Przypisy

Rozdział 1

[1] W literaturze polskiej o historii matematyki można przeczytać w książce Juszkiewicza [255], a także w książkach Kordosa [280] i Mioduszewskiego [353] oraz [355].

[2] Ciała zbiorów, oprócz topologii, występują też w innych działach matematyki, takich jak teoria mnogości, teoria miary i kombinatoryka. Przypomnijmy, że rodzina R ? P (X) jest ciałem zbiorów, gdy X ? R , a dla dowolnych U,V ? R także U ? V ? R . Wtedy ?? R , a z praw de Morgana wynika, że wówczas także X ? V,U ? V,U ? V ? R .

[3] Celem pracy Furstenberga, która ma zaledwie 12 wierszy (nie licząc tytułu i nazwiska autora), był topologiczny dowód twierdzenia, że zbiór liczb pierwszych jest nieskończony; p. przykład 1.1.15, a także Aigner i Ziegler [3], str. 15.

[4] O bazach i pojęciach pokrewnych pisze Sakai w artykule Topological spaces w [211].

[5] Korzystamy tu, jak w wielu innych miejscach, z pewnika wyboru. Na ogół tego nie komentujemy. W tej części matematyki, której dotyczy książka, bez pewnika wyboru wielu twierdzeń nie można by udowodnić.

[6] O przestrzeniach, w których zbiory jednoelementowe są domknięte, czyli o przestrzeniach typu T1, piszemy na str. 21 i dalszych.

[7] W literaturze polskiej, na przykład w [153], wagę przestrzeni topologicznej nazywa się też ciężarem. W publikacjach anglojęzycznych na określenie minimalnej mocy bazy używa się określenia weight. Ponieważ frazę the weight of something tłumaczymy zwykle jako waga czegoś, to słuszne wydaje się użycie w literaturze polskiej słowa waga. Takiej nazwy używali m.in. Knaster oraz Mioduszewski; p. [354]. W innych działach matematyki, na przykład w teorii grafów, też pojawia się słowo "waga". Za przyjęciem nazwy waga przemawia także powszechnie przyjęte oznaczenie w(X).

[8] Kompendium wiedzy na ten temat znajduje się w książkach Engelkinga [153] i Juhásza [250] oraz [251]. Nowsze wyniki, ale bez dowodów, są omówione w dwuczęściowym artykule Tamano Cardinal functions w [211]. Nieco starsze twierdzenia (z dowodami) znajdują się w artykule przeglądowym Hodela Cardinal functions I, w [293].

[9] Na zbiorze skończonym każda topologia ma skończenie wiele elementów. Aby nie wchodzić w zagadnienia kombinatoryczne, będziemy zakładali, że wszystkie rozważane tu przestrzenie są nieskończone, a wszystkie liczby kardynalne z nimi związane, takie jak na przykład waga, także są nieskończone.

[10] Przestrzenie zerowymiarowe odgrywają ważną role w logice, teorii mnogości oraz teorii algebr Boole'a; p. artykuł Balcara i Coplákovej Zero-Dimensional Spaces w [211].

[11] Inny przykład związku teorii liczb z topologią spotkamy w rozdziale 5 przy omawianiu przestrzeni Golomba.

[12] Wiele informacji o przestrzeniach liniowo uporządkowanych i ich podprzestrzeniach można znaleźć w artykule Bennetta i Lutzera w [236].

[13] Ta sama przestrzeń została ponownie odkryta przez Sorgenfreya w pracy [451], w której opisano wiele jej własności; p. przykład 1.1.8. Więcej informacji na ten temat można znaleźć w artykule Camerona w [21], str. 791-796.

[14] Przestrzeń z tą topologią nazywana jest door-space. Niektórzy nazywają ją topologią studencką, bo początkujący studenci wyobrażają sobie niekiedy, że zbiory tak jak drzwi są albo otwarte, albo zamknięte.

[15] O przestrzeni, która w każdym punkcie ma bazę lokalną przeliczalną, mówi się, że spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności; p. [153].

[16] Podobnie jak w książce Hausdorffa z 1914 r., także w innych starszych książkach definiowano topologię za pomocą układu otoczeń punktów. Tak robi Whyburn [517] w książce z 1942 r., zakładając dodatkowo warunek równoważny z T1, o którym mówi definicja 1.2.13. Podobnie topologię zdefiniował Császár [120] w 1978 r. Jednak już Bourbaki [83] w 1974 r. podaje definicję topologii taką jak na str. 4. Niekiedy konstruując konkretną przestrzeń topologiczną, wygodniej jest wskazać otoczenia punktów.

[17] Więcej informacji na ten temat można znaleźć w artykule Hofmanna The Low Separation Axioms T0 and T1 w [211], a także w książce Richmonda [406], w której omawiane są zastosowania tej teorii w informatyce teoretycznej; p. także artykuł Konga i Koppermana Digital topology w [211].

[18] Wnętrze zbioru bywa też oznaczane jako int A lub A?, a domknięcie jako Cl A lub A.

[19] W książce Engelkinga [153] zbiory te są nazywane odpowiednio dziedzinami otwartymi i dziedzinami domkniętymi.

[20] W monografii Engelkinga [153] używane jest oznaczenie Fr A pochodzące od francuskiego frontiére. Użyte tu oznaczenie pochodzi od angielskiego boundary.

[21] Ta nazwa może budzić błędne skojarzenie z pochodną funkcji. Jednak angielskie derived set trudno inaczej przetłumaczyć na język polski.

[22] Znak równości mógłby sugerować, że punkt x0 jest jedyny. Tak jednak nie jest. Na przykład w przestrzeniach antydyskretnych każdy punkt jest granicą każdego ciągu. Napis x0 = lim n??xn oznacza jedynie prawdziwość zdania: x0 jest granicą ciągu (xn)n=1?. Niektórzy autorzy (p. Engelking [153]) wolą pisać x 0 ? lim n??xn lub xn?x0.

[23] Rozważane są też ciągi numerowane liczbami porządkowymi nieskończonymi. Jeśli ? > ? jest liczbą porządkową graniczną, to x ? X jest granicą ciągu (x?)?<?, gdy dla każdego otoczenia U punktu x istnieje takie ? < ?, że x? ? U dla każdego ? ? ?. Własności topologiczne opisane takimi ciągami są omówione w artykule Belli i Tironiego Pseudoradial spaces w [211].

[24] W monografii [153] nazywane są one przestrzeniami Frécheta, ale tę nazwę stosuje się też do pewnej klasy przestrzeni liniowo topologicznych. Na temat przestrzeni Frécheta-Urysohna pisze Simon w artykule Fréchet and sequential spaces w [211]. O przestrzeniach, w których topologię można opisać za pomocą ciągów zbieżnych i o pokrewnych pojęciach, piszą Dolecki i Nogura w artykule Convergence w [211].

[25] Można pokazać, że ?(X,x0) = ?, przy czym liczba ? jest najmniejszą mocą rodziny F ? nieograniczonej w sensie relacji ??. Jeśli f,g ?, to f ??g, gdy f(n) ? g(n) dla prawie wszystkich n ? ; p. Bartoszyński i Judah [40] lub artykuł van Douwena The integers in topology w [293]. W istocie pokazaliśmy, że ? ? ?1.

[26] Intuicyjnie, funkcja f jest ciągła, jeśli punkty dowolnie bliskie zbioru A przeprowadza na punkty dowolnie bliskie zbioru f[A]. O roli ciągłości w matematyce pisze m.in. Nagata w artykule Continuous and topological mappings w [211]. Ważną rolę, na przykład w analizie rzeczywistej, odgrywają też uogólnienia ciągłości; p. artykuł Ciesielskiego Generalized continuities, także w [211]. W literaturze polskiej o ciągłości na tle historycznym pisze Mioduszewski [353].

[27] Punkty na płaszczyźnie, podobnie jak przedziały otwarte, oznaczamy za pomocą nawiasów okrągłych, co może prowadzić do nieporozumień. Jednak zwykle z kontekstu jasno wynika, czy chodzi o przedział, czy o punkt płaszczyzny.

[28] O różnych konstrukcjach wykorzystujących ilorazowanie pisze Tanaka w [211] w artykule Quotient spaces and decompositions.

[29] Znane w rachunku różniczkowym twierdzenie Darboux mówi, że także pochodna funkcji różniczkowalnej przyjmuje wartości pośrednie.

[30] Słownik języka polskiego podaje, że topologia to dział matematyki zajmujący się badaniem tych własności przestrzeni, które nie ulegają zmianie przy przekształceniach homeomorficznych.

[31] Niezależnie od Kartezjusza także Fermat rozwijał metody algebraiczne w geometrii, lecz ich nie opublikował. Współrzędne kartezjańskie we współczesnym znaczeniu wprowadził Leibniz; p. Juszkiewicz [255].

[32] Przypomnijmy, że w przypadku liczb kardynalnych związanych z topologią, czyli tzw. niezmienników kardynalnych, zakładamy, że są one nieskończone.

[33] Nazywana jest też długim promieniem (p. Engelking [153]). W literaturze anglojęzycznej znana jako long line.

[34] Własności pierścienia C(X) opisane są w książce Gillmana i Jerisona [186].

[35] Wcześniej badano grupy Liego, czyli skończeniewymiarowe rozmaitości klasy C?, które są jednocześnie grupami z działaniami klasy C?; p. piąty problem Hilberta. Leja w pracy [312] rozważał ogólne przestrzenie topologiczne (spójne), które jednocześnie są grupami z działaniami (mnożenia i odwracania elementów) ciągłymi. Obszerny artykuł przeglądowy o grupach topologicznych opublikował Dikranjan w [211].

[36] Jednorodności przestrzeni topologicznej i różnym jej wariantom poświęcony jest artykuł Terady Homogeneous spaces w [211], a także praca przeglądowa Archangielskiego i van Milla Topological homogeneity w [212].

[37] Zgodnie z tradycją pomijamy symbol działania.

Definicja 1.1.1 (topologia). Jeśli X jest zbiorem niepustym, to rodzinę T ? P (X) nazywamy topologią na X, gdy spełnione są następujące warunki:

(a) X ? T ;

(b) jeśli U,V ? T , to U ?V ? T ;

(c) jeśli R ? T , to ? R ? T .

Parę (X,T) nazywamy wówczas przestrzenią topologiczną.

Przykład 1.1.2 (przestrzeń z jednym punktem skupienia). W zbiorze X mocy ? ?? ustalmy punkt x0 i określmy topologię na X wzorem

Rodzina T jest topologią, bo zbiór pusty jest skończony, suma dwóch zbiorów skończonych jest zbiorem skończonym, a podzbiór zbioru skończonego także jest skończony. Dla każdego x ?X ?{x0} zbiór jednopunktowy {x} jest otwarty, a więc każdy punkt poza punktem x0 jest izolowany. Przestrzenie z jednym punktem skupienia mocy ? ? ? oznaczamy symbolem ?(?). Pokażemy później (p. przykład 1.3.19), że własności topologiczne tych przestrzeni zależą tylko od ich mocy. ?

Przykład 1.1.3 (przestrzeń Furstenberga). W zbiorze wszystkich liczb całkowitych dla dowolnych x ? oraz n ? , określamy nieskończony postęp arytmetyczny wzorem

Topologia Furstenberga zadana jest na zbiorze wzorem

Z definicji wynika, że  ? T oraz ? R ? T dla dowolnej rodziny R ? T . Ponadto, jeśli U,V ? T , to U ?V ? T . Faktycznie, dla każdego x ? U ?V istnieją takie n,m ?, że x + n ?U oraz x + m ?V . Wówczas

Zbiory niepuste otwarte w topologii Furstenberga są nieskończone, a więc zbiory jednopunktowy nie są otwarte, czyli przestrzeń ta jest w sobie gęsta. ?

Przykład 1.1.4 (topologia porządkowa). Topologią porządkową w zbiorze liniowo uporządkowanym (X,<) nazywamy rodzinę

Rodzina T(X,<) składa się zatem z tych podzbiorów zbioru X, które wraz z każdym punktem zawierają pewien przedział otwarty. Jeśli U,V ? T (X,<) oraz x ? U ?V , to istnieją ?,?? ? Intv(X,<) takie, że x ? ? ? U oraz x ? ?? ? V . Wówczas x ? ? ? ?? ? U ? V oraz ? ? ?? ? Intv(X,<), bo iloczyn dwóch przedziałów otwartych jest przedziałem otwartym. Stąd wynika, że jeśli U,V ? T (X,<), to U ? V ? T (X,<). Pozostałe dwa warunki zapisane w definicji topologii są spełnione w sposób oczywisty. A zatem T(X,<) jest topologią w zbiorze X uporządkowanym przez relację <. Zauważmy, że przedziały domknięte są zbiorami domkniętymi w topologii porządkowej. Faktycznie, jeśli x ? X ?[a,b], to x ? (?,a) ? X ?[a,b], gdy x < a oraz x ?(b,?) ?X ?[a,b] jeśli b < x. ?

