Uwertura
Od budynków, w których mieszkamy, przez muzykę, której słuchamy, sztukę, którą podziwiamy, aż do opowieści, które snujemy - ciągłym zachwytem napełnia mnie odkrycie, że wzorce ludzkiej twórczości są zawsze matematyczne. W dziełach artystów, twórców i pisarzy, którzy zmieniają sposób naszego widzenia i doświadczania świata, zauważam wzorce, które - jako matematyk - dobrze znam. Najwyraźniej pociągają ich te same idee, które fascynują i mnie, nawet jeśli nie mają matematycznego wykształcenia ani doświadczenia technicznego w "mojej" dziedzinie.
Może to zdziwi tych, którym matematyka kojarzy się jedynie z męką wkuwania tabliczki mnożenia. Sztuka i matematyka. Dla wielu ludzi są to przeciwieństwa, jak ogień i woda, sprzeczne pojęcia. Pierwsza jest domeną uczuć, namiętności i piękna. Druga stanowi świat żelaznej logiki, precyzji i prawdy. A jednak gdy zajrzymy pod powierzchnię tych stereotypowych przekonań, odkryjemy, że obydwa światy mają z sobą więcej wspólnego, niż można przypuszczać.
Moim zdaniem ideą, która łączy te dwie dziedziny, jest koncepcja wzoru. Gdybym miał pokusić się o definicję matematyki, powiedziałbym, że to nauka o wzorach. To nie poszczególne liczby interesują matematyków, ale wzory, w jakie się układają i które wykraczają daleko poza naturę samych liczb. Zrozumienie tych abstrakcyjnych wzorów jest sednem matematyki, a ponieważ są one również nieodłączne od aktu twórczego, związek między nimi staje się nieunikniony.
W ramach tej książki chcę ukazać najbardziej podstawowe matematyczne wzory, które stoją także u podstaw ludzkiej kreatywności. Nazwałem je "wzorcami", po angielsku blueprints. Postrzegam je jako ukryte plany, według których ludzkość od zawsze tworzy sztukę, architekturę, muzykę i literaturę. Niektóre z nich mają naturę geometryczną, na przykład koło czy wstęga Möbiusa, i można uznać je za modele do tworzenia obiektów materialnych. Inne to wzorce liczbowe, takie jak liczby pierwsze lub ciąg Fibonacciego - są one rodzajem wzoru konstrukcyjnego świata. Istnieją też wzorce pojęciowe, takie jak koncepcja losowości lub symetrii; one określają ramy naszych wzorców myślowych.
Angielskie słowo blueprint pierwotnie oznaczało plan techniczny używany jako wzorzec konstrukcji inżynierskich lub architektonicznych. Tego rodzaju plany, wprowadzone przez XIX-wiecznego uczonego Johna Herschela, wyglądały jak błękitne negatywy rysunków technicznych - białe linie na niebieskim tle. Budowano według nich domy, mosty lub maszyny, a niebieski kolor tła pochodził od światłoczułego związku żelaza, którego używano do ich powielania[1]. Omówione w tej książce matematyczne wzorce to właśnie takie plany, na podstawie których powstają różne "konstrukcje" artystyczne. Matematyka zapewnia wzorzec, artysta - ciało, które może ów wzór wcielić w wybraną formę: słów, obrazu, muzyki lub budowli.
Uderzające jest, że nie tylko ludzie kreują swe dzieła na podstawie matematycznych wzorów - wykorzystuje je także natura. Wydaje się, że ludzka kreatywność i matematyka to dwa języki, dzięki którym możemy rozumieć i poznawać nasz wszechświat. Wszechobecność owych matematycznych wzorców daje mi mocne podstawy do twierdzenia, że świat, w którym żyjemy, stanowi fizyczne urzeczywistnienie matematyki. W tej książce zamierzam zgłębić powiązania między trzema dziedzinami, które są jak wierzchołki jednego trójkąta: sztuką, matematyką i naturą.
Dzieła sztuki rodzą się w określonym momencie historii, a moment ten staje się nieodłączną częścią samego dzieła. Dynamizm sztuki baroku wynikał ze zmienności świata, w którym przyszło żyć ówczesnym ludziom. Absurd dadaizmu odzwierciedlał rozpad struktur politycznych, który doprowadził do I wojny światowej.
Nasz wszechświat też prawdopodobnie miał swój początek w czasie - około 14 miliardów lat temu. Wszystkie obiekty we wszechświecie również narodziły się w pewnym momencie - pierwsze gwiazdy, pierwsze komórki, pierwsi ludzie. Jednak uważam, że matematyka jest inna. Jestem mocno przekonany, że matematyczne wzorce, które kształtują zarówno sztukę, jak i naturę, są wieczne. Nie potrzebowały czasu, by powstać, i istnieją poza czasem i przestrzenią. Wszechświat, który zamieszkujemy, można nazwać fizykalizacją, urzeczywistnieniem tych abstrakcyjnych wzorów.
Gdy matematyk po raz pierwszy dostrzega i formułuje jakiś wzór, często odbiera to jako akt tworzenia, lecz zawsze czuje przy tym, że ten wzorzec istniał niezależnie od ludzkich poczynań i tylko czekał na odkrycie. Matematycy ukazują nam owe czyste, abstrakcyjne wzorce, które są prawdziwym źródłem zjawisk, niby cienie na ścianach platońskiej jaskini. Otaczający nas wszechświat jest ich fizyczną formą. W jego ramach artyści tworzą z kolei własne dzieła, w których te wzorce są przetwarzane wciąż na nowo.
Artyści często wspominają o napięciu między poczuciem tworzenia a doświadczeniem odkrywania. Tak jakby każdy posąg od początku istniał w kamiennym bloku i tylko czekał na rzeźbiarza, który go wydobędzie. Każdy ciąg akordów czekał swego pierwszego wysłuchania. Rozmawiałem z kompozytorami, którzy przyznają, że pewne formy muzyczne są odkrywane jednocześnie przez różnych twórców, tak jak geometria nieeuklidesowa została odkryta w XIX wieku przez trzech niezależnych matematyków.
Choć matematyka i sztuka odsłaniają przed nami uniwersalne wzorce platońskiego świata, sam Platon nie miał wysokiego mniemania o sztuce - uważał ją za słabą kopię słabej kopii. Matematyka była dla niego jedyną prawdziwą rzeczywistością, a natura zaledwie przybliżeniem matematycznych idei. Sztuka to kolejny stopień degradacji owych pierwotnych, czystych wzorców, z których wszystko się wywodzi.
Platon miał rację co do natury, która nieudolnie urzeczywistnia matematyczne wzorce. Znamy przecież definicje koła, fraktala czy liczby pierwszej. Spróbujmy jednak znaleźć koło w świecie fizycznym - za każdym razem natrafimy na niezbyt udaną podobiznę prawdziwego koła, nawet na poziomie struktury atomowej. Wynikająca z niej pikselizacja materii zawsze uniemożliwi idealną kolistość. To samo dotyczy fraktali, bo w fizycznym świecie nie można w nieskończoność powiększać obrazu bez napotkania przeszkody w postaci kwantowej, nieciągłej natury materii, podczas gdy matematyka płynnie, w nieskończoność ukazuje coraz to mniejsze i mniejsze obrazy. Zbiór liczb pierwszych jest z natury nieskończony, a jednak nasz skończony wszechświat zawiera tylko małą ich część.
Tak, Platon może i słusznie uznawał porażkę natury w odwzorowaniu doskonałości matematyki, ale był chyba zbyt surowy w swojej ocenie sztuki. Czasem przy odzwierciedlaniu wzorców matematycznych artysta odnosi sukces tam, gdzie naturze się to nie udało. Dlatego, choć w głębi serca skłaniam się ku platonizmowi, to w ramach tej książki będę traktował matematykę, sztukę i naturę jak trzy równe boki foremnego trójkąta idei.
Wielu znanych twórców nie zdaje sobie sprawy z obecności matematyki w swoich dziełach. Jak gdyby sam zmysł estetyczny i chęć eksperymentowania z formą doprowadziły do ponownego - a czasem nawet pierwszego - odkrycia matematycznych wzorców. Można ich postrzegać jako artystów, ale ja pragnę uczcić ich jako ukrytych matematyków. Mam nadzieję, że ta książka obudzi w każdym z nas drzemiącą cząstkę matematycznej duszy, nawet jeśli świadomie odżegnujemy się od podobnych spraw. Jeśli należysz do czytelników o zdecydowanie antymatematycznym nastawieniu, pewnie się zdziwisz, że twoje ulubione dziedziny są często matematyką w przebraniu.
Tak jak matematyka dostarcza zestawu wzorców dla ludzkiej kreatywności, tak artystyczne usposobienie - mocno w to wierzę - jest ważnym sposobem odkrywania nowych praw matematyki. Ten nieustanny dialog między matematyką a sztuką obydwu dodaje mocy do wznoszenia się wciąż na nowe wyżyny. Skoro artyści to matematycy w przebraniu, w takim razie matematycy muszą też być ukrytymi artystami. Owszem, matematyka może sobie istnieć poza czasem, jednak potrzebuje matematyków, aby ukazali ludzkości jej formy. Uważam, że tworzenie tych form zależy w dużej mierze od wrażliwości estetycznej, jak u artysty.
Często zapomina się, a nawet w ogóle pomija to, że matematyka jest dziedziną ludzkiej działalności, stworzoną przez ludzi dla ludzi, więc z natury swojej odwołuje się to tego, co czyni nas ludźmi. Dlatego właśnie ma tyle wspólnego ze sztuką. Sednem obu tych dziedzin jest nasz stosunek do otaczającego nas materialnego świata. Obydwie - sztuka i matematyka - wskazują drogi interpretacji, rozumienia i odnajdowania naszego miejsca we wszechświecie. Jest więc zupełnie naturalne, że i matematyków, i artystów fascynują, pociągają, intrygują i ciekawią te same podstawowe wzorce.
Dwie kultury
Jednym z największych nieszczęść nowoczesnej epoki jest to, że sztuka i nauka postrzegane są jako dwa zupełnie odrębne światy. Nawet system szkolnictwa często wymaga od nas dokonania wyboru: Rubens czy teoria względności? Debussy czy DNA? Szekspir czy drugie prawo termodynamiki? Mocno drażni mnie upór, z jakim wymaga się takiego szufladkowania zainteresowań. Jeszcze w szkole zakochałem się w potędze nauki, która pozwala orientować się w otaczającym świecie, odkrywać, skąd przychodzimy, i - co jeszcze wspanialsze - spoglądać w przyszłość, by zgadywać, co nas czeka. Tak samo jednak oczarowany byłem sztuką. Gra na trąbce w amatorskiej orkiestrze młodzieżowej wprowadziła mnie w wielki świat muzyki - od Bacha po Bartóka; teatr amatorski w moim mieście dał mi poznać magię opowieści Szekspira i Becketta, a choć nigdy nie umiałem wyrażać się w malarstwie, chętnie podziwiałem dzieła w galeriach sztuki, które zwiedzaliśmy podczas wakacyjnych wyjazdów do Włoch czy Francji.
