka, ale sam ośrodek nie jest przenoszony” [4].

„[Falą jest] każde rytmiczne zaburzanie i odzyskiwanie pewnego stanu”[2].

Chociaż te definicje różnią się od siebie, to każda zawiera jeden element, który może pomóc podjąć decyzję, czy dane zjawisko może (albo powinno) zostać nazwane falą.

Wspólną cechą występującą w większości tych definicji jest to, że fala jest pewnego rodzaju zaburzeniem, odstępstwem od stanu równowagi (stanu niezaburzonego). Fala na strunie zaburza położenie odcinków struny, fala dźwiękowa zaburza ciśnienie otoczenia, fala elektromagnetyczna zakłóca pole elektryczne i magnetyczne, a fale materii zaburzają prawdopodobieństwo, że w pobliżu znajduje się cząstka.

W falach biegnących, czy też rozchodzących się, zaburzenie fali musi przemieszczać się z miejsca na miejsce, niosąc ze sobą energię. Należy jednak mieć świadomość, że kombinacje fal biegnących mogą wytwarzać zaburzenia, które się nie rozchodzą, takie jak fala stojąca (więcej na ten temat możesz przeczytać w sekcji 3.2 rozdziału 3).

W przypadku fal okresowych zaburzenie fali powtarza się w czasie i przestrzeni. Jeśli więc pozostaniesz w jednym miejscu i poczekasz wystarczająco długo, na pewno zobaczysz te same zaburzenia, które widziałeś wcześniej. A jeśli zrobisz zdjęcie fali w jednym, konkretnym momencie, będziesz w stanie znaleźć na fali różne miejsca z tymi samymi zaburzeniami. Kombinacje fal okresowych mogą jednak sumować się, prowadząc do zaburzeń nieokresowych, takich jak impuls falowy (o którym możesz przeczytać w sekcji 3.3 rozdziału 3).

Na koniec, dla tak zwanych fal harmonicznych, kształt fali jest sinusoidalny, co oznacza, że przyjmuje postać funkcji sinus lub cosinus. Wykresy fali sinusoidalnej w przestrzeni i czasie możesz zobaczyć na rysunku 1.1.

Rys. 1.1. Przykład fali sinusoidalnej narysowany w funkcji położenia (górny rysunek) i czasu (dolny rysunek)

Fale są więc zaburzeniami, które mogą, ale nie muszą, rozchodzić się oraz być okresowe i harmoniczne. Niezależnie jednak od rodzaju fali istnieje kilka podstawowych parametrów fal, które powinieneś rozumieć. Poniżej, najczęściej zadawane pytania (i odpowiedzi na nie) dotyczące podstawowych własności fal.

Pyt: Jak daleko jest od jednego grzbietu fali do następnego?

Odp: Tę odległość opisuje λ (grecka litera „lambda”), długość fali. Długość fali to odległość, jaką przebywa fala w czasie jednego cyklu (okresu). Ma ona wymiar długości; w układzie jednostek SI[3] jednostką długości jest metr (m). Czy jednak formalnie nie powinny to być „metry / cykl”? Właściwie to tak. Ponieważ jednak ludzie wiedzą, że kiedy wspominasz o długości fali, to mówisz o falach, więc „na cykl” jest zwykle pomijane i przyjmowane jako domyślne i oczywiste.

Pyt: Ile czasu upływa pomiędzy przejściem dwóch kolejnych grzbietów przez to samo miejsce?

Odp: Ten czas to T, czyli okres. Okres to czas trwania jednego cyklu. Ma on wymiar czasu, a jego jednostką w układzie SI jest sekunda (s). Ponownie, formalnie powinno być „sekunda na cykl”, ale „na cykl” jest pomijane jako oczywiste.

Pyt: Jaka wielkość opisuje, jak często przez dany punkt przechodzą grzbiety fal?

Odp: Ta wielkość to f, czyli częstotliwość. Jeśli policzysz, ile grzbietów fal przechodzi przez dane miejsce w określonym czasie, to wyznaczasz właśnie f. Zatem częstotliwość jest liczbą cykli przypadających na odcinek czasu i ma jednostkę „jeden przez czas” (formalnie to cykle na jednostkę czasu, ale znowu „cykle” są przyjmowane domyślnie i można je w związku z tym pominąć). W układzie SI możesz więc spotkać jako jednostkę cykle / s lub 1 / s (nazywane również hercami (Hz)). Częstotliwość fali ( f ) jest odwrotnością okresu fali (T)( ).

Na rysunku 1.2 przedstawiono sens fizyczny (i sposób pomiaru) długości fali, okresu fali oraz jej częstotliwości.

Rys. 1.2. Sposób pomiaru parametrów fali

Pyt: Jak duża jest fala w danym miejscu lub czasie?

Odp: Tę cechę opisuje y, czyli wychylenie. Wychylenie to wielkość zaburzenia (odchylenia od stanu równowagi) wytworzonego przez falę. Jego wartość zależy od miejsca i czasu, w którym dokonujesz pomiaru fali (dla fali poruszającej się wzdłuż osi x jest więc funkcją zarówno x, jak i t ). Jednostki wychylenia zależą od tego, z jakim rodzajem fali mamy do czynienia: dla fal na strunach wychylenie wyrażamy w jednostkach długości (patrz rozdział 4), dla fal elektromagnetycznych wychylenie wyrażamy w jednostkach natężenia pola elektrycznego i magnetycznego (patrz rozdział 5), a dla jednowymiarowej kwantowo-mechanicznej fali materii wychylenie wyrażamy w jednostkach jeden przez pierwiastek kwadratowy długości (patrz rozdział 6).

