Andrzej Dębowski jest profesorem Politechniki Łódzkiej. Z uczelnią tą jest związany od początku swojej pracy zawodowej. Od 1998 roku kieruje Zakładem Techniki Sterowania w Instytucie Automatyki.

Jego zainteresowania naukowe dotyczą przede wszystkim zastosowań teorii sterowania i teorii przetwarzania sygnałów w mikroprocesorowo sterowanych napędach elektrycznych oraz w układach automatyki przemysłowej ze sterownikami programowalnymi. Jest autorem oryginalnej koncepcji sterowania pośredniego niedostępnymi pomiarowo wielkościami w silnikach elektrycznych, opartego na wykorzystaniu kompensatorów stanu o specjalnej strukturze, tzw. stymulatorów stanu. Zajmuje się także zagadnieniami identyfikacji obiektów sterowania w czasie rzeczywistym i sterowania adaptacyjnego. Ma duże oświadczenie praktyczne zdobyte w związku z licznymi pracami wykonanymi dla przemysłu – obejmującymi projekty i uruchomienia napędów prądu stałego i przemiennego oraz komputerowych układów automatyki dla przemysłu cukrowniczego, energetycznego i do zastosowań w trakcji elektrycznej.

Jest członkiem Polskiego Towarzystwa Elektrotechniki Teoretycznej i Stosowanej oraz Stowarzyszenia Elektryków Polskich. Redaguje biuletyn techniczno-informacyjny Oddziału Łódzkiego SEP. Jest także członkiem Sekcji Energoelektroniki i Napędu Elektrycznego Komitetu Elektrotechniki PAN.

Pasjonuje się żeglarstwem – jest kapitanem jachtowym.

Projekt okładki i stron tytułowych: Przemysław Spiechowski

Fotografia na okładce: Evannovostro/Shutterstock

Wydawca: Adam Filutowski

Koordynator ds. redakcji: Renata Ziółkowska

Redaktor: Maria Kasperska

Produkcja: Mariola Grzywacka

Dział reklamy: Małgorzata Pasenik (Malgorzata.Pasenik@pwn.pl)

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwa Naukowego PWN: Marcin Kapusta / konwersja.virtualo.pl

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo.

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2017

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2017 r., (wyd. I)

Warszawa 2017

ISBN 978-83-01-19621-9

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321; faks 22 69 54 288

infolinia 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl; reklama@pwn.pl

www.pwn.pl

SPIS TREŚCI

1. Przedmowa

2. Ogólne wiadomości o napędzie elektrycznym

2.1. Podstawy elektromechanicznego przetwarzania energii

2.2. Struktura napędu elektrycznego

2.3. Tryby pracy napędu elektrycznego

2.4. Opis dynamiki ruchu obrotowego wirnika silnika

2.5. Wyznaczanie zastępczego obciążenia na wale silnika

2.6. Charakterystyki mechaniczne układów napędowych w stanach ustalonych

2.6.1. Charakterystyki mechaniczne silników elektrycznych zasilanych ze źródła napięcia o stałych parametrach

2.6.2. Rodzaje charakterystyk mechanicznych urządzeń napędzanych

2.6.3. Wzajemne relacje pomiędzy charakterystykami silników i urządzeń napędzanych

2.6.4. Rozpędzanie i hamowanie napędu elektrycznego

3. Warunki pracy zautomatyzowanych układów napędowych

3.1. Sterowanie momentem obrotowym silnika jako podstawa działania zautomatyzowanego napędu elektrycznego

3.2. Dwustrefowa praca napędów elektrycznych

3.2.1. Dopuszczalny obszar pracy napędu elektrycznego ze względu na parametry silnika elektrycznego

3.2.2. Ograniczenia obszaru pracy napędu elektrycznego spowodowane przez źródło energii elektrycznej i przekształtnik

3.3. Łagodny rozruch napędów elektrycznych

3.4. Charakterystyka mechaniczna idealnego układu napędowego

3.5. Układy sterowania pozycyjnego wykorzystujące napędy elektryczne

4. Napędy elektryczne z silnikami prądu stałego (DC-M)

4.1. Model matematyczny silnika prądu stałego

4.2. Przekształtniki zasilające silniki prądu stałego

4.3. Schemat blokowy napędu z obcowzbudnym silnikiem prądu stałego

4.4. Schemat blokowy napędu trakcyjnego z szeregowym silnikiem prądu stałego

4.5. Kaskadowy układ napędowy prądu stałego

5. Wprowadzenie do napędów prądu przemiennego z silnikami trójfazowymi (AC-M)

5.1. Pojęcie wektora przestrzennego w opisach układów trójfazowych

5.2. Model wektorowy trójfazowego uzwojenia stojana

5.3. Modele zastępcze falowników zasilających silniki prądu przemiennego

5.3.1. Model zastępczy falownika napięciowego

5.3.2. Model zastępczy falownika prądowego

5.4. Zasady wektorowej regulacji prądów w trójfazowych uzwojeniach stojana

5.4.1. Histerezowy wektorowy regulator prądu stojana

5.4.2. Kartezjański wektorowy regulator prądu stojana

6. Napędy elektryczne z klatkowymi silnikami indukcyjnymi (AC-SCIM)

6.1. Model matematyczny trójfazowego silnika asynchronicznego

6.2. Układ napędowy z klatkowym silnikiem IM ze sterowaniem skalarnym

6.3. Pośrednie wektorowe sterowanie momentu i strumienia w klatkowym silniku IM

6.4. Układ napędowy z klatkowym silnikiem IM ze sterowaniem pośrednim polowo-zorientowanym (FOC)

6.4.1. Wektorowa regulacja prądu stojana w układzie napędowym AC-SCIM FOC

6.4.2. Wektorowa regulacja momentu elektromagnetycznego w układzie napędowym AC-SCIM FOC

6.5. Układ napędowy z klatkowym silnikiem IM ze sterowaniem pośrednim prądowo-zorientowanym (COC)

6.5.1. Wektorowa regulacja prądu stojana w układzie napędowym AC-SCIM COC

6.5.2. Wektorowa regulacja momentu elektromagnetycznego w układzie napędowym AC-SCIM COC

6.6. Układ napędowy z klatkowym silnikiem IM z bezpośrednim wektorowym sterowaniem momentu i strumienia (DTFC)

7. Napędy elektryczne z silnikami synchronicznymi o magnesach trwałych (AC-PMSM)

7.1. Wprowadzenie do sterowania napędów z silnikami synchronicznymi

7.2. Model matematyczny silnika synchronicznego z magnesami trwałymi

7.3. Układ napędowy z silnikiem PMSM ze sterowaniem skalarnym

7.4. Układy napędowe z silnikiem PMSM ze sterowaniem wektorowym

7.4.1. Układ napędowy AC-PMSM ze sterowaniem pośrednim polowo-zorientowanym (FOC)

7.5. Układ napędowy AC-PMSM z bezpośrednim wektorowym sterowaniem momentu i strumienia (DTFC)

8. Uwagi o projektowaniu specjalnych napędów elektrycznych

9. Dodatki

9A. Dane techniczne silników przykładowych

9A.1. Obcowzbudny silnik prądu stałego (DC-M)

9A.2. Silnik asynchroniczny zwarty – klatkowy silnik indukcyjny (AC-SCIM)

9A.3. Silnik synchroniczny z magnesami trwałymi (AC-PMSM)

9B. Użycie jednostek względnych w opisach modeli silników

9B.1. Układ jednostek bazowych do opisu silników prądu stałego

9B.2. Układ jednostek bazowych do opisu trójfazowych silników prądu przemiennego

Bibliografia

A. Publikacje podstawowe z napędu elektrycznego

B. Publikacje dodatkowe z podstaw automatyki

C. Publikacje uzupełniające z energoelektroniki

D. Internetowe materiały źródłowe

1
PRZEDMOWA

Historia napędu elektrycznego liczy sobie dopiero niecałe 200 lat. Wprawdzie zjawiska towarzyszące istnieniu elektryczności statycznej, wywoływane poprzez pocieranie o siebie różnych przedmiotów, znano od bardzo dawna, co najmniej od czasów starożytnych, i wiedziano także, że istnieją dwa sposoby elektryzowania, czyli dwa rodzaje elektryczności, ale poza przyglądaniem się im nie wiedziano, jak zrobić z tej wiedzy istotny praktyczny użytek. Początkowo mówiono o elektryczności pojawiającej się przy pocieraniu szkła, i ten rodzaj ładunku elektrycznego nazwano „dodatnim”, oraz o elektryczności towarzyszącej pocieraniu przedmiotów wykonanych z bursztynu, czyli wytwarzaniu ładunków nazywanych „ujemnymi”. Ale aż do końca XVIII wieku elektryczność statyczna była jedynym znanym rodzajem elektryczności.

