Część I - Gwiazdy, planety i życie
1 - Rozmiary i skale Wszechświata
Neil deGrasse Tyson
Zaczniemy od gwiazd, następnie wkroczymy do Galaktyki, do Wszechświata i dalej. Co powiedział Buzz Astral w Toy Story? "Na koniec świata i jeszcze dalej".
Wszechświat jest duży. Zaczniemy od rozmiarów i skali kosmosu, który jest większy, niż się spodziewasz. Jest gorętszy, niż się spodziewasz. Jest rzadszy, niż się spodziewasz. Wszystko, co myślisz na temat Wszechświata, jest mniej egzotyczne niż rzeczywistość Wszechświata. Zanim zaczniemy, będziemy potrzebować trochę narzędzi, więc wybierzmy się na wycieczkę do krainy liczb, dużych i małych, aby rozbudować i poszerzyć twój słownik oraz wyrobić wyczucie rozmiarów obiektów, które napotkamy we Wszechświecie. Zacznijmy od liczby 1. Wszyscy ją dobrze znamy. W zwykłej notacji nie zawiera zer, ale jeżeli zapiszemy ją w postaci wykładniczej, to będzie dziesięć do potęgi zero, 100. Liczba dziesięć może oczywiście być zapisana jako 10 do pierwszej potęgi, 101. Weźmy teraz tysiąc - 103. Jaki przedrostek oznacza tysiąc? "Kilo-": kilogram - tysiąc gramów; kilometr - tysiąc metrów. Przeskoczmy o kolejne trzy zera, do miliona, 106, dla którego przedrostkiem jest "mega-". Czy była to największa liczba znana wynalazcom megafonu? Gdyby słyszeli o miliardzie, który powstaje przez dodanie kolejnych trzech zer, co daje 109, czy nazwaliby swój wynalazek "gigafon"? Jeżeli znasz się na rozmiarach plików na dysku swojego komputera, to znasz takie pojęcia jak "megabajt" i "gigabajt". Gigabajt to miliard bajtów1. Nie jestem pewien, czy wiesz jak duży jest miliard, więc rozejrzyjmy się wokół i poszukajmy czegoś, co się liczy w miliardach.
Po pierwsze, na świecie jest 7 miliardów ludzi.
Bill Gates? Ile jest wart? Gdy ostatnio sprawdzałem, był wart około 80 miliardów dolarów. Bill Gates jest patronem geeków; po raz pierwszy w historii ludzkości światem rządzą geeki. Nigdy wcześniej tak nie było. Czasy się zmieniają. Gdzie ostatnio widziałeś 100 miliardów? No cóż, niezupełnie 100 miliardów. McDonald's ogłosił: "Over 99 billion served"2. To największa liczba, jaką zapewne można zobaczyć na ulicy. Pamiętam, gdy zaczęli liczyć. Byłem jeszcze dzieckiem, gdy McDonald's obwieścił z dumą: "Over 99 billion served". Nigdy nie wyświetlili 100 miliardów. Zarezerwowali tylko dwie liczbowe pozycje w liczniku burgerów, więc musieli się zatrzymać na 99 miliardach. A potem sięgnęli po frazę z Carla Sagana i teraz piszą: "billions and billions served".
Weźmy 100 miliardów hamburgerów i ułóżmy je jeden za drugim. Zacznijmy od Nowego Jorku i idźmy na zachód. Czy dotrzemy do Chicago? Oczywiście. Czy dotrzemy do Kalifornii? Tak, oczywiście. Znajdźmy jakiś sposób, aby unosiły się na wodzie. W naszych obliczeniach zakładamy, że średnica (4 cale) dotyczy bułki, a nie samego hamburgera, który jest nieco mniejszy od bułki. Ułóżmy je teraz na wodzie, na powierzchni oceanu, wzdłuż koła wielkiego Ziemi. Przecinamy Pacyfik, Australię, Afrykę, a następnie Atlantyk i ostatecznie docieramy do Nowego Jorku, ułożywszy po drodze łańcuch hamburgerów. Ułożyliśmy wokół Ziemi całkiem sporo hamburgerów, ale jeszcze trochę nam ich zostało. Co możemy zrobić z tymi, które zostały? Wyruszamy ponownie w podróż dookoła Ziemi, układając hamburgery w drugi łańcuch. A potem trzeci. I znowu. Okrążamy Ziemię 216 razy! I nadal mamy spory zapas hamburgerów. Znudzeni 216 wycieczkami dookoła Ziemi zmieniamy kierunek i zaczynamy układać hamburgery jeden na drugim. Jak wysoko dojdziemy? Układając grube na 2 cale hamburgery jeden na drugim, dotrzemy do Księżyca i wciąż zostanie ich jeszcze sporo. Dopiero po 216 okrążeniach Ziemi, po wycieczce na Księżyc i po powrocie na Ziemię zużyjemy nasze 100 miliardów hamburgerów. To dlatego krowy tak się boją McDonald'sa. Dla porównania, Droga Mleczna liczy około 300 miliardów gwiazd, więc McDonald's ewidentnie wybiera się w kosmos.
Gdy masz 31 lat, 7 miesięcy, 9 godzin, 4 minuty i 20 sekund, mija miliardowa sekunda twojego życia. Gdy osiągnąłem ten wiek, uczciłem to butelką szampana. To była niewielka butelka. Nieczęsto zdarza nam się natrafić na miliard.
Idźmy dalej. Kto jest następny? Bilion: 1012. Dla biliona mamy przedrostek "tera-". Nie dasz rady policzyć do biliona. Możesz oczywiście spróbować, ale jeżeli co sekundę wypowiesz kolejną liczbę, bilion zajmie ci tysiąc razy 31 lat, czyli 31 tysięcy lat. Dlatego raczej nie polecam tego ćwiczenia, nawet w domu. Bilion sekund temu mieszkający w jaskiniach troglodyci malowali na ścianach swoich salonów rysunki, które obecnie badają archeolodzy.
W Rose Center of Earth and Space (Centrum Ziemi i Kosmosu w Muzeum Historii Naturalnej w Nowym Jorku) ułożona jest czasowa spirala Wszechświata, która zaczyna się od Wielkiego Wybuchu i rozwija się przez 13,8 miliarda lat. Gdyby ją rozwinąć, byłaby tak długa jak boisko piłkarskie. Każdy krok wzdłuż niej oznacza 50 milionów lat. Gdy dojdziesz do końca, możesz zapytać, gdzie my jesteśmy? Gdzie jest historia ludzkiego gatunku? Cały ten bilion sekund, od zamieszkujących jaskinie artystów po dzień dzisiejszy, zajmuje na spirali tyle miejsca, ile wynosi grubość ludzkiego włosa, który zresztą umieściliśmy na końcu spirali. Może nam się wydawać, że ludzkie życie jest długie, że cywilizacje trwają niezmiernie długo, ale nie w skali kosmosu.
Co dalej? 1015. Biliard, wraz z przedrostkiem "peta-". To jedna z moich ulubionych liczb. Zdaniem eksperta, Edwarda O. Wilsona, na Ziemi (i w niej) żyje od 1 do 10 biliardów mrówek.
Co dalej? 1018. Trylion, wraz z przedrostkiem "exa-". Mniej więcej tyle jest ziaren piasku na dziesięciu dużych plażach. Najsłynniejsza plaża na Ziemi, Copacabana w Rio de Janeiro, jest długa na 4,2 kilometra i była szeroka na 55 metrów, zanim ją poszerzono do 140 metrów, przywożąc i dosypując dodatkowe 3,5 miliona metrów sześciennych piasku. Przeciętna średnica ziaren piasku na poziomie morza na plaży Copacabana wynosi 1/3 milimetra, co daje 27 ziaren w milimetrze sześciennym. 3,5 miliona metrów sześciennych takiego piasku daje około 1017 ziaren, co obecnie stanowi większość piasku na plaży Copacabana, więc dziesięć plaż podobnych do Copacabany zawiera około 1018 ziaren.
Ponownie powiększmy naszą liczbę tysiąc razy i otrzymamy 1021, czyli tryliard. Przeszliśmy od kilometrów, megafonów, przez hamburgery w McDonald's, artystów Cro-Magnon, po mrówki i ziarna piasku na plaży, aż w końcu doszliśmy do tryliardów: 10 tryliardów gwiazd znajduje się w obserwowalnym Wszechświecie.
Ludzie, którzy uważają, że jesteśmy sami w tym kosmosie, nie mają pojęcia o rozmiarach Wszechświata i o liczbach, które są niezbędne, aby te rozmiary wyrazić. Później zajmiemy się tym, co rozumiemy przez pojęcie obserwowalny Wszechświat, czyli tę jego część, którą możemy zobaczyć.
Skoro jesteśmy przy liczbach, przeskoczmy jeszcze dalej. Weźmy liczbę znacznie większą od tryliarda, na przykład 1081. O ile mi wiadomo, ta liczba nie ma nazwy. Jest to liczba atomów w obserwowalnym Wszechświecie. Czy zatem potrzebujemy jeszcze większych liczb? Co takiego mogłyby one reprezentować? Na przykład 10100, ładna i okrągła liczba. Nazywa się googol. Nie należy jej mylić z Google, czyli firmą, która świadomie przekręciła słowo "googol".
Nie istnieją obiekty w obserwowalnym Wszechświecie, których zliczanie dałoby googol. To po prostu fajna liczba. Możemy ją zapisać jako 10100 albo jako 10^100. Nie możemy jej użyć do liczenia rzeczy, ale możemy w innych sytuacjach - nie liczymy rzeczy, lecz liczymy, na ile sposobów jakaś rzecz może się zdarzyć. Na przykład, na ile sposobów można rozegrać partię szachów. Partia szachów może zostać uznana za remis (pat) przez jednego z graczy: po trzykrotnym powtórzeniu tego samego ustawienia; gdy każdy gracz wykonał serię pięćdziesięciu posunięć bez ruchu pionkiem i bez zbicia figury przeciwnika; lub gdy na szachownicy nie ma dostatecznej liczby figur, aby dało się zrealizować szach-mat. Jeżeli założymy, że partia obowiązkowo kończy się remisem, gdy którykolwiek z powyższych warunków zostanie spełniony, to można policzyć liczbę możliwych partii szachów. Rich Gott to policzył i wyszła mu liczba nieco mniejsza niż 10^(10^4,4). To o wiele więcej niż googol, który wynosi zaledwie 10^(10^2). Jeżeli nie liczymy rzeczy, lecz liczymy, na ile sposobów coś może się zdarzyć, mogą się pojawić naprawdę duże liczby.
Mam w zanadrzu jeszcze większą liczbę. Jeżeli googol to jedynka, po której następuje sto zer, to co powiesz na liczbę 10 podniesioną do potęgi googol? Taka liczba ma nazwę googolplex. To jest jedynka, po której następuje googol zer. Czy da się ją zapisać? Niestety, nie. Potrzeba googol zer, a googol jest większy niż liczba atomów we Wszechświecie, więc musimy się zadowolić zapisem wykładniczym: 10googol, 1010^100 albo 10^(10^100). Jeżeli jesteś silnie zmotywowany, mógłbyś spróbować zapisać 1019 zer na wszystkich atomach we Wszechświecie, ale z pewnością masz lepsze rzeczy do zrobienia.
Nie robię tego po to, aby marnować twój czas. Mam w zanadrzu liczbę, która jest jeszcze większa niż googolplex. Jacob Bekenstein wyprowadził wzór, który pozwala oszacować maksymalną liczbę różnych stanów kwantowych, które mają masę i rozmiary porównywalne z naszym obserwowalnym Wszechświatem. Uwzględniając kwantowe rozmycie, byłaby to maksymalna liczba różnych obserwowalnych wszechświatów podobnych do naszego. Jest to 10^(10^124), liczba, która ma 1024 razy więcej zer niż googolplex. Wśród tych 10^(10^124) wszechświatów są takie, w których występują same czarne dziury, a także takie, które wyglądają dokładnie jak nasz, lecz w twoich nozdrzach brakuje jednej cząsteczki tlenu, a w nozdrzach mieszkańca jakiejś odległej planety jest jedna cząsteczka więcej.
Tak więc istnieją pożytki i zastosowania dla bardzo dużych liczb. Ja sam nie wiem, do czego mogłyby się przydać liczby jeszcze większe niż 10^(10^124), ale matematycy z pewnością to wiedzą.
Pewne twierdzenie zawiera liczbę 10^(10^(10^34)), zwaną liczbą Skewe'a. Matematycy lubią wybiegać myślami daleko poza fizyczne ograniczenia.
Zajmijmy się teraz innymi ekstremami we Wszechświecie.
Czym jest gęstość? Wszyscy intuicyjnie wiemy, co to jest gęstość, więc teraz przyjrzyjmy się różnym gęstościom w kosmosie. Na początek weźmy powietrze wokół nas. Wdychamy 2,5 × 1019 molekuł na centymetr sześcienny - w tym 78% stanowi azot, a 21% tlen.
Gęstość 2,5 × 1019 molekuł na centymetr sześcienny to zapewne więcej, niż się spodziewałeś. A teraz zobaczmy, jaka gęstość występuje w laboratoryjnej próżni. Potrafimy dzisiaj uzyskać laboratoryjną próżnię o gęstości około stu molekuł na centymetr sześcienny. A jak jest w przestrzeni międzyplanetarnej? Gęstość wiatru słonecznego w sąsiedztwie Ziemi wynosi około dziesięciu protonów na centymetr sześcienny. Gdy mówimy o gęstości w tym kontekście, mamy na myśli liczbę molekuł, atomów lub innych cząstek, z których składa się gaz (wiatr słoneczny składa się głównie z protonów). A jak jest w przestrzeni międzygwiezdnej? Jej gęstość zależy od konkretnego miejsca, ale istnieją obszary, gdzie gęstość spada do jednego atomu na centymetr sześcienny. W przestrzeni międzygalaktycznej gęstość jest jeszcze mniejsza: jeden atom na metr sześcienny.
Nawet w najlepszych laboratoriach nie potrafimy uzyskać takiej gęstości. Istnieje stare powiedzenie "natura nie znosi próżni". Jego autor zapewne nigdy nie opuścił powierzchni Ziemi, ponieważ w rzeczywistości natura wręcz kocha próżnię. Większość Wszechświata składa się z próżni. Słowo "natura" w powyższym stwierdzeniu odnosi się do tego szczególnego miejsca, w którym obecnie się znajdujemy, u podstawy warstwy powietrza zwanej atmosferą. Ziemskie powietrze rzeczywiście wypełnia każdą pustą przestrzeń, do której ma dostęp.
Załóżmy, że rozgniotę kawałek kredy do tablicy i podniosę mały kawałek. Niech to będzie okruszek o średnicy około milimetra. Wyobraźmy sobie teraz, że to jest proton. Czy wiesz, jaki jest najprostszy atom? Atom wodoru. Jądro wodoru stanowi jeden proton, a wokół jądra krąży jeden elektron. Gdyby proton miał rozmiary naszego okruszka kredy, to jak duży byłby atom wodoru? Czy byłby podobny do piłki plażowej? Byłby znacznie większy. Miałby średnicę 100 metrów, mniej więcej tyle, ile wynosi wysokość trzydziestopiętrowego wieżowca. Co to wszystko oznacza? Atomy są całkiem puste. Nie ma żadnych innych cząstek między protonem i tym samotnym elektronem krążącym wokół protonu po orbicie, która, jak wiemy z mechaniki kwantowej, ma kształt sfery wokół protonu. Przejdźmy teraz do jeszcze mniejszych rozmiarów, aż dojdziemy do kolejnej kosmicznej granicy, reprezentowanej przez obiekty tak małe, że nawet nie potrafimy ich zmierzyć. Nie wiemy, jakie są rozmiary elektronu, ponieważ jest mniejszy niż cokolwiek, co umiemy zmierzyć. Teoria superstrun sugeruje, że elektron jest maleńką, drgającą struną o długości 1,6 × 10-35 metra.
Atomy mają rozmiary około 10-10 (jeden do dziesięciu miliardów) metra. Jeszcze mniejsze rozmiary (10-12-10-13) ma jon uranu z jednym elektronem na orbicie, a także egzotyczna forma wodoru, w której elektron został zastąpiony przez swojego cięższego kuzyna, zwanego mionem. Taki wodór jest około dwustu razy mniejszy od normalnego atomu wodoru, jego czas życia wynosi zaledwie około 2,2 mikrosekundy, ponieważ mion ulega spontanicznemu rozpadowi. Dopiero gdy zejdziemy do rozmiarów rzędu 10-14-10-15 metra, będziemy mieli do czynienia z rozmiarami jąder atomowych.
A teraz przejdźmy do większej gęstości. Jak gęste jest Słońce? Bardzo gęste w środku, lecz znacznie mniej gęste w pobliżu powierzchni. Średnia gęstość Słońca wynosi około 1,4 gęstości wody. A gęstość wody znamy: 1 gram na centymetr sześcienny. W samym środku gęstość Słońca wynosi 160 gramów na centymetr sześcienny. Pod względem gęstości nasze Słońce jest dość zwyczajną gwiazdą, lecz istnieją gwiazdy, które potrafią się zachowywać zdumiewająco - niektóre rozszerzają się i osiągają bardzo niską gęstość, inne zapadają się i stają się bardzo małe oraz bardzo gęste. Przypomnijmy sobie nasz okruszek kredy, reprezentujący proton, oraz otaczającą proton pustą przestrzeń, w której krąży samotny elektron. Istnieją we Wszechświecie procesy, które zgniatają materię gwiazdy tak mocno, że osiąga ona gęstość jądra atomowego. Każde jądro w takiej gwieździe styka się policzkiem z policzkami sąsiednich jąder. Obiekty o tak wyjątkowych cechach - względnie małe i supergęste - są zbudowane głównie z neutronów.
Astronomowie mają skłonność do nazywania rzeczy takimi, jakie są. Duże czerwone gwiazdy są nazywane czerwonymi olbrzymami. Małe białe gwiazdy to białe karły. Gdy gwiazda jest zbudowana z neutronów, nazywamy ją gwiazdą neutronową. Gwiazdy, które pulsują, nazywają się pulsarami. Biolodzy wymyślają długie łacińskie nazwy. Lekarz zapisuje receptę hieroglifami, których pacjent wprawdzie nie rozumie, lecz wręcza receptę farmaceucie. Farmaceuta potrafi odcyfrować receptę, a następnie instruuje nas, kiedy i jak mamy połykać związek chemiczny o długiej, równie niezrozumiałej nazwie. Nazwa najbardziej popularnej molekuły w biochemii składa się z jedenastu sylab: kwas deoksyrybonukleinowy! Ale początek całej przestrzeni, czasu, materii i energii w kosmosie potrafimy opisać dwoma prostymi słowami: Wielki Wybuch. Zajmujemy się nauką, w której królują monosylaby, ponieważ Wszechświat jest dostatecznie złożony i trudny do zrozumienia. Nie ma powodów, aby jeszcze dodatkowo sobie utrudniać życie przez stosowanie wielkich słów.
Chcesz więcej? Istnieją miejsca we Wszechświecie, gdzie grawitacja jest tak silna, że światło nie może się z nich wydostać. Jeżeli tam wpadniesz, to też się nie wydostaniesz. To czarne dziury. Proste, dwusylabowe słowa. Przepraszam, ale musiałem to zrzucić z siebie.
Jak gęsta jest gwiazda neutronowa? Weźmy naparstek materii gwiazdy neutronowej. Niegdyś ludzie szyli ubrania ręcznie, za pomocą igły. Naparstek chronił palce przez ukłuciem igłą. Aby uzyskać gęstość gwiazdy neutronowej, należy stado 100 milionów słoni zmieścić w tym naparstku. Innymi słowy, jeżeli umieścisz 100 milionów słoni na jednej szalce wagi, a naparstek materii gwiazdy neutronowej na drugiej szalce, to się zrównoważą. Całkiem gęsta ta gwiazda. Grawitacja gwiazdy neutronowej jest również bardzo silna. Jak bardzo? Zejdźmy na jej powierzchnię i sprawdźmy.
Jedna z metod pomiaru grawitacji polega na sprawdzeniu, ile energii potrzeba, aby coś podnieść. Jeżeli grawitacja jest silna, potrzeba więcej energii. Wchodząc schodami na pierwsze piętro, zużywam pewną ilość energii, która mieści się w granicach moich energetycznych rezerw. Wyobraźmy sobie jednak wysoki na 20 tysięcy kilometrów klif na hipotetycznej planecie, gdzie grawitacja jest podobna do ziemskiej. Ile energii zużyjesz, wspinając się wzdłuż pionowej ściany klifu od podnóża do szczytu? Będziesz musiał skonsumować pokaźną liczbę energetyzujących batoników lub jakichś innych wysokokalorycznych, łatwo przyswajalnych produktów. Wspinając się w dość szybkim tempie 100 metrów na godzinę, przez 24 godziny na dobę, spędzisz na tym klifie ponad 22 lata. Tyle samo energii będziesz potrzebował, aby na powierzchni gwiazdy neutronowej wspiąć się tak wysoko, ile wynosi grubość kartki papieru. Gwiazdy neutronowe prawdopodobnie nie są siedliskiem życia.
Przeszliśmy od jednego protonu na metr sześcienny do 100 milionów słoni w jednym naparstku. O czym jeszcze nie mówiliśmy? O temperaturze. Zacznijmy od gorących okolic. Na powierzchni Słońca temperatura wynosi około 6 tysięcy kelwinów (6000 K). W takiej temperaturze wszystko zamienia się w gaz, dlatego Słońce jest wielką kulą gazu (dla porównania, średnia temperatura na powierzchni Ziemi wynosi zaledwie 287 K).
A jaka temperatura panuje we wnętrzu Słońca? Jak łatwo się domyślić, w środku jest cieplej niż na powierzchni - istnieją na to przekonujące dowody, jak zobaczymy w dalszej części tej książki. W centrum Słońca jest około 15 milionów kelwinów. W takiej temperaturze dzieją się zdumiewające rzeczy. Protony poruszają się bardzo szybko. W normalnych warunkach dwa protony się odpychają, ponieważ mają taki sam (dodatni) ładunek. Jeżeli jednak poruszają się dostatecznie szybko, mogą przezwyciężyć odpychającą siłę i zbliżyć się do siebie na tak małą odległość, że włączy się całkiem inna siła - oprócz elektrostatycznej siły odpychającej pojawi się także siła przyciągająca, która działa na bardzo małych odległościach. Jeżeli dwa protony znajdą się w zasięgu tej siły, to się połączą. Ta siła ma swoją nazwę - oddziaływanie silne. Tak, to jest oficjalna nazwa siły jądrowej, która jest odpowiedzialna za wiązanie protonów i powstawanie nowych pierwiastków, na przykład za przekształcanie wodoru w hel. Głęboko w swoich wnętrzach gwiazdy produkują pierwiastki cięższe od tych, z którymi się narodziły. Więcej na ten temat opowiemy w rozdziale 7.
No to teraz się ochłodzimy. Jaka jest temperatura całego Wszechświata? Wszechświat rzeczywiście ma temperaturę jako pozostałość po Wielkim Wybuchu. 13,8 miliarda lat temu cała przestrzeń, czas, energia i materia, jaką obecnie widzimy, była skupiona w jednym miejscu. Rodzący się Wszechświat był gorącym kotłem materii i energii. Kosmiczna ekspansja schłodziła Wszechświat do około 2,7 K.
Wszechświat nadal się rozszerza. Jakkolwiek niepokojąco to zabrzmi, podróżujemy bez biletu powrotnego. Narodziliśmy się w Wielkim Wybuchu i będziemy się zawsze rozszerzać. Temperatura będzie się obniżać, osiągając 2 K, następnie 1 K, następnie 1/2K, asymptotycznie dążąc do absolutnego zera. Ostatecznie, ze względu na efekt odkryty przez Stephena Hawkinga (Rich opowie o tym w rozdziale 24) temperatura może osiągnąć około 7 × 10-31, lecz to żadna pociecha. Gwiazdy wypalą całe swoje termojądrowe paliwo i stopniowo wymrą, znikając po kolei z nieba. Nowe gwiazdy wciąż powstają z międzygwiezdnych obłoków, więc zapasy gazu w obłokach nieustannie się zmniejszają. Gwiazdy powstają z gazu, żyją, ewoluują i zostawiają po sobie końcowe produkty gwiezdnej ewolucji: czarne dziury, gwiazdy neutronowe, białe karły. To potrwa tak długo, aż wszystkie światła w Galaktyce zgasną, jedno po drugim. Galaktyka gaśnie. Wszechświat gaśnie. Zostaną tylko czarne dziury, emitujące słabiutkie promieniowanie - również odkryte przez Stephena Hawkinga.
I kosmos się skończy, ale nie wybuchem, lecz piskiem.
Na długo przed tym, zanim wymrze cały kosmos, taki sam los spotka nasze Słońce. Początkowo spuchnie, i to tak, że nikt nie chciałby być w pobliżu. Gdy Słońce umiera, skomplikowane procesy termiczne w jego wnętrzu powodują, że zewnętrzna powłoka się rozszerza. Słońce staje się większe, coraz większe, stopniowo zajmując coraz większy obszar w polu widzenia, a rozszerzając się, pochłonie Merkurego, a następnie także Wenus. Za 5 miliardów lat Ziemia będzie nadpalonym węgielkiem krążącym tuż nad powierzchnią Słońca. Oceany wyparują dużo wcześniej, atmosfera zostanie rozgrzana do takiej temperatury, że wszystkie atmosferyczne cząstki uciekną w przestrzeń. Życie w takiej formie, w jakiej je znamy, przestanie istnieć. Za mniej więcej 7,6 miliarda lat Ziemia wpadnie w atmosferę Słońca i wyparuje.
Miłego dnia!
W tym rozdziale starałem się przedstawić potęgę i rozmiary zjawisk, o których jest ta książka. W kolejnych rozdziałach wszystko to zostanie przedstawione bardziej dogłębnie i szczegółowo. Witaj we Wszechświecie.
2 - Od dziennego i nocnego nieba do planetarnych orbit
Neil deGrasse Tyson
Niniejszy rozdział obejmuje 3 tysiące lat astronomii. Począwszy od starożytności, Babilonii, aż po XVII wiek. Nie będzie to jednak lekcja historii. Nie będę szczegółowo omawiał, kto co odkrył i kto pierwszy coś wymyślił. Chcę tylko opisać, czego ludzkość nauczyła się przez cały ten czas, począwszy od zjawisk widocznych na nocnym niebie.
Oto Słońce (il. 2.1). Obok niego narysujmy Ziemię; ilustracja nie jest w skali, ani w sensie rozmiarów, ani odległości, ma jedynie przedstawić pewne cechy układu Słońce-Ziemia. Gwiazdy są oczywiście znacznie dalej. Na razie zakładamy, że są tylko światłami na niebie, wewnątrz dużej sfery, co pozwoli uprościć opis innych rzeczy.
Ziemia, jak zapewne wiesz, obraca się wokół osi, a oś jest nachylona względem płaszczyzny orbity wokół Słońca. Kąt nachylenia wynosi 23,5o. Ile czasu zajmuje jeden obrót wokół osi? Jeden dzień. Ile czasu zajmuje jeden obrót wokół Słońca? Jeden rok. Trzydzieści procent Amerykanów udzieliło błędnej odpowiedzi na drugie pytanie.
