1

Liniowe modele układów dynamicznych - wprowadzenie

1.1. Systemy i sygnały

1.2. Modelowanie systemów

1.3. Linearyzacja - metody i przykłady

1.1. Systemy i sygnały

Automatyka jest nauką, która dąży do uogólnień i opracowania metod pozwalających na rozwiązanie różnorodnych problemów, nie tylko inżynierskich, niezależnie od ich specyficznej natury. Tworzy język pozwalający na opisanie rzeczywistego świata na odpowiednim poziomie ogólności.

Podstawowym pojęciem tego języka jest system lub układ (od greckiego ??????? - systema - rzecz złożona) rozumiany, zgodnie z definicją Mariana Mazura1, jako zbiór elementów i zachodzących między nimi relacji. Elementami mogą być inne systemy (podsystemy/podukłady), a relacje polegają na wymianie informacji między elementami systemu i między systemem a światem zewnętrznym.

Nośnikiem tej informacji jest sygnał rozumiany jako model dowolnej (mierzalnej lub nie) wielkości zmieniającej się w czasie. Sygnał może być opisany za pomocą aparatu matematycznego, na przykład przez podanie reprezentującej go funkcji zależnej od czasu lub podanie ciągu wartości. Sygnał opisuje często wielkość fizyczną - na przykład napięcie, prąd, prędkość, siłę. Dla automatyka znaczenie ma przede wszystkim informacja zawarta w sygnale, a dopiero w drugiej kolejności jego skutki energetyczne, czyli wykonana praca, moc itp.

Sygnały oddziałujące na system z otoczenia nazywamy wejściowymi, a generowane przez system i oddziałujące na otoczenie (choćby tylko mierzone) wyjściowymi.

Sygnały wejściowe możemy podzielić na takie, które możemy kształtować (być może z pewnymi ograniczeniami) i te nazywamy sygnałami sterującymi (sterowaniami), oraz na takie, na które nie mamy wpływu - zakłócenia.

Szczególnym sygnałem, który też może mieć wpływ na system, jest czas.

System możemy rozumieć jako odwzorowanie sygnałów wejściowych na wyjściowe.

Niekiedy automatyk buduje cały system i projektuje jego sterowanie. Częściej, dla zastanej części systemu, nazywanej obiektem sterowania, automatyk projektuje drugą część nazywaną sterownikiem lub regulatorem, lub układem sterującym. Całość, tzn. obiekt i układ sterujący, nazywamy układem sterowania. Ten proces projektowania sterownika i całego układu sterowania wykorzystuje (w większym lub mniejszym stopniu) model formalny obiektu. Otrzymany w efekcie układ sterowania jest też opisany przez odpowiedni model, którego właściwości można analizować i doskonalić.

W przypadku układu sterowania "sterowaniami" nazywamy najczęściej sygnały sterujące obiektu, generowane przez sterownik, a sygnałami wejściowymi dla całego układu są sygnały "zadające" - reprezentujące cele sterowania, na przykład pożądane wartości wyjść (rys. 1.1). Mierzalne sygnały obiektu, najczęściej wykorzystywane do wyznaczenia sygnałów sterujących w sterowniku, można nazwać sygnałami pomiarowymi.

1.2. Modelowanie systemów

Spośród wielu możliwych klas systemów zajmiemy się modelowaniem deterministycznych systemów dynamicznych, czyli takich, w których sygnały zmieniają się w czasie i na skutek wzajemnych powiązań, a ich przebieg jest jednoznacznie określony przez ich warunki początkowe i przebieg sygnałów wejściowych.

Czas, o którym mowa w definicji systemu dynamicznego, może być traktowany jak odpowiednik czasu fizycznego, a sygnały systemu jak wielkości analogowe, określone dla każdej wartości (chwili) czasu. Takie układy dynamiczne są nazywane układami ciągłymi (z czasem ciągłym).

Jeżeli wartości sygnałów w systemie są określone tylko dla skwantowanych, najczęściej równoodległych o okres próbkowania T, chwil czasu, to taki układ jest nazywany układem dyskretnym (z czasem dyskretnym).

Jeżeli czas jest jedyną zmienną niezależną w układzie, to układ nazywamy układem o parametrach skupionych. Jeżeli do opisu systemu jest konieczna dodatkowa zmienna niezależna, na przykład położenie, to układ jest układem dynamicznym o parametrach rozłożonych. Taki charakter mają na przykład zjawiska polowe: pole cieplne, elektryczne itp.

Deterministyczne układy dynamiczne o parametrach skupionych, z czasem ciągłym, można opisać skończonym układem równań różniczkowych zwyczajnych, a z czasem dyskretnym - skończonym układem równań różnicowych. Jeżeli parametry tych równań są stałe w czasie, to system nazywamy stacjonarnym, a jeśli są to równania liniowe, to liniowym systemem dynamicznym. Właśnie właściwościom takich układów zostaną poświęcone kolejne rozdziały.

Zadaniem modelowania systemu nie jest kompletne objaśnienie wszystkich zachodzących w nim zjawisk, ale uzyskanie opisu, który pozwoli skutecznie zaprojektować sterowanie. Bez trudu można podać przykłady właściwych decyzji sterujących podejmowanych na podstawie bardzo uproszczonej wiedzy o sterowanym systemie. Odpowiednio dobrany model powinien zapewnić kompromis między różnymi jego aspektami i właściwościami.

Jeżeli wybierzemy model złożony, to będzie on miał większe możliwości dokładnego odwzorowania zjawisk zachodzących w układzie. Będzie to jednak model skomplikowany, o wielu parametrach, które trudno będzie zidentyfikować. Sterowanie wyprowadzone na podstawie takiego modelu też będzie skomplikowane, trudne do wyprowadzenia i realizacji. Układ sterowania będzie również wrażliwy na błędy w przyjętych wartościach parametrów modelu, które są nieuniknione.

Jeżeli wybierzemy prosty model, to jego opis i identyfikacja jego parametrów będą łatwiejsze. Wygodniej będzie wyprowadzić algorytm sterowania i będzie on prostszy i łatwiejszy w realizacji. Model powinien być na tyle prosty, na ile jest to możliwe, ale musi uwzględniać wszystkie cechy i zjawiska występujące w systemie istotne do osiągnięcia celów sterowania.

Taką właściwość mają często modele liniowe, omówione w kolejnych rozdziałach. Ich dodatkową zaletą jest uniwersalny charakter - za pomocą modelu o tej samej strukturze można opisywać dynamikę układów, w której występują zupełnie różne zjawiska - na przykład układ elektryczny, mechaniczny i zmiana w czasie stężenia substancji chemicznej mogą być modelowane w ten sam sposób.

W kolejnych rozdziałach zostaną opisane równoważne sposoby modelowania liniowych, deterministycznych, stacjonarnych układów dynamicznych o parametrach skupionych wykorzystujące:

opis za pomocą skończonego układu równań różniczkowych albo różnicowych liniowych pierwszego rzędu, opis równaniem różniczkowym albo różnicowym liniowym n-tego rzedu, opis za pomocą transmitancji operatorowej albo transmitancji dyskretnej, opis poprzez odpowiedzi systemu na standardowy sygnał wejściowy.

1.3. Linearyzacja - metody i przykłady

Przybliżanie nieliniowych i złożonych systemów, którymi zajmuje się automatyka, modelami liniowymi wymaga doświadczenia i ostrożności. Istnieją formalne metody, które ułatwiają to zadanie, ale zawsze potrzebna jest krytyczna weryfikacja modelu i ocena, czy opisuje on wszystkie zachowania rzeczywistego systemu, istotne z punktu widzenia celów sterowania. Przedstawione niżej przykłady mają ilustrować różne sposoby tworzenia liniowych modeli układów dynamicznych.