Przełom wywołały dopiero obserwacje i doświadczenia związane z tzw. elektrycznością „zwierzęcą”, jakie w związku z badaniami anatomicznymi nieżywych żab właśnie w tym okresie prowadził Luigi Galvani, włoski profesor z uniwersytetu w Bolonii, który dokonał słynnego odkrycia zjawiska pobudzenia elektrycznego mięśni ich kończyn. Spostrzeżenia te zainspirowały innego włoskiego fizyka i fizjologa, Alessandro Voltę, do zbudowania w 1800 r. pierwszego ogniwa nowego typu, utworzonego przez dwie płytki: cynkową i miedzianą, zanurzone w wodnym roztworze kwasu siarkowego, wytwarzające napięcie 0,76 V. Galvani i Volta stali się prekursorami nowej dziedziny wiedzy o elektryczności – elektrochemii. Oczywiście takich ogniw chemicznych różniących się miedzy sobą materiałami używanymi do ich budowy oraz konstrukcjami wynaleziono wkrótce więcej. Nazywano je potem „galwanicznymi” – na cześć pierwszego odkrywcy zjawiska pojawiania się różnicy potencjałów ustalającej się w stanie równowagi termodynamicznej na styku dwóch ciał. Szeregowe łączenie ogniw galwanicznych o różnych powierzchniach elektrod w jeden stos pozwalało na łatwe i ciągłe wytwarzanie ładunków elektrycznych (kosztem reakcji chemicznych) w tak dużej ilości, że ich przepływ w przewodach zewnętrznego obwodu był czymś więcej niż wcześniej już obserwowanym, zwykłym gwałtownym wyładowaniem elektrycznym. Ta nowa możliwość wytwarzania prądu w sposób ciągły umożliwiła bardzo wielu eksperymentatorom obserwować inne, nieznane wcześniej zjawiska, towarzyszące jego przepływowi. Ale to nie sama elektrochemia pozwoliła na bardzo szybki dalszy rozwój nauki o elektryczności, współcześnie będącej już w pełni samodzielną dyscypliną naukową, nazywaną elektrotechniką.

Epokowego odkrycia, jakim było zaobserwowanie zjawiska elektromagnetyzmu, dokonał Hans Christian Ørsted, duński fizyk i chemik, który w 1820 r. zauważył, że igła kompasu odchyla się pod wpływem prądu elektrycznego płynącego w przewodzie. Tym samym odkrył zjawisko oddziaływania magnetycznego pomiędzy poruszającymi się w tym przewodzie ładunkami elektrycznymi a magnesem trwałym. Jednak za pierwszą w historii rozwoju elektrotechniki maszynę elektryczną, która mogła pracować także w charakterze silnika, należy uznać wynalazek Michaela Faradaya, angielskiego fizyka i chemika, który dokonując eksperymentów w poszukiwaniu innych sposobów wytwarzania elektryczności, w 1831 r. odkrył zjawisko indukcji elektromagnetycznej, kładąc w ten sposób podwaliny pod kolejny nowy dział w nauce o elektryczności – elektrodynamikę. Wynaleziona przez niego maszyna była w swym zamyśle generatorem jednobiegunowym i miała postać obracającego się metalowego dysku (tarczy) – nazwanego potem jego imieniem, napędzanego ręcznie korbą i obracającego się dzięki temu w polu magnetycznym wytwarzanym przez podkowiasty magnes trwały (rys. 1.1). Po pokręceniu korby na dwóch zaciskach odizolowanych od siebie (z których jeden podłączony był do szczotki dotykającej osi dysku, a drugi ślizgał się po obwodzie tarczy) pojawiało się napięcie elektryczne, którego obecność w owym czasie potrafiono już wykryć (np. galwanometrem). Po zamknięciu obwodu elektrycznego napięcie to, zgodnie ze znanym już prawem Ohma (1826), powodowało przepływ prądu ograniczonego przez rezystancję tego obwodu, i pojawienie się prądu także potrafiono zaobserwować.

Rys. 1.1. Stara rycina przedstawiająca dysk Faradaya (z lewej), a obok jego model przestrzenny (z prawej)

Źródło: internet [D1].

Ponieważ od czasu wynalezienia w 1800 r. ogniwa galwanicznego przez włoskiego fizyka i fizjologa Alessandro Voltę rozwinęła się i rozpowszechniła umiejętność ich budowania, Faraday wkrótce zauważył, że podłączenie ogniwa do wspomnianych dwóch zacisków w jego urządzeniu powodowało samoistny obrót tarczy już bez potrzeby kręcenia jej korbą.

Rys. 1.2. Szkic ilustrujący budowę i zasadę działania dysku Faradaya: B – indukcja magnetyczna, U - napięcie na zaciskach, I – prąd elektryczny w obwodzie

Źródło: internet [D1] + uzupełnienie własne.

Na rysunku 1.2 przedstawiono szkic wyjaśniający działanie dysku Faradaya w tych dwóch przypadkach: gdy jest wykorzystywany do wytwarzania energii elektrycznej jako prądnica napędzana mechanicznie z zewnątrz lub gdy pracuje w charakterze silnika, zasilanego z zewnętrznej baterii, oddając na zewnątrz energię mechaniczną. Przy zachowaniu tej samej polaryzacji napięcia na zaciskach i tego samego kierunku obracania się tarczy różnica pomiędzy tymi dwoma zasadniczo odmiennymi od siebie stanami pracy obserwowanymi w tym samym urządzeniu polega jedynie na zmianie kierunku przepływającego prądu.

W ten sposób wynaleziono pierwszy silnik elektryczny. Szybko te pierwsze konstrukcje rozwinięto i udoskonalono, a w 1834 r. Moritz Herman Jacobi, fizyk i elektrotechnik pochodzenia niemieckiego, zbudował komutatorowy silnik elektryczny i zastosował go do napędzania łódki. Wkrótce po raz pierwszy zaczęto także stosować silniki elektryczne do napędu obrabiarek do drewna. Milowym krokiem było pierwsze zastosowanie silnika elektrycznego do napędzania dużego obiektu. Dokonał tego Ernst Wernera von Siemens w 1879 r., budując pierwszą małą lokomotywkę elektryczną (rys. 1.3) zasilaną napięciem trakcyjnym 150 V DC dostępnym z torowiska wyposażonego w trzecią szynę; lokomotywka ciągnęła za sobą mały wagonik-ławkę, w którym kilku pasażerów siedziało zwróconych do siebie plecami, i woziła ich po terenach wystawy powszechnej w Berlinie.

Od końca XIX w., gdy już w wielu krajach zaczęto budować silniki elektryczne nadające się do wykorzystania w warunkach przemysłowych, napęd elektryczny zaczyna odgrywać coraz większą rolę we wszystkich dziedzinach życia. Ten rodzaj napędu nie jest już tylko pokazywany na wystawach jako techniczna ciekawostka, ale towarzyszy na co dzień coraz większej liczbie ludzi, gdyż wspomaga ich w wykonywaniu pracy zawodowej jako na przykład napędy obrabiarek i robotów na liniach produkcyjnych, napędy wentylatorów, pomp, taśmociągów wykorzystywanych w fabrykach, kopalniach i hutach do prowadzenia procesów produkcyjne na wielką skalę, napędy trakcyjne w pojazdach używanych w transporcie publicznym, jak tramwaje, lokomotywy elektryczne czy trolejbusy, służących do przemieszczania ludzi lub towarów na mniejsze i większe odległości, ale także napędy licznych sprzętów używanych już powszechnie we wszystkich gospodarstwach domowych w życiu codziennym – takich jak odkurzacze, pralki, lodówki, miksery, sokowirówki, roboty kuchenne, a ostatnio także roboty sprzątające podłogi w mieszkaniach.