Definicja 1.1.5 (baza i podbaza). Jeśli T jest topologią na zbiorze X, to bazą topologii T nazywamy taką rodzinę B ? T , że każdy niepusty zbiór otwarty w topologii T jest sumą pewnej podrodziny rodziny B, tzn. dla każdego U ? T istnieje takie R ? B , że ? R= U. Rodzinę P ? T nazywamy podbazą topologii T, gdy rodzina

jest bazą tej topologii.

Definicja 1.1.6 (topologia generowana przez rodzinę zbiorów). Dla każdej rodziny zbiorów R ? P (X) topologię

nazywamy topologią generowaną przez rodzinę R.

Twierdzenie 1.1.7. Jeśli R ? P (X) oraz X ? R , to

przy czym rodzina R jest podbazą topologii T(R), a rodzina

jest jej bazą.

Dowód. Zauważmy, że R ? B (R), bo jeśli A ? R , to A = ? {A}. Ponadto B(R) ? T (R) oraz T = ? T (R), bo T(R) jest topologią zawierającą R. Ponieważ R ? T , a T(R) jest najmniejszą topologią zawierającą R, to pozostaje wykazać, że T jest topologią. Oczywiście X ? T , bo X ? R . Wykażemy, że jeśli U1,U2 ? T , to U1?U2 ? T . Z definicji rodziny T wynika, że istnieją takie U1,U2 ? B (R), dla których

Z praw dystrybutywności (rozdzielczości) wynika, że

Aby udowodnić, że U1 ?U2 ? T , wystarczy wykazać, że

Jeśli U ? U 1 i W ? U 2, to istnieją takie A1,...,An ? R i B1,...,Bm ? R , że

a więc

Wobec dowolności wyboru zbiorów U i W oznacza to, że U1 ?U2 ? T .

Pozostaje sprawdzić, że jeśli W ? T , to ? W ? T . Dla każdego W ? W istnieje[5] takie UW ? B (R), że W = ? UW . Przyjmijmy U = ? {U W : W ? W }. Wówczas U ? B (R) oraz ? W = ? U, co kończy dowód. -

Przykład 1.1.8 (topologia Sorgenfreya). Rozważmy rodzinę

Nietrudno zauważyć, że iloczyn dwóch przedziałów półotwartych postaci [a,b) jest zbiorem pustym lub przedziałem półotwartym. Przy oznaczeniach z twierdzenia 1.1.7 mamy zatem B(R) = R ?{?}. Topologię T(R) generowaną przez rodzinę R nazywamy topologią Sorgenfreya. Każdy zbiór otwarty w topologii naturalnej przestrzeni jest otwarty w topologii Sorgenfreya, bo (a,b) = ? {[a+,b): n ?} dla dowolnych a,b ?, gdzie a < b. Zbiór liczb rzeczywistych z topologią Sorgenfreya nazywamy przestrzenią Sorgenfreya lub prostą Sorgenfreya i oznaczamy symbolem . ?

Definicja 1.1.9 (topologia Vietorisa). Jeśli (X,T) jest przestrzenią topologiczną, to topologią Vietorisa na zbiorze exp(X) nazywamy topologię T(R) generowaną przez rodzinę

Zbiór exp(X) z tą topologią nazywamy przestrzenią Vietorisa.

Przykład 1.1.10 (baza topologii Vietorisa). Niech U0,U1,...,Un ?X będą zbiorami otwartymi i niech

a więc zgodnie z twierdzeniem 1.1.7 bazą topologii Vietorisa jest rodzina

A zatem, aby wykazać, że zbiory postaci (1.3) tworzą bazę w exp(X), wystarczy wykazać, że dla każdego F ?W+ ?V 1-?... ?V m- zachodzi

Ustalmy dowolne F ?W+ ?V 1-?...?V m-. Skoro F ?W oraz F ?V i?? dla i ? m, to F ? W ?(W ?V 1) ?... ?(W ?V m) oraz F ?W ?V i?? dla każdego i ?m, a więc F ??(W,W ?V 1,...,W ?V m). Ustalmy teraz dowolne G ??(W,W ?V 1,...,W ?V m). Wówczas

a więc G ? W+. Ponadto dla każdego i ? m mamy G ?W ?V i??, a więc G ? V i-, bo G ? W. A zatem, G ? W+ ?V 1- ?... ?V m-, co dowodzi, że zbiory postaci (1.3) tworzą bazę topologii Vietorisa w zbiorze exp(X).

Z postaci tej bazy wynika, że jeśli wszystkie podzbiory jednopunktowe w X są domknięte[6] , a przestrzeń X jest w sobie gęsta, to exp(X) także jest w sobie gęsta. Faktycznie, ustalmy zbiór bazowy ?(U0,U1,...,Un) i zauważmy, że zbiory U0,U1,...,Un ?X są nieskończone, bo w przeciwnym razie zbiory jednopunktowe byłyby otwarte. Możemy więc dla każdego i ?n znaleźć dwa różne punkty xi,yi ? Ui ?{xk,yk: k < i}. Wówczas zbiory {xi: i ? n} oraz {yi: i ? n} należą do ?(U0,U1,...,Un) i są różne. To oznacza, że żaden zbiór bazowy nie jest jednoelementowy, a więc zbiory jednopunktowe nie są otwarte. ?

Definicja 1.1.11 (waga przestrzeni). Wagą[7] przestrzeni topologicznej nazywamy minimalną moc bazy tej przestrzeni, tzn. liczbę kardynalną

Lemat 1.1.12. Jeśli R jest rodziną zbiorów otwartych w przestrzeni X, to istnieje taka podrodzina W ? R , że |W |?w(X) oraz ? W = ? R.

Dowód. Niech B będzie taką bazą w przestrzeni X, że |B | = w(X). Dla każdego x ?? R wybierzmy takie U ? R , że x ?U, i takie otoczenie Ux ? B punktu x, że x ?Ux ?U. Skoro |B |= w(X), to U = {Ux: x ?? R } jest mocy co najwyżej w(X). Ponieważ każdy ze zbiorów Ux jest zawarty w pewnym elemencie rodziny R, to dla każdego U ? U możemy wybrać dokładnie jedno takie W(U) ? R , że U ?W(U). Wówczas rodzina W = {W(U): U ? U } jest mocy co najwyżej w(X) oraz ? W = ? R. -

Lemat 1.1.13. Jeśli w(X) ? ?, to dla każdej bazy B w przestrzeni X istnieje taka baza B ?? B , że |B ?|= w(X).

Dowód. Niech S będzie taką bazą w X, że |S | = w(X). Na mocy lematu 1.1.12 dla każdego U ? S możemy wybrać takie BU ? B , że |B U| ? w(X) oraz U = ? BU. Wówczas B ? = ? {B U: U ? S } jest bazą w przestrzeni X, a jednocześnie |B ?|?w(X) ?w(X) = w(X). -

Definicja 1.1.14 (przestrzeń zerowymiarowa). Przestrzeń, której topologia ma bazę złożoną ze zbiorów domknięto-otwartych, nazywamy przestrzenią zerowymiarową[10] .

Przykład 1.1.15 (przestrzeń Furstenberga jest zerowymiarowa). Z definicji topologii Furstenberga (przykład 1.1.3) wynika, że rodzina

jest bazą tej topologii, bo jej elementy są zbiorami otwartymi. Faktycznie, jeśli y ?x + n, to y = x + nz0 dla pewnego z0 ?, a więc

Elementy rodziny B są też domknięte w topologii Furstenberga, bo

Aby to udowodnić, zauważmy, że każda liczba całkowita dzieli się przez n z resztą mniejszą niż n, a więc

A ponieważ x + = , to dostajemy stąd

Jednocześnie, jeśli 0 ? i < j < n, to (x + i + n) ?(x + j + n) = ?. Rzeczywiście, w przeciwnym razie musiałyby istnieć takie liczby całkowite a i b, że x + i + na = x + j + nb, czyli n(a -b) = j -i, a to jest niemożliwe, bo j -i nie dzieli się przez n. Wykazaliśmy, że zbiory x + i + n dla i ?{0,1,...,n -1} są parami rozłączne i w sumie dają zbiór , a to dowodzi równości (1.4). Równość ta oznacza, że elementy bazy B są zbiorami domknięto-otwartymi. Nieoczekiwanie[11] dostajemy stąd znany fakt, że zbiór P wszystkich liczb pierwszych jest nieskończony. Faktycznie, każda liczba całkowita różna od 1 oraz -1 dzieli się przez pewną liczbę pierwszą, a więc

Gdyby więc zbiór P był skończony, to zbiór ?{1,-1} byłby domknięty jako suma skończenie wielu zbiorów domkniętych. To jednak jest niemożliwe, bo zbiory niepuste otwarte w tej topologii są nieskończone; p. przykład 1.1.3. ?

Definicja 1.1.16 (podprzestrzeń). Jeśli (X,T) jest przestrzenią topologiczną, a Y ? X, to zbiór Y z topologią T ?Y nazywamy podprzestrzenią przestrzeni X. Topologię T ? Y nazywamy topologią obciętą do zbioru Y lub topologią zacieśnioną do zbioru Y . Mówimy też, że topologia w Y jest dziedziczona z X.

Przykład 1.1.17 (przestrzeń liczb wymiernych i niewymiernych). Ponieważ w każdym niepustym przedziale otwartym jest liczba niewymierna, to przestrzeń liczb wymiernych z topologią dziedziczoną z  ma bazę złożoną ze zbiorów postaci (x,y) ? , gdzie x,y ? = ? . Skoro jednak x i y są niewymierne, to (x,y) ? = [x,y] ? , a więc ma bazę złożoną ze zbiorów domknięto-otwartych. Jest zatem przestrzenią zerowymiarową. Przestrzeń ma też bazę złożoną ze zbiorów postaci (r,w) ? , gdzie r,w ? , a więc ma bazę przeliczalną. Z lematu 1.1.13 wynika więc, że  ma bazę przeliczalną złożoną ze zbiorów domknięto-otwartych. Argumentując podobnie, stwierdzamy, że także przestrzeń liczb niewymiernych jest zerowymiarowa i ma bazę przeliczalną. ?

Definicja 1.1.18 (?-baza). Rodzinę P niepustych podzbiorów otwartych przestrzeni X nazywamy ?-bazą, jeśli dla każdego zbioru otwartego niepustego U ? X istnieje takie V ? P , że V ? U. Najmniejszą liczbą kardynalną, która jest mocą pewnej ?-bazy przestrzeni X, nazywamy ?-wagą przestrzeni X oraz oznaczamy symbolem ?w(X).

Przykład 1.1.19 (przestrzeń Aleksandrowa-Urysohna). W iloczynie kartezjańskim ×{0,1} rozważmy porządek leksykograficzny dany wzorem

Mamy wtedy w zbiorze ×{0,1} topologię porządkową T( ×{0,1},?) znaną też jako podwójna strzałka. W podprzestrzeni ×{1}? ×{0,1}, nazywanej też strzałką, mamy topologię T(×{0,1},?) ?×{1}. Topologia ta jest identyczna z topologią przestrzeni Sorgenfreya opisaną w przykładzie 1.1.8, bo zbiór ×{1} możemy utożsamić z . Prosta Sorgenfreya jest zatem podprzestrzenią przestrzeni liniowo uporządkowanej. Pokażemy później, że sama przestrzeń nie jest liniowo uporządkowana; p. wniosek 1.13.14. Jeśli x,y ? oraz x < y, to

jest przedziałem otwartym oraz ?x,y = (x,y) ×{0}?[x,y) ×{1}. Zbiory ?x,y ? = [x,y) ×{1} są zatem otwarte w przestrzeni Sorgenfreya i stanowią w niej bazę. Nietrudno zauważyć, że są to zbiory domknięto-otwarte, a więc przestrzeń Sorgenfreya jest zerowymiarowa. Zauważmy, że

Faktycznie, wszystkie zbiory postaci ?a,b ?, dla a,b ? tworzą ?-bazę, bo pomiędzy każdymi dwoma liczbami rzeczywistymi jest liczba wymierna. Jednocześnie, jeśli B jest bazą w , to na mocy lematu 1.1.13 możemy zakładać, że B ? {?x,y ?: x,y ? }. Przypuśćmy, że |B | < 2?. Wtedy istnieje takie z ? , które nie jest lewym końcem żadnego elementu z B. Wówczas zbiór otwarty ?z,z+1 nie może być sumą elementów rodziny B. To daje sprzeczność. Wynika stąd w szczególności, że waga przestrzeni ×{0,1} z porządkiem leksykograficznym także jest równa 2?. ?