Ilustracja 2.1. Ziemia okrąża Słońce, więc w różnych porach roku widzimy inny obraz nocnego nieba. Ze względu na nachylenie osi Ziemi względem orbity, 21 czerwca więcej promieni słonecznych pada na półkulę północną niż na południową. 21 grudnia ludzie mieszkający na południe od antarktycznego koła polarnego widzą dzienne światło przez pełne 24 godziny, krążąc wraz z Ziemią wokół jej osi
Credit: J. Richard Gott
Wirujący w przestrzeni obiekt jest w istocie dość stabilny. Krążąc wzdłuż orbity wokół Słońca, Ziemia cały czas zachowuje swoją orientację w przestrzeni. Jeżeli przesuniemy Ziemię od położenia 21 czerwca do położenia 21 grudnia (na prawo na il. 2.1), jej oś będzie nadal utrzymywać ten sam kierunek w przestrzeni. Orientacja osi nie zmienia się w trakcie całej podróży wokół Słońca, co ma interesujące konsekwencje. Na przykład 21 czerwca pionowa linia, prostopadła do płaszczyzny ziemskiej orbity, dzieli Ziemię na dzień i noc. Co możemy powiedzieć na temat tej części Ziemi na lewo od owej linii, dalej od Słońca? Tam jest noc. Lecz 21 grudnia, gdy Ziemia znajduje się na przeciwnym końcu orbity, noc jest po przeciwnej stronie - na prawo od linii na ilustracji. Mieszkańcy Ziemi, którzy spoglądają w nocy na niebo, widzą tylko tę część nieba, która znajduje się po przeciwnej stronie względem Słońca. 21 czerwca nocne niebo jest inne (gwiazdy po lewej stronie) niż nocne niebo 21 grudnia (gwiazdy po prawej stronie). W letnie noce widzimy na niebie "letnie" konstelacje, takie jak Krzyż Północy (Łabędź), Lira, natomiast w zimie widzimy "zimowe" konstelacje, takie jak Orion i Taurus (Byk).
Przeskoczmy teraz na półkulę południową. 21 grudnia na prawo od pionowej linii jest noc. Ktoś, kto stoi na Antarktydzie, na południe od antarktycznego koła podbiegunowego, wraz z całą Antarktydą krąży wokół bieguna południowego. A co widzi? Czy widzi nocne niebo? Nie. 21 grudnia dzień trwa tam 24 godziny - przez 24 godziny świeci Słońce - w trakcie pełnego obrotu Ziemi wokół osi. W tym dniu nie ma nocy dla nikogo, kto znajduje się wewnątrz antarktycznego koła podbiegunowego. Na takiej samej zasadzie, jeżeli wybierzemy się w okolice bieguna północnego, zobaczymy, że mieszkańcy arktycznego koła podbiegunowego - Święty Mikołaj i jego renifery - krążą wokół bieguna północnego i nigdy nie znajdą się w dziennej strefie Ziemi. 21 grudnia noc trwa u nich 24 godziny. Jak łatwo odgadnąć, 21 czerwca jest na odwrót: mieszkańcy Antarktyki nie mają wtedy dnia, a mieszkańcy Arktyki nie mają nocy.
A teraz spójrzmy na niebo z Princeton w stanie New Jersey - blisko Nowego Jorku, ale nie ma tu wieżowców ani innych miejskich źródeł mocnego światła, które mogłoby utrudnić nocne obserwacje. Szerokość geograficzna Princeton wynosi około 40o. O świcie 21 czerwca obracająca się półkula północna przenosi stan New Jersey w strefę dnia. Tego dnia światło słoneczne na półkuli północnej pada pod większym kątem względem powierzchni ziemi niż na półkuli południowej.
Gdy Słońce osiąga najwyższy punkt na niebie, mówimy, że jest południe. Czy wiesz, że w kontynentalnej części Stanów Zjednoczonych Słońce nigdy nie znajduje się wprost nad naszymi głowami? W dowolnej porze dnia, w dowolnej porze roku nigdy nie zaświeci nam pionowo z góry. Ale gdy zagadniesz kogoś na ulicy i zapytasz "gdzie jest Słońce w południe?", większość ludzi odpowie "wprost nad głową". Czy to nie jest dziwne? W tym i w podobnych przypadkach ludzie po prostu powtarzają coś, co wydaje im się prawdziwe, zdradzając tym samym, że nigdy nie spojrzeli w górę i nie sprawdzili. Nigdy nie przekonali się na własne oczy. Nigdy nie przeprowadzili eksperymentu. Świat jest pełen takich rzeczy. Na przykład, co mówimy zazwyczaj na temat długości dnia w zimie? "W zimie dzień jest coraz krótszy, w lecie jest coraz dłuższy". Pomyślmy. Który dzień w roku jest najkrótszy? To 21 grudnia, dzień przesilenia zimowego i zarazem pierwszy dzień zimy na półkuli północnej. Skoro pierwszy dzień zimy jest najkrótszym dniem roku, to co z pozostałymi dniami zimy? Muszą być coraz dłuższe. W zimie dni są coraz dłuższe, a nie coraz krótsze. Nie potrzeba doktoratu ani grantu od Narodowego Centrum Nauki, aby to odkryć. Pora dzienna wydłuża się w zimie, a skraca się w lecie.
Która gwiazda nocnego nieba jest najjaśniejsza? Mówi się, że Gwiazda Północna. Czy kiedykolwiek popatrzyłeś w górę, aby to sprawdzić? Większość ludzi nie sprawdziła i nie wie. Gwiazda Północna (znana także jako Polaris) nie jest w pierwszej dziesiątce. Nie jest także w pierwszej dwudziestce. Nie jest w pierwszej trzydziestce. Nie jest nawet w pierwszej czterdziestce. Gwiazda Północna jest dopiero czterdziesta piąta pod względem jasności na nocnym niebie. zrób mi więc tę przysługę, zaczepiaj ludzi na ulicy, zadaj im to pytanie, a następnie oświeć ich. Jeśli sam nie wiesz, najjaśniejszą gwiazdą jest Syriusz, czyli Psia Gwiazda.
Australia jest zbyt daleko na południu, aby ktoś stamtąd mógł dojrzeć Gwiazdę Północną. Nie mają tam także Gwiazdy Południowej. A skoro już porównujemy półkule, nie mamy powodu, aby zazdrościć półkuli południowej. Weźmy pod uwagę Krzyż Południa. Na pewno o nim słyszałeś. Ludzie piszą o nim piosenki. Ale czy wiesz, że jest to najmniejsza ze wszystkich osiemdziesięciu ośmiu konstelacji? Zaciśnięta pięść wyciągnięta na długość ręki zasłania całkowicie całą konstelację. Poza tym cztery najjaśniejsze gwiazdy Krzyża Południa tworzą rodzaj koślawego pudełka. Nie ma gwiazdy, która stanowiłaby środek krzyża. Bardziej adekwatne byłoby określenie "Romb Południa". Dla porównania, Krzyż Północy (Łabędź) obejmuje około dziesięciu razy większy obszar nieba i ma sześć wyraźnie widocznych gwiazd - wygląda jak krzyż, z jedną gwiazdą w środku. Na półkuli północnej mamy sporo wielkich konstelacji.
Porównajmy teraz promienie słoneczne w dwóch różnych miejscach na Ziemi. W południe 21 czerwca w Princeton promienie słoneczne padają na powierzchnię Ziemi pod bardzo dużym kątem. Na ilustracji 2.1 dwa równoległe promienie padają w Princeton na dwa punkty położone w niewielkiej odległości od siebie. Takie same dwa promienie w Sydney, w Australii, padają na powierzchnię Ziemi pod mniejszym kątem i trafiają na dwa punkty nieco bardziej oddalone od siebie. Co tu się dzieje? W którym mieście powierzchnia ziemi jest skuteczniej ogrzewana przez promieniowanie Słońca? Oczywiście w Princeton. Ze względu na kąt padania energia promieniowania słonecznego jest bardziej skoncentrowana, dzięki czemu powierzchnia ziemi w Princeton jest gorętsza. 21 czerwca w Princeton jest lato, a w Sydney zima. Sześć miesięcy później, 21 grudnia, będzie odwrotnie.
Słońce ogrzewa ziemię, ziemia ogrzewa powietrze. Słońce nie nagrzewa powietrza bezpośrednio, ponieważ powietrze jest przezroczyste dla większości promieniowania słonecznego docierającego do powierzchni Ziemi. Energia promieniowania słonecznego osiąga maksimum w widzialnej części widma. Słońce jest dobrze widoczne przez warstwę atmosfery, z czego wynika dość oczywisty fakt, że atmosfera nie absorbuje widzialnego promieniowania Słońca. W przeciwnym razie w ogóle nie widzielibyśmy Słońca. Jeżeli siedzisz w zamkniętym pomieszczeniu bez okien, nie widzisz Słońca, ponieważ dach budynku absorbuje widzialne światło Słońca. Aby je zobaczyć, musisz spojrzeć przez przezroczyste okno lub wyjść na zewnątrz. Podsumowując, sekwencja jest następująca. Światło słoneczne przenika przez przezroczystą atmosferę i trafia w ziemię. Ziemia absorbuje światło słoneczne, a następnie oddaje tę energię w postaci niewidocznego promieniowania podczerwonego, które z kolei może być i jest absorbowane przez atmosferę. Więcej o widmie promieniowania powiemy w rozdziale 4.
Grunt absorbuje widzialne światło słoneczne, nagrzewa się, a następnie emituje część energii w postaci promieniowania podczerwonego i nagrzewa powietrze. To nie następuje natychmiast. Cały ten proces trochę trwa. Jak długo? Kiedy jest najgorętsza pora dnia? Bynajmniej nie w południe. Wtedy jest maksimum nagrzewania ziemi. Najgorętsza pora dnia nigdy nie jest w południe, lecz kilka godzin później: o drugiej, o trzeciej, w niektórych miejscach nawet o czwartej po południu.
Gdy biegun północny na ziemskiej osi przechyla się w kierunku Słońca, na półkuli północnej jest lato, a na południowej zima. Najgorętsza pora dnia następuje po godzinie 12 w południe i z tego samego powodu najgorętszy dzień na półkuli północnej następuje po 21 czerwca. Letni sezon zaczyna się 21 czerwca, a później jest jeszcze cieplej. Na tej samej zasadzie 21 grudnia jest początek zimy na półkuli północnej, a później jest zimniej.
Trzy miesiące później, 21 marca, zaczyna się wiosna. W pierwszym dniu wiosny (21 marca) i w pierwszym dniu jesieni (21 września) w trakcie dobowego obrotu Ziemi każdy zakątek planety trafia zarówno do strefy dziennej, jak i do nocnej. W te dwa dni (dni równonocy) w każdym miejscu Ziemi dzień i noc trwa tyle samo - połowę doby.
Północny koniec osi Ziemi celuje w kierunku Gwiazdy Północnej, Polaris. Kosmiczna koincydencja? Niezupełnie, ponieważ w rzeczywistości oś Ziemi nie trafia dokładnie w Gwiazdę Północną. Można zmieścić 1,3 szerokości Księżyca między Gwiazdą Północną a dokładnym punktem (północnym biegunem niebieskim), przez który przechodzi przedłużenie ziemskiej osi.
Powróćmy do Princeton. Patrząc w nocy na niebo, widzisz gwiazdy znajdujące się po jednej stronie nieba, jak widać na ilustracji 2.2. Te gwiazdy są oznaczone jako "gwiazdy widoczne nad horyzontem w Princeton". Sam horyzont jest narysowany jako linia styczna do powierzchni Ziemi w miejscu, w którym stoisz. W miarę dobowego obrotu Ziemi można zobaczyć, jak gwiazdy okrążają Gwiazdę Północną (po prawej stronie na il. 2.2). Sama Gwiazda Północna jest tak blisko północnego bieguna niebieskiego, że prawie się nie porusza. Wokół niej istnieje kołowa strefa, w której gwiazdy okrążają Gwiazdę Północną i nigdy nie chowają się za horyzontem. Są to tak zwane gwiazdy okołobiegunowe.
Popatrzmy teraz na jakąś gwiazdę położoną nieco dalej, poza strefą okołobiegunową. Ta gwiazda zachodzi, a następnie wschodzi i idzie w górę nieboskłonu. Tak wygląda niebo z powierzchni Ziemi. Jeden z dobrze widocznych asteryzmów (układów gwiazd tworzących pewien wzór), to Wielki Wóz, znany głównie dlatego, że składa się z jasnych gwiazd, jest położony w pobliżu Gwiazdy Północnej, krąży wokół niej, a jego tylne koła wskazują Gwiazdę Północną. W Princeton Wielki Wóz nigdy nie zachodzi. Ślizga się w pobliżu horyzontu, a następnie wznosi się do góry. Zachodzą wszystkie gwiazdy, które są dalej od Gwiazdy Północnej niż Wielki Wóz. Pod jakim kątem Gwiazda Północna jest widoczna w Princeton? Możemy to zbadać. Załóżmy najpierw, że odwiedzamy Świętego Mikołaja na biegunie północnym. Gdzie jest Gwiazda Północna na niebie? Jeżeli jesteś na biegunie północnym, Gwiazda Północna jest niemal dokładnie nad głową. Zawsze jest dokładnie nad głową. Jakaś inna gwiazda, położona w połowie drogi między biegunem niebieskim a horyzontem, okrąża Gwiazdę Północną, zawsze pozostając na tej samej wysokości nad horyzontem. Kolejna gwiazda, położona tuż nad horyzontem, okrąża Gwiazdę Północną wzdłuż horyzontu. Żadna gwiazda nie wschodzi, żadna nie zachodzi; wszystkie okrążają Gwiazdę Północną i wszystkie są cały czas widoczne. Święty Mikołaj widzi całą północną sferę niebieską.
Ilustracja 2.2. Widok nocnego nieba w Princeton (40o szerokości geograficznej północnej). Gwiazda Północna pozostaje na wysokości 40o nad horyzontem, a Wielki Wóz krąży wokół niej w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara
Credit: J. Richard Gott
Jaka jest szerokość geograficzna bieguna północnego? Dziewięćdziesiąt stopni. Jaka jest wysokość Gwiazdy Północnej nad horyzontem z punktu widzenia bieguna północnego? 90o - ta sama liczba. To nie przypadek. Gwiazda Północna jest na wysokości 90o i biegun północny jest na szerokości geograficznej 90o. Przenieśmy się na równik. Jaka jest szerokość geograficzna równika. Zero stopni. Gwiazda Północna jest teraz na horyzoncie - 0o. Jaka jest szerokość geograficzna Princeton? Czterdzieści stopni. Zatem w Princeton Gwiazda Północna jest na wysokości 40° nad horyzontem.
Żeglarze, którzy nawigują według gwiazd, wiedzą, że wysokość Gwiazdy Północnej nad horyzontem jest równa szerokości geograficznej ich statku. Krzysztof Kolumb postawił żagle na ustalonej szerokości geograficznej, którą utrzymywał przez całą swoją podróż przez Atlantyk. Przyjrzyj się jego mapom. Nawigował w taki sposób, że cały czas utrzymywał Gwiazdę Północną na tej samej wysokości nad horyzontem, dzięki czemu jego statek wciąż znajdował się na tej samej szerokości geograficznej.
Czy bawiłeś się bąkiem, gdy byłeś dzieckiem? Widziałeś, jak się kołysze? Ziemia też się kołysze (w astronomii nazywa się to precesją). Nasza planeta jest wirującym bąkiem odczuwającym grawitacyjne oddziaływanie Słońca i Księżyca. Ziemia wiruje wokół swej osi, a oś ulega precesji. Jeden pełny okres precesji trwa 26 tysięcy lat. Obracamy się raz na dobę, a precesujemy raz na 26 tysięcy lat, co ma interesujące konsekwencje. Po pierwsze, rozważmy gwiezdną sferę, którą narysowałem wokół Układu Słonecznego. W miarę jak Ziemia porusza się wokół Słońca, Słońce przesuwa się w coraz to inne położenie na tle gwiazd. 21 czerwca Słońce znajduje się między nami a gwiazdami z prawej strony na ilustracji 2.1, co oznacza, że Słońce widziane z Ziemi przechodzi 21 czerwca na tle tych gwiazd. Natomiast 21 grudnia Słońce znajduje się między nami a gwiazdami z lewej strony na ilustracji 2.1. W innych porach roku Słońce przemieszcza się na tle jeszcze innych układów gwiazd, w miarę jak okrąża niebo. W dawnych czasach, gdy większość ludzi była niepiśmienna, gdy nie było telewizji, książek ani Internetu, nasza kultura rozwijała się na niebie. Niebiosa miały istotne znaczenie w życiu naszych przodków. Ludzki umysł jest bardzo wprawny w poszukiwaniu regularności, kształtów i wzorców, nawet tam, gdzie ich nie ma. Łatwo dostrzega regularności i wzorce w przypadkowym układzie kropek, mówiąc nam: "widzę tu układ". Spróbuj wykonać taki eksperyment: jeżeli umiesz programować komputer, weź około tysiąca kropek i umieść je na stronie w całkowicie losowy sposób. Przyjrzyj się im, a po chwili pomyślisz: "hej, widzę tu... Abrahama Lincolna!". Zobaczysz kształty. Na podobnej zasadzie antyczne ludy, nie wiedząc i nie rozumiejąc mechaniki nieba, dostrzegały na niebie rozmaite wzorce, tworząc w ten sposób swoją kulturę. Nie znając praw fizyki, nie rozumiejąc ruchów planet, mogli myśleć: "Hmm! Niebo jest większe ode mnie - z pewnością wywiera na mnie wpływ". Spoglądając na nocne niebo, mogli dojść do wniosku: "Tu widać układ gwiazd, który wygląda jak skorupiak; ma pewne cechy osobowości; Słońce było w tej części nieba, gdy się urodziłeś. To musi mieć jakiś związek z faktem, że jesteś takim dziwakiem. Tu widzimy jakieś ryby, a tam bliźnięta. Nie mamy HBO, więc stwórzmy swoje własne baśnie i przekazujmy je z pokolenia na pokolenie". W taki sposób antyczne cywilizacje stworzyły zodiak, zbiór konstelacji, na tle których Słońce przemieszcza się w ciągu roku.
Mamy dwanaście konstelacji; znasz je wszystkie - Waga, Skorpion, Baran i tak dalej. Znasz je, ponieważ pojawiają się niemal codziennie w mediach. Osoba, której nigdy nie spotkałeś, zarabia na swoje życie, opowiadając ci o twoim życiu, o miłości i o przyszłości. Spróbujmy to zrozumieć. Po pierwsze, Słońce nie porusza się na tle dwunastu konstelacji. W rzeczywistości jest ich trzynaście. Nie mówią ci tego, ponieważ nie zarobiliby na tobie żadnych pieniędzy. Czy wiesz, jak nazywa się trzynasta konstelacja zodiaku? Wężownik. Łacińska nazwa, Ophiuchus, brzmi jak choroba zakaźna; ktoś mógłby zapytać: "Masz dziś Ophiuchusa?". Wiem, że wiesz, jaki jest twój znak, więc nie kłam i nie mów: "Nigdy nie czytam horoskopów". Większość Skorpionów to w rzeczywistości Ophiuchusy, lecz nie znajdziesz Ophiuchusa w tablicach astrologicznych.
Poświęćmy jeszcze minutę temu zagadnieniu. Kiedy ustanowiono znaki zodiaku? Dwa tysiące lat temu. Klaudiusz Ptolemeusz opublikował mapy zodiaku. Dwa tysiące lat to jest 1/13 z 26 tysięcy lat. Oś Ziemi precesuje, więc jeżeli 2 tysiące lat temu Słońce było widoczne na tle jakiejś konkretnej konstelacji (np. Skorpiona) w określonym miesiącu (np. w październiku), to po upływie owych 2 tysięcy lat uległo przesunięciu o 1/13 całego rocznego obrotu. A 1/13 to niewiele mniej niż 1/12, więc każdy znak zodiaku, któremu w gazetach są przypisane określone daty, jest przesunięty prawie o miesiąc. W rezultacie Skorpiony i Ophiuchusy to obecnie są Wagi.
Na tym polega ogromna waga edukacji. Zdobywasz wiedzę o tym, jak działa Wszechświat. Jeżeli nie potrafisz ocenić, czy inni ludzie wiedzą, o czym mówią, twoje pieniądze niepotrzebnie płyną do ich kieszeni. Antropologowie i socjolodzy mówią, że loterie państwowe to jest forma podatku nakładana na ubogich. Niezupełnie. To jest podatek nakładany na ludzi, którzy nie przykładali się w szkole do matematyki. Gdyby się przyłożyli, to wiedzieliby, że rachunek prawdopodobieństwa działa przeciwko nim i nie wydaliby ani centa, ani grosza na kupony totolotka.
Celem tej książki jest edukacja. Plus pewna dawka kosmicznego oświecenia.
Porozmawiamy teraz o Księżycu, potem przejdziemy do Johannesa Keplera, a następnie do Isaaca Newtona, mojego bohatera, którego dom odwiedziłem w trakcie filmowania Cosmos: A Spacetime Odyssey.
Mamy zatem Ziemię krążącą wokół Słońca oraz Księżyc krążący wokół Ziemi, jak widać na ilustracji 2.3. Słońce umieściliśmy w dużej odległości z prawej strony, Ziemię w środku ilustracji, a Księżyc w kilku różnych położeniach wokół Ziemi. Patrzymy wzdłuż osi księżycowej orbity, a światło słoneczne pada z prawej strony.
Zarówno Ziemia, jak i Księżyc są częściowo (mniej więcej w połowie) oświetlone przez Słońce. W każdym momencie połowa Ziemi jest oświetlona, a połowa jest w cieniu, i podobnie Księżyc. Jeżeli stoisz na Ziemi i widzisz Księżyc, który znajduje się po przeciwnej stronie niż Słońce, to co widzisz? W jakiej fazie jest Księżyc? W pełni. Powiększone obrazy Księżyca na ilustracji 2.3 pokazują, w jaki sposób Księżyc jest widoczny z Ziemi w poszczególnych punktach swojej orbity.
Ilustracja 2.3. Fazy Księżyca w trakcie ruchu wokół Ziemi. Słońce, po prawej, zawsze oświetla połowę Ziemi i połowę Księżyca. Diagram ilustruje sekwencję (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) położeń Księżyca w trakcie jego ruchu wokół Ziemi, z punktu widzenia obserwatora położonego na północ od płaszczyzny orbity. Księżyc jest zawsze skierowany tą samą stroną do Ziemi. Zwróć uwagę, że w nowiu oświetlona jest tylna strona Księżyca, której nigdy nie widzimy z Ziemi. Duże fotografie pokazują wygląd Księżyca obserwowanego z Ziemi w poszczególnych położeniach
Photo credit: Robert J. Vanderbei
Dlaczego co miesiąc nie obserwujemy zaćmienia Księżyca, wtedy gdy Ziemia znajduje się między Słońcem a Księżycem? Ponieważ orbita Księżyca wokół Ziemi jest nachylona około 5o względem orbity Ziemi wokół Słońca. Zatem gdy Księżyc znajduje się w pełni, zazwyczaj przechodzi na północ albo na południe od cienia Ziemi. Od czasu do czasu zdarza się jednak, że Księżyc w pełni przecina płaszczyznę orbity Ziemi, przechodząc przez cień Ziemi, i wtedy obserwujemy zaćmienie Księżyca.
Pozwólmy zatem Księżycowi kontynuować jego podróż wzdłuż orbity o kolejne 90o, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, aż znajdzie się w położeniu zwanym trzecią kwadrą, kolokwialnie zwaną półksiężycem - widzimy wtedy połowę tarczy Księżyca. Po przebyciu kolejnych 90o (wciąż przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) Księżyc przechodzi między Słońcem a Ziemią. Oświetlona jest tylko ta strona Księżyca, która jest skierowana w stronę Słońca. Stojąc na Ziemi, nie widzimy tej strony, więc nie widzimy w ogóle Księżyca. Tę fazę Księżyca nazywamy nowiem. Gdy Księżyc znajduje się w nowiu, zazwyczaj przechodzi na północ albo na południe od Słońca. Od czasu do czasu zdarza się jednak, że Księżyc w nowiu przechodzi bezpośrednio na tle Słońca, i wtedy obserwujemy zaćmienie Słońca.
Jak dotąd mieliśmy Księżyc w pełni, Księżyc w trzeciej kwadrze, Księżyc w nowiu. Pozwólmy mu pokonać kolejne 90o i będziemy mieć Księżyc w pierwszej kwadrze, gdy ponownie oświetlona jest połowa tarczy Księżyca. Mamy także cztery pośrednie fazy. Co widzimy pomiędzy nowiem a pierwszą kwadrą? Niewielki fragment w kształcie sierpa. Nazywamy tę fazę młodym Księżycem lub sierpem przybywającym, ponieważ codziennie robi się większy. A tuż przed nowiem mamy sierp ubywający (stary Księżyc). Te dwa sierpy są skierowane w przeciwnych kierunkach i także zachowanie jest przeciwne w obu przypadkach - Księżyc kurczy się przed nowiem, a po nowiu rośnie.
Między pierwszą kwadrą a pełnią mamy fazę zwaną przybywającym Księżycem garbatym. Ta faza - istotnie niezbyt piękna - nie cieszy się zainteresowaniem artystów, mimo że widzimy Księżyc w tej fazie w niemal połowie wszystkich możliwych sytuacji - nie całkiem w pełni, nie całkiem w kwadrze. Gdyby artyści malowali niebo w losowo wybranych momentach, powinniśmy widzieć garbaty Księżyc mniej więcej na co drugim obrazie, lecz najczęściej widzimy sierp lub Księżyc w pełni. Sztuka nie odzwierciedla wiernie rzeczywistości.
Cały ten cykl trwa przez miesiąc, stąd wzięła się dawna nazwa Księżyca - "miesiąc" (staroang. moonth). Jeżeli Księżyc w pełni jest po przeciwnej stronie względem Słońca, to o jakiej porze dnia Księżyc wschodzi? Jeżeli jest po przeciwnej stronie niż Słońce, a Słońce zachodzi, to oznacza, że Księżyc wschodzi. Księżyc w pełni wschodzi o zachodzie. A gdy Słońce wschodzi, Księżyc w pełni zachodzi.
Inaczej jest w innych fazach. Gdy Księżyc w trzeciej kwadrze jest wysoko na niebie, Słońce wschodzi. Na ilustracji 2.3 Ziemia wiruje przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, wirujesz wraz nią i przechodzisz ze strefy nocnej do dziennej, gdy Księżyc w trzeciej kwadrze jest wysoko na niebie. Spróbuj wykonać następujący eksperyment myślowy - umieść swój mózg oraz oczy na "Ziemi" na ilustracji 2.3, popatrz dookoła, a następnie wróć do realnego świata i sprawdź rezultat.
Mam na pulpicie komputera aplikację, która pokazuje fazę Księżyca. To taki księżycowy zegar, który łączy mnie z Wszechświatem nawet wtedy, gdy gapię się na ekran komputera.
Wróćmy do Układu Słonecznego - w drugiej połowie XVI wieku w Danii żył bogaty astronom, Tycho Brahe. Jeden z kraterów na Księżycu nosi nazwę Tycho.
Swego czasu spędziłem godzinę w towarzystwie rodowitego Duńczyka, próbując w pocie czoła nauczyć się wymawiać nazwisko tego astronoma: t?'k? brä. Ale w Ameryce wymawiamy to oczywiście tak, jak nam podpowiadają reguły American English.
Tycho Brahe interesował się ruchami planet. Zbudował najlepszy, jak na ówczesne możliwości, instrument do obserwacji i pomiarów położenia planet. Wykonał najdokładniejsze pomiary położenia planet. Teleskopy zostały wynalezione dopiero na początku XVII wieku, więc Tycho stosował przyrządy bezsoczewkowe, zapisując położenie gwiazd i planet w funkcji czasu. Z czasem zbudował ogromną bazę danych. W prowadzeniu obserwacji pomagał mu zdolny asystent, niemiecki matematyk Johannes Kepler.