Rys. 1.3. Oryginalna lokomotywka elektryczna Siemensa z 1879 r.

Źródło: zbiory Muzeum Techniki w Berlinie [D2].

W przypadku napędów elektrycznych instalowanych w samochodach osobowych i ciężarowych, mających swobodnie poruszać się po drogach publicznych, bardzo długo „czysty” napęd elektryczny nie był stosowany w tego typu pojazdach samochodowych produkowanych seryjnie. Chociaż pierwszy samochód z napędem elektrycznym zbudował Robert Anderson z Aberdeen w Szkocji już w 1835 r., jednak istotną barierę w upowszechnieniu się napędu tego rodzaju stanowiła ograniczona możliwość jednorazowego zmagazynowania w mobilnych pojazdach większej ilości energii elektrycznej. Pomimo znaczącego ulepszania konstrukcji dotychczasowych ogniw elektrolitycznych oraz wynalezienia nowych kompaktowych źródeł energii elektrycznej – takich jak ogniwa paliowe czy ogniwa wodorowe, nadal w samochodzie z tradycyjnym silnikiem o spalaniu wewnętrznym ilość paliwa płynnego (benzyny lub oleju napędowego) nalanego do jego baku umożliwia przejechanie tym samochodem największej liczby kilometrów, większej niż przy jakimkolwiek innym alternatywnym napędzie o tej samej łącznej masie silnika i magazynu energii potrzebnej do jazdy. Jak dotychczas jedynym samochodem tego rodzaju, czyli wyłącznie z napędem elektrycznym, który odniósł największy sukces w sensie największej liczby sprzedanych egzemplarzy, jest samochód wymyślony w firmie Tesla w Stanach Zjednoczonych. Prace nad jego skonstruowaniem i wprowadzeniem do seryjnej produkcji modelu Roadster trwały od 2003 r. do 2008 r. wprowadzeniem do produkcji pierwszego samochodu marki Tesla o nazwie Roadster. Ten model auta powstał we współpracy z firmą Lotus Cars i miał sylwetkę auta sportowego zbliżoną do dotychczasowych aut z w pełni konwencjonalnym napędem spalinowym, a należał do tego segmentu rynku, którego klienci dysponują bardzo dużymi pieniędzmi i mogą bez żadnych ograniczeń swojego stylu życia przeznaczać je na spełnianie swoich pragnień. Trudno więc to niewątpliwie wielkie osiągnięcie naukowo-techniczne uznać w tej chwili za trend rozwoju techniki właściwie oddający najpilniejsze potrzeby szerokich rzesz społeczeństwa wielu rozwiniętych krajów na świecie.

W ostatnich latach nastąpił natomiast gwałtowny rozwój napędów hybrydowych instalowanych w samochodach osobowych. Dostrzeżono bowiem, że konwencjonalny silnik spalinowy i silnik elektryczny nowej generacji (z magnesami trwałymi), mające swoje wały sprzęgnięte ze sobą na sztywno i uzupełniające wzajemnie swoje możliwości trakcyjne, pozwalają na znaczne obniżenie zużycia paliwa płynnego i na poważne ograniczenie emitowanych w spalinach zanieczyszczeń. Silnik spalinowy w takim samochodzie jest nadal napędem głównym w czasie jazdy na dłuższych dystansach, a silnik elektryczny odgrywa w tym zespole jedynie rolę pomocniczą, ponieważ służy do wyrównywania zapotrzebowania samochodu na dodatkową moc w czasie gwałtownych przyspieszeń lub krótkotrwałych podjazdów pod górę. W czasie gwałtownego hamowania lub zjazdów ze stromych pochyłości silnik elektryczny pozwala odzyskać nadwyżkę mocy produkowanej wtedy nadal przez silnik spalinowy i zmagazynować ją w posiadanej baterii. Dzięki temu rozwiązaniu uzyskuje się możliwość długookresowej pracy silnika spalinowego w stałych warunkach (co właśnie zapewnia uzyskanie wspomnianych korzyści) oraz ogranicza się wymaganą pojemność wożonej w samochodzie baterii.

W 1995 r. podczas targów motoryzacyjnych w Tokio koncern Toyota po raz pierwszy przedstawił prototyp pojazdu o napędzie hybrydowym, w którym silnik spalinowy był zintegrowany z silnikiem elektrycznym (rys. 1.4). Samochód ten pod nazwą Toyota-Prius pięć lat później wszedł do masowej produkcji i obecnie jest wytwarzana już trzecia wersja tego modelu. Wkrótce wielu innych znanych producentów samochodów osobowych na świecie zaczęło oferować specjalne modele swoich pojazdów z napędami tego rodzaju.

Rys. 1.4. Napęd hybrydowy samochodu osobowego Toyota Prius (z lewej), a obok silnik elektryczny zastosowany w tym napędzie (z prawej)

Źródło: internet [D3].

Ciekawym przykładem napędu hybrydowego innego rodzaju są pojawiające się ostatnio napędy wykorzystujące specjalny silnik niedużej mocy (zwykle od 250 W do 500 W) do wspomagania jazdy na rowerze, zwanym rowerem elektrycznym. Silnik taki może być zainstalowany w piaście jednego z kół roweru lub centralnie, to znaczy w samym w suporcie z pedałami, bądź tuż obok niego (rys. 1.5). Przeznaczeniem takiego pojazdu nie jest jednak w pełni samodzielna jazda na dłuższych dystansach, czyli zupełnie bez używania pedałów. Odwrotnie, założeniem jest, że jazda odbywa się dzięki sile nóg rowerzysty, a ten pomocniczy silnik jedynie go wspomaga. W ofertach dotyczących rowerów elektrycznych dostępnych obecnie na rynku często obrazowo podkreśla się, że maksymalna moc takiego wspomagania jest tak dobrana, jakby w razie potrzeby do kręcenia pedałami dokładał się drugi rowerzysta.

Rys. 1.5. Przykłady silników instalowanych w rowerach elektrycznych: w piaście koła (z lewej), centralnie obok suportu (z prawej),

Źródło: internet [D4].

Podobną konstrukcją były pierwsze motorowery (znane także pod nazwą mopedów), dzisiaj już raczej niespotykane w tej swojej pierwotnej postaci, bo zastąpione przez lekkie motocykle wyposażone w silniki o tej samej pojemności, wynoszącej ok. 50 cm^3, ale o zdecydowanie większej mocy. W tych dawnych, faktycznych motorowerach, wyposażanych wtedy wyłącznie w dwusuwowe silniki spalinowe o małej pojemności, zawsze były obecne normalne pedały połączone łańcuchem z tylnym kołem takiego jednośladu. W przypadku awarii silnika spalinowego użytkownik miał wtedy możliwość natychmiastowego rozpoczęcia kręcenia tymi pedałami, więc teoretycznie mógłby niby bez przeszkód kontynuować jazdę. Ale ci, co mieli okazję w swoim życiu tego doświadczyć, wiedzą, jak wielkiej siły fizycznej to wymagało. Dlatego już wiele lat temu takie motorowery z silnikami spalinowymi praktycznie zupełnie zostały zapomniane.

