Projekt okładki i stron tytułowych Przemysław Spiechowski
Ilustracja na okładce phochi/Shutterstock
Wydawca Adam Filutowski
Koordynator ds. redakcji Adam Kowalski
Redaktor Mieczysława Kompanowska
Produkcja Mariola Grzywacka
Dział reklamy: Magdalena Lewocka (magdalena.lewocka@pwn.pl) Barbara Czarnecka (barbara.czarnecka@pwn.pl)
Recenzent prof. dr hab. inż. Jerzy Szabatin
Publikacja została dofinansowania ze środków Instytutu Systemów Elektronicznych Politechniki Warszawskiej

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwa Naukowego PWN

Monika Lipiec /Woblink

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo.

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2021

ISBN 978-83-01-22010-5

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2021 r., (wyd. I)

Warszawa 2021

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321, faks 22 69 54 288

infolinia 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl; reklama@pwn.pl

www.pwn.pl

Spis treści

Wstęp

Rozdział 1. Równania elementów, opór zastępczy, energia

Rozdział 2. Podstawowe prawa opisujące obwody elektryczne

Rozdział 3. Podstawowe twierdzenia teorii obwodów

Rozdział 4. Podstawowe pojęcia i prawa – zadania różne

Rozdział 5. Obwody liniowe prądu stałego

Rozdział 6. Obwody nieliniowe prądu stałego

Rozdział 7. Podstawy analizy obwodów prądu sinusoidalnego

Rozdział 8. Wykresy wskazowe, obwody prądu sinusoidalnego

Rozdział 9. Moce i dopasowanie w obwodach prądu sinusoidalnego

Rozdział 10. Obwody rezonansowe

Rozdział 11. Obwody liniowe prądu okresowego

Rozdział 12. Obwody nieliniowe prądu okresowego

Rozdział 13. Stany nieustalone

Rozdział 14. Czwórniki

Rozdział 15. Liniowe układy transmisyjne

Rozdział 16. Grafy

Rozdział 17. Zadania mniej lub bardziej różne

Rozdział 18. Odpowiedzi

18.1 Równania elementów, opór zastępczy, energia

18.2 Podstawowe prawa opisujące obwody elektryczne

18.3 Podstawowe twierdzenia teorii obwodów

18.4 Podstawowe pojęcia i prawa – zadania różne

18.5 Obwody liniowe prądu stałego

18.6 Obwody nieliniowe prądu stałego

18.7 Podstawy analizy obwodów prądu sinusoidalnego

18.8 Wykresy wskazowe, obwody prądu sinusoidalnego

18.9 Moce i dopasowanie w obwodach prądu sinusoidalnego

18.10 Obwody rezonansowe

18.11 Obwody liniowe prądu okresowego

18.12 Obwody nieliniowe prądu okresowego

18.13 Stany nieustalone

18.14 Czwórniki

18.15 Liniowe układy transmisyjne

18.16 Grafy

18.17 Zadania mniej lub bardziej różne

Rozdział 19. Wskazówki

19.1 Równania elementów, opór zastępczy, energia

19.2 Podstawowe prawa opisujące obwody elektryczne

19.3 Podstawowe twierdzenia teorii obwodów

19.4 Podstawowe pojęcia i prawa – zadania różne

19.5 Obwody liniowe prądu stałego

19.6 Obwody nieliniowe prądu stałego

19.7 Podstawy analizy obwodów prądu sinusoidalnego

19.8 Wykresy wskazowe, obwody prądu sinusoidalnego

19.9 Moce i dopasowanie w obwodach prądu sinusoidalnego

19.10 Obwody rezonansowe

19.11 Obwody liniowe prądu okresowego

19.12 Obwody nieliniowe prądu okresowego

19.13 Stany nieustalone

19.14 Czwórniki

19.15 Liniowe układy transmisyjne

19.16 Grafy

19.17 Zadania mniej lub bardziej różne

Rozdział 20. Rozwiązania

20.1 Równania elementów, opór zastępczy, energia

20.2 Podstawowe prawa opisujące obwody elektryczne

20.3 Podstawowe twierdzenia teorii obwodów

20.4 Podstawowe pojęcia i prawa – zadania różne

20.5 Obwody liniowe prądu stałego

20.6 Obwody nieliniowe prądu stałego

20.7 Podstawy analizy obwodów prądu sinusoidalnego

20.8 Wykresy wskazowe, obwody prądu sinusoidalnego

20.9 Moce i dopasowanie w obwodach prądu sinusoidalnego

20.10 Obwody rezonansowe

20.11 Obwody liniowe prądu okresowego

20.12 Obwody nieliniowe prądu okresowego

20.13 Stany nieustalone

20.14 Czwórniki

20.15 Liniowe układy transmisyjne

20.16 Grafy

20.17 Zadania mniej lub bardziej różne

Dodatki

Rozdział D.1. Wykaz ważniejszych oznaczeń

Rozdział D.2. Tablica wybranych transformat Laplace’a

Literatura

Przypisy

Wstęp

Niniejszy zbiór zawiera 1001 (naprawdę!) niewielkich zadań — „drobiazgów” — z zakresu podstaw teorii obwodów elektrycznych. Tytuł książki motywowany jest młodzieńczą fascynacją jednego z autorów sklepami „1001 drobiazgów”, które w siermiężnej rzeczywistości przełomu lat 60. i 70. ubiegłego wieku przyciągały nieprzebraną ofertą rzeczy mniej lub bardziej przydatnych, ale zawsze cieszących oko. Autorzy wyrażają nadzieję, że choć część tej mocy przyciągania będzie obecna w niniejszym zbiorze i że zainteresuje on grono młodych adeptów elektrotechniki i elektroniki.