Definicja 1.1.20 (przestrzeń spójna). Niepusta przestrzeń topologiczna X jest spójna, gdy nie ma w niej zbiorów domknięto-otwartych innych niż ? i X. Mówimy, że zbiór jest spójny, gdy jest podprzestrzenią spójną.

Przykład 1.1.21 (topologia zadana przez filtr). Niech X będzie zbiorem nieskończonym, a F ? P (X) filtrem wolnym na X. Rodzina T = F ?{?} jest topologią na X. Faktycznie, X należy do filtru, a iloczyn dwóch elementów należących do filtru także do niego należy. Ponadto, jeśli R ? F oraz U ? R , to U ? ? R, a więc ? R ? F . Jeśli dodatkowo F jest ultrafiltrem, to dla każdego A ?X mamy A ? F lub X ?A ? F , a zatem A ? T lub X ?A ? T , tzn. każdy zbiór jest otwarty lub domknięty[14] . Ponieważ filtr nie może zawierać zbiorów rozłącznych, jedynymi zbiorami domknięto-otwartymi są X oraz ?, a zatem przestrzeń (X,T) jest spójna. Ponadto każde dwa niepuste zbiory otwarte w topologii T mają przekrój niepusty. Jeśli F jest filtrem Frécheta, to zbiorami otwartymi w topologii F ?{?} są, oprócz zbioru pustego, dopełnienia zbiorów skończonych, czyli zbiory koskończone, przy czym ? uznajemy za zbiór skończony. Rodzina

jest zatem topologią na X, nazywaną topologią koskończoną. ?

Lemat 1.1.22. Jeśli (X,<) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, zbiór ??A ?X jest domknięty w topologii porządkowej, a c = supA, to c ?A.

Dowód. Jeśli c jest elementem największym zbioru A, to każdy przedział postaci (a,c] przecina zbiór A, a zatem c ? cl A = A. Załóżmy przypadek przeciwny i przypuśćmy, że c?A. Ponieważ zbiór X?A jest otwarty, to istnieją takie a,b ? X, że c ? (a,b) ? X ? A. Wówczas a < c, a więc zgodnie z definicją kresu górnego istnieje takie x ? A, że a < x ? c < b. A zatem x ?(a,b) ?X ?A, co daje sprzeczność. -

Twierdzenie 1.1.23. Każda przestrzeń liniowo uporządkowana w sposób ciągły jest spójna. W szczególności przestrzeń z topologią naturalną, a także każdy przedział w zbiorze są spójne.

Dowód. Załóżmy, że (X,<) jest porządkiem ciągłym i przypuśćmy, że istnieje zbiór domknięto-otwarty U ? X, różny od X oraz ?. Wybierzmy a ? U oraz b ? X ? U. Możemy założyć, że a < b. Zbiór [a,b] ? U jest domknięty, a więc na mocy zupełności uporządkowania i lematu 1.1.22 istnieje c = sup([a,b]?U) ?[a,b]?U. Ponieważ b?U, to a ?c < b. Skoro zbiór U jest otwarty, to istnieją takie x,y ? X, że c ? (x,y) ? U. Stąd wynika, że (c,y) ? [a,b] ?U, bo y ? b, gdyż b?U. Ponadto (c,y)??, bo porządek na X jest gęsty. Lecz to jest sprzeczne z określeniem elementu c. -

Definicja 1.2.1 (przestrzeń metryczna). Metryką na zbiorze X nazywamy funkcję d: X ×X ?, która dla dowolnych x,y,z ?X spełnia następujące warunki:

(a) d(x,y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y;

(b) d(x,y) = d(y,x);

(c) d(x,z) ?d(x,y) + d(y,z).

Warunek (c) nazywany jest warunkiem trójkąta lub nierównością trójkąta. Zbiór X wraz z metryką d nazywamy przestrzenią metryczną i oznaczamy jako (X,d). Dla każdego x ?X i każdej liczby ? > 0 zbiór

nazywamy kulą otwartą o środku w punkcie x i promieniu ?. Jeśli metryka w zbiorze X jest ustalona, to zamiast Bd(x,?) piszemy krócej B(x,?).

Przykład 1.2.2 (metryka euklidesowa). Odległość między punktami na płaszczyźnie 2 mierzymy długością odcinka łączącego te punkty. Jeśli więc punkt p ? 2 ma współrzędne (p1,p2), a punkt q ? 2 ma współrzędne (q1,q2), to zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa odległość między tymi punktami wyraża się wzorem

Warunek trójkąta jest spełniony, bo w każdym trójkącie suma długości dwóch dowolnych boków jest nie mniejsza od długości trzeciego boku. Równość zachodzi tylko wtedy, gdy punkty leżą na jednej prostej. Pozostałe dwa warunki określające metrykę są oczywiste. Kulami otwartymi w sensie tej metryki są koła otwarte (bez brzegu, tzn. bez okręgu), bo przy powyższych oznaczeniach mamy

Z definicji metryki euklidesowej w 2 wynika, że jej zacieśnienie do prostej rzeczywistej, czyli zbioru tych punktów płaszczyzny, których druga współrzędna jest równa 0, pokrywa się z metryką naturalną w . ?

Twierdzenie 1.2.3. Jeśli (X,d) jest przestrzenią metryczną, to

jest topologią na X, której bazą jest rodzina

wszystkich kul otwartych w sensie metryki d.

Dowód. Aby wykazać, że T(X,d) jest topologią, wystarczy wykazać, że jeśli U,V ? T (X,d), to U ?V ? T (X,d). Pozostałe dwa warunki są spełnione w oczywisty sposób. Faktycznie, jeśli x ?U ?V , to istnieją ?1 > 0 oraz ?2 > 0 takie, że Bd(x,?1) ? U oraz Bd(x,?2) ? V . Wówczas dla ? = min{?1,?2} mamy Bd(x,?) ?U?V . Pozostaje wykazać, że Bd(x,?) są zbiorami otwartymi w topologii T(X,d). Ustalmy dowolne y ?Bd(x,?). Wtedy ? = ?-d(x,y) > 0, a więc dla każdego z ?Bd(y,?) dostajemy

a zatem z ?Bd(x,?), czyli Bd(y,?) ?Bd(x,?). -

Definicja 1.2.4 (topologia metryzowalna). Topologia T na zbiorze X jest metryzowalna, gdy istnieje taka metryka d na X, że T(X,d) = T.

Definicja 1.2.5 (baza lokalna). Jeśli (X,T) jest przestrzenią topologiczną, to B(x) ? T nazywamy bazą lokalną lub bazą otoczeń w punkcie x, jeśli dla każdego zbioru otwartego U ? T zawierającego x istnieje takie V ? B (x), że x ? V ? U. Zbiór otwarty zawierający dany punkt nazywamy otoczeniem tego punktu. Minimalną moc bazy lokalnej w punkcie x ? X nazywamy charakterem[15] w punkcie x i oznaczamy symbolem ?(X,x), tzn.

Lemat 1.2.6. Przestrzenie metryzowalne mają charakter przeliczalny w każdym punkcie.

Dowód. Jeśli topologia przestrzeni X jest wyznaczona przez metrykę, to dla każdego x ? X rodzina kul {B(x,): n ? } jest bazą lokalną w tym punkcie. Faktycznie, dla każdego zbioru otwartego U ?X oraz x ?U istnieje ? > 0 takie, że B(x,?) ?U. Wystarczy więc dobrać n takie, że  < ?. -

Przykład 1.2.7 (przestrzeń niemetryzowalna). Jeśli ? > ?, to przestrzeń ?(?) (p. przykład 1.1.2) jest niemetryzowalna. Załóżmy, że |X|= ?, a x0 jest jedynym punktem skupienia przestrzeni X. Przypuśćmy, że {Un: n ? } jest rodziną otoczeń punktu x0. Ponieważ zbiory X ? Un są skończone, to zbiór ? {X ?Un: n ? } jest przeliczalny, a skoro zbiór X jest nieprzeliczalny, to istnieje z ? ? {Un: n ? }?{x0}. Wówczas zbiór X ?{z} jest otwarty i nie zawiera Un dla żadnego n ? , co daje sprzeczność. A zatem na mocy lematu 1.2.6 przestrzeń ?(?) nie jest metryzowalna. ?

Definicja 1.2.8 (układ otoczeń). Układem otoczeń na zbiorze X nazywamy taką rodzinę {B (x): x ?X}, że ??B(x) ? P (X) dla każdego x ?X i spełnione są następujące warunki:

(a) x ?U dla każdego U ? B (x);

(b) jeśli y ?U ? B (x), to istnieje takie V ? B (y), że V ?U;

(c) jeśli U,V ? B (x), to istnieje takie W ? B (x), że W ?U ?V .

Twierdzenie 1.2.9. Jeśli {B (x): x ?X}jest układem otoczeń na zbiorze X, to rodzina

jest topologią na zbiorze X. Ponadto rodzina

jest bazą topologii T, przy czym rodzina B(x) jest bazą otoczeń punktu x ?X.

Dowód. Oczywiście, X ? T , bo B(x)?? dla każdego x ? X oraz x ? U dla U ? B (x). Jeśli U1,U2 ? T oraz x ? U1 ?U2, to istnieją takie V 1,V 2 ? B (x), że x ? V 1 ? U1 oraz x ? V 2 ? U2. Wówczas na mocy warunku (c) definicji 1.2.8 istnieje takie W ? B (x), że W ? V 1 ? V 2. To oznacza, że W ?U1 ?U2, a więc U1 ?U2 ? T . Jeśli R ? T , to oczywiście ? R ? T . Z warunku (b) definicji układu otoczeń wynika, że B ? T , a więc B jest bazą topologii T . -

Przykład 1.2.10. Podobnie jak w przykładzie 1.1.21 wykorzystamy pojęcie filtru. Niech X będzie zbiorem nieskończonym, a F ? P (X) filtrem wolnym. Jako układ otoczeń na zbiorze X ?{F } przyjmijmy rodzinę

gdzie B(x) = {{x}} dla każdego x ?X, a B(F) = {U ?{F }: U ? F }. Nietrudno sprawdzić, że B jest układem otoczeń topologii na zbiorze X ?{F }. Warunek (c) definicji układu otoczeń jest spełniony dzięki temu, że każdy filtr jest domknięty na skończone przekroje. Pozostałe dwa warunki są oczywiste. Zbiorami otwartymi w topologii wyznaczonej przez układ B są wszystkie podzbiory zbioru X oraz zbiory postaci U ?{F }, gdzie U ? F . Stąd wynika, że przestrzeń ta (w odróżnieniu od przestrzeni z przykładu 1.1.21) jest zerowymiarowa. Przestrzeń ?(?) opisana w przykładzie 1.1.2 jest także przestrzenią postaci X ?{F }, przy czym X = ?, a F jest filtrem Frécheta. ?

Definicja 1.2.11 (przestrzeń Hausdorffa). Przestrzeń (X,T) nazywana jest przestrzenią Hausdorffa lub przestrzenią typu T2, gdy dla każdych dwóch różnych punktów istnieją otoczenia rozłączne, tzn. jeśli x,y ?X i x?y, to istnieją takie Ux,Uy ? T , że x ?Ux i y ?Uy oraz Ux ?Uy = ?.

Lemat 1.2.12. Przestrzenie metryzowalne i przestrzenie liniowo uporządkowane mają własność Hausdorffa.

Dowód. Jeśli przestrzeń (X,T) jest metryzowalna, to istnieje taka metryka d na X, że T = T(X,d). Jeśli x,y ?X są różne, to ? = d(x,y) > 0. Wówczas Ux = B(x,) i Uy = B(y,) są otoczeniami rozłącznymi punktów x i y. Faktycznie, gdyby z ?B(x,) ?B(y,), to mielibyśmy

Jeśli topologia przestrzeni X jest wyznaczona przez porządek liniowy <, a punkty x,y ? X są różne, to możemy założyć, że x < y. W przypadku gdy istnieje takie z ? X, że x < z < y, to wystarczy jako otoczenia rozłączne tych punktów przyjąć Ux = (?,z) oraz Uy = (z,?). W przeciwnym przypadku przyjmujemy Ux = (?,y) oraz Uy = (x,?). -

Definicja 1.2.13 (przestrzenie typu T1). Przestrzenie, w których podzbiory jednopunktowe są domknięte, nazywamy przestrzeniami typu T1 lub T1-przestrzeniami.