Szczęśliwie uniknąłem wtedy konieczności dokonania wyboru. Zawdzięczam to mojemu nauczycielowi matematyki, który polecił mi książkę o tym, co znaczy być matematykiem:
Matematyk, podobnie jak malarz bądź poeta, jest twórcą modeli. Jeżeli jego wzory są trwalsze, to dlatego, że składają się z idei. (...) Wzorce będące dziełem matematyka, podobnie jak wzorce malarza lub poety, muszą być piękne; idee, tak jak barwy czy słowa, muszą pasować do siebie w harmonijny sposób. Piękno jest pierwszym sprawdzianem - nie ma na świecie miejsca dla brzydkiej matematyki. (...) Matematyka interesuje mnie jedynie w jej aspekcie twórczym[2].
Wspomniana książka to Apologia matematyka napisana przez profesora matematyki Uniwersytetu w Cambridge, G. H. Hardy'ego. Historia jego życia była prawdziwym objawieniem dla 13-letniego chłopca, jakim wówczas byłem. Książka ta stała się pomostem między sztuką a nauką, którymi właśnie zacząłem się fascynować. Z jednej strony ujrzałem matematykę jako język, którym posługuje się nauka w wyjaśnianiu swoich koncepcji, a z drugiej Hardy przekonał mnie, że matematyka jest dziedziną sztuki, podobnie jak poezja lub malarstwo. W gruncie rzeczy Hardy niezbyt cenił dziedziny matematyki wykorzystywane w naukach stosowanych:
Te działy matematyki są na ogół dość nieciekawe: mają akurat najmniej walorów estetycznych. Prawdziwa matematyka prawdziwych matematyków - Pierre'a Fermata, Leonharda Eulera, Gaussa, Abla i Riemanna jest niemal zupełnie nieprzydatna. (...) Nie można zatem oceniać życia jakiegokolwiek autentycznego matematyka z punktu widzenia użyteczności jego pracy[3].
Większość ludzi uważa, że matematyka jest użytecznym narzędziem do rozwiązywania problemów naukowych lub opracowywania nowych technologii, a nowe matematyczne odkrycia wypływają przede wszystkim z potrzeby rozwiązywania zagadnień praktycznych. Mimo to, gdyby zapytać matematyków o ich pracę, większość przedstawiłaby zupełnie inny obraz. Zagadnienia, nad którymi pracują, bardzo rzadko mają cele czysto utylitarne.
Nie chcę przez to powiedzieć, że ostatecznie odkrycia te nie znajdują użytecznych zastosowań, jednak nie to było głównym powodem, dla którego poświęcano im czas i wysiłek. Okazuje się, że matematycy, w dążeniu do swoich celów, kierują się wartościami estetycznymi, bardzo podobnymi do tych, jakie przyświecają artystom.
Graham Greene tak napisał o książce Hardy'ego: "Nie znam innego dzieła - może z wyjątkiem esejów wprowadzających Henry'ego Jamesa - które by tak jasno i z prostotą opisywało uniesienia tworzącego artysty"[4]. Matematyka jako dziedzina sztuki - to było dla mnie jak objawienie. Im więcej czasu spędzałem w jej świecie, tym lepiej zaczynałem rozumieć, jak wiele łączy uprawianie matematyki z uprawianiem sztuki.
To właśnie książka G. H. Hardy'ego otworzyła mi oczy na artystyczny aspekt matematyki. Obok przepięknego opisu, co znaczy być matematykiem, mój egzemplarz Apologii matematyka zawierał też fascynującą przedmowę pióra C. P. Snowa, przyjaciela autora i jego uniwersyteckiego kolegi. Snow przypomniał w niej niektóre historie z życia Hardy'ego, szczególnie jego współpracę z wielkim hinduskim matematykiem Srinivasą Ramanujanem. Ich współpraca uwidoczniła, jak ważne jest połączenie matematycznej wyobraźni i intuicji, uosabianej przez matematykę Ramanujana, z mocą ścisłego dowodzenia, jakim Hardy umiał potwierdzić prawdziwość jego twierdzeń. Przedmowa ta podobała mi się tak jak sama książka, ponieważ Snow odsłonił ludzkie oblicze matematyków, ukazując ich w kontekście historycznym.
Jednak najbardziej znanym dziełem C. P. Snowa jest napisany w 1959 roku esej Dwie kultury, w którym ubolewał nad intelektualnym rozdzieleniem sztuk pięknych i dziedzin humanistycznych od świata nauk ścisłych i przyrody. Według Snowa przepaść ta jest wielką przeszkodą dla rozwoju ludzkiej wiedzy. Tym, co w książce Hardy'ego najbardziej urzekło mnie jako nastolatka, było odkrycie, że właśnie moja dziedzina może stać się pomostem nad tą przepaścią. Ten pomost to wieczne matematyczne wzorce, według których natura kształtuje swoje wytwory i które także ujawniają się w sztuce, będącej ludzką odpowiedzią na otaczający świat.
Emocje
Jednym z najbardziej zaskakujących podobieństw między tymi dwiema dziedzinami jest to, jak emocje kierują działaniami ich adeptów. Dla wielu osób sztuka pozostaje światem emocji, a matematyka - światem logiki. Sztuka może i zawiera w sobie elementy matematycznego planu, ale jednak tym, co w niej pociąga, jest emocjonalny przekaz. Czyż matematyka nie kieruje się tylko klinicznie chłodną, logiczną argumentacją? Emocje przecież nie wchodzą w skład dowodu.
A jednak wielu niematematyków zdziwi to, że w procesie tworzenia matematyki kierujemy się w dużej mierze właśnie emocjami. To nasze uczuciowe zaangażowanie mówi nam, które problemy warto zaliczyć do kanonu matematyki i opublikować w czasopismach naukowych. Wedle powszechnego wyobrażenia celem matematyki jest dowiedzenie każdego prawdziwego twierdzenia na temat liczb i geometrii, ale to byłoby tak, jakby chcieć napisać wszystkie możliwe książki czy skomponować każdą możliwą melodię - stworzylibyśmy wtedy matematyczny odpowiednik borgesowskiej Biblioteki Babel. Jednak matematyka nie jest prostą listą wszystkich prawdziwych twierdzeń o liczbach. Matematycy tworzą opowieści, których bohaterami są liczby i geometrie, a fabułą jest tok przeprowadzanego dowodu. Nie każda możliwa do opowiedzenia historia jest tego warta.
Jeden z moich matematycznych idoli, Henri Poincaré, powiedział: "Tworzyć to znaczy starannie unikać czynienia bezużytecznych powiązań. Akt twórczy jest rozróżnieniem, wyborem (...). Bezpłodne, jałowe kombinacje nawet nie przychodzą twórcy do głowy". W matematyce, podobnie jak w literaturze czy muzyce, chodzi o dokonywanie wyborów, często motywowanych względami estetycznymi.
Dla Hardy'ego piękno było pierwszym probierzem dobrej matematyki, a to, co mówił, jest od dawna znane matematykom. Uważam jednak, że skupianie się wyłącznie na estetyce ogranicza wpływ matematyki na tych, którzy się nią zajmują. Wszyscy pragniemy zaskoczenia, dreszczu emocji, zwrotu akcji w toku dowodzenia, oburzenia szokującym twierdzeniem, które następnie zniknie w chwili olśnienia i w końcu - akceptacji, że świat będzie odtąd wyglądał zupełnie inaczej niż przedtem.
Nigdy nie zapomnę, kiedy Andrew Wiles rozpłakał się przed kamerą na wspomnienie chwili, w której zrozumiał, jak udowodnić wielkie twierdzenie Fermata. Matematyk staje w zachwycie wobec prawdy, jaka odsłania się jego oczom po długim czasie spędzonym na poszukiwaniach. Formy i wzory, które tworzymy i badamy, są źródłem nieustannych niespodzianek, chwil najwyższego podniecenia i zdumienia. Pierwsze z nimi spotkanie przypomina uczucie, jakie ogarnia człowieka, który pierwszy raz słyszy Pasję według św. Mateusza Bacha, ogląda obrazy Leonarda albo czyta sonety Szekspira.
Matematyka może wydawać się abstrakcyjna, a przez to odległa od ludzkiego doświadczenia. Jednak to, że jej wzory przenikają same podstawy działania wszechświata, daje im siłę, obok której trudno przejść obojętnie. To nie przelotna satysfakcja, która ogarnia nas po rozwiązaniu ciekawego sudoku - to spojrzenie w głąb wzorców poruszających mechanizmem wszechświata, wzorców, które mogą być kluczem do innych wszechświatów lub ukazać nasz własny w zupełnie nowym świetle. Czy nie do tego samego dąży artysta, tworząc swoje dzieła?
Gdy porównuje się matematykę i muzykę, to często emocje uchodzą za główną cechę odróżniającą te dziedziny. Lew Tołstoj miał powiedzieć, że "muzyka jest stenografią uczuć", i faktycznie, musi chyba istnieć jakiś słownik połączeń między wyrazami muzycznej i uczuciowej ekspresji. "Stenografia" to dobre określenie muzyki, bo jest ona strukturą o niższej wymiarowości w porównaniu z tym, jak nasze mózgi kodują emocje. Przy całym tym napięciu między emocjonalnym światem sztuki a matematyczną chłodną logiką pomijamy często fakt, że w sumie artyści rzadko wspominają o emocjach w swojej pracy. Wielu kompozytorów nie zgodziłoby się z tym, że muzyka ma wyrażać ich stany emocjonalne na ów stenograficzny sposób wspomniany przez Tołstoja. Muzyka jest czymś pierwotnym, emocje są wtórne. Pojawiają się dopiero w następstwie wzoru stworzonego przez kompozytora. Mózg reaguje na rozpoznany wzorzec, a sposób, w jaki różne wzory wywołują różne emocje, jest naprawdę fascynujący. To, jak przebiega ten proces w bezsłownej dziedzinie muzyki, pozostaje poniekąd tajemnicą.
Strawiński pisał, że muzyki nie tworzy się po to, aby coś wyrazić:
Uważam, że muzyka, z samej swojej natury, jest zupełnie bezsilna w wyrażaniu czegokolwiek, czy to uczucia, stanu umysłu, nastroju psychicznego, zjawiska przyrody itp. Ekspresja nigdy nie była nieodłączną własnością muzyki. Nie jest też w żadnym razie celem jej istnienia. Jeżeli, co niemal zawsze ma miejsce, muzyka wydaje się coś wyrażać, jest to jedynie złudzenie, a nie rzeczywistość. To po prostu jedna z jej pobocznych własności, którą wskutek jakiejś milczącej, pradawnej zgody narzuciliśmy, nadaliśmy jej mocą konwenansu jako definicję - słowem, właściwość, którą, przez nieświadomość lub przyzwyczajenie mylimy z prawdziwą jej istotą[5].