Przykład 1.1. Wykorzystanie liniowych, uproszczonych modeli zjawisk

Zbudowanie modelu silnika prądu stałego z magnesami trwałymi wymaga rozważenia kilku zjawisk opisanych prawami fizyki:

W obwodzie wirnika poruszającego się w polu magnetycznym jest generowana siła elektromotoryczna . Można przyjąć, że wartość tej siły jest proporcjonalna do prędkości obrotowej silnika

(1.1)

choć w rzeczywistym silniku ta charakterystyka może nie być liniowa. Stała zależy od strumienia magnesów i od konstrukcji uzwojenia wirnika.

W tym samym obwodzie zasilonym napięciem można zastosować II prawo Kirchhoffa i napisać równanie

(1.2)

gdzie jest spadkiem napięcia na rezystancji a  na indukcyjności uzwojenia. Przyjmując, że te spadki są proporcjonalne odpowiednio do prądu i jego pochodnej, otrzymujemy równanie

(1.3)

które opisuje dynamikę chwilowej wartości prądu i. W rzeczywistym silniku rezystancja może się zmieniać na przykład z powodu nagrzewania się uzwojeń, a spadek napięcia związany z ich indukcyjnością może w nieliniowy sposób zależeć od prądu.

Na skutek współdziałania prądu i strumienia magnetycznego jest generowany moment elektromagnetyczny . Można przyjąć, że jego wartość jest proporcjonalna do wartości prądu

(1.4)

choć w rzeczywistym silniku ta zależność może nie być liniowa. Stała zależy od strumienia magnesów i od konstrukcji uzwojenia wirnika.

Ruch mechaniczny wirnika wynika z II zasady mechaniki Newtona dla ruchu obrotowego

(1.5)

gdzie jest momentem bezwładności układu, momentem oporowym tarcia, momentem obciążenia. Moment tarcia zależy zwykle od prędkości i można uprościć model, przyjmując, że jest do niej proporcjonalny

(1.6)

choć w rzeczywistości ta zależność jest znacznie bardziej skomplikowana - może być nieliniowa, a nawet może nie być zależnością statyczną. Stała jest nazywana współczynnikiem tarcia (lepkiego).

Jeżeli interesuje nas położenie wirnika , a nie tylko prędkość, to należy dodać równanie

(1.7)

i właściwie jest to jedyne równanie, w którym nie wprowadziliśmy uproszczeń.

Podsumowując, do opisu modelu silnika prądu stałego potrzebujemy trzech zmiennych dynamicznych: Znajomość ich warunków początkowych, napięcia zewnętrznego i momentu obciążenia , oraz oczywiście wszystkich stałych parametrów modelu pozwala na wyznaczenie trajektorii zmiennych poprzez rozwiązanie układu równań różniczkowych

(1.8)

Sygnałem wejściowym w wyprowadzonym modelu jest napięcie , wyjściowym - każdy mierzony sygnał z trójki a zakłóceniem nieznany moment obciążenia . Otrzymany model (1.8) jest liniowy (wszystkie równania w nim występujące są liniowe, spełnia zasadę superpozycji). Oprócz uproszczeń przedstawionych w trakcie wyprowadzenia nie uwzględnia on również tego, że w rzeczywistym silniku napięcie, prąd i prędkość muszą być ograniczone. Bardziej wnikliwy wgląd w strukturę fizyczną modelu pozwala zauważyć jego właściwości, istotne do identyfikacji i sterowania, na przykład to, że dla wielkości wyrażanych w jednostkach układu SI współczynniki i  są równe, co wynika z zasady zachowania mocy - iloczyn siły elektromotorycznej i prądu jest równy iloczynowi momentu napędowego i prędkości.

Przykład 1.2. Lokalna linearyzacja nieliniowych zależności

Jak wiadomo, wychylenie wahadła fizycznego o masie i długości , napędzanego zewnętrznym momentem , w polu grawitacyjnym Ziemi jest opisane równaniami

(1.9)

gdzie jest przyspieszeniem ziemskim, a  momentem bezwładności wahadła. Jeżeli rozpatrujemy ruch w zakresie małych wychyleń od położenia zerowego, zgodnego z promieniem Ziemi, to można wykorzystać przybliżenie i zaproponować model liniowy

(1.10)

Rozbieżności między modelem liniowym a nieliniowym będą oczywiście tym większe, im większe są faktyczne wartości .

Analogiczny sposób postępowania można zaproponować dla dowolnego r-wejściowego modelu w postaci układu nieliniowych równań różniczkowych i  nieliniowych równań algebraicznych

(1.11)

w którym: kropka oznacza pochodną względem czasu, jest r-wymiarowym wektorem wejść, - -wymiarowym wektorem wyjść, a x - n-wymiarowym wektorem zmiennych wewnętrznych (które nazwiemy zmiennymi stanu). Jeżeli pewnej wartości odpowiadają i , takie że , to punkt nazywamy punktem równowagi układu (1.11). Dynamikę odchyleń od tego punktu

(1.12)

można lokalnie (dla małych ) przybliżyć modelem liniowym:

(1.13)

gdzie

(1.14)

Przykład 1.3. Dopasowanie modelu do danych pomiarowych

Laboratoryjny układ regulacji temperatury jest pokazany na rysunku 1.2.

Sygnałem wyjściowym jest temperatura wylotowa powietrza, sygnałami wejściowymi: - napięcie grzałki i  - napięcie na zaciskach wentylatora powietrza wlotowego. System jest na tyle skomplikowany, że proponowanie modelu wykorzystującego prawa fizyki nie jest celowe. Zamiast tego można przeprowadzić eksperymenty pozwalające na rejestrację sygnałów wyjściowych przy narzuconych przebiegach sygnałów wejściowych. Na przykład na rysunku 1.3 pokazano zarejestrowany przebieg temperatury wyjściowej przy stałym napięciu grzałki i stałej wartości przepływu powietrza.

Na podstawie kształtu zarejestrowanego przebiegu można zaproponować klasę modeli liniowych, które mogą być zastosowane (np. charakterystyczne przegięcie przebiegu świadczy o konieczności zastosowania modelu co najmniej drugiego rzędu, a brak oscylacji - o tym, że ma to być model o charakterze inercyjnym), a następnie, metodami numerycznymi, dopasować parametry modelu, aby przebieg wyjścia modelu wiernie oddawał przebieg zarejestrowanego sygnału rzeczywistego. Istnieją narzędzia informatyczne, które wspomagają projektanta w tym zadaniu - na rysunku 1.3 przedstawiono okno takiego programu. Suwaki pozwalają na modyfikację parametrów modelu, a przebiegi wyjścia modelu i zarejestrowanej odpowiedzi rzeczywistego układu są nakładane na siebie. Wynik dopasowania pokazano w górnej części ekranu. Algorytm zaproponował równanie

a projektant dobrał

Przy takim sposobie identyfikacji modelu istotne znaczenie ma dobór sygnałów wejściowych zadawanych w procesie identyfikacji i właściwy horyzont czasowy rejestracji przebiegów. Trzeba mieć pewność, że wszystkie właściwości układu, istotne z punktu widzenia celu sterowania, uwidoczniły się w procesie identyfikacji.

Wstęp

Prezentowany podręcznik powstał na podstawie doświadczeń zebranych w czasie prowadzenia wykładów dla studentów kierunku automatyka i robotyka Wydziału Elektrotechniki, Elektroniki, Informatyki Politechniki Łódzkiej.

