Dane oryginału
Beautiful math: the surprisingly simple ideas behind the digital revolution in how we live, work, and communicate / Chris Bernhardt
? 2024 Massachusetts Institute of Technology
Wydanie polskie
Z języka angielskiego tłumaczył Jakub Szczepaniak
Projekt okładki i stron tytułowych Anna Kulikowska
Ilustracja na okładce Rawpixel.com/Shutterstock
Wydawca Renata Włostowska
Redaktor prowadzący Adam Kowalski
Redakcja językowa Katarzyna Janasz
Produkcja Mariola Grzywacka
Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwo Naukowe PWN S.A.: Michał Latusek
Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.
Szanujmy cudzą własność i prawo.
Więcej na www.legalnakultura.pl
Polska Izba Książki
Copyright ? for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA
ISBN 978-83-01-24941-0
eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2026 r. (Wydanie I)
Warszawa 2026
Wydawnictwo Naukowe PWN SA
02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2
tel. 22 69 54 321; faks 22 69 54 288infolinia 801 33 33 88e-mail: pwn@pwn.com.pl; www.pwn.pl
Wstęp
Rewolucja cyfrowa oznacza przejście od technologii analogowej do cyfrowej. Rewolucja ta zmieniła i nadal zmienia sposób, w jaki żyjemy, działamy i komunikujemy się.
Na początku XX wieku telefony, radio, telewizja, filmy i komputery były analogowe, pod koniec wieku - już cyfrowe. Komputery zmniejszyły się z maszyn wypełniających całe pomieszczenia dużych firm do niewielkich urządzeń osobistych. Następnie Internet połączył komputery, a sieć umożliwiła łatwy dostęp do ogromnych ilości informacji. Chatboty AI pomagają dziś porządkować i syntetyzować to morze wiedzy w przystępne i użyteczne treści.
Telefony stały się cyfrowe, mobilne i inteligentne, a komunikacja - łatwa, tania i szybka. Możemy teraz nie tylko czatować, ale także prowadzić rozmowy wideo. Praca z domu stała się możliwa.
Rewolucję cyfrową można analizować z różnych perspektyw. Można przyjrzeć się przyczynom - naukowym i technologicznym innowacjom, które doprowadziły do jej powstania - albo skutkom, czyli zmianom, jakie przyniosła społeczeństwu. Ta książka poświęcona jest jednak poważnym teoriom leżącym w samym sercu ery informacyjnej. Większość z nas wie coś o wielkich teoriach fizyki, które na początku XX wieku zmieniły spojrzenie ludzkości na wszechświat: mechanice kwantowej czy ogólnej teorii względności. Znacznie mniej znane są genialne teorie, na których opiera się rewolucja cyfrowa.
Ta książka jest o tych teoriach i eleganckiej matematyce, które dają głęboki wgląd w świat cyfrowy. Większość z nich nie jest powszechnie znana ani doceniana.
Komunikacja i obliczenia stały się oczywistą częścią współczesnego świata. Rzadko zadajemy sobie fundamentalne pytania: Czym są obliczenia? Czym jest informacja? Jaką przewagę ma informacja cyfrowa nad analogową? W jaki sposób konwertujemy sygnały analogowe na cyfrowe? Co to jest algorytm? Co to jest komputer uniwersalny? Jak maszyna może się uczyć? Odpowiedzi na te pytania są fascynujące. A matematyka stanowi klucz, który pomaga pogłębić ich zrozumienie. Ta książka to podróż przez matematyczne idee, które legły u podstaw ery informacyjnej.
Czy możemy opisać teorię bez matematyki? Możemy próbować, ale rezultatem są często naciągane metafory, które niewiele wyjaśniają. Matematyka nie jest po to, by zaciemniać, komplikować i onieśmielać. Wręcz przeciwnie. Matematyka powinna upraszczać i wyjaśniać.
Dobrą wiadomością jest to, że ujrzymy tutaj naprawdę piękną matematykę, i to na poziomie raczej elementarnym. Wiele pomysłów może być nowych, ale liczne przykłady pomogą je zilustrować i uczynić zrozumiałymi. Większość książki powinna być czytelna dla osób z przygotowaniem matematycznym na poziomie szkoły średniej. W kilku miejscach czułem, że czytelnicy, którzy na studiach wzięli udział w kursie matematyki STEM[1], mogą docenić nieco więcej szczegółów. Umieściłem te dodatki na końcu książki. Nie są one jednak niezbędne do zrozumienia podstawowych idei.