Zadania zamieszczone w zbiorze powstały na przestrzeni ostatnich dziesięciu lat jako pytania części testowej na egzaminach z teorii obwodów i z podstaw elektroniki, prowadzonych przez autorów na drugim semestrze czterech różnych kierunków[1] studiów na Wydziale Elektroniki i Technik Informacyjnych Politechniki Warszawskiej. Autorem większości zadań (rozdziały 1–17) jest pierwszy z autorów książki, a autorem wszystkich wskazówek i rozwiązań (rozdziały 19–20) — drugi jej autor. Zadania nie pokrywają wprawdzie całego zakresu materiału szeroko rozumianych podstaw teorii obwodów, ale zdaniem autorów ich zakres ten dostatecznie szeroki, aby zapewnić niniejszemu zbiorowi pewien walor ogólności. Zadania podzielone zostały na rozdziały, odpowiadające klasycznym grupom tematów teorii obwodów. Część zadań ma charakter pytań teoretycznych, ale zdecydowana większość to prawdziwe minizadania, wymagające ułożenia i rozwiązania równań i/lub dokonania odpowiednich przekształceń obwodu.

Zadania mają charakter testowy. Po tekście zadania podanych jest szereg odpowiedzi, z których co najmniej jedna jest poprawna[2]. Kolejność odpowiedzi jest przypadkowa. Aby zachęcić Czytelnika do samodzielnego rozwiązywania zadań, poprawne odpowiedzi zostały podane w odrębnym rozdziale na końcu książki. Zadania opatrzone są podaną w ramce obok numeru zadania punktacją: prostsze (często dające się rozwiązać bez rachunków) są wyceniane na 1 punkt, a pozostałe — na 2 punkty. Niektóre zadania, oznaczone w ramce literą „W”, zawierają wskazówki, inne, oznaczone w ramce literą „R” — kompletne (choć skrótowe) rozwiązania. W elektronicznej wersji książki ramka pełni również rolę nawigacyjną: kliknięcie na punktację przenosi Czytelnika do odpowiedzi, kliknięcie na literę „W” — do wskazówki, a na literę „R” — do rozwiązania danego zadania. Niektóre zadania można przy pewnej wprawie rozwiązać w pamięci, ale większość wymaga kartki papieru i ołówka, a nieliczne także kalkulatora. Zadania trudniejsze lub mniej typowe zostały oznaczone w ramce gwiazdką.

Autorzy długo zastanawiali się nad sposobem zapisu w podanych rozwiązaniach mianowanych wielkości fizycznych występujących we wzorach. Ostatecznie wybrana została metoda nie do końca zgodna z normami edycyjnymi, ale za to zwiększająca (zdaniem autorów) czytelność zapisów. A mianowicie, wzory symboliczne prezentowane są tylko na wstępnych etapach obliczeń, po czym wstawiane są do wzorów wartości liczbowe w odpowiednio wybranym spójnym układzie jednostek (tzn. takim, który nie wymaga stosowania w wyrażeniach czynników

). Od tego momentu obliczenia wykonywane są wyłącznie na liczbach niemianowanych, a dopiero wynik ostateczny jest ponownie uzupełniany o jednostki fizyczne.

Autorzy są oczywiście świadomi, że weryfikacja wiedzy i umiejętności wyłącznie na podstawie zadań o charakterze testowym jest dalece niewystarczająca. Dlatego na prowadzonych przez nich egzaminach zadaniom testowym towarzyszą wieloaspektowe zadania otwarte. Jednak za pomocą testów można zweryfikować naprawdę dużo, a wykorzystanie zamieszczonych w niniejszym zbiorze zadań jako pomocy w bieżącym opanowywaniu materiału oraz przygotowaniu się do kolokwiów czy egzaminów, nawet niemających charakteru testowego, jest zdaniem autorów bardzo pożyteczne.

Zakłada się, że Czytelnik ma opanowane odpowiednie podstawy matematyczne z zakresu algebry (działania na liczbach zespolonych) i analizy matematycznej (funkcje, szeregi liczbowe, różniczkowanie i całkowanie, przekształcenie Laplace’a), a także zna pewne aspekty matematyki dyskretnej (teorię grafów). Są one z reguły wykładane na pierwszym roku studiów technicznych.

