1Siły wewnętrzne w konstrukcjach prętowych

Współczesne konstrukcje prętowe są jedną z najbardziej rozpowszechnionych form rozwiązań konstrukcyjnych. W zależności od rodzaju przenoszonego obciążenia zewnętrznego stosuje się konstrukcje płaskie i przestrzenne. O nazwie konstrukcji decydują zazwyczaj następujące cechy: warunki zamocowania i sposób obciążenia oraz zdolność konstrukcji do przyjmowania określonych sił wewnętrznych.

Prętem jest bryła geometryczna wypełniona materiałem, której jeden wymiar (długość) jest zdecydowanie większy od dwóch pozostałych. Przekrój pręta może być stały lub zmienny; najczęściej spotykane są pręty prostoliniowe o stałym przekroju.

Swobodny pręt poddany jest działaniu zrównoważonych sił zewnętrznych Pi (rys. 1.1a). Po dokonaniu podziału pręta płaszczyzną O-O na powierzchniach podziału występują jednakowe, lecz przeciwnie skierowane, rozłożone w sposób ciągły i dowolnie zorientowane w przestrzeni nieznane siły, stanowiące wzajemne oddziaływania powstałych dwóch części pręta. Dokonując redukcji tych sił do środka ciężkości przekroju, otrzymuje się sumę geometryczną sił Pi

[1.1]

i moment główny Mo (rys. 1.1b)

[1.2]

Sumę geometryczną R i moment główny Mo nazywamy obciążeniami wewnętrznymi - określają one całkowite wzajemne oddziaływania obu części podzielonego pręta [58].

Rys. 1.1.

Wzajemne oddziaływanie dwóch części obciążonego pręta

1.1. Podział zagadnień wytrzymałościowych

Przedstawienie obciążeń wewnętrznych w przekroju poprzecznym pręta za pomocą składowych umożliwia wyróżnienie tzw. prostych zagadnień wytrzymałościowych, do których należą:

1.Rozciąganie (ściskanie) - obciążenie wewnętrzne w przekroju pręta sprowadza się do siły normalnej N (rys. 1.2a).

W przypadku gdy siła ta jest skierowana na zewnątrz przekroju, jest siłą rozciągającą i oznacza się ją znakiem plus, a jeżeli jest skierowana do przekroju - jest siłą ściskającą i oznacza się ją znakiem minus.

2.Skręcanie - obciążenie wewnętrzne w przekroju pręta sprowadza się do momentu skręcającego Ms (rys. 1.2b). Moment ten uważa się za dodatni, gdy jego wektor skierowany jest na zewnątrz przekroju, i za ujemny, gdy wektor ten jest skierowany do przekroju.

3.Zginanie - obciążenie wewnętrzne sprowadza się do momentu gnącego Mg (rys. 1.2c). Przyjmuje się, że momenty powodujące wygięcie pręta wypukłością w kierunku dodatnim osi x2 (obciążenie działa w płaszczyźnie 0x1x2) są dodatnie, a gdy powodują wypukłość w kierunku ujemnym osi x2 - są ujemne.

4.Ścinanie - obciążenie wewnętrzne w przekroju pręta sprowadza się do siły tnącej T (rys. 1.2d). Siły tnące działając na element pręta długości dx1, tworzą parę starającą się wywołać obrót elementu. Jeżeli obrót ten jest zgodny z dodatnim obrotem układu osi współrzędnych 0x1x2 wokół osi x3 (od dodatniej półosi 0x1 do dodatniej półosi 0x2), to siły tnące wywołujące ten obrót są przyjmowane jako dodatnie. W przypadku gdy starają się obrócić element w kierunku przeciwnym, przyjmowane są jako ujemne.

Rys. 1.2.

Podział zagadnień wytrzymałościowych

1.2. Przykłady

Przykład 1.1.

Narysować wykres sił normalnych w pręcie przedstawionym na rys. 1.3, obciążonym wzdłużnymi siłami skupionymi, przyłożonymi w przekrojach B, C i D.

Rozwiązanie

Pręt jest utwierdzony w przekroju A. Reakcję utwierdzenia RA wyznaczmy z warunku równowagi

Reakcja w miejscu utwierdzenia pręta jest równa

RA = 3P - 4 P + 2 P = P.