Philip Glass twierdzi, że nigdy celowo nie wpisuje w swoje prace treści emocjonalnych, a uczucia według niego pojawiają się spontanicznie, w wyniku zastosowanych metod. "Zauważyłem, że muzyka niemal zawsze ma w sobie pewną jakość emocjonalną, jednak jest to całkiem niezależne od moich zamiarów".
W kompozycji muzycznej najczęściej to forma pojawia się jako pierwsza, a dopiero z niej wyłaniają się emocje. Bardzo często forma ta ma w swojej istocie charakter matematyczny. Strawiński powiedział kiedyś: "Muzyk powinien uważać naukę matematyki za równie użyteczną, jak poeta naukę języka obcego. Matematyka kusząco unosi się tuż pod powierzchnią".
Dobrze wiemy, że muzyka wzbudza w słuchaczach silne emocje, nawet jeśli nie mają oni teoretycznego wykształcenia w tej dziedzinie. A przecież muzyka to po prostu zestaw nut o określonych częstotliwościach dźwięku, ułożonych według wzorców, które łączą je ze sobą w czasie. Można ją utrwalić w postaci znaków zapisanych czarnym atramentem na białej kartce. Rzecz w tym, że wybraliśmy właśnie te wzorce nut, które silnie oddziałują na świat naszych emocji. Otóż te wzorce i tworzone przez kompozytora formy są prawdopodobnie sposobem zapisu alternatywnym do tego, którym nasz mózg koduje emocje, aktywując synapsy i neurony.
Jeśli jednak emocje mogą być wzbudzane przez określone częstotliwości i wzory, w jakie się układają, to czy nasz mózg może odczuwać je także, rozpoznając te wzory w bardziej abstrakcyjnej formie? Możliwe, że emocjonalna reakcja na dzieło sztuki to właśnie odpowiedź na owe wzorce, znajdujące oddźwięk w mózgu rozpoznającym je jako ważne, o fundamentalnym znaczeniu. Prawdopodobnie dobór naturalny sprzyja ewolucji mózgów szczególnie wrażliwych na rozpoznawanie takich wzorców, będących swoistym planem świata przyrody, ponieważ to ułatwia im orientację w otaczającym świecie.
Naukowcy z University College w Londynie przeprowadzili badanie, podczas którego za pomocą rezonansu magnetycznego obrazowali mózgi matematyków oglądających treści matematyczne uznawane przez nich za piękne. Odkryli wówczas, że pobudzało to u nich te same obszary mózgu, które uaktywniają się podczas podziwiania sztuki lub słuchania muzyki. Kierownik tego badania, profesor Semir Zeki, był zaintrygowany, jak często matematycy poruszają temat piękna w swoich pracach:
Wielu z nas wzory matematyczne wydają się suche i niezrozumiałe, jednak w oczach matematyka równanie może uosabiać samą istotę piękna, wypływającego z prostoty, symetrii, elegancji lub niezmiennej prawdy. Według Platona abstrakcyjna natura matematyki była właśnie najwyższym wyrazem piękna.
Einstein podsumował to w ten sposób: "Czysta matematyka jest swoistą poezją logicznych pojęć". Zgadzał się z nim niemiecki matematyk Karl Weierstrass: "Matematyk, który nie jest też po trosze poetą, nigdy nie stanie się w pełni matematykiem".
Dowód i prawda
Moja matematyczna praca w dużej części polega na próbach stworzenia nowych wzorów. Jednak moim zadaniem jest też wyjaśniać, jak i dlaczego te wzory wzbudzają we mnie emocje na tyle silne, że uznałem je za warte zgłębienia. Te wyjaśnienia przyjmują postać dowodów matematycznych i to właśnie w nich najczęściej ujawnia się poezja matematyki.
W swojej Apologii G. H. Hardy przytoczył dwie matematyczne historie, które po raz pierwszy dały mi pojęcie o tym, co Einstein i Weierstrass mogli mieć na myśli. Były to dowody starożytnych Greków, które niosły dla mnie dramatyzm i dreszcz dobrej matematycznej opowieści. Mocno przemówiły do mojej 13-letniej wyobraźni. Pierwszym z nich był dowód na nieskończoność zbioru liczb pierwszych, który przytoczę w pierwszym rozdziale. Pamiętam emocje, jakie towarzyszyły mi, kiedy czytałem, w jaki sposób skończony ludzki umysł przemierza nieskończoność dzięki mapom tak samo skończonej logiki. Drugim był dowód objaśniający, że nie istnieje ułamek, którego kwadratem jest liczba 2. Innymi słowy, podstawy pierwiastka kwadratowego z liczby 2 nie da się zapisać w postaci ułamka. Dowód ten był prawdziwą rewelacją w czasach, kiedy go przeprowadzono i po dziś dzień wpływa na nasze rozumienie różnicy między abstrakcyjnym światem matematyki a fizycznym wszechświatem. Motyw tej różnicy wielokrotnie pojawi się w czasie naszej wędrówki przez wzorce.
Dowód matematyczny ma jednak pewną ważną właściwość, która odróżnia go od aktu twórczości artystycznej - możność opisania wiecznej, ponadczasowej prawdy. Ta możliwość dotarcia do prawdy jest istotną częścią tożsamości matematyka.
Wciąż zadziwia i zachwyca mnie to, że dowody przeprowadzone przez Greków przed dwoma tysiącami lat, o których przeczytałem w książce Hardy'ego, są dziś tak samo prawdziwe jak wtedy i wciąż mają tak silny oddźwięk. Ich pewność była wówczas dla mnie - niepewnego siebie nastolatka - mocno pociągająca. Żadna inna dziedzina nie budzi takiego poczucia niezmienności. Hardy opisał to tak: "Archimedes będzie zapamiętany, a o Ajschylosie zapomną, ponieważ języki umierają, a idee matematyczne nie". "Nieśmiertelność" może wydać się niedorzecznym słowem, jednak to właśnie matematyk ma największą szansę osiągnąć to, co ono oznacza.
To pragnienie pewności matematyka stoi w wyraźnej sprzeczności z motywacją, jaka kieruje artystą. Niejednoznaczność należy do ważnych aspektów sztuk pięknych, jednak dla adeptów matematyki jest ona bluźnierstwem. Wielość interpretacji, miejsce na ukazanie samego siebie, własny akt twórczy zapoczątkowany przez pracę - wszystko to są, zupełnie słusznie, bardzo ważne aspekty sztuki. Choć twórczość matematyczna ma inspirować do szukania nowych sposobów patrzenia na wzorce, a może i prowadzić do nowych odkryć dokonywanych przez kolejne pokolenia, to jednak wieloznaczność nie jest w matematyce pożądana. Jako matematyk chcesz przez swój dowód doprowadzić czytelnika w to samo miejsce, do którego sam dotarłeś.
Mimo że wybrałem zawód matematyka, który wiele osób uzna za leżący zdecydowanie po naukowej stronie granicy między "dwiema kulturami", to odkrycie, że artystów pociągają podobne wzorce, przekonało mnie, że mamy z sobą więcej wspólnego, niż wielu byłoby skłonnych przyznać. Spędziłem wiele czasu na rozmowach z artystami i przekonałem się, że ich też zachwycają matematyczne wzorce, nawet jeśli ukazują się w muzycznym lub językowym przebraniu. Pokazywałem im też wzory z mojego matematycznego świata, mogące zainspirować nowe kierunki w sztuce. Te dialogi w dużym stopniu wpłynęły na treść tej książki. Przekonałem się, że matematyka to prawdziwy most, który łączy brzegi tej kulturowej przepaści.
Większość ludzi wie, że matematyka jest językiem nauki, że jej równania i wzory pozwalają rozumieć i przekształcać nasze środowisko życia. Pragnę jednak, aby dzięki tej książce przekonali się, że matematyka kryje się też wewnątrz wielu przedsięwzięć artystycznych, a wielu artystów, świadomie lub nie, odkrywa te same wzorce, które można znaleźć w skarbnicach matematyki. Matematyka jest nauką o wzorach. Muzyka, literatura, architektura i malarstwo - to sztuki na nich oparte, a natura i nauka są ich fizykalizacją, urzeczywistnieniem. Te trzy dziedziny - matematyka, sztuka i natura - są nierozerwalnie złączone w ramach tych przedwiecznych wzorców.
Każdy rozdział tej książki poświęcony jest innemu matematycznemu wzorcowi. Liczby pierwsze. Koło. Ciąg Fibonacciego. Złoty podział. Fraktale. Bryły platońskie. Symetria. Geometria hiperboliczna. Losowość. Każdy z nich opowiada, w jaki sposób te wzorce i ich odmiany wpływają na różne dziedziny sztuki, a także jak przejawiają się w świecie przyrody. Mam nadzieję, że czytelnikom, którzy zetkną się z nimi po raz pierwszy, spojrzenie przez pryzmat sztuki ukaże te matematyczne struktury w bardziej przyjaznej postaci. Moim celem jest również ukazanie poetyckiej i estetycznej strony matematyki przy omawianiu każdego z tych zagadnień.
Ostatecznie przekonałem się, że ludzka cywilizacja wcale nie jest podzielona na dwa obozy, jak każe wierzyć nasz system edukacji: ze sztuką po jednej, a nauką i przyrodą po drugiej stronie. Ludzka kultura jest jedna, ale ma wiele sposobów patrzenia na świat i wiele języków do jego wyrażania. Języki mogą być różne, lecz wzorce są niezmienne. Niezależnie od tego, czy wybierzemy zawód matematyka, artysty, muzyka czy pisarza, ich sednem jest znalezienie właściwego języka i sposobu opowiedzenia o nurtujących nas ideach, szukających swojego wyrazu.
Jednym z największych odkryć, jakiego dokonałem przy pisaniu tej książki, było to, że rozmaite dziedziny sztuki adaptują te same wzorce. Na pierwszy rzut oka niektóre wydają się mocniej powiązane z pewnymi typami wzorców. Muzyka i liczby. Architektura i geometria. Malarstwo i proporcje. Jednak wzory te znajdą oddźwięk w każdym tworzywie, jakiego użyjemy. Liczby pierwsze możemy napotkać w dziełach Szekspira, dwudziestościany inspirują tancerzy, liczby ciągu Fibonacciego definiują proporcje budynków, a muzyka wibruje na krawędziach ujemnie zakrzywionej przestrzeni. Wzorce te są na tyle abstrakcyjne, że mogą urzeczywistnić się w dźwiękach, obrazach, muzyce czy tańcu.
Naszą wyprawę poprzez wzorce zaczniemy od przyjrzenia się liczbom pierwszym. W pewnym sensie są one wzorcem dla wszystkiego innego: liczby pierwsze tworzą inne liczby, te z kolei tworzą matematykę, a matematyka - wszechświat. Od liczb pierwszych wszystko się więc zaczyna.
