1Funkcja falowa
1.1. Równanie Schrödingera
Wyobraźmy sobie cząstkę o masie m, ograniczoną do poruszania się wzdłuż osi x, na którą oddziałuje określona siła F(x, t ) (rysunek 1.1). Zadanie mechaniki klasycznej polega na określeniu położenia cząstki w danej chwili t: x(t ). Kiedy już je znamy, możemy określić prędkość (v = dx/dt ), pęd (p = mv), energię kinetyczną T = (1/2)mv2 lub jakąkolwiek inną zmienną dynamiczną. W jaki sposób określić x(t )? Wykorzystywane jest drugie prawo dynamiki Newtona: F = ma. (W przypadku układów zachowawczych - jedyny rodzaj, który rozważamy, i na szczęście jedyny, który występuje na poziomie mikroskopowym - siła może zostać wyrażona jako pochodna funkcji energii potencjalnej[4], F = -?V/?x, a wtedy drugie prawo Newtona można zapisać jako md2x/dt2 = -?V/?x). To wraz z odpowiednimi warunkami początkowymi (którymi zazwyczaj są położenie i prędkość dla t = 0) determinuje x(t ).
Rysunek 1.1. "Cząstka", której ruch wywołany określoną siłą został ograniczony do jednego wymiaru
W mechanice kwantowej podchodzi się do tego samego problemu zupełnie inaczej. W tym przypadku szukamy funkcji falowej cząstki, ?(x, t ), którą otrzymujemy, rozwiązując równanie Schrödingera:
,
(1.1)
gdzie i jest pierwiastkiem z -1, ? jest stałą Plancka, a właściwie oryginalną stałą (h) podzieloną przez 2?:
.
(1.2)
Równanie Schrödingera odgrywa rolę logicznie analogiczną do drugiego prawa Newtona. Biorąc pod uwagę odpowiednie warunki początkowe (zazwyczaj ?(x, 0)), równanie Schrödingera określa ?(x, t ) dla całego przyszłego czasu, podobnie jak w mechanice klasycznej prawo Newtona określa x(t ) dla całego przyszłego czasu[5].
1.2. Interpretacja statystyczna
Czym dokładnie jest "funkcja falowa" i do czego można ją wykorzystać, jeśli już zostanie określona? W końcu cząstka z natury jest zlokalizowana w punkcie, podczas gdy funkcja falowa (jak wskazuje na to sama nazwa) jest rozproszona w przestrzeni (jest to funkcja x dla dowolnego określonego t ). W jaki sposób tego typu pojęcie może reprezentować stan cząstki? Odpowiedzią na to pytanie jest interpretacja statystyczna Borna, która mówi, że |?(x, t )|2 określa prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w punkcie x w czasie t, a dokładniej[6]:
.
(1.3)
Prawdopodobieństwo to obszar pod wykresem |?|2. W przypadku funkcji falowej przedstawionej na rysunku 1.2 całkiem prawdopodobne byłoby znalezienie cząstki w pobliżu punktu A, gdzie |?|2 osiąga dużą wartość, i stosunkowo nieprawdopodobne w pobliżu punktu B.
Rysunek 1.2. Typowa funkcja falowa. Zacieniowany obszar reprezentuje prawdopodobieństwo znalezienia cząstki pomiędzy a i b. Cząstka prawdopodobnie zostanie znaleziona w pobliżu A i jest mało prawdopodobne, by została znaleziona w pobliżu B
Interpretacja statystyczna wprowadza pewien rodzaj nieokreśloności do mechaniki kwantowej, ponieważ nawet jeśli znane jest wszystko to, co teoria ma do powiedzenia na temat cząstki, czyli jej funkcji falowej, to nadal nie można z pewnością przewidzieć wyniku prostego eksperymentu polegającego na zmierzeniu położenia cząstki. To, co wprowadza cała mechanika kwantowa, to statystyczna informacja na temat możliwych wyników. Ta nieokreśloność była głęboko niepokojąca zarówno dla fizyków, jak i filozofów i budzi naturalne wątpliwości co do tego, czy jest to fakt natury, czy też wada teorii.
Załóżmy, że mierzę położenie cząstki i stwierdzam, że znajduje się ona w punkcie C [7]. Pojawia się pytanie: gdzie znajdowała się cząstka tuż przed wykonaniem pomiaru? Istnieją trzy wiarygodne odpowiedzi na to pytanie i służą one do scharakteryzowania głównych szkół myślenia o nieokreśloności kwantowej:
1. Postawa realisty: cząstka znajdowała się w C. Z pewnością wydaje się rozsądne i jest to też reakcja zalecana przez Einsteina. Zauważ jednak, że jeśli jest to prawda, to mechanika kwantowa jest teorią niepełną, ponieważ cząstka była naprawdę zlokalizowana w C, a mechanika kwantowa nie była w stanie tego potwierdzić. Dla realisty nieokreśloność nie jest faktem natury, ale odzwierciedleniem naszej ignorancji. Jak to ujął d'Espagnat: "pozycja cząstki nigdy nie była nieokreślona, to eksperymentator po prostu nie znał jej położenia"[8]. Oczywiście ? nie jest tu wszystkim i do zapewnienia zupełnego opisu cząstki potrzebne są dodatkowe informacje (znane jako zmienna ukryta).
2. Postawa ortodoksy: cząstki tak naprawdę nigdzie nie było. To sam akt pomiaru wymusił na cząstce "zajęcie położenia" (aczkolwiek nie mamy odwagi zapytać, jak i dlaczego cząstka zdecydowała się na punkt C). Jordan stwierdził w najbardziej zdecydowany sposób: "Obserwacje nie tylko zakłócają to, co ma zostać zmierzone, lecz wręcz wytwarzają wynik... Zmuszamy [cząstkę] do zajęcia określonego położenia"[9]. Takie podejście, nazywane interpretacją kopenhaską, jest związane z Bohrem i jego zwolennikami. Wśród fizyków było to zawsze najczęściej akceptowane podejście. Zauważ jednak, że jeśli jest ono poprawne, to w akcie pomiaru jest coś bardzo osobliwego. Coś, co nie zostało dokładniej wyjaśnione przez prawie sto lat dyskusji i debat.