Definicja 1.2.14 (przestrzenie typu T0). Przestrzeń topologiczna X jest typu T0 lub T0-przestrzenią, gdy dla dowolnych dwóch różnych punktów zbioru X istnieje taki podzbiór otwarty zbioru X, który zawiera jeden z tych punktów, a nie zawiera drugiego.

Definicja 1.2.15 (wnętrze i domknięcie zbioru). Jeśli (X,T) jest przestrzenią topologiczną, to wnętrzem zbioru A ?X nazywamy zbiór

a domknięciem zbioru A nazywamy zbiór

Twierdzenie 1.2.16. Dla każdej przestrzeni topologicznej X i dla dowolnych zbiorów A,B ?X zachodzą następujące wzory:

(1) IntA = A wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór A jest otwarty;

(2) cl A = A wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór A jest domknięty;

(3) IntX = cl X = X oraz Int?= cl ?= ?;

(4) IntA ?A ?cl A;

(5) jeśli A ?B, to IntA ?IntB oraz cl A ?cl B;

(6) Int(A ?B) = IntA ?IntB oraz cl(A ?B) = cl A ?cl B;

(7) Int(IntA) = IntA oraz cl(cl A) = cl A.

Dowód. Warunki (1) i (2) wynikają z tego, że suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym, a przecięcie dowolnej rodziny zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym. Warunek (3) wynika z faktu, że zbiory X i ? są domknięto-otwarte. Dla dowodu warunku (4) wystarczy zauważyć, że jeśli wszystkie zbiory rodziny R są zawarte w A, to zbiór ? R jest także zawarty w A, a jeśli zbiór A zawiera się w każdym elemencie rodziny R, to zawiera się w ? R. Jeśli A ?B, to

i podobnie

Twierdzenie 1.2.17 (twierdzenie Kuratowskiego). Załóżmy, że funkcja ?: P(X) ? P (X) spełnia dla dowolnych A,B ? X następujące warunki:

(1) ?(?) = ?,

(2) A ??(A),

(3) ?(A ?B) = ?(A) ??(B),

(4) ?(?(A)) = ?(A).

Wówczas rodzina T = {X ?A ?X: ?(A) = A} jest topologią na X oraz clT A = ?(A) dla każdego A ?X.

Dowód. Z warunku (1) wynika, że X ? T . Natomiast z warunku (3) i praw de Morgana wynika, że jeśli U,V ? T , to U ?V ? T . Z (3) wynika, że

bo jeśli A ?B, to A ?B = B, czyli ?(B) = ?(A ?B) = ?(A) ??(B). To oznacza, że ?(A) ??(B). Dla dowodu, że T jest topologią ustalmy dowolną rodzinę R ? T . Zachodzi równość ? R= X ?? {X ?U : U ? R }, a zatem, aby wykazać, że ? R ? T wystarczy sprawdzić, że

Z warunku (?) dostajemy ?(? {X ?U : U ? R }) ??(X ?U) = X ?U, bo ?(X ?U) = X ?U dla każdego U ? R , a zatem

Inkluzja odwrotna wynika z warunku (2).

Pozostaje sprawdzić, że clT A = ?(A) dla każdego A ? X. Z warunku (4) wynika, że ?(A) jest zbiorem domkniętym w sensie topologii T dla każdego A ? X. Stąd na mocy warunku (2) dostajemy clT A ? ?(A). Jednocześnie na mocy warunku (?) mamy ?(A) ??(clT A) = clT A, bo clT A jest zbiorem domkniętym oraz A ? clT A. Otrzymana równość kończy dowód. -

Lemat 1.2.18. W każdej przestrzeni topologicznej X dla każdego zbioru A ?X prawdziwe są następujące równości

Dowód. Z inkluzji X ?A ? cl(X ?A) wynika, że X ?cl(X ?A) ? A. Skoro zbiór po lewej stronie inkluzji jest otwarty, to X ?cl(X ?A) ? IntA. Jednocześnie mamy IntA ? A, a zatem X ?A ? X ?IntA, przy czym zbiór po prawej stronie inkluzji jest domknięty, a więc cl(X ?A) ?X ?IntA. Stąd otrzymujemy inkluzję IntA ? X ?cl(X ?A), która dowodzi pierwszej części lematu. Dowód drugiej części lematu jest analogiczny. -

Lemat 1.2.19. W każdej przestrzeni topologicznej X i dla dowolnego zbioru A ?X zachodzą następujące równości

Dowód. Zauważmy, że Intcl IntA ?cl IntA, a więc

Inkluzja przeciwna wynika z tego, że IntA ? cl IntA, czyli IntA ? Intcl IntA, a więc cl IntA ? cl Intcl IntA. To kończy dowód pierwszej równości. Drugą dowodzimy analogicznie. -

Definicja 1.2.20 (zbiory regularnie otwarte, regularnie domknięte). Zbiór U ? X jest regularnie otwarty w przestrzeni X, gdy Intcl U = U, a F ? X jest regularnie domknięty, gdy cl IntF = F. Rodzinę wszystkich podzbiorów regularnie otwartych w przestrzeni X oznaczamy jako RO(X), a rodzinę wszystkich podzbiorów regularnie domkniętych jako RC(X).

Lemat 1.2.21. Jeśli U ?RO(X), to X?U ?RC(X), a jeśli F ?RC(X), to X ?F ?RO(X).

Dowód. Załóżmy, że zbiór U ?X jest regularnie otwarty. Wówczas na mocy lematu 1.2.18 zachodzi równość U = Intcl U = X ?cl(X ?cl U), a więc X ?U = cl(X ?cl U). Jednocześnie na mocy tego samego lematu mamy

a więc cl Int(X ?U) = X ?U. Drugą część tezy dowodzi się analogicznie. -

Wniosek 1.2.22. Jeśli F jest zbiorem domkniętym, a U zbiorem otwartym, to IntF ?RO(X), a cl U ?RC(X).

Dowód. Faktycznie, skoro cl F = F, to

co kończy dowód. -

Twierdzenie 1.2.23. Jeśli zbiory U,V ?X są otwarte, to

Dowód. Zauważmy, że dla dowolnego zbioru otwartego U ?X i dowolnego zbioru A ?X prawdziwa jest inkluzja

Faktycznie, A ?(A ?U) ?(X ?U), a więc

bo zbiór X ?U jest domknięty. Stąd zaś cl A ?U ?cl(A ?U). Z warunku (?) wynika, że dla dowolnych zbiorów otwartych U,V ?X mamy

Podobnie mamy też V ?Intcl U ?Intcl(U ?V ). Korzystając z lematu 1.2.19, dostajemy więc

Wniosek 1.2.24. Jeśli U,V ?RO(X), to U ?V ?RO(X).

Lemat 1.2.25. Jeśli X jest przestrzenią topologiczną, to dla każdego zbioru A ?X i każdego punktu x ?X zachodzą następujące warunki:

(1) x ? IntA wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie otoczenie U punktu x, że U ?A;

(2) x ?cl A wtedy i tylko wtedy, gdy U ?A?? dla każdego otoczenia U ?X punktu x.

Dowód. Faktycznie, punkt należy do wnętrza zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy należy do sumy wszystkich zbiorów otwartych zawartych w A, a więc gdy należy do pewnego zbioru otwartego zawartego w A. Z kolei punkt nie należy do domknięcia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy nie należy do pewnego zbioru domkniętego zawierającego A. A zatem punkt nie należy do domknięcia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy należy do pewnego zbioru otwartego rozłącznego z A. -

Definicja 1.2.26 (brzeg). Brzegiem zbioru A ? X nazywamy zbiór[20]

Lemat 1.2.27. Zbiór U ? X jest domknięto-otwarty w X wtedy i tylko wtedy, gdy BdU = ?.

Dowód. Jeśli BdU = cl U ?cl(X ?U) = ?, to na mocy wzoru (1.12) mamy U ?cl U ?X ?cl(X ?U) = IntU ?U, a więc U = cl U = IntU. Zbiór U jest zatem domknięto-otwarty. Implikacja odwrotna jest oczywista. -

Definicja 1.2.28 (pochodna zbioru). Punkt x ?X nazywamy punktem skupienia zbioru A, jeśli U?(A?{x})??dla każdego otoczenia U ?X punktu x, tzn. gdy x ?cl(A?{x}). Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru A ?X oznaczamy symbolem Ad i nazywamy pochodną[21] zbioru A. Punkt, który nie jest punktem skupienia całej przestrzeni, nazywamy izolowanym.

Lemat 1.2.29. Operacja pochodnej ma następujące własności:

(1) cl A = A ?Ad;

(2) jeśli A ?B, to Ad ?Bd;

(3) (A ?B)d = Ad ?Bd.

Definicja 1.2.30 (granica ciągu). Jeśli X jest przestrzenią topologiczną, to mówimy, że x0 ? X jest granicą ciągu (xn)n=1? ? X i piszemy[22] , że

gdy każde otoczenie punktu x0 zawiera wszystkie wyrazy ciągu (xn)n=1? z wyjątkiem co najwyżej skończenie wielu, tzn. gdy dla każdego otoczenia U punktu x0 istnieje takie n0 ?, że xn ?U dla każdego n > n0.

Lemat 1.2.31. Jeśli X jest przestrzenią Hausdorffa, to granica, o ile istnieje, jest dokładnie jedna.

Przykład 1.2.32. Niech F ? P () będzie ultrafiltrem i niech (xn)n=1? będzie ciągiem w przestrzeni X = ? {F } opisanej w przykładzie 1.2.10. Przypuśćmy, że ciąg (xn)n=1? jest zbieżny. Jeśli nie jest prawie stały, to żaden z punktów zbioru nie może być jego granicą, bo punkty zbioru są izolowane. Możemy więc z ciągu (xn)n=1? wybrać taki podciąg (xnk)k=1? ? , że xnk?xnl dla k?l. To oznacza, że bez straty ogólności możemy założyć, że lim n??xn = F oraz xn?xm dla n?m. Ponieważ otoczenia punktu F są postaci U ?{F }, gdzie U ? F , to N = {xn: n ? } ? F , bo każdy element filtru F przecina N. Niech A = {x2n: n ? } oraz B = {x2n-1: n ? }. Ponieważ A?B = N, a F jest ultrafiltrem, to albo A ? F , albo B ? F . Jeśli A ? F , to U = A ?{F } jest otoczeniem punktu F, które jest rozłączne ze zbiorem B. Podobnie, jeśli B ? F , to U = B ?{F } jest otoczeniem punktu F rozłącznym ze zbiorem A, a zatem (xn)n=1? nie może być zbieżny do F. ?

Lemat 1.2.33. Załóżmy, że X jest przestrzenią topologiczną, w której dla punktu x ? X zachodzi równość ?(X,x) = ?. Jeśli A ? X, to x ? Ad wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki ciąg (xn)n=1? ? A ?{x}, że lim n??xn = x. Ponadto x ?cl A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki ciąg (xn)n=1? ?A, że lim n??xn = x.

Dowód. Na mocy definicji charakteru przestrzeni w punkcie istnieje taka rodzina {Un: n ?} otoczeń puntu x, że dla każdego zbioru otwartego U ?X zawierającego x istnieje takie n ?, że x ?Un ?U. Jeśli x ? Ad, to (A ? {x}) ? U?? dla każdego otoczenia U punktu x. Wybierzmy xn ?(A?{x})?U1 ?...?Un dla n ?. Wówczas każde otoczenie punktu x zawiera prawie wszystkie wyrazy ciągu (xn)n=1? ?A?{x}, a więc lim n??xn = x. Implikacja odwrotna jest oczywista. Druga część lematu wynika z tego, że ciągi stałe są zbieżne, a każdy punkt domknięcia zbioru, który nie jest jego elementem, musi być jego punktem skupienia. -

Definicja 1.2.34 (przestrzeń Frécheta-Urysohna). Przestrzeń topologiczna X jest przestrzenią Frécheta-Urysohna, jeśli dla każdego zbioru A ? X i każdego punktu x ? cl A istnieje taki ciąg (xn)n=1? ? A, że lim n??xn = x.

Lemat 1.2.35. Jeśli w każdym punkcie przestrzeni X charakter jest przeliczalny, to X jest przestrzenią Frécheta-Urysohna.

Przykład 1.2.36. Niech X = ( ×) ?{x0}, przy czym x0? ×. Dla każdej funkcji f ? przyjmijmy

Rozważmy w zbiorze X topologię, w której punkty zbioru × są izolowane, a baza otoczeń punktu x0 jest postaci {Uf: f ?}. Załóżmy, że A ?X jest zbiorem nieskończonym, którego punktem skupienia jest x0. Ponieważ punkty należące do  × są izolowane, to A nie może mieć innych punktów skupienia. Wówczas

W przeciwnym przypadku dla funkcji danej wzorem

dostajemy Uf ?A = ?, co daje sprzeczność. Z warunku (?) wynika, że jeśli przyjmiemy a1 = (n0,min{k ?: (n0,k) ?A}) oraz

dla n > 1, to dostajemy lim n??an = x0. Stąd wynika, że X jest przestrzenią Frécheta-Urysohna.