Wzorzec pierwszyLiczby pierwsze
Wieczorem 15 stycznia 1941 roku czterech więźniów niosących instrumenty muzyczne stanęło na scenie baraku obozu jenieckiego Stalag VIII A. Na zewnątrz było 20 stopni mrozu. Ziemię pokrywała półmetrowa warstwa śniegu, a wszystkie okna były zamarznięte. Jedyne źródło ciepła stanowiła widownia wypełniona tłumem więźniów i strażników, którzy przyszli wysłuchać koncertu. Wieść niosła, że ma się tu odbyć premiera utworu skomponowanego przez jednego z najsłynniejszych obozowych więźniów, wielkiego francuskiego kompozytora Oliviera Messiaena.
W obszarpanym, zielonym mundurze czeskiej armii, który dano mu w miejsce cywilnego ubrania, w drewnianych chodakach, Messiaen podszedł do fortepianu przydzielonego na potrzeby występu.
Mój Boże, cóż to był za fortepian! Zwykłe, pionowe pianino z zacinającymi się klawiszami. Podczas gry klawisze klinowały się i aby grać dalej, musiałem je wyciągać. Skrzypce były mniej więcej w porządku, ale wiolonczela miała tylko trzy struny. I jeszcze klarnet. Kolejna katastrofa. Jeden z jego klawiszy znalazł się za blisko piecyka i stopił się.
Widać było, że Messiaen lubił podkreślać opłakany stan instrumentów, na których musiał wtedy grać ze swoim kwartetem muzycznym. Według wiolonczelisty jego instrument miał wszystkie cztery struny. "Tego utworu nie można zagrać na trzech!" Jednak w pamięci Messiaena ten koncert zapisał się jako zwycięstwo nad przeciwnościami losu.
Pierwszym wyzwaniem było uciszenie publiczności: 400-osobowego tłumu, przywykłego raczej do komedii i wodewilu niż do subtelnej muzyki kameralnej. Messiaen stanął przed nimi, by powiedzieć kilka słów o utworze, który mieli zaraz usłyszeć. Nosił on tytuł Kwartet na koniec czasu. Nie była to gra słów nawiązująca do ich długiego uwięzienia, lecz do końca wszelkiej przeszłości i przyszłości, który zaznacza początek wieczności. Tytuł pochodził z księgi Apokalipsy, w której św. Jan opisał zstępującego anioła, przysięgającego, "że czasu nie będzie więcej"[6].
W tych apokaliptycznych czasach, jakie Europa przeżywała w roku 1941, zdanie to znalazło oddźwięk w duszach więźniów mających wysłuchać utworu. Muzycy zaczęli grać; klarnet i skrzypce naśladowały śpiew ptaków (na punkcie którego Messiaen miał prawdziwą obsesję), potem Messiaen dołączył do nich w pierwszych akordach fortepianowych.
Pamiętam, że kiedy po raz pierwszy usłyszałem pierwszą część utworu, czyli Liturgię kryształową, miałem nieodparte wrażenie, że w partii fortepianowej kryje się pewien wzorzec, jednak bardzo trudny do określenia. Był to pięknie synkopowany rytm, powtarzający się wciąż od nowa. Nakładały się nań szeregi trzeszczących akordów "barwnych", jak nazywał je sam Messiaen, ponieważ dzięki synestezji pewne sekwencje dźwięków widział jako kolory. Gdy przeniosłem uwagę z rytmu na akordy, zauważyłem jeszcze inny wzór. On też zdawał się powtarzać co pewną ustaloną sekwencję.
Mimo obecności tych wzorców cała melodia właściwie się nie powtarzała, a rytm i akordy były jakby niezgrane. Trudno było dosłuchać się, o co tak naprawdę chodzi. W jaki sposób Messiaen uzyskał tak niecodzienny efekt? Upływ czasu rozpoznaje się dzięki zauważalnej powtarzalności zjawisk: wschodów słońca, pełni księżyca, następujących po sobie pór roku. Jednak oto słyszałem muzykę, w której właściwie nie było powtórzeń; to znaczy prawie, ale niezupełnie. Czas uległ w niej wstrzymaniu, zamrożeniu, zawieszeniu.
W późniejszych wywiadach Messiaen i pozostali muzycy wspominali, jak uważnie publiczność słuchała, wręcz zamarła w oczarowaniu. Rolnicy, robotnicy fabryczni, lekarze, duchowni - wśród nich byli tacy, którzy nigdy przedtem nie słuchali muzyki kameralnej - wszyscy oni byli świadkami narodzenia nowego rodzaju muzyki. Ta hałaśliwa ciżba zebrana, by słuchać muzyki, trwała w ciszy w ciągu całego godzinnego koncertu. Wszyscy drżeli od emocji płynących wraz z muzyką. Jakby na tę jedną, krótką godzinę muzyka wróciła im wolność. Moment zastygły w czasie.
Kiedy ucichły ostatnie dźwięki, zapadła dziwna cisza. Czy był to rodzaj przeżycia religijnego? Czy wypadało klaskać? Jednak po chwili rozległy się brawa. Messiaen wspominał później: "nigdy wcześniej nie słuchano mnie z takim skupieniem i zrozumieniem". Każdy miał świadomość wyjątkowości tego wydarzenia. Występ ten przeszedł do historii muzyki jako najsłynniejsza prapremiera XX wieku.
Pamiętam, jak sam zamarłem, kiedy po raz pierwszy słuchałem tego utworu. W muzyce Messiaena zakochałem się jeszcze przed dwudziestką, kiedy amatorska orkiestra, w której grałem na trąbce, przez weekend ćwiczyła niezrównaną symfonię Turangalîla. Uważam, że ten weekend był szczytowym punktem mojej "kariery" trębacza. Musiał być. Partia trąbki była szalenie trudna. Cały utwór był diabelnie skomplikowany. Dziwaczne metrum, zupełnie inne niż zwykłe na trzy lub cztery, do których przywykliśmy. Jednak najlepiej pamiętam zachwyt tą czystą ekstazą, zaklętą przez Messiaena w muzyce.
Ów weekend spędzony w świecie messiaenowskich dźwięków fundamentalnie zmienił mój pogląd na muzykę. Niedługo potem usłyszałem wiele innych jego utworów, a Messiaen przez długie lata był moim ulubionym kompozytorem. To właśnie w tym okresie pierwszy raz wysłuchałem Kwartetu na koniec czasu z płyty CD, którą wypożyczyłem z miejscowej biblioteki. Był to delikatny, kameralny utwór, całkiem innego wymiaru niż symfonia, którą kiedyś graliśmy, lecz słuchałem go równie urzeczony.
Przez lata nie potrafiłem wyartykułować, jaki to dziwny wzorzec słychać w początkowej części utworu. W jaki sposób Messiaen zdołał osiągnąć tak ciekawy efekt w partii fortepianu, w której rytm i harmonia, każde z osobna, układają się w regularny wzór, a jednak gdy zestawi się je razem, ów wzór zanika? Gdzie tkwił jego sekret? Dopiero kiedy zajrzałem w partyturę, zrozumiałem, jaki to wzór zainspirował Messiaena. Odpowiedź była związana z inną pasją moich szkolnych lat: liczbami pierwszymi.
Liczby pierwsze
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17... i tak w nieskończoność. To właśnie liczby pierwsze - niepodzielne liczby, których nie da się zapisać w postaci iloczynu dwóch mniejszych liczb. Pierwszy raz zetknąłem się z nimi podczas lektury Apologii matematyka G. H. Hardy'ego. Sam Hardy spędził życie na obsesyjnych próbach odkrycia ich tajemnic, a w swej książce o byciu matematykiem przedstawia je jako pierwszy krok do pokochania wzorców, które stanowią sedno matematycznego myślenia. Czytając o liczbach pierwszych, szybko złapałem bakcyla, podobnie jak całe pokolenia matematyków przede mną.
Liczby pierwsze, po raz pierwszy opisane przez starożytnych Greków, to najważniejsze liczby w całej matematyce, ponieważ są cegiełkami, które budują wszystkie inne liczby. W swych Elementach Euklides podaje następujący argument na to, że każda liczba składa się z pomnożonych przez siebie liczb pierwszych:
Jeśli liczba nie jest liczbą pierwszą, to znaczy, że można ją zapisać jako iloczyn dwóch mniejszych liczb. Te liczby mogą być liczbami pierwszymi lub mogą być dalej podzielne. W końcu zawsze dostanie się zestaw liczb, których nie można już podzielić. To właśnie są liczby pierwsze budujące wyjściową liczbę. Weźmy na przykład liczbę 105. Nie jest to liczba pierwsza, ponieważ jest podzielna przez 5: 105 = 5 × 21; 5 jest liczbą niepodzielną, pierwszą, ale 21 można dalej dzielić: 21 = 3 × 7. Teraz mamy trzy niepodzielne liczby: 105 = 3 × 5 × 7.
Dla matematyka liczby pierwsze to jakby atomy arytmetyki; wodór i tlen świata liczb. Każdą cząsteczkę budują atomy pierwiastków układu okresowego, a każda liczba jest zbudowana z pomnożonych przez siebie liczb pierwszych. Prawdopodobnie największym przełomem w chemii był odkryty przez Mendelejewa wzorzec, który doprowadził do opracowania układu okresowego pierwiastków. Chyba każda pracownia chemiczna i laboratorium ma na ścianie zawieszony układ okresowy, jako rzecz o zupełnie fundamentalnym znaczeniu. Okresowość tego układu znaczy, że atomy pierwiastków o podobnych właściwościach występują w pewnych regularnych odstępach - okresach. Na przykład kolejny metal występuje zwykle jako ósmy pierwiastek, licząc od poprzedniego.
Jednak pomimo dwóch tysięcy lat dociekań matematycy nie zdołali odkryć podobnego wzorca pośród liczb pierwszych, który pomógłby przewidzieć, kiedy pojawi się następna. Co więcej, jako matematycy nie możemy nawet zebrać wszystkich liczb pierwszych w jedną wielką listę, nadającą się do powieszenia na ścianie pracowni matematycznej; a to dzięki jednemu z eleganckich dowodów, którym starożytni Grecy wykazali, że liczby pierwsze można wyliczać w nieskończoność. To znaczy, że istnieje nieskończenie wiele tych matematycznych atomów. Nie istnieje największa liczba niepodzielna.
Ktoś mógłby się tym zdziwić, bo przecież można by się spodziewać, że w pewnym momencie liczby staną się już tak duże, że będą musiały być podzielne przez jakieś mniejsze. Jak zdobyć pewność, że powyżej pewnej wartości nadal nie wszystkie liczby będą podzielne? Zamierzam przedstawić ten dowód. Jest on jednym z tych, które Hardy przytoczył w swej Apologii i dzięki któremu zakochałem się w pięknie matematyki. Nie wymaga on żadnej skomplikowanej wiedzy matematycznej poza mnożeniem i dzieleniem.
Jednak dowód ten odzwierciedla także inną rzecz, którą chciałbym podkreślić - narracyjną stronę dowodów matematycznych. Hardy wybrał ten dowód jako doskonałą ilustrację kreatywnej strony każdego matematyka. Dowody są dla matematyków partyturami, naszą poezją, naszym dziełem. Matematyka nie jest po prostu nudnym spisem obliczeń i prawdziwych twierdzeń dotyczących liczb. Chodzi w niej o wybór, które zagadnienia warte są umieszczenia w wielkiej bibliotece matematyki. Matematycy to narratorzy, z tym że nasze historie są o liczbach i geometrii. A jednak te historie też budują napięcie, niosą dreszcz emocji i zwroty akcji w tej podróży po ścieżkach logiki.