Niniejszy zbiór zadań merytorycznie oparty jest na doskonałym trzytomowym podręczniku profesorów Jerzego Osiowskiego i Jerzego Szabatina „Podstawy teorii obwodów”, wydawanym w Warszawie w latach 1992—2018, początkowo w wydawnictwie WNT, a ostatnio wznowionym przez WN PWN  [1, 2, 3].

W książce przyjęto pewne konwencje i oznaczenia. Wszystkie wielkości fizyczne będące funkcjami czasu (nawet jeśli nie jest to jawnie podkreślone) oznaczane są zasadniczo małymi literami, natomiast wielkości niezależne od czasu oraz parametry przebiegów zmiennych oznaczane są wielkimi literami. Strzałka napięcia dodatniego pokazuje punkt o wyższym potencjale, a strzałka prądu dodatniego — kierunek ruchu umownych ładunków dodatnich. Jeśli zatem na oporze

strzałki napięcia i prądu są zwrócone przeciwnie, to w opisującym go prawie Ohma

nie pojawia się znak minus. Terminy „obwód” i „układ” traktowane są jako synonimy. Obwodem prądu stałego nazywa się obwód, w którym wszystkie źródła niezależne napięcia i prądu mają stałe odpowiednio siły elektromotoryczne i wydajności prądowe. Analogicznie obwodem prądu sinusoidalnie zmiennego nazywa się obwód, w którym wszystkie źródła niezależne napięcia i prądu mają odpowiednio siły elektromotoryczne i wydajności prądowe sinusoidalnie zmienne o tej samej częstotliwości. Przyjęto symbole źródeł napięcia i prądu niezgodne wprawdzie z Polskimi Normami, ale za to stosowane niemal wyłącznie w krajowej literaturze, w tym w przyjętym za podstawę merytoryczną niniejszego zbioru podręczniku „Podstawy teorii obwodów” J. Osiowskiego i J. Szabatina  [1, 2, 3].

W książce przyjęto czterokońcówkowy symbol idealnego wzmacniacza operacyjnego (przy czym wszystkie wzmacniacze operacyjne traktowane są jako idealne), gdyż stosowany powszechnie symbol trójkońcówkowy nie spełnia prądowego prawa Kirchhoffa. Jak widać z ostatniego zdania, prawa Kirchhoffa są tu nazywane prądowym oraz napięciowym, a nie odpowiednio pierwszym i drugim prawem Kirchhoffa. Macierze i wektory oznaczane są pogrubioną czcionką. Do analizy obwodów prądu sinusoidalnie zmiennego stosuje się liczby zespolone — wskazy, których moduł jest amplitudą (a nie wartością skuteczną) przebiegu, a faza określana jest względem funkcji bazowej cosinus (a nie sinus). Współczynniki zespolonego szeregu Fouriera sygnału okresowego mają indeks (numer harmonicznej) podany w nawiasach w indeksie górnym. Funkcja skoku jednostkowego Heaviside’a oznaczana jest symbolem

, a dystrybucja delta Diraca — symbolem

. Transformaty Laplace’a sygnałów oznaczane są małymi literami z poziomą kreską u góry, a sprzężenie liczby zespolonej — gwiazdką w górnym indeksie. W przypadku teorii czwórników wszystkie możliwe kategorie ich wielkości zaciskowych (przebiegi stałe, wskazy i transformaty Laplace’a) mają tradycyjnie uniwersalny zapis w postaci wielkich liter. Jeśli nie jest wyraźnie powiedziane inaczej, będziemy zakładać, że wartości elementów (np. oporu

) są dodatnie.

Na zakończenie tego wstępu autorzy chcieliby wyrazić swoją wdzięczność dla kilku osób za przyczynienie się do powstania niniejszego zbioru. Przede wszystkim dla niezapomnianego profesora Jerzego Osiowskiego, którego uczniami i wychowankami są obaj autorzy. To jego wielki talent dydaktyczny i ogromna wiedza zachęciły autorów do związania życia zawodowego z teorią obwodów i sygnałów. Kolejnymi osobami, którym autorzy chcieliby wyrazić swoją głęboką wdzięczność za liczne dyskusje merytorycznie, za współautorstwo doskonałych podręczników teorii obwodów i za bycie niekwestionowanymi autorytetami w zakresie dydaktyki są ich wieloletni koledzy i przełożeni — profesorowie Jerzy Szabatin i Jacek Kudrewicz. Szczególne podziękowania należą się profesorowi Jerzemu Szabatinowi, który jako recenzent wydawniczy nie tylko dokonał korekty tekstu całej książki, ale także zadał sobie benedyktyński wręcz trud sprawdzenia odpowiedzi do wszystkich zadań. Na wyrazy wdzięczności zasługuje też przedwcześnie zmarły profesor Jacek Wojciechowski, który już ponad trzydzieści lat temu, po swoim powrocie ze stażu naukowego w Kanadzie i USA, mocno propagował wykorzystanie właśnie zadań testowych do sprawdzania efektów nauczania w zakresie teorii obwodów. Gdyby zasiane ongiś przez niego ziarno nie wykiełkowało, niewątpliwie nie powstałaby niniejsza książka.