Pyt: Jakie jest największe możliwe wychylenie fali?

Odp: To wychylenie to A, amplituda. Amplituda to specjalna wartość związana z maksymalnym wychyleniem fali. Dlatego „związana z”, ponieważ stosujemy kilka różnych rodzajów (definicji) amplitudy. Amplituda „szczytowa” (albo po prostu amplituda) jest to maksymalne wychylenie ze stanu równowagi. Mierzy się ją od położenia równowagowego do szczytu najwyższego grzbietu fali lub dna najgłębszej doliny. Amplituda „międzyszczytowa” to odległość między szczytem grzbietu a dnem doliny. Natomiast średnia kwadratowa amplituda (czasami oznaczana indeksem „rms”) to średnia kwadratowa wartość wychylenia w jednym cyklu. W przypadku fal sinusoidalnych amplituda międzyszczytowa jest dwa razy większa od amplitudy szczytowej, a amplituda rms stanowi 0,707 amplitudy szczytowej. Amplituda ma te same jednostki co wychylenie.

Pyt: Jak szybko przemieszcza się fala?

Odp: Opisuje to v, prędkość fali. Zwykle, gdy autorzy piszą o prędkości fali, mają na myśli prędkość fazową. Mówi ona, jak szybko dany punkt fali (np. grzbiet czy dolina) przemieszcza się wzdłuż kierunku rozchodzenia się tej fali. Na przykład, jeśli mierzysz, ile czasu zajmuje danemu grzbietowi fali pokonanie określonej odległości, mierzysz właśnie prędkość fazową fali. Istnieje też inna prędkość, prędkość grupowa, która jest istotna dla grup fal zwanych pakietami fal, których kształt może się zmieniać w czasie. Więcej informacji na ten temat możesz znaleźć w sekcji 3.4 rozdziału 3.

Pyt: Jaka wielkość opisuje, która część fali znajduje się w danym miejscu w określonym czasie?

Odp: Ta wielkość to φ (grecka litera „fi”), faza. Jeśli określisz miejsce i czas, faza fali powie ci, czy w tym miejscu i czasie pojawi się grzbiet, dolina, czy też coś pomiędzy. Innymi słowy, faza jest argumentem funkcji opisującej falę (takiej jak sin (φ ) lub cos (φ )). W układzie SI jednostka fazy to radian i przyjmuje ona wartości od 0 do ±2π w trakcie jednego cyklu (można również spotkać fazę wyrażoną w stopniach, w takim przypadku jeden cykl = 360° = 2π radianów).

Pyt: Jaka wielkość opisuje punkt startowy fali?

Odp: Ta wielkość to φ 0 (grecka litera „fi zero”) lub ϵ (grecka litera „epsilon”), czyli stała fazowa albo faza początkowa. Stała fazowa informuje o fazie fali w chwili t = 0 i w miejscu x = 0. Jeśli napotkasz dwie fale, które mają tę samą długość fali, częstotliwość i prędkość, ale są „przesunięte” względem siebie (to znaczy, że nie osiągają szczytu w tym samym miejscu lub czasie), fale te mają różne stałe fazowe. Na przykład fala kosinusoidalna to po prostu fala sinusoidalna o stałej fazowej różnej o π / 2 lub 90°.

Pyt: Wszystko to brzmi dziwnie, czy faza jest związana z jakimś kątem?

Odp: Masz rację, dlatego właśnie faza fali jest czasami nazywana „kątem fazowym”. Kolejne dwie definicje powinny pomóc Ci to zrozumieć.

Pyt: Jaki jest związek częstotliwości lub okresu fali z kątami?

Odp: Ten związek opisuje ω (grecka litera „omega”), częstość kołowa (albo częstość kątowa). Częstość kołowa mówi, o jaki kąt faza fali zmieni się w danym czasie. Jednostką częstości kołowej w układzie SI jest radian na sekundę. Częstość kołowa ω jest powiązana z częstotliwością f równaniem ω = 2π f.

Pyt: Jaki jest związek długości fali z kątami?

Odp: Ten związek opisuje k, liczba falowa. Liczba falowa mówi, o ile faza fali się zmieni na danym odcinku, więc liczba falowa w układzie SI ma jednostkę radian na metr. Liczba falowa jest powiązana z długością fali równaniem k = 2π / λ.

1.2. Podstawowe zależności

Wiele podstawowych parametrów fali, zdefiniowanych w poprzedniej sekcji, jest powiązanych ze sobą za pomocą prostych równań algebraicznych. Na przykład częstotliwość ( f ) i okres (T) są powiązane przez zależność:

.

(1.1)

To równanie mówi, że częstotliwość i okres są do siebie odwrotnie proporcjonalne. Oznacza to, że dłuższy okres odpowiada niższej częstotliwości, a krótszy okres odpowiada wyższej częstotliwości.

Możesz sprawdzić, czy w równaniu (1.1) zgadzają się jednostki. W sekcji 1.1 stwierdziliśmy, że jednostka częstotliwości to cykle / sekundę (często wyrażane po prostu jako 1 / s), a jednostka okresu to sekundy / cykl (zwykle wyrażane jako „s”). Zatem wymiary lewej i prawej strony równania (1,1) rzeczywiście się zgadzają

Inne proste, ale niezwykle istotne równanie wiąże długość fali (λ ) i częstotliwość fali ( f ) z prędkością fali (v). Równanie to ma postać

.