Pierwsze zapoznanie się z dowodem bywa - nawet dla mnie, matematyka - cokolwiek przytłaczające; nie zawsze wszystko pojmuję od razu. Nie zniechęcaj się więc, jeśli nie zrozumiesz wszystkiego. Otwórz się na doświadczenie matematyczne, tak jak owi więźniowie otworzyli się na muzykę Messiaena. Żaden z nich prawdopodobnie nie wybrałby się sam na koncert muzyki współczesnej, a jednak wszystkich oczarowało to, co usłyszeli, nawet jeśli nie rozumieli każdej nuty. Czułem się podobnie, kiedy jako nastolatek czytałem ten dowód po raz pierwszy.
Oto dowód, że nie istnieje największa liczba pierwsza, powyżej której wszystkie liczby stałyby się podzielne. Opowieść zaczyna się klasycznym (w matematycznym scenariuszu) zabiegiem narracyjnym. Przypuśćmy, że prawdziwe jest zdanie przeciwne. Przypuśćmy, że istnieje największa liczba pierwsza. Nazwijmy ją P. Następnie wypiszmy kolejno wszystkie liczby pierwsze: 2, 3, 5 i tak dalej, aż do P.
Czuję się jak w chwili, w której detektyw Poirot ujawnia tożsamość mordercy w powieści Agaty Christie, a następnie wyjaśnia, dlaczego to właśnie on. Która liczba pierwsza okaże się sprawcą w naszej opowieści? Pomnóżmy wszystkie liczby pierwsze od 2 do P i do sumy dodajmy 1. Uzyskamy w ten sposób liczbę N:
N = 2 × 3 × 5 × ... × P + 1.
Jeżeli nasz spis liczb pierwszych 2, 3, 5, ... , P zawiera wszystkie liczby pierwsze, to przynajmniej przez jedną z nich liczba N jest podzielna. Dlaczego? Ponieważ, jak już wspomniałem, wszystkie liczby albo należą do liczb pierwszych, albo są podzielne przez liczbę pierwszą. Która liczba pierwsza dzieli liczbę N?
Użyliśmy jednak pewnej sprytnej sztuczki. Polegała ona na zbudowaniu takiej liczby, która po podzieleniu przez jakąkolwiek liczbę pierwszą z naszej listy (2, 3, 5, ... , P) da resztę 1. Nie jest więc podzielna przez żadną z tych liczb pierwszych! Czy to znaczy, że N jest kolejną liczbą pierwszą? Byłoby świetnie, ponieważ wtedy odkrylibyśmy sposób otrzymywania kolejnych liczb pierwszych. Sprawy są jednak trochę bardziej skomplikowane. Udowodniliśmy, że liczba N jest liczbą pierwszą lub podzielną przez jedną z liczb pierwszych, której nie ma na naszej liście. Tak czy inaczej, oznacza to, że istnieją liczby pierwsze, których w tym spisie brakuje. Liczba P nie może więc być największą liczbą pierwszą. Istnieje zatem więcej liczb pierwszych większych od P, przez które liczba N jest podzielna.
Nawet jeśli będziesz twierdzić, że jedna z tych brakujących liczb pierwszych jest tą największą, mogę znów zastosować tę sztuczkę i przedstawić kolejnego podejrzanego. Liczby pierwsze... nigdy się nie kończą.
Kolejne wyzwanie to odkrycie, czy istnieje jakiś plan czy wzór, który pomoże nam otrzymywać liczby pierwsze. Był moment, w którym wydawało się, że pomnożenie wszystkich liczb pierwszych przez siebie i dodanie jedności do otrzymanej sumy może być wzorem na kolejne liczby pierwsze. Okazuje się jednak, że to nie działa. Na przykład jeśli przyjmiemy liczbę 13 za największą liczbę pierwszą i wykonamy działanie 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1, otrzymamy 30 031. Ale 30 031 nie jest liczbą pierwszą, ponieważ 30 031 = 59 × 509. Takie zbudowanie liczby 30 031 nie dało nowej liczby pierwszej, tylko wykazało, że na liście liczb pierwszych brakuje 59 i 509. Ta historia daje pewność co do jednej rzeczy: zawsze istnieją liczby pierwsze niewymienione na jakiejkolwiek skończonej liście.
Przez dwa tysiące lat próbowano znaleźć wzór lub schemat, który pozwoliłby uporządkować te dziwaczne liczby. Kiedy jednak patrzymy na ich spis, wydaje się, że jest tam tylko nieład i losowość. Don Zagier, matematyk, który poświęcił życie na zgłębianiu sekretów liczb pierwszych, musiał w końcu przyznać:
mimo swej prostej definicji i roli cegiełek budujących liczby naturalne, liczby pierwsze (...) wyrastają niby chwasty pośród liczb naturalnych, jakby nie podlegały innym prawom z wyjątkiem losowości i nikt nie umie przewidzieć, gdzie wykiełkuje kolejna.
Liczby pierwsze to nasze najbardziej tajemnicze bohaterki, a ich historia wciąż nie ma zakończenia. Lecz jaką rolę grały w koncercie, który odbył się w Stalagu VIII A owego mroźnego wieczora w 1941 roku?
Pierwszoliczbowe koła zębate
W pierwszej części swego utworu Messiaen chciał oddać nieokreślone poczucie końca czasu. Osiągnął to w sposób najbardziej zadziwiający. Wiemy, że poczucie czasu opiera się na postrzeganiu powtarzalności, trzeba więc było stworzyć wzorzec, w którym nie usłyszy się powtórzenia. Podczas gdy klarnet naśladuje kosa, a skrzypce słowika, partia fortepianu powtarza synkopowany rytm złożony z 17 wartości rytmicznych. Jednak sekwencja, którą pianista wykonuje w tym rytmicznym schemacie, składa się z 29 akordów i również nieustannie się powtarza. Takie powtarzalne wzorce mogłyby stworzyć w efekcie nudną przewidywalność, ale nie w tym przypadku. Dzięki liczbom, które wybrał Messiaen - 17 i 29 - zadziała się magia... a raczej matematyka. Są to liczby pierwsze, a ich wzajemna niepodzielność oznacza, że ułożone przez Messiaena rytm i harmonia, raz puszczone w ruch, nigdy nie powtórzą się w tym samym układzie.
Obydwa te muzyczne schematy rozpoczynają się jednocześnie, ale podczas gdy 17-elementowa sekwencja rytmiczna wchodzi w swój drugi cykl, schemat harmoniczny wciąż jest w trakcie realizacji sekwencji 29 akordów. Jest dopiero w około 3/5 swojego przebiegu, a dokładnie - w 17/29 drogi. Kiedy natomiast w końcu zaczyna się powtarzać, druga sekwencja rytmiczna ma jeszcze pięć wartości do końca, więc obydwa schematy muzyczne nie nakładają się na siebie. Wybór tych akurat liczb pierwszych oznacza, że ich układ nie powróci do punktu wyjścia, dopóki nie usłyszymy 17 × 29 = 493 akordów, a do tego czasu utwór będzie już dawno skończony. W efekcie nigdy nie dochodzi do momentu pełnego powtórzenia.
Przypomina to układ dwóch kół zębatych, z których jedno ma 17, a drugie 29 zębów. Kiedy tak zazębione koła będą się obracać, wrócą do wyjściowego wzajemnego położenia dopiero po 493 krokach. Warto wiedzieć, że kółka zębate w maszynach często naprawdę mają pierwszą liczbę zębów. Dzięki temu za każdym obrotem ząb jednego koła natrafia na inny ząb drugiego - taki układ zapewnia równomierne ścieranie się wszystkich zębów.
Jeśli wybierzemy inne liczby, na przykład 18-elementową sekwencję zestawimy z sekwencją 30 akordów, to już po 90 akordach wrócimy do wyjściowej konfiguracji, ponieważ najmniejszą liczbą podzielną zarówno przez 30, jak i przez 18 jest 90. Dzięki liczbom 17 i 29 utwór skończy się na długo przed ponownym zgraniem obu schematów. Te nieustannie przesuwające się względem siebie sekwencje muzyczne tworzą poczucie bezczasowości, które chciał osiągnąć Messiaen. Choć muzyka idzie naprzód, brak powtórzeń w melodii sprawia, że czas jak gdyby stoi w miejscu.
Messiaen potęguje ten efekt, wprowadzając jeszcze jedno zębate koło: wiolonczela realizuje 15-elementową sekwencję harmoniczną równolegle do partii fortepianu. Obliczono, że wszystkie trzy koła zębate razem powróciłyby do wyjściowej konfiguracji dopiero po dwóch godzinach. Część utworu, która je zawiera, trwa niecałe trzy minuty.
Koncepcja kół zębatych obracających się w miarę upływu utworu zainspirowała animację, którą współtworzyłem razem z artystą Simonem Russellem, by w pełni ukazać matematykę ukrytą w pierwszej części Kwartetu na koniec czasu. Animacja rozpoczyna się wewnątrz matematycznego ogrodu, jednak z czasem okazuje się, że ten ogród jest tak naprawdę więzieniem, tak jak miejsce pierwszego wykonania. W centrum ogrodu znajduje się mechanizm złożony z "pierwszoliczbowych" kół zębatych, które kontrolują harmoniczną i rytmiczną strukturę utworu. Wiele razy odtwarzałem tę animację do muzyki na żywo i zawsze byłem pod wrażeniem perfekcyjnej synchronizacji muzyków z ruchem mechanizmu, choć każdy z nich był przecież wpatrzony w swoją część partytury.
Czy Messiaen był świadomy matematycznego znaczenia użytych liczb? Zapytałem kiedyś kompozytora George'a Benjamina, późniejszego współpracownika Messiaena, o jego wykształcenie matematyczne. Według Benjamina Messiaen niejako sam na nowo odkrył liczby pierwsze. Dzięki muzycznym eksperymentom doszedł do intuicyjnego wniosku, że właśnie liczby pierwsze zaburzają rytm.
Być może kluczem do zainteresowania Messiaena liczbami pierwszymi była jego fascynacja muzyką hinduską. Messiaen nigdy nie był w Indiach, jednak natknął się na wzmiankę o hinduskich technikach muzycznych w encyklopedii. Szczególnie zaintrygowała go nadzwyczajna złożoność indyjskich rytmów, coś, do czego jeszcze wrócę w rozdziale poświęconym liczbom Fibonacciego. Analizując ich struktury, zrozumiał, że wiele interesujących efektów rytmicznych zawdzięczały niepodzielności:
Niepodzielność ma prawdziwą moc w świecie rytmu. Hinduskie rytmy opierają się na liczbie 5 (liczbie placów u każdej dłoni), liczbie 7 i liczbie 11 - wszystkie należą do liczb pierwszych.