Marek Nałęcz i Edward Śliwa

Rozdział 1
Równania elementów, opór zastępczy, energia

1.1

2    R
Do źródła zastępczego Nortona o wydajności

i oporze wewnętrznym

podłączono pojemność nieliniową opisaną równaniem

, gdzie

. Ile wyniesie w stanie ustalonym ładunek

zgromadzony w tej pojemności?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

1.2

2
Do źródła zastępczego Thévenina o SEM

i oporze wewnętrznym

podłączono indukcyjność nieliniową o równaniu

, gdzie

. Ile wyniesie strumień skojarzony

w tej indukcyjności?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

1.3

1    W
Aby z sygnału prostokątnego (symetryczna fala bipolarna) otrzymać sygnał trójkątny (piłokształtny), należy pobrać…

A.…natężenie prądu pojemności liniowej pobudzanej źródłem napięcia prostokątnego.
B. …napięcie na pojemności liniowej pobudzanej źródłem prądu prostokątnego.
C. …natężenie prądu indukcyjności liniowej pobudzanej źródłem napięcia prostokątnego.
D. …napięcie na indukcyjności liniowej pobudzanej źródłem prądu prostokątnego.
E. Żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest poprawna.

1.4

1
Aby z sygnału trójkątnego (piłokształtnego, będącego symetryczną falą bipolarną) otrzymać sygnał prostokątny, należy pobrać…

A.…natężenie prądu indukcyjności liniowej pobudzanej źródłem napięcia trójkątnego.
B. …natężenie prądu pojemności liniowej pobudzanej źródłem napięcia trójkątnego.
C. …napięcie na indukcyjności liniowej pobudzanej źródłem prądu trójkątnego.
D. …napięcie na pojemności liniowej pobudzanej źródłem prądu trójkątnego.
E. Żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest poprawna.

1.5

1

W obwodzie przedstawionym na rysunku (a) SEM źródła

ma przebieg jak na rysunku (b). Natężenie prądu

dla

będzie…

A.…stałe i dodatnie.
B. …stałe i ujemne.
C. …ściśle rosnące.
D. …ściśle malejące.
E. Żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest poprawna.

1.6

2

Na rysunku przedstawiono przebieg napięcia i natężenia prądu dla pewnego elementu. Jaki to element?

A.Pojemność

.
B. Indukcyjność

.
C. Indukcyjność

.
D. Pojemność

.
E. Opór

.
F. Opór

.
G. Żaden z pozostałych.

1.7

2

Na rysunku przedstawiono przebieg napięcia i natężenia prądu dla pewnego elementu. Jaki to element?

A.Opór

.
B. Pojemność

.
C. Pojemność

.
D. Indukcyjność

.
E. Indukcyjność

.
F. Opór

.
G. Żaden z pozostałych.

1.8

2    R

Natężenie prądu

płynącego przez indukcyjność

ma przebieg pokazany na rysunku. Jakie jest napięcie na indukcyjności w chwili

?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

1.9

2

Na rysunku pokazano przebieg napięcia

na indukcyjności liniowej

. Ile wynosi natężenie prądu

płynącego przez tę indukcyjność w chwili

?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G. Odpowiedź zależy od natężenia prądu

.

1.10

2

Na rysunku pokazano przebieg napięcia

na pojemności liniowej

. Ile wynosi natężenie prądu

płynącego przez tę pojemność w chwili

?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G. Odpowiedź zależy od natężenia prądu

.

1.11

1

W której z podanych w odpowiedziach chwili napięcie

w obwodzie pokazanym na rysunku ma największą wartość bezwzględną?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

1.12

2
Po podłączeniu rozładowanej pojemności

do zacisków A–B pewnego rezystancyjnego dwójnika liniowego stwierdzono, że napięcie na niej rośnie liniowo z prędkością

. Jakie będzie natężenie prądu, który popłynie w stanie ustalonym przez dwójnik podłączony do zacisków A–B zamiast pojemności, jeśli dwójnik ten składa się z indukcyjności

połączonej równolegle z oporem

?

A.

B.

C.

D. Jest za mało danych, aby to obliczyć.

1.13

2    W
Wiadomo, że napięcie na pojemności

ma dla

przebieg

,

,

. Jakie będzie natężenie prądu, który popłynie przez nią w chwili

?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

1.14

2
Na pojemności

występuje dla

napięcie

, gdzie

i

. Jaki będzie przebieg prądu

płynącego przez tę pojemność dla

?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

1.15

2
Wiadomo, że natężenie prądu płynącego przez indukcyjność

ma przebieg

,

,

. Jakie będzie napięcie na niej w chwili

?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

1.16

2
Przez indukcyjność

płynie dla

prąd o natężeniu opisanym funkcją

, gdzie

i

. Jakie jest napięcie na tej indukcyjności w chwili

?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

1.17

2
Indukcyjność

pobudzono prądem o natężeniu

, gdzie

,

oraz

. Ile wynosi napięcie na tej indukcyjności w chwili

?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

1.18

2
Prąd o natężeniu

, gdzie

i

płynie przez indukcyjność

. Ile wynosi napięcie

na tej indukcyjności?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

1.19

2
Napięcie

, gdzie

i

, występuje na pojemności

. Ile wynosi natężenie prądu

na tej pojemności?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

1.20

2    W

Przebieg napięcia występującego na pojemności

ma postać

, gdzie

oraz

. Ile wynosi natężenie prądu płynącego przez tę pojemność w chwili

?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

1.21

2    W
Przebieg natężenia prądu płynącego przez indukcyjność

ma postać

, gdzie

oraz

. Ile wynosi napięcie na tej indukcyjności w chwili

?