(1.2)

Pochodzenie tego równania można zrozumieć, biorąc pod uwagę fakt, że prędkość jest równa przebytej odległości podzielonej przez czas, a fala pokonuje odległość równą jednej długości fali w czasie jednego okresu. Stąd v = λ / T, a ponieważ T = 1 / f, więc prędkość wynosi v = λ f. To równanie ma również czytelny sens fizyczny. Wynika z niego, że dla fali o dużej długości fali i wysokiej częstotliwości jej prędkość musi być wysoka. Jak inaczej te odległe od siebie grzbiety (długie fale) mogłyby przechodzić obok nas bardzo często (wysoka częstotliwość)? Teraz pomyśl o fali, dla której długość fali i częstotliwość są małe. Ponieważ te blisko rozmieszczone grzbiety (mała długość fali) nie przechodzą zbyt często (niska częstotliwość), więc fala musi poruszać się powoli.

Aby zobaczyć, że jednostki w równaniu (1.2) się zgadzają, pomnóż jednostkę długości fali przez jednostkę częstotliwości

a otrzymasz jednostkę prędkości.

Równanie (1.2) pozwala więc znaleźć prędkość fali, jeśli znasz długość fali i jej częstotliwość. Często jednak będziesz miał do czynienia z falami tego samego typu, które poruszają się z tą samą prędkością, ale mogą mieć różne długości fali (λ ) i częstotliwości ( f ) (np. fale elektromagnetyczne w próżni, które niezależnie od λ i f poruszają się z prędkością światła). Jednak iloczyn długości fali i częstotliwości fali dla każdej z tych fal musi być jednakowy, bo jednakowe są prędkości tych fal.

Oznacza to, że tak długo, jak prędkość fali (v) jest stała, fale o większej długości fali (duże λ ) muszą mieć niższą częstotliwość (małe f ). Podobnie dla fal o tej samej prędkości, jeśli długość fali jest mała (małe λ ), częstotliwość musi być wysoka (duże f ). Ta obserwacja jest tak ważna, że przedstawiliśmy ją dodatkowo na rysunku 1.3.

Rys. 1.3. Zależność długości fali od częstotliwości fali dla fal poruszających się z tą samą prędkością

W przypadku fal dźwiękowych częstotliwość odpowiada wysokości dźwięku. W pewnych okolicznościach fale dźwiękowe mają tę samą, niezależną od częstotliwości prędkość. W takim przypadku dźwięki o niskich tonach (takie jak dźwięki basowe tuby lub dudnienie przejeżdżającej ciężarówki) muszą mieć dużą długość fali, a dźwięki o wysokiej częstotliwości (takie jak ćwierkanie ptaków lub głos Myszki Miki) muszą mieć małą długość fali.

W przypadku fal elektromagnetycznych dla widzialnej części widma częstotliwość odpowiada kolorowi. Tak więc zależność między długością fali, częstotliwością i prędkością oznacza, że światło o niskiej częstotliwości (czerwone) ma większą długość fali niż światło o dużej częstotliwości (niebieskie).

Istnieją dwa, dodatkowe równania, które z pewnością przydadzą się podczas rozwiązywania zadań związanych z falami. Pierwszym z nich jest zależność między częstotliwością ( f ), okresem (T) i częstością kołową (ω ):

.

(1.3)

Z tego równania wynika, że zgodnie z definicją tego parametru w sekcji 1.1 częstość kołowa ma wymiar kąta przez czas (jednostki SI rad / s). Tak więc częstotliwość ( f ) mówi o liczbie cykli na sekundę, a częstość kołowa (ω ) mówi o liczbie radianów na sekundę.

Dlatego właśnie częstość kołowa (ω ) fali jest tak użytecznym parametrem. Załóżmy, że chcesz się dowiedzieć, jak bardzo zmieni się faza fali w określonym miejscu w danym przedziale czasu (∆ t ). Aby znaleźć tę zmianę fazy (∆ φ ), wystarczy pomnożyć częstość kołową (ω ) przez przedział czasu (∆ t )

,

(1.4)

gdzie indeks dolny „constant x” przypomina, że zmiana fazy spowodowana jest tylko przez upływ czasu. Jeśli zmienisz także położenie, wystąpi dodatkowa zmiana fazy (jak opisano dalej), ale na razie rozważamy zmianę fazy w jednym, określonym miejscu (stałe x ).

W tym momencie pomocna może być analiza równania (1.4) „od końca” i przyjrzenie się członowi ∆ t / T. Stosunek ten jest tylko częścią pełnego okresu (T), odpowiadającą przedziałowi czasu ∆ t. Ponieważ zmiana fazy podczas pełnego okresu wynosi 2π radianów, pomnożenie tego ułamka (∆ t / T) przez 2π radianów daje liczbę radianów, o które zmieniła się faza fali w przedziale czasu ∆ t.

Przykład 1.1. Jak bardzo zmieni się w ciągu 5 sekund faza fali o okresie (T) wynoszącym 20 sekund?

Ponieważ okres fali T wynosi 20 sekund, przedział czasu t wynoszący 5 sekund odpowiada 1 / 4 okresu (∆ t / T = 5s / 20s = 1 / 4). Pomnożenie tego ułamka przez 2π daje π / 2 radianów. Stąd faza fali zmienia się o π / 2 radianów (90°) co 5 sekund.

To pokazuje, dlaczego częstość kołowa (ω ) może być uważana za „konwerter czasu na fazę”. Biorąc pod uwagę dowolny przedział czasu t, możesz przekształcić ten czas na odpowiadającą mu zmianę fazy, obliczając iloczyn ω t.