Teraz pod inną nazwą i z zupełnie innym wyposażeniem dawna idea budowy motoroweru przeżywa swój renesans. Współczesne rowery elektryczne są bowiem w swej istocie wreszcie takimi prawdziwymi „motorowerami”. Choć stosowane w nich małe i lekkie silniki elektryczne mają moc nawet mniejszą niż silniki spalinowe w tych dawnych pierwowzorach, dzięki nowoczesnym lekkim bateriom akumulatorowym o dużej wydajności i sprawności możliwe stało się odzyskiwanie energii w trakcie jazdy, co spowodowało pojawienie się nowych, nieznanych wcześniej możliwości współpracy rowerzysty z dodatkowym sztucznym napędem. Lekkość i małe wymiary pomocniczego napędu elektrycznego pozwoliły na to, by wyposażony weń rower o niemal niezmienionej konstrukcji zachował także niemal niezmienioną wagę. W wielu modelach oferowanych dziś na rynku udało się nawet mocno tę wagę obniżyć, dzięki zastosowaniu super-lekkich i super-wytrzymałych nowoczesnych materiałów. Wprawdzie cena w wyniku tego poszła w górę, ale wielu przyszłych użytkowników takich pojazdów jest skłonnych sporo zapłacić za inteligentne wspomaganie ich w czasie jazdy. Rowerzysta nadal bez większych zmian może na takim rowerze elektrycznym jeździć jak na dawnym zwyczajnym, a w uzupełnieniu za dodatkową opłatę uzyskuje ciekawe nowe możliwości ułatwiające jazdę w każdym terenie. Na przykład sensory haptyczne wbudowane w pedały pozwalają układowi sterowania napędu elektrycznego rozpoznać, jaką wartością dodatkowego momentu obrotowego należy wspomóc rowerzystę w trakcie jazdy, by we właściwy sposób uzupełnić aktualną wydolność jego organizmu. Przy tak rozbudowanych algorytmach sterowania, zaimplementowanych w rowerze elektrycznym, przestaje to być zwykłym wspomaganiem, a przez analogię z hybrydowym samochodem Toyoty należy chyba raczej taki rower nazywać rowerem z napędem hybrydowym. O ile bowiem w samochodzie Toyoty silnik elektryczny stanowił dopełnienie tradycyjnego silnika spalinowego, o tyle w przypadku wspomnianego typu roweru zainstalowany w nim pomocniczy silnik elektryczny dopełnia na bieżąco możliwości fizyczne rowerzysty, uzupełniając moment aktualnie rozwijany przez niego pedałami do wymaganej wartości momentu napędowego poruszającego rower i pozwalając w ten sposób na właściwą realizację założonego wcześniej planu przejazdu trasy. Czyli tzw. hybrydą staje się tu połączenie człowieka z silnikiem elektrycznym.

Tych kilka wymienionych wyżej przykładów współczesnych napędów wykorzystujących silniki elektryczne pokazuje, że zaprojektowanie ich i potem wyprodukowanie tak, by mogły zaspokoić dosyć szerokie oczekiwania ich użytkowników, wymaga głębokiej i sprawnej współpracy wielu specjalistów. Nie ma bowiem mowy, by w takich napędach uniknąć stosowania energoelektroniki, techniki mikroprocesorowej, czy informatyki dostarczającej narzędzi i metod tworzenia złożonego oprogramowania niezawodnie funkcjonującego w czasie rzeczywistym. Jednak wydaje się, że aby ogarnąć całość tych złożonych problemów wygodnie jest się posługiwać się na wstępie językiem i metodami automatyki pozwalającej dostrzec, że skuteczność i pewność działania złożonych algorytmów sterowania bardziej zależy od dobrego przemyślenia ich struktury niż od precyzyjnego strojenia wartości parametrów dotyczących niestarannie zaprojektowanych układów sterowania. Aby nauczyć się dostrzegać te struktury, Czytelnikom tej książki zostaną przedstawione fizykalne podstawy budowy modeli matematycznych współczesnych silników elektrycznych powszechnie stosowanych w zautomatyzowanych napędach przekształtnikowych oraz zasady doboru odpowiednich algorytmów sterowania nadających się do późniejszego zaimplementowania ich we wbudowanych układach mikroprocesorowych. Zapoznanie się z rozmaitymi możliwymi do zastosowania strukturami takich algorytmów, omówionymi dla podstawowych rodzajów silników, pozwoli nie tylko na głębsze zrozumienie działania istniejących już gotowych napędów komercyjnych, ale także na właściwe przeprowadzenie parametryzacji ich oprogramowania. Bardziej ambitnym Czytelnikom materiał przedstawiony w tej książce pozwoli na kontynuowanie własnych, pogłębionych studiów w tej dziedzinie, chociażby poprzez samodzielne badanie metodami symulacji komputerowych rozmaitych układów napędowych zbudowanych na podstawie omawianych tu opisów matematycznych dla różnych koncepcji sterowania takich napędów, z wykorzystaniem danych liczbowych podanych w dodatku dla przykładowych silników. Doświadczenia zdobyte na podstawie takich własnych badań symulacyjnych pozwolą wtedy na podjęcie w nieodległej przyszłości próby zaprojektowania własnych algorytmów sterowania dla napędów o nowych konstrukcjach silników i zasilających je przekształtników, lub takich napędów, od których wymagane będzie wykazywanie specjalnych cech, na których omówienie zabrakło tu miejsca.

Andrzej Dębowski

Ciechanów, luty 2017 r.

2
OGÓLNE WIADOMOŚCI O NAPĘDZIE ELEKTRYCZNYM

2.1. Podstawy elektromechanicznego przetwarzania energii

W książce poświęconej metodom sterowania przydatnym do zrozumienia działania współczesnych przekształtnikowych napędów elektrycznych wykorzystujących silniki prądu stałego lub przemiennego trudno nie wspomnieć o podstawowych prawach elektromagnetyzmu, wykorzystywanych potem do opisu bardzo złożonych matematycznych modeli współczesnych silników o najróżniejszych konstrukcjach, używanych w coraz to bardziej wymyślnych zastosowaniach.

Sposób wykorzystania tych podstawowych praw do wyjaśnienia generalnej zasady działania współczesnego energooszczędnego napędu najprościej jest przedstawić na przykładzie odcinka przewodu elektrycznego znajdującego się w jednorodnym polu magnetycznym (rys. 2.1a,b). Wzdłuż przewodu może pojawić się pole elektryczne wywołane różnicą potencjałów przyłożonych z zewnątrz lub powstałe w wyniku obecności w nim ładunków elektrycznych zmuszonych do poruszania się przez zewnętrzne okoliczności, stanowiących pewien prąd płynący w tym odcinku przewodu. Chociaż jest to zaskakująco prosty, ale kompletny układ elektromechaniczny, to jak łatwo zauważyć, zawiera zestawione ze sobą fragmenty obwodów elektrycznego i magnetycznego, reprezentujące sobą główną część wspomnianego w przedmowie dysku Faradaya – najprostszej jednobiegunowej maszyny elektrycznej. Rozbudowując nieco scenariusz wzajemnej współpracy tych dwóch fragmentów między sobą, można matematycznie zamodelować sytuacje odpowiadające typowym stanom pracy każdej maszyny elektrycznej działającej z wykorzystaniem zjawiska elektromagnetyzmu, wynikające z „zazębienia się” wzajemnie do siebie prostopadłych pola magnetycznego i pola elektrycznego. Model matematyczny pozwala w sposób łatwy do zrozumienia odwzorować zjawiska towarzyszące wzajemnej przemianie energii elektrycznej i mechanicznej, zachodzące w jednej i tej samej chwili w każdym drobnym fragmencie dowolnego uzwojenia maszyny „zanurzonego” w polu magnetycznym. Przez dany fragment uzwojenia w danej chwili może płynąć jakiś prąd lub może akurat wystąpić w nim stan bezprądowy, a także może się on poruszać względem linii sił pola magnetycznego, w którego zasięgu aktualnie się znajduje, lub spoczywać nieruchomo względem niego.