A.

B.

C.

D.

E.

1.22

2
Napięcie na pojemności

ma postać

, gdzie

oraz

. Ile wynosi natężenie prądu płynącego przez tę pojemność w chwili

?

A.

B.

C.

D.

E. Jest za mało danych, aby to obliczyć.

1.23

2
Natężenie prądu płynącego przez indukcyjność

jest w przedziale czasu

równe

, gdzie

oraz

. Ile wynosi napięcie na tej indukcyjności w chwili

?

A.

B.

C.

D.

E. Jest za mało danych, aby to obliczyć.

1.24

2*
Na zaciski pojemności nieliniowej opisanej równaniem

, gdzie

, przyłożono napięcie

, gdzie

. Jaką postać ma natężenie prądu płynącego przez tę pojemność (wyrażone w amperach)?

A.

B.

C.

D.

E.

1.25

2*    R
Indukcyjność niestacjonarną

,

,

pobudzono prądem o natężeniu

,

,

. Ile wynosi napięcie na tej indukcyjności w chwili

?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

1.26

2*
Pojemność niestacjonarną

,

,

pobudzono napięciem

,

,

, Ile wynosi natężenie prądu płynącego przez tę pojemność w chwili

?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

1.27

2

Ile wynosi napięcie

?

Dane:

,

,

. Źródło prądowe ma wydajność

dla

, gdzie

.

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

1.28

2    R
Indukcyjności

i

pracują w obwodzie prądu sinusoidalnego, a zaciski indukcyjności

są rozwarte. Dla jakiej wartości współczynnika sprzężenia

między tymi indukcyjnościami amplitudy napięć na obu indukcyjnościach będą jednakowe?

A.

B.

C.

D.

E.

1.29

1
Dwie indukcyjności:

i

są sprzężone, a indukcyjność wzajemna wynosi

. Ile wynosi współczynnik sprzężenia

?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G. Taka kombinacja wartości indukcyjności jest niemożliwa.

1.30

2

Przez dwie jednakowe całkowicie sprzężone indukcyjności

płynie prąd o natężeniu

. Jakie jest na nich napięcie

?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

1.31

2

Przez dwie jednakowe całkowicie sprzężone indukcyjności

płynie prąd o natężeniu

. Jakie jest na nich napięcie

?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

1.32

2    R

Jaka jest zastępcza indukcyjność układu indukcyjności sprzężonych pokazanego na rysunku, jeśli obie indukcyjności są jednakowe i całkowicie sprzężone?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

1.33

2

Jaka jest zastępcza indukcyjność układu indukcyjności sprzężonych pokazanego na rysunku, jeśli wiadomo, że obie indukcyjności są jednakowe, a współczynnik sprzężenia wynosi

?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

1.34

1

Jaka jest zastępcza indukcyjność układu indukcyjności sprzężonych pokazanego na rysunku?

Dane:

,

,

.

A.

B.

C.

D.

1.35

1

Zastępcza indukcyjność dwójnika przedstawionego na rysunku dla

wynosi…

A.

B.

C.

D.

E.

1.36

1    R
Jaka energia jest zgromadzona w pojemności liniowej, jeśli ładunek zgromadzony w tej pojemności wynosi

, a napięcie na niej jest równe

?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

1.37

2
Jaka energia zgromadzi się w indukcyjności

podłączonej do nieidealnego źródła napięciowego o SEM

i oporze wewnętrznym

?

A.

B.

C.

D.

E.

1.38

1
Jaka energia zgromadzi się w pojemności

podłączonej do nieidealnego źródła prądowego o wydajności

i oporze wewnętrznym

?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

1.39

2    R
Przez pojemność

płynie prąd o natężeniu

, gdzie

, a

. Jaka jest maksymalna energia zgromadzona w tej pojemności przy założeniu, że w chwili

energia ta jest zerowa?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

1.40

2
Na indukcyjności

występuje napięcie

, gdzie

, a

. Jaka jest maksymalna energia zgromadzona w tej indukcyjności przy założeniu, że w chwili

energia ta jest zerowa?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

1.41

1

Na rysunku przedstawiono charakterystykę

nieliniowej pojemności z zaznaczonym punktem pracy (

) oraz polami

i

między charakterystyką a osiami układu współrzędnych. Energia zgromadzona w pojemności w punkcie pracy wynosi…

A.

B.

C.

D.

E.

F.

