Projekt okładki i stron tytułowych: Barbara Niewiadomska

Autorka rysunków na stronach 13, 27, 75, 131, 200: Agnieszka Żelewska

Wydawca: Karol Zawadzki i Renata Włostowska

Koordynator ds. redakcji: Adam Kowalski

Redaktor: Irena Puchalska

Produkcja: Mariola Grzywacka

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w Internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo.

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2023

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2023 r. (wyd. I)

Warszawa 2023

ISBN 978-83-01-23247-4

DOI: https://doi.org/10.53271/2023.114

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321, faks 22 69 54 031

e-mail: pwn@pwn.com.pl; www.pwn.pl

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwa Naukowego PWN: mobisfera.pl

Spis treści

Wstęp

Rozdział I Początek edukacji matematycznej w szkole ponadpodstawowej

Rozdział II Liczby w szkole ponadpodstawowej

Rozdział III Technologie w nauczaniu liczb w szkole ponadpodstawowej

Rozdział IV Geometria w szkole ponadpodstawowej – planimetria i trygonometria

Rozdział V Geometria przestrzenna w szkole ponadpodstawowej

Rozdział VI Technologie w nauczaniu geometrii w szkole ponadpodstawowej

Rozdział VII Algebra w szkole ponadpodstawowej

Rozdział VIII Geometria analityczna w szkole ponadpodstawowej

Rozdział IX Technologie w nauczaniu algebry i geometrii analitycznej w szkole ponadpodstawowej

Rozdział X Funkcje w szkole ponadpodstawowej, część 1

Rozdział XI Funkcje w szkole ponadpodstawowej, część 2

Rozdział XII Funkcje w szkole ponadpodstawowej, część 3

Rozdział XIII Technologie w nauczaniu funkcji w szkole ponadpodstawowej

Rozdział XIV Matematyka dyskretna w szkole ponadpodstawowej

Rozdział XV Statystyka i prawdopodobieństwo w szkole ponadpodstawowej

Rozdział XVI Technologie w nauczaniu matematyki dyskretnej, statystyki i prawdopodobieństwa w szkole ponadpodstawowej

Rozdział XVII Rozwiązywanie zadań w szkole ponadpodstawowej

Rozdział XVIII Szkoła ponadpodstawowa – zajęcia dodatkowe

Rozdział XIX O powrocie logiki i indukcji matematycznej do szkoły

Rozdział XX Zastosowania matematyki

Przypisy

Wstęp

Trzeci tom „Dydaktyki matematyki” jest poświęcony zagadnieniom szczegółowym związanym z nauczaniem matematyki w szkole ponadpodstawowej.

W książce koncentrujemy się na następujących działach szkolnej matematyki: liczby, geometria, algebra, funkcje, matematyka dyskretna oraz statystyka i rachunek prawdopodobieństwa. W każdym z nich się pojawia wątek technologiczny – wykorzystanie matematycznego oprogramowania w czasie lekcji dotyczących tych działów. W książce znalazły się trzy nurty wątku technologicznego: kalkulatory, komputery i Internet. Nurt kalkulatorowy może u niektórych czytelników budzić zdziwienie, ale każdą lekcję z kalkulatorem można zmodyfikować, wprowadzając zamiast komend kalkulatorowych komputerowe. Ponadto można używać emulatorów kalkulatorów graficznych, czyli programów komputerowych imitujących działanie kalkulatorów.

Nie omówimy wszystkich zagadnień związanych wymienionymi działami szkolnej matematyki, nasz wybór dotyczy m.in. zagadnień spornych, na przykład, czy i w jakim zakresie powinny się pojawiać dowody, czy w nauczaniu rachunku prawdopodobieństwa należy się zajmować także nieskończonymi przestrzeniami zdarzeń elementarnych. Inne kryterium wyboru ma osobisty charakter – wybieram te tematy, które mnie jako matematyka interesują najbardziej; dociekliwy czytelnik z pewnością zauważy (np. w dziale algebra) niedużą przewagę informacji o wielomianach i teorii liczb.