Zauważmy, że w punkcie x0 nie istnieje baza przeliczalna. Faktycznie, dla każdej rodziny {V n: n ?} otoczeń punktu x0 istnieje taka rodzina funkcji {fn: n ?}?, że Ufn ?V n dla każdego n ?. Zdefiniujmy funkcję f : ? następującym wzorem: f(n) = max{fk(n): k ?n}+ 1. Wówczas dla każdego n ? dostajemy V n ? Uf. W przeciwnym przypadku dla pewnego n ? dostajemy Ufn ?Uf, a więc w szczególności (n,fn(n)) ?Uf, co daje sprzeczność, bo zgodnie z definicją funkcji f mamy f(n) > fn(n). Stąd wynika, że ?(X,x0) ??1[25] . ?

Lemat 1.2.37. Jeśli (X,d) jest przestrzenią metryczną, to dla każdego ciągu (xn)n=1? ?X oraz punktu x0 ?X zachodzi następująca równoważność

Dowód. Rodzina {Bd(x0,n-1): n ? } jest bazą lokalną w punkcie x0. Dla każdego x ?X mamy ponadto: x ?Bd(x0,n-1) wtedy i tylko wtedy, gdy d(x0,x) < n-1. To wystarczy, by udowodnić lemat, bo lim n??n-1 = 0. -

Definicja 1.2.38 (odległość punktu od zbioru). Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną. Odległość punktu x ?X od zbioru niepustego A ?X dana jest wzorem

Lemat 1.2.39. Jeśli A jest podzbiorem przestrzeni metrycznej, to x ?cl A wtedy i tylko wtedy, gdy dist(x,A) = 0.

Dowód. Faktycznie, inf{d(x,a): a ? A} = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ? > 0 istnieje takie a ? A, że d(x,a) < ?, a to oznacza, że A ?Bd(x,?)??. Na mocy lematu 1.2.25(2) mamy więc dist(x,A) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x ?cl A. -

Definicja 1.3.1 (funkcja ciągła). Funkcja f : X ? Y z przestrzeni X w przestrzeń Y jest ciągła, gdy przeciwobraz każdego zbioru otwartego w Y jest zbiorem otwartym w X. Jeśli ponadto f jest surjekcją, to mówimy, że Y jest obrazem ciągłym przestrzeni X. Funkcje ciągłe nazywamy też odwzorowaniami ciągłymi lub przekształceniami ciągłymi. Zbiór funkcji ciągłych z X w Y oznaczamy symbolem C(X,Y ) lub krótko C(X), gdy Y = .

Twierdzenie 1.3.2 (kryteria ciągłości). Jeśli X i Y są przestrzeniami topologicznymi, a f : X ?Y , to następujące warunki są równoważne:

(1) funkcja f jest ciągła;

(2) w przestrzeni Y istnieje taka podbaza P, że zbiór f-1[U] jest otwarty dla każdego U ? P ;

(3) dla każdego x ? X i każdego otoczenia V punktu f(x) istnieje takie otoczenie U punktu x, że f[U] ?V ;

(4) dla każdego A ?X zachodzi f[cl A] ?cl f[A];

(5) dla każdego B ?Y zachodzi cl f-1[B] ?f-1[cl B];

(6) dla każdego B ?Y zachodzi f-1[IntB] ?Intf-1[B];

(7) przeciwobraz każdego zbioru domkniętego w Y jest domknięty w X.

Dowód. Implikacja (1) ? (2) jest oczywista, bo rodzina wszystkich zbiorów otwartych jest także podbazą. Aby wykazać implikację (2) ? (3) ustalmy podbazę P, dla której spełniony jest warunek (2). Wówczas dla każdego otoczenia V punktu f(x) istnieją takie zbiory V 1,V 2,...,V n ? P , że f(x) ? V 1 ?V 2 ?... ?V n ? V . Wtedy U = f-1[V 1] ?f-1[V 2] ?... ?f-1[V n] jest zbiorem otwartym zawierającym punkt x oraz

Dla dowodu implikacji (3) ? (4) ustalmy zbiór A i taki punkt x, że f(x)?cl f[A]. Wówczas V ?f[A] = ? dla pewnego otoczenia V punktu f(x). Na mocy warunku (3) istnieje takie otoczenie U punktu x, że f[U] ?V. Skoro V ?f[A] = ?, to U ?A = ?, a więc x?cl A.

Implikacja (4) ?(5) wynika z tego, że jeśli f[cl A] ?cl f[A] dla każdego A ?X, to

a więc cl f-1[B] ?f-1[cl B]. W dowodzie implikacji (5) ?(6) zastosujemy lemat 1.2.18. Dostajemy wówczas

Definicja 1.3.3 (ciągłość w punkcie). Funkcja f : X ? Y jest ciągła w punkcie x ? X, gdy dla każdego otoczenia V punktu f(x) istnieje takie otoczenie U punktu x, że f[U] ? V . Zbiór punktów ciągłości funkcji f oznaczamy symbolem C(f).

Definicja 1.3.4 (topologia ilorazowa). Jeśli (X,T) jest przestrzenią topologiczną, a ? jest relacją równoważności na zbiorze X, to topologią ilorazową w przestrzeni X/? nazywamy topologię złożoną ze wszystkich tych zbiorów U ? X/?, dla których q?-1[U] jest zbiorem otwartym. Zbiór X/? wraz z tą topologią nazywamy przestrzenią ilorazową.

Przykład 1.3.5. Rozważmy przestrzeń

z topologią dziedziczoną z płaszczyzny 2; p. przykład 1.2.2. Przestrzeń X składa się więc z pionowych odcinków długości 1 na płaszczyźnie wystawionych w punktach[27] o pierwszej współrzędnej będącej liczbą naturalną. Przyjmijmy F = {(n,0): n ? }. Wówczas przestrzeń ilorazowa X/F jest wynikiem sklejenia wszystkich punktów naturalnych na osi x-ów do jednego punktu y0 = F. Zbiór F jest domknięty w X, a wszystkie klasy abstrakcji z wyjątkiem zbioru F są jednoelementowe. Stąd wynika, że X/F jest przestrzenią Hausdorffa. Z definicji przestrzeni X/F wynika, że otoczeniami punktu y0 są zbiory postaci {y0}?V , przy czym V ? X jest zbiorem otwartym zawierającym F. Otoczenia (bazowe) punktu 0 na odcinku [0,1] są postaci [0,a), przy czym a ? (0,1). Stąd wynika, że otoczenia bazowe punktu y0 mają postać

przy czym a = (an)n=1? jest dowolnym ciągiem punktów przedziału (0,1). ?

Twierdzenie 1.3.6 (kryterium Heinego). Jeśli X i Y są przestrzeniami metrycznymi, to funkcja f : X ? Y jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu zbieżnego (xn)n=1? ? X ciąg (f(xn))n=1? jest zbieżny i zachodzi równość

Dowód. Załóżmy, że funkcja f jest ciągła oraz lim n??xn = x ?X. Na mocy twierdzenia 1.3.2(3) dla każdego otoczenia V punktu f(x) istnieje takie otoczenie U punktu x, że f[U] ?V . Skoro U zawiera prawie wszystkie wyrazy ciągu (xn)n=1?, to V zawiera prawie wszystkie wyrazy ciągu (f(xn))n=1?, a więc lim n??f(xn) = f(x).

W dowodzie implikacji odwrotnej skorzystamy z twierdzenia 1.3.2(4). Wykażemy, że jeśli x ?cl A, to f(x) ?cl f[A]. Na mocy lematu 1.2.33 istnieje taki ciąg (xn)n=1? ? A, że lim n??xn = x. Wówczas ciąg (f(xn))n=1? jest zbieżny oraz lim n??f(xn) = f(x). A zatem f(x) ? cl f[A], bo (f(xn))n=1? ?f[A]. -

Wniosek 1.3.7. Jeśli (X,d) i (Y,?) są przestrzeniami metrycznymi i istnieje taka stała L, że

dla dowolnych x,y ?X, to funkcja f : X ?Y jest ciągła.

Twierdzenie 1.3.8. Jeśli X jest przestrzenią metryczną, to dla każdego zbioru niepustego A ?X funkcja f : X ? określona wzorem

jest ciągła. W szczególności dla każdego ustalonego punktu a ?X funkcja dana wzorem f(x) = d(x,a) jest ciągła.

Dowód. Wykażemy, że dla dowolnych x,y ?X zachodzi nierówność

przy czym dist(x,A) = inf{d(x,y): y ?A}, gdzie d jest tą metryką w X. Dla każdego z ?A mamy dist(x,A) ?d(x,z), a więc na mocy własności trójkąta dist(x,A) ?d(x,y) + d(y,z). Wobec tego

Stąd wynika, że dist(x,A) -dist(y,A) ? d(x,y). Zamieniając x na y, dostajemy -dist(x,A) + dist(y,A) ?d(y,x) = d(x,y), co daje nierówność (?). Bezpośrednio z nierówności (?) i wniosku 1.3.7 wynika teza twierdzenia. Dodatkową tezę otrzymamy, przyjmując A = {a}. -

Wniosek 1.3.9. Każda kula domknięta jest zbiorem domkniętym.

Twierdzenie 1.3.10. Jeśli funkcje f,g: X ? Y są ciągłe, a Y jest przestrzenią Hausdorffa, to zbiór {x ?X: f(x) = g(x)} jest domknięty.

Dowód. Załóżmy, że f(x)?g(x). Skoro Y jest przestrzenią Hausdorffa, to istnieją takie otoczenia U,V ? Y odpowiednio punktów f(x) i g(x), że U ?V = ?. Wówczas W = f-1[U] ?g-1[V ] jest otoczeniem punktu x oraz f(y)?g(y) dla każdego y ?W. To kończy dowód. -

Twierdzenie 1.3.11. Jeśli f : X ?Y jest ciągłą surjekcją, a przestrzeń X jest spójna, to przestrzeń Y także jest spójna.

Dowód. Przypuśćmy, że przestrzeń Y nie jest spójna. Wówczas istnieje zbiór domknięto-otwarty U ?Y taki, że U?? oraz U?Y . Z twierdzenia 1.3.2 wynika, że f-1[U] jest zbiorem domknięto-otwartym. Ponieważ ??f-1[U]?X, dostajemy sprzeczność. -

Wniosek 1.3.12 (własność Darboux). Jeśli f : X ? jest funkcją ciągłą, a X jest przestrzenią spójną, to zbiór f[X] jest przedziałem.

Lemat 1.3.13. Jeśli funkcje f : X ? Y oraz g: Y ? Z są ciągłe, to złożenie g ?f : X ?Z jest funkcją ciągłą.

Lemat 1.3.14. Obcięcie funkcji ciągłej jest funkcją ciągłą.

Lemat 1.3.15. Funkcja f : X ? Y jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x ?X istnieje takie otoczenie Ux, że funkcja f ?Ux jest ciągła.

Definicja 1.3.16 (funkcja otwarta). Funkcja f : X ? Y jest otwarta, gdy jest ciągła i dla każdego zbioru otwartego U ? X zbiór f[U] jest otwarty w Y . Funkcję otwartą nazywamy też odwzorowaniem otwartym.

Lemat 1.3.17. Jeśli funkcja f : X ? Y jest otwarta, to dla dowolnego zbioru Z ?Y funkcja f ?f-1[Z]: f-1[Z] ?Z także jest otwarta.

Dowód. Załóżmy, że funkcja f jest otwarta, a zbiór U ? f-1[Z] jest otwarty w f-1[Z]. Istnieje taki zbiór otwarty V ? X, że U = V ?f-1[Z], a zbiór (f ?f-1[Z])[U] = f[V ?f-1[Z]] = f[V ] ?Z jest otwarty w Z. -

Definicja 1.3.18 (homeomorfizm). Jeśli X i Y są przestrzeniami topologicznymi, to bijekcję f : X ? Y nazywamy homeomorfizmem przestrzeni X na przestrzeń Y , gdy zarówno f, jak i f-1 są funkcjami ciągłymi. Mówimy wówczas, że przestrzenie X i Y są homeomorficzne.