Rys. 2.1. Dwa szkice ilustrujące elektrodynamiczne podstawy przemiany energii zachodzące w każdej maszynie elektrycznej: a) siła elektrodynamiczna działająca na przewodnik z prądem w polu magnetycznym, b) siła elektromotoryczna indukowana w przewodniku poruszającym się w polu magnetycznym: B – wektor indukcji magnetycznej, F – siła elektrodynamiczna, I – natężenie prądu w przewodniku, E – siła elektromotoryczna, V – prędkość

Z trzeciej zasady dynamiki Newtona wynika, że można z łatwością zaaranżować inny model podobnej prostej maszyny elektrycznej, niejako dualny w stosunku do tego, który tu został przedstawiony. Bo skoro w przedstawionym układzie nieruchomy jest magnes, a porusza się przewód, to dlaczego nie mogłoby być odwrotnie, żeby nieruchomy był przewód, a poruszał się magnes! Taka konstrukcja stanowiłaby po prostu rozwinięcie słynnego eksperymentu H.C. Ørsteda z 1820 r., który jako pierwszy zwrócił uwagę, że igła kompasu (magnes) odchyla się (czyli porusza) pod wpływem prądu płynącego w umieszczonym obok niego przewodzie. Aby taki ruch stał się użyteczny, tego rodzaju maszyna musiałaby mieć postać długiego solenoidu (cewki), wewnątrz którego, wzdłuż jego osi, mógłby się swobodnie poruszać mały magnesik sztabkowy. Z oczywistych względów technicznych skonstruowanie analogicznego toru „jazdy”, jak w podanym wcześniej przykładzie, dla takiego magnesika byłoby dosyć kłopotliwe. Ale gdyby ten solenoid nie był prostoliniowy, ale zawinięty na kształt torusa? I podzielony na sekcje włączane do pracy sekwencyjnie? Dostrzegli to oczywiście jako pierwsi fizycy jądrowi eksperymentujący z cząstkami elementarnymi, budując swoje rozmaite elektromagnetyczne akceleratory służące do cyklicznego przyspieszania cząstek obdarzonych ładunkiem elektrycznym. A w napędach elektrycznych z dokładną regulacją prędkości obrotowej, opartych na tradycyjnych komutatorowych maszynach prądu stałego, przez bardzo długie lata królował klasyczny obcowzbudny silnik prądu stałego. Dopiero szybki rozwój energoelektroniki i mikroprocesorowych układów sterowania w ostatnich latach pozwolił na przeniesienie tej starej idei do nowych konstrukcji maszyn elektrycznych z magnesami trwałymi umieszczanymi na powierzchni obracającego się wirnika i nieruchomymi uzwojeniami stojana podłączanymi do zewnętrznego obwodu elektrycznego za pomocą przełączanych kluczy energoelektronicznych przekształtnika.

Jednak ze względu na utrwalone od lat w nauczaniu elektrotechniki dotychczasowe podejście do objaśniania praw elektromagnetyzmu oparte na wynalazku Faradaya, a nie na odkryciu Ørsteda, przedmiotem dalszych rozważań będzie tutaj ten najbardziej popularny prosty układ elektromechaniczny, przedstawiony na rys. 2.1. Aby taki odcinek przewodu mógł odegrać tę przewidzianą dla niego rolę, scenariusz pewnego eksperymentu myślowego, który zostanie tu zaproponowany Czytelnikowi, należy poza rys. 2.1a,b uzupełnić dodatkowymi komentarzami i założeniami.

Po pierwsze, tym dowolnie wybranym fragmentem uzwojenia maszyny może być krótki okrągły prostoliniowy pręt mający swobodę prostoliniowego przemieszczania się w dowolną stronę po dwóch równoległych do siebie, także prostoliniowych metalowych prowadnicach, z których każda jest zakończona umownym zaciskiem pozwalającym na zamknięcie obwodu elektrycznego przez dołączenie zewnętrznego elementu, na przykład w postaci akumulatora energii elektrycznej o zerowej impedancji wewnętrznej i danym napięciu jałowym E_0, którego wartość można zakładać dowolnie, w zależności od analizowanego stanu pracy opisywanego tu modelu myślowego maszyny elektrycznej. Stałe połączenie galwaniczne pręta z tym akumulatorem energii zapewniają prowadnice, po których ten pręt ślizga się swoimi końcami.

Po drugie zamknięty obwód elektryczny utworzony przez pręt roboczy i prowadnice, w granicach wykonywanego przez ten pręt liniowego przemieszczenia, musi być objęty jednorodnym polem magnetycznym i leżeć na płaszczyźnie prostopadłej do linii sił tego pola.

Już w programie fizyki nauczanej w szkole średniej wspomniano, że jeśli w przewodzie znajdującym się w polu magnetycznym o indukcji B popłynie prąd elektryczny o natężeniu I (niezależnie od okoliczności, które spowodowały jego przepływ i niezależnie od tego, czy przewód w tym czasie porusza się, czy jest w stanie spoczynku), to na taki przewód będzie działać zawsze siła elektrodynamiczna F (siła Lorentza), pochodząca od wzajemnego oddziaływania zewnętrznego pola magnetycznego o indukcji B i pola magnetycznego wytworzonego wokół przewodu przez który płynie ten prąd, tak jak to pokazano na rysunku (rys. 2.1a). Wartość tej siły jest proporcjonalna do iloczynu wartości indukcji B pola magnetycznego i wartości I natężenia prądu płynącego przez ten przewód (w tym przypadku przez rozważany pręt)

(2.1)

gdzie: kF − długość pręta (stanowiąca parametr mogący później być użyty do opisu obwodu elektrycznego).

Rys. 2.2. Szkice ilustrujące zachowanie się ruchomego pręta mogącego przewodzić prąd i znajdującego się w polu magnetycznymi charakterystyczne dla pracy: a) silnikowej, b) prądnicowej

Wszystkie rozważane tu wektory są wzajemnie prostopadłe do siebie. Dla przyjętych na rys. 2.2a zwrotów wektorów indukcji B i prądu I prawidłowy zwrot siły elektrodynamicznej F jest taki, jak to pokazano. Łatwo zauważyć, że te trzy wektory wymienione w kolejności: I, B, F (od prawej do lewej we wzorze (2.1)) tworzą prostokątny układ, który w rzeczywistym, otaczającym nas świecie nazywamy prawoskrętnym.

Wymieniona wyżej kolejność nie jest obojętna dla określenia zwrotu „siły” F (tu mowa jest o newtonowskiej sile elektrodynamicznej, więc cudzysłów wydaje się niepotrzebny, ale po przeczytaniu komentarza do następnego wzoru Czytelnik zrozumie powód podkreślenia tego dualizmu!), bowiem wzór (2.1) jest bardzo przystępnym, prostym zapisem odpowiedniego prawa fizyki (zrozumiałym nawet na poziomie szkoły zawodowej) i może być także podany w bardziej ogólnie sformułowanej postaci, a mianowicie bezpośrednio w zapisie wektorowym. Zapis taki nie wymaga już ustalania reguł dotyczących zwrotu wektora stanowiącego wynik obliczeń, ale z kolei wymaga zapamiętania, w jakiej kolejności podstawiać te wielkości do wzoru. Dla ułatwienia zapamiętania tej kolejności można tu podać jako regułę mnemoniczną następujący logiczny powód jej zachowania, odpowiadający najczęściej w praktyce spotykanemu stanowi pracy maszyn elektrycznych, odbywającej się na ogół przy stałym wzbudzeniu magnetycznym: najpierw przyczyna: prąd I, potem warunki otoczenia: indukcja B, a na końcu skutek: siła elektrodynamiczna F.

Ponadto także już w szkole średniej nauczano, że w każdym przewodzie poruszającym się w polu magnetycznym o indukcji B z pewną prędkością V (także bez wnikania w przyczyny zmuszające ten przewód do takiego poruszania się oraz niezależnie od tego, czy wchodzi on w skład jakiegoś zamkniętego obwodu elektrycznego, czy też jego końce pozostają otwarte) indukuje się na jego końcach pewna różnica potencjałów elektrycznych, mająca wymiar napięcia, nazywana wewnętrzną siłą elektromotoryczną E (często w polskiej terminologii elektrotechnicznej określanej skrótem SEM), której wartość jest proporcjonalna do iloczynu wartości indukcji B pola magnetycznego i wartości prędkości V przemieszczania się tego przewodu

(2.2)

gdzie: kE − długość tego pręta (podobnie jak poprzednio stanowiąca parametr mogący później być użyty do opisu obwodu elektrycznego). Wzór (2.2), podobnie jak wzór (2.1), jest spotykany bardzo często w podręcznikach z elektrotechniki i może być wyprowadzony jako wniosek z dobrze znanego prawa Faradaya, sformułowanego w postaci równania różniczkowego.