Analizę sił wewnętrznych zaczyna się od swobodnego końca pręta. Dokonując myślowego przekroju 1-1 w dowolnym miejscu odcinka CD, pręt dzieli się na dwie części. Przenosi się (sprawdza) obciążenie działające na część prawą (odciętą) do przekroju związanego z częścią lewą i w ten sposób otrzymuje się wewnętrzną siłę normalną N1 = 2P (rys. 1.3b). Wyznaczona siła wewnętrzna wyraża oddziaływanie odciętej (prawej) części pręta na lewą.

Rys. 1.3.

Do przykładu 1.1

Znak plus oznacza, że jest to siła rozciągająca. Część lewa oddziałuje na prawą taką samą siłą, lecz przeciwnie skierowaną. Siła ta zapewnia równowagę odciętemu fragmentowi pręta (rys. 1.3c). Wartość siły N1 jest jednakowa we wszystkich przekrojach na odcinku CD, gdyż nie zależy od współrzędnej określającej położenie przekroju.

Postępując tak samo, wyznacza się siły w przekrojach 2-2 (odcinek BC) oraz 3-3 (odcinek AB). Siły te są równe N2 = 2P, N3 = P. Na rysunku 1.3b pokazano te siły jako przeniesione (przesunięte) z odciętych części do rozpatrywanych przekrojów. Otrzymane wartości sił nanosi się na wykres N = f(x1), który przedstawiono na rys. 1.3d. W celu sprawdzenia poprawności przeprowadzonego rozwiązania należy określić siły normalne w poszczególnych przekrojach, rozpatrując oddziaływanie lewych części pręta na prawe, co jest możliwe, gdy uprzednio obliczoną reakcję utwierdzenia przyjmiemy jako obciążenie zewnętrzne. Na rysunku 1.3d pokazano przeniesione do rozpatrywanych przekrojów obciążenia odciętych lewych części pręta. Otrzymano takie same wartości sił normalnych, zadanie zostało zatem rozwiązane poprawnie.

Przykład 1.2.

Narysować wykres sił normalnych w pręcie przedstawionym na rys. 1.4a, obciążonym wzdłużnymi siłami skupionymi w przekrojach B, C i D oraz wzdłużnym obciążeniem ciągłym o stałym natężeniu q = P/l [N/mm] na odcinku CD.

Rozwiązanie

Obciążenie przyłożone do pręta działa na kolejne trzy odcinki (przedziały): AB, BC i CD. Analizę sił normalnych zaczynamy od swobodnego końca D. Rozpatrujemy przekroje 1-1, 2-2, 3-3 należące do poszczególnych przedziałów i stosujemy metodę sprowadzania (przenoszenia) obciążeń działających na odcięte części prawe do przekrojów związanych z częściami lewymi (rys. l.4b). Otrzymane siły będą przedstawiać oddziaływanie części prawych na części lewe.

Siła normalna w przekroju 1-1 wynosi w przedziale 3l ? x1 ? 4l

N1 = P + q(4l - x1) = P + P /l(4l - x1),

dla x1 = 3l, N1 = 2P,

dla x1 = 4l, N1 =P.

Siła N1 w przedziale CD jest liniową funkcją współrzędnej x1. W celu graficznej ilustracji siły normalnej wystarczy wyznaczyć wartości tych sił na końcach tego odcinka w przekrojach C i D.

Siły normalne w przekrojach 2-2 i 3-3 wynoszą:

N2 = P + ql - 4P = ql - 3P = -2P, N3 = P + ql - 4P + 4P = 2P, RA = 2P.

Siły N2 i N3 są stałe, niezależne od położenia przekroju na jego długości odcinków BC i AB. Wykres sił normalnych przedstawiono na rys. l.4c.

Rys. 1.4.

Do przykładu 1.2

Przykład 1.3.

Sporządzić wykres sił normalnych dla pręta przedstawionego na rys. 1.5a, obciążonym wzdłużnymi siłami skupionymi przyłożonymi w przekrojach B, C i D.

Rozwiązanie

Przyłożone do pręta obciążenie dzieli go na trzy przedziały zmienności siły normalnej: AB, BC i CD. Siły wewnętrzne na długości tych odcinków otrzymane na podstawie analizy oddziaływań części lewych na prawe (sprowadzania obciążeń) w przekrojach: 1-1 (w przedziale CD), 2-2 (w przedziale BC), 3-3 (w przedziale AB) wynoszą:

N1 = P, N2 = P + 2P = 3P, N3 = P + 2P - 4P = -P, RA = -P.