Wchodząc głębiej w świat hinduskich rytmów, odkrył jeszcze większe liczby pierwsze. Rytm zwany w Indiach lakskmica składa się z 17 elementów podzielonych na grupy 2 + 3 + 4 + 8. Rytm ragavardhana składa się z 19 wartości rytmicznych, ułożonych w sekwencjach 2 + 3 + 2 + 12. Jest też rytm zwany laya, 37-elementowy: 4 + 2 + 6 + 6 + 6 + 4 + 6 + 3. Pierwsze dwa znalazły się wśród "składników" kwartetu Messiaena.
Bawiąc się rytmami, zrozumiał, że dzięki liczbom pierwszym struktury muzyczne wymykają się z ram konwencjonalnych melodii Zachodu, a wytworzone dzięki temu niezwykłe poczucie napięcia idealnie nadaje się do jego celu. Uważam, że dobrze rozumiał kluczową rolę matematyki w tym, co robił. Mówił też o uroku niemożliwości. "Urok ten, jednocześnie zmysłowy i kontemplacyjny, ma swoje źródło w pewnych matematycznych niemożliwościach w dziedzinie modalnej i rytmicznej". Liczby pierwsze stały się messiaenowskimi wzorcami owego czaru niemożliwości.
Pierwszoliczbowe cykady
Jeśli pewien wzór pojawia się w matematyce i sztuce, z pewnością znajdziemy go też w świecie przyrody. Wszak matematyka i sztuka wyrosły z ludzkiego doświadczania otaczającego świata. Są to języki, które stworzyliśmy, by go zrozumieć.
A jednak liczby pierwsze to nieco wysublimowana koncepcja. Na pierwszy rzut oka wcale nie wydają się naturalne. Faktycznie, nie występują w świecie przyrody równie często jak na przykład liczby Fibonacciego. Istnieje jednak przypadek wykorzystania przez naturę dokładnie tych własności liczb pierwszych, które skłoniły Messiaena do użycia ich w Kwartecie na koniec czasu.
Kilka lat temu pojechałem do Nashville w stanie Tennessee. Nie chodziło mi o muzykę country, lecz o dźwięki zupełnie innego rodzaju. Kilka dni po moim przyjeździe zwykły miejski gwar utonął w zalewie przenikliwego brzęczenia. Był to odgłos, który w wielu krajach kojarzy się z latem. Cykady. Jednak w Nashville dźwięk ten osiągał nieprzyjemnie wysokie natężenie. Biliony cykad masowo wyłoniły się z ziemi i wypełniły okolicę swą obecnością. Połowa z nich - samce - wygrywała miłosne pieśni, by przywabić samice. Zanotowane natężenie dźwięku przekraczało sto decybeli, co odpowiada głośności sygnału karetki pogotowia. Gdy Bob Dylan przyjmował doktorat honorowy Uniwersytetu w Princeton, ceremonię zagłuszył dźwięk podobnej masy cykad; ponoć to zainspirowało go do napisania piosenki Day of the Locust[7].
Mieszkańcy, którzy nie mogą znieść tego ciągłego hałasu, często opuszczają miasto w czasie masowych wylęgów cykad. Całe szczęście, że cykady w takich ilościach pojawiają się tylko raz na 13 lat; gatunek ten wykształcił bardzo ciekawy cykl rozwojowy. Przez 13 lat żyje w ziemi w postaci nimf, czyli form larwalnych, nic nie robiąc, tylko żywiąc się sokami drzew. Jednak co 13 lat nimfy przeobrażają się i wychodzą z ziemi; niemal wszystkie pojawiają się tego samego dnia. Wtedy właśnie obsiadają drzewa i rozpoczyna się zabawa. Cykady masowo kopulują i składają jaja, a po sześciu tygodniach umierają i las ogarnia trwająca przez kolejne 13 lat cisza, aż do następnego wylęgu cykad.
Rozmawiałem z wieloma mieszkańcami Nashville, którzy mogli pamiętać poprzednie pojawienie się cykad. Niektórzy chodzili jeszcze wtedy do szkoły, a w czasie mojego pobytu pracowali już w barze Cracker Barrel, w którym jadałem śniadania. Mówili, że cykady są zupełnie nieszkodliwe, jednak kiedy wszystkie naraz umierają, robi się niebezpiecznie. Drogi są wtedy zasłane masami martwych owadów, tak że kierowcy muszą uważać, aby nie wpaść w poślizg. Jedna z kelnerek powiedziała mi, że istnieje strona internetowa, na której pary planujące ślub mogą sprawdzić, czy wybrany przez nich termin nie wypadnie akurat w czasie, gdy słowa ich przysięgi utonęłyby w brzęczeniu cykad.
Mnie najbardziej zafascynowała liczba 13. Liczba pierwsza. Czy to zwykły przypadek? Nie sądzę. Oprócz owej "trzynastki" żyją w Ameryce gatunki o 17-letnim cyklu życiowym. Cykady towarzyszące wizycie Dylana w Princeton należały do gatunku, który pojawia się co 17 lat. Amerykę zamieszkują cykady o cyklach rozwojowych trwających 13 lub 17 lat, a 13 i 17 to liczby pierwsze. Nie spotkamy cykad, które miałyby 2-, 14-, 15-, 16- czy 18-letni cykl rozwojowy. Co ciekawe, nie odkryto cykad o podobnych cyklach życiowych nigdzie poza Ameryką Północną.
Nieodparcie nasuwa się pytanie: jak cykady liczą do 13 lub 17? Podobnej okresowości nie zaobserwowano w żadnym innym naturalnym cyklu. Najbardziej zbliżone zjawisko to plamy na Słońcu, występujące w cyklach 11-letnich, ale one nie mają żadnego wpływu na larwy cykad żyjące pod ziemią.
Jedna z teorii głosi, że nimfa cykady jest jak wiaderko, które w ciągu każdego cyklu pór roku stopniowo napełnia się sokami drzew. Całkowite wypełnienie wiaderka inicjuje kolejny etap cyklu rozwojowego i cykady wychodzą na powierzchnię ziemi. Badacze z Uniwersytetu w Kalifornii postanowili sprawdzić tę hipotezę i zakłócili cykl życiowy drzew, których sokiem żywią się nimfy. Okazało się, że faktycznie w ten sposób można było wywołać wcześniejsze przeobrażenie żerujących na nich cykad. Piętnastoletnie cykady przeniesiono pod drzewa brzoskwiniowe, które przeszły dwa cykle kwitnienia w jednym roku. Każde kwitnienie "dodaje" więcej soków do "wiaderka" cykady, więc dwa kwitnienia w roku "przekonały" cykady, że minęły już dwa lata.
Jednak największą zagadką jest powód, dla którego taki pierwszoliczbowy cykl życiowy w ogóle wyewoluował. Odpowiedź prowadzi nas znów do sposobu, w jaki Messiaen użył liczb pierwszych w swym Kwartecie na koniec czasu. Liczby pierwsze dobrze zabezpieczają przed synchronizacją różnych zjawisk. Messiaena interesował rytm i harmonia. W przypadku cykad przypuszczamy, że liczby pierwsze pomagają im unikać spotkań z drapieżnikiem, który również występuje w lasach okresowo, lecz prawdopodobnie nie tam, gdzie cykady pojawiają się co roku.
Dla ilustracji tego zagadnienia wyobraźmy sobie drapieżnika, który pojawia się w lesie co 6 lat. Jeśli dany gatunek cykady wylęga się co 9 lat (nie jest to liczba pierwsza), spotka się z drapieżnikiem po dwóch cyklach życiowych, ponieważ 18 dzieli się przez 9 - liczbę lat życia cykady - oraz 6 - liczbę lat cyklu drapieżcy. Cykady nie mają innej broni przed drapieżnikami z wyjątkiem liczebności. Jeśli więc nie będą miały czasu na dostateczne rozmnożenie swojej populacji, grozi im zagłada. Jeśli jednak cykady będą pojawiać się co 7 lat (liczbę pierwszą), dłużej unikną synchronizacji z cyklem życiowym drapieżnika. Ich pojawienia zbiegną się w czasie dopiero po 42 latach, ponieważ 42 jest najmniejszą liczbą podzielną zarówno przez 6, jak i 7. Chociaż cykady 7-letnie pojawiają się w lesie częściej niż te o 9-letnim cyklu rozwojowym, dzięki niepodzielności siódemki dłużej będą miały spokój i możliwość osiągnięcia takiej liczebności, która pozwoli na przetrwanie gatunku w konfrontacji z drapieżnikiem w 42. roku.
Prawdopodobnie w lasach Ameryki Północnej między drapieżnikami i cykadami rozegrał się prawdziwy ewolucyjny bój. Możliwe, że cykl życia drapieżników zmieniał się tak, aby dopasować się do cykad. Cykady, aby przetrwać, musiały "znaleźć" nową liczbę pierwszą lat trwania swego cyklu życiowego. W okolicach Nashville trzynastka wystarczyła, aby wygrać ten wyścig, lecz cykady żyjące w lasach wokół Princeton musiały wydłużyć swój cykl rozwojowy do 17 lat. Nie wiadomo, jaki okresowo występujący drapieżnik popchnął je do tego. Prawdopodobnie wyginął, poniósłszy porażkę w tej wojnie na liczby pierwsze. Czy była to jakaś jadowita osa, a może niszczycielski grzyb? Nikt tego nie wie. Oto morał z tej historii: znasz matematykę - przetrwasz.
Cykady nadal padają ofiarą drapieżników, jednak dzięki swej liczebności gatunek wciąż trwa. Obecnie, w czasie masowych wylęgów cykad, populacje miejscowych ptaków mogą do woli opychać się górami darmowego jedzenia. Okazuje się, że gąsienice, które w latach bez cykad stanowią ich główne pożywienie, również mają w tym czasie "przerwę" i mogą bez przeszkód ucztować na dębowych liściach. Z powodu takiego mnóstwa cykad ptaki nie czynią poważnej szkody w populacji tych owadów. Gdyby cykady rozłożyły swoje wylęgi także na inne lata, mogłyby zostać wytępione, zanim osiągnęłyby dostateczną liczebność. Aby przetrwać, muszą wszystkie pojawiać się jednocześnie.
Niesamowite, że właściwości liczb pierwszych ujawniają się w tak różnych kontekstach. Jeden to lasy Nashville, drugi - koncert w wojennym obozie jenieckim. Cykady stały się dla drapieżników tym, czym rytm Messiaena dla harmonii dźwięków. Mimo tak różnych scenariuszy liczby pierwsze mają tę samą rolę: zapobiegać synchronizacji. Przejawy działania są różne, lecz wzorzec ten sam.
Jednak liczby pierwsze nie służą tylko do komponowania muzyki czy rozmnażania populacji cykad. Znajdują też zastosowanie w konstrukcji budynków.
Akustyka
Architektura i liczby pierwsze na pierwszy rzut oka nie mają zbyt wiele wspólnego. Nieco nienaturalny, dziwny charakter liczb pierwszych nie stawia ich w pierwszym szeregu modeli dla projektowania przestrzeni do życia i pracy. To inne matematyczne formy częściej inspirują większość ludzkich budowli.