Cztery główne tematy tej książki to informacja, komunikacja, obliczenia i uczenie. Zwykle zaczynamy od prostego modelu matematycznego jakiegoś ważnego pojęcia. Potężna teoria wykorzystuje prosty model i wyciąga z niego zaskakujące i użyteczne konsekwencje. Ujawnia głęboką strukturę łączącą koncepcje z pozornie niepowiązanych ze sobą obszarów. Będziemy to obserwować wielokrotnie.
Naszym celem jest przedstawienie omawianych pojęć przy użyciu jak najmniejszej ilości matematyki. Zamiast rozbudowanych teorii ogólnych będziemy często sięgać po najprostszy przykład, który ilustruje podstawową ideę. Nie oznacza to jednak nadmiernego uproszczenia. Celem jest zrozumienie pojęć i dostrzeżenie powiązań, ale nie zagubienie się w szczegółach technicznych.
Często przytaczam historyczne anegdoty, by dać wyobrażenie o ówczesnej technologii, jaki miała wpływ i z jakimi problemami musiano się wówczas mierzyć. Te historyczne opowieści mają na celu lepsze naświetlenie problemu. To nie jest podręcznik historii, ale książka o ideach.
Oto zarys niektórych z tych pomysłów i kolejność, w jakiej będą omawiane.
ROZDZIAŁ 1
Niniejsza książka dotyczy rewolucji cyfrowej, która rozpoczęła się w XX wieku. Jednak wcześniej miały miejsce inne rewolucje cyfrowe, które również znacząco zmieniały oblicze społeczeństwa. Pierwszą z nich było wynalezienie pisma i alfabetów. Choć miało to miejsce jeszcze przed pojawieniem się historii pisanej, doszło do prawdziwej rewolucji. Od tego momentu komunikacja mogła odbywać się cyfrowo - przy użyciu skończonego zestawu symboli - co umożliwiło przekazywanie informacji na duże odległości i utrwalanie ich na bardzo długi czas.
W pierwszym rozdziale krótko omówiono alfabety, a następnie telegraf i jego prekursorów. Telegraf zapoznaje nas z Samuelem Morse'em i jego słynnym kodem, ale także z przekaźnikiem, który odegrał ważną rolę w rozwoju komputerów. Na zakończenie przedstawiono krótki opis rewolucji analogowej, która nastąpiła później: telefon zastępujący telegraf, wynalezienie radia i telewizji, rozpowszechnienie odtwarzaczy płyt i kaset magnetofonowych, filmów. Wszystkie te technologie były analogowe. Z czasem wszystkie stały się cyfrowe. Dlaczego?
ROZDZIAŁ 2
W rozdziale drugim rozpoczynamy analizę teorii informacji. Czym jest informacja? Jak należy ją zdefiniować i zmierzyć?
W języku potocznym słowo "informacja" ma wiele różnych znaczeń. Ilość przekazywanych informacji jest często subiektywna - wiadomość w języku chińskim może być istotna dla jego rdzennego użytkownika, lecz pozbawiona znaczenia dla osoby, która tego języka nie zna. W tym przypadku "informacja" wydaje się być związana zarówno ze znaczeniem, jak i zrozumieniem. Chcemy jednak mówić o ilości informacji w wiadomości bez względu na to, kto lub co ją wysyła lub odbiera, na przykład w komunikacji między dwiema maszynami.
W teorii matematycznej informacja jest oddzielona od znaczenia i zrozumienia. Dzięki temu możemy obiektywnie mierzyć ilość informacji w wiadomości. Na pierwszy rzut oka definicja ta wydaje się dość uproszczona, ale - jak zobaczymy później - doskonale oddaje podstawową ideę i prowadzi do istotnych konsekwencji.
ROZDZIAŁ 3
Rozdział trzeci rozwija idee z poprzedniego rozdziału. Widzimy, że liczba bitów informacji w wiadomości może być mniejsza niż liczba zawartych w niej cyfr binarnych. Daje nam to miarę nadmiarowości (redundancji). Następnie widzimy, jak można usunąć tę nadmiarowość, pozostawiając krótszą wiadomość, która nadal zawiera całą informację. Na tym polega istota kompresji bezstratnej.
Kompresja jest ważna zarówno w komunikacji cyfrowej, jak i w przechowywaniu danych. Chcemy zmniejszyć rozmiar pliku przed jego wysłaniem lub zapisaniem, aby informacja była przekazywana możliwie najszybciej i zajmowała jak najmniej miejsca. Nie chcemy jednak stracić żadnych informacji i potrzebujemy mieć możliwość dekompresji pliku, aby uzyskać dokładną kopię oryginału.