Podobnie jak poprzednio wszystkie rozważane tu wektory są wzajemnie prostopadłe do siebie. Dla przyjętych na rys. 2.2b zwrotów wektorów indukcji B i prędkości przemieszczania się pręta V prawidłowy zwrot siły elektromotorycznej E wygląda tak, jak to pokazano. Łatwo zauważyć, że także tu, podobnie jak poprzednio, te trzy wektory wymienione w kolejności: V, B, E tworzą prostokątny układ, który w rzeczywistym, otaczającym nas świecie nazywamy prawoskrętnym. I tak jak poprzednio, wyżej wymieniona kolejność (od prawej do lewej we wzorze (2.2)) nie jest obojętna dla określenia zwrotu „siły” E (ten cudzysłów dodano po to, by zwrócić uwagę Czytelnikowi, że ten sam człon w nazwie wielkości fizykalnej, będącej efektem końcowym każdego z tych zjawisk, niejako podkreśla ich dualność – poprzednio była to siła elektrodynamiczna, a tu mowa jest o sile elektromotorycznej). W tym przypadku także wzór (2.2) jest bardzo przystępną i prostą formą zapisu odpowiedniego prawa fizyki (tak jak wzór (2.1)) i może być także podany w zapisie wektorowym. W tym przypadku także dla ułatwienia zapamiętania właściwej kolejności, która w takim zapisie jest ważna, można tu podać jako regułę mnemoniczną identyczny co poprzednio logiczny powód jej zachowania, odpowiadający najczęściej w praktyce spotykanemu stanowi pracy maszyn elektrycznych, odbywającej się na ogół przy stałym wzbudzeniu magnetycznym: najpierw przyczyna: prędkość V, potem warunki otoczenia: indukcja B, a na końcu skutek: siła elektromotoryczna E.

Warto zauważyć, że jeśli wartości liczbowe wszystkich występujących w obu tych wzorach wielkości fizykalnych są zapisywane z wykorzystaniem międzynarodowego układu jednostek SI, to występujące w nich parametry kF i kE są sobie dokładnie równe (co zostanie wykazane w dalszym ciągu tych rozważań). We wzorach (2.1) i (2.2) świadomie dokonano jednak ich rozróżnienia:

– po pierwsze, dla wyraźnego podkreślenia, że są one parametrami opisującymi wspomniane w przedmowie dwa historycznie różniące się spojrzenia na opisy warunków towarzyszących temu samemu zjawisku indukcji magnetycznej odkrytemu przez Faradaya, przy okazji poszukiwania nowego sposobu wytwarzania elektryczności,

– a po drugie, aby pamiętać przy wyprowadzaniu matematycznych wzorów opisujących − bardziej niż ten prosty przykład − skomplikowane geometrycznie i funkcjonalnie warunki, w których te zjawiska zachodzą w uzwojeniach i rdzeniach rzeczywistych maszyn elektrycznych, i nie przeoczyć faktu, że pewne użyte do obliczeń wielkości nie są wyrażone jednostkach układu SI, a w tzw. jednostkach technicznych, stosowanych od lat i zalegalizowanych nadal do użytku.

Należy jednak zawsze pamiętać, że siła elektromotoryczna E, choć mająca w nazwie słowo „siła” ma wymiar napięcia, a nie newtonowskiej siły F.

Przy okazji przypominania praw fizyki związanych ze zjawiskiem elektromagnetyzmu warto też zauważyć, że od samego początku rozwijania się nauki o „elektryczności” istniała wielka potrzeba upowszechniania podstawowych wiadomości z tej dziedziny wśród ludzi często mających nawet zawodowy kontakt z tymi zjawiskami, ale nie znających dobrze matematyki. Dlatego posługiwanie się bardziej złożonymi pojęciami teoretycznymi, wygodnymi przy opisywaniu zjawisk zachodzących w obwodach elektrycznych i towarzyszących efektom występowania zjawiska indukcji magnetycznej, w codziennej praktyce było bardzo utrudnione. Od bardzo dawna skłaniało to wykładowców elektrotechniki do tworzenia prostych reguł pozwalających na, ich zdaniem nieomylne, ustalenie odpowiednich znaków wielkości, których wartości obliczano na podstawie wzorów o uproszczonej formie zapisu. Celem było szybkie i prawidłowe ustalenie bądź to właściwego znaku elektromotorycznych sił przepięciowych indukowanych w obwodach elektrycznych przy pojawieniu się w obwodzie nieoczekiwanej przerwy, bądź to właściwego kierunku sił, z jakimi oddziaływać będą na otoczenie przewody, w których popłyną duże wartości prądów przy pojawieniu się w obwodzie nieoczekiwanego zwarcia. Reguły te są znane w różnych krajach pod trochę różnymi nazwami (często z dodawaniem nazwisk ich pomysłodawców), jako reguły lewej i prawej dłoni lub też trzech palców lewej i prawej ręki itp. Od podobieństwa tych reguł do siebie można rzeczywiście dostać zawrotu głowy, co oczywiście wbrew intencjom pomysłodawców nie chroni przed niebezpieczeństwem popełnienia groźnej w skutkach pomyłki przez inżyniera, zmuszonego do podjęcia szybkiej decyzji w sytuacjach awaryjnych. Dlatego w praktyce inżynierskiej prościej jest się odwoływać do tzw. reguły Lenza, często wspominanej, a rzadko polecanej w podręcznikach. Reguła Lenza, nazywana również regułą sprzeciwu, określa także w prostej formie kierunek zjawisk zachodzących w procesie indukcji elektromagnetycznej opisanych prawem Faradaya i można ją wywieść wprost z różniczkowego zapisu tego prawa

(2.3)

gdzie: – siła elektromotoryczna zaindukowana na brzegu tworzącym kontur zamknięty, ograniczający daną powierzchnię S, – strumień indukcji magnetycznej będący funkcją czasu, w danej chwili t wyrażony jako całka powierzchniowa, obliczona dla iloczynu skalarnego wektora indukcji B i wektora normalnego dS do elementu dS tworzącego fragment danej powierzchni S

(2.4)

Minus we wzorze (2.3) wynika z zasady zachowania energii i właśnie stanowi sedno reguły Lenza, co oznacza, że siła elektromotoryczna (SEM) indukowana przez zmiany strumienia magnetycznego skojarzonego z pewnym potencjalnym obwodem elektrycznym ma taki znak, czyli jest skierowana w tę stronę tego obwodu elektrycznego, że gdyby pod jej wpływem popłynął w nim prąd, wówczas wytworzone przez ten prąd własne pole magnetyczne przeciwdziałałoby przyczynie powstania tej SEM, a więc przeciwdziałałoby zmianom strumienia, które zgodnie ze wzorem (2.3) jej powstanie spowodowało. Innymi słowy, jeżeli strumień skojarzony z pewnym obwodem elektrycznym słabnie, to SEM zaindukowana w obwodzie zgodnie ze zjawiskiem indukcji magnetycznej (opisanej prawem Faradaya, regułą Lenza, czy też wspomnianymi wyżej regułami „odpowiedniej dłoni” lub „trzech odpowiednio ustawionych palców” itd.) ma taki zwrot, aby odpowiadająca jej składowa prądu mogła to słabnące pole podtrzymać, a jeśli strumień rośnie, to zaindukowana SEM ma taki zwrot, aby odpowiadająca jej składowa prądu mogła to narastające pole osłabić. Warto tu podkreślić, że o tym, czy strumień wyrażony wzorem (2.4), skojarzony z daną powierzchnią S rośnie, czy maleje, decydują nie tylko zależne od czasu wartości i kierunki wektora indukcji B(t) przebijające „punktowo” tę powierzchnię, ale także zachodzące w czasie zmiany kształtu geometrycznego tej powierzchni, czyli także „to”, co się z tą powierzchnią na tle upływającego czasu dzieje.