Kepler wykorzystał obserwacje Tychona i odkrył prawa rządzące ruchami planet. Kepler był pierwszym astronomem, który mógł stwierdzić: "Rozumiem ruchy planet. Potrafię sformułować prawa, które dokładnie opisują zachowanie planet". Przed Keplerem organizacja Wszechświata była prosta i oczywista: "Popatrzcie, gwiazdy krążą wokół nas. Słońce wschodzi i zachodzi. Księżyc wschodzi i zachodzi. My musimy być w centrum Wszechświata". To nie tylko było proste i łatwe, to rzeczywiście tak wyglądało. Pochlebiało ludzkiemu ego, dowody wskazywały, że tak musi być, więc nikt nie powątpiewał - dopóki nie pojawił się polski astronom, Mikołaj Kopernik. Skoro Ziemia jest w środku, to co robią planety? Spoglądasz w niebo i co noc obserwujesz, jak Mars przemieszcza się na tle gwiazd. Hmm. Właśnie zwalnia. O, teraz się zatrzymał. A teraz porusza się wstecz (to tak zwany ruch wsteczny planet). I znowu ruszył do przodu. Dlaczego Mars wykonuje takie dziwne ruchy?
Kopernik usiłował dociec, co by było, gdyby to Słońce było w centrum Wszechświata, a Ziemia poruszałaby się wokół Słońca. No cóż, wtedy te ruchy do przodu i do tyłu można bardzo prosto wyjaśnić. Słońce jest w środku, Ziemia porusza się wzdłuż orbity wokół Słońca, jak samochód po torze wyścigowym. Planeta Mars jest trochę dalej od Słońca niż Ziemia, więc porusza się nieco wolniej, jak wolniejszy samochód na bardziej zewnętrznym torze. Gdy Ziemia wyprzedza Marsa na wewnętrznym torze, Mars przez chwilę oddala się we wstecznym lusterku, więc wygląda, jakby poruszał się wstecz. Jeżeli jedziesz szybkim pasem autostrady i wyprzedzasz wolniejsze auto jadące sąsiednim pasem, to ono wygląda, jakby oddalało się wstecz. Jeżeli umieścisz Słońce w środku, a Ziemia i Mars krążą wokół Słońca po kołowych orbitach, to wyjaśnia ruch wsteczny. W istocie to wyjaśnia wszystko, co widać na nocnym niebie. Planety bardziej oddalone od Słońca poruszają się wolniej. Kopernik opublikował to wszystko w dziele zatytułowanym De revolutionibus orbium coelestium. Gdybyś próbował kupić na aukcji egzemplarz pierwszego wydania tej książki, musiałbyś wydać ponad dwa miliony dolarów. To jest jedna z najważniejszych książek w całej historii ludzkości.
Została opublikowana w 1543 roku i wielu ludzi zainspirowała do myślenia. Początkowo Kopernik obawiał się ją publikować i kilku osobom udostępniał rękopis prywatnie. W owych czasach nie można było tak po prostu zacząć głosić wszem i wobec, że Ziemia nie jest już w centrum Wszechświata. Kościół katolicki miał na ten temat inne zdanie - że Ziemia jest w centrum - a opinii Kościoła nie można było zignorować.
Tak stwierdził Arystoteles. W starożytnej Grecji był pewien astronom, Arystarch, który odgadł, że Ziemia krąży wokół Słońca, ale opinia Arystotelesa przeważyła, a Kościół przychylał się do tej opinii, ponieważ była zgodna z Pismem Świętym. Nie można skazać kogoś, kto nie żyje, więc Kopernik opublikował swoją książkę, gdy już leżał na łożu śmierci. Wprowadził do obiegu Słońce jako centrum Wszechświata oraz pojęcie modelu heliocentrycznego.
"Helio-" oznacza Słońce. Wcześniej obowiązywały modele geocentryczne, pochodzące od Arystotelesa, Ptolemeusza, a zadekretowane później przez Kościół.
W drugiej połowie XVI wieku pojawił się Kepler. Kepler zgadzał się i popierał poglądy Kopernika, z jednym zastrzeżeniem. Kopernik traktował orbity planet jako idealne okręgi, ale okręgi nie pasowały do obserwowanych ruchów planet, więc Kepler poprawił je, dodając mniejsze okręgi, zwane epicyklami (podobnie jak Ptolemeusz). To nadal nie pasowało do obserwowanych ruchów planet na niebie, więc Kepler uznał, że model Kopernika wymaga uzupełnienia. Na podstawie danych - zaobserwowanych położeń planet - które pozostawił mu Tycho Brahe, Kepler wydedukował trzy prawa dotyczące ruchów planet. Obecnie nazywamy je prawami Keplera.
Pierwsze prawo Keplera mówi: planety krążą po elipsach, nie po okręgach (zob. il. 2.4). Co to jest elipsa? W matematyce okrąg ma jeden środek, natomiast elipsa w pewnym sensie ma dwa środki: nazywamy je ogniskami. Wszystkie punkty okręgu są jednakowo odległe od środka okręgu, natomiast w przypadku elipsy suma odległości od obu ognisk jest taka sama dla każdego punktu elipsy. Okrąg jest w istocie granicznym przypadkiem elipsy, w której oba ogniska znajdują się w tym samym miejscu. Ogniska wydłużonej elipsy są oddalone od siebie. Gdy odległość ognisk się zmniejsza, kształt elipsy coraz bardziej przypomina kształt okręgu.
Ilustracja 2.4. Prawa Keplera. Odległość a, zwana półosią wielką, jest równa połowie dłuższej średnicy elipsy. Dla kołowej orbity, dla której ekscentryczność (mimośród) jest równa zeru, półoś wielka jest równa promieniowi koła
Credit: J. Richard Gott
Według Keplera planety poruszają się po elipsach, ze Słońcem w jednym z ognisk elipsy. To rewolucyjna idea. Grecy uważali, że Wszechświat jest dziełem bogów, a zatem musi być doskonały. Mieli bardzo określone poglądy w kwestii, co to znaczy być doskonałym. Kształt okręgu jest doskonały: każdy punkt okręgu leży w takiej samej odległości od środka; to oznacza doskonałość. Każdy ruch w boskim Wszechświecie musi się odbywać wzdłuż doskonałych orbit, zatem gwiazdy muszą się poruszać po okręgach. Ta filozofia przyrody przetrwała tysiące lat, po czym pojawił się Kepler, który stwierdził, że jest w posiadaniu danych pozostawionych przez Tychona, które wskazują, że to nie są okręgi, lecz elipsy.
Kepler udowodnił również, że prędkość planety na orbicie zależy od odległości od Słońca. Jeżeli orbita jest kołowa, to nie ma powodu, aby prędkość była różna w różnych fragmentach orbity, więc planeta porusza się cały czas ze stałą prędkością. Lecz gdy orbita jest eliptyczna, prędkości są różne. W której części orbity prędkość jest największa? Jak łatwo odgadnąć, wtedy, gdy planeta jest najbliżej Słońca. Kepler odkrył, że planety poruszają się szybciej, gdy są blisko Słońca, a wolniej, gdy są od niego dalej.
Rozważając problem geometrycznie, Kepler stwierdził: "zmierzmy, jak daleko planeta dotrze, powiedzmy, w ciągu miesiąca". Gdy jest blisko Słońca i porusza się szybko, w ciągu miesiąca przebiegnie fragment orbity, oznaczony czerwonym kolorem na ilustracji 2.4, i "zamiecie" wycinek elipsy oznaczony symbolem A1. Po pewnym czasie planeta znajdzie się w innym położeniu, bardziej oddalonym od Słońca. Kepler zaobserwował, że planety poruszają się wolniej, gdy są daleko od Słońca, więc w ciągu miesiąca nasza planeta przebiegnie krótszy fragment orbity, gdy znajduje się po prawej stronie orbity na ilustracji 2.4. W tej fazie ruchu wokół Słońca planeta w ciągu miesiąca "zamiecie" wycinek elipsy o innym kształcie, bardziej wąski i bardziej wydłużony, oznaczony symbolem A2. Kepler spostrzegł, że pole powierzchni "zamiecionej" w ciągu miesiąca było takie samo, niezależnie od tego, czy planeta była blisko czy daleko od Słońca: A1 = A2. Stąd wynika drugie prawo Keplera: planety zamiatają jednakowe pola w jednakowym czasie.
Obecnie potrafimy wyprowadzić drugie prawo Keplera z bardziej fundamentalnego prawa przyrody, zwanego zasadą zachowania momentu pędu. Nawet jeżeli nigdy się nie zetknąłeś z tą zasadą, możesz ją intuicyjnie zrozumieć.
Łyżwiarze wykorzystują tę zasadę, gdy wirują na lodzie. Zwykle zaczynają wirować z rękami rozłożonymi szeroko, a gdy już się rozkręcą, przyciągają ramiona do ciała, skracając tym samym odległość ramion od osi obrotu, w wyniku tego prędkość wirowania wzrasta. Gdy planeta porusza się wokół Słońca wzdłuż eliptycznej orbity, w pewnej fazie ruchu jej odległość od Słońca zaczyna się zmniejszać. W rezultacie prędkość planety wzrasta.
Są to konsekwencje prawa zwanego zasadą zachowania momentu pędu. Kepler nie znał tego sformułowania, ale de facto odkrył to prawo.
Swoje pierwsze i drugie prawo Kepler odkrył niemal z dnia na dzień, natomiast trzecie prawo stanowiło ukoronowanie ponad dziesięciu lat ciężkiej pracy. Próbował znaleźć związek między odległością planety od Słońca a czasem, jaki jest jej potrzebny do przebiegnięcia całej orbity, czyli tak zwanego okresu obiegu. Zewnętrzne planety potrzebują więcej czasu na wykonanie pełnego okrążenia, wewnętrzne obiegają Słońce w krótszym czasie.
Które planety były znane w czasach Keplera? Merkury, Wenus, Ziemia, Mars, Jowisz i ulubieniec wszystkich - Saturn.
Trzecioklasiści często wybierali Plutona jako swoją ulubioną planetę - co zapewne spowodowało, że trafiłem na czarną listę, gdy w Rose Center of Earth and Space zdegradowaliśmy status Plutona do lodowej kuli na peryferiach Układu Słonecznego.
Greckie słowo planetes tłumaczy się jako "wędrowiec". Dla starożytnych Greków Ziemia nie była planetą, ponieważ była uważana za środek Wszechświata. Ale Grecy znali jeszcze dwie "planety", których nie wymieniłem: Słońce i Księżyc. One także poruszały się na tle gwiazd, więc spełniały definicję planety. W rezultacie Grecy uważali siedem obiektów za planety. A siedem dni tygodnia zawdzięcza swoje nazwy owym siedmiu planetom, a raczej bogom, od których planety zostały nazwane. Niektóre są oczywiste: Sunday (ang. Sun - Słońce, day - dzień), Monday (ang. Moon - Księżyc). Saturday (sobota) to dzień Saturna. Żeby rozszyfrować pozostałe dni tygodnia, trzeba poszukać w innych językach. Na przykład piątek (ang. Friday) to Frigg (lub w innej wersji Freyja), nordycka bogini kojarzona z Wenus.
Kepler w końcu odkrył swoje równanie - pierwsze równanie kosmosu.
Zaczął od zmierzenia wszystkich odległości w jednostkach równych odległości Ziemi od Słońca.
Obecnie nazywamy tę odległość jednostką astronomiczną, w skrócie AU (ang. Astronomical Unit). Odległości planet od Słońca zmieniają się w czasie, w zależności od położenia planety na elipsie. Elipsa, czyli spłaszczony okrąg, ma dłuższą średnicę oraz krótszą średnicę, zwane odpowiednio wielką osią oraz małą osią. Kepler odgadł, że powinien przyjąć połowę długości wielkiej osi - obecnie zwaną półosią wielką - jako miarę odległości planety od Słońca. Jest to średnia z maksymalnej i minimalnej odległości planety od Słońca.
Należy jeszcze mierzyć czas w ziemskich latach, aby ostatecznie móc zapisać równanie, które zwiastowało początek matematycznego sformułowania praw rządzących kosmosem. Jeżeli użyjemy symbolu P na oznaczenie okresu planetarnego - czasu obiegu planety wokół Słońca, wyrażonego w ziemskich latach; oraz symbolu a na oznaczenie półosi wielkiej, czyli średniej z maksymalnej i minimalnej odległości planety od Słońca, wyrażonej w jednostkach AU, to otrzymamy wzór
P2 = a3,
czyli trzecie prawo Keplera3. Sprawdźmy, czy ono działa poprawnie dla Ziemi. Okres orbitalny Ziemi równa się 1. Średnia min-max odległość wynosi 1. W rezultacie wzór dla Ziemi wygląda następująco: 12 = 13. Czyli 1=1. Działa. To dobrze.
Ale skoro jest to wzór dla całego Układu Słonecznego, powinien działać także dla innych planet (a także dla dowolnych innych ciał krążących wokół Słońca), które były wówczas znane lub zostały odkryte później. Może Pluton? Kepler nie wiedział o istnieniu Plutona, więc rozważmy przypadek Plutona. Średnia min-max odległość Plutona od Słońca wynosi 39,264 AU. Prawo Keplera mówi zatem: P2 = 39,2643. Ile wynosi 39,264 podniesione do sześcianu? 60 531,8. Możesz to sprawdzić na kalkulatorze. Zatem okres orbitalny Plutona musi być równy pierwiastkowi kwadratowemu z 60 531,8, czyli 246,0, zaokrąglone do czterech cyfr. A ile faktycznie wynosi okres Plutona? 246,0 lat.
Niezły był ananas z tego Keplera.
Gdy Isaac Newton odkrył prawo grawitacji, użył równania P2 = a3, aby się przekonać, jak siła grawitacyjnego przyciągania zależy od odległości. Okazało się, że siła zmniejsza się jak odwrotność kwadratu odległości. Aby to obliczyć, zastosował rachunek różniczkowy, który zresztą uprzednio sam wynalazł. Newton uogólnił prawo Keplera i sformułował prawo, które stosuje się nie tylko do Słońca i planet, lecz do wszystkich ciał we Wszechświecie. Dowolne dwa ciała przyciągają się odkrytą przez Newtona siłą grawitacji:
F = Gmamb/r2,
gdzie G jest stałą, ma i mb to są masy owych dwóch ciał, a r jest ich odległością.
Z powyższego równania można wyprowadzić prawo Keplera jako szczególny przypadek. Można także wyprowadzić pierwsze i drugie prawo: że orbity planet są elipsami, a Słońce znajduje się w jednym z ognisk; i że każda planeta zamiata jednakowe pola w jednakowym czasie!4 Prawo grawitacji Newtona jest tak potężne, że można z niego wyprowadzić nie tylko trzy prawa Keplera, ale także znacznie więcej. Pozwala wyznaczyć siłę grawitacji między dowolnymi dwoma ciałami położonymi w dowolnych dwóch miejscach we Wszechświecie, zupełnie niezależnie od trajektorii ich ruchu. Newton rozszerzył nasze rozumienie kosmosu i sformułował opis ruchów planet, który sięga daleko poza cokolwiek, co Kepler był w stanie sobie wyobrazić. Newton wyprowadził ten wzór, zanim skończył dwadzieścia sześć lat. Newton odkrył prawa optyki, ustalił kolory widma słonecznego, odkrył, że kolory tęczy dają białe światło, gdy się je połączy. Wynalazł teleskop zwierciadlany. Wynalazł rachunek różniczkowy i całkowy. To wszystko zawdzięczamy Newtonowi.
Cały następny rozdział jest o Newtonie.
3 - Prawa Newtona
Michael A. Strauss
Kopernik dokonał wielkiego przełomu, wyjaśniając ruchy planet w kategoriach heliocentrycznego Wszechświata i umieszczając Słońce w centrum układu, który obecnie nazywamy Układem Słonecznym. Wszystkie planety, łącznie z Ziemią, poruszają się po orbitach wokół Słońca. Siedzimy na ruchomej platformie. Aby się przekonać, jak szybko Ziemia się porusza, musimy zmierzyć, jaką drogę przebiega w określonym czasie, a następnie podzielić tę drogę przez ten czas.
Jak widzieliśmy w rozdziale 2, Kepler udowodnił, że orbita Ziemi jest elipsą. W rzeczywistości orbity większości planet w naszym układzie słonecznym są zbliżone do okręgów, więc na razie zastosujemy przybliżenie, zgodnie z którym Ziemia okrąża Słońce po okręgu. Jedno okrążenie trwa rok, natomiast promień okręgu, czyli odległość od Słońca do Ziemi, jak wspomnieliśmy w poprzednim rozdziale, jest wielkością znaną w astronomii jako jednostka astronomiczna, w skrócie AU. AU jest w przybliżeniu równa 150 milionów kilometrów, czyli 1,5 × 108 kilometra.
Oznacza to, że przemierzamy okrąg o promieniu 150 milionów kilometrów w ciągu jednego roku. Obwód okręgu jest równy 2? razy promień. Liczba ? jest w przybliżeniu równa 3 - astronomowie stosują takie przybliżenie, gdy z grubsza szacują jakieś wielkości. Musimy teraz podzielić obwód przez czas, czyli przez jeden rok.
Na potrzeby tego rachunku chcemy wyrazić ten rok w sekundach. Liczba sekund w roku wynosi 60 (sekund w minucie) razy 60 (minut w godzinie) razy 24 (godzin w dobie) razy 365 (dni w roku). Możesz pomnożyć te liczby na kalkulatorze albo przypomnieć sobie, jak Neil w rozdziale 1 wspomniał, że pił szampana w miliardowej sekundzie swojego życia i miał wtedy około trzydziestu jeden lat. To oznacza, że rok ma około 1/30 z miliarda, czyli około 30 milionów sekund. Zapiszemy ten przybliżony wynik jako 3,0 × 107 sekundy w roku.
Składając całość w jedno równanie, możemy obliczyć, że prędkość Ziemi w jej ruchu wokół Słońca wynosi 2?r / (1 rok) = 2 × 3 × (1,5 × 108 kilometra) / (3,0 × 107 sekundy) = 30 kilometrów na sekundę. Tak szybko okrążamy Słońce. Zasuwamy jak mała ciężarówka! Wydaje nam się, że siedzimy nieruchomo, co może wyjaśnić, dlaczego dla starożytnych tak naturalne było twierdzenie, że znajdują się w centrum Wszechświata. Wydawało się to oczywiste. W rzeczywistości i Ziemia, i my wraz z nią poruszamy się na wiele sposobów. Ziemia codziennie obraca się wokół swojej osi. Okrąża Słońce w ciągu roku, podróżując z prędkością 30 kilometrów na sekundę. W II części tej książki zobaczymy, że Słońce także się porusza (niosąc wraz z sobą Ziemię i inne planety), wykonując kilka różnych ruchów, i to na kilka sposobów.
Kopernik stwierdził, że planety krążą wokół Słońca. Kepler wykorzystał wyniki obserwacji Tychona Brahe, aby wyznaczyć orbity planet oraz parametry tych orbit. Jak pokazaliśmy w rozdziale 2, Kepler wyprowadził trzy prawa z tych orbit. Isaac Newton, jeden z najwybitniejszych bohaterów naszej historii, potrafił z praw Keplera wydedukować prawo grawitacji, zgodnie z którym między każdą parą ciał działa radialna siła, proporcjonalna do odwrotności kwadratu odległości między nimi.
Newton był prawdopodobnie najwybitniejszym fizykiem, a może nawet najwybitniejszym uczonym wszech czasów. Dokonał wielu fundamentalnych odkryć. Próbował zrozumieć mechanikę wszystkich możliwych ruchów: nie tylko planet krążących wokół Słońca, lecz także piłki podrzuconej w powietrze lub skały staczającej się ze zbocza góry.
Uprawianie nauki polega na tym, że bierze się dużą liczbę obserwacji i próbuje się wyabstrahować z nich niewielką liczbę praw, które opisują i wyjaśniają te obserwacje. Newton odkrył trzy prawa ruchu. Pierwsze z nich to prawo bezwładności (inercji). Co to jest bezwładność? W potocznym rozumieniu, gdy ktoś mówi o sobie, że jest "bezwładny", ma na myśli, że nie przejawia ochoty, aby się ruszyć z kanapy - woli siedzieć nieruchomo i nic nie robić. Potrzebny jest jakiś impuls, aby go poruszyć. Nieruchomy obiekt (jak leniwy domator siedzący na kanapie przed telewizorem) pozostanie nieruchomy, jeżeli nie zadziała na niego jakaś siła.
A czym jest siła? Newtonowskie prawo bezwładności ma dwie części. Pierwsza część stwierdza, że "ciało będące w spoczynku pozostanie w spoczynku", o ile nie zadziała na nie zewnętrzna siła. Wyobraź sobie jabłko leżące na stole. Nie działa na nie zewnętrzna siła (ściślej rzecz ujmując, suma zewnętrznych sił wynosi zero), więc pozostaje w spoczynku.
Druga część prawa bezwładności jest mniej intuicyjna: "ciało poruszające się z jednostajną prędkością będzie się poruszać z tą samą, jednostajną prędkością, o ile nie zadziała na nie zewnętrzna siła". W tym kontekście sformułowanie "jednostajna prędkość" oznacza, że ciało porusza się ze stałą szybkością w określonym, ustalonym kierunku, i zarówno szybkość, jak i kierunek pozostają niezmienne. Jeżeli po podłodze toczy się piłka, nie będzie w nieskończoność poruszać się z jednostajną prędkością w ustalonym kierunku, lecz będzie zwalniać i w końcu się zatrzyma, ponieważ działa na nią siła: tarcie między piłką i podłogą. W normalnych warunkach tarcie jest wszechobecne. Jeżeli podrzucisz kawałek papieru, niemal natychmiast zwolni i powoli zacznie opadać na podłogę. W trakcie lotu działają dwie siły: (1) grawitacja, o której za chwilę opowiemy, (2) siła oporu powietrza. Kartka papieru ma dużą powierzchnię, co powoduje, że siła oporu jest znacząca.
Koncepcja, zgodnie z którą ciało poruszające się ze stałą prędkością, będzie się poruszać z tą samą prędkością, o ile nie zadziała na nie zewnętrzna siła, jest nieintuicyjna, ponieważ w normalnych warunkach zawsze mamy do czynienia z tarciem. W codziennym życiu trudno uniknąć siły tarcia, więc nie da się zrealizować sytuacji, w której nie byłoby siły zewnętrznej. Łyżwiarka popchnięta przez swojego partnera może bez wysiłku poruszać się po lodowisku, ponieważ siła tarcia między lodem a łyżwami jest niewielka. Gdyby siła tarcia była dokładnie równa zeru, popchnięty obiekt poruszałby się ze stałą prędkością. Tę zasadę odkrył Galileusz5. Przestrzeń kosmiczna jest jednym z możliwych przykładów, gdzie siły tarcia się nie pojawiają. W kosmosie rzeczywiście można jakieś ciało popchnąć, nadając mu stałą prędkość i wiedząc, że będzie nadal się poruszać ze stałą prędkością, ponieważ nie napotka na drodze niczego, co mogłoby je zatrzymać. Newton ujął to w formie podstawowego prawa przyrody.
Drugie prawo Newtona mówi, co się dzieje, gdy na ciało działa jakaś siła. Może równocześnie działać wiele różnych sił, lecz istotna jest ich suma - to suma decyduje o zmianie prędkości ciała. Używamy określenia "przyspieszenie", aby wyrazić zmianę prędkości: przyspieszenie stanowi miarę zmiany prędkości w jednostce czasu. Drugie prawo Newtona określa związek przyspieszenia z działającą na ciało siłą. Gdy popychasz jakiś obiekt z pewną siłą, obiekt przyspiesza. Jeżeli masa obiektu jest niewielka, przyspieszenie będzie znaczne. Jeżeli masa obiektu jest duża, przyspieszenie będzie niewielkie, przy tej samej sile. Ten związek wyraża najbardziej znane prawo Newtona, F = ma; siła jest równa iloczynowi masy i przyspieszenia.
Trzecie prawo Newtona można kolokwialnie ująć jako "jeżeli ty popychasz mnie, to ja popycham ciebie". Jeżeli jedno ciało działa siłą na inne ciało, to to drugie ciało działa na pierwsze z taką samą siłą, lecz w przeciwnym kierunku. Jeżeli naciskasz ręką blat stołu, czujesz nacisk stołu na rękę; stół działa na rękę z taką samą siłą, lecz w przeciwnym kierunku. Każdej sile towarzyszy przeciwna siła o tej samej wartości.
Jeżeli trzymasz na dłoni jabłko, to czy na jabłko działają jakieś siły? Tak, Ziemia działa na jabłko siłą grawitacji. Zatem jabłko powinno przyspieszać w stronę Ziemi, a przecież tego nie robi. Jabłko jest nieruchome, ponieważ twoja dłoń (dzięki twoim mięśniom) działa na nie siłą skierowaną do góry. Zgodnie z trzecim prawem Newtona jabłko działa na twoją dłoń siłą skierowaną w dół; nazywamy tę siłę ciężarem jabłka. Ziemia działa na jabłko siłą grawitacji skierowaną w dół, twoja dłoń działa na jabłko siłą skierowaną do góry - te dwie siły się wzajemnie równoważą, ich suma wynosi zero. Zero sił oznacza zero przyspieszenia zgodnie z drugim prawem Newtona, więc nieruchome jabłko pozostaje nieruchome.
W rzeczywistości sytuacja jabłka jest znacznie bardziej interesująca. Uprzednio policzyliśmy, że Ziemia krąży po okręgu wokół Słońca z prędkością 30 kilometrów na sekundę, a zatem jabłko porusza się z taką samą prędkością. Aby to przeanalizować, musimy teraz zrobić dygresję na temat ruchu po okręgu.
Ruch ze stałą szybkością po okręgu nie jest ruchem jednostajnym, ponieważ kierunek ruchu Ziemi nieustannie się zmienia, w miarę jak przemieszcza się ona po okręgu. Gdyby kierunek się nie zmieniał, Ziemia poleciałaby w przestrzeń po linii prostej, a nie po okręgu. Przyspieszenie, które wynika z ruchu po okręgu, jest każdemu z nas znane z codziennego życia. W parkach rozrywki można przejechać się rozmaitymi wagonikami, które pozwalają nam namacalnie poczuć przyspieszenie, gdy raptownie zakręcają.
Newton wykorzystał wynaleziony przez siebie rachunek różniczkowy, aby obliczyć przyspieszenie ciała, które porusza się po okręgu o promieniu r z ustaloną szybkością ?. To przyspieszenie wynosi ?2/r i jest skierowane do środka okręgu. To pozornie nieruchome jabłko, które leży na twojej dłoni, w rzeczywistości porusza się z szybkością 30 kilometrów na sekundę po ogromnym okręgu, a zatem ulega przyspieszeniu. Z drugiego prawa Newtona wiemy zatem, że na jabłko musi działać jakaś siła. Tą siłą jest grawitacyjne przyciąganie Słońca. Słońce przyciąga Ziemię w jej ruchu po orbicie i przyciąga także jabłko. Grawitacja Słońca działa na Ziemię, na jabłko, na ciebie i na mnie.