3. Postawa agnostyka: odmów odpowiedzi. Nie jest to wcale tak głupie, jak się wydaje. W końcu, jaki sens może mieć formułowanie twierdzeń o stanie cząstki przed pomiarem, gdy jedynym sposobem na sprawdzenie, czy masz rację, jest właśnie dokonanie pomiaru, którego rezultat nie jest już tym "przed pomiarem"? Metafizyką (w pejoratywnym tego słowa znaczeniu) jest martwienie się o coś, co z natury nie może zostać przetestowane. Pauli powiedział: "Nie należy już więcej męczyć się z problem, o którym nie wiadomo, czy nawet istnieje, podobnie jak ze starożytnym pytaniem, ilu aniołów jest w stanie usiąść na czubku igły".[10] Przez dziesięciolecia była to odpowiedź "awaryjna" większości fizyków, którzy próbowali przeforsować ortodoksyjną odpowiedź, jednak gdyby rozmówca był uparty, wycofaliby się do postawy agnostycznej i zakończyli rozmowę.
Do niedawna wszystkie trzy postawy (realisty, ortodoksy i agnostyka) miały swoich zwolenników. Jednak w 1964 r. John Bell zaskoczył społeczność fizyków, pokazując, że istnieje zauważalna różnica, czy cząstka miała dokładną (choć nieznaną) pozycję przed pomiarem, czy też nie. Odkrycie Bella skutecznie wyeliminowało postawę agnostyka jako jedną z możliwych opcji, a wybór pomiędzy postawą realisty i ortodoksy został sprowadzony do pytania eksperymentalnego, który z wyborów jest poprawny, pierwszy czy drugi. Wrócę do tej historii na końcu książki, ponieważ lepiej można docenić argument Bella po zapoznaniu się z większością informacji przedstawionych w książce. W tym momencie wystarczy stwierdzić, że eksperymenty zdecydowanie potwierdziły postawę ortodoksy[11]: cząstka po prostu nie zajmuje dokładnego położenia przed pomiarem analogicznie jak fale na stawie. To właśnie w rezultacie procesu pomiarowego "wymuszana" jest jednak konkretna liczba i tym samym w pewnym sensie tworzony jest określony wynik, ograniczony jedynie istotnością statystyczną narzuconą przez funkcję falową.
Co jeśli zrobię drugi pomiar natychmiast po pierwszym? Czy dostanę ponownie C, czy też za każdym kolejnym razem w wyniku pomiaru otrzymam jakąś zupełnie nową wartość? W tej kwestii wszyscy są zgodni. Wielokrotnie powtarzany pomiar tej samej cząstki musi dać tę samą wartość. Naprawdę ciężko byłoby udowodnić, że cząstka rzeczywiście została znaleziona podczas pierwszego pomiaru w C, gdyby nie można było tego potwierdzić przez natychmiastowe powtórzenie pomiaru. Jak interpretacja ortodoksyjna tłumaczy fakt, że drugi pomiar musi dać wartość C? Musi to wynikać z tego, że pierwszy pomiar radykalnie zmienia funkcję falową i wokół C obserwowany jest wyraźny pik (rysunek 1.3). Mówimy, że funkcja falowa ulega redukcji po pomiarze i następnie obserwowany jest pik w punkcie C, który wkrótce ewoluuje ponownie zgodnie z równaniem Schrödingera, tak więc drugi pomiar należy wykonać szybko. Istnieją zatem dwa całkowicie odmienne rodzaje procesów fizycznych: "zwykłe", w których funkcja falowa zmienia się powoli zgodnie z równaniem Schrödingera, oraz "pomiary", w których ? nagle i w sposób nieciągły ulega redukcji[12].
Rysunek 1.3. Redukcja funkcji falowej: wykres |?|2 natychmiast po dokonaniu pomiaru - wykrycia cząstki w punkcie C
Przykład 1.1
Interferencja elektronowa. Założyłem, że cząstki (na przykład elektrony) mają naturę falową określoną funkcją ?. Jak możemy to sprawdzić w laboratorium?
Klasycznym przykładem zjawiska falowego jest interferencja: dwie fale o tej samej fazie interferują konstruktywnie, a te z przeciwnymi fazami interferują destruktywnie. Falowa natura światła została potwierdzona w 1801 roku w słynnym eksperymencie Younga z dwiema szczelinami, w wyniku którego na odległym ekranie otrzymane zostały "prążki" interferencyjne, gdy przez dwie szczeliny przechodziła wiązka monochromatyczna. Jeżeli zasadniczo taki sam eksperyment zostanie przeprowadzony z wykorzystaniem elektronów, to w rezultacie otrzymany zostanie analogiczny wzór[13], co potwierdza falową naturę elektronów.
Załóżmy teraz, że zmniejszamy natężenie wiązki elektronów, aż w danym momencie w urządzeniu pomiarowym będzie obecny tylko jeden elektron. Zgodnie z interpretacją statystyczną każdy elektron wytworzy punkt na ekranie. Mechanika kwantowa nie jest w stanie przewidzieć dokładnego położenia tego punktu i wszystko, co może nam powiedzieć, to prawdopodobieństwo trafienia danego elektronu w określony punkt. Jeśli jednak bylibyśmy cierpliwi i zaczekali, aż przez szczeliny przejdzie sto tysięcy elektronów, to gromadzące się plamy utworzą klasyczny wzór interferencji charakterystyczny dla dwóch szczelin (rysunek 1.4)[14].