Przykład 1.3.19. Wszystkie przestrzenie z jednym punktem skupienia, które są tej samej mocy, są ze sobą homeomorficzne. Przestrzenie te, oznaczane symbolem ?(?), były już omawiane w przykładzie 1.1.2. Niech x0 ? X oraz y0 ? Y będą jedynymi punktami skupienia odpowiednio przestrzeni X i Y , przy czym |X|= |Y |= ? ??. Wówczas każda taka bijekcja f : X ?Y , przy której f(x0) = y0, jest homeomorfizmem. Faktycznie, punkty różne od x0 i y0 są izolowane, a otoczenia punktów wyróżnionych mają dopełnienia skończone. Ponieważ każda bijekcja przeprowadza zbiory skończone na zbiory skończone, to funkcja f przeprowadza otoczenia punktu x0 na otoczenia punktu y0. Funkcja f jest zatem homeomorfizmem. W szczególności przestrzeń ?(?) jest homeomorficzna z przestrzenią {0}?{: n ?}? z topologią dziedziczoną z przestrzeni . ?

Przykład 1.3.20. Przestrzeń ( × ) ? {x0} z przykładu 1.2.36 jest homeomorficzna z pewną podprzestrzenią przestrzeni X/F z przykładu 1.3.5, w którym X = {(n,x) ? 2: n ? oraz x ? [0,1]}, a F = {(n,0): n ? }. Rozważmy Y = {(n,x) ? X: x ? {0}?{: m ? }}. Wykażemy, że funkcja h: ( ×) ?{x0}?Y/F, dla której h(x0) = y0 = F, oraz h(n,m) = (n,) dla każdego (n,m) ? × jest homeomorfizmem. Punkty zbioru × są izolowane, a zatem wystarczy sprawdzić ciągłość funkcji h w punkcie x0 i ciągłość funkcji h-1 w punkcie y0. Przyjęliśmy, że otoczenia bazowe punktu x0 są postaci

przy czym f ? . Zauważmy, że jeśli (n,k) ? Uf, to h(n,k) = (n,) ? Y . Rozważmy ciąg a = (an)n=1? ? (0,1) taki, że an = . Zgodnie z definicją topologii w przestrzeni Y/F otoczeniami bazowymi punktu y0 są zbiory postaci V a = {y0}?{(n,x) ? ×: n ? oraz x ?(0,an)}, a zatem h[Uf] = V a oraz h-1[V a] = Uf. Stąd wynika, że h przeprowadza w sposób wzajemnie jednoznaczny otoczenia bazowe punktu x0 na otoczenia bazowe punkty y0. Ponieważ inne punkty są izolowane, to h jest homeomorfizmem.

W przykładzie 1.2.36 pokazano też, że przestrzeń ( × ) ? {x0} ma w punkcie x0 charakter nieprzeliczalny. Stąd wynika, że jej obraz homeomorficzny, a więc przestrzeń Y ma charakter nieprzeliczalny w punkcie y0. W konsekwencji także przestrzeń X/F z przykładu 1.3.5 ma charakter nieprzeliczalny w punkcie, który powstaje ze zlepienia zbioru F do punku. Stąd wynika, że ilorazowania nie zachowują charakteru punktów. ?

Definicja 1.3.21. Jeśli funkcja f : X ? Y jest homeomorfizmem przestrzeni X na zbiór f[X] ? Y z topologią dziedziczoną z Y , to mówimy, że f jest zanurzeniem homeomorficznym przestrzeni X w Y , lub krótko zanurzeniem X w Y , i piszemy, że f : X?Y . Jeśli ponadto zbiór f[X] jest gęsty w Y , to X ma zanurzenie gęste w Y .

Przykład 1.3.22 (zanurzenie przestrzeni X w exp(X)). Załóżmy, że X jest przestrzenią typu T1 i rozważmy funkcję ?: X ? exp(X) daną wzorem ?(x) = {x}. Definicja funkcji ? jest poprawna, bo każdy zbiór postaci {x} jest domknięty w X, a więc należy do exp(X). Dla każdego zbioru otwartego U ?X zbiory ?-1[U+] oraz ?-1[U-] są otwarte w X. Faktycznie,

Sprawdźmy, że jeśli X jest przestrzenią Hausdorffa, to ?[X] jest podprzestrzenią domkniętą przestrzeni Vietorisa exp(X). Weźmy dowolny zbiór F ?exp(X) ??[X]. Wówczas F jest domkniętym podzbiorem przestrzeni X, który ma co najmniej dwa różne punkty. Niech U,V ? X będą otoczeniami rozłącznymi tych punktów. Wówczas mamy F ?U-?V - ?exp(X) ??[X]. ?

Twierdzenie 1.3.23. Jeśli przestrzenie liniowo uporządkowane są izomorficzne, to są homeomorficzne.

Dowód. Załóżmy, że zbiory liniowo uporządkowane (X,<) oraz (Y,?) są izomorficzne, tzn. istnieje taka bijekcja h: X ?Y , że

(?) a < b?h(a) ?h(b)

dla dowolnych a,b ?X. Wówczas dla każdego (a,?) ?Intv(X,<) mamy h[(a,?)] = (h(a),?) ? Intv(Y,?). Podobnie, dla każdego (?,b) ?Intv(X,<) mamy h[(?,b)] = (?,h(b)) ?Intv(Y,?). To oznacza ciągłość funkcji h-1. Warunek (?) oznacza też, że dla dowolnych x,y ?Y nierówność x ?y jest równoważna nierówności h-1(x) < h-1(y). Argumentując jak wyżej, dostajemy ciągłość funkcji h. To kończy dowód. -

Definicja 1.4.1 (zbiór gęsty). Zbiór D ? X nazywamy gęstym w X, jeśli cl D = X. Gęstością przestrzeni X nazywamy liczbę kardynalną

Przestrzeń X jest ośrodkowa, gdy d(X) = ?.

Lemat 1.4.2. Jeśli funkcje f,g: X ? Y są ciągłe, Y jest przestrzenią Hausdorffa, a zbiór {x ?X: f(x) = g(x)} jest gęsty w X, to f = g.

Dowód. Na mocy twierdzenia 1.3.10 zbiór D = {x ? X: f(x) = g(x)} jest domknięty, a skoro cl D = X, to D = X. To kończy dowód. -

Lemat 1.4.3. Jeśli D ? X jest zbiorem gęstym, a zbiór U ? X jest otwarty, to cl(D ?U) = cl U.

Dowód. Jeśli x ? cl U, to Ux ?U?? dla każdego otoczenia Ux punktu x. Ponieważ zbiór D jest gęsty, to Ux?U ?D??, a więc x ?cl(U ?D). Mamy więc cl U ?cl(U ?D). Inkluzja odwrotna jest oczywista. -

Lemat 1.4.4. Jeśli D ? X jest zbiorem gęstym, a zbiory U,V ? X są regularnie otwarte oraz D ?U = D ?V , to U = V.

Dowód. Z poprzedniego lematu wynika, że

a więc U = Intcl U = Intcl V = V . -

Twierdzenie 1.4.5. Jeśli X jest przestrzenią Hausdorffa, to

Dowód. Aby wykazać nierówność |X| ? 22d(X) , ustalmy w X topologię Hausdorffa T i zbiór gęsty D ?X mocy d(X) oraz funkcję f : X ?P (P(D)) daną wzorem

Zauważmy, że dla każdego x ? X oraz U ? T mamy U ?D ? P (D), a więc f(x) ? P (D). Z warunku Hausdorffa wynika, że jeśli x,y ?X oraz x?y, to istnieją takie U,V ? T , że x ?U, y ?V oraz U ?V = ?, a w szczególności (U ? D) ? (V ? D) = ?. Ponieważ D jest zbiorem gęstym, to każde dwa elementy rodziny f(x) mają przekrój niepusty. Stąd wynika, że f(x)?f(y). Faktycznie, D ?U ? f(x), a więc D ?U?f(y), bo (U ?D) ?(V ?D) = ? oraz V ?D ?f(y). Zbiór X ma zatem injekcję w P(P(D)), więc |X|?22d(X) , ponieważ |D|= d(X).

Aby wykazać, że |X| ? d(X)?(X), przyjmijmy ?(X) = ? ? ? i dla każdego punktu x ?X ustalmy bazę lokalną Bx w punkcie x mocy nie większej niż ?. Dla każdego zbioru otwartego U ?X wybierzmy punkt x(U) ?U ?D, przy czym D, tak jak wyżej, jest zbiorem gęstym. Następnie rozważmy zbiór A(x) = {x(U): U ? B x} ? D i zauważmy, że A(x) ? [D]??. Z określenia zbioru A(x) wynika, że x ? cl(U ?A(x)) dla każdego U ? B x. Ponieważ X jest przestrzenią Hausdorffa, to

Stąd wynika, że funkcja, która każdemu x ? X przyporządkowuje rodzinę {U ? A(x): U ? B x} ? [[D]??]?? jest różnowartościowa. Z nierówności (6.19) dostajemy więc |X| ? |[[D]??]??| ? |D|?, co kończy dowód. -

Wniosek 1.4.6. Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa ma moc co najwyżej continuum.

Definicja 1.4.7 (liczba Suslina). Mówimy, że rodzina R zbiorów niepustych składa się ze zbiorów parami rozłącznych, gdy U ?V = ? dla dowolnych (różnych) elementów U,V ? R . Kres górny mocy takich rodzin nazywamy liczbą Suslina i oznaczamy symbolem c(X), a zatem

przy czym T jest topologią na X. Mówimy, że przestrzeń X ma własność Suslina, gdy c(X) = ?.

Lemat 1.4.8. Niech P będzie ?-bazą w przestrzeni X. Jeśli R ? P jest rodziną zbiorów parami rozłącznych, to istnieje taka rodzina R? ? P zbiorów parami rozłącznych, że R ? R ?, a ponadto cl ? R? = X.

Dowód. Niech X oznacza zbiór wszystkich rodzin rozłącznych zawartych w P, które zawierają R. W zbiorze X relacja inkluzji jest częściowym porządkiem. Jeśli L ? X jest podzbiorem liniowo uporządkowanym w (X,?), to ? L ? X . Faktycznie, dla dowolnych U,V ? ? L istnieją R,R ? ? L takie, że U ? R i V ? R ?. Wówczas R ? R ? lub R ? ? R , a zatem U i V są elementami tej samej rodziny zbiorów parami rozłącznych, czyli U ?V = ?. Stąd wynika, że ? L jest ograniczeniem górnym łańcucha L. Na mocy lematu Kuratowskiego-Zorna, w X istnieje element maksymalny R?. Stąd, że rodzina ta jest maksymalna wynika, że cl ? R? = X. Faktycznie, w przeciwnym przypadku istniałby zbiór V ? P zawarty w X ? cl ? R?, a wtedy rodzina R??{V } byłaby większa od rodziny R?. -

Twierdzenie 1.4.9. Niech P będzie ?-bazą w nieskończonej przestrzeni Hausdorffa X. Wówczas istnieje taka nieskończona rodzina R ? P zbiorów parami rozłącznych, że cl ? R= X.

Dowód. Na mocy lematu 1.4.8 wystarczy wykazać, że istnieje nieskończona rodzina R ? P złożona ze zbiorów parami rozłącznych. Każdy niepusty zbiór otwarty zawiera element rodziny P, a zatem wystarczy wykazać, że istnieje pewna rodzina złożona ze zbiorów otwartych niepustych parami rozłącznych. Dla dowodu nie wprost załóżmy, że każda rodzina zbiorów parami rozłącznych zawarta w P jest skończona. Skonstruujemy ciąg {(Un,V n): n ?} par rozłącznych zbiorów otwartych niepustych spełniających dla każdego n ? następujące warunki:

(a) Un+1 ?V n+1 ?Un,

(b) |Un|??.

Korzystając z warunku Hausdorffa, weźmy dowolne dwa niepuste, otwarte zbiory rozłączne U,V ?X. Na mocy lematu 1.4.8 istnieje rodzina rozłączna R zbiorów otwartych taka, że U,V ? R oraz cl ? R= X. Na mocy założenia rodzina R jest skończona, a więc istnieje takie U1 ? R , że |U1|??. Faktycznie, w przeciwnym przypadku w X istniałby zbiór gęsty skończony, a to w nieskończonych przestrzeniach Hausdorffa jest niemożliwe. Ponieważ |R | ? 2, to jako V 1 możemy przyjąć dowolny element rodziny R ?{U1}. Ciąg {(Un,V n): n ?} konstruujemy indukcyjnie. Jeśli para (Un,V n) jest już skonstruowana, to aby otrzymać parę (Un+1,V n+1), powtarzamy to samo rozumowanie jak przy konstrukcji pary (U1,V 1), przyjmując X = Un i korzystając z warunku (b).

Zauważmy, że rodzina {V n: n ?} składa się ze zbiorów parami rozłącznych. Faktycznie, jeśli n < k, to V k ?Un, a V n ?Un = ?. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. -

Wniosek 1.4.10. Każda nieskończona przestrzeń Hausdorffa zawiera podprzestrzeń nieskończoną dyskretną.