Wszyscy poruszamy się z szybkością 30 kilometrów na sekundę wokół Słońca. Przy tak ogromnej szybkości można by oczekiwać, że i przyspieszenie będzie znaczne, ale w rzeczywistości jest ono niewielkie, ponieważ promień okręgu jest bardzo duży. Policzmy to przyspieszenie. Szybkość wynosi 30 kilometrów na sekundę, czyli 30 tysięcy metrów na sekundę. Promień orbity Ziemi wynosi 150 000 000 000 metrów. Korzystając ze wzoru ?2/r, przyspieszenie a wynosi (30 tysięcy metrów na sekundę)2/ 150 000 000 000 metrów = 0,006 metra na sekundę2, czyli 0,006 metra na sekundę na sekundę. Oznacza to, że w każdej sekundzie prędkość zmienia się o 6 milimetrów na sekundę. To bardzo mało. Galileusz obliczył, że przyspieszenie ciała spadającego z wieży na ziemię pod wpływem ziemskiej grawitacji wynosi około 9,8 metra na sekundę na sekundę. To znacznie więcej. Mimo że Ziemia porusza się wokół Słońca z bardzo dużą prędkością, przyspieszenie jest niewielkie. W parku rozrywki kolejki nie jeżdżą wprawdzie z prędkością 30 kilometrów na sekundę, lecz promienie zakrętów są małe; gdy we wzorze ?2/r promień w mianowniku jest mały, wynikające ze wzoru przyspieszenie może być całkiem duże i natychmiast odczujemy jego skutek (dla przykładu, w kolejce jadącej z prędkością 10 metrów na sekundę po okręgu o promieniu 10 metrów przyspieszenie dośrodkowe wynosi 10 metrów na sekundę na sekundę).
Sytuacja jest nieco bardziej subtelna, gdy próbujemy zaobserwować przyspieszenie wynikające z przyciągania Słońca. Grawitacja Słońca działa na wszystko na Ziemi - na ciebie, na książkę, którą czytasz, na jabłko w twojej dłoni - w takim samym stopniu. Wszyscy znajdujemy się na swobodnej orbicie wokół Słońca. Nie poruszamy się względem obiektów znajdujących się wokół nas. Wydaje ci się, że jesteś nieruchomy; nie dostrzegasz, że jesteś w ruchu; nie dostrzegasz, że podlegasz przyspieszeniu.
Nie zmienia to faktu, że Ziemia przyspiesza w stronę Słońca z przyspieszeniem równym ?2/r. Newton użył trzeciego prawa Keplera, aby policzyć, jak przyspieszenie na orbicie wokół Słońca zależy od promienia orbity. Aby obliczyć okres obrotu planety P, należy podzielić długość orbity (2?r) przez jej prędkość ?
P = (2?r/?).
W rezultacie:
- okres P jest proporcjonalny do r/?,
- kwadrat okresu P2 jest proporcjonalny do r2/?2.
Kepler pokazał, że P2 jest proporcjonalny do a3, gdzie a jest półosią wielką orbity. Orbita Ziemi jest zbliżona do okręgu, więc możemy w przybliżeniu napisać r = a i w rezultacie, podstawiając r za a, dostaniemy:
- P2 jest proporcjonalny do r3.
A skoro P2 jest także proporcjonalny do r2/?2, to
- r2/?2 jest proporcjonalne do r3.
Dzieląc obie strony przez r, dostajemy:
- r/?2 jest proporcjonalne do r2.
Bierzemy odwrotności obu stron:
- ?2/r (przyspieszenie) jest proporcjonalne do 1/r2.
W kilku krokach, korzystając z trzeciego prawa Keplera i prostych algebraicznych przekształceń, pokazaliśmy, że grawitacyjne przyspieszenie, a zatem także siła, z jaką Słońce działa na ciało odległe o r, jest proporcjonalna do odwrotności kwadratu tej odległości - a to jest Newtonowskie prawo "odwrotnych kwadratów", czyli prawo grawitacji. Zacytuję samego Newtona:
'I was in the prime of my age for invention & minded Mathematicks & Philosophy more than any time since' [my] ensuing deduction 'from Kepler's rule of the periodical times of the Planets being in a sesquialterate proportion of their distances from the centers of their Orbs' that 'the forces which keep the Planets in their Orbs must [be] reciprocally as the squares of their distances from the centers about which they revolve'67.
Newton zastosował to prawo do oddziaływania Ziemi i Księżyca. Przypomnijmy sobie owo słynne jabłko, które zainspirowało Newtona. Znajdowało się ono w odległości jednego promienia Ziemi od środka Ziemi i spadało w kierunku Ziemi z przyspieszeniem 9,8 metra na sekundę na sekundę. Księżyc znajduje się w odległości sześćdziesięciu promieni Ziemi. Skoro siła grawitacji Ziemi zmniejsza się z odległością jak 1/r2 (tak jak w przypadku Słońca), na orbicie Księżyca grawitacyjne oddziaływanie Ziemi powinno generować przyspieszenie (60)2 razy mniejsze niż 9,8 metra na sekundę na sekundę, czyli około 0,00272 metra na sekundę na sekundę.
Podobnie jak w przypadku ruchu Ziemi wokół Słońca możemy także obliczyć przyspieszenie Księżyca w jego ruchu wokół Ziemi, znając jego okres obiegu (27,3 doby) oraz promień orbity (384 tysiące kilometrów). Podstawiając te liczby do ?2/r, otrzymujemy przyspieszenie 0,00272 metra na sekundę na sekundę. Eureka! Piękna zgodność z wynikiem obliczonym za pomocą jabłka. Jak stwierdził Newton, dwa wyniki "są całkiem bliskie". Taka sama siła, która przyciąga jabłko w kierunku Ziemi, przyciąga także Księżyc w kierunku Ziemi, odciągając trajektorię Księżyca od linii prostej i utrzymując Księżyc na niemal kołowej orbicie wokół Ziemi. Grawitacja, która spowodowała upadek owego jabłka na ziemię, rozciąga się aż po orbitę Księżyca. Newton to odkrył, gdy mieszkał w domu swojej babki, w czasie gdy uniwersytet w Cambridge był zamknięty z powodu zarazy, lecz nie opublikował tego odkrycia. Możliwe, że zaniepokoiła go niewielka niezgodność między wynikami rachunków i obserwacji wynikająca z faktu, że nie dysponował dokładnym pomiarem promienia Ziemi. Dopiero wiele lat później Edmund Halley (ten od komety) nakłonił Newtona do ogłoszenia swego odkrycia.
Ilustracja 3.1. Przyspieszenie Księżyca oraz spadającego z drzewa Newtonowskiego jabłka. Zwróć uwagę, że w obu przypadkach przyspieszenie (zmiana prędkości) jest skierowane do środka Ziemi
Credit: J. Richard Gott
Newton sformułował prawo - zwane czasem szumnie uniwersalnym prawem grawitacji - omówione w rozdziale 2. Rozważmy dwa obiekty, na przykład Ziemię i Słońce. Odległość między nimi (1 AU, czyli 1,5 × 108 km) jest około stu razy większa niż średnica samego Słońca (1,4 × 106 km). Ich masę oznaczmy odpowiednio symbolami ME i MS.
Newton odkrył, że siła grawitacji między tymi dwoma ciałami jest proporcjonalna do masy każdego z nich oraz do odwrotności kwadratu ich odległości r (w swoim rozumowaniu wykorzystał trzecie prawo Keplera, jak opisaliśmy wyżej). Słowo "proporcjonalna" oznacza, że potrzebna jest stała proporcjonalności G, na cześć sir Isaaca zwana stałą Newtona. Oto wzór Newtona na siłę działającą między Słońcem i Ziemią:
F = GMSME/r2.
Siła jest przyciągająca: jedno ciało przyciąga drugie, a zatem siła jest skierowana od jednego ciała w kierunku drugiego.
Z trzeciego prawa Newtona wyciągamy wniosek, że powyższy wzór określa zarówno siłę, z jaką Słońce przyciąga Ziemię, jak i siłę, z jaką Ziemia przyciąga Słońce. Masa Słońca jest jednak wielokrotnie większa od masy Ziemi, a drugie prawo Newtona mówi, że przyspieszenie jest równe sile podzielonej przez masę. W rezultacie przyspieszenie Ziemi jest wielokrotnie większe od przyspieszenia Słońca, co powoduje, że ruch Słońca pod wpływem tej siły jest niewielki w porównaniu z ruchem Ziemi (w rzeczywistości sytuacja jest jeszcze trochę bardziej skomplikowana: wszystkie ciała Układu Słonecznego - od Słońca i Jowisza po najmniejsze asteroidy - krążą wokół ich wspólnego środka masy).
A oto jeszcze jedna fascynująca konsekwencja wzoru Newtona. Zgodnie z drugim prawem Newtona siła grawitacji, którą przed chwilą zapisaliśmy, jest równa masie Ziemi (ME) pomnożonej przez przyspieszenie. Dla ruchu po okręgu przyspieszenie jest równe ?2/r. Zatem wzór F = ma może być zapisany jako:
GMSME/r2 = ME?2/r.
Zwróć uwagę, że masa Ziemi występuje po obu stronach tego wzoru, więc możemy obie strony wzoru podzielić przez ME, co daje:
GMS/r2 = ?2/r.
Oznacza to, że przyspieszenie Ziemi (GMS/r2 = ?2/r) nie zależy od masy Ziemi. To godny uwagi fakt. Przyspieszenie pod wpływem grawitacji nie zależy od masy obiektu podlegającego przyspieszeniu, i dotyczy to zarówno ciał krążących po orbitach wokół Słońca, jak i ciał spadających w polu grawitacyjnym Ziemi. Masa ciała występuje po obu stronach wzoru F = ma, zatem może zostać wyeliminowana z równania. Jeżeli równocześnie upuszczę książkę i kartkę papieru, to będą ulegały takiemu samemu przyspieszeniu, więc będą spadały w takim samym tempie, mimo że książka jest znacznie cięższa. Galileusz stwierdził, że tak byłoby w próżni. Czy to działa w praktyce? Nie, książka i kartka papieru opadają w różnym tempie ze względu na opór powietrza. Opór powietrza działa z taką samą siłą na książkę i na kartkę, lecz książka jest znacznie cięższa od kartki, więc wpływ oporu powietrza na przyspieszenie książki jest mały - w zasadzie zaniedbywalny. Jeżeli jednak położę kartkę papieru na wierzchu książki, tak aby książka blokowała działanie oporu powietrza na kartkę, i ponownie je upuszczę, kartka pozostanie na wierzchu książki i będą opadać razem. Spróbuj sam wykonać taki eksperyment!
Gdy załoga Apollo 15 leciała na Księżyc, zabrali ze sobą młotek i piórko, aby wykonać ten eksperyment. Księżyc w zasadzie nie ma atmosfery - nad jego powierzchnią istnieje bardzo dobra próżnia, więc nie ma oporu powietrza. Gdy astronauci upuszczali młotek i piórko, oba opadały równocześnie, dokładnie w takim samym tempie, dokładnie tak, jak przewidzieli Newton i Galileusz. W Internecie można znaleźć zapis wideo tego księżycowego eksperymentu.
Zapewne wiesz, że Arystoteles się mylił w tej kwestii. Arystoteles stwierdził, że bardziej masywne obiekty będą się poruszać z większym przyspieszeniem i szybciej spadną na ziemię. Stwierdził tak, ponieważ wydawało mu się to logiczne, lecz nigdy nie wykonał doświadczenia, aby się przekonać, czy jego koncepcja jest poprawna. Mógł upuścić duży i mały kamień (opór powietrza jest bardzo mały w przypadku kamieni, niezależnie od wielkości), aby się przekonać, że spadają w takim samym tempie. Wniosek jest taki, że w nauce zawsze należy eksperymentalnie weryfikować, czy intuicja jest poprawna!
Zajmijmy się teraz pokrewnym problemem. Rozważmy siłę grawitacji działającą na jabłko, które trzymasz w dłoni na końcu wyciągniętej ręki. Wzór Newtona zawiera odległość r jabłka od Ziemi. Można by naiwnie sadzić, że powinniśmy podstawić odległość od jabłka do podłogi, około dwóch metrów. Okazuje się jednak, że to błędne podejście. Newton zdawał sobie sprawę, że musi uwzględnić grawitacyjne oddziaływanie każdego fragmentu Ziemi: nie tylko kawałka pod naszymi stopami, lecz także tych fragmentów, które znajdują się po drugiej stronie globu. Około dwudziestu lat zajęło mu wymyślenie, w jaki sposób należy wykonać te obliczenia. Musiał dodać wszystkie siły od wszystkich fragmentów Ziemi, uwzględniając ich odległość od jabłka oraz kąty między siłami. Aby te wszystkie siły dodać, musiał wymyślić i zastosować nową gałąź matematyki, zwaną obecnie rachunkiem całkowym. Ostateczny rezultat tych rachunków jest bardzo nieintuicyjny - grawitacja sferycznego obiektu (takiego jak Ziemia) jest taka sama, jaka byłaby, gdyby cała masa obiektu była skoncentrowana w jego środku. Aby policzyć siłę grawitacji działającą na jabłko, musisz wyobrazić sobie, że cała masa Ziemi jest skupiona w punkcie położonym 6371 kilometrów pod twoimi stopami, czyli w odległości od powierzchni do środka Ziemi. Uwzględniliśmy już (milcząco) wynik powyższego rozumowania, gdy omawialiśmy porównanie spadającego jabłka z Księżycem krążącym na orbicie wokół Ziemi.
Ale ruch jabłka spadającego (prosto w dół) z pewnością nie przypomina orbitalnego ruchu Księżyca. Dlaczego Księżyc krąży po okręgu, a jabłko po prostu spada na ziemię? Aby umieścić jabłko na orbicie, musiałbym mocno rzucić je poziomo - tak mocno, aby okrążyło Ziemię. Rozważmy przypadek Kosmicznego teleskopu Hubble'a, który krąży zaledwie kilkaset kilometrów nad powierzchnią Ziemi. Teleskop wykonuje jedno pełne okrążenie, 25 tysięcy mil (40 tysięcy km), w ciągu około 90 minut. Jeżeli przeliczymy to na prędkość, wyjdzie około 5 mil na sekundę. Aby umieścić jabłko na orbicie, musiałbym zatem rzucić je poziomo z prędkością około 5 mil na sekundę.
Wyobraź sobie, że stoisz na szczycie wysokiej góry, powyżej granicy atmosfery (aby uniknąć oporu powietrza) i rzucasz poziomo jabłkami, nadając im coraz większe prędkości. Rzucasz tak mocno, jak potrafisz - jabłko szybko spada na ziemię. Rzuca miotacz z czołowej drużyny bejsbolowej - poleci trochę dalej, ale też spadnie. Następnie rzuca Superman. Za każdym razem coraz mocniej. Kolejne jabłka lecą coraz dalej, zanim trajektorie ich lotu przetną powierzchnię Ziemi. Ale powierzchnia Ziemi nie jest płaska - w dużej odległości widoczne jest jej zakrzywienie. Gdy w końcu Superman rzuci jabłko z prędkością 5 mil na sekundę, będzie ono opadać w kierunku ziemi pod wpływem grawitacji, lecz teraz jego zakrzywiona trajektoria pasuje do krzywizny Ziemi. W rezultacie nigdy nie spadnie na Ziemię, lecz pozostanie na kołowej orbicie. Obiekt krążący wzdłuż orbity wokółziemskiej cały czas "spada" w kierunku Ziemi, lecz równocześnie biegnie do przodu. Gdy upuścisz jabłko, spada prosto w dół w wyniku działania grawitacji Ziemi. Ta sama grawitacja trzyma Kosmiczny teleskop Hubble'a oraz Księżyc na orbicie wokółziemskiej (Księżyc jest na znacznie wyższej orbicie, zatem porusza się wolniej). Obiekt krążący na niskiej orbicie spada w kierunku Ziemi w takim tempie, że nigdy nie trafi w Ziemię, gdyż uniemożliwi mu to krzywizna powierzchni Ziemi. Newton doskonale to rozumiał i wysunął pomysł sztucznego satelity na orbicie wokół Ziemi - dwieście siedemdziesiąt lat przed faktyczną realizacją tego pomysłu!
Jeżeli kiedykolwiek byłeś w windzie, która raptownie ruszyła w dół, przez krótki czas spadałeś, a wszystko wokół ciebie spadało wraz z tobą. Gdy upuszczasz jabłko, nie spadasz wraz z nim, ponieważ nacisk gruntu na twoje podeszwy utrzymuje cię w miejscu. Stoisz nieruchomo względem swojego otoczenia, natomiast jabłko spada pod wpływem grawitacji. Gdybym cię popchnął i przewrócił, widziałbym, jak spadasz wraz z jabłkiem (przynajmniej do momentu, gdy wraz z jabłkiem uderzyłbyś o podłoże).
Widziałeś zapewne obrazy lub filmy przedstawiające astronautów na pokładzie Międzynarodowej Stacji Kosmicznej. Grawitacja Ziemi działa jednakowo na astronautów i na Międzynarodową Stację Kosmiczną. Wszystko, co znajduje się na Stacji (oraz sama Stacja) spada w takim samym tempie - przypomnij sobie obliczenia, w których wykazaliśmy, że przyspieszenie pod wpływem grawitacji nie zależy od masy obiektu na orbicie. Gdy wszystko spada w tym samym tempie, astronauci odczuwają "nieważkość". Twój ciężar to liczba, która wyskakuje na skali łazienkowej wagi, gdy stoisz na niej w swojej łazience (naciskasz na wagę, dociskając ją do podłogi, a trzecie prawo Newtona mówi, że waga naciska na ciebie). Ale jeżeli twoja łazienka jest na Międzynarodowej Stacji Kosmicznej, to twoja waga spada razem z tobą (i z podłogą), nie naciskasz na wagę, a waga pokazuje zero. Jesteś "nieważki".
To jednak nie oznacza, że twoja masa jest równa zeru. Masa i ciężar to nie to samo! Według Newtona masa to jest wielkość, która występuje w jego drugim prawie (tym, które wiąże siłę, masę i przyspieszenie); jest to także wielkość, która jest źródłem grawitacji. Gdy ktoś mówi, że chce schudnąć, aby zmniejszyć swoją "wagę", w rzeczywistości ma na myśli zmniejszenie swojej masy. Chodzi o pozbycie się części tłuszczu, ponieważ tłuszcz ma masę. Zmniejszywszy masę, można przy takiej samej sile szybciej przyspieszać i ogólnie łatwiej się poruszać (i słabiej naciskać na wagę).
Podsumujmy teraz osiągnięcia Newtona. Z ówcześnie dostępnych obserwacji ruchów planet Kepler wyprowadził swoje trzy prawa opisujące orbity planetarne. Następnie pojawił się Newton i podszedł do tego zagadnienia w zupełnie inny sposób - podjął próbę zrozumienia, jak porusza się wszystko, nie tylko sześć znanych wówczas planet, i wyprowadził swoje trzy prawa. Ponadto podjął próbę zrozumienia siły grawitacji, najważniejszej siły w astronomii. Korzystając z trzeciego prawa Keplera, udowodnił, że siła grawitacji zależy od odległości jak 1/r2. Odkrył, że siła grawitacyjnego oddziaływania dwóch ciał ma charakter przyciągający. Słońce przyciąga planety z siłą F = GMSMPlanet/r2. Wykonując odpowiednie przekształcenia, pokazaliśmy, że można wyjaśnić trzecie prawo Keplera w kategoriach Newtonowskiego prawa ruchu oraz prawa grawitacji. W ramach newtonowskiej fizyki Newton sformułował bardziej ogólne ujęcie praw Keplera niż sam Kepler.
Kolejny triumf Newtona nastąpił wtedy, gdy udowodnił, że z jego prawa grawitacji wynika, iż planety krążą po eliptycznych orbitach, ze Słońcem w jednym z ognisk, a linia łącząca planetę ze Słońcem zakreśla jednakowe pola w jednakowym czasie. Wszystkie trzy prawa Keplera mogą teraz być postrzegane jako konsekwencja Newtonowskiego prawa grawitacji oraz trzech Newtonowskich praw ruchu.
Prawa Newtona były pierwszymi prawami fizyki zapisanymi w języku matematyki, które pozwalały przewidywać ruchy ciał oraz testować owe przewidywania. Halley użył praw Newtona, aby udowodnić, że wiele komet zaobserwowanych w ciągu kilku stuleci (łącznie z kometą z 1066 roku, wyhaftowaną na tkaninie z Bayeux) to w rzeczywistości była jedna i ta sama kometa poruszająca się po bardzo wydłużonej orbicie eliptycznej i powracająca mniej więcej raz na siedemdziesiąt sześć lat. Okres ten nie był jednak całkowicie niezmienny, ponieważ ruch komety (i zarazem czas jej powrotu) zaburzały Jowisz i Saturn, gdy przecinała ich orbity. Owe odchylenia można było przewidzieć dzięki prawom Newtona, natomiast z praw Keplera wynikał dokładnie periodyczny ruch. Halley obliczył, że kometa powróci ponownie w 1758 roku, lecz nie doczekał potwierdzenia swoich przewidywań, ponieważ zmarł w 1742 roku. Gdy kometa faktycznie pojawiła się w 1758 roku, nazwano ją jego imieniem: kometa Halleya. Korzystając z praw Newtona, Alexis Clairaut, Jérôme LaLande oraz Nicole-Reine Lepaute przewidzieli jej przejście w pobliżu Słońca z dokładnością do jednego miesiąca. Było to godne uwagi potwierdzenie praw Newtona.
Prawa Newtona doczekały się jeszcze jednego spektakularnego sukcesu. Planeta Uran nie poruszała się dokładnie tak, jak przewidywały prawa Newtona. Wydawało się, że jej orbita jest zaburzona. Urbain Le Verrier odkrył, że zaburzenia można by wyjaśnić, gdyby na Urana działała grawitacja jakiejś niewidocznej planety jeszcze bardziej oddalonej od Słońca. Przewidział, gdzie można będzie ją dostrzec i w 1846 roku Johann Gottfried Galle i Heinrich Louis d'Arrest, korzystając z tych przewidywań, dostrzegli tę planetę w położeniu oddalonym zaledwie o 1o od miejsca, które przewidział Le Verrier. Prawa Newtona zostały wykorzystane do odkrycia nowej planety: Neptuna. Reputacja Newtona poszybowała do nieba.
W kolejnych rozdziałach, pogłębiając zrozumienie Wszechświata, będziemy wielokrotnie wracać do tych podstawowych pojęć dotyczących sił, oddziaływań i grawitacji.
4 - Jak gwiazdy emitują promieniowanie i energię (I)
Neil deGrasse Tyson
Podejmiemy teraz próbę zrozumienia oraz ogarnięcia wyobraźnią odległości do gwiazd. Wiemy już, że odległość od Ziemi do Słońca, 150 milionów kilometrów (czyli 1 AU), jest około stu razy większa niż średnica Słońca. Wyobraźmy sobie teraz, że skalujemy wszystkie rozmiary tak, aby odległość Ziemia-Słońce wynosiła 1 metr. Słońce ma wtedy średnicę 1 centymetra. Najbliższe gwiazdy są oddalone o 200 tysięcy AU, co w naszej skali oznacza 200 kilometrów. W porównaniu z rozmiarami gwiazd przestrzeń między nimi jest ogromna. Przekonamy się, że wygodnie jest mierzyć te odległości nie w kilometrach lub centymetrach, lecz w kategoriach czasu, jaki potrzebuje światło, aby je przebyć.
Prędkość światła, którą oznaczamy literą c, wynosi 3 × 108 metra na sekundę. Jest to kolejna liczba, którą warto zapamiętać. W rozdziale 17 wyjaśnimy szczegółowo, dlaczego ta prędkość reprezentuje kosmiczną granicę prędkości. Światło jest najszybszym obiektem we Wszechświecie. Obserwujemy gwiazdy, rejestrując ich światło, więc jest to najbardziej naturalna jednostka odległości. Jedna sekunda świetlna to odległość, którą światło pokonuje w sekundę: 3 × 108 metra lub 300 tysięcy kilometrów - w przybliżeniu siedem razy więcej niż obwód Ziemi. Księżyc jest oddalony o 384 tysiące kilometrów, więc światło potrzebuje 1,3 sekundy, aby pokonać tę odległość. Mówimy, że Księżyc jest oddalony o 1,3 sekundy świetlnej. Odległość od Ziemi do Słońca wynosi około 8 minut świetlnych - tyle czasu światło słoneczne biegnie od Słońca do Ziemi. Najbliższe gwiazdy są oddalone około 4 lat świetlnych. Rok świetlny to nie jest miara czasu, lecz odległości - taką odległość światło przemierza w ciągu jednego roku. Jeden rok świetlny to około 10 bilionów kilometrów. Światło jednej z tych gwiazd, które widzimy dzisiaj, zostało wyemitowane cztery lata temu. We Wszechświecie zawsze spoglądamy wstecz w czasie. Widzimy te najbliższe gwiazdy nie takie, jakie są dzisiaj, lecz takie, jakie były cztery lata temu.
Tak samo jest w codziennym życiu. Prędkość światła, wyrażona w nieco innych jednostkach, wynosi około 1 stopy na nanosekundę. Dwie osoby siedzące przy stole widzą siebie nawzajem z opóźnieniem kilku nanosekund. To oczywiście zbyt małe opóźnienie, aby było zauważalne, ale każdy wizualny kontakt ma wbudowane opóźnienie czasowe.
Ilustracja 4.1. Paralaksa. Gdy Ziemia okrąża Słońce, pobliska gwiazda zmienia położenie na niebie na tle odległych gwiazd
Credit: J. Richard Gott
Jak zmierzyć odległość do najbliższych gwiazd? Cztery lata świetlne to olbrzymia odległość. Nie możemy po prostu rozciągnąć taśmy mierniczej stąd do gwiazdy. Najpierw musimy poznać pojęcie paralaksy. Ziemia krąży wokół Słońca (zob. il. 4.1). W styczniu Ziemia znajduje się po jednej stronie Słońca, a sześć miesięcy później, w lipcu, po przeciwnej. Na prawo od układu Ziemia-Słońce znajduje się pewna pobliska gwiazda, a daleko po prawej stronie jest układ wielu bardzo odległych gwiazd. Są one tak oddalone, że powinny się znaleźć daleko poza obszarem ilustracji. Załóżmy teraz, że w styczniu wykonujemy fotografię owej sąsiedniej gwiazdy. Na fotografii zostaną uwiecznione wszystkie gwiazdy, które zmieściły się w kadrze, a jedną z nich będzie nasza sąsiadka (oznaczona czerwoną gwiazdką na ilustracji). Obraz nieba w styczniu jest przedstawiony w lewym dolnym rogu ilustracji. Na razie nie widzimy na nim nic szczególnego - kilka gwiazd na tle nieba. Nie wiemy, które z nich są blisko, a które daleko. Pół roku później, gdy Ziemia znajdzie się w innym miejscu, po przeciwnej stronie swojej orbity, ponownie wykonujemy fotografię tego samego obszaru nieba. Na fotografii widzimy ten sam układ gwiazd, lecz okazało się, że jedna z nich przemieściła się z położenia, które zajmowała w styczniu, do nowego położenia w lipcu. Inne gwiazdy w zasadzie znajdują się w tych samych miejscach, a ta jedna przeskoczyła w inne położenie. Co będzie za kolejne sześć miesięcy? Wróci tam, skąd przyszła. Przesunięcie gwiazdy będzie się powtarzać, tam i z powrotem, w zależności od pory roku, w której ją obserwujemy lub wykonujemy zdjęcie.