Automatyka to szczególna dziedzina wiedzy. Nauka, której wyjątkowość polega na uniwersalności zastosowań, interdyscyplinarności i unikalnym połączeniu zawansowanej teorii z praktyką. Studiowanie automatyki daje studentom szczególne możliwości rozwoju i czyni z nich wyjątkowych inżynierów. Nie tylko będą dobrze wykształconymi specjalistami w zakresie wybranych technologii elektronicznych czy informatycznych, ale zdobędą specyficzną umiejętność analizowania różnorodnych problemów, generalizacji i algorytmicznego poszukiwania rozwiązania. Podstawą tej umiejętności jest teoria modelowania i sterowania i jej poświęcona jest ta książka.

Uważam, że szczególną rolę w nauczaniu automatyki i teorii sterowania odgrywają pewne "kamienie milowe", które należy konsekwentnie objaśniać i którym jest podporządkowana także ta książka. Najważniejsze spróbuję wymienić poniżej.

Model a rzeczywistość

Problem sterowania rodzi się w świecie realnym. Złożonej rzeczywistości ani nie jesteśmy w stanie opisać w każdym szczególe, ani taki opis nie byłby użyteczny do rozwiązania problemu. Posługujemy się więc uproszczonym modelem, który pozwala znaleźć rozwiązanie techniczne aplikowalne z dobrym skutkiem w rzeczywistym świecie, za pomocą rzeczywistych urządzeń. Ta świadomość, że sterowanie modelem w wirtualnym świecie nie jest tym samym co rzeczywisty układ sterowania istniejącym fizycznie obiektem, powinna towarzyszyć automatykowi na każdym etapie projektowania układu sterowania. Jednocześnie nie może zabraknąć mu odwagi do wykorzystania nawet daleko idących uproszczeń do skutecznego rozwiązania problemu. Choć specjalne obszary teorii sterowania odpornego poświęcone konsekwencjom niedokładności modelu nie mieszczą się w zakresie tej książki, to kwestia odporności układu sterowania i świadomość, że bazujemy na uproszczonej informacji, powinny być zawsze w centrum uwagi wykładowcy i studenta.

Teoria i praktyka projektowania układów regulacji

Automatyka jest nauką uniwersalną, a teoria sterowania jej interdyscyplinarnym językiem - pozwala oderwać się od fizycznej natury problemu i opracować metody sterowania równie skuteczne w układach elektrycznych, mechanicznych, inżynierii chemicznej, ekonomii, biologii czy w jakichkolwiek innych zastosowaniach. Teoria liniowych układów dynamicznych, którym jest poświęcona ta książka, ma szczególną moc generowania skutecznych rozwiązań problemów pojawiających się w różnych, pozornie niezwiązanych ze sobą zastosowaniach. Z tego punktu widzenia jest jedną z najbardziej praktycznych teorii w naukach technicznych. Choć abstrakcyjny świat liniowych układów dynamicznych jest złożony i fascynujący sam w sobie, to jednak - zwłaszcza na uczelniach technicznych - wykład teorii sterowania powinien być drogą do skutecznego projektowania układów sterowania ze świadomością ich praktycznej realizacji. Takie podejście przedstawiono w tej książce. Studenci nabywają umiejętności projektowania układów sterowania za pomocą metod częstotliwościowych i metod zmiennych stanu, w różnych konfiguracjach obiektów i regulatorów ciągłych i dyskretnych. Oczywiście umiejętności te należy doskonalić w laboratoriach i przy realizacji projektów.

Dynamika układów ciągłych i dyskretnych

Światy układów analogowych (z czasem ciągłym) i cyfrowych (z czasem dyskretnym) są powiązane w tym sensie, że metody opisu i projektowania są symetryczne, a czasem jednakowe w obu klasach układów. Dlatego wykład dynamiki i sterowania w układach ciągłych i dyskretnych przeplata się w tej książce, aby przez wskazanie i podkreślenie tych symetrii i podobieństw ułatwić zrozumienie i zapamiętanie. Dla szczególnego podkreślenia tej symetrii zastosowano taki sam układ treści w rozdziałach opisujących układy ciągłe i dyskretne, a czasem nawet te same zwroty i sformułowania.

"Klasyczna" i "nowoczesna" teoria sterowania

Długo funkcjonował w teorii sterowania podział na metody "klasyczne" - korzystające z opisu częstotliwościowego i "nowoczesne" - operujące językiem zmiennych stanu. Dziś ta dychotomia wydaje się sztuczna i w książce te dwa sposoby opisu dynamiki i projektowania układów sterowania przeplatają się, by porównać ich wady i zalety i pokazać możliwość ich wymiennego stosowania. Metody zmiennych stanu pozwalają na naturalne uogólnienia do układów wielowymiarowych i nieliniowych. Te same techniki można stosować do układów ciągłych i dyskretnych. Dla tych zalet metody zmiennych stanu powinny być eksponowane w kursie automatyki i szeroko stosowane w projektowaniu układów regulacji.

Struktura układu regulacji

Struktura układu sterowania, a raczej struktura przetwarzania informacji w układzie, zawsze jest istotnym czynnikiem i wymaga uwagi. W tej książce wielokrotnie dokonujemy porównania właściwości układów otwartych i ze sprzężeniem zwrotnym, rekomendujemy też struktury mieszane: ze sprzężeniem zwrotnym i forsującym składnikiem sterowania.

Układ książki

Zakres wiedzy przedstawiony w książce jest klasyczny i długo pozostanie aktualny. Jest to swoisty kanon wykształcenia automatyka, powszechnie akceptowany na świecie. Nie znaczy to jednak, że nie są tu wspomniane nowe tematy, torujące sobie skutecznie drogę we współczesnej praktyce projektowania układów sterowania. Czytelnik spotka tu wzmianki o układach ułamkowego rzędu, równaniach diofantycznych, liniowych nierównościach macierzowych, o sterowaniu odpornym i optymalnym. Ta książka to zaledwie podstawa i punkt startowy do podróży przez różnorodne krainy teorii sterowania układami dynamicznymi.

Pierwsza część książki (rozdz. 1-5) dotyczy modelowania układów automatyki i obiektów sterowania za pomocą liniowych modeli dynamicznych z czasem ciągłym albo dyskretnym, z wykorzystaniem zmiennych stanu, transmitancji, równań różniczkowych lub różnicowych. Inaczej niż w tradycyjnym ujęciu punktem wyjścia są tu równania stanu. Sporo uwagi poświecono analizie modalnej jako źródłu podstawowej, syntetycznej informacji o właściwościach układu. Wywód dotyczy modeli ciągłych i dyskretnych. Podsumowaniem tej części jest analiza modeli drugiego rzędu zarówno z diagonalizowalną, jak i niediagonalizowalną macierzą stanu.

W części drugiej (rozdz. 6-12) są przedstawione metody projektowania układów sterowania wykorzystujące liniowy model obiektu. Kolejno opisano wymagania stawiane układom sterowania (rozdz. 6), projektowanie metodami częstotliwościowymi dla układów ciągłych (rozdz. 7) i dyskretnych (rozdz. 8). Sporo uwagi poświęcono obiektom nieminimalnofazowym, które stwarzają szczególne trudności w układach sterowania, nowym i nietypowym metodom doboru regulatorów i układom sterowania ze składnikiem forsującym.

W rozdziałach 9 i 10 powrócono do analizy właściwości liniowych modeli w przestrzeni stanów w kontekście sterowalności i obserwowalności układu. Choć to właściwości modelu, to są tak silnie związane z projektowaniem sterowania, że umieszczono je w tej części. Techniki projektowania układu sterowania wykorzystujące dostępność zmiennych stanu przedstawiono w rozdziale 11. Omówiono kilka metod wyznaczania współczynników wzmocnienia zapewniających odpowiednie właściwości układu sterowania w zadaniu stabilizacji i regulacji.