Wykres sił normalnych przedstawiono na rys. 1.5c.

Rys. 1.5.

Do przykładu 1.3

Przykład 1.4.

Pręt ABCDE o dwóch różnych średnicach, utwierdzony w punkcie A, jest obciążony w przekrojach B, D i E siłami: P1 = 800 kN, P2 = -300 kN i P3 = 200 kN zgodnie z rys. 1.6. Przekrój poprzeczny pręta na odcinku AC jest równy 2A = 5 - 103 mm2, części CE wynosi A = 2,5 - 103 mm2. Pręt jest wykonany ze stali konstrukcyjnej S235, dla której współczynnik sprężystości wzdłużnej E = 2,1 - 105 MPa i granica plastyczności Re = 220 MPa. Sporządzić wykresy sił normalnych, naprężeń normalnych i przemieszczeń w funkcji długości pręta, który ma długość 4l = 2 m. Obliczyć współczynnik bezpieczeństwa n odniesiony do granicy plastyczności.

Rys. 1.6.

Do przykładu 1.4

Rozwiązanie

Reakcja RA w miejscu utwierdzenia pręta wynosi

RA = P1 - P2 + P3 = 700 kN.

Po oznaczeniu elementów pręta AB, BC, CD i ED przekrojami 1-1, 2-2, 3-3, 4-4 i badaniu równowagi odciętych części pręta otrzymamy:

N1 = 200 kN, N2 = N3 - N2 = -100 kN, N4 = 700 kN,

Wykres sił normalnych przedstawiono na rys. 1.6b.

Na podstawie wartości tych sił obliczono naprężenia normalne:

Wykres naprężeń normalnych przedstawiono na rys. 1.6b.

Odkształcenia poszczególnych odcinków pręta wynoszą:

Przemieszczenia poszczególnych przekrojów pręta są równe:

uE = 0,379 mm, uD = 0,189 mm, uC = 0,285 mm, uB = 0,333 mm.

Współczynnik bezpieczeństwa wynosi

Przykład 1.5.

Przeprowadzić analizę pionowego pręta (stalowego), przedstawionego na rys. 1.7a, obciążonego siłą P i ciężarem własnym ?A. Wyznaczyć rozkład sił normalnych, naprężeń normalnych oraz przemieszczeń poszczególnych części pręta dla następujących danych: przekrój poprzeczny odcinka CD wynosi A, a odcinek BC jest dwa razy większy. Długości tych odcinków pręta wynoszą BC = l1, CD = l2, współczynnik sprężystości wzdłużnej wynosi E, a ciężar właściwy materiału pręta jest równy ?.

Rozwiązanie

Reakcję w miejscu zamocowania pręta obliczamy z warunku równowagi sił

RB = P + ?Al1 + ?2Al2.

Przy zastosowaniu metody przecięć wyznaczono wartości sił normalnych w przekrojach 1-1 i 2-2:

N1 = P + ?A(l1 + l2 - x1), N2 = P + ?A(l1 + 2l2 - x2).

Wartości sił normalnych przedstawiono na rys. 1.7b.

Naprężenia normalne wynoszą:

Rozkład tych naprężeń w poszczególnych przekrojach pokazano na rys. 1.7c.

Odkształcenia poszczególnych odcinków pręta wynoszą:

stąd całkowite wydłużenie pręta wynosi

1.3. Konstrukcje statycznie niewyznaczalne

Dotychczas rozpatrywaliśmy konstrukcje statycznie wyznaczalne, gdzie siły wewnętrzne wyznaczaliśmy na podstawie równań równowagi. Istnieje jednak wiele zadań, gdy liczba równań równowagi jest mniejsza od liczby obciążeń wewnętrznych. Konstrukcje takie są nierozwiązywalne przy zastosowaniu równań statyki ciał doskonale sztywnych i układy są statystycznie niewyznaczalne. Do obliczenia niewiadomych obciążeń należy wtedy uwzględnić odkształcenia i przemieszczenia prętów. Uzyskane w ten sposób dodatkowe równania współzależności odkształceń stanowią zależności o charakterze geometrycznym. W celu połączenia równań równowagi z równaniami geometrycznymi należy posłużyć się związkami fizycznymi uzależniającymi obciążenia wewnętrzne i przemieszczenia. W przypadku materiałów liniowo sprężystych związki te wynikają bezpośrednio z prawa Hooke'a. Sposób obliczania konstrukcji statycznie niewyznaczalnych omówimy na przykładzie.