Instrukcja stereoskopowego widzenia obrazu 3D
Jak złożyć dwa dwuwymiarowe rysunki w trójwymiarowy obraz nieba
W rzeczywistym świecie każde z dwojga twoich oczu widzi świat z nieco innej perspektywy, co pozwala ci oceniać odległości. Możemy to wykorzystać, aby oszukać mózg - zobaczyć trójwymiarowy obraz, patrząc na dwuwymiarową stronicę książki. Na ilustracji 4.2 umieszczone są dwie fotografie. Należy doprowadzić do sytuacji, w której każde z dwojga oczu widzi tylko jedną. Fotografia po lewej stronie jest przeznaczona dla prawego oka, ta po prawej - dla lewego oka, więc linie twojego wzroku będą się przecinać. To może wydawać się trudne, ale w rzeczywistości jest bardzo łatwe do zrealizowania. Trzymaj otwartą książkę jedną ręką w odległości około 15 cali (38 cm) z rysunkiem na wprost swoich oczu. Wskazujący palec drugiej ręki umieść mniej więcej w połowie odległości od oczu do książki. Patrz na ilustrację 4.2. Powinieneś widzieć ostry obraz rysunku oraz dwa rozmyte obrazy swojego palca (jeden obraz widziany przez lewe oko i jeden przez prawe). Cały czas skupiając wzrok na stronie, poruszaj palcem tam i z powrotem, aż jeden z dwóch rozmytych obrazów palca znajdzie się na środku dolnej krawędzi lewej fotografii, a drugi rozmyty obraz palca znajdzie się na środku dolnej krawędzi prawej. Oprócz ruchów palcem możesz także lekko przechylać głowę w lewo lub w prawo. A teraz skup wzrok na palcu. Powinieneś widzieć jeden ostry obraz palca oraz trzy rozmyte obrazy fotografii z książki. Ostrożnie, nie poruszając gałkami oczu - aby utrzymać skrzyżowane linie wzroku - przenieś uwagę na środkowy obraz. Powinien się zogniskować jako piękny trójwymiarowy obraz nieba z jasną gwiazdą Wega wyskakującą z książki na tle innych gwiazd. Powinieneś widzieć, że różne gwiazdy znajdują się w różnych odległościach od ciebie. Twój mózg automatycznie mierzy "przesunięcia" i wykonuje obliczenia paralaksy. W taki sposób działa nasze trójwymiarowe widzenie. Mózg nieustannie porównuje obrazy z obu oczu i wykonuje obliczenia paralaksy, aby wyznaczyć odległość obiektów, które znajdują się w polu widzenia. Alternatywna metoda polega na tym, aby zacząć od palca. Patrz na palec - twoje oczy skrzyżują się na palcu, a za nim pojawią się trzy rozmyte obrazy. Przenieś uwagę na środkowy obraz. Powinieneś zobaczyć trójwymiarowy obraz. Jeżeli nie uda się za pierwszym razem, próbuj dalej. Nie zawsze się udaje, ale jeżeli ci się uda, to zobaczysz spektakularny efekt wart wysiłku. Zastosujemy tę samą technikę w dalszej części książki, oglądając ilustrację 18.1.
Wyświetlamy te dwa zdjęcia naprzemiennie, jedno po drugim. Jeżeli zdjęcia są identyczne, z wyjątkiem jednej gwiazdy, która przeskakuje z miejsca na miejsce, to ta gwiazda jest blisko nas, a wszystkie pozostałe są daleko. Im jest bliżej nas, tym większe jest jej "przesunięcie". Piszę "przesunięcie" w cudzysłowie, ponieważ to nie ona się przesuwa. Gwiazda leży tam, gdzie leży - to my przesuwamy się tam i z powrotem wokół Słońca; przesunięcie gwiazdy jest w istocie skutkiem zmiany naszej perspektywy.
Łatwo się przekonać samemu. Zamknij lewe oko i wyciągnij kciuk na długość wyciągniętej ręki. Ustaw kciuk w jednej linii z jakimś odległym obiektem, patrząc tylko prawym okiem. A teraz mrugnij - zamknij prawe oko i otwórz lewe. Co się stało? Kciuk się przesunął. A teraz umieść kciuk w połowie długości wyciągniętej ręki i powtórz ten eksperyment. Kciuk przesunął się jeszcze bardziej. Astronomowie uświadomili sobie, że taki sam efekt działa dla gwiazd: pobliska gwiazda jest kciukiem, a średnica orbity Ziemi jest odległością twoich oczu. Nie da się oczywiście zmierzyć odległości do jakiejś gwiazdy, korzystając z paralaksy własnych oczu, ponieważ kilka centymetrów, które dzielą gałki oczu, to za mało, aby dało się odróżnić kąty widzenia gwiazdy. Lecz średnica orbity Ziemi wynosi 300 milionów kilometrów. Ta odległość okazała się wystarczająca, aby "mrugnąć" na Wszechświat i zmierzyć odległości do kilku pobliskich gwiazd.
Na ilustracji 4.2 mamy symulację takiego pomiaru na tle konstelacji Liry. Gwiazdy na dwóch obrazkach zostały przesunięte proporcjonalnie do ich obserwowanej paralaksy, tak jakby reprezentowały dwie fotografie wykonane w odstępie sześciu miesięcy na orbicie Ziemi. Przesunięcia zostały sztucznie powiększone, aby efekt paralaksy był dobrze widoczny.
Wega, najjaśniejsza gwiazda na ilustracji, jest oddalona od nas tylko o 25 lat świetlnych, znacznie bliżej niż inne gwiazdy w konstelacji Liry. Jeżeli porównasz oba obrazki i poszukasz różnic, przekonasz się, że przesunięcie Wegi jest największe.
Ilustracja 4.2. Paralaksa Wegi. Dwie schematyczne ilustracje symulujące zdjęcia konstelacji Liry, wykonane w odstępie sześciu miesięcy na orbicie Ziemi. Każda gwiazda na zdjęciach jest odpowiednio przesunięta, a przesunięcie jest odwrotnie proporcjonalne do odległości od Ziemi. Wszystkie przesunięcia są powiększone o duży czynnik, aby były widoczne na ilustracji. Wega (najjaśniejsza gwiazda w konstelacji Liry) jest oddalona od nas tylko o 25 lat świetlnych. Paralaktyczne przesunięcie Wegi łatwo zobaczyć, porównując jej położenie na obu ilustracjach. Kierując się instrukcją zamieszczoną na s. 61, możesz także użyć tych ilustracji jako stereoskopowej pary ze skrzyżowanymi liniami wzroku, co pozwoli zobaczyć trójwymiarowy obraz
Photo credit: Robert J. Vanderbei, J. Richard Gott
Im większa odległość, tym mniejsze przesunięcie paralaktyczne, ale można tą techniką zmierzyć odległości wielu pobliskich gwiazd. Zacznijmy od kilku podstawowych faktów z geometrii. Na ilustracji 4.1 widzimy pobliską gwiazdę na tle układu odległych gwiazd. W styczniu gwiazda znajduje się w jednym położeniu, w lipcu w innym. Połowa tego przesunięcia definiuje tak zwany kąt paralaksy, czyli kąt, o jaki gwiazda przemieściłaby się na niebie, gdyby ziemski obserwator przemieścił się nie o 2 AU, lecz o 1 AU. Wiemy, ile wynosi promień ziemskiej orbity (1 AU) w kilometrach. Możemy zmierzyć kąt paralaksy. Rozważmy teraz trójkąt, który tworzą Ziemia, Słońce i gwiazda. Jest to trójkąt prostokątny z kątem prostym przy Słońcu. Zmiana kąta, pod jakim widzimy gwiazdę w ciągu roku, jest dokładnie równa zmianie kąta, pod jakim obserwator znajdujący się na tej gwieździe widzi nas, patrząc wzdłuż tych samych dwóch linii obserwacji. Oznacza to, że kąt paralaksy, który my obserwujemy z Ziemi, jest równy kątowi między Słońcem i Ziemią (w lipcu), który widzi obserwator znajdujący się na tej gwieździe (zobacz ponownie il. 4.1). Oznacza to, że trójkąt Ziemia-Słońce-gwiazda ma następujące trzy kąty: kąt 90o (z wierzchołkiem przy Słońcu), kąt paralaksy (wierzchołek przy gwieździe) oraz kąt równy 90o minus kąt paralaksy (wierzchołek przy Ziemi), ponieważ suma kątów w trójkącie musi być równa 180o, zgodnie z regułami geometrii euklidesowej.
Znamy długość jednego boku tego trójkąta - jest równy odległości Ziemia-Słońce. Znając także miary wszystkich kątów trójkąta, możemy obliczyć długość każdego z pozostałych boków, w szczególności tego boku, który łączy Słońce oraz gwiazdę. W ten sposób - mierząc paralaksę - możemy wyznaczyć odległość do gwiazdy. Wprowadzimy teraz nową jednostkę odległości zwaną parsekiem. Gwiazda jest odległa o parsek, jeżeli jej paralaksa jest równa jednej sekundzie kątowej. Jedna sekunda kątowa jest oczywiście równa 1/60 minuty kątowej, a jedna minuta kątowa jest równa 1/60 stopnia, czyli jedna sekunda kątowa jest równa 1/3600 stopnia. Policzymy teraz, w jakiej odległości znajduje się gwiazda, jeżeli jej paralaksa jest równa jednej sekundzie kątowej. Jedna sekunda kątowa łuku odpowiada 1/(360 × 60 × 60) całego obwodu okręgu. Narysujmy teraz ogromny okrąg, którego środkiem jest Słońce, a gwiazda leży na obwodzie. Jeżeli gwiazda jest w odległości d od nas, obwód tego okręgu C = 2?d. Odcinek równy odległości Ziemia-Słońce, r = 1 AU, wycina na tym okręgu maleńki fragment łuku, równy 1/(360 × 60 × 60) całego obwodu. Mamy zatem 1 AU/2?d = 1/(360 × 60 × 60), co daje d = 206 265 AU, odległość odpowiadającą paralaksie równej jednej sekundzie kątowej. Prosta geometria euklidesowa.
Jeżeli oglądasz serial Star Trek, słyszysz często słowo "parsek". To fajna i dźwięczna nazwa. Ile to jest lat świetlnych? To 3,26 roku świetlnego. W tej książce będziemy głównie posługiwać się latami świetlnymi, ale jeżeli kiedyś zetkniesz się z określeniem parsek, to będziesz wiedział, co to jest. Przy okazji możemy także wyjaśnić, skąd ono pochodzi. Astronomowie utworzyli to słowo, łącząc dwa inne określenia: "paralaksa" oraz "sekunda". Gwiazda, której paralaksa wynosi 1/2 sekundy kątowej, jest odległa o 2 parseki. Gwiazda, której paralaksa wynosi 1/10 sekundy kątowej, jest odległa o 10 parseków. Łatwe. Mamy w astronomii wiele takich określeń. Niektóre z nich są dość popularne, na przykład kwazar lub pulsar. Słowo "kwazar" pochodzi od określenia "quasi-stellar radio source" (quasi-gwiezdne źródło radiowe). Pulsar pochodzi od "pulsating star" (pulsująca gwiazda) - wszystkim się podoba. Istnieje nawet marka zegarków Pulsar.
Która gwiazda leży najbliżej Ziemi? Jeżeli odpowiesz, że Alfa Centauri, to dałeś się podpuścić. Najbliżej Ziemi jest Słońce. Najbliżej Słońca leży układ Alfa Centauri. "Alfa" oznacza, że jest to najjaśniejsza gwiazda swojej konstelacji: widocznej na południowej półkuli konstelacji Centaura. W rzeczywistości jest to układ trzech gwiazd. Jedna z nich jest najbliższą sąsiadką Słońca. W skład układu potrójnego Alfa Centauri wchodzi Alfa Centauri A, gwiazda tej samej kategorii co nasze Słońce, o średnicy równej 123% średnicy Słońca; Alfa Centauri B, 86,5% średnicy Słońca; Proxima Centauri A, czerwony karzeł o średnicy równej zaledwie 14% średnicy Słońca. Spośród tych trzech gwiazd Proxima leży najbliżej Słońca8, w odległości około 4,1 roku świetlnego, co daje paralaksę 0,8 sekundy kątowej.
Sekunda kątowa to bardzo, bardzo mały kąt. Na zdjęciach nocnego nieba, wykonanych z Ziemi profesjonalnym teleskopem, pozorne rozmiary gwiazd wynoszą zazwyczaj około jednej sekundy kątowej. To typowe dla ziemskich teleskopów. Kosmiczny Teleskop Hubble'a jest dziesięć razy lepszy. Atmosfera rozmywa obrazy gwiazd wykonywane teleskopami umieszczonymi na Ziemi. Światło gwiazdy biegnie w próżni jako ostry, wąski promień, lecz gdy wejdzie w atmosferę, jest potrącane, szarpane, rozpraszane, i w końcu ląduje w soczewce oka lub teleskopu jako wielka plama. Patrzymy w niebo i mówimy: "Och, czyż to nie piękne? Gwiazdy mrugają!". Ale dla astronoma mruganie gwiazd nie jest piękne, lecz paskudne. Jedna sekunda kątowa to typowa szerokość tego mrugania.
Zwróć uwagę, że jeden parsek to mniej niż odległość do najbliższej gwiazdy. Z tego powodu minęły tysiące lat, zanim astronomowie zdołali zmierzyć paralaksę. Dopiero w 1838 roku niemiecki matematyk, Friedrich Bessel, zdołał zmierzyć pierwszą gwiezdną paralaksę (jeżeli atmosfera rozmywa obraz do szerokości jednej sekundy kątowej, to astronom obserwujący gwiazdę przez teleskop musi wykonać wiele pomiarów, aby uzyskać dokładność poniżej jednej sekundy kątowej). W istocie, argumenty, które ponad dwa tysiące lat temu wysunął Arystarch, dowodząc, że Ziemia krąży po orbicie wokół Słońca, zostały odrzucone przez brak obserwowanej paralaksy. Grecy to byli sprytni goście. "Dobrze - stwierdzili - nie podoba ci się nasz heliocentryczny wszechświat ze Słońcem krążącym wokół Ziemi? Wolałbyś, aby Ziemia krążyła wokół Słońca?" Wiedzieli, że gdyby Ziemia rzeczywiście krążyła wokół Słońca, pobliskie gwiazdy byłyby widoczne pod pewnym kątem, gdy Ziemia jest z jednej strony Słońca, a pod innym kątem, gdy Ziemia jest po drugiej stronie Słońca. Grecy wiedzieli, że powinni obserwować efekt paralaksy. Teleskopów jeszcze nie było, więc próbowali zaobserwować paralaksę gołym okiem, ale efekt paralaksy jest zbyt mały, aby był mierzalny bez teleskopu. W rezultacie brak widocznej paralaksy został użyty jako potężny argument przeciwko koncepcji układu heliocentrycznego ze Słońcem w centrum Wszechświata.
Obserwując na nocnym niebie wszystkie te mrugające gwiazdy i rozmyte mgławice, nie mieliśmy pojęcia o rozmiarach Wszechświata aż do początków XX wieku. Dopiero wtedy przepuściliśmy światło gwiazd przez pryzmat i uzyskaliśmy pewne dane, które można poddać analizie. Wtedy przekonaliśmy się, że niektóre gwiazdy można potraktować jako "świece standardowe". Spróbujmy to wyjaśnić. Gdyby wszystkie gwiazdy na nocnym niebie były dokładnie takie same - gdyby zostały równo ucięte jakimś kuchennym nożem i rozrzucone we Wszechświecie - słabsze byłyby zawsze dalej, a jaśniejsze bliżej. Wtedy sprawa byłaby prosta. Wszystkie jasne gwiazdy byłyby blisko. Wszystkie słabe gwiazdy byłyby daleko. Ale w rzeczywistości tak nie jest. W tym gwiezdnym zoo musimy zatem poszukać gwiazd tego samego rodzaju. Jeżeli widmo jakiejś grupy gwiazd ma pewną szczególną cechę, a jedna z nich jest na tyle blisko, że możemy zmierzyć jej paralaksę, to możemy skalibrować moc tej gwiazdy i użyć jej do wyznaczenia odległości innych gwiazd. Widząc, że jasność innej gwiazdy jest cztery razy mniejsza albo dziewięć razy mniejsza, możemy obliczyć ich odległości. Ale potrzebujemy tę jedną świecę standardową jako miarkę. Dopiero w latach dwudziestych XX wieku znaleźliśmy takie miarki. Wcześniej nie mieliśmy pojęcia o odległościach we Wszechświecie. Książki z tego okresu opisują Wszechświat po prostu jako strefę gwiazd, bez wzmianki o zasięgu lub rozmiarach Wszechświata.
Potrzebujemy teraz nieco informacji na temat pewnych matematycznych narzędzi, zwanych funkcjami rozkładu (ang. distribution function). Jest to bardzo użyteczne pojęcie o wielu zastosowaniach w matematyce i w innych naukach. Zacznijmy od bardzo prostej wersji funkcji rozkładu, zwanej histogramem, który mógłby się pojawić na przykład na stronach "USA Today", ponieważ oni lubią się posługiwać histogramami i wykresami. Możemy narysować wykres ilustrujący liczbę słuchaczy w przeciętnej klasie w amerykańskim koledżu jako funkcję wieku (il. 4.3).
Aby sporządzić taki histogram, trzeba zacząć od pytania, kto ma 16 lat lub mniej. Jeżeli nikt się nie zgłosi, histogram będzie miał wartość zero dla tego zakresu lat. Następnie pytamy, ile osób ma 17-18 lat. Powiedzmy, że 20 osób. Dla siedemnasto-, osiemnastolatków rysujemy słupek wysoki na 20 jednostek. A 19-20 lat? Tyle ma 35 osób. Kontynuujemy pytania, aż sprawdzimy wiek wszystkich obecnych.
Ilustracja 4.3. Histogram wieku w klasie
Credit: J. Richard Gott
Popatrzmy teraz na ilustrację 4.3 i spróbujmy przeanalizować, co ten wykres mówi o ludziach należących do tej klasy. Po pierwsze, większość należy do grupy wiekowej 17-20, co sugeruje, że mamy do czynienia z grupą studentów. Następnie mamy przerwę, potem kilku maruderów i kolejne dwa słupki w okolicy 70 lat. Dwa słupki (w żargonie: dwa mody) - mówimy, że mamy do czynienia z rozkładem dwumodalnym. Większość osób w tej starszej grupie to nie są studenci; prawdopodobnie są to wizytatorzy, a ktoś, kto wizytuje dzienne zajęcia w koledżu, najprawdopodobniej jest już emerytem, skoro nie musi pracować na swoje utrzymanie od godziny 8 do 16. Sporo wniosków można wyciągnąć, analizując ten rozkład. Gdybyśmy przeprowadzili takie badanie na całej populacji koledżu, prawdopodobnie zapełnilibyśmy kilka pustych miejsc, ale mogę się założyć, że wykres byłby bardzo podobny: w większości studenci, kilka starszych osób i od czasu do czasu przedwcześnie dojrzały czternastolatek - może jeden na tysiąc - w każdym roczniku trafia się jeden młody geniusz. Na osi poziomej przyjęliśmy dwuletnie przedziały wiekowe. Mając dużą liczbę danych, mógłbym sporządzić podobny histogram, ale z mniejszym podziałem na osi poziomej. Gdybym miał dostęp do większej próbki, na przykład do wszystkich studentów w całym kraju, mógłbym zmniejszyć przedział wiekowy do jednego dnia. Mój wykres nie byłby wtedy tak poszatkowany. Słupki byłyby tak wąskie, że mógłbym narysować na nich gładki wykres. Jeżeli przechodzisz od wykresu słupkowego do gładkiej krzywej, którą możesz zapisać w jakiejś matematycznej formie, twój histogram staje się funkcją rozkładu.
Ile osób należy do grupy, dla której sporządziliśmy ilustrację 4.3? To łatwe - wystarczy przejść wzdłuż osi i dodać wszystkie liczby. W tym przypadku dostajemy 109. Jeżeli masz do czynienia z funkcją rozkładu, możesz użyć rachunku całkowego, aby obliczyć pole powierzchni pod krzywą. Pole reprezentuje liczbę obiektów poddanych analizie. Newton wynalazł rachunek różniczkowy i całkowy, mając dwadzieścia sześć lat - moim zdaniem był on najbystrzejszym człowiekiem, jaki kiedykolwiek stąpał po Ziemi!
W jaki sposób można powyższe rozważania zastosować do gwiazd? Spójrzmy na Słońce. Chciałbym rzec: "Słońce, zdradź mi coś. Chcę wiedzieć, ile cząstek światła emitujesz". Isaac Newton sformułował także koncepcję cząstek światła (na długo przed Einsteinem, mógłbym dodać). Mamy obecnie odpowiednie określenie dla tych cząstek: fotony. Nie protony, lecz fotony. "Foto-", tak jak "fotografia", albo "torpeda fotonowa". Miłośnicy Star Treka znają te określenia.
Fotony mają rozmaite kolory. Isaac Newton przepuścił białe światło przez pryzmat, a następnie wyliczył kolory, które zobaczył w tęczy za pryzmatem: czerwony, pomarańczowy, żółty, zielony, niebieski, indygo (często spotykany barwnik w czasach Newtona), fioletowy. Obecnie zazwyczaj wymieniamy sześć kolorów tęczy, ale - w hołdzie dla Newtona - ja zwykle dodaję indygo; poza tym, rozmaite mnemotechniczne sposoby zapamiętywania kolorów tęczy, takie jak "Roy G Biv", na ogół obejmują siedem kolorów.
Angielski astronom, William Herschel, odkrył zakres widma, zwany dzisiaj promieniowaniem podczerwonym, którego nasze oczy nie rejestrują. Na skali energii promieniowanie podczerwone leży "poniżej" czerwonego. Herschel przepuścił światło słoneczne przez pryzmat i zauważył, że termometr umieszczony poza czerwonym końcem widma był gorący. Po drugiej stronie można także wyjść poza skalę widzialnego widma, w obszar zwany ultrafioletem, w skrócie UV. Z pewnością słyszałeś o obu tych zakresach światła, ponieważ pojawiają się często w codziennym życiu. Promieniowanie UV jest źródłem opalenizny; podczerwone podgrzewacze w restauracji utrzymują frytki w odpowiedniej temperaturze, zanim trafią na twój talerz.
Widmo jest znacznie bogatsze niż to, co widzą nasze oczy. Za ultrafioletem mamy promienie X, a jeszcze dalej promieniowanie gamma. Słyszałeś o nich. Idźmy teraz w przeciwną stronę. Poza zakresem promieniowania podczerwonego są mikrofale. Potem fale radiowe. Mikrofale były kiedyś uważane za część zakresu fal radiowych, ale teraz są traktowane jako oddzielny zakres widma. Nie wyróżniamy, nie mamy nazwy dla fal powyżej zakresu gamma - wszystko, co jest powyżej, nazywa się gamma. Podobnie na drugim końcu widma nie mamy nazwy poniżej zakresu radiowego9.
Foton jest cząstką. Możemy także uważać foton za falę, zgodnie z dualną naturą cząstek. Czym zatem jest foton? Falą czy cząstką? To pytanie jest źle sformułowane. Powinniśmy raczej zadawać sobie pytanie, dlaczego nasz mózg nie jest w stanie zgłębić czegoś, co ma w sobie dualną naturę. Tu jest problem. Możemy tworzyć nowe słowa, takie jak "falocząstka". To określenie powstało jakiś czas temu, ale nigdy się nie przyjęło, ponieważ ludzie nadal chcą wiedzieć, czym są cząstki. A odpowiedź zależy od tego, co i jak chcesz zmierzyć. Jeżeli myślimy o fotonie jako o fali, to fale charakteryzuje wielkość zwana długością fali. Do oznaczenia tej wielkości używamy greckiej litery lambda, ?.
Jak duże są fale radiowe? Pomyśl o tym w następujący sposób: niegdyś, gdy ktoś chciał zmienić kanał TV, musiał wstać z kanapy, podejść do telewizora i pokręcić przełącznikiem. To było tak dawno, że niektórzy już tego nie pamiętają. Na telewizorze stała antena zwana "królicze uszy" - dwa pręty w kształcie litery V. Jeżeli obraz lub dźwięk nie był wyraźny, widzowie próbowali poruszać prętami anteny. Te anteny były długie na prawie metr, ponieważ fale radiowe przenoszące sygnał telewizyjny mają długość około metra. Antena rejestrowała fale radiowe rozchodzące się w powietrzu. W studiach telewizyjnych do dzisiaj można spotkać napis, który brzmi: "On the Air" ("w eterze"; dosł. "w powietrzu"), w nawiązaniu do faktu, że obraz z kamery w studio był transmitowany do domowych odbiorników za pomocą fal rozchodzących się w powietrzu. Dzisiaj większość transmisji odbywa się poprzez fale rozchodzące się wzdłuż kabli, lecz napis w studio nie brzmi "On the Cable". Co więcej, promieniowanie elektromagnetyczne (i światło, i fale radiowe) rozchodzi się bez problemu w próżni. Obecność powietrza jest praktycznie bez znaczenia, co zawsze prowokowało mnie, aby zamienić napis "On the Air" na "On the Space" ("W przestrzeni").
A co z telefonami komórkowymi? Jak duże są ich anteny? Całkiem małe. Komórki wykorzystują mikrofale - fale o długości zaledwie kilku lub kilkunastu centymetrów. Dzisiejsze telefony mają anteny mieszczące się wewnątrz obudowy, ale niektóre wcześniejsze modele miały krótką, grubawą antenę, którą wysuwało się przed każdą rozmową.
Jak duże są otwory w ekranie kuchenki mikrofalowej? Drzwiczki kuchenki mają otwory, przez które widzisz wstawioną do środka potrawę. Zwróć uwagę, że te otwory mają tylko kilka milimetrów, mniej niż długość fali mikrofal, które podgrzewają twój posiłek. Dwunastocentymetrowa mikrofala, która chciałaby się wydostać na zewnątrz, widzi kilkumilimetrowy otwór, przez który nie zdoła się przedostać. Nigdzie nie jest w stanie znaleźć wyjścia na zewnątrz. Czy wiesz, kto jeszcze wykorzystuje mikrofale? Policjant, który celuje swoim radarem w samochody, mierząc ich prędkość. Mikrofale odbijają się od metalowej karoserii. Istnieje sprytny sposób, aby tego uniknąć: kojarzysz czarne osłony przeciwko owadom, które kierowcy, zazwyczaj młodzieńcy w sportowych samochodach, umieszczają przed przednim błotnikiem? One bardzo dobrze pochłaniają mikrofale, gdy więc wiązka mikrofal trafia w taki samochód, odbita od osłony fala jest na tyle słaba, że wiązka, która powraca do policyjnego radaru, nie wystarcza, aby detektor był w stanie wykonać odczyt. Szyby samochodu są oczywiście przezroczyste dla mikrofal. Skąd wiemy, że mikrofale przenikają przez szkło? A gdzie kierowcy umieszczają swoje detektory radarów? Zazwyczaj wewnątrz samochodu nad deską rozdzielczą, więc oczywiście mikrofale przenikają przez szkło. Na tej samej zasadzie możesz mikrofalować potrawy w szklanym naczyniu, ponieważ mikrofale bez przeszkód przenikają przez ścianki naczynia. Aby zmierzyć twoją prędkość, policyjny radar wykorzystuje zjawisko zwane efektem Dopplera, które omówimy nieco później. Obecnie musisz jedynie wiedzieć, że polega ono na zmianie długości fali ulegającej odbiciu od poruszającego się ciała. Dokładny pomiar wymaga, aby detektor znajdował się dokładnie na drodze poruszającego się samochodu, czyli policjant musiałby stać na środku drogi. W normalnych warunkach policyjny radar znajduje się zazwyczaj nieco z boku, na skutek czego daje, niestety, zaniżony odczyt. Rzeczywista prędkość jest nieco większa, więc gdy cię namierzą, nie masz wyjścia. Płacisz mandat i jedziesz dalej.