Chciałbym we wstępie rozwiać wątpliwości – w tomie tym, podobnie jak w tomie II, nie podajemy gotowych scenariuszy lekcji, niekiedy podsuwamy pomysły, jak wprowadzić jakieś pojęcie, jak przygotować tzw. gwóźdź programu na lekcję (co to oznacza piszemy w t. I w rozdz. Lekcja matematyki). Dość często odnosimy się do tych zagadnień szkolnej matematyki, które budzą kontrowersje: na przykład problem dowodzenia w szkole ponadpodstawowej, dowody niektórych twierdzeń, używanie technologii na lekcjach matematyki. W kilku rozdziałach znalazły się informacje o gadżetach matematycznych, a oddzielnie wydzieliliśmy pięć rozdziałów, które dotyczą używania technologii w nauczaniu matematyki.

Chciałbym jeszcze raz powtórzyć to, co o Podstawie Programowej Matematyki (PPM) napisałem w tomie II: dość często powołuję się na treści zawarte w PPM, bo traktuję ten dokument jako płaszczyznę porozumienia co do treści szkolnej matematyki. Mam nadzieję, że płaszczyzna ta nie będzie zmieniała się zbyt szybko i jeśli będzie zmieniana (uzupełniana), to o treści naprawdę potrzebne uczniom i nauczycielom szkół ponadpodstawowych. Chcę też podkreślić, że nauczyciele mają prawo do interpretacji i przekształcania treści zaproponowanych przez autorów PPM.

Każdy z dwudziestu rozdziałów składa się z części, którą można nazwać wykładem, czyli omówieniem istotnych elementów omawianej tematyki wraz z odniesieniem się do PPM; w części tej znajdują się także uwagi historyczne, przykłady z podręczników, pomysły na niektóre lekcje. Rozdział kończy seria ćwiczeń oraz zagadnienia do dyskusji, w których zachęcam do odniesienia się do różnych problemów związanych z nauczaniem. W Zagadnieniach do dyskusji zamieściłem także propozycje projektów wraz z podpowiedziami, co mogłoby się znaleźć w takim projekcie. Każdy rozdział kończy spis literatury i krótka charakterystyka wybranych źródeł.

Zadania zawarte w części wykładowej, w dziale ćwiczeń i zagadnień do dyskusji, to propozycje problemów, nad którymi czytelnik (głównie obecny lub przyszły nauczyciel) może się zastanowić, ale nie sugeruję, aby koniecznie je rozwiązywał w klasie (teraz lub w przyszłości). Priorytetowym celem umieszczenia tych zadań jest podniesienie poziomu matematycznego i dydaktycznego czytelnika. Warto też pamiętać, że niektóre ćwiczenia lub zagadnienia do dyskusji można wykorzystać jako starter lekcji lub „gwóźdź” lekcji.

Bardzo dziękuję za pomoc, uważną lekturę i uwagi Paniom Ewie Ignaczak, Annie Kierznikowicz, Grażynie Miłosz, Elżbiecie Mrożek i Panu Ryszardowi Kubiakowi. Panu Bronisławowi Pabichowi jestem wdzięczny za „geometryczne” wsparcie.

Słowa wdzięczności kieruję do Pani Ireny Puchalskiej, która objęła bardzo czułą opieką redakcyjną trzy tomy Dydaktyki matematyki.

Piotr Zarzycki

Warzno, listopad 2022–maj 2023 rok

Rozdział I Początek edukacji matematycznej w szkole ponadpodstawowej

Uczniowie do I klasy szkoły ponadpodstawowej przychodzą ze sporą już wiedzą matematyczną, ale też z różnymi brakami, lękami i czasem, niestety, z dużą niechęcią do matematyki. Dlatego początek roku szkolnego powinien być na lekcjach matematyki (dotyczy to także innych przedmiotów szkolnych) mniej opresyjny[1].

Co nauczyciel mógłby zrobić na początku roku szkolnego, zwłaszcza w I klasie? Nauczyciele języka polskiego dość często proszą uczniów o wspomnienia z wakacji. Nauczyciel matematyki mógłby rozpocząć podobnie, poruszając na przykład takie zagadnienia[2]:

- Czy matematyka w jakiś sposób przydała się w czasie wakacji?

- Czy ktoś widział ciekawe matematyczne obiekty?

- Może zdarzyło się któremuś z uczniów przeczytać ciekawą książkę, oglądnąć film, w którym pojawił się matematyczny wątek; prosimy o krótką relację z tych „artystycznych” doświadczeń.

- Pytamy, co uczniowie zapamiętali z lekcji matematyki z poprzedniej klasy (w przypadku I klasy pytamy o klasę VIII i wtedy oczywiście też o egzamin ósmoklasisty). Starajmy się pytać o pozytywne wspomnienia.