W rozdziale 12 opisano wykorzystanie obserwatorów do skutecznego projektowania układu sterowania, gdy tylko wyjścia są dostępne. Omówiono nie tylko metody projektowania i wykorzystania obserwatora, ale także właściwości częstotliwościowe zaprojektowanych w ten sposób układów sterowania i powrócono do układów ze składnikiem forsującym. Wszystkie te techniki zastosowano równolegle do układów ciągłych i dyskretnych, w tym ostatnim przypadku ze szczególnym uwzględnieniem sterowań zapewniających zanikanie przebiegów przejściowych w skończonej liczbie okresów próbkowania.

W książce umieszczono wiele przykładów ilustrujących właściwości układów i pomagających udoskonalić umiejętności studentów. Współczesny podręcznik teorii sterowania nie może się nie odwoływać do oprogramowania ułatwiającego projektowanie, zawsze jednak trzeba kontrolować efekt użycia gotowych procedur, i to też pokazano w przedstawionych przykładach. Podstawowym narzędziem wykorzystywanym w książce jest Matlab. Liczne podręczniki pozwalają na opanowanie tego środowiska i studenci rozpoczynający naukę przedmiotów związanych z teorią sterowania zwykle już się nim posługują. W książce odwołano się do kilku procedur, jednak umiejętność programowania w Matlabie nie jest konieczna do zrozumienia przedstawionego tu wywodu.

Mam nadzieję, że jest to przyjazny i kompletny wykład przedstawianego zakresu wiedzy, dlatego bibliografię ograniczono do pozycji książkowych, a w koniecznych przypadkach podano źródło w przypisie na dole strony. By nie przerywać głównego wątku narracji, wyróżniono tylko niektóre twierdzenia i definicje, a dowody, wyprowadzenia, dodatkowe przykłady umieszczono oddzielnie, w ramkach. Dla wygody czytelnika w czterech dodatkach zebrano podstawowe i potrzebne informacje z analizy matematycznej, algebry, rachunku operatorowego, elementarnych (ciągłych i dyskretnych) układów automatyki. Czasem są to dość zawansowane narzędzia, jak na przykład elementy teorii dystrybucji, które zostały przybliżone w prosty, choć może nieco heurystyczny sposób.

Książka jest przeznaczona dla studentów automatyki, robotyki, mechatroniki i wszystkich kierunków pokrewnych. Przedstawiony w niej materiał jest realizowany w ciągu dwóch semestrów. Jest adresowana do studentów pierwszego stopnia nauczania, ale mogą z niej również skorzystać bardziej zawansowani.

Jako długoletni nauczyciel akademicki mogę zapewnić, że studiowanie automatyki rozwija inteligencję, uczy interdyscyplinarnego porozumienia, pobudza ciekawość świata i kreatywność, wpaja konieczność ciągłego poszukiwania wiedzy. Do tego zachęcam i tego życzę czytelnikom.

Serdecznie dziękuję wszystkim, którzy przyczynili się do powstania tej książki, przede wszystkim Kolegom z Instytutu Automatyki PŁ i Studentom kolejnych roczników.

Jacek Kabziński

Łódź, sierpień 2020 r.

2

Modele układów dynamicznych z czasem ciągłym - równania stanu

2.1. Definicja zmiennych stanu

2.2. Liniowy układ dynamiczny

2.3. Rozwiązanie równania stanu

2.4. Rozwinięcie macierzy tranzycyjnej w szereg potęgowy

2.5. Postać macierzy tranzycyjnej w przypadku pojedynczych wartości własnych macierzy stanu

2.6. Modalna postać trajektorii stanu w przypadku pojedynczych wartości własnych macierzy stanu

2.7. Macierz tranzycyjna i trajektoria wektora stanu w przypadku niediagonalizowalnej macierzy stanu

2.8. Trajektoria stanu wyznaczana od chwili t0 > 0

2.9. Równanie wyjścia

2.10. Liniowe przekształcenie zmiennych stanu

2.11. Opis złożonych układów liniowych

2.12. Stabilne, liniowe układy dynamiczne

Rozważmy liniowy układ dynamiczny o  sygnałach wejściowych (wymuszeniach) zebranych w wektorze (kolumnowym) , sygnałach wyjściowych . W przetwarzaniu informacji w układzie biorą udział także sygnały, które nie są ani wejściowe, ani wyjściowe - nazwijmy je (tymczasowo) sygnałami wewnętrznymi.

2.1. Definicja zmiennych stanu

Niech w n-wymiarowym wektorze będą zebrane takie sygnały (wyjściowe lub wewnętrzne), że znajomość ich warunków początkowych (czyli wartości w wybranej chwili ) oraz wejść dla pozwala określić (wyznaczyć, obliczyć) przebieg dowolnego sygnału w układzie dla . Sygnały te są nazywane zmiennymi stanu, a wektor wektorem (zmiennych) stanu lub krótko stanem układu. Jeżeli wektor zmiennych stanu zawiera minimalną liczbę składowych (spośród wszystkich wektorów spełniających warunki tej definicji), to mówimy, że daje on minimalną realizację modelu układu dynamicznego.

2.2. Liniowy układ dynamiczny

Równania stanu

Układ dynamiczny, o sygnałach oznaczonych jak wyżej, jest nazywany liniowym, stacjonarnym układem dynamicznym, jeśli można go opisać, stosując:

układ równań różniczkowych liniowych pierwszego rzędu

(2.1)

liniowe równanie algebraiczne

(2.2)

w których współczynniki zebrane w macierzach są stałe.

Macierz o wymiarze jest nazywana macierzą stanu, - o wymiarze jest nazywana macierzą wejścia, - o wymiarze jest nazywana macierzą wyjścia, a  - o wymiarze jest nazywana macierzą sprzężeń między wejściem a wyjściem układu (macierzą przeniesienia). Jeżeli , to układ (o jednym wejściu i jednym wyjściu) jest nazywany jednowymiarowym, a jeśli i/lub , to wielowymiarowym.

Równanie (2.1) jest nazywane równaniem stanu, równanie (2.2) równaniem wyjścia. Układ o  zmiennych stanu nazywamy układem -tego rzędu.

Warunki początkowe

Do rozwiązania równania stanu, a tym samym do wyznaczenia przebiegu wszystkich sygnałów w układzie dla , konieczna jest znajomość warunków początkowych wektora stanu

(2.3)

Parametry układu stacjonarnego są niezmienne w czasie, więc i równania (2.1), (2.2) nie zależą od ustalenia chwili początkowej na osi czasu, stąd bez utraty ogólności można zakładać warunek początkowy w chwili zerowej.

Równania stanu (2.1 i 2.2) opisują układ przyczynowy, w którym aktualne wartości wektora stanu nie zależą od przyszłych wartości wektora stanu i sterowania. Tak więc na przykład układ realizujący idealne różniczkowanie nie ma opisu w formie (2.1). Klasa liniowych układów stacjonarnych opisanych równaniami (2.1-2.2) nie obejmuje też układów z opóźnieniami, częstych w praktycznych zastosowaniach.

Schemat blokowy

Równania (2.1) i (2.2) można przedstawić w postaci schematu blokowego jak na rysunku 2.1.