Istnieje jeden rodzaj przestrzeni architektonicznej, w której liczby pierwsze grają - nomen omen - pierwsze skrzypce: sala koncertowa. Gdy słuchasz wykonania Kwartetu na koniec czasu, jakość odbioru w dużej mierze zależy od tego, czy akustyka budynku nie zakłóca muzyki. Zbyt wiele płaskich powierzchni powoduje pogłos i echa. Dużo wyściełanych mebli przytłumia dźwięk. Twoje miejsce w sali koncertowej też nie powinno wpływać na jakość słyszanych dźwięków. Nawet jeśli siedzisz blisko fortepianu, powinieneś równie dobrze słyszeć partię wiolonczeli.
Jestem wielkim fanem Wagnera i ostatnio udało mi się odhaczyć jeden z punktów na mojej liście marzeń: usłyszeć cały cykl Pierścienia Nibelunga na specjalnej scenie, którą Wagner zaprojektował w Bayreuth dla swoich oper. To naprawdę niezwykła przestrzeń. Na przykład orkiestra, zamiast siedzieć w otwartym zagłębieniu przed sceną, jak w standardowej operze, jest całkowicie pod nią schowana. Zazwyczaj śpiewacy operowi muszą bardzo wysilać głos, żeby przebił się przez ścianę dźwięków, jaką orkiestra wznosi między nimi a publicznością. Umieszczenie orkiestry pod sceną spowodowało, że śpiew zachował subtelność, jakiej nie słyszałem w jakiejkolwiek innej operze. Podczas czterech wieczorów słuchania kolejnych części cyklu Pierścienia siedziałem obok pewnego staruszka, który przez wiele lat grał w orkiestrze na wiolonczeli. "Nie uwierzy pan, jak głośno orkiestra brzmi tam, w tym pomieszczeniu pod sceną" - powiedział. Jednak do nas dźwięk docierał znacznie przyciszony.
Kolejną innowacją wprowadzoną przez Wagnera był rodzaj siedzeń dla publiczności. Zauważył on, że wygodne, miękkie, wyściełane fotele bardzo psuły akustykę. Pochłaniały dźwięki. Zrezygnowano więc z komfortu na rzecz twardych ławek. Biorąc pod uwagę, że opery Wagnera rozpoczynają się o godzinie 16 i kończą o 10 rano następnego dnia, trzeba naprawdę je uwielbiać, żeby tak długo znosić ból siedzenia na akustycznie perfekcyjnych, lecz wyjątkowo niewygodnych ławeczkach zainstalowanych przez Wagnera.
A jednak Teatr Operowy w Bayreuth nie jest obiektem o najlepszej akustyce na świecie. W Bayreuth znajduje się jeszcze jedna opera o wspaniałej akustyce, którą Wagner rozważał jako miejsce wystawienia swych dzieł. Zbudowana w 1750 roku Opera Margrabiów jest jednym z kilku pozostałych w Europie oryginalnych teatrów barokowych. Styl barokowy to przede wszystkim zdobienia. Okazuje się, że wszystkie te barokowe zakrętasy i falbanki doskonale rozpraszają dźwięk. Jednak sam budynek był zbyt mały, aby pomieścić rozmach, jaki Wagner chciał nadać swym monumentalnym operom, szczególnie biorąc pod uwagę liczebność grającej w nich orkiestry.
Grosser Musikvereinssaal, czyli Wielka Sala Wiedeńskiego Towarzystwa Muzycznego, siedziba Filharmonii Wiedeńskiej i miejsce tradycyjnych wiedeńskich Koncertów Noworocznych, jest także ceniona za swą akustykę. Wybudowano ją pod koniec XIX wieku, a charakterystyczny dla tego okresu styl zdobniczy sprzyja rozpraszaniu dźwięków, zamiast je pochłaniać. Doskonała akustyka sal koncertowych Grosser Musikvereinssaal i Opery Margrabiów jest raczej wynikiem przypadku, nie celowego projektu. Jednak ich konstrukcja może naprowadzić nas na sposoby uzyskania dobrej akustyki.
Nowoczesne sale koncertowe cenione za doskonałą akustykę to Symphony Hall w Bostonie, zbudowana w roku 1900 w klasycznym kształcie pudełka do butów, Symphony Hall w Birmingham, otwarta w 1991 roku, w której jakość akustyki jest zaskakująco dobra jak na liczbę znajdujących się w niej płaskich powierzchni, a także współczesna Philharmonie de Paris, oddana do użytku w 2015 roku. Ta ostatnia jest prawdziwym arcydziełem nowatorskiej technologii akustycznej.
Jednak nie każda sala ma równie dobrą akustykę. Jedna z nich, londyńska Royal Albert Hall, otwarta w 1871 roku przez królową Wiktorię, wręcz słynie z okropnej akustyki. Jej charakterystyczna kopuła, o niefortunnym kształcie formy do galaretki, powoduje silne echa w całej sali.
Jednym z problemów z salami koncertowymi z XX wieku jest to, że lubiane przez nowoczesną architekturę gładkie, minimalistyczne linie i krzywizny mają katastrofalny wpływ na akustykę, ponieważ odbijają fale dźwiękowe i powodują nieznośny pogłos. Szczególnie problematyczna jest pod tym względem sala Royal Festival Hall, będąca częścią londyńskiego Southbank Centre z 1951 roku. Dyrygent Simon Rattle tak wyraził się o jej akustyce: "Royal Festival Hall jest najgorszą dużą salą koncertową w Europie. Na próbach już po półgodzinie ogarnia człowieka chęć ucieczki". Kiedyś grałem tam na trąbce jako członek orkiestry młodzieżowej; było to w latach 80. ubiegłego wieku. Nie słyszałem nawet oboisty, z którym miałem wykonać duet, chociaż był ode mnie oddalony zaledwie o kilka miejsc.
W celu poprawy akustyki wiele sal koncertowych, takich jak Royal Festival Hall czy Royal Albert Hall, należałoby zreorganizować przy pomocy nowych technologii. Na ratunek znów przybywają liczby pierwsze.
Powierzchnie odbijące dźwięk powodują echo, które w pewnych częściach sali jest dobrze słyszalne, a w innych nie. Dlatego pożądane są powierzchnie, które rozpraszają fale dźwiękowe zarówno w czasie, jak i przestrzeni.
Okazuje się, że liczby pierwsze również w tym przypadku przychodzą z pomocą. Powiązanie dobrej akustyki z tą nieco tajemniczą teorią liczb zawdzięczamy niemieckiemu fizykowi Manfredowi Schroederowi. W latach 80. XX wieku zaproponował on zawieszenie na ścianach krat wykonanych z elementów o różnych wysokościach. W ten sposób fale dźwiękowe byłyby rozpraszane niejednocześnie, proporcjonalnie do wysokości elementów kraty. Największym wyzwaniem było obliczenie schematu interferencji fal, tak aby uniknąć ich niepożądanego wzajemnego wyciszania i wzmacniania.
Gdy Schroeder rozwiązał wreszcie ten problem, okazało się, że liczby pierwsze doskonale się do tego nadają. Ich zastosowanie nie było takie oczywiste, ale wynikało z prac niemieckiego matematyka Carla Friedriecha Gaussa, który w początkach XIX wieku zajmował się liczbami pierwszymi i tzw. resztą kwadratową modulo.
Tarczę zegara z liczbą pierwszą godzin, na przykład 7, możemy użyć do obliczeń zwanych arytmetyką modularną lub arytmetyką zegarową. Godziny tego pierwszoliczbowego zegara idą w kolejności od 1 do 6, ale 7 jest zastąpiona przez 0, bo matematycy doceniają użyteczność zera w arytmetyce. Jeśli na tym zegarze do 5 dodasz 4, to zamiast otrzymać 9, cztery przesunięcia wskazówki, licząc od 5, doprowadzą cię do numeru 2. Skoro mnożenie jest powtarzaniem dodawania, można też obliczyć 4 × 4. Jeśli więc dodamy do siebie czwórkę cztery razy, okaże się, że wskazówka przejdzie z 4 na 1, na 5 i na 2. Tak więc 42 = 2 modulo 7. Mówimy, że 2 stanowi resztę kwadratową modulo 7, ponieważ jest to kwadrat liczby z tego pierwszoliczbowego kalkulatora.
Jeśli weźmiesz kolejno wszystkie liczby zegara, od 0 do 6, i obliczysz ich kwadraty, otrzymasz następujący ciąg:
0, 1, 4, 2, 2, 4, 1.
Schroeder odkrył, że jeśli użyć tego ciągu liczb do wyznaczenia wysokości zarówno pionowych, jak i poziomych elementów kraty, odbite od nich fale dźwiękowe będą interferować w sposób zapewniający dobrą akustykę w całym pomieszczeniu.
Można też zastosować większe liczby pierwsze. Na przykład reszty kwadratowe modulo 17 są następujące:
0, 1, 2, 4, 9, 13, 15, 16, 16, 15, 13, 9, 8, 4, 2, 1.
Zauważ, że w wymienionych ciągach zawsze pojawia się symetria. Jest tak, ponieważ 16 jest w tym przypadku tym samym, co -1, a (-X)2 = X2.
Matematyków, takich jak Gauss, fascynował dość losowy rozkład tych liczb i właśnie ta cecha nadaje im użyteczność w akustyce. Mimo ich pozornej losowości jest wiele twierdzeń, które można udowodnić. Na przykład dla każdej liczby N wszystkie liczby od 1 do N są kwadratami wybra-nej liczby pierwszej P. Jako przykład tego ogólnego twierdzenia można podać liczby od 1 do 6, które występują jako reszty kwadratowe modulo liczby pierwszej 71. Sprawdzanie, czy jakaś liczba jest resztą kwadratową modulo, jest tak skomplikowane obliczeniowo, że znalazło zastosowanie we współczesnej kryptografii.
Dobra akustyka jest istotna nie tylko w odbiorze muzyki, ale i słowa mówionego. Dlatego przestrzeń teatralna powinna być zaprojektowana tak, aby każdy widz mógł wyraźnie usłyszeć każde słowo. Szekspirowski teatr Globe jest nowoczesną rekonstrukcją drewnianego, okrągłego teatru - tego "drewnianego O" wspomnianego w przedmowie do Henryka V. Aktor James Garnon, który wielokrotnie występował na scenie Globe, tak mówi o owej okrągłej przestrzeni obejmującej aktorów i publiczność: "Akustyka jest tam niezwykle wierna. W pewien sposób przypomina instrument drewniany: wymaga subtelności i delikatności. Jeśli zagrasz brutalnie, zniszczysz dźwięk. Musisz być bardzo ostrożny przy wydobywaniu dźwięku". Nie wiadomo dokładnie, jaka była akustyka w pierwotnym teatrze Globe. Liczby pierwsze pomagają ulepszać akustykę nowoczesnych przestrzeni, jednak w czasach Szekspira osiągano ją raczej przypadkowo. Nie znaczy to, że liczby pierwsze nie przyczyniły się do stworzenia pewnych efektów, które Szekspir chciał osiągnąć na deskach teatru Globe.