Nauczyciel każdej (zwłaszcza pierwszej) klasy powinien wcześniej zapoznać się z Podstawą Programową Matematyki (PPM) dla szkoły podstawowej (II etap edukacyjny, czyli klasy IV–VIII), warto też przejrzeć podręczniki do matematyki, szczególnie do klasy VIII – w niektórych podręcznikach do tej klasy znajdują się spore moduły powtórkowe z najważniejszymi zagadnieniami z tzw. teorii i z typowymi zadaniami. Nauczyciel w klasach II, III, … mógłby przypomnieć, czym dana klasa zajmowała się w poprzednim roku szkolnym, uwypuklając trudniejsze partie; nawet w przypadku zmiany nauczyciela warto to zrobić, kontaktując się wcześniej ze swoim poprzednikiem[3].

Spójrzmy, co napisano we wstępie dotyczącym matematyki w PPM dla III etapu edukacyjnego ([PPM]).

Matematyka jest nauką, która stanowi istotne wsparcie dla innych dziedzin, zwłaszcza dla nauk przyrodniczych i informatycznych. Nauczanie matematyki w szkole opiera się na trzech fundamentach: nauce rozumowania matematycznego, kształceniu sprawności rachunkowej i przekazywaniu wiedzy o własnościach obiektów matematycznych…

Rozumowanie matematyczne to umiejętność poszukiwania rozwiązania danego zagadnienia … Dobre opanowanie umiejętności rozumowania matematycznego ułatwia w życiu codziennym odróżnianie prawdy od fałszu. Sprawność rachunkowa jest niezwykle ważnym elementem nauczania matematyki nawet obecnie, kiedy wiele rachunków wykonuje się za pomocą sprzętu elektronicznego. Ważnym celem ćwiczenia sprawności rachunkowej jest kształtowanie wyobrażenia o wielkościach liczb … Takie wyobrażenie ułatwia codzienne życie, na przykład planowanie budżetu domowego... Wiedza o własnościach obiektów matematycznych pozwala na swobodne operowanie nimi i stosowanie obiektów matematycznych do opisu bądź modelowania zjawisk obserwowanych w rzeczywistości. Właściwości matematyczne modeli przekładają się często na konkretne własności obiektów rzeczywistych.

Pierwsze lekcje w klasie I szkoły ponadpodstawowej i w następnych klasach

Egzamin ósmoklasisty jest ważnym wydarzeniem w szkolnym życiu ucznia. W klasie I warto do tego wydarzenia wrócić, na przykład w taki sposób:

- Na ekranie są wyświetlane kolejne slajdy z zadaniami z ostatniego egzaminu ósmoklasisty. Zadania zamknięte mogą być rozwiązywane przez całą klasę (wspólnie). Niekiedy nauczyciel może poprosić o pełniejsze wyjaśnienia.

- Zadania otwarte (były cztery takie zadania w 2022 r.) rozwiązywane są przez chętnych uczniów.

Oczywiście przed początkiem roku szkolnego nauczyciel posiada rozkład materiału dla danej klasy, warto w tym rozkładzie zaplanować opisaną powyżej lekcję.

W klasach II, III itd. pierwsze lekcje można poświęcić jednemu, dwóm zagadnieniom z poprzedniej klasy, szczególnie tym, które sprawiały największe problemy. Nauczycielowi zawsze brakuje godzin lekcyjnych, dlatego tematykę pierwszej lekcji warto wpasować w swój rozkład materiału dla danej klasy.

Zrób coś niestandardowego na lekcji matematyki

Matematyka służy ćwiczeniom logicznego myślenia, dlatego warto co jakiś czas na lekcjach wplatać wątki rozrywkowe, tzn. zadania typu łamigłówki, zagadki. Pisałem już o tym w tomach I oraz II, a tutaj przedstawiam zagadkę z Mitt i Upplands Väsby, szwedzkiej lokalnej gazety (nr 40, 8–14, październik 2022 r.). Ta nieoczekiwana wstawka ma na celu zachęcenie czytelników do przeglądania gazet także pod kątem zadań, które mogą się przydać na lekcjach matematyki.

Każdy z 13 obszarów musi zawierać liczby od 1 do liczby określającej liczbę kwadratów, z których składa się ten obszar. Ta sama liczba nie może się znajdować w sąsiednich, także po przekątnej, polach.