Jeśli zatem w przedstawionym na rys. 2.2a przykładzie pracy silnikowej siła F działając na pręt przesuwa go po prowadnicach w prawo − w kierunku magazynu energii, to powierzchnia objęta obwodem elektrycznym, w którym płynie prąd I, maleje. W tej sytuacji, pomimo stałego i prostopadłego w każdym punkcie płaszczyzny tego obwodu wektora indukcji B (tworzącego przecież pole jednorodne z założenia), zgodnie ze wzorem (2.4) maleje w czasie wartość strumienia magnetycznego skojarzonego z tym obwodem, czyli na mocy prawa Faradaya (2.3) zwrot zaindukowanej SEM będzie taki, jak pokazano to na tym rysunku, bowiem zaindukuje się ona w obwodzie w tym kierunku, by móc podtrzymać „gasnący” strumień magnetyczny (wzbudzenia) w tym prostym modelu silnika. Inaczej mówiąc, zwrot siły elektromotorycznej E − na mocy reguły Lenza powinien być zaznaczony jako przeciwnie skierowany do U_0, napięcia zasilania „twornika”. W polskiej terminologii elektrotechnicznej dotyczącej maszyn elektrycznych słowo „twornik” zaproponowano dla określania tej części uzwojenia maszyny elektrycznej, w której jest wytwarzana główna siła elektromotoryczna w wyniku przemieszczania się jej części względem siebie, odpowiedzialna za przetwarzanie energii w tej maszynie. W przypadku maszyny elektrycznej taką poruszającą się częścią może być właśnie to ruchome uzwojenie, wchodzące w skład obwodu, w którym płynie główny prąd roboczy (tak jest w tradycyjnych maszynach komutatorowych prądu stałego lub przemiennego), bądź względem takiego nieruchomego uzwojenia porusza się magnes trwały.

Nie odwołując się do żadnych innych reguł mnemonicznych (ze swego pierwotnego zamysłu mających przecież ułatwić zapamiętywanie, ale przez wielość swoich odmian, dających efekt wręcz odwrotny od zamierzonego!), łatwo jest uzasadnić takie skierowanie się SEM zaindukowanej w uzwojeniu „twornika” przeciwko napięciu zasilającemu ten „twornik”. Bowiem tylko wtedy różnica napięć (E_0 – E) powodująca przepływ prądu I w obwodzie „twornika” zmaleje, co oczywiście spowoduje zgodnie ze wzorem (2.1) zmniejszenie wartości siły napędowej F i wywoła efekt tak, jakby w układzie pojawił się samoczynnie pewien opór, stanowiący dodatkową siłę przeciwną do siły napędowej, czyli siłę hamującą, dzięki której następuje spowolnienie dynamicznego procesu rozpędzania się pręta, co faktycznie pociąga za sobą aktywne przeciwdziałanie dalszemu osłabianiu strumienia wzbudzenia. W ten sposób regule Lenza staje się zadość także i w tym – wydawałoby się bardziej złożonym przypadku. Przykład ten pokazuje, że przy analizowaniu zjawisk zachodzących w makroskali w maszynach elektrycznych umiejętne stosowanie wzorów (2.1) i (2.2) uzupełnionych o regułę Lenza (pozwalającą właściwie ustalać obowiązujące znaki różnych wielkości elektrycznych, takich jak napięcia, prądy i magnetyczne strumienie skojarzone) pozwala w praktyce inżynierskiej unikać odwoływania się do zwartych zapisów praw elektromagnetyzmu w postaci iloczynów wektorowych, które przy nieumiejętnej ich interpretacji mogą być źródłem błędu.

Jeśli wzór (2.1) obustronnie pomnożyć przez wartość prądu I, to po odpowiednim pogrupowaniu czynników i skorzystaniu ze wzoru (2.2) otrzymuje się wzór przedstawiający pewien bilans mocy (2.5). Ponadto łatwo spostrzec, że oba czynniki: F – siłę, i V – prędkość liniową, otrzymane w końcowej postaci wykonanego przegrupowania można dodatkowo jeszcze pomnożyć i podzielić przez tę samą dowolną, byle nieujemną liczbę r. Oznacza to, że rozważany dotychczas ruch prostoliniowy pewnego odcinka przewodnika elektrycznego, odbywający się w kierunku prostopadłym do jego długości, można w dowolnym punkcie tego ruchu (czyli w dowolnej chwili) traktować także jako ruch tego odcinka przewodu po stycznej do jakiegoś zakrzywionego w tym punkcie toru o dowolnym promieniu krzywizny r. Wówczas tę samą moc mechaniczną można wyrazić równoważnym wzorem, gdzie dla chwilowych wartości zamiast siły występuje jej moment, a zamiast prędkości liniowej pojawia się odpowiadająca jej prędkość kątowa.

(2.5)

(2.6)

to

(2.7)

Po lewej stronie wzoru (2.5) występuje chwilowa moc elektryczna: , a po prawej stronie otrzymane wzory wyrażają chwilową moc mechaniczną bądź to w ruchu postępowym, bądź w danym punkcie położenia rozważanego pręta (odpowiadającym danej chwili), stycznym do niego ruchu obrotowym: , niezależnym od wielkości promienia krzywizny toru.

Dla jednostek wyrażonych w układzie SI taki bilans nie może w żadnym stopniu zależeć od współczynników kF i kE, bo w fizyce opisującej realny świat materialny, w którym obowiązuje prawo zachowania energii, formalnymi trikami obliczeniowymi nie można ani „schować donikąd”, ani „stworzyć z niczego” – żadnej, najmniejszej nawet porcji energii (czy też materii – na mocy słynnego wzoru Einsteina E = mc^2 równoważnej przecież takiej energii).

Uwaga: Należy tu przypomnieć, że proste wzory (2.1) i (2.2), które przecież tradycyjnie podaje się bez szczególnie pogłębionych komentarzy w licznych podręcznikach elektrotechniki jako wystarczające wyjaśnienie zjawiska indukcji magnetycznej obserwowanego w prostym przykładzie przedstawionym na rys. 2.1 oraz rys. 2.2, obowiązują jedynie przy uczynionym tu założeniu, że to pole magnetyczne, w którym porusza się rozważany odcinek przewodu, jest jednorodne i stałe (!)

Obie sytuacje przedstawione na rys. 2.1a,b można jednak wykorzystać do bardziej ogólnego omówienia zjawiska indukcji magnetycznej. Trzeba jednak wtedy przyjąć, że przedstawiono na nich tylko drobny wycinek większej, bardziej złożonej całości, czyli że odwzorowano na nich sytuację obserwowaną w niewielkim otoczeniu wybranego „punktu” stanowiącego skrzyżowanie pewnego „obwodu” elektrycznego i pewnego „obwodu” magnetycznego, umieszczonych względem siebie pod kątem prostym, a rozważania dotyczące dynamiki są prowadzone dla bardzo krótkiego przedziału czasu − niemal chwili. Równania te opisują bardzo ważny pojęciowo element składowy dowolnego elektromagnetycznego lub elektromechanicznego układu przetwarzania energii – a mianowicie coś, co może być nazwane elementarną elektrodynamiczną „czarną dziurą”, opartą na prawie zachowania energii, obowiązującym w materialnym wszechświecie postrzeganym przez nas, ludzi. Najbardziej zwięzłym opisem zjawiska fizycznego polegającego na zachowaniu energii przy przechodzeniu przez taką elektrodynamiczną „czarną dziurę” (zarówno w jedną, jak i w drugą stronę) jest właśnie prawo indukcji magnetycznej odkryte przez Faradaya. Równanie (2.3) opisujące to prawo jest bowiem wnioskiem wyprowadzonym z takiego bilansu energetycznego dotyczącego obu stron pewnej granicy. Po lewej stronie tego równania świat zjawisk elektrycznych objawia się jako różnica potencjałów mogąca mieć wpływ na ruch ładunków elektrycznych, czyli na przepływ prądu, jeśli obwód elektryczny, w którym znajdzie się ten mikroskopijny odcinek przewodu zostanie zamknięty (niezależnie od tego, czy w tym obwodzie znajdzie się źródło innej siły elektromotorycznej, czy też nie). Natomiast pochodna strumienia magnetycznego skojarzonego z takim obwodem znajdująca się po prawej stronie tego równania opisuje świat zjawisk dynamicznych. Aby uświadomić sobie dwoistą naturę tych zjawisk, należy przede wszystkim pamiętać, że z definicji (2.4) wynika, że strumień skojarzony z danym obwodem znajdującym się na pewnej płaszczyźnie prostopadłej do linii sił pola magnetycznego jako całka powierzchniowa jest granicą sumy bardzo dużej (rosnącej do nieskończoności) liczby elementarnych iloczynów , gdzie stanowi jeden z elementarnych fragmentów, na jakie jest dzielona cała powierzchnia danego obwodu. Dla uproszczenia dalszej analizy założono, że w prowadzonych rozważaniach skupiamy uwagę jedynie na jednym wybranym elementarnym składniku sumy tworzącej strumień skojarzony, a mianowicie tym, który odpowiada niewielkiemu prostokątowi utworzonemu przez odcinek przewodu, dwie prostopadłe doń prowadnice, po których może się on przesuwać i pewną umowną linię odniesienia poprowadzoną prostopadle do tych prowadnic. Pole takiego prostokąta wyraża się wzorem , gdzie długość rozważanego odcinka przewodu l jest stała, a  oznacza położenie tego odcinka na prowadnicach względem linii odniesienia.