Rysunek 1.4. Tworzenie się wzoru interferencyjnego elektronów: (a) 8 elektronów, (b) 270 elektronów, (c) 2000 elektronów, (d) 160 000 elektronów. Przedruk za zgodą Central Research Laboratory, Hitachi Ltd., Japonia
Oczywiście, jeśli zamkniesz jedną szczelinę lub w jakiś sposób będziesz w stanie określić, przez którą szczelinę przechodzi każdy elektron, to wzór interferencji zniknie. Funkcja falowa powstającej cząstki będzie wtedy zupełnie inna. W pierwszym przypadku będzie to wynikać ze zmiany warunków brzegowych równania Schrödingera, a w drugim - z redukowania się funkcji falowej po pomiarze. Jednak przy otwartych obu szczelinach i bez przeszkód na drodze lotu elektronów dochodzi do interferencji pomiędzy elektronami. Nie przechodzą one ani przez pierwszą, ani przez drugą szczelinę, ale przez obie naraz, podobnie jak fala na wodzie uderzająca o molo oparte na dwóch podporach, interferująca sama ze sobą. Nie ma w tym nic tajemniczego, gdy zaakceptujesz pogląd, że cząstki spełniają równanie falowe. Naprawdę zadziwiające jest to, że wzór jest wykonywany punkt po punkcie. W każdej klasycznej teorii fal wzór rozwijałby się płynnie i ciągle, z czasem stając się coraz bardziej intensywny. Proces kwantowy bardziej przypomina puentylistyczne malarstwo Seurata, gdzie obraz wyłania się ze skumulowanego wkładu wszystkich pojedynczych kropek[15].
1.3. Prawdopodobieństwo
1.3.1. Zmienne dyskretne
Ze względu na interpretację statystyczną prawdopodobieństwo odgrywa kluczową rolę w mechanice kwantowej. Poniżej, w kontekście prostego przykładu, przedstawię krótkie omówienie teorii prawdopodobieństwa, którego głównym celem jest wprowadzenie notacji i terminologii.
Wyobraź sobie, że w pokoju znajduje się 14 osób, których wiek przedstawia się następująco:
jedna osoba w wieku 14 lat,
jedna osoba w wieku 15 lat,
trzy osoby w wieku 16 lat,
dwie osoby w wieku 22 lat,
dwie osoby w wieku 24 lat,
pięć osób w wieku 25 lat.
Jeśli założymy, że N( j) reprezentuje liczbę osób w wieku j, to:
N(14) = 1,
N(15) = 1,
N(16) = 3,
N(22) = 2,
N(24) = 2,
N(25) = 5,
a dla przykładu N(17) = 0. Sumaryczna liczba osób w pokoju wynosi:
(1.4)
(Oczywiście w rozpatrywanym przykładzie N = 14). Na rysunku 1.5 jest pokazany histogram danych. Oto pytania, które można by zadać co do tego rozkładu.
Rysunek 1.5. Histogram pokazujący rozkład liczby osób N( j) w zależności od wieku j dla danych z przykładu z p. 1.3.1
Pytanie 1: Jeśli wybierzesz losowo jedną osobę z tej grupy, to jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie ona miała 15 lat?
Odpowiedź:
Jest jedna szansa na 14, ponieważ istnieje 14 możliwych wyborów, z których wszystkie są równie prawdopodobne i tylko jeden odnosi się do osoby w tym konkretnym wieku. Jeśli P( j) jest prawdopodobieństwem wylosowania osoby w wieku j, to P(14) = 1/14, P(15) = 1/14, P(16) = 3/14 i tak dalej. Ogólnie:
(1.5)
Zauważ, że prawdopodobieństwo wylosowania osoby w wieku 14 lub 15 lat to suma prawdopodobieństw każdego z tych zdarzeń z osobna (w tym przypadku 1/7). W szczególności suma wszystkich prawdopodobieństw wynosi 1. Każda wybrana osoba musi mieć jakiś wiek:
Pytanie 2: Jaki jest najbardziej prawdopodobny wiek wylosowanej osoby?
Odpowiedź: Oczywiście jest to 25 lat. W takim wieku jest aż pięć osób, podczas gdy co najwyżej trzy osoby są w takim samym wieku, innym niż 25 lat. Najbardziej prawdopodobne j to takie, dla którego P( j) jest wartością maksymalną.
Pytanie 3: Jaka jest mediana wieku?
Odpowiedź: Jest to wiek 23 lat, ponieważ 7 osób ma mniej niż 23 lata, a 7 jest starszych. Mediana to taka wartość j, dla której prawdopodobieństwo uzyskania większego wyniku jest takie samo, jak prawdopodobieństwo uzyskania mniejszego wyniku.
Pytanie 4: Jaki jest średni wiek?
Odpowiedź:
Ogólnie, średnia z j wartości (co powinno być zapisywane jako j) wynosi:
(1.7)
Zauważ, że w danych nie musi występować osoba ze średnim wiekiem ani wiekiem równym medianie. W rozpatrywanym przykładzie nikt nie ma 21 ani 23 lat. W mechanice kwantowej średnia jest zwykle wielkością zainteresowania. W tym kontekście nazywa się to wartością oczekiwaną. Jest to termin wprowadzający w błąd, ponieważ sugeruje, że jest to wynik, który najprawdopodobniej uzyskasz, jeśli wykonasz pojedynczy pomiar. Byłaby to zatem najbardziej prawdopodobna wartość, a nie wartość średnia. Obawiam się jednak, że utknęliśmy z tym.
Pytanie 5: Jaka jest średnia z kwadratów wieku rozpatrywanych osób?
Odpowiedź: Możesz otrzymać 142 = 196 z prawdopodobieństwem 1/14, 152 = 225 z prawdopodobieństwem 1/14 lub 162 = 256 z prawdopodobieństwem 3/14 i tak dalej. Średnia z kwadratów wynosi więc:
(1.8)
Ogólnie, średnia wartość pewnej funkcji zmiennej j wynosi:
(1.9)
(Równania (1.6), (1.7) i (1.8) są specjalnymi przypadkami tego wzoru). Uwaga: średnia kwadratów j 2 nie jest na ogół równa kwadratowi średniej j2. Na przykład, jeśli w pokoju jest tylko dwoje dzieci w wieku 1 i 3 lat, to wtedy j 2 = 5, lecz j2 = 4.