Policyjny radar wysyła sygnał, który odbija się od twojego samochodu. Wyobraź sobie teraz, że patrzysz na swoje odbicie w lustrze. Lustro jest oddalone o 10 stóp i porusza się w twoim kierunku z prędkością jednej stopy na sekundę. Twój odbity obraz startuje w odległości 20 stóp (światło leci 10 stóp w kierunku lustra oraz 10 stóp z powrotem). Ale jedną sekundę później lustro jest już tylko 9 stóp od ciebie, więc widzisz swoje odbicie w odległości 18 stóp. Czyli lustro porusza się w twoim kierunku z prędkością jednej stopy na sekundę, ale twój obraz w tym lustrze porusza się w twoim kierunku z prędkością dwóch stóp na sekundę. Na tej samej zasadzie policyjny radar rejestruje odbicie twojego samochodu zbliżające się do policjanta z prędkością dwukrotnie większą niż prędkość twojego samochodu. Spróbuj wyjaśnić tę kwestię sędziemu! Policyjne radary są oczywiście wykalibrowane tak, że wyświetlają połowę zmierzonego przesunięcia Dopplera, aby poprawnie rejestrować prędkość lustra, czyli twojego samochodu. Przy okazji, słowo "radar" jest akronimem od: radio detection and ranging (radiowa detekcja oraz namierzanie), gdyż pochodzi z czasów, gdy mikrofale były uważane za część zakresu fal radiowych.
A skoro już mowa o mikrofalach - molekuła wody, H2O, silnie absorbuje mikrofale. Kropla wody w twojej kuchence mikrofalowej zawiera miliardy bilionów molekuł wody i wszystkie one absorbują mikrofale. Woda się nagrzewa na skutek tarcia między molekułami, które nieustannie obracają się z częstotliwością promieniowania mikrofalowego. Jeżeli wstawisz do kuchenki cokolwiek, co zawiera wodę, mikrofale będą pochłaniane i temperatura będzie wzrastać. Nie licząc soli, wszystko, co jemy, zawiera wodę, dlatego kuchenki mikrofalowe tak skutecznie podgrzewają nasze posiłki, a nie podgrzewają szklanego talerza, jeżeli nie ma na nim wody.
Ludzkie ciało reaguje na promieniowanie podczerwone. Nasza skóra je absorbuje, a my odczuwamy to jako ciepło. Światło widzialne dobrze znamy. Zależnie od odcienia lub koloru twojej skóry jesteś mniej lub bardziej narażony na skutki promieniowania nadfioletowego. Może ono uszkadzać głębsze warstwy skóry, co w skrajnych przypadkach prowadzi do powstania nowotworów skóry. Ozon w atmosferze chroni nas przed promieniowaniem ultrafioletowym Słońca. Tlen występuje w atmosferze w postaci molekuł O2 oraz O3 (złożonych odpowiednio z dwóch lub trzech atomów tlenu). Ozon występuje w górnej warstwie atmosfery, gdzie absorbuje większość fotonów promieniowania ultrafioletowego Słońca. Gdyby w atmosferze Ziemi nie było ozonu, ultrafiolet docierałby do powierzchni planety, zwiększając znacznie częstotliwość nowotworów skóry. Atmosfera Marsa nie zawiera ozonu, dlatego powierzchnia Marsa jest nieustannie skąpana w świetle promieniowania ultrafioletowego Słońca. Stąd sądzimy, że na powierzchni Marsa nie istnieje życie, nawet jeżeli może istnieć pod powierzchnią. Jakakolwiek materia ożywiona wystawiona na taką dawkę promieniowania ultrafioletowego dawno uległaby rozkładowi.
Niemal każdy z nas był kiedyś prześwietlany. Czy pamiętasz, co mówił i co robił technik w pracowni rentgenowskiej, zanim włączył aparaturę? Kazał ci się położyć, powiedział "proszę się nie ruszać", wyszedł do sąsiedniego pomieszczenia, za jakąś ołowianą zasłonę, zamknął drzwi i dopiero wtedy włączył aparaturę. W ten sposób uniknął niepożądanej dawki promieniowania. Powinno ci to dać do myślenia - za chwilę stanie się coś niedobrego dla twojego organizmu. Promienie X przenikają przez skórę i docierają głęboko do wnętrza organizmu. Mogą zainicjować wzrost tkanki nowotworowej wewnętrznych organów. Z drugiej strony niepoddanie się prześwietleniu może mieć jeszcze gorsze konsekwencje. Jeżeli złamałeś rękę, diagnoza zwykle wymaga wykonania zdjęcia rentgenowskiego. Jeżeli dawka promieni X jest mała, ryzyko jest niewielkie.
Promienie gamma są jeszcze groźniejsze. Docierają do twojego DNA i mogą nieźle w nim namieszać. Nawet bohaterowie komiksów wiedzą, że promienie gamma są groźne. Pamiętasz film Niesamowity Hulk? Jak powstał Hulk? Co się z nim stało? Czy aby nie wykonywał eksperymentów, które wystawiły go na wysoką dawkę promieni gamma? A teraz, gdy jest zły, staje się duży, brzydki i zielony. A więc bądź ostrożny z promieniami gamma, jeśli nie chcesz, aby to samo przydarzyło się tobie. Przechodząc wzdłuż widma do coraz mniejszych długości fali, od UV, przez promienie X, aż po promienie gamma, energia pojedynczego fotonu jest coraz większa, a wraz z energią rośnie jego zdolność do powodowania zniszczeń.
Promienie radiowe są obecnie wszędzie wokół nas. Przez cały czas. Możesz wykonać bardzo prosty eksperyment, aby to stwierdzić. Włącz radio i ustaw je na jakąś stację. Jakąkolwiek stację, o dowolnej porze dnia. Stacje radiowe nieustannie emitują fale radiowe, które nieustannie docierają do twojego radia. Promienie mikrofalowe są także obecne wszędzie wokół nas. Skąd to wiemy? Twój telefon komórkowy dzwoni za każdym razem, gdy ktoś chce z tobą porozmawiać. Stacje przekaźnikowe telefonii komórkowej nieustannie emitują promienie mikrofalowe, które nieustannie docierają do twojego telefonu. Ale mikrofale są niegroźne w porównaniu z tym, co się dzieje na wysokoenergetycznym końcu widma. Chyba że zmieścisz się wewnątrz kuchenki mikrofalowej.
Wszystkie te fotony podróżują w próżni z jednakową prędkością. Z prędkością światła. To nie jest jedynie dobry pomysł - to jest prawo przyrody. Światło widzialne, tak jak je zdefiniowaliśmy, znajduje się na środku widma elektromagnetycznego, ale to wszystko jest światłem i wszystko porusza się z prędkością światła, 300 000 kilometrów na sekundę (ściśle rzecz biorąc, 299 792 458 metrów na sekundę). Jest to jedna z najważniejszych stałych przyrody.
Wszystkie fotony poruszają się z taką samą prędkością, ale mogą się różnić długością fali. Gdy przebiegają obok mnie, ich częstotliwość jest zdefiniowana jako liczba grzbietów fali, które mijają mnie w ciągu jednej sekundy. W przypadku małej długości fali liczba grzbietów na sekundę będzie duża; dla dużej długości fali liczba grzbietów na sekundę będzie mała. Wysoka częstotliwość odpowiada zatem małej długości fali, niska częstotliwość odpowiada dużej długości fali. Tę zależność doskonale odzwierciedla prosty i znany wzór: prędkość światła (c) jest równa częstotliwości pomnożonej przez długość fali (?). Dla częstotliwości używamy greckiej litery ?. Wzór wygląda następująco:
c = ? ?.
Rozważmy jako przykład fale radiowe o długości 1 metra. Prędkość światła jest w przybliżeniu równa 300 000 000 metrów na sekundę, zatem długość fali ? = 1 metr trzeba pomnożyć przez częstotliwość równą 300 000 000 grzbietów (cykli) na sekundę, czyli 300 megacykli (300 MHz).
Częstotliwość jest także związana z energią fotonu. Energia jednego fotonu:
E = h?.
Ten wzór odkrył Einstein. Występuje w nim stała Plancka, h, nazwana na cześć niemieckiego fizyka, Maxa Plancka. Stała h w powyższym wzorze służy jako współczynnik proporcjonalności, który mówi, że energia i częstotliwość są proporcjonalne - im wyższa częstotliwość, tym większa energia pojedynczego fotonu. Jeden foton promieniowania X niesie znaczną porcję energii, natomiast foton promieniowania radiowego - wielokrotnie mniejszą.
Pora zapytać Słońce, ile fotonów emituje i na jakich częstotliwościach. Ile zielonych fotonów wychodzi z powierzchni Słońca, ile czerwonych, ile podczerwonych, ile mikrofal, ile radiowych, ile fotonów gamma? Słońce emituje tak dużo fotonów, że możemy to zilustrować znacznie lepiej niż wykresem słupkowym, ponieważ dysponujemy ogromną liczbą danych. Możemy narysować gładką krzywą - wykres natężenia w funkcji długości fali. Na osi pionowej będziemy mieli liczbę fotonów na sekundę emitowanych przez metr kwadratowy powierzchni Słońca, na jednostkę długości fali pomnożoną przez energię jednego fotonu - dla określonej długości fali. Równie dobrze moglibyśmy liczyć same fotony, ale zazwyczaj jesteśmy zainteresowani ilością energii, którą niosą fotony. W rezultacie na osi pionowej mamy moc (energię w jednostce czasu) emitowaną przez jednostkę powierzchni Słońca na jednostkę długości fali10. Na poziomej osi mamy długość fali, rosnącą w prawo. Nanosimy na wykres promienie X, UV, widzialne (pas w kolorach tęczy), podczerwone (IR - infrared), mikrofale (oznaczone jako mikrofale). Na ilustracji 4.4 mamy funkcję rozkładu natężenia promieniowania Słońca.
Ilustracja 4.4. Promieniowanie Słońca i człowieka. Na osi pionowej odwzorowana jest energia na jednostkę czasu (czyli moc) emitowana przez różne źródła na jednostkę długości fali na jednostkę powierzchni. Pozioma oś reprezentuje długość fali. Cztery krzywe reprezentują gwiazdę o temperaturze 30 000 K, Słońce (5800 K), brązowego karła o temperaturze 1000 K oraz człowieka (310 K)
Photo credit: Michael A. Strauss
Temperatura powierzchni Słońca będącej źródłem tego promieniowania wynosi około 5800 K. Funkcję rozkładu odkrył Max Planck. Maksimum funkcji przypada w widzialnej części widma, co nie jest dziełem przypadku - nasze oczy wyewoluowały tak, aby rejestrować maksymalną ilość światła. Aby porównać Słońce z innymi gwiazdami, wybierzmy jeden metr kwadratowy powierzchni jako przykładowe źródło. Rozmiar tej powierzchni nie ma znaczenia pod warunkiem, że jest taka sama dla każdego z porównywanych źródeł. Niektórzy mówią, że nasze Słońce jest żółte, lecz to nie jest prawda. Jeżeli chciałbyś stwierdzić, że jest żółte, ponieważ maksimum wypada w okolicy żółtego koloru, można by równie łatwo argumentować, że maksimum wypada w okolicy zielonego, więc mamy zieloną gwiazdę. Oprócz żółtego, należy także uwzględnić odpowiednią ilość fioletu, indygo, niebieskiego, zielonego, pomarańczowego i czerwonego - tyle, ile pokazuje wykres. Dodając je wszystkie, będziemy mieli porównywalne ilości energii dla każdego z tych kolorów. A teraz przypomnijmy sobie Isaaca Newtona. Co to za kolor? Biały. Jeżeli przepuścisz jednakowe ilości kolorów światła widzialnego z powrotem przez pryzmat, wyłoni się białe światło. Newton przeprowadził ten eksperyment. Oznacza to, że Słońce, emitując jednakowe ilości każdego z tych kolorów, daje nam białe światło. Nieważne, jak jest przedstawiane w podręcznikach, nieważne, co mówią ludzie na ulicy, mamy białą gwiazdę - tylko tyle i aż tyle. Przy okazji - gdyby Słońce rzeczywiście było żółte, białe powierzchnie byłyby żółte w świetle słonecznym, śnieg byłby żółty (niezależnie od tego, czy jesteś w pobliżu hydrantu przeciwpożarowego).
Temperatura powierzchni Słońca wynosi około 5800 K. Temperatura w skali Kelvina (K) jest równa temperaturze w skali Celsjusza (C) plus 273. Lód zamarza w temperaturze 0 oC (czyli 273 K). Woda wrze w temperaturze 0 oC (373 K). Skale Celsjusza i Kelvina różnią się tylko o 273. Gdy mamy do czynienia z coraz wyższymi temperaturami, śledzenie tej różnicy ma coraz mniejsze znaczenie. Tak czy owak, 5800 kelwinów to dużo. Wystarczy, by wyparować każdego, kto się zbliży. No i dla podsumowania - 0 K (zero kelwinów) to najniższa możliwa temperatura (zapewne słyszałeś, że nazywamy ją temperaturą absolutnego zera). Wszelkie ruchy cząstek zamierają w temperaturze 0 K.
Przyjrzyjmy się innym gwiazdom. Na ilustracji 4.4 jedna z krzywych dotyczy gwiazdy, której maksimum wypada zaledwie w 1000 K, czyli w podczerwieni. Czy twoje oczy widzą w podczerwieni? Nie. Czy ta gwiazda jest niewidoczna? Nie. Niewielka część jej promieniowania wypada w widocznej części widma. Natężenie raptownie spada, gdy wykres przechodzi od czerwieni do błękitu przez widzialną część widma - ta gwiazda emituje znacznie więcej koloru czerwonego niż niebieskiego. Ta gwiazda będzie czerwona w naszych oczach. A teraz popatrzmy na gwiazdę, której temperatura wynosi 30 000 K. Dla przypomnienia, zadajemy sobie teraz pytania na temat rozkładów widmowych światła w ścisłej analogii do pytań, które dotyczyły rozkładów wieku studentów w koledżu. Gdzie jest maksimum natężenia dla gwiazdy o temperaturze 30 000 K? W ultrafiolecie. Emituje więcej UV niż w jakimkolwiek innym zakresie. Nie widzimy w ultrafiolecie, ale czy widzimy tę gwiazdę? Tak, oczywiście. Oprócz ultrafioletu także w zakresie widzialnym ta gwiazda emituje mnóstwo energii. W istocie w zakresie widzialnym jeden metr kwadratowy gwiazdy o temperaturze 30 000 K emituje więcej energii niż jeden metr kwadratowy Słońca. Lecz w odróżnieniu od Słońca mieszanka kolorów nie jest jednorodna. Jest więcej niebieskiego, a mniej czerwonego. Jeżeli dodamy jej kolory, otrzymamy kolor niebieski. Gorący niebieski kolor jest w istocie najgorętszy z gorętszych. Astrofizycy dobrze wiedzą, że najzimniejsze gwiazdy są czerwone, a najgorętsze niebieskie. Gdyby powieści o nocnych romansach były astrofizycznie poprawne, opisywałyby kochanków "rozgrzanych do niebieskości", a nie "rozgrzanych do czerwoności".
Dla gwiazdy o temperaturze 30 000 K maksimum natężenia promieniowania wypada w UV. Gdybym wybrał jeszcze gorętszą gwiazdę, jej kolor również byłby niebieski. Niebieski kolor oznacza, że niebieskie receptory w twoich oczach otrzymują więcej promieniowania niż receptory zielone i czerwone. Gwiazda o temperaturze 30 000 K jest niebieska, gwiazda o temperaturze 5800 K jest biała, gwiazda o temperaturze 1000 K jest czerwona.
A co z ludzkim ciałem? Jaką masz dziś temperaturę? Jeżeli nie masz gorączki, twoja temperatura wynosi około 310 K. Widmo twojego promieniowania ma maksimum w podczerwieni. Ile widzialnego światła emitujesz? W normalnych warunkach widzisz innych ludzi tylko dlatego, że odbijają widzialne światło. Jeżeli wyłączysz światło w pomieszczeniu, wszystko staje się czarne. Nie widzisz nikogo. Krzywa dla człowieka na ilustracji 4.4 mówi, że ludzie praktycznie nie emitują promieniowania w zakresie widzialnym. Ale skoro temperatura człowieka wynosi 310 K, nadal emitujemy w podczerwieni. Wystarczy użyć kamery podczerwonej albo podczerwonych gogli, aby się przekonać, że jesteśmy doskonale widoczni, ponieważ promieniujemy silnie w podczerwieni. W następnym rozdziale umieścimy cały Wszechświat na takim wykresie.
5 - Jak gwiazdy emitują promieniowanie i energię (II)
Neil deGrasse Tyson
A teraz umieścimy cały Wszechświat na wykresie. W rozdziale 4 analizowaliśmy krzywe promieniowania termicznego gwiazd. Ilustracja 5.1 jest podobna, z tym że dodaliśmy jeden element. Na osi pionowej mamy natężenie (moc na jednostkę powierzchni na jednostkę długości fali). Na poziomej osi mamy długość fali - rosnącą w prawo. Zakres długości fali, który nazywamy światłem widzialnym, jest oznaczony paskiem w kolorach tęczy, tak jak poprzednio.
Ilustracja 5.1 pokazuje krzywe emisji termicznej dla Słońca o temperaturze 5800 K, dla gorącej gwiazdy o temperaturze 15 000 K, zimniejszej gwiazdy o temperaturze 3000 K oraz dla człowieka o temperaturze 310 K. Krzywa dla człowieka ma maksimum dla długości fali około 0,001 centymetra. Wewnątrz tej krzywej i nieco na prawo jest coś nowego - krzywa emisji dla temperatury 2,7 K, czyli temperatury całego Wszechświata! Jest to słynne promieniowanie tła docierające do nas ze wszystkich stron nieba. Jego maksimum wypada w zakresie mikrofal, więc jest nazywane mikrofalowym promieniowaniem tła (ang. cosmic microwave background, CMB). Zostało odkryte w Bell Laboratories w stanie New Jersey, w połowie lat sześćdziesiątych XX wieku. Arno Penzias i Robert Wilson testowali radioteleskop, zwany wówczas mikrofalową anteną rożkową. Gdy skierowali ją w niebo, antena natychmiast zaczęła rejestrować promieniowanie. Niezależnie od kierunku antena odbierała z dowolnego punktu na niebie mikrofalowy sygnał wskazujący, że źródłem jest obiekt o temperaturze około 3 K (obecna, dokładniejsza wartość wynosi 2,752 K). Jest to promieniowanie termiczne pozostawione przez Wielki Wybuch. Więcej na ten temat będzie w rozdziale 15.
Tak jak poprzednio będziemy analizować te wykresy na różne sposoby. Gdzie wypadają maksima dla poszczególnych krzywych? W różnych miejscach, czyli dla różnych długości fali. Ile całkowitej energii na sekundę emitują poszczególne źródła? Potrzebujemy metody dodawania powierzchni pod krzywą, aby określić ilość całkowitej energii emitowanej w ciągu sekundy. Ale najpierw musimy zdefiniować kilka pojęć.
Ciało doskonale czarne (ang. blackbody) to obiekt, który absorbuje całe padające nań promieniowanie. Ciało doskonale czarne o określonej temperaturze emituje promieniowanie (ang. blackbody radiation), dla którego funkcja rozkładu jest dokładnie taka, jak omawiane przez nas krzywe na ilustracjach 4.4 i 5.1. Określenie "ciało doskonale czarne" może na pierwszy rzut oka wydawać się nietrafione, lecz w rzeczywistości dobrze odzwierciedla właściwości obiektów, które określamy tym terminem. Żadna omawiana wyżej gwiazda nie jest czarna - jedna świeci na niebiesko, jedna na biało, jedna na czerwono - lecz wszystkie kwalifikują się jako ciała doskonale czarne, tak jak opisałem je na ilustracji. Ciało doskonale czarne to w istocie bardzo proste pojęcie - jest to obiekt, który pochłania każdy rodzaj i każdą ilość padającego na nie promieniowania. Czymkolwiek zechcesz je nakarmić - promieniami gamma lub falami radiowymi - pochłonie wszystko. Czarne ciała pochłaniają całą energię, która pada na ich powierzchnię. Z tego powodu czarny nie jest szczególnie modnym kolorem w lecie. Ciała doskonale czarne wypromieniowują pochłoniętą energię; funkcja rozkładu emitowanego promieniowania jest taka jak na ilustracjach 4.4 i 5.1, a kształt oraz położenie krzywej zależy wyłącznie od temperatury ciała doskonale czarnego.
Ilustracja 5.1. Termiczne promieniowanie Wszechświata. Widma promieniowania ciał doskonale czarnych w funkcji długości fali. Pionowa współrzędna określa energię na jednostkę czasu (czyli moc) na jednostkę długości fali, emitowaną przez jednostkę powierzchni obiektu o określonej temperaturze; jednostki są umowne. Poszczególne krzywe odpowiadają gwieździe o temperaturze powierzchni 15 000 K (widocznej w jasnoniebieskim kolorze), 5800 K (Słońce, kolor biały), 3000 K (gwiazda koloru czerwonego). Widzialna część widma jest oznaczona paskiem w kolorach tęczy. Dwie kolejne krzywe reprezentują promieniowanie człowieka (310 K) oraz mikrofalowe promieniowanie tła (CMB; 2,7 K), o którym powiemy więcej w rozdziale 15
Photo credit: Michael A. Strauss
Możesz coś podgrzać, czyli zwiększyć temperaturę, a następnie sprawdzić, ile wynosi nowa temperatura. A potem wracasz do ilustracji 5.1 i sprawdzasz, gdzie ta nowa temperatura pasuje. Mamy cudowne równanie, które opisuje wszystkie te krzywe. Są to funkcje rozkładu, zwane funkcjami Plancka, na cześć Maxa Plancka, którego już spotkaliśmy, i który pierwszy zapisał równania dla tych krzywych. Po prawej stronie znaku równości mamy energię na jednostkę czasu na jednostkę długości fali emitowaną przez jednostkę powierzchni dla określonej długości fali ?; wielkość po lewej stronie równania to natężenie I?, które zależy tylko od temperatury T ciała doskonale czarnego:
I?(T) = (2hc2/ ?5) / (ehc/?kT - 1).
Spróbujmy przeanalizować elementy tego przełomowego równania. Po pierwsze, ? (lambda) to długość fali, nic nowego. Stała e to podstawa logarytmu naturalnego, która ma dedykowany przycisk na każdym naukowym kalkulatorze, zazwyczaj oznaczony symbolem ex (e do potęgi x). Wartość e wynosi 2,71828...; to jest liczba, podobnie jak ?, której cyfry nigdy się nie kończą, ale to po prostu zwykła liczba. Litera c oznacza prędkość światła, już się z nią zetknęliśmy. Litera k to stała Boltzmanna. Litera T to po prostu temperatura, a h (wspomniana w rozdziale 4) to stała Plancka. Jeżeli ciało doskonale czarne ma określoną temperaturę, to jedyną zmienną jest długość fali ?. Jeżeli teraz będziesz stopniowo zmieniał wartość ?, zaczynając od bardzo małych wartości, aż po bardzo duże wartości, ze wzoru możesz wyliczyć natężenie I? jako funkcję długości fali - podobną do krzywych na ilustracji 5.1. To równanie, odkryte w 1900 roku przez Maxa Plancka, zrewolucjonizowało fizykę.
Wraz ze stałą h, nazwaną później stałą Plancka, jej twórca dał światu kwant, co uczyniło go ojcem mechaniki kwantowej. Przyjrzyj się wyrażeniu w pierwszym nawiasie po prawej stronie równania (2hc2/?5). Co się dzieje z emitowaną energią, gdy długość fali rośnie? Zmniejsza się. Ułamek 1/?5 zmierza do zera, gdy ? rośnie. Dla dużych wartości ? wykładnik hc/?kT jest mały. Matematycy wiedzą, że gdy wykładnik x w wyrażeniu ex jest mały, to całe wyrażenie ex jest w przybliżeniu równe 1+x. Zatem dla dużych wartości ? wykładnik hc/?kT jest mały, a wyrażenie ehc/?kT jest w przybliżeniu równe 1+hc/?kT. Jeżeli teraz odejmiemy od niego jedynkę, cały drugi nawias stanie się w przybliżeniu równy hc/?kT. W rezultacie, gdy ? jest duże, cały wzór jest w przybliżeniu równy I?(T) = (2hc2/?5)/(hc/?kT) = 2ckT/?4. Ta zależność była znana jeszcze przed Planckiem jako wzór Raleigha-Jeansa. Jej autorami byli lord Raleigh oraz sir James Jeans. Gdy ? rośnie, natężenie I?(T) bardzo szybko maleje, ponieważ 1/?4 maleje. Ale co się dzieje z natężeniem, gdy ? maleje? Gdy ? maleje, ?4 również maleje, natomiast 1/?4 rośnie. Dla bardzo małych wartości ? natężenie rośnie do nieskończoności, lewa strona równania wybucha (w sprzeczności z wynikami eksperymentów). Ta sprzeczność została nazwana katastrofą ultrafioletową. Coś się nie zgadzało. Wilhelm Wien sformułował równanie, które zawierało eksponencjalne obcięcie dla małych długości fal. Równanie Wiena było zgodne z doświadczeniem dla małych długości fali, ale nie zgadzało się dla dużych długości fali. W gruncie rzeczy przed 1900 rokiem nie rozumieliśmy rozkładów spektralnych promieniowania ciał doskonale czarnych. Dopiero Planck odkrył wzór, który pasował dla małych długości fali, dla dużych, i w ogóle dla wszystkich. Wzór Plancka zawiera stałą h, która kwantuje energię. Energia jest emitowana w określonych, skończonych porcjach (kwantach), co zapobiega katastrofie ultrafioletowej. Gdy przechodzimy do coraz mniejszych długości fali, rośnie czynnik 1/?5 we wzorze Plancka, ale rośnie także eksponenta. Gdy ? maleje, hc/?kT rośnie, więc e podniesione do potęgi hc/?kT (czyli ehc/?kT) rośnie bardzo szybko. W rezultacie rośnie zarówno licznik, jak i mianownik wzoru Plancka (jedynka w mianowniku staje się nieistotna w porównaniu z ehc/?kT) i dochodzi do próby sił: kto szybciej rośnie - czynnik 1/?5 czy czynnik 1/ehc/?kT. Gdy ? dąży do zera, 1/ehc/?kT dąży do zera znacznie szybciej niż 1/?5 i w rezultacie cała krzywa dąży do zera. Gdyby w mianowniku nie było czynnika eksponencjalnego, natężenie dążyłoby do nieskończoności, gdy ? dąży do zera, a z doświadczenia wiemy, że materia nie zachowuje się w taki sposób. Aby zrozumieć promieniowanie termiczne, niezbędne było wprowadzenie pojęcia kwantu, dzięki któremu równanie Plancka poprawnie opisuje funkcję rozkładu promieniowania.
Wzór Plancka zawiera w sobie wszystko. Można za jego pomocą obliczyć, gdzie jest maksimum funkcji. Newton opracował11 matematyczne narzędzia, które umożliwiają takie obliczenia. Funkcja ma maksimum w punkcie, w którym jej nachylenie względem poziomej osi jest równe zeru. Aby znaleźć ten punkt, należy użyć Newtonowskiego rachunku różniczkowego, obliczyć pochodną funkcji i znaleźć punkt, w którym pochodna wynosi zero. Gdy takie obliczenia wykona się dla wzoru Plancka, wychodzi bardzo prosty wynik: ?max = C/T, gdzie C jest nową stałą, którą także można wyznaczyć: jeżeli T jest wyrażone w kelwinach, C = 2,898 milimetra12. Możemy teraz znaleźć położenie maksimum. Gdy T = 2,7 K (temperatura CMB), ?max jest nieco większe niż 1 milimetr, czyli 0,1 centymetra. Możesz to porównać z krzywą na ilustracji 5.1. Temperatura ludzkiego ciała jest około stu razy większa od temperatury CMB; maksimum promieniowania człowieka wypada w podczerwieni, na długości fali około 0,001 centymetra (co również pokazuje il. 5.1).
Piękne i proste. Gdy temperatura rośnie, położenie maksimum krzywej przesuwa się w kierunku coraz mniejszych długości fali. Wystarczy przyjrzeć się równaniu ?max = C/T. T jest w mianowniku, więc dla ciała o dwukrotnie większej temperaturze maksimum wypadnie na dwukrotnie mniejszej długości fali. Tę zależność odkrył Wilhelm Wien, obecnie nazywamy ją prawem Wiena.
