Recenzenci

Dr hab. inż. Jacek Horiszny, prof. Politechniki Gdańskiej

Dr hab. inż. Łukasz Rajmund Nogal, prof. Politechniki Warszawskiej

Projekt okładki Ewa Frączek

Wydawca Izabela Grabowska

Redakcja Iwona Szopa

Korekta Iwona Stachowicz

Koordynator produkcji Mariola Grzywacka

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwo Naukowe PWN S.A.: Michał Latusek

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo

Więcej na www.legalnakultura.pl

Copyright ? by Wydawnictwo Naukowe PWN,

ISBN 978-83-01-24722-5

DOI https://doi.org/10.53271/2025.146

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2025 r. (Wydanie I)

Warszawa 2025

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321; faks 22 69 54 288;

infolinia 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl

www.pwn.pl

Rozdział 1Rezystancja zastępcza

Zadanie 1.1. Połączenie szeregowe i połączenie równoległe

Rezystancja między zaciskami a, b przedstawionego poniżej układu wynosi 10R. Ile wynosi rezystancja rezystora R6?

Rysunek 1

Rozwiązanie

Rezystory R1 oraz R2 połączone są szeregowo. Rezystancja wypadkowa R12 wynosi więc:

R12 = R1 + R2 = + 5R + 4R = 9R

Rezystancja zastępcza układu wynosi 10R, więc rezystancja wypadkowa pozostałych rezystorów musi wynosić R, czyli R3-6 = R. Oporniki R5 i R6 połączone są szeregowo.

R56 = R5 + R6 = R + R6 = xR

Uproszczony układ wygląda następująco:

Rysunek 2

Rezystancję R6 można wyznaczyć na dwa sposoby.

Sposób 1

Rezystory R3 i R4 połączone są równolegle, a zatem:

Tak samo połączone są rezystory R34 oraz R56

Następnie rozwiązujemy równania:

R2 (1,5 + x ) = 1,5xR2

Szukana x = 3. Wracamy do R56 = R + R6 = 3R i ostatecznie mamy R6 = 2R.

Sposób 2

Na rysunku 2 można zauważyć trzy połączone równolegle rezystory. Dwa z nich mają taką samą wartość. Ile wynosiłaby rezystancja wypadkowa, gdyby wszystkie trzy rezystory miały taką samą wartość?

Dla trzech rezystorów o takich samych rezystancjach 3R mamy:

Możemy zatem wywnioskować, że R56 = R + R6 = 3R, i ostatecznie mamy R6 = 2R.

Zadanie 1.2. Upraszczanie i połączenia typu trójkąt-gwiazda oraz gwiazda-trójkąt

Wyznacz rezystancję zastępczą widzianą od strony zacisków a, b.

Rysunek 3

Rozwiązanie

Sposób 1 - upraszczanie

Dwa rezystory o wartości 2R mają wspólne węzły, co oznacza, że są połączone równolegle. Ta sama sytuacja występuje w przypadku rezystorów o wartości 6R. Na poniższym rysunku oznaczono pary równolegle połączonych rezystorów kolorem niebieskim (dla 2R ) i kolorem pomarańczowym (dla 6R ).

Rysunek 4

Wykorzystując wzór 3, mamy:

Po uproszczeniu otrzymujemy następujący układ:

Rysunek 5

W tej sytuacji możemy policzyć rezystancję zastępczą z punktu widzenia węzłów C, D. Rezystory R oraz 2R połączone są szeregowo. Te dwa rezystory możemy zastąpić jednym o wartości 3R. W taki sposób otrzymjemy trzy rezystory połaczone równolegle. Korzystając ze wzoru 2, mamy:

RCD = R

Ostatecznie rezystancja zastępcza układu wynosi:

Rab = 2R + R + 3R = 6R

Sposób 2 - przekształcenie gwiazda-trójkąt

Dany układ można przeliczyć jeszcze w inny sposób. Można wykorzystać tak zwane przekształcenie gwiazda-trójkąt. Na poniższym schemacie pokazano trzy rezystory, które połączone są w gwiazdę.

Rysunek 6

Trzy rezystory tworzące gwiazdę mają takie same wartości, więc wszystkie rezystory Rx, które stworzą układ trójkąta, też będą miały taką samą wartość.

Poniżej znajduje się układ z rezystorami tworzącymi układ trójkąta. Zaznaczone są również węzły C, D, w których są takie same potencjały, co oznacza, że pomiędzy tymi węzłami jest zwarcie, więc będący pomiędzy nimi rezystor 6R można pominąć.

Rysunek 7

Na poniższym rysunku z układem rezystorów można zauważyć, że pięć rezystorów połączonych jest równolegle - 6R, 6R, 6R, 6R, 6R, 3R (rysunek 8). Są to rezystory, które podłączone są do węzłów C oraz E.