2.3. Rozwiązanie równania stanu

Transformata Laplace'a rozwiązania

Równanie (2.1) można rozwiązać, stosując transformatę Laplace'a. Zgodnie z twierdzeniem o transformacie pochodnej, z równania (2.1) otrzymujemy

(2.4)

skąd można wyznaczyć transformatę Laplace'a wektora stanu

(2.5)

Rozwiązanie równania stanu, czyli przebieg wektora stanu wywołany sygnałem wejściowym przy warunkach początkowych (2.3) zawiera dwie części: składową swobodną o transformacie , która jest transformatą rozwiązania tzw. jednorodnego równania stanu

(2.6)

czyli równania przy zerowym wymuszeniu, oraz składową wymuszoną o transformacie - składowa ta staje się jedyną w przypadku zerowych warunków początkowych.

Rezolwenta

Na obie składowe wektora stanu ma wpływ macierz

(2.7)

nazywana rezolwentą macierzy ( oznacza macierz dołączoną, czyli transponowaną macierz dopełnień algebraicznych macierzy ). Ze wzoru (2.7) wynika, że elementami rezolwenty macierzy stanu są funkcje wymierne zmiennej , w mianowniku których znajduje się wielomian charakterystyczny macierzy stanu

(2.8)

Jest to wielomian stopnia co najwyżej , o rzeczywistych współczynnikach. Pierwiastki wielomianu charakterystycznego, czyli wartości własne macierzy , mogą być liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi, przy czym jeśli liczba zespolona jest takim pierwiastkiem, to jest nim także liczba do niej sprzężona. Pierwiastki mogą być pojedyncze (jednokrotne) lub wielokrotne, a wszystkich pierwiastków wielomianu charakterystycznego, z uwzględnieniem krotności, jest .

Składowa swobodna i wymuszona

Jeżeli założy się, że:

nie występują skrócenia między wielomianem a wielomianami będącymi elementami macierzy ; nie występują skrócenia między wielomianem a wielomianami znajdującymi się w licznikach składowych ; pierwiastki są różne od pierwiastków mianowników składowych ,

to po wykonaniu na wzorze (2.5) odwrotnej transformaty Laplace'a można wyznaczyć składową swobodną

(2.9)

oraz wymuszoną

(2.10)

rozwiązania równania (2.1). We wzorze (2.10) składowa wymuszona odpowiedzi została podzielona na składową przejściową

(2.11)

i ustaloną (co nie znaczy, że stałą w funkcji czasu)

(2.12)

Macierz tranzycyjna

Oryginał rezolwenty jest nazywany macierzą tranzycyjną albo fundamentalną równania stanu

(2.13)

Wykorzystując to oznaczenie oraz twierdzenie o transformacie Laplace'a splotu, rozwiązanie równania stanu można zapisać w postaci

(2.14)

We wzorze (2.14) wyróżniamy składową swobodną wektora stanu która jest rozwiązaniem równania jednorodnego (2.6), oraz składową wymuszoną , która jest splotem macierzy tranzycyjnej i sygnału określonego przez wymuszenie.

2.4. Rozwinięcie macierzy tranzycyjnej w szereg potęgowy

Uogólnienie szeregu wykładniczego

Macierz tranzycyjną zdefiniowaną równaniem (2.13) można przedstawić w postaci sumy szeregu potęgowego

(2.15)

Wyprowadzenie zależności (2.15) podano w ramce 2.1. Szereg ten ma taką samą strukturę jak szereg wykładniczy definiujący skalarną funkcję eksponencjalną: i często macierz fundamentalna jest nazywana eksponentą macierzy .

RAMKA 2.1.

Podstawowe właściwości macierzy tranzycyjnej

Takie przedstawienie macierzy fundamentalnej pozwala na łatwe - przy odpowiednich, oczywistych założeniach formalnych - wyprowadzenie jej podstawowych właściwości, które zestawiono poniżej:

(2.16)

(z prostego podstawienia do (2.15));

(2.17)

(bo podobnie jak );

(2.18)

(wynika z (2.16) i (2.17));

(2.19)

(bo mnożenie przez lub dowolnego składnika szeregu (2.15) jest przemienne);

(2.20)

(z różniczkowania szeregu (2.15) wyraz po wyrazie), czyli macierz fundamentalna jest rozwiązaniem macierzowego równania różniczkowego (2.20) z warunkiem początkowym (2.16);

(2.21)

(z całkowania szeregu (2.15) wyraz po wyrazie), a jeśli , to

(2.22)

(z przekształcenia (2.21)).

2.5. Postać macierzy tranzycyjnej w przypadku pojedynczych wartości własnych macierzy stanu

Ze wzoru (2.13), który posłużył do zdefiniowania macierzy tranzycyjnej układu i ze sposobu wyznaczania odwrotnej transformaty Laplace'a (np. z metody residuów), wynika, że właśnie wartości własne macierzy stanu będą miały decydujący wpływ na zależność elementów macierzy tranzycyjnej od czasu i tym samym na przebiegi zmiennych stanu.

Gdyby elementy macierzy stanu zostały wybrane w sposób losowy, to z prawdopodobieństwem 1 jej wartości własne byłyby pojedyncze. Zdecydowaną większość liniowych układów dynamicznych można więc uważać za układy o różnych (pojedynczych) wartościach własnych i takie układy będą opisane w tym rozdziale. Układy o wielokrotnych wartościach własnych (zwykle specjalnie projektowane) zostaną opisane w dalszej części.

Diagonalizacja macierzy stanu

Wiadomo, że w przypadku jednokrotnych wartości własnych istnieje n liniowo niezależnych wektorów własnych . Jeżeli wartość własna jest rzeczywista, to rzeczywisty jest odpowiadający jej wektor własny, a jeśli zespolona, to i wektor własny jest zespolony, przy czym sprzężonym wartościom własnym odpowiadają sprzężone wektory własne. Równania definiujące wektory i wartości własne

(2.23)

można zapisać łącznie w postaci

(2.24)

Po wprowadzeniu oznaczeń

(2.25)

mamy

(2.26)

Macierz stanu jest więc podobna do macierzy diagonalnej z wartościami własnymi na głównej przekątnej lub inaczej - macierz stanu ma postać kanoniczną diagonalną albo - macierz stanu jest diagonalizowalna.

Postać diagonalna macierzy stanu a macierz tranzycyjna

Zauważmy, że w rozważanym przypadku

(2.27)

a stąd

(2.28)

Z kolei jest macierzą diagonalną, więc

(2.29)

co po wykorzystaniu szeregu definiującego skalarną funkcję eksponencjalną sprowadza (2.28) do

(2.30)

Zależność (2.30) odkrywa strukturę macierzy fundamentalnej, a jednocześnie jest dobrym sposobem jej wyznaczenia z numerycznego punktu widzenia.

Kolejne właściwości macierzy tranzycyjnej

Z zależności (2.30) i z faktu, że wynikają kolejne właściwości macierzy tranzycyjnej. Mianowicie, wartościami własnymi są liczby , a wektorami własnymi - wektory własne macierzy . Wyznacznikiem jest

(2.31)

więc macierz tranzycyjna jest zawsze nieosobliwa.

Modalna postać macierzy tranzycyjnej

Zależność (2.30) można zapisać w innej formie. Jeżeli przez oznaczymy macierz kwadratową składającą się z samych zer z wyjątkiem jedynki w i-tym wierszu i i-tej kolumnie

(2.32)

to można zapisać

(2.33)

Z kolei, po oznaczeniu i-tego wiersza macierzy przez mamy

(2.34)

i ostatecznie

(2.35)

Macierz fundamentalna jest więc kombinacją liniową stałych macierzy pierwszego rzędu o zmiennych w czasie współczynnikach .