Ostatnia ważna zależność tej sekcji dotyczy liczby falowej ( k ) i długości fali (λ ). Zależność między tymi parametrami ma postać

.

(1.5)

Równanie to pokazuje, że liczba falowa ma wymiar kąta podzielonego przez odległość (z jednostkami SI rad / m). Sugeruje to również, że liczba falowa może być używana do przekształcania odległości na zmianę fazy, tak jak częstość kołowa może być używana do konwersji czasu na zmianę fazy.

Aby znaleźć zmianę fazy ∆ φ po przemieszczeniu się fali o określony dystans, w określonym czasie, pomnóż liczbę falową k przez zmianę położenia ∆ x

.

(1.6)

gdzie indeks dolny „constant t” przypomina, że ta zmiana fazy jest spowodowana wyłącznie zmianą położenia (jak opisano już powyżej, wystąpi dodatkowa zmiana fazy spowodowana ewentualnym upływem czasu).

Podobnie jak ułamek ∆ t / T reprezentuje cześć pełnego cyklu odpowiadającą przedziałowi czasu ∆ t, tak ułamek ∆ x / λ reprezentuje część pełnego cyklu odpowiadającą zmianie położenia o ∆ x. W ten sposób liczba falowa k może służyć jako „konwerter odległość-faza”, umożliwiając przekształcenie dowolnej odległości x na zmianę fazy poprzez obliczenie iloczynu kx.

Jeśli rozumiesz już znaczenie parametrów fali i ich zależności opisane w tej i poprzedniej sekcji, jesteś prawie gotowy do zapoznania się z tematem funkcji falowych. Jest jednak bardzo pożądane, abyś miał również podstawową wiedzę na temat wektorów, liczb zespolonych i relacji Eulera. Są to tematy trzech następnych sekcji.

1.3. Wektory – pojęcia podstawowe

Zanim przejdziemy do omawiania liczb zespolonych i wzorów Eulera, warto przypomnieć podstawowe pojęcia dotyczące wektorów. Jest to tak istotne, ponieważ, jak zostało opisane w dalszej części tej sekcji, każdą liczbę zespoloną można uznać za wynik dodawania wektorów. Co więcej, do opisu niektórych fal wykorzystujemy wielkości wektorowe (np. w przypadku pola elektrycznego i magnetycznego), więc szybki przegląd podstaw analizy wektorowej może pomóc w zrozumieniu dalszych zagadnień związanych z falami.

Czym właściwie jest wektor? W przypadku wielu zastosowań fizycznych wektor można traktować po prostu jako wielkość, która zawiera w sobie zarówno wartość (ile), jak i kierunek (w którą stronę). Na przykład szybkość nie jest wielkością wektorową[4]. Jest wielkością „skalarną”, ponieważ ma wartość (jak szybko porusza się obiekt), ale nie zawiera informacji o kierunku. Natomiast prędkość jest wielkością wektorową, ponieważ prędkość obejmuje zarówno wartość, jak i kierunek (jak szybko porusza się obiekt i w jakim kierunku)[5].

W fizyce spotykamy wiele innych wielkości, które można (a nawet trzeba) przedstawić za pomocą wektorów. Są to na przykład: przyspieszenie, siła, pęd, moment pędu, natężenie pola elektrycznego czy indukcja pola magnetycznego. Wielkości wektorowe są często przedstawiane obrazowo jako strzałki, w których długość strzałki jest proporcjonalna do wartości wektora, a orientacja strzałki pokazuje kierunek wektora. W książkach i na stronach internetowych wielkości wektorowe są zwykle zapisywane za pomocą pogrubionego pisma (na przykład A) lub przez umieszczenie strzałki nad nazwą zmiennej (na przykład ).

Podobnie jak dla skalarów możesz wykonywać operacje matematyczne, takie jak dodawanie, odejmowanie i mnożenie, to takie same operacje możesz również wykonywać dla wektorów. Aby zrozumieć, dlaczego wektory mogą posłużyć do wyjaśnienia sensu liczb zespolonych, konieczne jest przypomnienie dwóch podstawowych operacji na wektorach. To dodawanie wektorów i mnożenie wektora przez skalar.

Najprostszym sposobem dodawania wektorów jest wyobrażenie sobie, że przesuwamy jeden wektor bez zmiany jego długości ani kierunku (i zwrotu), tak aby jego „ogon” (początek), czyli koniec bez grotu strzałki, znalazł się w tym samym miejscu co „głowa”, czyli koniec grotu strzałki pierwszego wektora. Suma jest wyznaczana przez utworzenie nowego wektora, który zaczyna się na początku pierwszego wektora i kończy na końcu drugiego wektora. To graficzne podejście, „ogon do głowy”, do dodawania wektorów działa dla wektorów skierowanych w dowolnym kierunku, a także dla trzech lub więcej wektorów.

Aby graficznie dodać dwa wektory i przedstawione na rysunku 1.4(a), wyobraźmy sobie, że przesuwamy wektor bez zmiany jego długości lub kierunku (i zwrotu), tak aby jego „ogon” (początek) znajdował się w pozycji głowy (końca) wektora (rys. 1.4(b)). Suma tych dwóch wektorów nazywana jest wektorem „wypadkowym”. Zauważ, że wektor rozciąga się od ogona (początku) do głowy (końca) . Wynik byłby taki sam, gdyby wybrano przemieszczenie „ogona” wektora do „głowy” wektora bez zmiany kierunku .