Analizowany układ składający się ze sztywnej belki AD = 4a jest zamocowany na stałej podporze przegubowej w punkcie A. Belka jest zawieszona na dwóch jednakowych prętach o sztywności rozciągania EA i długości l obciążonej w punkcie D pionową siłą P (rys. 1.8a).

Rys. 1.8.

Układ jednokrotnie statycznie niewyznaczalny

Rozpatrywana konstrukcja jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalna, gdzie jako niewiadome występują dwie siły w prętach N1 i N2 oraz reakcja RA o dwóch składowych: RAx i RAy (rys. 1.8b). Ponieważ dysponujemy trzema równaniami równowagi, należy napisać dodatkowe jedno równanie współzależności odkształceń:

?Pix = -RAx = 0,

?Piy = RAy + N1 + N2 - P = 0,

?MiA = -P-4a + N1-a + N2-3a = 0.

Pod działaniem siły P belka AD obróci się o pewien kąt ?, dookoła stałej podpory A. Wydłużenia bezwzględne prętów wyniosą odpowiednio ?l1 i ?l2 (rys. 1.8c). Równanie współzależności odkształceń będzie miało zatem postać

Po zastosowaniu związków fizycznych:

otrzymamy

N2=3N1.

Ostatecznie po rozwiązaniu czterech równań otrzymamy:

Przykład 1.6.

Pręt stalowy długości l i przekroju A utwierdzony jest jednym końcem. Swobodny koniec pręta znajduje się w odległości ? od nieodkształcalnej podłogi (rys. 1.9a). Obliczyć siłę nacisku pręta na podłogę i naprężenia normalne w pręcie, jeżeli przyłożymy w środku pręta pionową siłę P (rys. 1.9b). Ciężar własny pręta należy pominąć. Współczynnik sprężystości wzdłużnej materiału pręta wynosi E.

Rozwiązanie

Należy założyć, że wydłużenie całkowite pręta ?l > ?, co oznacza, że między swobodnym końcem pręta a podłogą wystąpi reakcja N2. Ponadto oznaczymy przez N1 reakcję utwierdzenia.

Równanie równowagi sił normalnych działających na pręt

N1 - N2 + P = 0.

Równanie współzależności odkształceń wynosi

?l1 + ?l2 = ?.

Po zastosowaniu związków fizycznych otrzymamy

,

a po podstawieniu N2 = P - N1 otrzymamy:

N1 = 0,5 P + EA, N2 = 0,5 P - EA.

Naprężenia normalne wynoszą:

Rys. 1.9.

Do przykładu 1.6

Przykład 1.7.

Doskonale sztywna belka ABC (rys. 1.10) podwieszona jest na trzech sprężystych równoległych prętach. Pręty te są wykonane z jednakowego materiału. W jakiej odległości x od punktu A należy przyłożyć siłę P, aby belka doznała równoległego przemieszczenia pionowo w dół?

Dane są pola przekrojów prętów: 1 i 2 - A, 3 - 2A oraz długości poszczególnych odcinków pręta AB = 2a i BC = a.

Rozwiązanie

Równania równowagi belki są następujące:

?Piy = N1 + N2 + N3 - P = 0,

?MiA = N2 -2a + N3 - 3a - Px = 0.

Mamy dwa równania z trzema niewiadomymi: N1, N2, N3 i x.

Rys. 1.10.

Do przykładu 1.7

Brakujące równanie możemy ułożyć z równania współzależności odkształceń

?l1 = ?l2 = ?l3.

Po podstawieniu związków fizycznych otrzymamy

a z tej zależności:

N1 = N2, N1 = 0,25 N3.

Po podstawieniu tych zależności do równań równowagi otrzymujemy ostatecznie:

N1 = P, x = a.

Przykład 1.8.