Na wstępie zostanie rozpatrzona sytuacja, gdy niezerowa wartość pochodnej strumienia skojarzonego (niezerowa, bo ma przecież dać efekt pojawienia się – czyli zaindukowania – SEM w rozpatrywanym mikroskopijnym odcinku przewodu) jest spowodowana zmianą wartości indukcji magnetycznej w niewielkim otoczeniu tego odcinka przewodu albo zmianą wielkości tej niewielkiej powierzchni , zachodzącymi całkowicie niezależnie od siebie. Czyli gdy występuje jeden z dwóch przypadków:

–

(2.8)

–

(2.9)

W pierwszym przypadku, gdy zachodzące zjawisko indukcji magnetycznej jest opisane wzorem (2.8), za pojawienie się siły elektromotorycznej w rozważanym obwodzie odpowiedzialna jest prędkość , z jaką po prowadnicach przemieszcza się rozważany odcinek przewodu. Ta sytuacja odpowiada maszynie elektrycznej, w której w obecności stałego pola magnetycznego (obojętne, w jaki sposób wytworzonego – czy przez magnes trwały, czy przez jakiś elektromagnes) jest możliwy ruch mechaniczny pewnej części takiej maszyny, do której przytwierdzony został rozważany odcinek przewodu. Należy tu od razu zauważyć, że na mocy trzeciej zasady dynamiki Newtona możliwe jest zbudowanie konstrukcji o odwróconym działaniu: odcinek przewodu wiodącego prąd jest przytwierdzony nieruchomo do podłoża, a po prowadnicach przesuwa się wspomniane wyżej źródło stałego pola magnetycznego. Tak więc ta druga postać (2.8) zapisu prawa Faradaya stanowi podstawę opisu działania każdej maszyny elektrycznej z ruchomą częścią mechaniczną – bądź to wirującą, bądź przemieszczającą się liniowo.

W drugim przypadku, opisanym wzorem (2.9), za zaindukowaną siłę elektromotoryczną w rozważanym obwodzie odpowiedzialna jest zmiana wartości indukcji magnetycznej , pochodzącej z innego „świata”, na przykład wywołanej zmianą prądu płynącego w innym obwodzie elektrycznym (pozostającym w stanie sprzężenia magnetycznego, czyli mającego poprzez pole magnetyczne wpływ na zjawiska zachodzące w rozważanym tu odcinku przewodu). Ta sytuacja odpowiada maszynie elektrycznej, w której nie ma ruchomej części mechanicznej, ale wtedy muszą w niej występować dwa galwanicznie odseparowane od siebie obwody elektryczne, czyli na przykład transformatorowi.

Aby zrozumieć głębszy sens fizykalny takich dwóch zupełnie od siebie niezależnych interpretacji tego samego prawa Faradaya (2.3), równania „napięciowe” (2.8) i (2.9), opisujące SEM zaindukowaną w rozważanym mikroobwodzie stanowiącym brzeg obszaru , należy obustronnie pomnożyć przez wartość prądu płynącego w tym obwodzie. Wtedy równania napięciowe zamienią się w równania wiążące ze sobą moce.

W przypadku takiego porównania ze sobą mocy otrzymanych po przekształceniu równania napięciowego (2.8) łatwo zauważyć, że staje się ono wspomnianym już wcześniej równaniem (2.7), dotyczącym maszyn elektrycznych mających ruchome części mechaniczne łączące. To równanie już bez żadnych wątpliwości wskazuje wyraźnie na bezstratne połącznie z sobą wspominanych wyżej dwóch „światów” – elektrycznego i mechanicznego, którego istnienie gwarantuje odkryte przez Faradaya zjawisko indukcji magnetycznej. W „świecie” elektrycznym – świecie ładunków elektrycznych (o których masie nic się tu nie wspomina), wpływająca doń lub zeń wypływająca chwilowa moc jest symbolizowana przez iloczyn chwilowej wartości „wewnętrznej” siły elektromotorycznej E przez chwilową wartość prądu I, a w „świecie” mechanicznym – świecie punktów materialnych, wpływająca doń lub zeń wypływająca moc chwilowa jest symbolizowana przez iloczyn równy chwilowej wartości „wewnętrznej” siły elektrodynamicznej F działającej na punkt materialny (postrzegany w tym „innym” świecie jako ładunek elektryczny) pomnożonej przez chwilową wartością prędkości V tego punktu. Wzór (2.7) pokazuje niejako przy okazji, że w „świecie” mechanicznym nie jest ważne, czy prędkość chwilowa takiego punktu materialnego jest zaobserwowana w jego ruchu prostoliniowym czy w ruchu po okręgu o dowolnym promieniu. Dlatego w przypadku ruchu po okręgu rozpatrywana chwilowa moc mechaniczna może być równie dobrze reprezentowana przez „wewnętrzny” elektrodynamiczny moment obrotowy M pomnożony przez chwilową wartość prędkości kątowej Ω, z jaką punkt materialny porusza się po łuku tego okręgu w miejscu styczności z torem prostoliniowym.

Poniżej, na przykładzie prostej „maszyny” elektrycznej, jaką jest rozważany powyżej odcinek przewodu (pręt) o masie m i rezystancji R umieszczony w jednorodnym polu magnetycznym o stałej wartości indukcji B, mogący bez ograniczeń swobodnie poruszać się bez tarcia i nie natrafiający przy tym na żaden opór mechaniczny w dwóch kierunkach, zostaną dokładniej omówione zjawiska towarzyszące przekształcaniu energii w obu kierunkach. W tym celu rozpatrzono dwa przykładowe scenariusze dotyczące dwóch wariantów współpracy takiej „maszyny” z zewnętrznym akumulatorem energii elektrycznej, ale analizowanych dla różnych warunków początkowych. W obu przypadkach analizę rozpoczyna się dokładnie w chwili podłączenia przewodów od tego akumulatora (z zachowaniem tej samej polaryzacji) do zacisków zamocowanych na końcu obu prowadnic, po których ślizga się pręt roboczy, czyli twornik tej „maszyny”. Jak już wyżej przypomniano, nazwa „twornik” oznacza, że w tej części uzwojenia maszyny elektrycznej powstaje główna siła elektromotoryczna (SEM). W przypadku rozpatrywanej prostej maszyny ta SEM jest związana ściśle z chwilową prędkością poruszającego się pręta przewodzącego prąd (tu będącego tym właśnie „twornikiem”), a prąd ten z kolei jest związany ściśle z „wewnętrzną” siłą elektrodynamiczną działającą na rozważany pręt (czyli „twornik”) stanowiący zarazem węzeł energetyczny maszyny, w którym dochodzi do przemiany rodzaju energii: elektryczna ⇔ mechaniczna.

1. Jeśli rozważany odcinek przewodu (pręt) znajdujący się w spoczynku zostanie w jakiejś chwili podłączony do idealnego napięciowego źródła energii elektrycznej o napięciu E_0, to rozważana prosta maszyna elektryczna znajdzie się w stanie pracy silnikowej – rys. 2.2a. Praca silnikowa tej maszyny polega na rozpędzaniu jej ruchomej części mechanicznej − pręta, czyli oznacza w tym układzie przetwarzanie energii elektrycznej na mechaniczną.