Histogramy przedstawione na rysunku 1.6 wyraźnie się różnią, pomimo że mają taką samą medianę, średnią, najbardziej prawdopodobną wartość i taką samą liczebność. Pierwszy jest mocno skupiony wokół wartości średniej, podczas gdy drugi jest szeroki i płaski. (Pierwszy histogram może reprezentować profil wiekowy uczniów w klasie w dużym mieście, a drugi - być może profil wiekowy uczniów w wiejskiej jednosalowej szkole). Potrzebujemy liczbowej miary wielkości "rozproszenia" rozkładu w odniesieniu do wartości średniej. Najbardziej oczywistym sposobem na zrobienie tego byłoby sprawdzenie, jak bardzo każda wartość różni się od średniej:
(1.10)
i następnie obliczenie średniej ? j. Problemem jest jednak to, że w rezultacie otrzymasz zero.
(Zauważ, że j jest stałe i nie zmienia się, gdy przechodzisz od jednego wartości próbki do drugiej, tak więc można to wyrażenie wyciągnąć przed sumę). W celu uniknięcia tego irytującego problemu możesz zdecydować o uśrednieniu wartości bezwzględnej ? j, jednak wartości bezwzględne są kłopotliwe w obliczeniach. Zamiast tego omijamy problem ze znakiem, podnosząc wyrażenie do kwadratu przed jego uśrednieniem:
(1.11)
Rysunek 1.6. Dwa histogramy z taką samą medianą, średnią i najbardziej prawdopodobną wartością, ale z różnymi odchyleniami standardowymi
Taka wartość jest znana jako wariancja rozkładu. Wartość ? (pierwiastek kwadratowy ze średniej z kwadratu odchyleń od średniej - o ho!) nazywa się odchyleniem standardowym. Jest ono zwyczajową miarą rozproszenia j.
Istnieje przydatne twierdzenie o wariancjach:
Pierwiastkując wyrażenie, samo odchylenie standardowe można zapisać jako:
(1.12)
W praktyce jest to znacznie szybszy sposób na wyznaczenie ? niż bezpośrednie zastosowanie równania (1.11). Wystarczy po prostu obliczyć j 2 oraz j2, odjąć je i następnie spierwiastkować. Nawiasem mówiąc, ostrzegałem wcześniej, że j2 nie jest na ogół równe j2. Ponieważ ?2 jest z oczywistych powodów nieujemne (z definicji (1.11)), z równania (1.12) wynika, że:
(1.13)
a j 2 oraz j2 są równe jedynie wtedy, gdy ? = 0, co oznacza, że rozkład nie charakteryzuje jakiekolwiek rozproszenie i składa się z danych o takich samych wartościach.
1.3.2. Zmienne ciągłe
Do tej pory zakładałem, że mamy do czynienia ze zmienną dyskretną, czyli taką, która może przyjmować tylko niektóre odrębne wartości (w omawianym przykładzie j musiało być liczbą całkowitą, ponieważ wiek podawany był tylko w latach). Uogólnienie na rozkłady ciągłe jest jednak stosunkowo proste. Jeśli wybiorę przypadkową osobę na ulicy, to prawdopodobieństwo, że jej wiek to dokładnie 16 lat, 4 godziny, 27 minut i 3,333... sekundy wynosi zero. Jedyną rozsądną rzeczą, o której można zatem mówić, jest prawdopodobieństwo, że wiek tej osoby mieści się w pewnym przedziale, powiedzmy między 16 a 17 lat. Jeśli przedział jest wystarczająco krótki, to prawdopodobieństwo jest proporcjonalne do długości tego przedziału. Na przykład szansa, że wiek osoby zawiera się w przedziale od 16 lat do 16 lat i dwóch dni jest prawdopodobnie dwukrotnie większa niż w przypadku przedziału od 16 lat do 16 lat i jeden dzień. (Oczywiście zakładając, że 16 lat temu nie miał miejsca jakiś niezwykły wyż demograficzny, dokładnie w tym dniu. W takim przypadku po prostu wybrany przedział czasu jest zbyt długi, by obowiązywała wspomniana zasada. Jeśli wyż demograficzny trwał sześć godzin, należałoby dla bezpieczeństwa założyć przedziały sekundowe lub krótsze. Z technicznego punktu widzenia mówimy o infinitezymalnych odstępach). Czyli:
(1.14)
Współczynnik proporcjonalności ?(x) jest często potocznie nazywany "prawdopodobieństwem otrzymania x". Jest to jednak nieprecyzyjne określenie i znacznie lepszym terminem jest gęstość prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo, że x leży między a i b (przedział domknięty) jest określone całką z ?(x):
(1.15)
a reguły określone uprzednio dla rozkładów dyskretnych można zapisać w oczywisty sposób:
(1.16)
(1.17)
(1.18)
(1.19)
Przykład 1.2
Załóżmy, że ktoś zrzucił kamień z urwiska o wysokości h. Gdy kamień spada, robię milion zdjęć w losowych odstępach czasu. Na każdym zdjęciu mierzę odległość, jaką pokonał spadający kamień.
Pytanie: Jaka jest średnia tych wszystkich odległości? To znaczy, jaki jest średni czas przebytej odległości?[16]
Rozwiązanie. Początkowo kamień znajduje się w spoczynku i zaczyna nabierać prędkości, gdy spada. Tak więc w pobliżu szczytu znajduje się dłuższy przedział czasu, a średnia odległość będzie z pewnością mniejsza niż h/2. Jeśli zaniedbam opór powietrza, odległość x przebytą w czasie t mogę opisać wzorem:
Prędkość to dx/dt = gt, a całkowity czas spadania kamienia wynosi Prawdopodobieństwo, że zdjęcie zostało wykonane pomiędzy t i t + dt jest równe dt/T, tak więc prawdopodobieństwo, że zdjęcie pokazuje przebytą odległość pomiędzy x i x + dx wynosi:
Gęstość prawdopodobieństwa (równanie (1.14)) opisuje zatem wyrażenie:
(oczywiście poza tym przedziałem gęstość prawdopodobieństwa jest równa zeru).
Możemy sprawdzić ten wynik, wykorzystując równanie (1.16):
Średnia odległość (równanie (1.17)) wynosi:
co jest mniejsze niż h/2, jak wcześniej przypuszczaliśmy.
Na rysunku 1.7 jest pokazany wykres ?(x). Zauważ, że gęstość prawdopodobieństwa może być nieskończona, aczkolwiek samo prawdopodobieństwo (całka z ?) musi oczywiście być skończone i w rzeczywistości - mniejsze lub równe 1.