Nieskończenie sztywna, nieważka belka ACB, oparta na podporze stałej C i dwóch prętach sprężystych l, 2, obciążona jest siłą skupioną P (rys. 1.11). Pręt 1 wykonano za krótki o ?, jak również podgrzano o ?t. Obliczyć siły w tych prętach, jeżeli pręt l wykonano ze stali o module Younga E1 = 210 GPa i przekroju A1 = 0,5 -10-3 m2, a pręt 2 z mosiądzu o E2 = 210 GPa i przekroju A2 = 10-3 m2. Długości prętów l = 0,4 m, ?t = l0°C, ? = 2 -10-4l, a = l m.

Współczynnik rozszerzalności liniowej dla stali ? = .

Rys. 1.11.

Do przykładu 1.8

Rozwiązanie

Konfigurację aktualną belki przedstawia A?CB?, tzn. położenie po ogrzaniu pręta l o ?t i obciążeniu siłą P. W prętach ustali się stan napięcia wyrażony przez siły N1 i N2.

Równanie równowagi belki to

?MiC = N1a + N2a - P - 0,5a = 0,

a równania współzależności odkształceń to:

?l1/a = ?l2/a, ?l1m + ?lt - ? = + ?l?t - ?, .

Z rozwiązania tych równań otrzymujemy:

,

a po podstawieniu danych liczbowych:

N1 = 2,7 kN, N2 = 2,3 kN.

1.4. Zadania

Zadanie 1.1.

Dwustopniowy pręt ABCD jest zamocowany w przekroju A i obciążony siłami P i 4P przyłożonymi w przekrojach D i B (rys. 1.12). Przeprowadzić analizę tego pręta w przedziałach 1-1, 2-2, 3-3 polegającą na wyznaczeniu sił normalnych, naprężeń normalnych i wydłużeń; P = 10 kN, A1 = 2, A2 = 3 - 10-3 m2, l = 0,8 m, E = 205 GPa.

Rys. 1.12.

Do zadania 1.1

Odpowiedź:

N1 = N2 = -10 kN, N3 = 30 kN,

?1 = -3,3 MPa, ?2 = -6,7 MPa, ?3 = 20 MPa,

?lCD = -0,0065 mm, ?lBC = -0,013 mm, ?lAB = 0,039 mm.

Zadanie 1.2.

Dwustopniowy pręt ABCDE jest zamocowany w przekroju A i obciążony siłami osiowymi 2P i 6P przyłożonymi w przekrojach D i B (rys. 1.13). Przeprowadzić analizę tego pręta w przedziałach 1-1, 2-2, 3-3, 4-4 polegającą na wyznaczeniu sił normalnych, naprężeń normalnych i wydłużeń poszczególnych części pręta dla następujących danych: P = 4 kN, A1 = 2 - 10-3 m2, A2 = 4 - 10-3 m2, l = 1 m, E = 210 GPa.

Rys. 1.13.

Do zadania 1.2

Odpowiedź:

N1 = 0 kN, N2 = N3 = -8 kN, N4 = 16 kN,

?1 = 0 MPa, ?2 = -4 MPa, ?3 = -2 MPa, ?4 = 4 MPa,

?lDE = 0 mm, ?lCD = -0,019 mm, ?lBC = -0,0095 mm, ?lAB = 0,0190 mm.

Zadanie 1.3.

Pręt dwustopniowy ABCD składający się z części stalowej AC o przekroju A1 i miedzianej CD o przekroju A2 jest zamocowany w punkcie A i obciążony siłami P i 4P przyłożonymi w przekrojach B i D (rys. 1.14). Przeprowadzić analizę tego pręta w przedziałach 1-1, 2-2, 3-3 polegającą na obliczeniu sił normalnych, naprężeń normalnych i wydłużeń poszczególnych części pręta dla danych: P = 2 kN, A1 = 2 - 10-3 m2, A2 = 2 - 10-4 m2, l = 1 m, Est = 210 GPa, Em = 125 GPa.

Rys. 1.14.

Do zadania 1.3

Odpowiedź:

N1 = 8 kN, N2 = 8 kN, N3 = 6 kN,

?1 = 80 MPa, ?2 = 40 MPa, ?3 = 30 MPa,

?lCD = 0,381 mm, ?lBC = 0,190 mm, ?lAB = 0,143 mm.

Zadanie 1.4.