Szekspir
Szekspir jest powszechnie uznawany za jednego z największych angielskojęzycznych mistrzów słowa w historii. Kiedy poproszono mnie o wygłoszenie wykładu zatytułowanego Szekspir i matematyka, w ramach obchodów jego czterechsetnej rocznicy śmierci w 2016 roku, z początku utknąłem. Nigdy nie myślałem o Szekspirze jak o kimś, kto wymiata w liczbach. Jednak szczęście mi sprzyjało - niedługo potem jadłem lunch w towarzystwie jednego z moich uniwersyteckich kolegów z Oxfordu, anglisty Willa Poole'a. Nim podano deser, moje wyobrażenia na temat Szekspira zostały już wywrócone do góry nogami, a to dzięki kapitalnym spostrzeżeniom Willa. Wiele osób może być zaskoczonych - podobnie jak ja - tym, że Szekspir był zafascynowany liczbami. Liczbowe szarady ukryte w jego dziełach ukazują siłę i wysublimowanie matematycznej wrażliwości. W sumie nie powinno to dziwić, ponieważ poezja opiera się na wzorcach obecnych w rymach i rytmie słów.
Londyńskie grono najbliższych przyjaciół Szekspira składało się w dużej części ze sławnych matematyków i uczonych epoki elżbietańskiej. Jednym z czołowych luminarzy nauki był w owych czasach tajemniczy John Dee, doradca królowej Elżbiety I. Dee'go fascynowało wszystko: od astrologii, przez astronomię, alchemię, kryptografię, magię aż do matematyki - doprawdy, dziwaczny miszmasz nauki i okultyzmu. W początkach swojej kariery został nawet aresztowany pod zarzutem "obliczania". Obliczanie samo w sobie nie było przestępstwem, jednak Dee używał swoich obliczeń do sporządzania horoskopów Królowej, co uznano za rodzaj herezji. Szekspir, choć nigdy osobiście nie spotkał się z Dee'em, z pewnością słyszał krążące o nim opinie. Niektórzy przypuszczali nawet, że Dee był pierwowzorem postaci Prospera, bohatera szekspirowskiego dramatu Burza.
W przedelżbietańskiej Anglii matematyka była uznawana za naukę po trosze szatańską. Zdolność liczb do przywoływania rzeczy niewidzialnych budziła skojarzenia z czarnoksięstwem, a matematyczne traktaty były w epoce Tudorów palone na równi z księgami o magii i sztukach tajemnych. Dee, jeden z pierwszych obrońców matematyki, chcąc ocalić ją od zniszczenia, niezwykle przekonująco bronił jej w przedmowie do pierwszego angielskiego przekładu Elementów Euklidesa. Księga ta, wydana w 1570 roku, dla lepszej ilustracji zawierała piękne, rozkładane modele wielościanów.
Skuteczność obrończych działań Dee'ego widać w tym, że wielu elżbietańskich poetów zaczęło wplatać w swe dzieła liczby o znaczeniu kosmologicznym. Podczas gdy ówcześni uczeni budowali oparte na liczbach modele wszechświata, poeci również zaczęli eksperymentować z liczbami, opierając na ich wzorcach stwarzane przez siebie światy. Jednak swoboda poetów w stwarzaniu wyobrażonych światów stawiała ich bliżej matematyków niż innych ówczesnych uczonych. Juliusz Cezar Scaliger tak napisał w swojej, wydanej w 1561 roku, książce o poezji: "Poezja dodaje piękna rzeczom istniejącym, nieistniejącym zaś pozoru istnienia; zaiste, nie opisuje ona rzeczy, jakie są, jak aktorstwo (lub inne nauki), lecz, niby bóg jakiś, stwarza je".
Pod wieloma względami poeci tamtych czasów podważali przekonanie wyrażone przez Platona w Państwie, że poezja należy do podrzędnych form sztuki. W opinii Platona oddala nas ona od prawdy, ponieważ stanowi niedoskonałą kopię niedoskonałego świata, który jest zaledwie cieniem prawdy: matematycznej perfekcji platońskiego ideału. Ludzie epoki elżbietańskiej szukali sposobów uchwycenia idealnego, matematycznego wszechświata i ukazania prawdy stworzenia dzięki liczbom wplatanym w utwory poetyckie.
Edmund Spenser lubił konstruować poematy wokół ważnych liczb związanych z poruszaną tematyką. W Epithalamionie - odzie do swej narzeczonej - opisuje dzień ich ślubu i poprzedzający go rok. Wiersz odzwierciedla podróż przez czas dnia i roku i zawiera 24 strofy - jedną na każdą godzinę doby. Między 433 wersami poematu jest 365 dłuższych - jak liczba dni w roku poprzedzającym ślub. By odzwierciedlić w wierszu strukturę roku, Spenser zaburzył układ rymów w piętnastej strofie i opuścił jeden wers.
Szekspir także podkreślał tematykę swych utworów liczbami. Numeracja jego sonetów jest specjalnie dobrana tak, by odzwierciedlić ich przedmiot. Na przykład sonet 60 zaczyna się tak:
Like as the waves make towards the pebbled shore,
So do our minutes hasten to their end (...)[8]
Wielu znawców uważa, że nie przez przypadek sonet ten ma numer 60, czyli liczbę minut w godzinie. Sonet 12 w jeszcze wyraźniejszy sposób ukazuje związek między swym numerem a tematyką. Zaczyna się tak: "Gdy czas zegara w uderzeniach liczę (...)"[9]. Numer sonetu przypomina o 12 godzinach na tarczy zegara. A jeśli sonet 52 wspomina, że "(...) w roku także nie częste są gody"[10], to czy nie jest to odniesienie do liczby tygodni w roku? Takie obsesyjne tropienie liczb ukrytych w twórczości Szekspira można ciągnąć w nieskończoność, mamy jednak dość dowodów na to, że często nie są one przypadkowe.
Najbardziej zachwycił mnie sposób, w jaki Szekspir wykorzystał w swojej poezji liczby pierwsze. Wiele jego dzieł zostało napisanych tzw. pentametrem jambicznym. Słowo "jambiczny" pochodzi od jambu, czyli krótkiego, powtarzającego się motywu, w tym przypadku złożonego z sylaby nieakcentowanej, po której następuje sylaba akcentowana: "ta-dam". "Pentametr" oznacza pięciokrotność tego motywu, co razem daje po 10 sylab w każdym wersie. Początek sonetu 12 zachowuje ten układ. Pentametr jambiczny został wprowadzony do języka angielskiego w XIV wieku przez Geoffreya Chaucera. Trzeba powiedzieć, że stanowczo się przyjął. Szacuje się, że trzy czwarte wszystkich angielskich wierszy napisano w tym właśnie metrum poetyckim.
Niektórzy twierdzą, że 10 sylab w każdym wersie nawiązuje do roli, jaką w czasach starożytnej Grecji pitagorejczycy przypisywali liczbie 10. Była to dla owej sekty liczba święta, mistyczna. Nie chodziło tu o aluzję do naszej cielesności - 10 palców u dłoni i stóp - lecz do czystego, geometrycznego sposobu przedstawienia tej liczby. Pitagorejczycy przedstawiali 10 w postaci struktury geometrycznej zwanej tetraktysem. Jest to trójkątna figura zbudowana z punktów ułożonych w czterech poziomych liniach, z jednym punktem w pierwszej, a czterema w ostatniej linii.
Liczbę nazywamy trójkątną, jeśli określa liczbę punktów umieszczonych w trójkątnej siatce o wybranej wielkości. Liczby te podano nawet jako powód, dla którego Szekspir napisał właśnie 154 sonety. Po krótkim wahaniu można sonety ułożyć w trójkąt podobny do tetraktysu o 17 rzędach.
Problem w tym, że w ten sposób sonetów będzie tylko 153, co stanowi 17. liczbę trójkątną. To wymusza na zwolennikach tej matematycznej teorii wyjaśnienie istnienia dodatkowego sonetu. Może numeracja powinna rozpocząć się od 0, zamiast od 1? Może sonet 153 należy połączyć ze 154?
W każdym razie dziesiątka pentametru jambicznego wykonała dla poezji Szekspira naprawdę ogromną pracę. A jednak... jak brzmi najsłynniejszy wers z jego twórczości?
To be, or not to be, that is the question (...)[11]
Policz sylaby - jest ich 11. Rytm pentametru jambicznego, utrzymany w całej treści Hamleta, może ukołysać słuchacza do snu. Jednak przemowa Hamleta jest ważna. Dlatego Szekspir budzi nas, dodając na końcu wersu tę jedną, nadprogramową sylabę. Zamiast elegancko podzielnego schematu pięciu dwójek, natykamy się na liczbę pierwszą. Niepodzielność liczb w poezji sprawia, że wers jakby przestaje pasować. Następne trzy wersy też mają po 11 sylab. Użycie dodatkowej, nieakcentowanej sylaby na końcu wersu nazywamy zakończeniem "żeńskim".
Jeden z najsłynniejszych wersów z Makbeta również ma pierwszą liczbę sylab, by przykuć uwagę odbiorcy do rozmyślań Makbeta nad zamordowaniem Dunkana:
Is this a dagger which I see before me?[12]
Jednak 11 nie jest jedyną liczbą pierwszą użytą przez Szekspira. Sen nocy letniej należy do moich ulubionych sztuk, po części dlatego, że jeszcze podczas studiów w Oxfordzie grałem rolę miechownika Fujarki [13] w studenckim przedstawieniu. Wystawialiśmy tę sztukę w pięknym parku danieli na terenie Magdalen College. Pasja aktorska stanowiła odskocznię od matematyki, mego właściwego kierunku. Jednak kilka lat później odkryłem, że matematyka, którą studiowałem w sali wykładowej, i poezja recytowana na scenie miały ze sobą wiele wspólnego.
Ten utwór też jest napisany klasycznym pentametrem jambicznym. Ale posłuchajmy Puka, kiedy naciera powieki śpiącego Lizandraa magicznym eliksirem, który każe mu zakochać się w pierwszej rzeczy ujrzanej po przebudzeniu:
Churl, upon thy eyes I throw
All the power this charm doth owe.
When thou wak'st, let love forbid
Sleep his seat on thy eyelid[14].
Siedem sylab. Gdziekolwiek u Szekspira pojawia się magia, znajdziemy też liczbę 7. Jest to swoisty kod, który ma nam dać do zrozumienia, że dzieje się coś nadzwyczajnego. Wróżki z orszaku Tytanii przemawiają siedmiozgłoskowcem:
You spotted snakes with double tongue,
Thorny hedgehogs, be not seen.
Newts and blindworms, do no wrong,
Come not near our Fairy Queen.[15]
Wiedźmy w Makbecie również mówią siódemkami:
When shall we three meet again?
In thunder, lightning, or in rain?
When the hurly burly's done,
When the battle's lost or won.[16]