Rysunek 1.7. Gęstość prawdopodobieństwa z przykładu 1.2:
Zadanie 1.1. Dla rozkładu wieku osób jak w przykładzie w punkcie 1.3.1:
(a) Oblicz j 2 oraz j2.
(b) Określ ?j dla każdego j oraz wykorzystaj równanie (1.11) do obliczenia odchylenia standardowego.
(c) Wykorzystaj wyniki z punktów (a) i (b) do sprawdzenia równania (1.12).
Zadanie 1.2
(a) Znajdź odchylenie standardowe rozkładu z przykładu 1.2.
(b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrane zdjęcie będzie pokazywać odległość x większą o więcej niż jedno odchylenie standardowe od średniej?
Zadanie 1.3. Rozważ rozkład gaussowski
gdzie A, a oraz ? są dodatnimi stałymi (zestawienie potrzebnych całek znajdziesz na końcu, na wewnętrznej stronie okładki).
(a) Wykorzystaj równanie (1.16) do wyznaczenia A.
(b) Znajdź x2, x2 oraz ?.
(c) Narysuj wykres ?(x).
1.4. Normalizacja
Wracamy teraz do statystycznej interpretacji funkcji falowej (równanie (1.3)), która mówi, że |?(x, t )|2 jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie x w czasie t. Wynika z tego (równanie (1.16)), że całka z |?|2 po wszystkich x musi wynosić 1 (cząstka musi gdzieś być):
(1.20)
Bez tego interpretacja statystyczna nie miałaby sensu.
Jednak ten wymóg powinien cię niepokoić. W końcu funkcja falowa ma być określona równaniem Schrödingera. Nie możemy narzucać warunków zewnętrznych na ? bez sprawdzania, czy oba są spójne. Spójrz na równanie (1.1), a dostrzeżesz, że jeśli ?(x, t ) jest rozwiązaniem, to jest nim także A?(x, t ), gdzie A jest dowolną (zespoloną) stałą. Musimy zatem wybrać taką wartość tego nieokreślonego mnożnika, dla której równanie (1.20) jest spełnione. Proces ten nazywa się normowaniem funkcji falowej. Dla niektórych rozwiązań równania Schrödingera całka jest nieskończona. W takim przypadku żaden czynnik mnożnikowy nie sprawi, że całka będzie równa 1. Dotyczy to także trywialnego rozwiązania ? = 0. Takie nienormowalne rozwiązania nie mogą reprezentować cząstek i muszą zostać odrzucone. Fizycznie możliwe do zrealizowania stany odpowiadają całkowalnym z kwadratem rozwiązaniom równania Schrödingera[17].
Ale poczekaj chwilkę! Załóżmy, że unormowałem funkcję falową dla czasu t = 0. Skąd mam wiedzieć, że pozostanie ona unormowana w miarę upływu czasu i zmian ?? (Nie można ciągle ponownie normować funkcji falowej, ponieważ A staje się funkcją t i nie masz już rozwiązania równania Schrödingera). Na szczęście równanie Schrödingera ma niezwykłą właściwość polegającą na tym, że automatycznie zachowuje normalizację funkcja falowej. Bez tej kluczowej cechy równanie Schrödingera byłoby niezgodne z interpretacją statystyczną, a cała teoria by się rozpadła.
Jest to bardzo istotne, więc omówmy dokładny dowód. Zacznijmy od równania:
(1.21)
(Zauważ, że całka jest funkcją tylko t, więc używam pochodnej zupełnej (d/dt ) po lewej stronie, ale funkcja podcałkowa jest już funkcją zarówno x, jak i t, więc po prawej równania występuje pochodna cząstkowa (?/?t ).) Korzystamy ze wzoru na pochodną iloczynu:
(1.22)
Zgodnie z równaniem Schrödingera:
(1.23)
a zatem także (biorąc sprzężenie zespolone równania (1.23))
(1.24)
a więc
(1.25)
Można teraz obliczyć całkę z równania (1.21):
(1.26)
Jednak ?(x, t ) musi dążyć do zera, gdy x dąży do (?) nieskończoności - w przeciwnym razie funkcja falowa nie byłaby normowalna[18]. Wynika z tego, że:
(1.27)
a zatem, że całka jest stała (niezależna od czasu). Jeśli ? jest unormowana dla t = 0, to pozostaje unormowana dla całego przyszłego czasu. QED
Zadanie 1.4. W czasie t = 0 cząstka jest reprezentowana funkcją falową:
gdzie A, a oraz b są dodatnimi stałymi.
(a) Znormalizuj ?, czyli znajdź A w zależności od a i b.
(b) Narysuj wykres ?(x, t ) jako funkcją x.
(c) Określ najbardziej prawdopodobne położenie cząstki w czasie t = 0.
(d)
Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia cząstki na lewo od a? Sprawdź swój wynik dla ograniczonych przypadków b = a i b = 2a.
(e) Jaka jest wartość oczekiwana x?
Zadanie 1.5. Rozważ następującą funkcję falową:
gdzie A, ? oraz ? są dodatnimi stałymi. (W rozdziale 2 zobaczymy, dla jakiego potencjału (V) ta funkcja falowa spełnia równanie Schrödingera.)
(a) Znormalizuj ?.
(b) Określ wartości oczekiwane x i x2.
(c) Znajdź odchylenie standardowe x. Naszkicuj wykres |?|2 w funkcji x i zaznacz punkty (x + ?) oraz (x - ?), aby zilustrować, w jaki sposób ? reprezentuje "rozrzut" x. Jakie jest prawdopodobieństwo, że cząstka zostanie znaleziona poza tym zakresem?