1.42

1

Na rysunku przedstawiono charakterystykę

nieliniowej indukcyjności z zaznaczonym punktem pracy (

) oraz polami

i

między charakterystyką a osiami układu współrzędnych. Energia zgromadzona w indukcyjności w punkcie pracy wynosi…

A.

B.

C.

D.

E.

F.

1.43

2    W

Ile wynosi energia zgromadzona w indukcyjności nieliniowej o charakterystyce pokazanej na rysunku, jeśli prąd płynący przez tę indukcyjność ma natężenie

?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

1.44

2

Jaka jest energia zgromadzona w nieliniowym elemencie indukcyjnym o charakterystyce podanej na rysunku, jeśli natężenie prądu płynącego przez niego wynosi

?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

1.45

2

Trzy nieliniowe elementy indukcyjne mają charakterystyki A, B i C pokazane na rysunku. W którym z nich można zgromadzić największą energię?

A.C
B. B
C. A
D. Dla każdego z nich energia zgromadzona może być dowolnie duża.

1.46

2

Trzy nieliniowe elementy pojemnościowe mają charakterystyki A, B i C pokazane na rysunku. W którym z nich można zgromadzić największą energię?

A.B
B. C
C. A
D. Dla każdego z nich maksymalna energia zgromadzona jest taka sama.

1.47

1

Trzy pojemności nieliniowe

,

i

o charakterystykach pokazanych na rysunku podłączono równolegle do źródła o stałej SEM

. W której z nich zgromadzi się największa energia?

A.

B.

C.

D. To zależy od konkretnej wartości stosunku

.

1.48

1

Trzy indukcyjności nieliniowe A, B i C o charakterystykach pokazanych na rysunku połączono szeregowo i pobudzono prądem o stałym natężeniu

. W której z nich zgromadzi się największa energia?

A.A
B. B
C. C
D. To zależy od konkretnej wartości stosunku

.

1.49

2    W

Dla jakiego natężenia prądu

w nieliniowym elemencie indukcyjnym o charakterystyce pokazanej na rysunku zgromadzi się energia

?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

I.

1.50

2

Dla jakiego napięcia

w nieliniowym elemencie pojemnościowym o charakterystyce pokazanej na rysunku zgromadzi się energia

?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

I.

1.51

2    R
Jaka jest energia zgromadzona w pojemności nieliniowej opisanej równaniem

, gdzie

oraz

, jeśli napięcie na niej wynosi

?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

1.52

2
Przez indukcyjność nieliniową o równaniu

, gdzie

, płynie prąd o natężeniu

. Ile wynosi energia zgromadzona w tej indukcyjności?

A.

B.

C.

D.

1.53

2
Przez indukcyjność nieliniową o charakterystyce opisanej wzorem

, gdzie

, płynie prąd o natężeniu

. Ile wynosi energia zgromadzona w tej indukcyjności?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G. Żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest poprawna.

1.54

2
Pojemność nieliniowa opisana jest równaniem

, gdzie

i

. Napięcie na pojemności jest równe

. Ile wynosi energia zgromadzona w tej pojemności?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G. Żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest poprawna.

1.55

2

Na pojemności nieliniowej o charakterystyce pokazanej na rysunku występuje napięcie

. Ile wynosi maksymalna energia zgromadzona w tej pojemności?

A.

B.

C.

D.

E.

F. Nie da się tego obliczyć bez znajomości pulsacji

.

1.56

2*    W

Dwie początkowo rozładowane pojemności nieliniowe

i

dołączono w chwili

do nieidealnego źródła napięcia stałego. Co można powiedzieć o energiach

i

zgromadzonych w tych pojemnościach w stanie ustalonym dla

?

A.

B.

C.

D. Jest za mało danych, aby cokolwiek powiedzieć.

1.57

2    R
Dwójnik liniowy

zawiera źródła wyłącznie stałe. Niezależnie od tego, czy do jego zacisków dołączymy indukcyjność

, czy pojemność

, to w obu przypadkach energia zgromadzona w stanie ustalonym w tym elemencie reaktancyjnym będzie taka sama. Jaki jest opór wewnętrzny dwójnika

?

A.

B.

C.

D.

E.

F. Jest za mało danych, aby to obliczyć.

1.58

1    W
Jeden z oporów dwójnika zbudowanego wyłącznie z oporów zastąpiono rozwarciem. Jak zmieni się opór zastępczy tego dwójnika?

A.Nie zwiększy się.
B. Nie zmniejszy się.
C. Zmniejszy się.
D. Zwiększy się.

1.59

2
Wszystkie opory są równe

. Który dwójnik ma najmniejszy opór zastępczy?

A.
B.
C.
D.
E. Wszystkie mają taki sam opór zastępczy.

1.60

2
Który dwójnik ma największy opór zastępczy?

A.
B.
C.
D. Wszystkie mają taki sam opór zastępczy.

1.61

2    R

Jaki jest opór zastępczy dwójnika pokazanego na rysunku dla

?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

1.62

2

Jaki jest opór zastępczy dwójnika pokazanego na rysunku dla

?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

1.63

2    R

Ile wynosi opór zastępczy dwójnika pokazanego na rysunku?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

1.64

2

Dla jakiej wartości

dwójnik przedstawiony na rysunku jest aktywny?