Pręt dwustopniowy ABC składający się z części aluminiowej AB o przekroju A1 i miedzianej BC o przekroju A2 jest zamocowany w punkcie A i obciążony siłami osiowymi P i 2P przyłożonymi w przekrojach B i C (rys. 1.15). Przeprowadzić analizę tego pręta w przedziałach 1-1, 2-2 polegającą na wyznaczeniu sił normalnych, naprężeń normalnych i wydłużeń poszczególnych części pręta dla danych: P = 50 kN, A1 = 0,5 - 10-3 m2, A2 = 2 - 10-3 m2, l = 1 m, EAl = 70 GPa, ECu = 125 GPa.

Rys. 1.15.

Do zadania 1.4

Odpowiedź:

N1 = -50 kN, N2 = 50 kN,

?1 = -25 MPa, ?2 = 50 MPa,

?lBC = -0,2 mm, ?lAB = 0,714 mm.

Zadanie 1.5.

Pręt wykonany ze stali konstrukcyjnej S235 o dwóch różnych średnicach i przekrojach A1 i A2 obciążono siłami osiowymi i zamocowano w przekroju A (rys. 1.16). Przeprowadzić analizę tego pręta w przedziałach 1-1, 2-2, 3-3 polegającą na obliczeniu sił normalnych, naprężeń normalnych i wydłużeń poszczególnych części pręta dla danych: P = 20 kN, A1 = 2A2 = 2 - 103 m2, l = 1 m, E = 210 GPa, Re = 240 MPa.

Rys. 1.16.

Do zadania 1.5

Odpowiedź:

N1 = 40 kN, N2 = 20 kN, N3 = 100 kN,

?1 = 40 MPa, ?2 = 40 MPa, ?3 = 100 MPa,

uD = 1,523 mm, uC = 1,333 mm uB = 0,952 mm, n = 2,4.

Zadanie 1.6.

Trzystopniowy stalowy pręt, którego geometrię przedstawiono na rys. 1.17, obciążono siłami działającymi wzdłuż osi pręta. Przeprowadzić analizę tego pręta w przedziałach 1-1, 2-2, 3-3 polegającą na obliczeniu sił normalnych, naprężeń normalnych i wydłużeń poszczególnych części pręta. Wyznaczyć średnice d1, d2 i d3 z warunku wytrzymałościowego (?rzecz ? kc), przyjmując następujące dane: P = 40 kN, l = 0,2 m, E = 210 GPa, współczynnik bezpieczeństwa n = 2,5, granica plastyczności Re = 240 MPa.

Rys. 1.17.

Do zadania 1.6

Odpowiedź:

d1 = 62 mm, d2 = 56 mm, d3 = 44 mm,

N1 = -P, N2 = -3P, N3 = -4P.

Zadanie 1.7.

Dwustopniowy mosiężny pręt o przekrojach A1 i A2, długości 2l obciążony jest siłami działającymi wzdłuż osi pręta (rys. 1.18). Przeprowadzić analizę tego pręta w przedziałach 1-1, 2-2, 3-3 polegającą na obliczaniu sił normalnych, naprężeń normalnych i wydłużeń poszczególnych części pręta. Obliczyć współczynnik bezpieczeństwa n odniesiony do granicy wytrzymałości mosiądzu Rm = 340 MPa. Dane: A1 = 0,5 - 10-3 m2, A2 = 1 - 10-3 m2, l = 0,2 m, E = 100 GPa, P = 50 kN.

Rys. 1.18.

Do zadania 1.7

Odpowiedź:

n = 2,25.

Zadanie 1.8.

Pręt dwustopniowy składający się z części miedzianej o przekroju A1 oraz stalowej o przekroju A2 i długości l obciążony jest siłami 4P, P i 2P przyłożonymi w przekrojach B, D i E (rys. 1.19). Przeprowadzić analizę tego pręta w przedziałach 1-1, 2-2, 3-3, 4-4 polegającą na obliczeniu sił normalnych i naprężeń normalnych. Wyznaczyć przekrój pręta o największym przemieszczeniu bezwzględnym. Dane: P = 2 kN, A1 = 2 - 10-3 m2, A2 = 1 - 10-3 m2, l = 1 m.

Rys. 1.19.

Do zadania 1.8

Odpowiedź:

?lmax = ?lE = 0,693 mm.

Zadanie 1.9.