1.5. Pęd
Dla cząstki znajdującej się w stanie ? wartość oczekiwana x wynosi:
(1.28)
Co to dokładnie oznacza to równanie? To zdecydowanie nie oznacza, że jeśli wykonałbyś wielokrotnie pomiar położenia jednej cząstki, to całka byłaby średnią wyników, które byś otrzymał. Wręcz przeciwnie. Pierwszy pomiar (którego wynik jest nieokreślony) spowoduje redukcję funkcji falowej do piku przy faktycznie uzyskanej wartości, a kolejne pomiary, jeśli zostaną wykonane szybko, po prostu dadzą ten sam wynik. Wartość x jest raczej średnią z pomiarów wykonanych na wszystkich cząstkach znajdujących się stanie ?, co oznacza, że albo musisz znaleźć jakiś sposób na przywrócenie cząstki do jej pierwotnego stanu po każdym pomiarze, albo musisz przygotować cały zestaw cząstek znajdujących się w tym samym stanie ? i zmierzyć położenie ich wszystkich: x jest średnią z takich wyników. Lubię wyobrażać sobie rząd butelek na półce, z których każda zawiera cząstkę w stanie ? (w odniesieniu do środka butelki). Do każdej butelki przypisany jest student z linijką i na sygnał wszyscy mierzą położenie swoich cząstek. Następnie tworzymy histogram wyników, który powinien pasować do |?|2, i obliczamy średnią, która powinna wynosić x. (Oczywiście, ponieważ używamy tylko skończonej próbki, nie możemy oczekiwać idealnej zgodności, jednak im więcej butelek użyjemy, tym większą zgodność powinniśmy uzyskać.) Krótko mówiąc, wartość oczekiwana jest średnią z pomiarów wykonanych na zespole identycznie przygotowanych systemów, a nie średnią z wielu powtarzanych pomiarów wykonanych na tym samym systemie.
Ponieważ ? zależy od czasu, zatem w miarę upływu czasu x zmienia się i możemy być zainteresowani tym, z jaką prędkością się porusza. Odnosząc się do równań (1.25) i (1.28), można zauważyć, że[19]:
(1.29)
Wyrażenie to można uprościć, korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części[20]:
(1.30)
(Wykorzystałem fakt, że ?x/?x = 1 i odrzuciłem granice całkowania, opierając się na tym, że ? dąży do zera dla ??). Wykonując kolejne całkowanie przez części na drugim elemencie, otrzymujemy:
(1.31)
Co oznacza taki wynik? Zauważ, że mówimy o "prędkości" wartości oczekiwanej x, która nie jest tym samym co prędkość cząstki. Nic, co do tej pory mówiliśmy, nie pozwoliłoby nam obliczyć prędkości cząstki. Nie jest nawet jasne, co oznacza prędkość w mechanice kwantowej. Jeśli (przed pomiarem) cząstka nie ma określonego położenia, to nie ma również dobrze określonej prędkości. Jedyne, o czym moglibyśmy zasadnie mówić, to prawdopodobieństwo uzyskania określonej wartości. W rozdziale 3 zobaczymy, jak skonstruować gęstość prawdopodobieństwa prędkości dla danej ?. Na razie wystarczy postulować, że wartość oczekiwana prędkości jest równa pochodnej po czasie z wartości oczekiwanej położenia:
(1.32)
Wykorzystując równanie (1.31), można obliczyć v wprost z ?.
W rzeczywistości zwykle stosuje się pęd (p = mv), a nie prędkość:
(1.33)
Napiszmy teraz wyrażenie na x i p w bardziej sugestywny sposób:
(1.34)
(1.35)
Mówimy, że operator[21] x "reprezentuje" położenie, a operator -i?(?/?x) "reprezentuje" pęd. W celu obliczenia wartości oczekiwanych musimy umieścić odpowiedni operator pomiędzy ? i ?* i scałkować.
To urocze, ale co z innymi wartościami? Faktem jest, że wszystkie klasyczne zmienne dynamiczne można wyrazić za pomocą położenia i pędu. Na przykład energię kinetyczną opisuje wzór:
a moment pędu:
(to ostatnie wyrażenie nie występuje oczywiście w przypadku ruchu w jednym wymiarze). W celu obliczenia wartości oczekiwanej dowolnej takiej wielkości, Q(x, p), po prostu zamieniamy każde p na -i?(?/?x), wstawiamy wynikowy operator pomiędzy ? a ?* i całkujemy:
(1.36)
Na przykład, wartość oczekiwana energii kinetycznej wynosi:
(1.37)
Równanie (1.36) pozwala na obliczanie wartości oczekiwanej dowolnej wielkości dynamicznej dla cząstki w stanie ?. Równania (1.34) i (1.35) są przypadkami szczególnymi tego równania. Próbowałem przedstawić równanie (1.36) w wiarygodny sposób, uwzględniając statystyczną interpretację Borna. Jest to jednak naprawdę radykalnie nowy sposób myślenia (w porównaniu z mechaniką klasyczną) i dobrym pomysłem jest nabycie wprawy w stosowaniu go przed omówieniem mocniejszych podstaw teoretycznych w rozdziale 3. Tymczasem, jeśli wolisz myśleć o tym jak o aksjomacie, nie mam nic przeciwko.
Zadanie 1.6. Dlaczego nie możesz wykonać całkowania przez części bezpośrednio na środkowym wyrażeniu w równaniu (1.29), czyli wyciągnąć pochodnej po czasie przed x, zauważyć, że ?x/?t = 0, i wnioskować, że dx/dt = 0?
Zadanie 1.7. Oblicz dp/dt. Odpowiedź:
(1.38)
Jest to przykład twierdzenia Ehrenfesta, które stwierdza, że wartości oczekiwane są zgodne z klasycznymi prawami [22].
Zadanie 1.8. Załóżmy, że dodajesz stałą V0 do energii potencjalnej (przez "stałą" mam na myśli wartość niezależną od x oraz t ). W mechanice klasycznej nic to nie zmienia, ale co z mechaniką kwantową? Pokaż, że funkcja falowa przyjmuje zależny od czasu współczynnik fazy: exp(-iV0t / ? ). Jaki to ma wpływ na wartość oczekiwaną zmiennej dynamicznej?