Dane:

.

A.

B.

C.

D.

E.

1.65

2    W

Jaki jest opór zastępczy dwójnika przedstawionego na rysunku?

Dane:

,

.

A.

B.

C.

D.

E.

F.

1.66

2

Jaki jest opór zastępczy dwójnika przedstawionego na rysunku?

Dane:

,

.

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

I.

J.

1.67

2

Ile wynosi opór zastępczy dwójnika przedstawionego na rysunku?

Dane:

,

.

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

1.68

2

Ile wynosi opór zastępczy dwójnika przedstawionego na rysunku?

Dane:

,

.

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

1.69

2    R

Wiadomo, że

jest dodatnie i skończone. Dla jakiej wartości

dwójnik pokazany na rysunku jest pasywny?

A.Tylko dla

.
B. Tylko dla

.
C. Dla każdej wartości

.
D. Tylko dla

.
E. Tylko dla

.
F. Dla żadnej wartości

.

1.70

2

Ile wynosi opór zastępczy dwójnika pokazanego na rysunku?

Dane:

,

,

.

A.

B.

C.

D.

E.

F.

1.71

2

Ile wynosi opór zastępczy dwójnika pokazanego na rysunku?

Dane:

,

,

.

A.

B.

C.

D.

1.72

2

Ile wynosi opór zastępczy układu pokazanego na rysunku?

Dane:

,

,

.

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

1.73

1

Ile wynosi opór zastępczy układu pokazanego na rysunku?

Dane:

,

,

.

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

1.74

2

Ile wynosi opór zastępczy dwójnika pokazanego na rysunku?

Dane:

,

,

.

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

I.

J.

K.

L.

1.75

2

Ile wynosi opór zastępczy dwójnika pokazanego na rysunku?

Dane:

,

,

.

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

1.76

2    W    R

Ile wynosi opór zastępczy dwójnika pokazanego na rysunku?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

1.77

2

Ile wynosi opór zastępczy dwójnika pokazanego na rysunku?

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

I.

J.

Rozdział 18
Odpowiedzi

18.1 Równania elementów, opór zastępczy, energia

1.1 . E  1.2 . A  1.3 . BC  1.4 . BC  1.5 . A  1.6 . B  1.7 . B  1.8 . A  1.9 . G  1.10 . C  1.11 . BEF  1.12 . C  1.13 . D  1.14 . B  1.15 . C  1.16 . A  1.17 . F  1.18 . D  1.19 . B  1.20 . F  1.21 . A  1.22 . B  1.23 . C  1.24 . B  1.25 . B  1.26 . D  1.27 . E  1.28 . B  1.29 . G  1.30 . A  1.31 . E  1.32 . C  1.33 . F  1.34 . B  1.35 . D  1.36 . AD  1.37 . D  1.38 . A  1.39 . B  1.40 . D  1.41 . BC  1.42 . AB  1.43 . C  1.44 . D  1.45 . B  1.46 . D  1.47 . B  1.48 . A  1.49 . BF  1.50 . DE  1.51 . E  1.52 . D  1.53 . A  1.54 . C  1.55 . B  1.56 . C  1.57 . D  1.58 . B  1.59 . D  1.60 . D  1.61 . C  1.62 . F  1.63 . A  1.64 . E  1.65 . A  1.66 . C  1.67 . F  1.68 . G  1.69 . C  1.70 . B  1.71 . A  1.72 . E  1.73 . F  1.74 . J  1.75 . E  1.76 . D  1.77 . F

Rozdział 19
Wskazówki

19.1 Równania elementów, opór zastępczy, energia

1.3.
Sygnał prostokątny to sygnał przedziałami stały, a sygnał trójkątny — przedziałami liniowy. W wyniku jakiej (liniowej) operacji matematycznej z funkcji stałej otrzymamy funkcję liniową (mnożenie przez stałą, różniczkowanie, całkowanie)? Przy jakim pobudzeniu (napięciowym/prądowym) indukcyjność i pojemność realizują tę operację?

1.13.
Należy skorzystać z równania liniowej pojemności

.

1.20.

.

1.21.

.
Przypomnienie:

,

,

.

1.43.
Jaka jest interpretacja geometryczna energii zgromadzonej w indukcyjności na wykresie charakterystyki

tej indukcyjności?

1.49.
Należy porównać wskazówkę do zadania 1.43. Czy poziome odcinki charakterystyki mają wpływ na zgromadzoną energię?

1.56.
Rozkład ładunków na pojemnościach wynika z zasady zachowania ładunku.

1.58.
Załóżmy, że na zaciski dwójnika przyłożono napięcie

. Czy usunięcie (rozwarcie) oporu, czyli „odcięcie” jednej z dróg, którymi może płynąć prąd, może spowodować zwiększenie natężenia prądu płynącego przez dwójnik?

1.65.
Jaki wpływ na równania układu ma dwójnik połączony szeregowo z idealnym źródłem prądowym? Należy także porównać zadanie 1.69.