Ćwiczenia

1. Napisz scenariusz pierwszej lekcji w nowym roku szkolnym:

1. dla I klasy,

2. dla jednej z klas, II albo III, albo … ostatniej.

2. Rozwiąż powyższą łamigłówkę.

3. Zajrzyj do różnych gazet, przeszukaj Internet i wyłów tzw. zadania rozrywkowe, mające coś wspólnego z matematyką (przykładem takiego zadania jest Sudoku). Zastanów się, jak wykorzystać je na lekcjach matematyki. Warto zachęcić uczniów do uważnego przeglądania gazet pod kątem zadań „rozrywkowych” z matematyki (uczniowie rzadko czytają gazety, ale mogą sięgnąć po prasę swoich opiekunów). Bogatym źródłem takich zadań jest oczywiście Internet.

Zagadnienia do dyskusji

1. W cytowanym fragmencie z PPM (s. 10) napisano: Sprawność rachunkowa jest niezwykle ważnym elementem nauczania matematyki nawet obecnie, kiedy wiele rachunków wykonuje się za pomocą sprzętu elektronicznego. Czy zgadzasz się z tą opinią?

2. W PPM czytamy:
Samodzielne przeprowadzanie dowodów przez uczniów rozwija takie umiejętności jak: logiczne myślenie, precyzyjne wyrażanie myśli i zdolność rozwiązywania złożonych problemów ... Jedną z metod rozwijania umiejętności dowodzenia jest analizowanie dowodów poznawanych twierdzeń. W ten sposób można uczyć, jak powinien wyglądać właściwie przeprowadzony dowód.

W PPM znajduje się lista twierdzeń (zakres podstawowy i rozszerzony), których dowody powinien uczeń poznać. Zapoznaj się z tą listą. Co myślisz o tym pomyśle? W PPM nie podano szczegółowych zaleceń; opracuj je. Spójrz na dwa twierdzenia z tej listy i udowodnij je (dla zdecydowanej większości uczniów te dowody są trudne).

- Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.

- Niewymierność liczb: itp.

Literatura

[PPM] https://cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2023/podstawa_programowa/matematyka.pdf

Subiektywny komentarz dotyczący literatury

[PPM] to ważna dla nauczycieli matematyki strona internetowa zawierająca Podstawę Programową Matematyki dla szkół ponadpodstawowych. Warto się zapoznać z PPM i śledzić ewentualne zmiany pojawiające się w tym dokumencie. PPM jest także źródłem zadań; niestety czasami używa się niefortunnych i niepotrzebnych sformułowań typu uczeń rozwiązuje np. zadanie nie trudniejsze niż …

Rozdział II Liczby w szkole ponadpodstawowej

O liczbach pisaliśmy w tomie II [DM2]. Patrząc na PPM, można zauważyć, że w szkole ponadpodstawowej nie dochodzą już żadne nowe treści dotyczące liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych. Pojawiają się natomiast „oficjalnie” liczby rzeczywiste.

Liczby rzeczywiste w PPM dla III etapu edukacyjnego

Uczeń w zakresie podstawowym:

1. wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych;

2. przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż: dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych, dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, to jej trzecia potęga przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2;

3. stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych;

4. stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach;

5. stosuje własności monotoniczności potęgowania, w szczególności własności: jeśli i , to , gdy zaś i , to ;

6. posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej;

7. stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania i nierówności typu: , , ;

8. wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów;

9. stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

W zakresie rozszerzonym do powyższych punktów dochodzi jeszcze wzór na zamianę podstawy logarytmu.

Liczby rzeczywiste na lekcjach matematyki w szkole ponadpodstawowej

Rozpoczynam od apelu do nauczycieli o używanie powszechnie przyjętych oznaczeń zbiorów liczbowych; N, Z, Q, R oznaczają kolejno liczby naturalne (przyjmujemy, że 0 jest liczbą naturalną), liczby całkowite, liczby wymierne i liczby rzeczywiste; pora zmienić te przyzwyczajenia i zrezygnować z oznaczeń C i W dla odpowiednio liczb całkowitych i liczb wymiernych.

W szkole podstawowej liczby niewymierne pojawiły się w związku z twierdzeniem Pitagorasa (liczby typu , …); uczniowie poznali liczbę π potrzebną do obliczeń związanych z okręgami i kołami[4]. Przypomnijmy, że istnieją dwie równoważne definicje liczb niewymiernych:

Definicja nr 1: Liczba jest niewymierna, jeśli jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone nieokresowe.