Lemat 1.4.11. Jeśli f : X ?Y jest ciągłą surjekcją, to c(Y ) ?c(X).

Definicja 1.4.12 (zbiór brzegowy). Zbiór A ?X nazywamy brzegowym, jeśli IntA = ?, tzn. gdy A nie zawiera żadnego zbioru otwartego niepustego.

Lemat 1.4.13. Zbiór jest brzegowy wtedy i tylko wtedy, gdy jego dopełnienie jest zbiorem gęstym.

Lemat 1.4.14. Zbiór A ? X jest zarazem brzegowy i domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy BdA = A.

Dowód. Ze wzoru (1.15) mamy BdA = cl A ?IntA. Jeśli więc BdA = A, to IntA = ?, bo IntA ?A ?cl A. Jednocześnie, jeśli A jest zbiorem brzegowym, to X ?A jest zbiorem gęstym, a więc cl(X ?A) = X. Stąd wynika, że BdA = cl A ?cl(X ?A) = A ?X = A, bo cl A = A. -

Lemat 1.4.15. Każdy podzbiór brzegowy przestrzeni liczb rzeczywistych jest przestrzenią zerowymiarową.

Dowód. Załóżmy, że zbiór X ? jest brzegowy i ustalmy x ? X oraz jego otoczenie U ? X. Istnieje zatem taki przedział otwarty (a,b) ? , że x ?(a,b)?X ?U. Ponieważ zbiór X jest brzegowy, to istnieją ? ?(a,x)?X oraz ? ? (x,b) ?X. Wówczas x ? (?,?) ?X = [?,?] ?X ? U, a więc x ma w przestrzeni X otoczenie domknięto-otwarte zawarte w U. A zatem X jest przestrzenią zerowymiarową. -

Definicja 1.5.1 (topologia w iloczynie kartezjańskim). Jeśli (X,TX) oraz (Y,TY ) są przestrzeniami topologicznymi, to topologia w iloczynie kartezjańskim X ×Y dana jest wzorem

Lemat 1.5.2. Jeśli f1: X1 ? Y 1 oraz f2: X2 ? Y 2 są funkcjami ciągłymi, to funkcja f1 ×f2: X1 ×X2 ?Y 1 ×Y 2 dana wzorem

jest ciągła.

Dowód. Dla dowolnych zbiorów U ? Y 1 i V ? Y 2 zachodzi równość

Lemat 1.5.3. Iloczyn kartezjański przestrzeni Hausdorffa jest przestrzenią Hausdorffa.

Definicja 1.5.4 (rzutowanie). Rzutowaniami przestrzeni X ×Y nazywane są funkcje pr X: X ×Y ?X i pr Y : X ×Y ?Y dane wzorami

Lemat 1.5.5. Rzutowania z iloczynu kartezjańskiego są ciągłe.

Dowód. Dla każdego V ? T X i dla każdego W ? T T zachodzą równości

Wystarczy więc zauważyć, że zbiory te należą do podbazy w X ×Y . -

Lemat 1.5.6. Rzutowania z iloczynu kartezjańskiego są otwarte.

Dowód. Ponieważ obraz sumy zbiorów jest równy sumie obrazów składników tej sumy, wystarczy wykazać, że obraz poprzez rzutowanie każdego elementu bazy w produkcie X ×Y jest zbiorem otwartym. Z definicji rzutowania wynika jednak, że dla dowolnych zbiorów otwartych U ? X oraz V ?Y mamy pr X[U ×V ] = U oraz pr Y [U ×V ] = V . To kończy dowód. -

Lemat 1.5.7. Jeśli funkcja f : X ? Y jest ciągła, a Y jest przestrzenią Hausdorffa, to zbiór W(f) jest domknięty w X ×Y .

Dowód. Ustalmy dowolne (x,y) ? X × Y ? W(f). Wówczas y?f(x), a zatem istnieją takie zbiory otwarte rozłączne U,V ?Y , że y ?U i f(x) ?V . Zbiór f-1[V ] ×U jest otoczeniem punktu (x,y) rozłącznym z W(f). -

Lemat 1.5.8. Jeśli f : X ? Y jest funkcją ciągłą, a Y jest przestrzenią Hausdorffa, to funkcja h: X ?X ×Y dana wzorem

dla każdego x ?X jest zanurzeniem, a zbiór h[X] jest domknięty w X×Y. W szczególności przestrzeń W(f) jest homeomorficzna z X.

Dowód. Funkcja h jest różnowartościowa, bo jeśli x1?x2, to

Aby wykazać ciągłość funkcji h, ustalmy zbiory otwarte U ?X oraz V ?Y . Z definicji funkcji h wynika, że zachodzi równość

Lemat 1.5.9. Zbiór ?X jest domknięty w X ×X wtedy i tylko wtedy, gdy X jest przestrzenią Hausdorffa.

Dowód. Załóżmy, że zbiór ?X jest domknięty. Jeśli x,y ? X i x?y, to (x,y)??X, a więc istnieje takie otoczenie U ×V punktu (x,y), dla którego (U ×V ) ??X = ?. Wtedy U i V są otoczeniami rozłącznymi punktów x i y.

Implikacja odwrotna wynika z tego, że ?X jest wykresem funkcji identycznościowej, czyli funkcji ciągłej, oraz z lematu 1.5.8. -

Lemat 1.5.10. Jeśli A ?X oraz B ?Y , to

W szczególności iloczyn kartezjański zbiorów domkniętych jest domknięty.

Dowód. Z definicji topologii wynika, że jeśli Ux oraz Uy są otoczeniami punktów x i y, to zbiór Ux × Uy jest otoczeniem punktu (x,y) ? X × Y . Ponadto mamy równość

Stąd wynika, że otoczenie Ux ×Uy punktu (x,y) przecina zbiór A ×B wtedy, gdy otoczenie Ux przecina A, a otoczenie Uy przecina B. To kończy dowód. -

Lemat 1.5.11. Iloczyn kartezjański przestrzeni zerowymiarowych jest przestrzenią zerowymiarową.

Przykład 1.5.12. Niech X będzie przestrzenią z przykładu 1.2.36, a więc X = ( × ) ? {x0}, przy czym x0? × . Punkty zbioru × są izolowane, a otoczenia bazowe punktu {x0} są postaci

przy czym f ?. Przestrzeń Y wygląda podobnie: Y = ( ×) ?{y0}, przy czym y0? × . Tak jak w przestrzeni X, punkty zbioru × są izolowane, a otoczeniami bazowymi punktu y0 są zbiory

przy czym n ? . Przestrzeń Y ma bazę przeliczalną w każdym punkcie, a zatem zgodnie z lematem 1.2.35 jest przestrzenią Frécheta-Urysohna. Jak pokazaliśmy w przykładzie 1.2.36 także X jest przestrzenią Frécheta-Urysohna. Aby pokazać, że X ×Y nie jest przestrzenią Frécheta-Urysohna rozważmy zbiór A = {(p,p): p ? × } ? X × Y . Wszystkie otoczenia punktu x0 i wszystkie otoczenia punktu y0 przecinają zbiór ×, a więc (x0,y0) ? cl A. Przypuśćmy, że ciąg (pn,pn)n=1? ? A jest zbieżny do punktu (x0,y0) ? X × Y . Z definicji topologii w iloczynie kartezjańskim wynika, że ciąg (pn)n=1? ? × jest w sensie topologii przestrzeni X zbieżny do x0, a w sensie topologii przestrzeni Y do y0. Oznaczmy pn = (kn,ln), przy czym kn,ln ? dla każdego n ? . Wówczas na mocy warunku (?) z przykładu 1.2.36 istnieje takie n0 ? , że zbiór N = {n ?: kn = n0} jest nieskończony. Ale wtedy punkty pn dla n ?N nie należą do zbioru V n0+1. To daje sprzeczność, bo każde otoczenie punktu y0 musi zawierać prawie wszystkie punkty ciągu (pn)n=1?, a zatem X ×Y nie jest przestrzenią Frécheta-Urysohna. ?

Twierdzenie 1.5.13. Jeśli X jest przestrzenią liniowo uporządkowaną, to

Dowód. Z warunku (1.23) wynika, że c(X × X) ? d(X × X), a z warunku (1.25), że d(X ×X) = d(X). Dostajemy więc c(X ×X) ?d(X).

Przypuśćmy, że c(X × X) < d(X). Z definicji topologii w zbiorze liniowo uporządkowanym (p. przykład 1.1.4) wynika, że rodzina P złożona ze wszystkich punktów izolowanych oraz przedziałów niejednopunktowych postaci (a,b), przy czym a,b ? X, stanowi ?-bazę w przestrzeni X. Rodzina {U ×V : U,V ? P } jest zatem ?-bazą w X ×X. Topologia porządkowa na zbiorze liniowo uporządkowanym ma własność Hausdorffa (p. lemat 1.2.12), a więc na mocy lematu 1.5.9 zbiór H = (X×X)??X jest otwarty w X×X. Na mocy twierdzenia 1.4.9 istnieje taka rodzina R ? {U ×V : U,V ? P } zbiorów parami rozłącznych, że ? R ?H ?cl ? R. Rozważmy zbiór

Ponieważ |R | ? c(X ×X) < d(X), to |D| < d(X). Każdy zbiór gęsty zawiera wszystkie punkty izolowane. Z nierówności c(X ×X) < d(X) wynika więc, że zbiór punktów izolowanych w X nie jest gęsty. Stąd wynika, że istnieje przedział niejednopunktowy (x,y) ?X, dla którego D ?(x,y) = ?. Wówczas zbiór otwarty (x,y) ×(x,y) nie może być zawarty w ?X, a więc istnieje taki zbiór (a,b) ×(c,d) ? R , że ((a,b) ×(c,d)) ?((x,y) ×(x,y))??. Stąd wynika, że (x,y) przecina (a,b) oraz (c,d). Ponieważ jednak {a,b,c,d}?(x,y) = ?, to (x,y) ?(a,b)?(c,d). To prowadzi do sprzeczności, bo ((x,y)×(x,y))??X??, a ? R ??X = ?. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. -

Przykład 1.5.14 (długa linia). Rozważmy zbiór ?1 z topologią porządkową, a następnie w iloczynie kartezjańskim [0,1]×?1 weźmy relację równoważności ?, przyjmując, że (x,?) ?(y,?), gdy zachodzi jeden z trzech przypadków: (1) (x,?) = (y,?) lub (2) (x,?)?(y,?), a ponadto ? = ? + 1 oraz x = 1 i y = 0, lub (3) ? = ? jest liczbą porządkową graniczną. Przestrzeń ilorazową L = ([0,1]×?1)/ ? nazywamy długą linią[33] . Klasy abstrakcji względem relacji ? punktów wewnętrznych zbiorów I? = [0,1]×{?} są jednopunktowe. Te klasy abstrakcji, które nie są jednoelementowe, mają postać I?×{?}, jeśli ? jest liczbą porządkową graniczną, lub są postaci {(1,?),(0,? + 1)}. Stąd wynika, że funkcja ilorazowa skleja odcinki I? o indeksie ? będącym liczbą porządkową graniczną i skleja koniec odcinka I? z początkiem odcinka I?+1. To sprawia, że długa linia jest spójna. Można też na przestrzeń L spojrzeć inaczej - powstaje ona przez wstawienie pomiędzy liczby porządkowe ? oraz ? + 1 przedziału otwartego (0,1).

Długą linię można też otrzymać jako przestrzeń liniowo uporządkowaną; p. przykład 1.1.4. Wystarczy w iloczynie kartezjańskim ?1 ×[0,1) rozważyć porządek leksykograficzny, czyli porządek dany wzorem: (x,?) < (y,?) wtedy i tylko wtedy, gdy x < y lub x = y oraz ? < ?; p. przykład 1.1.19. ?

Lemat 1.5.15. Działania algebraiczne w zbiorze są ciągłe.

Dowód. Przedstawimy dowód dla mnożenia. Aby wykazać ciągłość funkcji f : × ? danej wzorem f(x,y) = xy, wykorzystamy kryterium Heinego. Załóżmy, że lim n??(xn,yn) = (x,y). Na mocy lematu 1.5.5 rzutowania z iloczynu kartezjańskiego są ciągłe, a więc lim n??|yn -y| = 0 oraz lim n??|xn -x| = 0. A zatem lim n??f(xn,yn) = xy, bo zachodzi nierówność

Dowód ciągłości funkcji g(x) = jest podobny. Wystarczy wykorzystać równość | -|= . Dowód ciągłości dodawania jest oczywisty. -

Lemat 1.5.16. Jeśli f,g ?C(X), to f + g ?C(X) oraz f ?g ?C(X).