2.6. Modalna postać trajektorii stanu w przypadku pojedynczych wartości własnych macierzy stanu

Mody układu

Wykorzystanie zapisu macierzy tranzycyjnej w postaci (2.35) pozwala wyprowadzić tzw. modalną postać trajektorii stanu. Po podstawieniu (2.35) do (2.14) otrzymujemy

(2.36)

Każdy ze składników ostatniej sumy w (2.36) jest nazywany modem. W każdym z modów można wyróżnić składową swobodną modu i wymuszoną .

Mody składowej swobodnej

Przyjrzyjmy się dokładniej zachowaniu składowej swobodnej, czyli ruchowi wektora stanu przy zerowym wymuszeniu, opisanemu przez równanie (2.6).

Mod o rzeczywistej wartości własnej

O właściwościach dynamicznych (zmianie w czasie) składowej swobodnej i-tego modu decyduje jedna wartość własna macierzy stanu . Iloczyn jest skalarem (liczbą), więc i-ty mod opisuje ruch wektora stanu w kierunku wektora własnego . Jeżeli wartość własna jest rzeczywista, to związany z nią wektor własny też jest rzeczywisty. Wyznacza on prostą w przestrzeni stanu, a i-ty mod jest rzutem wektora stanu na tę prostą.

Jeśli , to składowa swobodna i-tego modu (lub, jeśli wolimy, i-ty mod składowej swobodnej wektora stanu) porusza się po prostej wyznaczonej przez wektor własny w kierunku początku układu współrzędnych w aperiodyczny sposób, określony przez funkcję . Im większy jest moduł (im bardziej na lewo od punktu 0 leży wartość własna ), tym szybszy jest ten ruch. Jako że w tym przypadku mod zanika do zera, mówimy, że jest stabilny albo że wartość własna związana z tym modem jest stabilna. Jeśli , to składowa swobodna i-tego modu porusza się po prostej wyznaczonej przez wektor własny , oddalając się od początku układu współrzędnych w aperiodyczny sposób, określony przez funkcję . Im większa jest wartość , tym szybszy jest ten ruch. Jako że w tym przypadku mod dąży do nieskończoności, mówimy, że jest niestabilny, albo że wartość własna związana z tym modem jest niestabilna. Jeśli , to składowa swobodna i-tego modu nie zmienia się i pozostaje w punkcie .

Jeżeli warunek początkowy wybierzemy na kierunku (rzeczywistego!) wektora własnego , tj. , to dla dowolnego innego modu mamy

(2.37)

(z uwagi na to, że zgodnie z (2.25) ), czyli przy takich warunkach początkowych w trajektorii stanu wystąpi tylko jeden, i-ty mod i trajektoria będzie prostoliniowa. Jeżeli wszystkie wartości własne są rzeczywiste i ujemne, to trajektoria wektora stanu, rozpoczynająca się z dowolnych warunków początkowych, jest złożeniem wszystkich modów (ruchów w kierunkach wyznaczonych przez wektory własne) i w końcowym odcinku będzie styczna do prostej "najwolniejszego" z modów. Przedstawiona analiza znajduje potwierdzenie w przykładowych trajektoriach pokazanych na rysunku 2.2.

Przykład 2.1. Trajektorie układów o rzeczywistych wartościach własnych macierzy stanu

Na czerwono zaznaczono wektory własne i odpowiadające im trajektorie prostoliniowe.

Mody o zespolonych wartościach własnych

Jeśli wartość własna macierzy stanu jest zespolona: , to istnieje także wartość własna do niej sprzężona: . Wtedy także wektory własne i  są wzajemnie sprzężone: , i tak jest z wektorami i : . Sprzężone będą też macierze oraz . Analizując sumę i-tego i k-tego modu, otrzymujemy

 

 

 

(2.38)

Suma tych dwóch modów jest więc rzeczywista, daje drgania o pulsacji , które

będą wykładniczo tłumione, jeśli ; jako że w tym przypadku mod zanika do zera, mówimy, że jest stabilny albo że wartość własna związana z tym modem jest stabilna; będą wykładniczo narastać, jeśli ; jako że w tym przypadku mod dąży do nieskończoności, mówimy, że jest niestabilny albo że wartość własna związana z tym modem jest niestabilna; - będą miały stałą amplitudę, jeśli .

Trajektorie układu, który ma wyłącznie zespolone wartości własne (rząd takiego układu musi być parzysty), będą miały kształt rozwijających się lub zwijających spiral, lub zamkniętych krzywych na powierzchni elipsoid.

Przykładowe trajektorie pokazano na rysunku 2.3.

Przykład 2.2. Trajektorie układów o zespolonych wartościach własnych macierzy stanu

Jako że wektory własne są zespolone, wśród trajektorii nie występują trajektorie prostoliniowe.

2.7. Macierz tranzycyjna i trajektoria wektora stanu w przypadku niediagonalizowalnej macierzy stanu

Postać kanoniczna Jordana

Jeżeli macierz stanu jest niediagonalizowalna, to można przekształcić ją przez podobieństwo do postaci Jordana opisanej w dodatku D0:

(2.39)

Niech będzie macierzą przekształcenia macierzy stanu do postaci kanonicznej Jordana składającej się z k klatek Jordana o (niekoniecznie różnych) wartościach własnych i wymiarach . Liczba powtórzeń tej samej wartości własnej na diagonali macierzy jest nazywana jej krotnością algebraiczną (jest jednocześnie krotnością wartości własnej jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego), a liczba klatek z tą samą wartością własną - jej krotnością geometryczną. Każda "paczka" składa się z  kolumn. Oznaczmy macierz odwrotną do przez .

Każda "paczka" składa się z  wierszy. Zapiszmy przekształcenie macierzy stanu do postaci Jordana i przeanalizujmy pierwszą "paczkę" kolumn macierzy przekształcenia

(2.40)

Z równości (2.40) wynika, że

(2.41)

Pierwsze równanie w (2.41) oznacza, że wektor jest wektorem własnym związanym z wartością własną i można go wyznaczyć w znany sposób. Kolejne wektory są nazywane wektorami głównymi i trzeba je wyznaczać kolejno, z kolejnych równań (2.41). Analogiczną strukturę będą miały kolejne "paczki" kolumn macierzy przekształcenia , związane z kolejnymi klatkami Jordana.

Macierz tranzycyjna przypadku niediagonalizowalnej macierzy stanu

W przypadku niediagonalizowalnej macierzy stanu macierz tranzycyjna ma postać

(2.42)

gdzie blokami na diagonali są

(2.43)

Mody uogólnione odpowiedzi swobodnej

Składową swobodną trajektorii stanu można w tym przypadku przedstawić w postaci sumy tzw. uogólnionych modów

(2.44)

Uogólniony mod układu zawiera się w przestrzeni liniowej rozpiętej na kolumnach . Jeżeli (warunek początkowy jest liniową kombinacją kolumn ), to , czyli pobudzony będzie tylko p-ty mod uogólniony.

Wewnętrzną strukturę uogólnionego modu ilustruje wzór

(2.45)

gdzie , , ...,

Wzór (2.45) można też zapisać w postaci:

(2.46)

gdzie oznacza l pierwszych kolumn macierzy , a  - l ostatnich wierszy macierzy . Zależność uogólnionego modu od czasu opisują funkcje postaci - wielomianowe funkcje czasu pomnożone przez funkcję eksponencjalną. Jeżeli , to funkcja taka zbiega do zera niezależnie od wykładnika , a jeśli - dąży do nieskończoności. Jeśli , to przebieg ten jest aperiodyczny, a w odwrotnym przypadku oscylacyjny. Jeśli , to jest równe 1 dla i dąży do nieskończoności dla . Przykładowe trajektorie układu o niediagonalizowalnej macierzy stanu pokazano na rysunku 2.4.