W jaki sposób możemy obliczyć całkowitą energię emitowaną w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni? Musimy dodać przyczynki od wszystkich długości fali, czyli obliczyć pole powierzchni pod krzywą. W tym celu należy użyć rachunku całkowego, ponownie dziękując Newtonowi. Gdy scałkujemy funkcję Plancka dla wszystkich długości fali, otrzymamy kolejne piękne równanie:
? = ?T4 .
Całkowita energia emitowana w ciągu sekundy przez jednostkową powierzchnię wynosi ?T4, gdzie ? = 2?5k4/(15c2h3) = 5,67 × 10-8 wata na metr kwadratowy, a temperatura T jest w skali Kelvina. Jest to prawo Stefana-Boltzmanna. Zawdzięczamy je Josefowi Stefanowi i Ludwigowi Boltzmannowi, dwóm wybitnym przedstawicielom dziewiętnastowiecznej fizyki (Boltzmann, niestety, popełnił samobójstwo w wieku 62 lat). Jeżeli scałkujemy funkcję Plancka, otrzymamy także wartość stałej ? (sigma). A w jaki sposób Stefan i Boltzmann wyprowadzili swoje prawo, zanim Planck odkrył i opublikował swoje? Stefan odkrył je doświadczalnie, a Boltzmann wyprowadził na podstawie argumentów termodynamicznych.
Skoro całkowita energia emitowana w ciągu sekundy przez jednostkową powierzchnię wynosi ?T4, to jeżeli podwoimy temperaturę, strumień energii wzrośnie o czynnik 24 = 16. Jeżeli potroimy temperaturę, strumień energii wzrośnie o czynnik 34 = 81. Jeżeli temperatura wzrośnie o czynnik 4, strumień energii wzrośnie o 44 = 256. Ten trend jest dobrze widoczny na ilustracji 5.1, która pokazuje, jak powiększają się kolejne krzywe wraz ze wzrostem temperatury.
A oto prosty sposób, aby zrozumieć, dlaczego ta formuła działa. Wyobraź sobie, że promieniowanie termiczne jest uwięzione w sześciennym pudełku. Powoli ściśnij pudełko, aż każdy jego bok zmniejszy się dwukrotnie. Całkowita liczba fotonów w pudełku pozostała taka sama, lecz objętość pudełka zmniejszyła się o czynnik 8, co oznacza, że liczba fotonów na centymetr sześcienny wzrosła o czynnik 8. Ściskanie pudełka spowodowało także zmniejszenie długości fali każdego fotonu o czynnik 2, czyli temperatura promieniowania termicznego w pudełku jest teraz dwukrotnie większa, ponieważ długość fali dla maksimum zmniejszyła się o czynnik 2. Energia każdego fotonu wzrosła dwukrotnie, podwajając tym samym całkowitą energię promieniowania zamkniętego wewnątrz pudełka. Wzrost energii fotonów pochodzi od energii, którą musisz zainwestować, aby zmniejszyć pudełko, naciskając na jego ściany, czemu przeciwstawia się ciśnienie promieniowania zamkniętego wewnątrz. Gęstość energii w pudełku jest proporcjonalna do gęstości fotonów oraz do energii pojedynczego fotonu, a zatem wzrosła o czynnik 8 × 2 = 16, a 16 jest równe 24. Wynika stąd, że gęstość energii promieniowania termicznego jest proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury, T4.
Zdefiniujmy teraz kilka pojęć. Moc promieniowania (ang. luminosity) to jest całkowita energia emitowana przez gwiazdę w jednostce czasu. Jest mierzona w watach, podobnie jak moc żarówek. Stuwatowa żarówka ma moc równą 100 watów. Słońce ma moc równą 3,8 × 1026 watów. Dość mocna żarówka13.
A teraz zagadka. Załóżmy, że Słońce ma taką samą moc jak jakaś inna gwiazda o temperaturze powierzchni 2000 K. Dla uproszczenia przyjmijmy, że temperatura powierzchni Słońca wynosi 6000 K. Druga gwiazda ma tylko 2000 K, więc jest znacznie chłodniejsza i nie może emitować takiej samej ilości energii z metra kwadratowego jak Słońce. A ja teraz deklaruję, że Słońce ma taką samą moc jak ta gwiazda. Jak to jest możliwe? Jeżeli z tej gwiazdy wytnę mały fragment o powierzchni jednego cala kwadratowego, ze Słońca wytnę też taki sam fragment i porównam je, to się przekonam, że jeden ma 2000 K, drugi ma 6000 K, więc jest trzy razy gorętszy, poza tym niczym się nie różnią. Fragment wycięty ze Słońca emituje więcej energii w jednostce czasu niż fragment wycięty z gwiazdy. O ile więcej? Osiemdziesiąt jeden razy więcej. W takim razie jak to jest możliwe, że ta gwiazda emituje tyle samo energii w jednostce czasu co Słońce? Oprócz temperatury dwie gwiazdy muszą się jeszcze czymś różnić, skoro jednakowo jasno świecą - druga gwiazda musi mieć większą powierzchnię niż Słońce. Jej powierzchnia musi być osiemdziesiąt jeden razy większa. To musi być czerwony olbrzym o powierzchni osiemdziesiąt jeden razy większej, aby skompensować osiemdziesiąt jeden razy mniejszą emisję energii z każdego cala kwadratowego. Wykorzystamy teraz nasze równania. Pole powierzchni sfery o promieniu r wynosi 4?r2 - wiemy to ze szkoły. Jeżeli moc gwiazdy jest równa energii emitowanej w jednostce czasu, a energia emitowana w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni wynosi ?T4, to teraz mamy kolejne piękne równanie:
LS = ?>T4S × (4?r2S).
Analogiczne równanie mamy dla drugiej gwiazdy. Używając gwiazdki jako indeksu dla tej gwiazdy, dostajemy jej moc L* = ?T4* × (4?r2*). Mamy teraz równanie dla obu gwiazd. Na początku tego przykładu zadeklarowałem, że LS = L*. Stwierdziłem także, że nie muszę znać powierzchni Słońca, ponieważ problem dotyczy proporcji między różnymi wielkościami, a nie wielkości bezwzględnych. Można wiele zrozumieć na temat Wszechświata, rozważając wyłącznie proporcje.
Podzielmy teraz nasze dwa równania stronami:
LS/L* = ?T4S × (4?r2S)/?T4* × (4?r2*).
I co dalej? Możemy uprościć prawą stronę, usuwając (dzieląc) jednakowe czynniki z licznika i mianownika. Na początek podzielimy licznik i mianownik prawej strony równania przez czynnik ?. W tym przypadku nie interesuje mnie nawet konkretna wartość ?, ponieważ porównuję moce dwóch gwiazd, więc wspólne stałe, które występują dla obu gwiazd, wzajemnie się kasują. Na tej samej zasadzie upraszczamy prawą stronę równania przez czynnik 4, następnie czynnik ?. A teraz zajmijmy się lewą stroną równania. Mamy tam iloraz LS/L*. Jest on równy 1, ponieważ zadeklarowałem, że obie gwiazdy mają jednakową moc. W rezultacie dostajemy prostsze równanie: 1 = T4Sr2S/T4*r2*. Temperatura Słońca wynosi 6000 K, temperatura gwiazdy wynosi 2000 K. Łatwo sprawdzić, że 60004/20004 daje tyle samo, co 34, czyli 81. Mamy zatem 1 = 81r2S/r2*. Pomnóżmy obie strony przez r2*, co daje r2* = 81r2S. A teraz po obu stronach wyciągnijmy pierwiastek kwadratowy: r* = 9rS. Promień chłodniejszej gwiazdy (o takiej samej mocy jak moc Słońca) jest dziewięć razy większy od promienia Słońca! Pole powierzchni jest proporcjonalne do kwadratu promienia, więc pole powierzchni tej gwiazdy jest osiemdziesiąt jeden razy większe od pola powierzchni Słońca. Te równania są niezwykle płodne.
Mogłem podać inny przykład. Mogliśmy zacząć od gwiazdy, która ma taką samą temperaturę jak Słońce, lecz osiemdziesiąt jeden razy większą moc. Obie gwiazdy emitują taką samą ilość energii w jednostce czasu z jednego cala kwadratowego powierzchni, więc druga gwiazda musi mieć osiemdziesiąt jeden razy większą powierzchnię i dziewięć razy większy promień od Słońca. Równanie ma takie same czynniki, lecz wstawiamy różne wartości dla różnych zmiennych. Tylko tyle i aż tyle.
Przypomnijmy sobie (rozdz. 2), że najgorętsza część dnia nie wypada w południe, lecz nieco później, ponieważ grunt absorbuje światło widzialne. Absorpcja światła stopniowo podnosi temperaturę gruntu, który wypromieniowuje energię w zakresie podczerwonym. Grunt zachowuje się jak ciało doskonale czarne - absorbuje energię ze Słońca, a następnie wypromieniowuje ją w powietrze zgodnie z przepisem podanym przez funkcję Plancka. Temperatura gruntu wynosi około 300 K (273 K plus temperatura gruntu w stopniach Celsjusza - jeżeli wynosi 27 oC, to w sumie daje równo 300 K).
Możesz zadać sobie pytanie, jaka jest moc twojego ciała. Wstaw do równania swoją temperaturę w kelwinach, czyli 310 K, podnieś do czwartej potęgi, pomnóż przez sigmę, a otrzymasz ilość energii, jaką emituje jednostka powierzchni twojego ciała w jednostce czasu. Jeżeli pomnożysz to przez całkowitą powierzchnię skóry (około 1,75 metra kwadratowego dla przeciętnej dorosłej osoby), otrzymasz swoją moc, czyli liczbę watów emitowanych w postaci promieniowania, na ogół w zakresie podczerwonym. Nie świecisz światłem widzialnym jak żarówka, lecz z całą pewnością można wyznaczyć twoją moc w watach. Policzmy. Stała Stefana-Boltzmanna ? jest równa 5,67 × 10-8 watów na metr kwadratowy. Temperatura ma być w kelwinach, więc potrzebujemy (310)4. 3104 to jest 9,24 × 109. Pomnóż to przez 5,67 × 10-8, co daje 523 waty na metr kwadratowy. Pomnóż przez powierzchnię skóry i wychodzi, że emitujesz 916 watów. To bardzo dużo, ale zwróć uwagę, że całkiem sporo także absorbujesz. Jeżeli siedzisz w pomieszczeniu o temperaturze 300 K (27 oC), twoja skóra absorbuje około 803 watów zgodnie z tym samym wzorem. Twój organizm musi zatroszczyć się o różnicę, aby utrzymać stałą temperaturę. Około stu brakujących watów pochodzi z pożywienia i przemiany materii. Ciepłokrwiste zwierzęta, które utrzymują wyższą temperaturę ciała niż otoczenie, muszą jeść więcej niż zimnokrwiste gatunki. Gdy instalujesz klimatyzację, powinieneś zadać sobie dwa istotne pytania: Jak duże jest pomieszczenie? Jakie inne źródła energii są obecne? Drugie pytanie obejmuje między innymi kwestię, ile jest włączonych żarówek i ile osób jest obecnych, ponieważ każda osoba jest energetycznie równoważna żarówce o określonej mocy. Aby utrzymać pożądaną temperaturę, klimatyzator musi zrównoważyć (czyli pochłonąć, odprowadzić i wyemitować na zewnątrz) sumaryczną moc emitowaną przez wszystkie włączone żarówki i wszystkie organizmy obecne w pomieszczeniu.
Wrzućmy jeszcze jedno pojęcie, zwane jasnością obserwowaną (ang. brightness). Jasność obserwowana gwiazdy jest równa energii, która w jednostce czasu przechodzi przez jednostkę powierzchni obiektywu twojego teleskopu. Jasność obserwowana mówi, jak jasna wydaje się gwiazda, gdy na nią patrzysz. Zależy od mocy gwiazdy oraz od jej odległości. Podchodząc intuicyjnie do tej kwestii, jeżeli obserwujesz jakiś świecący obiekt o określonej jasności obserwowanej, a ja odsunę go na większą odległość, to jego jasność obserwowana się zmniejszy. Z drugiej strony moc w żaden sposób nie zależy od odległości; moc to energia emitowana przez dane źródło w jednostce czasu. Nie zależy od tego, czy i jak obserwujesz źródło. Stuwatowa żarówka ma moc 100 watów niezależnie od tego, w którym miejscu Wszechświata ją wkręcisz. Natomiast jasność obserwowana zależy od odległości obserwatora od źródła.
Jasność obserwowana jest moim ulubionym i zarazem bardzo prostym pojęciem. Jesteś gotowy? Na ilustracji 5.2 jest przedstawiony przyrząd, którego nigdy sam nie zbudowałem (jeżeli masz ochotę, możesz go opatentować): pistolet na masło. Z tyłu ładujesz kostkę masła, a z przodu jest dysza, z której wypływa masło.
Ilustracja 5.2. Pistolet na masło. Może posmarować jedną kromkę odległą o stopę, cztery kromki odległe o 2 stopy lub dziewięć kromek odległych o 3 stopy
Credit: J. Richard Gott
Umieść kromkę chleba stopę od pistoletu. Dysza jest tak skalibrowana, że z odległości stopy dokładnie pokryje całą kromkę masłem. Jeżeli lubisz mieć kromkę dokładnie i równo posmarowaną na całej powierzchni, to ten wynalazek jest dla ciebie. Załóżmy teraz, że chcę zaoszczędzić, jak każdy rozsądny biznesmen: chciałbym użyć takiej samej ilości masła, lecz posmarować więcej kromek, nadal równo i dokładnie. Pierwsza kromka była umieszczona w odległości stopy - odsuńmy się teraz na 2 stopy. Z podwojonej odległości pistolet obejmuje powierzchnię na dwie kromki szeroką i na dwie kromki wysoką. Masło pokryje 2 × 2, czyli cztery kromki. Podwajając odległość, możesz posmarować cztery kromki. Jeżeli odsuniemy kromki na 3 stopy, pistolet pokryje 3 × 3, czyli dziewięć kromek. Jedna kromka, cztery kromki, dziewięć kromek. Ale ile masła jest na kromce odległej o 3 stopy w porównaniu z pierwszą kromką odległą o stopę? Tylko jedna dziewiąta. Nadal jest posmarowana, ale dostała tylko jedną dziewiątą. Dla klienta to zła wiadomość, ale dobrze odzwierciedla fundamentalne prawo przyrody, które chcę zilustrować na tym przykładzie. Gdyby zamiast masła było światło, jego natężenie zmniejszałoby się dokładnie w takim samym stopniu jak zmniejsza się ilość masła na kromkach. Światło porusza się po liniach prostych, podobnie jak masło, i rozchodzi się w taki sam sposób jak masło. W odległości 2 stóp natężenie światła żarówki jest równe 1/4 natężenia w odległości stopy. W odległości 3 stóp natężenie spadnie do 1/9; w odległości 4 stóp do 1/16; w odległości 5 stóp do 1/25; i tak dalej. Natężenie zmniejsza się jak odwrotność kwadratu odległości. Otrzymaliśmy ważne prawo fizyki, które mówi, jak natężenie światła zależy od odległości - jest to prawo odwrotnych kwadratów. Podobnie zachowuje się grawitacja. Pamiętasz prawo Newtona, Gmamb/r2? Promień r podniesiony do kwadratu w mianowniku wskazuje, że mamy do czynienia z prawem odwrotnych kwadratów, ponieważ grawitacja zachowuje się podobnie jak nasz pistolet na masło. Grawitacja i masło działają tak samo.
Wyobraźmy sobie teraz źródło światła, takie jak Słońce, emitujące promieniowanie we wszystkich kierunkach (il. 5.3). Załóżmy, że otaczamy Słońce wielką sferą o promieniu r równym promieniowi ziemskiej orbity (1 AU).
Ilustracja 5.3. Słońce zamknięte w kuli. Promienie Słońca rozprzestrzeniają się na powierzchni 4?r2, gdy przecinają sferę o promieniu r
Credit: J. Richard Gott
Słońce emituje promieniowanie we wszystkich kierunkach, a ja ustawiam detektor, który pochłania niewielką część słonecznego światła przechodzącego przez ogromną sferę o promieniu równym mojej odległości (1 AU) od Słońca. Jaka jest powierzchnia tej sfery? Jest równa 4?r2, gdzie r jest promieniem sfery. Spośród wszystkich promieni, które wychodzą ze Słońca, mój detektor łapie tylko niewielki ułamek, równy powierzchni ekranu detektora podzielonej przez powierzchnię całej tej ogromnej sfery (4?r2). Jeżeli teraz oddalę się na podwójną odległość (2 AU), mój detektor ma nadal taką samą powierzchnię, lecz promień mojej sfery się podwoi (2 AU), a powierzchnia, przez którą teraz przechodzą wszystkie promienie Słońca, będzie czterokrotnie większa. Mój detektor złapie teraz cztery razy mniej fotonów, niż łapał wtedy, gdy był w odległości 1 AU. Jasność obserwowana jest mierzona w watach na metr kwadratowy ekranu detektora. Aby obliczyć jasność obserwowaną, którą rejestruję w odległości r od Słońca, zacznę od mocy Słońca (w watach) i podzielę przez pole tej sferycznej powierzchni. Wynik jest w watach na metr kwadratowy. Mnożąc przez powierzchnię ekranu detektora (na przykład mojego teleskopu), dostanę ilość energii padającej w czasie jednej sekundy na ekran. Jeżeli moc Słońca wynosi L, to jasność obserwowana B Słońca w moim położeniu wynosi B = L/4?r2, gdzie r jest moją odległością od Słońca. Gdy moja odległość od Słońca rośnie, mianownik (4?r2) także rośnie, zmniejszając jasność obserwowaną. Na Neptunie, który jest trzydzieści razy dalej od Słońca niż Ziemia, Słońce wydaje się dziewięćset razy słabsze niż u nas.
Załóżmy, że dwie gwiazdy mają mają taką samą jasność obserwowaną, lecz skądinąd wiemy, że moc jednej z nich jest dziesięć tysięcy razy większa. Co możemy stwierdzić na temat tych dwóch gwiazd? Gwiazda o większej mocy musi być dalej. O ile dalej? Sto razy dalej. Skąd wziąłem sto? Tak, sto do kwadratu równa się dziesięć tysięcy.
Właśnie poznałeś niektóre z najważniejszych odkryć astrofizyki z końca XIX i początku XX wieku. W szczególności Boltzmann i Planck stali się bohaterami dzięki swoim odkryciom oraz wyjaśnieniu niektórych spośród praw i zjawisk, które poznałeś w tym i poprzednim rozdziale.
6 - Widma promieniowania gwiazd
Neil deGrasse Tyson
Co się dzieje we wnętrzu gwiazdy? Gwiazda nie jest latarką, którą można włączyć, a światło wyłania się z jej powierzchni. Głęboko w rdzeniu gwiazdy termojądrowe procesy generują energię, która powoli przemieszcza się w stronę powierzchni. Gdy dotrze do powierzchni, jest uwalniana i oddala się z prędkością światła, docierając do nas i do innych zakątków Wszechświata. Przeanalizujemy teraz, jak fotony powstające we wnętrzu gwiazdy mozolnie przedzierają się przez jej materię14.
Zaczniemy od pytania, z czym fotony walczą podczas wędrówki ku powierzchni Słońca. Nasze Słońce, jak większość gwiazd, jest zbudowane głównie z wodoru, który jest pierwiastkiem numer jeden we Wszechświecie: 90% wszystkich jąder to jądra wodoru, około 8% to hel, a pozostałe 2% stanowią wszystkie pozostałe pierwiastki razem wzięte. Cały wodór i większość helu pochodzi z Wielkiego Wybuchu, wraz z odrobiną litu. Pozostałe pierwiastki zostały później wytworzone w gwiazdach. Jeżeli jesteś zwolennikiem poglądu, że życie na Ziemi jest w jakimś sensie szczególne czy wyjątkowe, musisz się pogodzić z następującymi faktami: jeżeli ustawimy w kolejności pierwszych pięć najbardziej rozpowszechnionych we Wszechświecie pierwiastków - wodór, hel, tlen, węgiel, azot - zadziwiająco blisko przypominają składniki ludzkiego ciała. Która molekuła jest numerem jeden w twoim ciele? To woda - 80% ciała stanowi H2O. Poddaj H2O dysocjacji, a otrzymasz wodór jako pierwiastek numer jeden w ludzkim ciele. Nie ma w nim helu, z wyjątkiem tego momentu, gdy wdychasz hel z balonika i przez chwilę twój głos brzmi jak głos Myszki Miki. Hel znajduje się w prawej kolumnie układu okresowego, na czele gazów szlachetnych. Jest chemicznie nieaktywny, ponieważ jego powłoka elektronowa jest zamknięta - nie ma w niej miejsca na elektrony, które mogłyby funkcjonować jako wiązania chemiczne z innymi atomami. Nawet gdyby był pod ręką, do niczego nie dałoby się go użyć.
Kolejnym pierwiastkiem w ludzkim ciele jest tlen, również obecny głównie w molekułach wody. Po tlenie mamy węgiel - podstawę całej naszej chemii. Następnie mamy azot. Pomijając hel, który z niczym nie tworzy wiązań chemicznych, jesteśmy dokładnym odwzorowaniem - w proporcjach jeden do jeden - zestawu najbardziej rozpowszechnionych we Wszechświecie pierwiastków. Gdybyśmy byli zbudowani z jakiegoś rzadko spotykanego pierwiastka, na przykład jednego z izotopów bizmutu, moglibyśmy sądzić, że zdarzyło się coś szczególnego. Musimy jednak z pokorą przyznać, że nie jesteśmy chemicznie wyjątkowi, gdy widzimy w naszych ciałach te same pierwiastki, które powszechnie występują w całym kosmosie. Z drugiej strony to bardzo pouczające, a nawet budujące, gdy zdajemy sobie sprawę, że jesteśmy w istocie kosmicznym pyłem. Jak zobaczymy w kilku kolejnych rozdziałach, tlen, węgiel i azot powstały w gwiazdach w ciągu miliardów lat, które upłynęły od Wielkiego Wybuchu. Urodziliśmy się w tym Wszechświecie, żyjemy w tym Wszechświecie i Wszechświat jest w nas.
Rozważmy gazowy obłok - coś w rodzaju kosmicznej mieszaniny wodoru, helu i reszty - i patrzmy, co się będzie działo. Atom składa się z jądra oraz krążących wokół niego elektronów. Jądro składa się z protonów i neutronów. Wyobraźmy sobie prosty, choć formalnie niezbyt poprawny model atomu, który Niels Bohr sformułował ponad sto lat temu. Gdy elektron znajduje się na najciaśniejszej orbicie, atom jest w stanie podstawowym - nazwiemy ten stan poziomem nr 1. Wyższy poziom energii to stan wzbudzony - nazwiemy ten stan poziomem nr 2. Narysujmy taki dwupoziomowy atom (il. 6.1); dla prostoty obrazu pominiemy inne poziomy energii. Atom ma jądro oraz chmurę elektronów, o których mówimy, że znajdują się "na orbicie" wokół jądra, ale nie są to orbity, które znamy z rozważań na temat grawitacji, planet i Newtona. W istocie zamiast słowa "orbita" wprowadzimy teraz nowe, pochodne określenie: orbital. Słowo "orbital" pochodzi oczywiście od orbity. W jakimś sensie można mówić o pewnego rodzaju podobieństwie, lecz orbitale mają znacznie bogatszy repertuar kształtów i zupełnie inny sens fizyczny. Reprezentują "chmury prawdopodobieństwa" określające szanse znalezienia elektronów. Niektóre chmury elektronowe są sferyczne, inne są wydłużone, jeszcze inne przybierają bardziej skomplikowane kształty. Istnieją całe rodziny kształtów. Różnią się także energią. W dalszej części będziemy po prostu mówić o poziomach energii, które reprezentują układy orbitali elektronowych - obszary przestrzeni wokół jąder atomowych zajmowane przez elektrony. Popatrzmy na ilustrację 6.1.
Jądro reprezentuje czarna kropka w środku. Poziom energii n = 1 odpowiada elektronowi na sferycznej orbicie położonej najbliżej jądra. Poziom energii n = 2 reprezentuje sferyczny orbital położony dalej od jądra. Poziom energii n = 2 odpowiada elektronowi, który jest słabiej związany z jądrem. Elektrony i protony się przyciągają, więc przeniesienie elektronu dalej od jądra, na dalszy orbital, wymaga energii. Poziom energii n = 2 jest wyżej niż poziom energii n = 1.
Elektron może się znaleźć na poziomie energii nr 1, czyli w stanie podstawowym, lub na poziomie nr 2, w stanie wzbudzonym. Nie może znaleźć się nigdzie pomiędzy poziomami 1 i 2. Nie ma tam dla niego miejsca. To jest świat kwantów. Nie ma tam ciągłości. Aby elektron mógł przeskoczyć na następny poziom, musisz dostarczyć mu energii w takiej czy innej postaci. Jednym ze źródeł tej energii może być foton, ale nie byle jaki. To musi być foton o energii równej różnicy energii obu poziomów. Gdy taki foton natrafi na elektron w atomie, elektron może pochłonąć foton i przeskoczyć na poziom nr 2. Jeżeli foton ma nieco mniejszą lub nieco większą energię, mija elektron i leci dalej. Atomy, w odróżnieniu od ludzi, nie są zainteresowane dłuższym pozostawaniem w stanie wzbudzonym - elektron na poziomie energii nr 2 po krótkim czasie spontanicznie przeskoczy do niższego poziomu nr 1 (co wskazuje niebieska strzałka na il. 6.1).
Ilustracja 6.1. Poziomy energii atomu. Schematyczny obraz atomu z dwoma orbitalami, n = 1 i n = 2. Jeżeli elektron startuje z poziomu nr 2 i spada na poziom nr 1, emituje foton o energii ?E = h?, gdzie ?E = E2 - E1 stanowi różnicę energii poziomu nr 2 i poziomu nr 1. Gdy elektron znajduje się na poziomie nr 1, może pochłonąć foton o energii ?E = h? i przeskoczyć na poziom nr 2
Credit: Michael A. Strauss
Elektron zazwyczaj nie pozostaje zbyt długo w stanie wzbudzonym. W niektórych przypadkach "krótki czas" oznacza miliardowy ułamek sekundy. Gdy wraca na niższy poziom, emituje foton o takiej samej energii jak foton, który został pochłonięty przy przeskoku na wyższy poziom. Przeskok w górę wiąże się z absorpcją fotonu. Przeskok w dół wiąże się z emisją fotonu, jak pokazuje czerwona strzałka na ilustracji 6.1. Zgodnie ze słynnym wzorem Einsteina energia E tego fotonu jest równa h?, gdzie h jest stałą Plancka, a ? jest częstotliwością fotonu. Energia emitowanego fotonu jest dokładnie równa różnicy energii dwóch poziomów, ?E (grecka litera ? zazwyczaj oznacza różnicę lub zmianę jakiejś wielkości fizycznej). Równanie ?E = h? pozwala obliczyć częstotliwość emitowanego fotonu, gdy elektron spada z poziomu 2 na poziom 1.