ROZDZIAŁ 4
Podczas przesyłania lub przechowywania danych pojawiają się błędy. Konstruujemy urządzenia tak, aby ograniczyć liczbę błędów do minimum, ale nie da się ich całkowicie wyeliminować. Zawsze istnieją pewne zewnętrzne zakłócenia, które mogą czasami uszkodzić część danych. Zakłócenia te nazywamy szumem.
Kiedy otrzymujemy wiadomość, chcielibyśmy wiedzieć, czy są w niej jakieś błędy. Jeśli są, chcielibyśmy wiedzieć, gdzie się znajdują i jak je poprawić. Właśnie temu służą kody korekcyjne.
Po zapoznaniu się z kilkoma przykładami kodów korekcyjnych przejdziemy do Twierdzenia Claude'a Shannona o kodowaniu kanałów zaszumionych. (tzw. graniczne twierdzenie Shannona). Ten zdumiewający wynik pokazuje, że możliwe jest przesyłanie informacji nawet w obecności zakłóceń. Każdy kanał ma limit prędkości, która zależy od poziomu szumu. Shannon pokazuje, że jeśli nie przekroczymy tej granicy, możemy przesyłać informacje z dowolnie dużą dokładnością.
Przedstawimy proste sformułowanie tego twierdzenia i wyjaśnimy, na czym ono polega, a następnie przedstawimy szkic dowodu.
ROZDZIAŁ 5
Wiemy już, jak dokładnie kompresować i wysyłać wiadomości cyfrowe. Następnym krokiem jest zapewnienie im bezpieczeństwa. W tym rozdziale zajmiemy się szyfrowaniem.
Przyjrzymy się zarówno szyfrowaniu symetrycznemu, jak i asymetrycznemu, wyjaśniając metody stosowane podczas prowadzenia działalności w Internecie. Opiszemy również podpisy cyfrowe i certyfikaty - nie wystarczy bowiem wiedzieć, że kanał komunikacji jest bezpieczny, trzeba też mieć pewność, że osoba po drugiej stronie jest tym, za kogo się podaje.
ROZDZIAŁ 6
Poprzednie cztery rozdziały dotyczyły informacji cyfrowych. Wiemy, jak je kompresować i przesyłać w sposób bezpieczny i precyzyjny. A co z sygnałami analogowymi? Dźwięk jest przenoszony przez fale, światło - przez fale elektromagnetyczne, a fale są analogowe, nie cyfrowe.
Rozdział szósty pokazuje, w jaki sposób możemy konwertować informacje analogowe na cyfrowe. Po zapisaniu ich w formacie cyfrowym możemy wykorzystać teorię cyfrową do dokładnego i bezpiecznego przesyłania danych. Konwersja analogowo-cyfrowa umożliwia wykorzystanie technologii cyfrowej do opisu rzeczywistych danych ze świata analogowego. Omówimy dwie najważniejsze koncepcje teorii sygnałów cyfrowych: twierdzenie o próbkowaniu Nyquista-Shannona i dyskretną transformatę Fouriera.
Dodatek B nawiązuje do tego rozdziału. Opisuje on szybką transformatę Fouriera - algorytm służący do szybkiego obliczania dyskretnej transformaty Fouriera.
ROZDZIAŁ 7
W poprzednich rozdziałach kilkakrotnie wspominaliśmy o algorytmach. W rozdziale siódmym przyjrzymy się dwóm pracom, które wyjaśniają podstawowe kwestie związane z algorytmami i obliczeniami.
Pierwsza z nich, autorstwa Claude'a Shannona A symbolic analysis of relay and switching circuits, pokazuje, że układy z przełącznikami i przekaźnikami można opisywać za pomocą logiki zdań. Stanowi to podstawę projektowania sieci logicznych. Co ciekawe, artykuł Shannona został napisany przed wynalezieniem tranzystora. Obecnie tranzystory zastąpiły przekaźniki w układach logicznych, ale to właśnie Shannon wyjaśnił, jak ważną rolę odgrywają.
Druga praca należy do Alana Turinga: On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem. Turing podaje swoją definicję algorytmu i pokazuje, że istnieje uniwersalny komputer, który może wykonać dowolny algorytm. Pokazuje również, że istnieją łatwe do sformułowania zadania, których żaden komputer nie jest w stanie rozwiązać. Artykuł ten stanowi fundament informatyki teoretycznej.
Dodatek C stanowi rozwinięcie tego rozdziału i omawia problem stopu. Biorąc pod uwagę dowolny program i dane wejściowe, chcielibyśmy wiedzieć, czy program może się zatrzymać. Jeśli zatrzyma się na danych wejściowych, chcielibyśmy wiedzieć to z wyprzedzeniem, aby go nie uruchamiać. Dodatek wyjaśnia, że nie istnieje algorytm, który mógłby rozstrzygnąć, czy dowolny program się zatrzyma. Jest to jedno z kluczowych twierdzeń w informatyce, pokazujące granice możliwości algorytmów.