1.76.
Zauważmy, że napięcia na obu oporach

są (co do modułu) takie same.

Rozdział 20
Rozwiązania

20.1 Równania elementów, opór zastępczy, energia

1.1.

Obwód opisany w zadaniu jest obwodem prądu stałego, a zatem w stanie ustalonym pojemność można traktować jak rozwarcie. Napięcie

na pojemności wyniesie zatem

Ładunek

zgromadzony w pojemności wyznaczymy z równania tej pojemności

(charakterystyka nieliniowej pojemności leży w I i III ćwiartce układu współrzędnych, zatem dla

mamy

i moduł w równaniu pojemności można opuścić; z tego samego powodu odrzucamy rozwiązanie

).

1.8.
W przedziale (0,

) (obejmującym interesującą nas chwilę czasu

) przebieg natężenia prądu

można opisać funkcją

, gdzie

. Zatem w tym przedziale napięcie na indukcyjności wyniesie

.

1.25.
Strumień skojarzony w niestacjonarnej indukcyjności

dany jest zależnością

. Zatem napięcie na tej indukcyjności wywołane przepływem prądu

wyniesie

Po wstawieniu danych liczbowych, dla

otrzymamy:

.

1.28.
Z definicji współczynnika sprzężenia:

. Równania wskazowe indukcyjności sprzężonych są następujące:

Biorąc pod uwagę, że

, otrzymamy:

Warunek równości amplitud można zapisać w postaci:

,   zatem

,    a stąd

.

1.32.

Indukcyjności sprzężone mają wspólny zacisk, a zatem możemy zastąpić parę indukcyjności sprzężonych układem trzech indukcyjności niesprzężonych (rysunek (a)). Po zastosowaniu tego przekształcenia do układu przedstawionego w zadaniu będzie on wyglądał jak na rysunku (b).

Indukcyjność zastępcza tego układu wyniesie

.

Biorąc pod uwagę, że cewki są całkowicie sprzężone, a ze względu na układ zacisków jednoimiennych

, otrzymamy ostatecznie:

, więc

,

.

1.36.
Dla liniowej pojemności

ładunek

i napięcie

powiązane są równaniem

, a energia w niej zgromadzona wyraża się wzorem

.

1.39.
Energia zgromadzona w pojemności zależy od napięcia na niej. Z równania liniowej pojemności

wyznaczamy zatem napięcie

na tej pojemności

Z warunku zerowej energii dla

wynika, że

, a zatem

.

Maksymalna (co do modułu) wartość napięcia

wynosi

,

a zatem:

.

1.51.
Dla napięć

dodatnich mamy

oraz

i energię w pojemności dla napięcia

możemy wyznaczyć ze wzoru:

1.57.
Dwójnik

jest liniowy, zatem można go zastąpić źródłem zastępczym, np. źródłem Thévenina o SEM

(stałej) i oporze wewnętrznym

:

W stanie ustalonym (

jest rozwarciem,

— zwarciem):

,

.

Energie zgromadzone w pojemności i indukcyjności wynoszą odpowiednio:

,

Z warunku

otrzymamy

.

1.61.

Opór zastępczy

wyznaczymy, zapisując układ równań obwodu, a następnie eliminując z niego wszystkie zmienne oprócz wielkości zaciskowych

,

. Otrzymamy wówczas jedno równanie z dwiema niewiadomymi o postaci

:

.

1.63.

Opór zastępczy

wyznaczymy, przykładając na zaciski dwójnika źródło napięciowe

, a następnie wyznaczając natężenie prądu

pobieranego z tego źródła:

.

1.69.
Źródło sterowane

jest połączone równolegle z idealnym źródłem napięciowym, nie ma zatem żadnego wpływu na równania układu. Równanie dwójnika jest następujące:

, a zatem dwójnik jest po prostu równoważny (dodatniemu) oporowi

— jest zatem pasywny bez względu na wartość

.

1.76.

Z równań idealnego wzmacniacza operacyjnego wynika:

oraz

. Mamy zatem kolejno, na przemian formułując prądowe i napięciowe prawa Kirchhoffa, następujące równania:

Opór zastępczy wynosi zatem:

.

Literatura

[1]   Jerzy Osiowski, Jerzy Szabatin: Podstawy teorii obwodów. Tom 1. Wydawnictwo WNT – Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2016.

[2]   Jerzy Osiowski, Jerzy Szabatin: Podstawy teorii obwodów. Tom 2. Wydawnictwo WNT – Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2017.

[3]   Jerzy Osiowski, Jerzy Szabatin: Podstawy teorii obwodów. Tom 3. Wydawnictwo WNT – Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2018.

Przypisy

[1] Są to kierunki:„Elektronika”, „Telekomunikacja”, „Informatyka” i „Automatyka i Robotyka”.

[2] Gdy zadania te były wykorzystywane na egzaminach, dla każdego zadania otrzymywanego do rozwiązania przez studenta ze zbioru poprawnych odpowiedzi była losowana dokładnie jedna, a ze zbioru odpowiedzi niepoprawnych — dokładnie trzy.