Przykład 2.3. Trajektorie układu o wielokrotnych, rzeczywistych wartościach własnych macierzy stanu

Na czerwono zaznaczono wektor własny i wektor główny. Trajektoria prostoliniowa odpowiada wektorowi własnemu.

2.8. Trajektoria stanu wyznaczana od chwili

Rozwiązanie równania stanu z warunkiem początkowym w chwili

Jeżeli warunek początkowy został określony w chwili , to równanie (2.14) określające trajektorię stanu trzeba zmodyfikować. Z równania (2.14) wynika związek między a 

(2.47)

Stąd, po uwzględnieniu właściwości (2.18)

(2.48)

co po podstawieniu do (2.14) i wykorzystaniu (2.17) daje

(2.49)

Analogicznie trzeba zmodyfikować inne, wyprowadzone wcześniej wzory.

2.9. Równanie wyjścia

Mody na wyjściu układu

Wyjście układu jest opisane algebraiczną, liniową zależnością od zmiennych stanu i sterowania (2.2). Macierz reprezentuje proporcjonalną zależność między wejściem a wyjściem układu i często jest macierzą zerową. Modalną reprezentację wyjścia układu otrzymujemy natychmiast po podstawieniu do (2.2) wyprowadzonych zależności dla zmiennych stanu

(2.50)

Tak jak odpowiedź stanu została podzielona (patrz 2.9-2.12) na składową swobodną i wymuszoną , a ta ostatnia na składową przejściową (2.11) i ustaloną (2.12), tak i przy założeniu można odpowiedź wyjścia układu podzielić na odpowiednie składowe: swobodną wymuszoną , wymuszoną przejściową i wymuszoną ustaloną .

2.10. Liniowe przekształcenie zmiennych stanu

Równania stanu po wykonaniu liniowego przekształcenia wektora stanu

Jeśli jest wektorem zmiennych stanu układu, to ten sam układ można opisać, wybierając inne zmienne stanu powiązane z  liniowym przekształceniem

(2.51)

w którym kwadratowa macierz jest nieosobliwa. Nowe równania stanu i wyjścia wyprowadza się po podstawieniu (2.51) do (2.1) i (2.2):

(2.52)

oraz

(2.53)

Przy nowych zmiennych stanu macierzą stanu jest więc , macierzą wejścia , wyjścia , a macierz proporcjonalnych sprzężeń między wejściem a wyjściem się nie zmienia: .

Podobieństwo macierzy stanu

Związek "nowej" i "starej" macierzy stanu jest przekształceniem przez podobieństwo (patrz dod. D0.3), więc wartości własne macierzy są także wartościami własnymi macierzy . Wektory własne macierzy spełniają równania

(2.54)

więc jeśli jest wektorem własnym macierzy , to

(2.55)

jest wektorem własnym macierzy związanym z tą samą wartością własną , a dla macierzy (utworzonej z wektorów własnych macierzy ) i  (utworzonej z wektorów własnych macierzy ) zachodzi związek

(2.56)

Stąd, dla macierzy odwrotnych i  zachodzi

(2.57)

a dla ich poszczególnych wierszy

(2.58)

Różne wybory zmiennych stanu pozwalają uzyskać opis układu uwypuklający jego (różne) właściwości i ułatwiający jego analizę, choć same zmienne stanu mogą nie mieć klarownej interpretacji. Na przykład przy pojedynczych wartościach własnych, jak wynika z (2.24-2.26), liniowe przekształcenie, w którym macierzą przekształcenia jest sprowadza układ do postaci, w której macierz stanu jest diagonalna i wartości własne są widoczne na przekątnej, a wektory własne tworzą macierz jednostkową. W przypadku niediagonalizowalnej macierzy stanu macierz przekształcenia (patrz (2.40)) sprowadza macierz stanu do postaci kanonicznej Jordana.

Jeśli wiadomo, że zastosowano liniowe przekształcenie zmiennych stanu między układami o macierzach i , to macierz przekształcenia można łatwo wyznaczyć w przypadku pojedynczych wartości własnych z zależności (2.56). Obliczone wektory własne muszą oczywiście odpowiadać wartościom własnym ustawionym w tej samej kolejności dla i .

2.11. Opis złożonych układów liniowych

Jeżeli mamy dwa różne układy liniowe:

(2.59)

oraz

(2.60)

to łatwo można podać opis układu uzyskany przez ich połączenie.

Układy połączone równolegle

Jeśli układy (2.59) i (2.60) są połączone równolegle i ich wyjściem jest (oczywiście wymiary muszą być równe), wejściem , a wektorem stanu , to otrzymujemy równania:

(2.61)

Układy połączone szeregowo

Jeśli układy (2.59) i (2.60) są połączone szeregowo, tak że (oczywiście wymiary muszą być równe) i ich wyjściem jest wejściem a wektorem stanu , to otrzymujemy równania:

(2.62)

Układy ze sprzężeniem zwrotnym

Jeżeli układ (2.59), w którym dodatkowo założymy , znajduje się w torze głównym, a układ (2.60) - w torze ujemnego sprzężenia zwrotnego, tak że , wyjściem układu zamkniętego jest wejściem i , a wektorem stanu , to otrzymujemy równania:

(2.63)

(2.64)

(2.65)

czyli

(2.66)

oraz

(2.67)

Wzory opisujące niektóre układy drugiego rzędu zebrano w ramce 2.2.

RAMKA 2.2. Równania stanu - niektóre układy pierwszego rzędu i ich połączenia

2.12. Stabilne, liniowe układy dynamiczne

Punkty równowagi

Punkt jest punktem równowagi autonomicznego układu liniowego opisanego równaniem (2.6), czyli takim punktem, w którym Jeśli wektor stanu znajdzie się w tym punkcie, to już w nim pozostanie. Innymi punktami równowagi mogą być te punkty w przestrzeni stanów, w których jest spełnione równanie

(2.68)

Jest to możliwe tylko wtedy, gdy 0 jest wartością własną macierzy stanu, a  odpowiadającym jej wektorem własnym. Zbiór punktów równowagi jest wówczas podprzestrzenią liniową rozpiętą na wszystkich liniowo niezależnych wektorach spełniających równanie (2.68) - na przykład, jeżeli 0 jest pojedynczą wartością własną , to zbiór punktów równowagi jest prostą wyznaczoną przez dowolny, niezerowy wektor spełniający równanie (2.68), jeżeli jest macierza zerową, to cała przestrzeń stanu jest zbiorem punktów równowagi. Jeżeli jednak macierz stanu nie ma zerowych wartości własnych, to punkt równowagi jest tylko jeden i jest nim .

Stabilność układu liniowego

Stabilność układu liniowego jest cechą, która opisuje jego zachowanie przy odchyleniu od punktu równowagi W przypadku układów nieliniowych punktów równowagi może być więcej niż jeden i mówi się o stabilności punktu równowagi (lub ogólniej - rozwiązania równania różniczkowego opisującego ruch wektora stanu). W przypadku układu liniowego stabilność rozwiązania nazywa się stabilnością układu.

Układ liniowy nazywany jest stabilnym, jeśli dla dowolnego warunku początkowego trajektoria swobodna rozpoczynająca się w  dąży do 0 dla .