ROZDZIAŁ 8
W poprzednim rozdziale przyjrzeliśmy się algorytmom, wyjaśniając, co mogą, a czego nie są w stanie robić. Teraz przejdziemy do pytania, jak algorytmy mogą się "uczyć". Rozdział ósmy wprowadza podstawowe pojęcia uczenia maszynowego. Rozważamy model opisany przez zestaw parametrów. Jeśli parametry są dobrane poprawnie, model będzie dobrze pasował do danych. Proces wyboru parametrów obejmuje iteracyjne lokalizowanie minimum funkcji.
Zaczniemy od dwóch prostych przykładów dopasowania linii do danych. Przykłady te ilustrują różnicę między uczeniem nadzorowanym i nienadzorowanym.
ROZDZIAŁ 9
Ostatni rozdział książki poświęcony jest sieciom neuronowym. Zaczynamy od pionierskich prac Warrena McCullocha i Waltera Pittsa, pokazujących, że sieci neuronowe - podobnie jak układy przełączające Shannona - są odpowiednikiem rachunku zdań w logice. Następnie przechodzimy do zagadnienia uczenia maszynowego.
Przeanalizujemy małą sieć neuronową z zaledwie czterema węzłami. Przykład ten pokazuje, jak działa cały proces, ale jest niewystarczający, aby zaprezentować rzeczywistą moc sieci neuronowych do znajdowania wzorców w dużych zbiorach danych. Wskazujemy, w jaki sposób większa sieć neuronowa może rozpoznawać odręcznie pisane cyfry.
1Rewolucje cyfrowe
Określenie rewolucja cyfrowa oznacza przejście od technologii mechanicznej i analogowej do technologii cyfrowej, które zapoczątkowało erę informacji. Jest to zmiana tak głęboka, że czasami nazywamy ją trzecią rewolucją przemysłową (pierwsza rewolucja przemysłowa rozpoczęła się od mechanizacji przemysłu włókienniczego, a druga od ruchomej linii montażowej Henry'ego Forda).
Rewolucja cyfrowa obejmuje zarówno obliczenia, jak i informacje. Istnieją matematyczne modele dla obu tych pojęć. W pierwszej połowie XX wieku opublikowano dwie niezwykłe prace, które są obecnie uważane za przełomowe. Pierwsza, napisana przez Alana Turinga, dała początek teorii obliczeń. Druga, autorstwa Claude'a Shannona, stanowi podstawę teorii informacji. Zarówno Shannon, jak i Turing byli matematykami i swoje prace napisali w języku matematyki. Aby zrozumieć te teorie i zobaczyć, jak jedna myśl prowadzi do następnej, matematyka jest niezbędna. W tej książce prezentujemy najważniejsze idee tak prosto, jak to tylko możliwe, często posługując się przypadkami szczególnymi zamiast znacznie bardziej skomplikowanymi zagadnieniami ogólnymi. Celem nie jest jednak uproszczenie za wszelką cenę, ale rzeczywiste zrozumienie jednych z najgłębszych idei XX wieku.
Książka ta dotyczy teorii matematycznych. Zaczniemy od zdefiniowania podstawowych pojęć, a następnie przy użyciu logicznych argumentów dojdziemy do głębokich i nieoczekiwanych rezultatów. Początkowe definicje formalizują pojęcia, których używamy od tysiącleci. Aby zdefiniować takie określenia, jak obliczenia, informacje i uczenie, punktem wyjścia jest rozważenie tego, co człowiek wykonuje w każdym z tych procesów, a następnie wyodrębnienie podstawowych cech, które można modelować za pomocą matematyki. Początkowe definicje są często niezwykle proste i na pierwszy rzut oka mogą sprawiać wrażenie rażących uproszczeń, ale siła dobrej teorii polega na tym, że z pozornie skromnych założeń prowadzi do zaskakujących wniosków, niemożliwych do osiągnięcia inną drogą.
Niniejszy rozdział przedstawia tło historyczne wcześniejszych rewolucji cyfrowych - związanych z wynalezieniem pisma i telegrafu. Nie miały one charakteru matematycznego, jednak w kolejnych rozdziałach, wraz z wprowadzeniem teorii matematycznej, będziemy często odwoływać się do tych podstawowych idei i problemów, które trzeba było wówczas przezwyciężyć.