Czy bawiłeś się kiedyś jednym z tych świecących w ciemności (ang. glow-in-the-dark) frisbee? Aby mogły świecić w ciemności, najpierw musimy je na pewien czas pozostawić w świetle dziennym lub w świetle żarówki. Co wtedy się dzieje? Elektrony związane w atomach i cząsteczkach zabawki absorbują fotony i przeskakują na wyższe poziomy energii (każdy atom ma nieskończenie wiele wzbudzonych poziomów energii). Projektanci zabawki wybierają takie materiały, w których elektrony długo pozostają na wzbudzonych poziomach, zanim przeskoczą w dół. Przeskakując, emitują widzialne światło. Po pewnym czasie, gdy wszystkie elektrony powrócą do pierwotnych położeń, zabawka przestaje świecić. Wszystkie frisbee oraz różne świecące w ciemności ubrania i szkielety, które miałeś w dzieciństwie, działają na tej samej zasadzie.
Energia absorbowana przez elektron może pochodzić od fotonu, lecz istnieją także inne źródła. Elektron może zostać kopnięty przez inny atom w trakcie zderzenia, a kopnięcie może spowodować przeskok elektronu na wyższy poziom. W takim przypadku energia kinetyczna jest źródłem. Takie procesy mogą zachodzić w obłokach wodorowego gazu w przestrzeni kosmicznej. Zastanówmy się najpierw, jaka jest temperatura takiego obłoku. Temperatura, wyrażona w kelwinach, jest proporcjonalna do średniej energii kinetycznej molekuł lub atomów w obłoku. Ruch obłoku jako całości nie wpływa na pomiar temperatury. Energia kinetyczna to oczywiście energia związana z ruchem cząstek, więc im wyższa temperatura, tym szybciej cząstki gazu biegają tam i z powrotem wewnątrz obłoku. Jeżeli jestem elektronem w stanie podstawowym i nagle zostanę kopnięty, to mogę zapytać, jaka jest energia tego kopnięcia. Jeżeli energia kopnięcia mogłaby przenieść mnie tylko kawałek drogi od poziomu 1 do poziomu 2, to pozostaję na poziomie 1. Jeżeli jednak energia kopnięcia jest dokładnie taka, jakiej potrzebuję, aby przenieść się na drugi poziom, absorbuję ją i przeskakuję na poziom 2.
W zależności od temperatury w całej populacji atomów pewna część elektronów pozostaje stale na wyższym poziomie energii. Obłok może pozostawać w pewnego rodzaju stanie równowagi, jeżeli przeskoki elektronów na niższe poziomy energii kompensuje odpowiednia liczba kopnięć w górę. Trochę przypomina to żonglera, który cały czas utrzymuje w powietrzu pewną liczbę kul. Stan równowagi jest funkcją temperatury. W niskiej temperaturze większość elektronów pozostaje na poziomie 1, a tylko niewielka ich liczba utrzymuje się na poziomie 2. Gdy temperatura rośnie, więcej elektronów zostaje kopniętych na poziom 2.
Połączmy wszystkie powyższe wątki. Rozważmy międzygwiezdny obłok gazu, przez który przechodzi promieniowanie gwiazdy o temperaturze powierzchni 10 000 K. W porównaniu z atomem wodoru większość atomów ma bardzo złożone układy poziomów energii. Przy przejściu promieniowania przez obłok różne atomy, z różnymi układami poziomów energii, sieją spustoszenie w gładkim, termicznym widmie, emitowanym przez taką gwiazdę. Przyjrzymy się teraz, jak zmienia się to widmo.
Najpierw pokażę ci pełny obraz atomu wodoru. Wodór, podobnie jak wszystkie inne atomy, ma nieskończoną liczbę poziomów energii odpowiadających orbitalom, które są coraz bardziej oddalone od jądra: n = 1 (poziom podstawowy - najbardziej wewnętrzny orbital), n = 2 (pierwszy poziom wzbudzony), n = 3, n = 4, n = 5, n = 6, ... , n = ?. Poziomy o niższej energii (elektrony na tych poziomach są silniej związane z jądrem) leżą niżej na diagramie (il. 6.2).
W wodorze pierwszy stan wzbudzony, n = 2, leży w trzech czwartych wysokości. Trochę wyżej leżą poziomy n = 3, n = 4, n = 5 i tak dalej. Nieskończony szereg wysoko leżących poziomów zbiega się do granicy, której umownie przypisujemy energię równą zeru. Elektron o dużej liczbie n zajmuje bardzo duży orbital i jest słabiej związany z jądrem. Energię w atomach mierzymy w elektronowoltach (eV). Jeden elektronowolt jest równy energii potrzebnej do przeniesienia elektronu przez różnicę potencjałów równą jednemu woltowi. Powiedzmy, że masz latarkę, która działa na dziewięciowoltową baterię. Poruszając się wzdłuż przewodów, każdy elektron generuje 9 eV energii w postaci światła i ciepła. Dziewięciowatowa latarka może przepuścić przez żarówkę 6,24 × 1018 elektronów na sekundę, generując 9 × (6,24 × 1018) eV na sekundę (czyli 9 watów) w postaci światła i ciepła. Jeden elektronowolt to bardzo mała ilość energii; jest to wygodna jednostka, gdy rozważamy energię związaną z przejściami elektronów w atomach. Dla przykładu -13,6 eV na ilustracji 6.2 to energia poziomu n = 1. Zgodnie z przyjętą konwencją ta energia jest ujemna. Aby elektron pozostający na poziomie n = 1 usunąć z atomu, musisz mu dostarczyć 13,6 eV energii. Mówimy, że 13,6 eV to jest energia wiązania atomu w stanie podstawowym n = 1. Co się stanie, jeżeli elektron w stanie podstawowym napotka foton o energii większej niż 13,6 eV? Czy elektron może zaabsorbować ten foton? Jeżeli to zrobi, będzie miał dość energii, aby wyskoczyć powyżej n = ?. A co jest powyżej n = ?? Tam jest wolność. Jeżeli elektron wyskoczy powyżej zera energii, ucieknie z atomu i pozostawi proton samemu sobie. Mówimy wtedy, że atom uległ jonizacji - został pozbawiony jednego elektronu (atom ma teraz niezerowy ładunek elektryczny i stał się jonem). Uciekający elektron ma teraz energię powyżej zera; ta "nadmiarowa" energia staje się energią kinetyczną uciekającego elektronu. Jak łatwo odgadnąć, atom można także zjonizować, zderzając go z innym atomem.
Ilustracja 6.2. Diagram poziomów energii dla wodoru. Poziome linie oznaczają różne poziomy energii elektronu w atomie wodoru, w elektronowoltach (eV). Pionowe strzałki wskazują przejścia między poszczególnymi poziomami. Wykonując takie przejście, elektron emituje foton o energii równej różnicy energii obu poziomów. Pokazane są przejścia do pierwszego (podstawowego) poziomu (seria Lymana odpowiadająca fotonom w ultrafioletowej części widma); do drugiego poziomu (seria Balmera, fotony w widzialnej części widma); do trzeciego poziomu (seria Paschena, fotony w bliskiej podczerwieni). Diagram pokazuje przejścia w dół, którym towarzyszy emisja fotonu. Jeżeli elektron znajduje się na poziomie n = 3 i przeskoczy do poziomu n = 2, jak wskazuje najkrótsza czerwona strzałka w serii Balmera, wyemituje foton należący do linii H? serii Balmera, o energii 1,9 eV
Credit: Michael A. Strauss
Możemy teraz spróbować zrozumieć, jak świeci gwiazda o temperaturze powierzchni 10 000 K. Jest to temperatura na tyle wysoka, że niewielki, ale istotny ułamek atomów wodoru znajduje się w pierwszym stanie wzbudzonym n = 2. Wybrałem taką gorącą gwiazdę, ponieważ temperatura 10 000 K uwydatnia zjawiska, które zamierzam teraz opisać. Głęboko wewnątrz gwiazdy widmo promieniowania ma rozkład termiczny określony przez piękną krzywą Plancka. Fotony promieniowania termicznego, próbując przedostać się przez zewnętrzne warstwy gwiazdy, natrafiają na atomy wodoru. Niektóre atomy znajdują się w pierwszym stanie wzbudzonym n = 2; elektrony w tych atomach są gotowe pochłonąć foton o odpowiedniej energii. Fotony widma termicznego mają różną energię. Wiele z nich należy do widzialnej części widma, a w gazie atomów wodoru o temperaturze 10 000 K jest sporo atomów w pierwszym stanie wzbudzonym n = 2, więc te atomy pochłaniają odpowiednie fotony i przeskakują na wyższe poziomy energii.
Ale nie wszystkie fotony są pochłaniane - tylko te, których długość fali jest dopasowana do konkretnego przejścia elektronowego. Na przykład elektron na poziomie n = 2 (o energii -3,4 eV) może pochłonąć foton o takiej energii, aby mógł przeskoczyć na poziom n = 3 (o energii -1,5 eV). Różnica energii tych dwóch poziomów wynosi 1,9 eV (zob. il. 6.2). Tyle energii musi otrzymać elektron, aby wykonać skok w górę, więc musi zaabsorbować foton o energii 1,9 eV. Taki foton nosi nazwę H? (H-alfa). Jego długość fali wynosi 6563 angstremów, czyli 656,3 nanometra, i odpowiada kolorowi czerwonemu (burgundowemu). Gdy foton o tej długości fali natrafia na atom wodoru w stanie n = 2, przenosi elektron na poziom n = 3; foton zostaje pochłonięty i znika z widma promieniowania. Gdy taki los spotka wiele fotonów o długości fali odpowiadającej linii H?, w widmie Plancka pojawi się minimum (ang. dip - głębokie, wąskie wcięcie) wokół długości fali 6563 angstremów, zwane linią absorpcyjną H? (H-alfa). Fotony o długości fali 4861 angstremów mogą przenosić elektrony z poziomu n = 2 na poziom n = 4, wycinając kolejne minimum w widmie, zwane linią absorpcyjną H? (H-beta). Kolejne linie noszą nazwy H? (H-gamma) o długości fali 4340 angstremów, H? (H-delta) o długości fali 4102 angstremów i tak dalej; fotony o jeszcze mniejszej długości fali mogą przerzucać elektrony z poziomu n = 2 na poziomy n = 5, n = 6... Promieniowanie o gładkim, ciągłym widmie Plancka wychodzące z wnętrza gwiazdy i wnikające w jej zewnętrzne warstwy zostaje częściowo pochłonięte przez elektrony; to, co wychodzi, nazywamy widmem absorpcyjnym. W tych miejscach widma, gdzie fotony zostały pochłonięte, pojawiły się wąskie, głębokie wąwozy, zwane liniami absorpcyjnymi. Jedna grupa tych linii jest nazywana serią Balmera: H?, H?, H?, H?, H?, a następnie H6, H7, H8 i tak dalej (nie oczekujemy, że ktoś pamięta tak dużo greckich liter). Odstępy między tymi liniami wynikają z różnic energii na diagramie. Ilustracja 6.3 pokazuje widmo gwiazdy o temperaturze 10 000 K. Okienko w prawym górnym rogu jest powiększeniem fragmentu widma w zakresie 3650-4000 angstremów.
Jeżeli spojrzymy na gwiazdę, której powierzchnia jest nieco cieplejsza, powiedzmy 15 000 K, sytuacja zmienia się drastycznie: elektrony w atomach są potrząsane tak mocno, że odrywają się od atomów: elektrony i protony biegają samodzielnie - atomy zostały zjonizowane. Zjonizowany wodór nie ma dyskretnych poziomów energii, więc nie absorbuje fotonów Balmera. Dlatego seria Balmera jest dobrze widoczna w widmach gwiazd o temperaturze 10 000 K, jednak nie jest widoczna w widmach gorętszych gwiazd.
Do tej pory rozważaliśmy, co się dzieje z wodorem. Dodajmy wapń, węgiel, tlen; wszystkie atomy w atmosferze gwiazd mogą brać udział w tej zabawie. Przedstawię teraz moją ulubioną analogię - drzewo. Pomyśl o zewnętrznej warstwie gwiazdy, jakby to było drzewo bombardowane (z wnętrza gwiazdy) przez mieszankę orzechów i żołędzi. Mamy armatę (wnętrze gwiazdy), która strzela orzechami i żołędziami (fotonami o różnej częstotliwości) w koronę drzewa. Na drzewie mieszkają rude wiewiórki pospolite, które żywią się żołędziami (fotony H?). Wiewiórki widzą wszystkie nadlatujące pociski, lecz łapią tylko te, które lubią, czyli żołędzie. Na drugą stronę drzewa (na zewnątrz gwiazdy) przelatują wszystkie pociski oprócz żołędzi (promieniowanie termiczne minus fotony H?). Dołóżmy teraz inny gatunek: wiewiórki szare. Co teraz przelatuje na drugą stronę drzewa? Mieszanka pocisków minus żołędzie minus orzechy makadamia. Jeżeli wszystkie gatunki gryzoni, które zamieszkują w koronie drzewa, preferują różne rodzaje orzechów, możesz się przekonać, kto żeruje na tym drzewie, pod warunkiem że wiesz, co kto lubi jeść.
Ilustracja 6.3. Widmo pokazujące absorpcyjne linie Balmera. Widmo promieniowania gwiazdy typu A zarejestrowane przez Sloan Digital Sky Survey (Cyfrowy Przegląd Nieba Sloana), ukazujące absorpcyjne linie Balmera: H?, H?, H? i kolejne. Linie zbiegają się przy krótkofalowej granicy serii Balmera. Okienko w prawym górnym rogu to powiększenie fragmentu widma pokazujące kolejne linie aż do H10 (zgodnie z konwencją powyżej H? stosowane są liczby zamiast greckich liter). Widoczna jest także jedna linia pojedynczo zjonizowanego wapnia (oznaczona: Ca)
Credit: Sloan Digital Sky Survey oraz Michael A. Strauss
Dokładnie taki problem mamy w astrofizyce. Nie możemy zbadać gwiazdy z bliska (zresztą nikt nie chciałby tam się znaleźć - jest za gorąco), więc badamy i analizujemy ją z odległości, obserwując jej światło i sprawdzając, czego brakuje w gładkim, ciągłym widmie termicznym. Badamy widmo i sprawdzamy, czy pasują linie wodoru. Zazwyczaj pasują, ale w atmosferze gwiazdy są także inne pierwiastki. Idź do laboratorium, sprawdź wapń, sprawdź, jaką częstotliwość różne pierwiastki absorbują w warunkach laboratoryjnych. Po kolei sprawdzaj każdy pierwiastek, czy pasuje do widma gwiazdy. Każdy pierwiastek zostawia inny ślad, jednoznaczny jak odcisk palca. Każdy pierwiastek i każda molekuła ma inny układ poziomów energii widocznych na diagramach energii (dla przykładu na il. 6.3 wśród linii wodoru widoczna jest linia absorpcyjna wapnia, oznaczona jako Ca).
W ogólnym przypadku musimy oprócz widma gwiazd rozważyć także obłok międzygwiezdnego gazu, chmurę wodoru, przez którą przechodzi promieniowanie gorącej, niedaleko położonej gwiazdy. Światło gwiazdy wnika w obłok i przechodzi na drugą stronę, więc w widmie będą obecne linie absorpcyjne. Musimy teraz zrobić bilans linii widmowych. Dla pewnych długości fali światło jest absorbowane, przenosząc elektrony na wyższe poziomy energii. Te elektrony niebawem spadną w dół, emitując przy tym fotony. Jest to pewnego rodzaju chwilowa afera, w którą zamieszany jest elektron i foton. Gdy elektron powróci na pierwotny poziom, zostanie wyemitowany foton (o takiej samej częstotliwości jak foton, który chwilę wcześniej został pochłonięty przez elektron), ale w przypadkowym kierunku. To odpowiadałoby sytuacji, w której wiewiórki rude i wiewiórki szare mają problemy żołądkowe i natychmiast wypluwają połknięte orzechy w przypadkowych kierunkach. Jeżeli obłok gazu jest w równowadze termicznej, w której średnia liczba elektronów na poziomie 2 nie zmienia się w czasie, to liczba orzechów połkniętych musi być równa liczbie wyplutych. Jeżeli stoisz na linii strzału armaty (obserwacja obłoku wzdłuż linii obserwacji gwiazdy), będziesz widział intensywną wiązkę orzechów z armaty, lecącą w twoim kierunku, minus żołędzie i orzechy makadamia. Jeżeli jednak nie stoisz na linii strzału armaty (obserwacja obłoku nie w linii obserwacji gwiazdy), nie zobaczysz wiązki orzechów z armaty. Patrząc wprost na drzewo (na obłok gazu), zobaczysz żołędzie i orzechy makadamia wylatujące z drzewa. Będą to jasne linie emisyjne, o tych samych długościach fali, które zostały uprzednio zaabsorbowane. Na podstawie obecności żołędzi i orzechów makadamia w wiązce orzechów wylatującej pod kątem z drzewa, możesz wywnioskować, że w koronie drzewa są wiewiórki rude i wiewiórki szare. Przez analogię linie emisyjne widoczne w emitowanym promieniowaniu pozwolą zidentyfikować niektóre pierwiastki obecne w obłoku. Widoczna na ilustracji 6.4 mgławica Rozeta ma wyraźny czerwony kolor. Gaz emituje światło o długości fali 6563 angstremów (linia emisyjna wodoru H?), co oznacza, że mgławica Rozeta zawiera wodór. Astronomowie potrafią robić doskonałe zdjęcia emisyjnych mgławic, takich jak mgławica Rozeta, wykorzystując filtry, które przepuszczają tylko światło o długości fali H?. Dzięki temu niemal całe światło ziemskiej atmosfery - które mogłoby popsuć zdjęcie - zostało zablokowane. Światło pochodzące od młodych, jasnych, niebieskich gwiazd, widocznych na ilustracji w centrum mgławicy Rozeta, natrafia na atomy wodoru w mgławicy i przenosi ich elektrony na poziom n = 3. Gdy elektrony spadają na poziom n = 2, emitują we wszystkie strony fotony H?. Mgławica świeci czerwonym światłem H?, podobnie jak uliczny neon świeci na pomarańczowo.
Omawialiśmy rodzinę linii spektralnych wodoru: H?, H?, H?, H?, H? i tak dalej, zwaną serią Balmera. Ta seria linii została odkryta w 1885 roku przez Johanna Jakoba Balmera15. Nie ma znaczenia, czy strzałki na diagramie energii na ilustracji 6.2 są skierowane w górę czy w dół - taki sam foton jest emitowany (strzałka w dół) lub absorbowany (strzałka w górę), lecz dla wszystkich przejść w serii Balmera pierwszy stan wzbudzony, n = 2, jest podstawą, a wszystkie fotony mieszczą się w widzialnej części widma (il. 6.2 przedstawia emisję fotonów oraz towarzyszące emisji przejścia elektronów do stanu n = 2). Seria Balmera została odkryta pierwsza, ponieważ fotony Balmera są w widzialnym regionie widma. Ale istnieją także inne serie widmowe wodoru. Dla jednej z nich, serii Paschena, podstawą jest poziom n = 3. Przejścia elektronowe w serii Paschena są krótsze w skali energii, więc odpowiadające im fotony mają niższą energię niż światło widzialne (zob. il. 6.2). Seria Paschena leży w całości w podczerwieni. Została zidentyfikowana, gdy zostały wynalezione dobre, skuteczne detektory podczerwieni. Powinieneś wiedzieć, że jest więcej takich rodzin, ale wspomnę tylko trzy: Paschena, Balmera oraz serię Lymana (tak jak poprzednio greckie litery stanowią podstawę nomenklatury: Lyman-alfa, Lyman-beta etc.). Dla serii Lymana podstawą jest poziom n = 1, a wszystkie przejścia są w ultrafiolecie. Przejście o najmniejszej energii w serii Lymana ma większą energię od przejścia o największej energii w serii Balmera (ponownie zob. il. 6.2).
Oznacza to, że gdy szukasz tych przejść w widmie, seria Balmera jest oddzielona od innych serii, seria Lymana jest oddzielona od innych serii, i podobnie seria Paschena, co powoduje, że łatwo je wyizolować i zrozumieć. Mógłbym wybrać i narysować widmo atomu, dla którego tak nie jest. Mógłbym znaleźć atom - niektóre z nich mają bardzo dziwne widma - dla którego przejścia w serii Lymana, Balmera i Paschena są podobne i wszystkie trzy rodziny nakładają się w widmie. Musimy brać pod uwagę takie sytuacje, gdy analizujemy linie widmowe, aby znaleźć i zidentyfikować odpowiadające im pierwiastki.
Ilustracja 6.4. Mgławica Rozeta. Obłok gazu, w którym powstają nowe gwiazdy. Czerwony kolor pochodzi od przejścia od poziomu n = 3 do poziomu n = 2 w wodorze (H?)
Credit: Robert J. Vanderbei
Przez tysiące lat umieliśmy tylko mierzyć jasność gwiazd, ich położenie na niebie i może jeszcze kolor. To była domena klasycznej astronomii. Nowoczesna astrofizyka zaczęła się w momencie, gdy nauczyliśmy się rejestrować widma gwiazd, ponieważ widma pozwalają poznać skład chemiczny. Interpretację widm zawdzięczamy mechanice kwantowej. Chciałbym bardzo wyraźnie to podkreślić. Nie rozumieliśmy widm, zanim nie powstała mechanika kwantowa. Planck wprowadził swoją stałą w 1900 roku, a w 1913 Bohr stworzył model atomu wodoru, z elektronem na orbitalach, co umożliwiło wyjaśnienie serii Balmera. Nowoczesna astrofizyka zaczęła się dopiero wtedy, w latach dwudziestych XX wieku. Zwróć uwagę, że od tego czasu upłynęło zaledwie sto lat. Najstarsi żyjący obecnie ludzie urodzili się, gdy astrofizyka dopiero raczkowała. Przez tysiące lat nie mieliśmy pojęcia, czym są gwiazdy, a w ciągu jednego ludzkiego życia zdołaliśmy je całkiem dobrze poznać. Mam książkę o astronomii z 1900 roku. Są tam takie sformułowania, jak: "tu jest konstelacja", "oto piękna gwiazda", "tu jest wiele gwiazd", "a tu jest mniej gwiazd". Jest cały rozdział o fazach Księżyca, jest rozdział o zaćmieniu Księżyca - to wszystko, co ówcześni astronomowie mieli do powiedzenia. Natomiast podręczniki pisane trzydzieści lat później omawiały skład chemiczny Słońca, źródła energii jądrowej, los Wszechświata. W 1926 roku Edwin Hubble udowodnił, że Wszechświat jest większy, niż ktokolwiek mógł podejrzewać, ponieważ odkrył galaktyki leżące znacznie dalej niż gwiazdy naszej własnej Drogi Mlecznej. A w 1929 roku odkrył, że Wszechświat się rozszerza16. Żyją jeszcze ludzie, którzy byli już na świecie, gdy w naszym zrozumieniu Wszechświata poczyniliśmy te milowe kroki. Z jednej strony to niewątpliwie wyjątkowa sytuacja, z drugiej strony często zadaję sobie pytanie: jakie rewolucje czekają na nas w ciągu kilku kolejnych dekad? Jakich kosmicznych odkryć dokona twoje pokolenie? O czym będziesz mógł opowiadać swoim potomkom?
Mając w pamięci takie lekcje historii, może unikniesz takich niemądrych przewidywań, jakie poczynił francuski filozof, Auguste Comte, który w 1842 roku w swojej książce Cours de philosophie positive sformułował następującą opinię na temat gwiazd: "Nigdy nie poznamy ich składu chemicznego ani ich mineralogicznej struktury".
Zapraszamy do zakupu pełnej wersji książki
1 Technicznie rzecz biorąc, megabajt jest równy 220 = 1 048 576 bajtów, a gigabajt jest równy 230 = 1 073 741 824 bajtów, ale w praktyce zaokrąglamy te liczby do miliona i do miliarda.
2 "Ponad 99 miliardów zaserwowanych" (amerykański "billion" = europejski miliard).
3 Autor powiela sposób, w jaki podobne relacje opisywano w XVII wieku. Współczesny zapis trzeciego prawa Keplera, który uwzględnia kwestie wymiarowe, wygląda
następująco: P2 = a3.
4 Stałość prędkości polowej, czyli zachowanie momentu pędu, wynika z samej tylko sferycznej symetrii pola grawitacyjnego.
5 Na długo przed nim Grecy. Arystoteles pisał: "A zatem ciało albo będzie się znajdować w spoczynku, albo będzie się poruszało w nieskończoność, jeżeli tylko nie stanie mu na drodze jakieś inne silniejsze ciało" (Fizyka, przeł. Kazimierz Leśniak, PWN, Warszawa 1968, księga IV, 215a).
6 "Byłem w najbardziej stosownym wieku dla wynalazków i rozmyślałem o Matematyce i Filozofii bardziej niż kiedykolwiek od" [mojej] dedukcji "z reguły Keplera dla periodycznych okresów Planet będących w proporcji trzy do dwóch do ich odległości od środków ich Orbit", że "siły, które trzymają Planety na ich Orbitach muszą [być] odwrotne do kwadratów ich odległości od centrów, wokół których krążą". Określenie "Mathematicks & Philosophy" w XVII/XVIII wieku oznaczało "matematyka i filozofia przyrody", czyli w dzisiejszym języku "matematyka i fizyka". Sformułowanie "sesquialterate proportion" odnosi się do proporcji wykładników (3 do 2) w trzecim prawie Keplera, P2 = a3, opisanym na s. 42.
7 D.T. Whiteside, The Prehistory of the 'Principia' from 1664 to 1686, "Notes and Records of the Royal Society of London", 45, no. 1 (January 1991), s. 38.
8 Proxima powoli krąży wokół silnie związanych, ciężkich i bliskich sobie pozostałych dwóch gwiazd, z okresem obiegu około 1/2 miliona lat. Zatem informacja, że jest najbliższa Słońcu, z czasem zapewne się zdezaktualizuje.
9 W polskiej literaturze wyróżnia się niekiedy zakres "promieniowanie kosmiczne" powyżej zakresu gamma oraz "prądy wolnozmienne" poniżej zakresu radiowego.
10 Czyli sumaryczną energię (w jednostce czasu) fotonów, których długość fali mieści się w zakresie jednej jednostki długości.
11 Dwieście lat przed erą Plancka.
12 Powinno być: C = 2,898 milimetra razy kelwin.
13 W terminologii astronomicznej funkcjonują dwa pojęcia dotyczące jasności gwiazd: (1) moc promieniowania (ang. luminosity) - całkowita ilość energii, jaką gwiazda emituje w pełny kąt bryłowy (we wszystkie strony) w jednostce czasu, czyli całkowita moc gwiazdy. Słowo luminosity jest niekiedy zastępowane przez równoważne określenie intrinsic brightness. W języku polskim luminosity jest tłumaczone jako: "moc" lub "jasność absolutna" albo "dzielność promieniowania" (funkcjonuje także pokrewne określenie "absolutna wielkość gwiazdowa"); (2) jasność obserwowana (ang. brightness) - jest to ilość energii, którą w jednostce czasu rejestruje teleskop o aperturze 1 metra kwadratowego. Zatem gwiazda emituje pełną moc (luminosity) we wszystkie strony, natomiast teleskop rejestruje tylko maleńki ułamek całkowitej mocy gwiazdy przypadający na kąt bryłowy obejmujący jednostkę powierzchni w miejscu położenia teleskopu na Ziemi. Określenie brightness jest tłumaczone jako "jasność obserwowana". W dalszej części książki stosowane będą także określenia: "jasność", "jasna gwiazda", "najjaśniejsza gwiazda" itp., jeżeli z kontekstu jasno wynika, że są użyte w powyższym znaczeniu.
14 Nie jest to cała uwalniana energia, ponieważ gwiazda emituje także cząstki masywne (głównie protony), które prędkości światła nie osiągają, a też unoszą energię.
15 Balmer odkrył wzór Balmera, natomiast same linie spektralne wodoru były znane wcześniej.
16 Najnowsze badania historyczne znacznie ograniczają rolę Hubble'a w tej dziedzinie i wskazują na zasługi Lemaître'a i innych.