Dowód. Niech f,g: X ? będą funkcjami ciągłymi. Wykażemy, że funkcja f+g jest ciągła. Dla operacji mnożenia funkcji dowód jest analogiczny. Ponieważ złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą (p. lemat 1.3.13), to na mocy lematu 1.5.15 wystarczy wykazać, że funkcja h: X ? × dana wzorem h(x) = (f(x),g(x)) jest ciągła. Ustalmy otoczenie U1 ×U2 punktu (f(x),g(x)). Z ciągłości funkcji f i g wynika, że istnieją takie otoczenia V 1 oraz V 2 punktu x, że f[V 1] ?U1 i g[V 2] ?U2. Wówczas h[V 1?V 2] ?U1×U2, co kończy dowód. -

Twierdzenie 1.5.17. Suma, różnica, iloczyn oraz iloraz funkcji ciągłych o wartościach rzeczywistych jest funkcją ciągłą.

Definicja 1.5.18 (suma rozłączna). Jeśli ((Xs,Ts): s ? S) jest indeksowaną rodziną przestrzeni topologicznych, to sumą rozłączną lub sumą topologiczną tej rodziny nazywamy zbiór

z topologią T złożoną ze zbiorów spełniających następujący warunek

przy czym pr Xs: Xs ×{s}?Xs jest rzutowaniem, tzn. pr Xs(x,s) = x.

Definicja 1.6.1 (grupa topologiczna). Niech (G,?) będzie grupą z elementem neutralnym e i niech T ? P (G) będzie topologią w zbiorze G. Mówimy, że G jest grupą topologiczną, jeśli odwzorowania f : X ×X ?X oraz g: X ?X zadane dla dowolnych x,y ?X wzorami

są ciągłe, przy czym w X ×X jest ustalona topologia iloczynu kartezjańskiego, a x-1 jest elementem odwrotnym do x.

Twierdzenie 1.6.2. Przestrzeń z działaniem dodawania jak i przestrzeń ?{0} z działaniem mnożenia są grupami topologicznymi.

Przykład 1.6.3. Ustalmy zbiór niepusty S i rozważmy zbiór V = S wszystkich funkcji określonych na S i przyjmujących wartości w zbiorze liczb rzeczywistych. Działania w zbiorze V są określone w następujący sposób: jeśli x,y ?V i ? ?, to

dla każdego s ? S. Jeśli dodatkowo X jest przestrzenią topologiczną, to na mocy twierdzenia 1.5.17 zbiór C(X,) wszystkich funkcji ciągłych na X o wartościach w  jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej X. Jeśli S = , to w możemy rozważać podzbiór

złożony z wszystkich ciągów sumowalnych z kwadratem. Zauważmy, że zbiór ?2 jest domknięty za względu na działanie dodawania wektorów i mnożenia przez skalar. Faktycznie, dla dowolnych (xn)n=1?,(yn)n=1? ? ?2 dostajemy

bo dla dowolnych a,b ? mamy nierówność (a + b)2 ? 2(a2 + b2). Dla każdego ? ? oraz (xn)n=1? ??2 mamy też (?xn)n=1? ??2, a więc ?2  jest podprzestrzenią liniową przestrzeni . ?

Definicja 1.6.4 (przestrzeń liniowo topologiczna). Załóżmy, że V jest przestrzenią liniową nad ciałem ?. Jeśli w zbiorze V określona jest topologia, przy której działania +: V ×V ?V oraz ?: ?×V ?V są funkcjami ciągłymi, to V nazywamy przestrzenią liniowo topologiczną.

Przykład 1.6.5. Dla każdego zbioru X w przestrzeni liniowej V = X (p. przykład 1.6.3) rozważmy zbiory postaci

gdzie x ? V oraz s1,...,sn ? X i ? > 0. Zbiór V z topologią generowaną przez rodzinę B = {V x(s1,...,sn;?): x ? V oraz s1,...,sn ? X i ? > 0} jest przestrzenią liniowo topologiczną. Ponieważ, co łatwo sprawdzić, B jest bazą tej topologii, to aby wykazać, że operacja dodawania wektorów jest ciągła ze względu na tę topologię, wystarczy wykazać, że jeśli x,y ? V , to dla dowolnego ? > 0 oraz s1,...,sn ?X zachodzi inkluzja

Faktycznie, jeśli x? ? V x(s1,...,sn;2 -1?) oraz y? ? V y(s1,...,sn;2 -1?), to dla każdego i ?n dostajemy

a więc x?+ y??V x+y(s1,...,sn;?). Aby sprawdzić ciągłość mnożenia przez skalar, ustalmy otoczenie punktu x ?V , ? ? i otoczenie V ?x(s1,...,sn;?) punktu ?x. Wybierzmy ? > 0 tak małe, że ?(? + |?|+ max{|x(si)|: i ?n}) < ?. Wówczas dla każdego ? ? (? -?,? + ?) i x? ? V x(s1,...,sn;?) oraz i ? n dostajemy

co dowodzi ciągłości operacji mnożenia przez skalar. Jeśli X jest przestrzenią topologiczną, to zbiór Cp(X) wszystkich elementów przestrzeni liniowo topologicznej X, które są funkcjami ciągłymi, jest jej podprzestrzenią liniową. Własności topologiczne przestrzeni Cp(X) omówione są w rozdziale 4 o zupełności. ?

Lemat 1.6.6. Jeśli V jest przestrzenią liniowo topologiczną, to (V,+) jest grupą topologiczną.

Przykład 1.6.7 (grupa okręgu). Ciało liczb zespolonych oznaczymy symbolem , a grupę okręgu definiujemy jako

przy czym topologia w przestrzeni zadana jest przez metrykę daną wzorem d(z,w) = |z - w|. Ponieważ dla dowolnych z,w ? mamy |z ?w| = |z|?|w|, więc działanie mnożenia liczb zespolonych nie wyprowadza poza ?. To samo dotyczy elementu odwrotnego - w grupie ? mamy więc działanie multiplikatywne. Jest ono ciągłe, bo podobnie jak w dowodzie lematu 1.5.15 dla dowolnych z,w ?? oraz ciągów (zn)n=1?,(zn)n=1? ?? mamy nierówność

a więc, jeśli lim n??(zn,wn) = (z,w), to lim n??zn?wn = z?w. Ciągłość operacji elementu odwrotnego wynika z równości

Zauważmy, że grupa topologiczna ? jest przestrzenią spójną, bo jest obrazem przestrzeni spójnej przez funkcję ciągłą ?: ?? daną wzorem

p. twierdzenie 1.3.11. Z interpretacji ciała liczb zespolonych jako punktów płaszczyzny Gaussa wynika, że okrąg można też zdefiniować jako podzbiór przestrzeni euklidesowej 2 dany wzorem

Okrąg jako przestrzeń topologiczną można też określić jako przestrzeń ilorazową [0,2?]/ ?, przy czym relacja równoważności ? dana jest wzorem

A zatem S1 = [0,2?]/F, gdzie F = {0,2?}. Zgodnie ze wzorem (1.29) funkcja h: S1 ?? zadana worem h(F) = 1 oraz h(t) = ?(t) dla t ?S1 ?{F} jest dobrze określona. Jest ona homeomorfizmem, bo jeśli (tn)n=1? ?S1 ?{F} jest zbieżny do F, to jest sumą dwóch podciągów, z których jeden zmierza do 0, a drugi do 2?. Oczywiście jeden z tych ciągów może być pusty. W każdym przypadku ciąg (h(tn))n=1? zmierza do jedynki. ?

Definicja 1.6.8 (przestrzeń jednorodna). Przestrzeń topologiczna X jest jednorodna, gdy dla dowolnych punktów x,y ? X istnieje taki homeomorfizm f : X ?X, że f(x) = y.

Przykład 1.6.9. Przedział [0,?) nie jest przestrzenią jednorodną, bo nie istnieje homeomorfizm przeprowadzający punkt x = 0 na punkt y = 1 czy dowolny inny punkt różny od 0. Gdyby f : [0,?) ? [0,?) było takim homeomorfizmem, to f ? (0,?) byłoby homeomorfizmem zbioru spójnego (0,?) na zbiór niespójny (0,1) ?(1,?), co nie jest możliwe. ?

Twierdzenie 1.6.10. Jeśli (G,?) jest grupą topologiczną, to:

(1) dla każdego x ? G funkcja lx: G ? G dana wzorem lx(t) = x ?t i funkcja rx: G ?G dana wzorem rx(t) = t?x są homeomorfizmami;

(2) dla każdego x ? G i każdego zbioru otwartego U ? G zbiory xU oraz Ux są otwarte;

(3) jeśli B(e) jest bazą otoczeń elementu neutralnego, to każda z rodzin {Ux: U ? B (e)} oraz {xU : U ? B (e)} jest bazą w punkcie x;

(4) jeśli zbiór U ? G jest otwarty, to zbiór U-1 = {x-1: x ? U} także jest otwarty;

(5) dla każdego zbioru otwartego U ? G i dowolnego zbioru A ? G zbiór UA jest otwarty;

(6) jeśli U ? G jest otoczeniem elementu neutralnego, to istnieje takie otoczenie elementu neutralnego W ?G, że W ?W2 ?U;

(7) jeśli U ? G jest otoczeniem elementu neutralnego, to istnieje takie otoczenie V elementu neutralnego, że V ?U oraz V -1 = V .

Dowód. Aby wykazać pierwszą część warunku (1), zauważmy, że

gdzie funkcja f : G × G ? G jest dana wzorem f(z,y) = z ? y (p. warunek (1.28)), a funkcja ix: G ?{x}×G jest zanurzeniem danym wzorem ix(t) = (x,t). Ponieważ zarówno f, jak też ix są funkcjami ciągłymi, to lx jest funkcją ciągłą dla każdego x ? G. W szczególności także lx-1 jest funkcją ciągłą, a ponieważ lx ?lx-1 = lx-1 ?lx = idG, to lx-1 = lx-1, a więc lx-1 jest funkcją ciągłą, czyli lx jest homeomorfizmem. Analogicznie dowodzi się, że rx jest homeomorfizmem.

Aby wykazać warunek (2), wystarczy zauważyć, że xU = lx[U] i analogicznie Ux = rx[U], a następnie skorzystać z punktu (1). Warunek (3) jest bezpośrednią konsekwencją tego warunku. Warunek (4) wynika z tego, że U-1 = g[U], gdzie funkcja g jest dana wzorem (1.28). Ponadto g jest homeo-morfizmem, bo g jest funkcją ciągłą oraz g = g-1. Faktycznie, dla dowolnych x,y ?G mamy x = y-1 wtedy i tylko wtedy, gdy y = x-1.

Warunek (5) wynika z warunku (2), bo UA = ? {Ux: x ?A}. Dla dowodu warunku (6) ustalmy otoczenie U elementu neutralnego e. Na mocy ciągłości funkcji f (p. wzór (1.28)) istnieją takie otoczenia W1 i W2 elementu neutralnego e, że f[W1 × W2] ? U. Wówczas dla W = W1 ? W2 mamy W2 = f[W ×W] ?f[W1 ×W2] ?U. Ponieważ e ?W, to W ?W2.

Dla dowodu wzoru (7) przyjmijmy V = U ?U-1. Ponieważ e ? U oraz e-1 = e, to e ?V ?U. Na mocy wzoru (1.28) funkcja g jest bijekcją, a więc

bo (x-1)-1 = x dla każdego x ?G. -

Twierdzenie 1.6.11. Każda grupa topologiczna jest jednorodna.

Dowód. Niech (G,?) będzie grupą topologiczną. Z twierdzenia 1.6.10(1) wynika, że dla dowolnych elementów x,y ?G funkcja h: G ?G dana wzorem h(t) = y ?x-1 ?t jest homeomorfizmem oraz h(x) = y. -

Twierdzenie 1.6.12. Iloczyn kartezjański grup topologicznych jest grupą topologiczną.

Dowód. Niech (G1,?) oraz (G2,+) będą grupami topologicznymi z elementami neutralnymi odpowiednio e1 oraz e2. Wówczas w iloczynie kartezjańskim G1 ×G2 możemy określić działanie ? następującym wzorem

Elementem neutralnym w grupie (G1 × G2,?) jest para (e1,e2), a elementem odwrotnym do elementu (a,x) jest element (a-1,-x). Ciągłość działania ? wynika wprost z lematu 1.5.2. -

Przykład 1.6.13 (torus). Iloczyn kartezjański ?2 = ? × ? nazywamy torusem. Z powyższego twierdzenia wynika, że torus jest grupą topologiczną. Odgrywa on ważną rolę w różnych zagadnieniach topologii geometrycznej oraz algebraicznej. ?