Definicja nr 2: Liczba jest niewymierna, jeśli nie można jej przedstawić w postaci ilorazu liczb całkowitych.

Pierwsza definicja pozwala w łatwy sposób generować przykłady liczb niewymiernych, druga natomiast umożliwia dowodzenie niewymierności liczb. W [MPM] (s. 38–40) można znaleźć kilka dowodów niewymierności liczby , ale raczej żaden z nich nie jest w zasięgu przeciętnego ucznia. Jak się dowodzi, że każda liczba, która ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone i od pewnego miejsca okresowe, jest liczbą wymierną w sensie drugiej definicji?

Jeśli rozwinięcie dziesiętne liczby a jest skończone, to jest ona postaci , gdzie m jest liczbą całkowitą, n liczbą naturalną, więc rzeczywiście a jest ilorazem liczb całkowitych. Jeśli natomiast a ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe, to , gdzie b jest częścią całkowitą liczby a, c jej okresem złożonym z n cyfr. Wówczas mnożąc liczbę przez , otrzymujemy liczbę , przy czym z liczby przed przecinkiem usuwamy wszystkie początkowe kolejne zera. Stąd oraz , oznacza to, że liczba jest wymierna. Ostatecznie liczba też jest wymierna. Ten dowód wymaga jeszcze uzupełnienia (por. ćwiczenie 2, s. 18).

Fascynująca liczba π

Spójrzmy na fotografię rzeźby stojącej przy dworcu w miejscowości Upllands Väsby niedaleko Sztokholmu. Rzeźba nazywa się Piosaurus. Liczba π, bez wątpienia jedna z najważniejszych stałych w nauce, pojawia się w wielu zastosowaniach. Szukając informacji do tego rozdziału, z dużym zaskoczeniem uświadomiłem sobie, w ilu odsłonach liczba ta występuje w fizyce. W szkole podstawowej uczniowie doświadczalnie sprawdzają, że stosunek długości okręgu do długości jego średnicy jest wielkością stałą (oznaczaną grecką literą π), której przybliżona wartość wynosi 3,14; pojawia się niekiedy informacja, że π jest liczbą niewymierną. Warto w szkole ponadpodstawowej poruszyć temat przybliżeń wartości tej liczby. To może być świetne doświadczenie matematyczne – wykonajmy je, wzorując się na pomyśle Archimedesa, który wpisywał i opisywał na okręgu n-kąty foremne. Spójrzmy na rysunek dla i dla – w okrąg wpisaliśmy kwadrat i ośmiokąt foremny.

Okrąg o promieniu OB będziemy przybliżać wielokątami foremnymi. Przyjmijmy, że , wtedy obwód kwadratu ABCD wynosi , a stosunek obwodu kwadratu do długości średnicy jest równy ≈ 2,82 (trochę „daleko” do 3,14). Ale już dla ośmiokąta AGDFCEB mamy znacznie lepsze przybliżenie tego stosunku (3,06).

Powyższy rysunek wykonano za pomocą GEOGEBRY, obliczenia (przybliżenie) też mogą być wykonane za pomocą tego programu, ale lepiej, jeśli uczeń sam znajdzie wartość . Do teoretycznego wyprowadzenia stosunku dla ośmiokąta foremnego należy znaleźć długość jego boku i tutaj przydaje się wzór na sinus kąta 22,5° (połowa kąta 45°), ale wartość sin 22,5° można też odczytać w tablicach.

W książce [KD] znajdziemy informację o Archimedesie, który obliczał przybliżenia liczby π, rozpoczynając od trójkąta równobocznego i dalej wykorzystując oszacowanie z dołu i z góry dla 96-kąta foremnego. Oszacowanie Archimedesa było następujące: . Warto zajrzeć do [Lang]; w rozdziałach Co to jest Pi? oraz Długość okręgu znajdziemy sporo informacji na temat liczby π i dwóch podstawowych wzorów (długość okręgu i pole koła), w których ta liczba występuje.