1.6. Zasada nieoznaczoności
Wyobraź sobie, że trzymasz jeden koniec bardzo długiej liny i generujesz falę, potrząsając końcem liny rytmicznie w górę i w dół (rysunek 1.8). Gdyby ktoś zapytał: "Gdzie dokładnie jest ta fala?", prawdopodobnie pomyślałbyś, że jest trochę szalony. Fala nie jest nigdzie dokładnie. Rozciąga się na około 50 stóp. Lecz gdyby zapytał cię, jaka jest długość fali, mógłbyś dać mu rozsądną odpowiedź, że to około 6 stóp. Gdybyś natomiast gwałtownie szarpną liną (rysunek 1.9), spowodowałoby to powstanie stosunkowo wąskiego piku przemieszczającego się wzdłuż liny. Tym razem to pierwsze pytanie (gdzie dokładnie jest fala?) jest sensowne, natomiast drugie ( jaka jest długość fali?) wydaje się szalone. Trudno nawet określić, jak możesz przypisać takiemu pikowi długość fali. Oczywiście możesz narysować przypadki pośrednie, w których fala jest dość dobrze zlokalizowana, a długość fali jest dość dobrze określona. Prowadzi to jednak do nieuniknionego kompromisu. Im dokładniej zostanie określone położenie fali, tym mniej dokładnie można podać jej długość i vice versa[23]. Twierdzenie z analizy Fouriera czyni to wszystko rygorystycznym, ale na razie zajmuję się tylko argumentem jakościowym.
Rysunek 1.8. Fala o (dość) dobrze określonej długości fali, ale o słabo określonym położeniu
Rysunek 1.9. Fala o dość dobrze określonym położeniu, ale o słabo określonej długości fali
Odnosi się to oczywiście do każdego zjawiska falowego, a zatem w szczególności do kwantowej funkcji falowej. Jednak długość fali jest związana z pędem cząstki wzorem de Broglie'a[24]:
(1.39)
Zatem rozproszenie długości fali odpowiada rozproszeniu pędu, a nasza ogólna obserwacja mówi teraz, że im dokładniej określone jest położenie cząstki, tym mniej precyzyjnie określony jest jej pęd. Ilościowo jest to opisane wzorem:
(1.40)
gdzie ?x to odchylenie standardowe x, a ?p to odchylenie standardowe p. Jest to słynna zasada nieoznaczoności Heisenberga. (Udowodnimy ją w rozdziale 3, ale chciałem od razu o niej wspomnieć, abyś mógł to przetestować na przykładach z rozdziału 2).
Proszę zrozumieć, co oznacza zasada nieoznaczoności: pomiary pędu, podobnie jak pomiary położenia, dają dokładne odpowiedzi - "rozrzut" odnosi się tutaj do faktu, że pomiary wykonane na identycznie przygotowanych systemach nie dają identycznych wyników. Jeśli chcesz, to możesz określić stan, w którym pomiary położenia będą skupione bardzo blisko siebie (czyniąc ? zlokalizowanym "pikiem"), jednak będzie to okupione tym, że pomiary pędu w takim stanie będą bardzo rozproszone. Możesz oczywiście (przyjmując ? jako długą falę sinusoidalną) określić stan z ustalonym pędem, ale w takim przypadku pomiary położenia będą szeroko rozproszone. I oczywiście, jeśli jesteś w naprawdę złym nastroju, to możesz stworzyć stan, dla którego ani pozycja, ani pęd nie będą dobrze określone. Wyrażenie (1.40) jest nierównością i nie ma ograniczenia co do wielkości ?x i ?p - wystarczy po prostu określić ? jako długą i krętą linię z mnóstwem wypukłości i dziur, bez okresowej struktury.
Zadanie 1.9. Cząstka o masie m jest opisana następującą funkcję falową:
gdzie A oraz a to dodatnie stałe rzeczywiste.
(a) Znajdź A.
(b) Dla jakiej funkcji energii potencjalnej V(x) jest to rozwiązaniem równania Schrödingera?
(c)
Oblicz wartości oczekiwane x, x2, p i p2.
(d) Znajdź ?x i ?p. Czy ich iloczyn jest zgodny z zasadą nieoznaczoności?
Dodatkowe zadania do rozdziału 1
Zadanie 1.10. Rozważ początkowe 25 cyfr w dziesiętnym rozwinięciu liczby ? (3, 1, 4, 1, 5, 9, ...).
(a) Jeśli wybrałeś losowo jedną cyfrę z tego zestawu, jakie są szanse na uzyskanie każdej z 10 cyfr?
(b) Jaka jest najbardziej prawdopodobna cyfra? Jaka jest mediana? Jaka jest wartość średnia?
(c) Znajdź odchylenie standardowe tego rozkładu.
Zadanie 1.11. (Zadanie to jest uogólnieniem zadania 1.2). Wyobraź sobie cząstkę o masie m i energii E w studni potencjału V(x), ślizgającą się bez tarcia w przód i w tył między klasycznymi punktami zwrotu (a i b na rysunku 1.10). Klasycznie prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w przedziale dx (na przykład poprzez wykonanie zdjęcia w losowej chwili t ) jest równe ułamkowi czasu T potrzebnego do przejścia od a do b, który cząstka spędza w przedziale dx:
(1.41)
gdzie v(x) jest prędkością, a
(1.42)
Zatem
(1.43)
Rysunek 1.10. Klasyczna cząstka w studni potencjału
Jest to być może najbliższy klasyczny analog[25] |?|2.
(a) Wykorzystaj zasadę zachowania energii do wyrażenia v(x) za pomocą E i V(x).
(b) Jako przykład, znajdź ?(x) dla prostego oscylatora harmonicznego, V(x) = kx2/2. Narysuj wykres ?(x) i sprawdź, czy jest poprawnie unormowany.
(c) Dla klasycznego oscylatora harmonicznego z punktu (b) znajdź x, x2 i ?x.
Zadanie 1.12. Co by było, gdybyśmy byli zainteresowani rozkładem pędu (p = mv) dla klasycznego oscylatora harmonicznego (zadanie 1.11(b))?
(a) Znajdź klasyczny rozkład prawdopodobieństwa ?(p) (zwróć uwagę, że p zawiera się w przedziale od do
(b) Oblicz p, p2 i ?p.