Niezwykle ważne jest, aby pamiętać, że długość wektora wynikowego nie jest długością wektora dodaną do długości wektora (chyba że i mają ten sam kierunek). Tak więc dodawanie wektorów nie jest takim samym procesem jak dodawanie skalarów i należy pamiętać, aby nigdy nie dodawać wektorów za pomocą dodawania skalarnego (czyli dodawania wartości wektorów).

Rys. 1.4. Graficzne dodawanie wektorów

Mnożenie wektora przez skalar jest dość proste, ponieważ pomnożenie wektora przez dowolny dodatni skalar nie zmienia ani kierunku, ani zwrotu wektora – a jedynie zmienia jego długość. Stąd, jak pokazano na rysunku 1.5(a), wektor jest wektorem skierowanym dokładnie w tym samym kierunku (i o tym samym zwrocie) co wektor , ale o długości czterokrotnie większej od długości . Jeśli współczynnik skalowania (wartość skalara) jest mniejszy niż jeden, wynikowy wektor jest krótszy niż wektor oryginalny. Na przykład pomnożenie przez (1/ 2) daje wektor, który skierowany jest w tym samym kierunku (i ma ten sam zwrot) co , ale jest o połowę krótszy.

Rys. 1.5. Mnożenie wektora przez skalar

Jeśli skalar, przez który mnożymy wektor, jest ujemny, wynikowy wektor ma inną długość, ale ma również przeciwny zwrot do wektora oryginalnego. Na przykład, pomnożenie wektora przez –3 (rysunek 1.5(b)) daje nowy wektor , który jest trzy razy dłuższy od i ma przeciwny zwrot do zwrotu wektora .

Skoro wiesz już, jak dodawać wektory i jak je mnożyć przez skalar, jesteś w stanie zrozumieć alternatywny sposób wyrażania i manipulowania wektorami. Podejście to, wykorzystujące składowe i wektory jednostkowe, ma bezpośrednie znaczenie dla wyrażania liczb zespolonych i operowania nimi.

Aby zrozumieć, czym są składowe wektora i wektory jednostkowe w dwuwymiarowym kartezjańskim układzie współrzędnych, rozważmy wektor reprezentowany przez strzałkę pokazaną na rysunku 1.6. Jak widać na rysunku 1.6(a), składowa x (pozioma) wektora (Ax ) jest rzutem wektora na oś x (jednym ze sposobów, aby to zobaczyć, jest wyobrażenie sobie, że światło świecące w dół, równolegle do osi y i prostopadle do osi x, tworzy cień wektora na osi x ). Podobnie, składowa y (Ay) jest rzutem wektora na oś y (w tym przypadku światło świeci w lewo, równolegle do osi x i prostopadle do osi y).

Rys. 1.6. Wektor i jego składowe Ax oraz Ay

Spójrz teraz na rys. 1.6(b). Dwie małe strzałki skierowane wzdłuż osi x i y nazywane są „wersorami”, „wektorami bazowymi” lub „wektorami jednostkowymi”, ponieważ mają długość równą jedności (czyli długość jednej jednostki). Co to za jednostki? Są to dowolne jednostki, które występują na osiach x i y. Tak więc wektor jednostkowy î (zwany „i z daszkiem”) skierowany jest wzdłuż osi x i ma długość jednej jednostki, a wektor jednostkowy ĵ (zwany „j z daszkiem”) wskazuje kierunek i zwrot osi y i ma długość jednej jednostki. Uważaj, aby nie pomylić (î) z (i), które nie ma daszka i oznacza .

Sens wektorów jednostkowych staje się jasny po połączeniu ich ze składowymi wektora, takimi jak Ax i Ay. Ponieważ Ax i Ay są skalarami, pomnożenie ich przez wektory jednostkowe daje skalowane wersje wektorów jednostkowych (rysunek 1.6 (c)). Jak widać na tym rysunku, Ax î jest wektorem w kierunku wektora jednostkowego î (czyli wzdłuż osi x ), ale o długości równej Ax. Podobnie, Ay ĵ jest wektorem w kierunku wektora jednostkowego ĵ (wzdłuż osi y), ale o długości równej Ay.

Dzięki temu, dodając wektory, możesz zdefiniować wektor jako sumę wektorów Ax î i Ay ĵ. Tak więc całkowicie poprawnym (i bardzo użytecznym) sposobem zapisu wektora jest

.

(1.7)

Równanie (1.7) mówi więc, że jednym ze sposobów dotarcia od początku do końca wektora jest zrobienie kroku o długości Ax w kierunku x, a następnie kroku o długości Ay w kierunku y.

Gdy masz już składowe x i y wektora, łatwo jest znaleźć jego wartość (długość) i kierunek (kąt). Aby obliczyć długość wektora, po prostu podnieś do kwadratu składowe x i y, dodaj wyniki i oblicz pierwiastek kwadratowy z tej sumy (dokładnie tak, jak robisz to, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, aby znaleźć długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego). Długość wektora jest zapisywana za pomocą pionowych linii po każdej stronie nazwy wektora (np. ), więc

,

(1.8)

a kąt, jaki wektor tworzy z dodatnią osią x (mierzony w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara), jest określony wzorem[6]

.

(1.9)

Jeśli wyrazimy wektory za pomocą składowych i wektorów bazowych, to dodawanie wektorów staje się jeszcze łatwiejsze niż za pomocąa opisanej powyżej metody graficznej. Jeśli wektor jest sumą dwóch wektorów i , to składowa x wektora (czyli po prostu Cx ) jest sumą składowych x wektorów i (czyli Ax + Bx ), a składowa y wektora (czyli Cy) jest sumą składowych y wektorów i (czyli Ay + By). Stąd

Cx = Ax + Bx,

(1.10)

Cy = Ay + By.