Przybliżenia liczby π

Wpisałem w moim kalkulatorze π i otrzymałem wynik 3,14592654; jest to przybliżenie do ósmego miejsca po przecinku. Zapytajmy uczniów o przybliżenia do 1., 2., 8. miejsca po przecinku. Można się zastanawiać nad najlepszymi przybliżeniami liczb wymiernych, przy czym zakładamy, że mianownik takiego przybliżenia nie przekracza ustalonej liczby naturalnej. Poniżej opisujemy poszukiwania najlepszych wymiernych przybliżeń z ograniczeniami dla mianowników. Uczniowie, korzystając z kalkulatora lub arkusza Excel, wypełniają następującą tabelkę (na początku lekcji, oprócz pierwszej i czwartej kolumny, niewypełnioną):

Ograniczenie mianownika ułamka

Ułamek najlepiej przybliżający π

Rozwinięcie dziesiętne
tego ułamka

Rozwinięcie π

Dokładność przybliżenia

3

3,(3)

3,14592654…

0,19

4

3,25

3,14592654…

0,11

5

3,20

3,14592654…

0,06

6

3,1(6)

3,14592654…

0,03

7

3,(142857)

3,14592654…

0,002

8

3,(142857)

3,14592654…

0,002

9

3,(142857)

3,14592654…

0,002

10

3,(142857)

3,14592654…

0,002

Warto wiedzieć, że wśród liczb wymiernych najlepiej przybliżających liczbę π jest sporo tzw. reduktów ułamka łańcuchowego liczby π. Liczba π pojawia się w zaskakującej sytuacji, jest związana ze słynnym zadaniem Buffona z rachunku prawdopodobieństwa (s. 158–159).

Potęgi i pierwiastki w szkole ponadpodstawowej

Potęgi i pierwiastki pojawiły się już w szkole podstawowej. Przypomnijmy, w jakim zakresie: potęgi o wykładniku naturalnym, iloczyn i iloraz potęg o jednakowych podstawach, potęgowanie potęgi, działania na potęgach, notacja wykładnicza, pierwiastki, działania na pierwiastkach. Porównajmy określenie pierwiastka ze szkoły podstawowej i ponadpodstawowej.

Oto definicje z dręcznika do klasy VII GWO[5]:

Innych pierwiastków niż stopnia drugiego i trzeciego w szkole podstawowej na ogół się nie rozpatruje, ale oczywiście nie jest to zabronione.

A jak to wygląda w podręczniku do I klasy liceum GWO[6]?

W szkole ponadpodstawowej rozpatruje się potęgi o wykładnikach będących liczbami całkowitymi lub ogólniej – liczbami wymiernymi. Rzadko się pojawiają natomiast potęgi o wykładniku niewymiernym. To zupełnie zrozumiałe, gdyż do poprawnego zdefiniowania na przykład liczby potrzebna jest wiedza na temat zbieżności ciągów (szerzej o takich zagadnieniach można przeczytać w [MPM] w rozdz. III).

Warto uzmysłowić sobie i uczniom, że potęgowanie i pierwiastkowanie to działania, które z liczb rzeczywistych (czasami tylko z liczb nieujemnych) pozwalają otrzymać „nowe” liczby rzeczywiste. Wrócimy do tego zagadnienia w związku z funkcjami. Zajmiemy się wtedy także logarytmami.

Ćwiczenia

1. Poniższe zadanie można nazwać powakacyjnym, jest nietypowe i niealgorytmiczne. Tego typu zadania można nazwać zadaniami na rozgrzewkę:

- Liczba 13 jest interesująca, dlaczego? Podaj co najmniej trzy powody.

- Liczba 2 to jedyna liczba, która … Dokończ, podając co najmniej trzy argumenty.

Przygotuj kilka zadań na rozgrzewkę.

2. Uzupełnij dowód ze strony 15, rozpatrując przypadek: jeśli liczba ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone i od pewnego miejsca okresowe, to jest wymierna.

3. Udowodnij, że z definicji nr 2 wynika definicja nr 1 (patrz s. 14–15).

4. Podaj algebraiczne i geometryczne rozwiązania przykładów z PPM: .

5. Przeanalizuj trzy dowody niewymierności liczby zamieszczone w [MPM]. Zastosuj jeden z nich do dowodu niewymierności liczby .

6. Uczeń, dowodząc, że liczba jest niewymierna, napisał: Ponieważ obie liczby są niewymierne, a suma liczb niewymiernych jest niewymierna, więc liczba jest niewymierna. Co powiesz takiemu uczniowi?