Rysunek 8

Ze wzoru 2 otrzymujemy:

RCD = R

Ostatecznie rezystancja zastępcza układu wynosi:

Rab = 2R + R + 3R = 6R

Sposób 3 - przekształcenie trójkąt-gwiazda

Dany układ można uprościć, stosując przekształcenie trójkąt-gwiazda.

Na poniższym schemacie zaznaczono rezystory, które tworzą trójkąt:

Rysunek 9

Korzystając ze wzoru 5, otrzymujemy:

Równość rC = rE zachodzi, ponieważ dwa rezystory z trzech tworzących trójkąt mają taką samą wartość 2R.

Na poniższym rysunku mamy przekształcony układ rezystorów, na którym zaznaczono dwa oporniki połączone szeregowo.

0,4R + 2R = 2,4R

Rysunek 10

W kolejnym kroku można zauważyć, że rezystory 1,2R oraz 2,4R (zaznaczone niebieską obwiednią na rysunku 10) są połączone równolegle.

Rysunek 11

Po dodaniu dwóch rezystorów połączonych równolegle 0,8R + 1,2R = 2R otrzymujemy układ, w którym trzy rezystory z prawej strony schematu (rysunek 12) są połączone szeregowo.

Rysunek 12

Ostatecznie rezystancja zastępcza układu wynosi:

Rab + 2R + R + 3R = 6R

Zadanie 1.3. Jeden z rezystorów o nieznanym oporze

Wyznacz rezystancję Rx, przy której rezystancja zastępcza między zaciskami a, b wynosi Rab + 30 ?. Dane: R1 = 6 ?, R2 = 5 ?.

Rysunek 13

Rozwiązanie

Rezystancja zastępcza danego układu rezystorów wynosi:

Po podstawieniu danych otrzymujemy:

5Rx = (24 - Rx )(5 + Rx )

? = 142 + 4 ? 120 = 262

oraz

Szukana rezystancja wynosi Rx = 20 ?.

Zadanie 1.4. Rezystancja zastępcza między różnymi zaciskami

Wyznacz rezystancję zastępczą z punktu widzenia par zacisków ab, ac oraz bc. Schemat połączeń rezystorów przedstawiono na poniższym rysunku.

Rysunek 14

Przed wyznaczeniem rezystancji zastępczej między kolejnymi zaciskami uprościmy układ rezystorów. Niezależnie od wyboru zacisków w układzie są trzy pary rezystorów połączonych równolegle. Są to dwa rezystory o oporze 8R, kolejne dwa o oporze 4R oraz dwa rezystory o rezystancji 6R. Stosując wzór 3, otrzymujemy kolejno:

Rysunek 15

Rozwiązanie

Zaciski a, b - wyznaczanie Rab

Licząc rezystancję zastępczą między zaciskami a, b, możemy zacisk c usunąć z układu. Pomiędzy rezystorami 2R, 3R oraz 3R nie ma węzła. Te trzy rezystory połączone są szeregowo.

3R + 3R + 2R = 8R

Tak obliczona rezystancja 8R połączona jest równolegle z rezystorem 4R. Możemy zatem dodać odwrotności tych rezystancji:

Rysunek 16

Ostatecznie rezystancja między zaciskami a, b wynosi:

Zaciski a, c - wyznaczanie Rac

Wróćmy do schematu przedstawionego na rysunku 15. Tym razem można usunąć zacisk b. Pomiędzy rezystorami 4R, 3R oraz 3R nie ma węzła. Te trzy oporniki połączone są szeregowo:

3R + 3R + 4R = 10R

Tak obliczona rezystancja 10R połączona jest równolegle z rezystorem 2R. Możemy zatem dodać odwrotności tych rezystancji (teoria 1):

Rysunek 17

Ostatecznie rezystancja między zaciskami a, c wynosi:

Zaciski b, c - wyznaczanie Rbc

Jeszcze raz wróćmy do schematu przedstawionego na rysunku 15. W tym przypadku możemy usunąć zacisk a oraz opornik 4/3 R, ponieważ gałąź, w której się on znajduje, nie tworzy obwodu zamkniętego - nie będzie płynął przez niego prąd. Otrzymujemy następujący układ:

Rysunek 18

Zapiszmy od razu konduktancję całego układu:

Rezystancja między zaciskami b, c wynosi Rbc = 3R.

Komentarz

W rozważanym układzie otrzymaliśmy Rac = Rbc = 3R. Nie musi być tak zawsze. Rezystancje mierzone między różnymi zaciskami sieci rezystorów mogą być zupełnie różne, a to, jakie wartości otrzymamy po obliczeniach, zależy od wartości oporników oraz od konfiguracji połączeń w analizowanym układzie.