Uzasadnienie tych zależności przedstawiono na rysunku 1.7.

Rys. 1.7. Dodawanie wektorów z wykorzystaniem ich składowych

Zauważ, że dodanie długości składowej x wektora do długości składowej x wektora jest możliwe, ponieważ obie te składowe wektorów pomnożone są przez î, a wynikowy wektor skierowany jest w tym samym kierunku (wzdłuż osi x ). Podobnie, można dodać długość składowej y wektora do długości składowej y wektora , ponieważ obie te składowe wektorów pomnożone są przez ĵ i wynikowy wektor skierowany jest w tym samym kierunku (wzdłuż osi y). Nigdy jednak nie należy dodawać długości składowej x jednego wektora do długości składowej y tego (lub jakiegokolwiek innego) wektora.

Przykład 1.2. Jeśli wektor , a wektor to jaka jest wartość i kierunek wektora , będącego wynikiem dodania wektora do wektora ?

Stosując rozkład wektorów na składowe, otrzymujemy, że składowe x i y wektora są następujące:

Hx = Fx + Gx = 1 – 7 = -6,

Hy = Fy + Gy = 4 – 2 = 2,

więc Stąd wartość (długość) wektora wynosi

,

a kierunek wektora to

,

ponieważ jednak mianownik argumentu funkcji arctg jest ujemny, to kąt wektora z osią x, mierzony w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara od dodatniej osi x, wynosi -18,4° + 180° = 161,6°.

Jeśli zastanawiasz się, w jaki sposób składowe wektorów i dodawanie wektorów są związane z liczbami zespolonych, odpowiedź możesz znaleźć w następnej sekcji.

1.4. Liczby zespolone

Zrozumienie sensu liczb zespolonych może sprawić, że własności fal staną się znacznie mniej tajemnicze. Prawdopodobnie wiesz już, że liczby zespolone mają części rzeczywiste i urojone. Niestety, termin „urojony” często prowadzi do nieporozumień co do natury i użyteczności liczb zespolonych. Sekcja ta zawiera przegląd własności liczb zespolonych pod kątem ich zastosowania do funkcji falowych i stanowi podstawę do zamieszczonej w następnej sekcji dyskusji na temat wzorów Eulera.

Wielu studentów jest zaskoczonych, gdy dowiaduje się, że geometryczne podstawy liczb zespolonych i znaczenie wielkości (zwykle oznaczanej w fizyce oraz matematyce i, a w inżynierii j) zostały po raz pierwszy przedstawione nie przez starożytnego matematyka, ale przez osiemnastowiecznego norwesko-duńskiego geodetę i kartografa Caspara Wessela.

Biorąc pod uwagę jego zawód, jest zrozumiałe, że Wessel poświęcił dużo czasu na rozmyślania nad matematyką skierowanych odcinków linii (słowo „wektor” nie było jeszcze w powszechnym użyciu). To właśnie Wessel opracował regułę „głowa do ogona” dla dodawania wektorów, opisaną w sekcji 1.3. Wyobrażając sobie, jak pomnożyć dwa skierowane odcinki linii, Wessel znalazł geometryczny sens wielkości , stanowiący podstawę pojęcia płaszczyzny zespolonej.

Aby zrozumieć, czym właściwie jest płaszczyzna zespolona, rozważmy oś liczbową pokazaną w lewej części rysunku 1.8. Na tej osi liczbowej zaznaczono kilka z nieskończonej liczby liczb rzeczywistych. Takie osie liczbowe były używane od tysięcy lat, ale Wessel (będąc geodetą i twórcą map) rozumował dwuwymiarowo. Wyobraził sobie kolejną oś liczbową usytuowaną pod kątem 90° do pierwszej, a następnie umieścił obie osie liczbowe na tym samym wykresie, jak pokazano w prawej części rysunku 1.8.

Rys. 1.8. Osie liczbowe w dwóch wymiarach

Wyobraź sobie teraz wektor, taki jak strzałka skierowana w prawo na rysunku 1.9 (a). Z zasad mnożenia wektora przez skalar opisanych w sekcji 1.3 wiadomo, że aby odwrócić zwrot tego oryginalnego wektora, wystarczy pomnożyć go przez –1, co pokazano na rysunku 1.9(a).

Spójrzmy teraz na rysunek 1.9(b), który zawiera dwie prostopadłe osie liczbowe i wyobraźmy sobie operację, która obróciłaby wektor skierowany oryginalnie w prawo o 90° tak, aby został skierowany wzdłuż pionowej, a nie poziomej osi liczbowej. Gdybyś ponownie wykonał taką operację na tym wektorze (obecnie pionowym), ponownie obróciłby się on o 90°, i byłby teraz skierowany w lewo wzdłuż poziomej osi liczbowej.

Wiesz jednak, że odwrócenie kierunku (zwrotu) wektora odbywa się poprzez pomnożenie tego wektora przez –1. A jeśli obrót o 180° wymaga pomnożenia wektora przez –1, to każdy z obrotów o 90°, pokazanych na rysunku, musi odpowiadać mnożeniu przez .

Rys. 1.9. Przedstawienie jako operatora obrotu o 90°

Można więc myśleć o i () jako o operatorze, który działając na dowolny wektor, powoduje jego obrót o 90°.