7. Do dowodu niewymierności liczby prawdopodobnie zastosujesz następujący schemat: gdyby liczba była wymierna, tzn. to podnosząc obie strony ostatniej równości do kwadratu, otrzymalibyśmy … Uzupełnij ten dowód, postępując zgodnie z opisanym schematem. Istnieje inny dowód wykorzystujący równość podaj ciąg dalszy tego dowodu. Znane jest też uzasadnienie niewymierności tej liczby oparte na pojęciu wielomianów nierozkładalnych nad Q. Przypomnij sobie, na czym polega ten sposób.

8. Rozwiąż dwa zadania zamieszczone w PPM:

- Udowodnij, że iloczyn czterech kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 24.

- Udowodnij, że jeśli liczba całkowita przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, to jej trzecia potęga przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2.

9. Podaj wartość przybliżenia liczby dla π uzyskaną z obliczenia wartości stosunku obwodu do średnicy dla ośmiokąta foremnego.

Zagadnienia do dyskusji

1. Przygotuj na 14 marca program obchodów Dnia liczby Pi. Wśród elementów tego programu mogą się znaleźć: filmiki o liczbie π, teksty służące do zapamiętania kolejnych cyfr rozwinięcia dziesiętnego tej liczby[7], ciekawostki itp.

2. Poszukaj informacji o zastosowaniach liczby π w fizyce.

3. Liczba ma swoje miejsce w historii matematyki. W 1900 roku na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu wybitny matematyk niemiecki Dawid Hilbert przedstawił listę 23 zagadnień matematycznych, których rozwiązanie uważał za najważniejsze zadania stojące przed matematykami. Wśród tych problemów znalazł się problem niewymierności liczb typu .
Napisz krótki esej na ten temat.

Literatura

[DM2] Zarzycki Piotr, Dydaktyka matematyki. Tom II: Nauczanie w szkole podstawowej, PWN (2023).

[MPM] Zarzycki Piotr, Modelowanie pojęć matematycznych, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego (2019).

[KD] Dałek Krystyna, Opowiadanie o liczbie π. Część 1, Część 2, WSiP (1991).

[Lang] Lang Serge, Młodzi i matematyka. Rozmowy profesora z uczniami, GWO (1995).

Subiektywny komentarz dotyczący literatury

Pierwszy rozdział [MPM] zawiera informacje o liczbach omawianych w szkole. Podano w tej książce przykłady z podręczników szkolnych oraz matematyczne definicje liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych i rzeczywistych.

Dwie nieduże książki [KD] zawierają sporo ciekawych informacji dotyczących liczby π. Zaletą tych książeczek są proste programy komputerowe (napisane w języku BASIC) do obliczeń związanych z tą liczbą.

O zaletach pięknie napisanej i świetnie przetłumaczonej książki [Lang] pisałem już w poprzednich tomach. To przykład bardzo dydaktycznie przemyślanej pozycji o wprowadzaniu rozumowań matematycznych na poziomie szkolnym.

Przypisy

[1] Znam wiele przykładów, gdy nauczyciele już na początku drugiego tygodnia nauki przeprowadzają sprawdziany, klasówki. Jeśli nauczyciel chce sprawdzić stan wiedzy uczniów po wakacjach, to w porządku, ale konieczne jest, aby takie początkowe sprawdziany czy klasówki miały mniejszą wagę, a nawet były bez oceny. Pamiętam ze swojej szkolnej edukacji bardzo wczesne (wrześniowe) klasówki z geografii w klasie I liceum i frustrująco słabe oceny z tych klasówek.

[2] Uczniom poniższe pytania mogą wydać się nieco infantylne, dlatego należy ten fragment lekcji przeprowadzić na dużym luzie.

[3] W ostatnich latach w PPM pojawiło się tak wiele zmian, że nauczyciel powinien bacznie je śledzić.

[4] Wielu uczniom trzeba przypomnieć określenie liczby π.

[5] Dobrowolska Małgorzata (red.), Matematyka 7 z plusem. Podręcznik dla klasy siódmej szkoły podstawowej, GWO (2017).

[6] Braun Marcin, Dobrowolska Małgorzata, Karpiński Marcin, Lech Jacek, Matematyka I. Podręcznik dla liceum i technikum. Zakres podstawowy z rozszerzeniem, GWO (2008).

[7] Limeryk nieznanego autora: Był i jest i wieki chwalonym ów będzie, który kół obwód średnicą wymierzył.