Stabilność układu z diagonalizowalną macierzą stanu

W przypadku diagonalizowalnej macierzy stanu postać modalna takiej trajektorii jest opisana wynikającą z (2.36) zależnością

(2.69)

Koniecznym i dostatecznym warunkiem zanikania wszystkich funkcji wykładniczych w (2.69), czyli stabilności układu, jest to, aby wszystkie wartości własne macierzy stanu spełniały warunek

(2.70)

czyli leżały w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny Gaussa. Wartości własne są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego macierzy stanu . Istnieją liczne kryteria zwane algebraicznymi kryteriami stabilności, które pozwalają wyrokować o liczbie pierwiastków wielomianu w lewej i prawej półpłaszczyźnie na podstawie badania współczynników tego wielomianu. Prostym warunkiem koniecznym do tego, aby wszystkie pierwiastki znajdowały się w lewej półpłaszczyźnie, jest dodatniość każdego ze współczynników .

Stabilność układu z niediagonalizowalną macierzą stanu

W przypadku niediagonalizowalnej macierzy stanu, zgodnie z (2.44), (2.43), koniecznym i dostatecznym warunkiem zanikania wszystkich uogólnionych modów jest dążenie do zera funkcji postaci ( jest mniejsze od krotności wartości własnej w klatce Jordana), a do tego warunek (2.70) jest także koniecznym i wystarczającym - przy warunku (2.70) dąży do zera ostatecznie szybciej niż rośnie.

Wnioski z położenia wartości własnych

Lewa półpłaszczyzna płaszczyzny liczb zespolonych jest nazywana obszarem stabilności liniowego układu dynamicznego z czasem ciągłym.

Jak widać, stabilność układu jest cechą zdeterminowaną wyłącznie przez macierz stanu, często mówi się więc o stabilnej macierzy , jeśli ma ona wszystkie wartości własne w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny liczb zespolonych.

Znajomość wartości własnych macierzy stanu pozwala nie tylko rozstrzygnąć, czy układ jest stabilny (jest, jeżeli wszystkie wartości własne leżą w lewej półpłaszczyźnie), ale także ocenić, jak szybko wektor stanu dąży do zerowego punktu równowagi. W przypadku diagonalizowalnej macierzy stanu, zgodnie z (2.69) i (2.38), najwolniej zanika ten mod (funkcja ), w którym jest najmniejszy, czyli leży najbliżej osi liczb urojonych - granicy obszaru stabilności. Wartość jest nazywana stałą czasową modu. Punkt równowagi jest osiągany dla , ale na przykład po pięciu stałych czasowych funkcja osiąga wartość , czyli poniżej 1% wartości początkowej, a po dziesięciu

Analiza modów układu (analiza modalna) pozwala (jak pokazano wcześniej) na uzyskanie wielu innych informacji o trajektoriach układu - na przykład, czy przebiegi są aperiodyczne (jeśli wartości własne są rzeczywiste), czy oscylacyjne (jeśli występują zespolone wartości własne), jakie są częstotliwości tych oscylacji (określone przez części urojone wartości własnych), czy występują trajektorie prostoliniowe (tak, jeśli są rzeczywiste wektory własne).

Jeżeli diagonalizowalna macierz stanu ma wartości własne na osi urojonych (na granicy obszaru stabilności), to odpowiedź swobodna układu dąży do punktu równowagi innego niż (jeśli wartością własną jest zero - jak na rys. 2.2c) lub do trajektorii generującej niegasnące drgania (jeśli wartościami własnymi są liczby urojone - jak na rys. 2.3). Trajektorie stanu pozostają więc ograniczone, należy jednak pamiętać, że dowolnie mała zmiana parametrów takiego układu może spowodować przesunięcie tych wartości własnych do prawej półpłaszczyzny płaszczyzny Gaussa, a więc uczynić układ niestabilnym, o trajektoriach stanu dążących do nieskończoności.

Zachowanie układu stabilnego przy stałych wymuszeniach

Zauważmy też, że dla układu stabilnego z (2.33) wynika, że

(2.71)

co też potwierdza, że składowa swobodna wektora stanu dąży do zera.

Jeśli układ stabilny podlega oddziaływaniu stałego sygnału wejściowego , to trajektorie stanu dążą do punktu równowagi spełniającego warunek

(2.72)

(macierz stanu układu stabilnego jest odwracalna, bo żadna z jej wartości własnych nie jest zerem). Ten sam wynik można wyprowadzić z (2.14): składowa swobodna dąży do zera, a składowa wymuszona

(2.73)

(z zamiany zmiennych i z (2.22)) dąży do .

Składowa wymuszona została wcześniej podzielona na część przejściową (2.11)

(2.74)

i ustaloną (2.12)

(2.75)

Przy stałym sygnale wejściowym i z uwagi na to, że stabilna macierz stanu ma wszystkie wartości własne różne od zera, otrzymujemy

(2.76)

Skoro przy stałym wymuszeniu składowa wymuszona ustalona pokrywa się z punktem równowagi , do którego zgodnie z (2.73) zbiega cała składowa wymuszona , składowa wymuszona przejściowa (2.74) musi zanikać do zera (faktycznie po obliczeniu residuów w (2.74) otrzymuje się funkcje pomnożone przez stały współczynnik, a ). Podobne wnioski otrzymuje się, analizując dowolne wymuszenie , którego transformata nie ma zer ani biegunów równych wartościom własnym macierzy stanu.

Zanikanie składowej przejściowej wymuszonej jest więc równoważne zanikaniu składowej swobodnej i warunek taki może być także użyty do zdefiniowania układu stabilnego.

Analizę i wyprowadzenia (od wzoru 2.69) przeprowadzone dla układu o diagonalizowalnej macierzy stanu można, z nieco większą trudnością, powtórzyć dla przypadku niediagonalizowalnej macierzy stanu, dochodząc do analogicznych wniosków.

Równanie Lapunowa

Rozważmy funkcję zdefiniowaną poprzez

(2.77)

gdzie jest kwadratową macierzą o rzeczywistych współczynnikach. Rozwinięcie takiej funkcji zawiera kwadraty składowych wektora i mieszane iloczyny co najwyżej dwóch składowych wektora , stąd funkcja tej postaci jest nazywana formą kwadratową. Z tożsamości

(2.78)

wynika, że wartość formy kwadratowej zależy wyłącznie od składowej symetrycznej , można więc z góry zakładać, że macierz definiująca formę kwadratową jest symetryczna.

Macierz symetryczna ma rzeczywiste wartości własne. Niech oznacza najmniejszą, a  największą wartość własną macierzy .

Symetryczna macierz jest nazywana dodatnio określoną, jeśli , a nieujemnie określoną, jeśli . Macierz jest ujemnie określona, jeśli macierz jest dodatnio określona. Dodatnią/ujemną określoność/półokreśloność macierzy zapisuje się za pomocą oznaczeń

Forma kwadratowa jest nazywana dodatnio/nieujemnie/ujemnie określoną, jeśli definiująca ją macierz jest dodatnio/nieujemnie/ujemnie określona.

Z oszacowania

(2.79)

wynika, że dodatnio określona forma kwadratowa spełnia warunek

(2.80)

a nieujemnie określoną

(2.81)

Poziomice dodatnio określonej formy kwadratowej, czyli powierzchnie (a dla krzywe) opisane równaniem

(2.82)

są zamknięte i ograniczone i "zacieśniają się wokół 0" dla malejącego : maleje do 0 dla malejącego a.

Układ jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy jego dowolna trajektoria dąży do punktu zerowego, czyli wnika do kolejnych, coraz ciaśniejszych poziomic dodatnio określonej formy kwadratowej , co jest równoważne temu, że wartość tej formy liczona wzdłuż trajektorii systemu maleje, czyli wzdłuż dowolnej trajektorii

(2.83)

Z kolei, pochodną tę można obliczyć z

(2.84)