Pręt stalowy o dwóch różnych przekrojach A1 i A2 obciążono siłami osiowymi P i 2P (rys. 1.20), Przeprowadzić analizę tego pręta w przekrojach 1-1, 2-2, dokonując obliczeń sił normalnych i naprężeń normalnych. Wyznaczyć stosunek długości l1/l2, gdzie l1 jest długością elementu AB, a l2 długością elementu BC, dla którego przekrój C się nie przemieści.

Rys. 1.20.

Do zadania 1.9

Odpowiedź:

l1/l2 = 2.

Zadanie 1.10.

Pręt stalowy dwustopniowy o przekrojach A1 i A2 (A1 = 2A2) obciążony jest siłami osiowymi przyłożonymi w przekrojach B i C (rys. 1.21). Przeprowadzić analizę tego pręta w przedziałach 1-1, 2-2, dokonując obliczeń sił normalnych i naprężeń normalnych. Wyznaczyć przekroje pręta z warunku jego sztywności wzdłużnej sformułowanego tak, że przemieszczenie punktu C nie może przekroczyć udop = 0,3mm. Dane: P = 20 kN, l = 1 m, E = 210 GPa.

Rys. 1.21.

Do zadania 1.10

Odpowiedź:

A1 > 2,58 - 10-3 m2, A2 > 5,30 - 10-3 m2.

Zadanie 1.11.

Pręt stalowy o trzech różnych średnicach obciążono siłami działającymi wzdłuż osi pręta (rys.1.22). Przeprowadzić analizę tego pręta w przedziałach 1-1, 2-2, 3-3 polegającą na obliczeniu sil normalnych i naprężeń normalnych. Wyznaczyć średnice d1 d2 i d3, dla których współczynnik bezpieczeństwa odniesiony do granicy plastyczności jest nie mniejszy niż 2,4. Dane: Re = 240 MPa, n = 2,4, P = 20 kN, E = 210 GPa.

Rys. 1.22.

Do zadania 1.11

Odpowiedź:

d1 = 23 mm, d2 = 32 mm, d3 = 16 mm.

Zadanie 1.12.

Dana jest płaska konstrukcja prętowo-belkowa zbudowana z nieskończenie sztywnej belki BD długości 4a, obciążona siłą P = 20 kN (rys. 1.23). Konstrukcja została zamocowana przegubowo w punkcie B i podwieszona na dwóch prętach stalowym długości l1 = 2 m, przekroju A1 = 5 - 10-4 m2, E1 = 210 GPa i mosiężnym długości l2 = 1 m, przekroju A2 = 5 - 10-4 m2, E2 = 125 GPa. Dane są parametry belki a = 1 m. Obliczyć siły normalne w prętach stalowym 1 i mosiężnym 2.

Rys. 1.23.

Do zadania 1.12

Odpowiedź:

N1 = 1,02 kN, N2 = 9,75 kN.

Zadanie 1.13.

Płaska konstrukcja prętowo-belkowa zbudowana jest z nieskończenie sztywnej belki AD długości 4a, obciążonej siłą P = 20 kN (rys. 1.24). Belka podparta jest przegubowo w punkcie B i podwieszona na dwóch stalowych prętach 1 i 2 długości l = 1 m i przekroju A. Obliczyć siły normalne w prętach dla następujących danych: E = 210 GPa, A = 3 - 10-4 m2, a = 1 m.

Odpowiedź:

N1 = 1,02 kN, N2 = 9,75 kN.

Rys. 1.24.

Do zadania 1.13

Zadanie 1.14.

Płaska konstrukcja tarczowo-prętowa składa się z nieskończenie sztywnej tarczy AC0 zamocowanej przegubowo w punkcie 0 i przegubowych prętów 1 i 2 połączonych z tarczą oraz z przegubem B (rys. 1.25). Pręt 2 wykonano o ? za krótki. Jakie siły wystąpią w prętach 1 i 2 po połączeniu pręta z tarczą w punkcie A i obciążeniu konstrukcji siłą P = 20 kN? Dane: E1 = E2 = 210 GPa, A1 = 2A2 = 4 - 10-4 m2, ? = 2 - 10-4 a.

Rys. 1.25.

Do zadania 1.14

Odpowiedź:

N1 = 8,96 kN, N2 = 1,04 kN.