Dwie prostopadłe osie liczbowe stanowią podstawę tego, co nazywamy dziś płaszczyzną zespoloną. Ponieważ, aby przejść od poziomej do pionowej osi liczbowej, wymagane jest mnożenie przez , to liczby wzdłuż pionowej osi liczbowej nazywane są niezbyt szczęśliwie „urojonymi”. „Niezbyt szczęśliwie”, ponieważ te liczby są tak samo rzeczywiste jak liczby wzdłuż poziomej osi liczbowej. Taka terminologia jest jednak wszechobecna, więc kiedy po raz pierwszy usłyszałeś o liczbach zespolonych, prawdopodobnie dowiedziałeś się, że składają się one z części „rzeczywistej” i „urojonej”.

Zwykle liczby zespolone zapisujemy w postaci[7]

z = Re ( z ) + i [Im( z )],

(1.11)

w której liczba zespolona składa się z części rzeczywistej (Re ( z )) i części urojonej (Im ( z )), przy czym i zostało napisane w sposób jawny, aby przypomnieć, że część urojona znajduje się wzdłuż prostopadłej osi liczbowej.

Jeśli porównasz równanie (1.11) z równaniem (1.7) z sekcji 1.3, które miało postać

(1.7)

to możesz zauważyć pewne podobieństwo między tymi wyrażeniami. W obu przypadkach wielkość po lewej stronie równania (z lub ) jest pokazana jako suma dwóch składników po prawej stronie. I tak jak dwa wyrazy w wyrażeniu wektorowym (równanie (1.7)) odnoszą się do różnych kierunków, a więc nie mogą być dodawane algebraicznie, tak samo wyrazy w wyrażeniu przedstawiającym liczby zespolone (równanie (1.11)) odnoszą się do różnych osi liczbowych i również nie mogą być dodawane algebraicznie.

Na szczęście, gdy rozumiesz już operacje matematyczne zdefiniowane dla wektorów, możesz zastosować niektóre z nich do liczb zespolonych. Sztuczka polega na tym, aby traktować rzeczywistą część liczby zespolonej jako składnik x wektora, a urojoną część liczby zespolonej jako składową y wektora[8]. Jeśli więc chcesz znaleźć moduł liczby zespolonej |z|, możesz skorzystać z zależności

,

(1.12)

natomiast kąt θ , jaki tworzy z osią rzeczywistą odcinek łączący początek układu współrzędnych i liczbę zespoloną (rysunek w przypisie 8), można obliczyć z zależności

.

(1.13)

Alternatywna metoda znajdowania modułu liczby zespolonej polega na wykorzystaniu pojęcia „liczb sprzężonych”. Liczba sprzężona do liczby zespolonej z jest zapisywana jako z* (zet z gwiazdką w indeksie górnym) i uzyskuje się ją przez odwrócenie znaku części urojonej liczby z. Zatem liczba zespolona z i sprzężona do niej liczba z* mają postaci

z = Re ( z ) + i [Im( z )],

(1.14)

z* = Re ( z ) - i [Im( z )].

Aby znaleźć moduł liczby zespolonej, po prostu pomnóż liczbę zespoloną przez jej sprzężenie i oblicz pierwiastek kwadratowy z wyniku mnożenia:

(1.15)

Aby zobaczyć, że to podejście jest spójne z metoda opisaną równaniem (1.12), pomnóż jeden po drugim rzeczywiste i urojone składniki obu liczb:

Otrzymaliśmy wynik zgodny z równaniem (1.12).

Ponieważ rzeczywiste i urojone części liczby zespolonej dostarczają informacji związanych z dwiema różnymi osiami liczbowymi, przedstawienie liczby zespolonej na płaszczyźnie zespolonej wymaga pokazania obu osi liczbowych, jak to przedstawiono dla kilku liczb zespolonych na rysunku 1.10.

Rys. 1.10. Liczby zespolone przedstawione na płaszczyźnie zespolonej

Rysunek 1.10 to geometryczny obraz liczb zespolonych (postać kartezjańska). Liczby zespolone możemy przedstawić również w inny sposób, zaprezentowany na rysunku 1.11. Na podobieństwo wektora, liczba zespolona to moduł i kąt (które można obliczyć z pomocą równań (1.12) i (1.13)).

Rys. 1.11. Zamiana postaci kartezjańskiej na biegunową

Analiza rysunku 1.11 pozwala zauważyć, że jeśli znasz moduł liczby zespolonej (| z |) i kąt (θ ), możesz łatwo obliczyć wartość części rzeczywistej (Re ( z )) i urojonej (Im ( z )), korzystając z zależności

Re ( z ) = | z | cos θ

(1.16)

Im ( z ) = | z | sin θ.

Liczby zespolone można też zapisać w postaci biegunowej

Liczba zespolona = Moduł liczby ∠ Kąt

lub

z = | z | ∠ θ .

(1.17)

Kąt θ nazywamy argumentem liczby zespolonej.

Przykład 1.3. Znajdź moduł | z | i argument θ każdej z liczb zespolonych przedstawionych na rys. 1.10.

Równania konwersji kanonicznej postaci liczby zespolonej na postać biegunową (równania (1.12) i (1.13)) można zastosować do liczb zespolonych przedstawionych na rysunku 1.10, w celu określenia wartości (modułu) i kąta (argumentu) każdej z nich. Dla liczby zespolonej z = 5 + 10i, Re ( z ) = 5, a Im ( z ) = 10, więc dla tej liczby

,

a kąt θ wynosi

.

Podobnie dla liczby zespolonej -5 + 5i, Re ( z ) = -5, a Im ( z ) = 5, więc

,

a kąt θ z osią rzeczywistą wynosi

.