(c) Ile wynosi iloczyn klasycznej niepewności ?x?p dla tego układu? Zauważ, że przy podejściu klasycznym iloczyn ten może być tak mały, jak chcesz, po prostu zakładając, że E ? 0. Jednak w mechanice kwantowej, jak zobaczymy w rozdziale 2, energia prostego oscylatora harmonicznego nie może być mniejsza niż ??/2, gdzie jest klasyczną częstością. Co w takim razie możesz powiedzieć o iloczynie ?x?p?
Zadanie 1.13. Porównaj wyniki uzyskane w zadaniu 1.11(b) z następującym "eksperymentem numerycznym". Pozycja oscylatora w czasie t wynosi:
(1.44)
Równie dobrze możesz przyjąć ? = 1 (co określa skalę czasu) i A = 1 (co określa skalę odległości). Wykonaj wykres x dla 10 000 losowych chwil czasowych i porównaj go z ?(x). Wskazówka: W programie Mathematica najpierw zdefiniuj:
x[t_] := Cos[t]
następnie tabelę położenia:
snapshots = Table[x[? RandomReal[j]], {j, 10000}]
a na końcu wyznacz histogram z danych:
Histogram[snapshots, 100, "PDF", PlotRange ? {0,2}]
W międzyczasie narysuj wykres funkcji gęstości ?(x) i wykorzystując polecenie Show, nałóż je na siebie.
Zadanie 1.14. Niech Pab(t ) będzie prawdopodobieństwem znalezienia cząstki w przedziale (a < x < b) w czasie t.
(a) Pokaż, że
gdzie:
W jakich jednostkach jest wyrażone J(x, t )? Komentarz: J jest nazywane prądem prawdopodobieństwa, ponieważ odnosi się do natężenia, z jakim prawdopodobieństwo "płynie" poza punkt x. Jeśli Pab(t ) rośnie, to więcej prawdopodobieństwa wpływa do obszaru z jednego końca niż wypływa z drugiego.
(b) Znajdź prąd prawdopodobieństwa dla funkcji falowej z zadania 1.9. (Obawiam się, że nie jest to zbyt treściwy przykład, w dalszej części zostały zamieszczone poważniejsze zadania.)
Zadanie 1.15. Wykaż, że:
dla dowolnej pary ?1 i ?2 unormowanych rozwiązań równania Schrödingera, z takim samym V(x).
Zadanie 1.16. W czasie t cząstka jest reprezentowana funkcją falową:
(a) Wyznacz stałą normalizacji A.
(b) Jaka jest wartość oczekiwana x?
(c) Jaka jest wartość oczekiwana p? Zauważ, że nie możesz otrzymać jej z x = m dx/dt. Dlaczego?
(d) Znajdź wartość oczekiwaną x2.
(e) Znajdź wartość oczekiwaną p2.
(f) Znajdź niepewność w x (?x).
(g) Znajdź niepewność w p.
(h) Sprawdź, czy wyniki są zgodne z zasadą nieoznaczoności.
Zadanie 1.17. Załóżmy, że chcesz opisać niestabilną cząstkę, która spontanicznie rozpada się po upływie jej "czasu życia" ?. W takim przypadku całkowite prawdopodobieństwo znalezienia gdzieś cząstki nie powinno być stałe i powinno maleć, załóżmy w tempie wykładniczym:
Prosty sposób otrzymania takiego wyniku jest następujący. W równaniu (1.24) milcząco przyjęliśmy, że V (energia potencjalna) jest rzeczywista. Jest to z pewnością uzasadnione, ale prowadzi do "zachowania prawdopodobieństwa" określnego w równaniu (1.27). Co będzie, jeśli przypiszemy V część urojoną:
gdzie V0 jest prawdziwą energią potencjalną, a ? jest dodatnią stałą rzeczywistą?
(a) Pokaż, że zamiast równania (1.27) możemy otrzymać:
(b) Rozwiąż to równanie dla P(t ) i znajdź czas życia cząstki wyrażony za pomocą ?.
Zadanie 1.18. Z grubsza rzecz ujmując, mechanika kwantowa jest ma znaczenie, gdy długość fali de Broglie'a danej cząstki (h/p) jest większa niż charakterystyczny rozmiar układu (d). W równowadze termicznej w temperaturze T (w kelwinach) średnia energia kinetyczna cząstki wynosi:
(gdzie kB jest stałą Boltzmanna), więc typowa długość fali de Broglie'a to:
(1.45)
Celem tego zadania jest określenie, które układy będą musiały być traktowane zgodnie z mechaniką kwantową, a które można bezpiecznie opisać w sposób klasyczny.
(a) Ciała stałe. Stała sieci krystalicznej w typowym ciele stałym jest równa około d = 0,3 nm. Znajdź temperaturę, poniżej której niezwiązane[26] elektrony w ciele stałym należy traktować zgodnie z mechaniką kwantową. Poniżej jakiej temperatury jądra atomów w ciele stałym należy traktować zgodnie z mechaniką kwantową? (Jako przykładu użyj krzemu).
Morał: wolne elektrony w ciele stałym zawsze należy traktować kwantowo, podczas gdy jądra zasadniczo nie. To samo dotyczy cieczy (dla których odstępy międzyatomowe są w przybliżeniu takie same), z wyjątkiem helu poniżej 4 K.
(b) Gazy. Dla jakich temperatur atomy w gazie doskonałym pod ciśnieniem p należy traktować kwantowo? Wskazówka: Wykorzystaj prawo dla gazu doskonałego ( p V = N kB T) do określenia odstępów międzyatomowych.
Odpowiedź: T < (1 / kB)(h2 / 3m)3/5 p2/5. Oczywiście, jeśli gaz ma zachowywać się kwantowo, to chcemy, by m była jak najmniejsza, a p tak duże, jak to możliwe. Podaj wartości dla helu pod ciśnieniem atmosferycznym. Czy wodór w przestrzeni kosmicznej (gdzie odstęp międzyatomowy wynosi około 1 cm, a temperatura wynosi co najmniej 3 K) należy traktować zgodnie z mechaniką kwantową? (Załóż, że jest to wodór zbudowany z pojedynczych atomów, a nie H2).