Przypominamy, że ponieważ mianownik argumentu arctg jest ujemny, to kąt, mierzony w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara od dodatniej osi rzeczywistej, będzie wynosił -45° + 180° = 135°.

Wartości modułów | z | i kątów θ dla wszystkich sześciu liczb zespolonych z rysunku 1.10 przedstawiono na rysunku 1.12.

Rys. 1.12. Liczby zespolone na płaszczyźnie zespolonej, w postaci biegunowej

Kiedy rozumiemy już sposób przedstawiania liczb zespolonych na płaszczyźnie zespolonej, użyteczne będzie rozważenie specjalnego podzbioru nieskończonej liczby punktów na płaszczyźnie zespolonej. Ten podzbiór składa się ze wszystkich punktów, które tworzą okrąg wokół początku układu współrzędnych w odległości równej dokładnie jednej jednostce. Ten okrąg punktów nazywany jest „okręgiem jednostkowym”, ponieważ jego promień ma długość równą jeden.

Aby przekonać się o przydatności okręgu jednostkowego, rozważmy sytuację na rysunku 1.13. Dowolną liczbę zespoloną z leżącą na okręgu jednostkowym można narysować jako wektor o długości (wielkości) jeden i kącie θ . Za pomocą równania (1.16), rzeczywiste i urojone składowe dowolnej liczby na okręgu jednostkowym będą wynosić

Re ( z ) = | z | cos θ = 1 cos θ,

(1.18)

Im ( z ) = | z | sin θ = 1 sin θ,

więc każda liczba zespolona na okręgu jednostkowym może być zapisana jako

z = cos θ + i sin θ.

(1.19)

Rys. 1.13. Okrąg jednostkowy na płaszczyźnie zespolonej

Jeśli nie jesteś przekonany, że powyższe z ma prawidłową wartość, zastosuj równanie (1.15):

Zgodnie z oczekiwaniami dla punktów na okręgu jednostkowym moduł liczby zespolonej wynosi 1.

Okrąg jednostkowy na płaszczyźnie zespolonej jest szczególnie przydatny do zrozumienia sensu formy wektorów zwanych „wskazami” lub „fazorami”. Chociaż różni autorzy używają różnych definicji wskazów, w większości tekstów można znaleźć wskazy opisane jako wektory, których końcówki zataczają okrąg o promieniu jednostkowym na płaszczyźnie zespolonej. Taki wskaz pokazano na rysunku 1.14.

Rys. 1.14. Obracający się wskaz

Zauważ, że na tym rysunku wskaz rozciąga się od początku układu współrzędnych do okręgu jednostkowego. Ten konkretny wskaz początkowo wskazuje dodatni kierunek osi rzeczywistej. Wraz ze wzrostem kąta θ (gdy kąt staje się bardziej dodatni) wskaz obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, zachowując długość jednej jednostki. Po jednym okresie wskaz powraca do pierwotnego położenia wzdłuż osi rzeczywistej[9]. Jeśli kąt θ maleje (staje się mniej dodatni lub bardziej ujemny), wskaz obraca się w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu wskazówek zegara.

Jedną z zalet wskazów wykorzystywaną w analizie fal zilustrowano na rysunku 1.15. Jak pokazano w prawej części rysunku, gdy wskaz się obraca, rzut wskazu (a dokładniej jego końca) na oś urojoną, wraz ze wzrostem θ , kreśli kształt fali sinusoidalnej. Jak pokazano w dolnej części tego samego rysunku, rzut wskazu na oś rzeczywistą w miarę wzrostu θ kreśli kształt fali kosinusoidalnej.

Rys. 1.15. Rzeczywista i urojona część wirującego wskazu

Czyli obracający się wskaz może stanowić graficzny obraz zmieniającej się fazy fali. Wzory Eulera dostarczają narzędzi do wykonywania operacji matematycznych za pomocą wskazów. To właśnie jest temat następnej sekcji.

Przypisy

[1] Podobną definicję można znaleźć w Encyklopedii fizyki (PWN 1972): „Fala, zaburzenie pola fizycznego, rozchodzące się ze skończoną prędkością i przenoszące energię” (przypis tłumacza).

[2] Oxford English Dictionary.

[3] „SI” to Międzynarodowy Układ Jednostek Miar (z francuskiego Système International d’unités).

[4] W języku angielskim (w fizyce) istnieje wyraźne rozgraniczenie: szybkość (speed) to skalar, zaś velocity (prędkość) to wektor. W języku polskim (w fizyce) nie wszyscy autorzy stosują takie rozgraniczenie i często stosują te terminy zamiennie (przypis tłumacza).

[5] W języku polskim (w fizyce) wektor ma wartość, kierunek i zwrot. W angielskim, wyrażenie direction (kierunek) zawiera w sobie zarówno kierunek, jak i zwrot (przypis tłumacza).

[6] Należy pamiętać, że większość kalkulatorów ma „dwukwadrantową” funkcję arctg, co oznacza, że należy dodać 180° do wyniku, jeśli mianownik (w tym przypadku Ax ) jest ujemny.

[7] Zwanej zwykle postacią kanoniczną (przyp. tłumacza).

[8] Autor wprowadza tak zwaną kartezjańską postać liczby zespolonej, gdzie liczba zespolona jest punktem na płaszczyźnie xy. Modułem liczby zespolonej nazywamy wtedy odległość Oz, a θ to kąt, jaki tworzy ten odcinek z poziomą osią układu współrzędnych. (przypis tłumacza).

[9] W przypadku różnych zastosowań wygodne może być wybranie innego kierunku początkowego („kierunku odniesienia”).