1.1. System analogowy versus system cyfrowy
W filmach, kiedy reżyser chce wprowadzić treści cyfrowe, scena często koncentruje się na ekranie, na którym pojawia się lista zer i jedynek, przesuwająca się od lewej do prawej i błyskawicznie zapełniająca całą przestrzeń. Lista ta ciągnie się zwykle jeszcze przez kilka sekund, zanim w końcu dobiegnie końca. Ten obraz dobrze oddaje istotny aspekt komunikacji cyfrowej: dysponujemy listą symboli. Lista może być długa, ale w końcu się kończy. Jest to lista skończona, ale nie nieskończona.
Matematycy używają określenia ciąg w odniesieniu do takiej listy zer i jedynek. Słowo ciąg kojarzy się z czymś długim i cienkim, co wydaje się odpowiednie, ale pod pewnymi względami nie jest idealne. Ważną kwestią dotyczącą ciągu matematycznego jest to, że każdy symbol ma w nim swoje miejsce: pierwszy, drugi, trzeci i tak dalej. Ciąg jest dyskretny. Ciągi fizyczne nie mają tej właściwości. Są ciągłe. Nie ma sensu mówić o trzecim punkcie fizycznego ciągu. Być może łańcuch byłby lepszym wyborem słowa. Moglibyśmy wtedy mówić o pierwszym ogniwie, drugim ogniwie i tak dalej. Ale ciąg jest standardowym słowem i będziemy go używać w całej książce, aby oznaczać skończoną listę symboli.
Inny filmowy motyw pojawia się, gdy bohater trafia do szpitala. Scena często zaczyna się od ujęcia monitora medycznego, na którym widać tętno przedstawione graficznie za pomocą falistej linii, która gwałtownie rośnie przy każdym skurczu serca pacjenta. Monitor emituje również sygnały dźwiękowe, ale to falista linia jest stale śledzona, co stanowi dobry przykład komunikacji analogowej. Linia nie jest dyskretna, jest ciągła; nie ma przerw w przebiegu wykresu. Daje nam to jedno ważne rozróżnienie między komunikacją analogową i cyfrową. Komunikacja analogowa jest procesem ciągłym, podczas gdy cyfrowa jest dyskretna.
Innym przykładem takiego rozróżnienia są zegary analogowe i cyfrowe. Staromodny zegar analogowy ma wskazówki, które stale obracają się wokół tarczy zegara. Pomiędzy trzecią minutą po dziesiątej a czwartą minutą po dziesiątej istnieje moment, w którym wskazówki pokażą ? minut po dziesiątej. Większość zegarów cyfrowych pokazuje czas tylko w dyskretnych sekundowych odstępach. Nie wyświetla ? minut po dziesiątej, a jedynie ostatnią pełną sekundę przed tym momentem i następną sekundę po nim.
Matematyczna teoria informacji dotyczy ciągów symboli. Zwykle myślimy o symbolach 0 i 1, ale nie ma powodu, aby ograniczać się tylko do nich. Zamiast tego możemy użyć A i B. W rzeczywistości nie musimy ograniczać się do dwóch symboli. Możemy konstruować ciągi przy użyciu dowolnej liczby symboli, pod warunkiem że liczba ta jest skończona i większa niż jeden.
W przeszłości zdarzały się rewolucje cyfrowe, w których matematyka nie odgrywała kluczowej roli. Warto przyjrzeć się historycznym przykładom, aby zobaczyć, jak cyfryzacja wpływała na społeczeństwo. Pierwszą rewolucją cyfrową było wynalezienie pisma - przekształcenie języka mówionego w zapisany - prawdopodobnie najwcześniejszy przykład konwersji analogowo-cyfrowej. Zaczniemy od przyjrzenia się temu bardziej szczegółowo. Następnie przejdziemy do telegrafu, który wraz z koleją ponownie zmienił społeczeństwo, łącząc nas jeszcze bardziej.
Komunikacja cyfrowa odgrywała ważną rolę w XIX wieku, ale pod koniec XIX i na początku XX wieku nastąpiła rewolucja analogowa. Główne osiągnięcia technologiczne - radio, telewizja, telefon, kino, fotografia, płyty winylowe, a nawet niektóre wczesne komputery - były analogowe. Warto poznać trochę tej historii, aby zrozumieć konstrukcję teorii matematycznych rozwijanych znacznie później.
1.2. Pismo i alfabety
Wszystkie ludzkie społeczności rozwijają języki. Potrzebujemy się ze sobą komunikować i ludzie ewoluowali, aby móc wymieniać informacje za pomocą mowy. Nie wszystkie społeczeństwa wykształciły pismo. Nie jest to konieczne, jeśli społeczność jest mała i jednorodna, ale gdy się rozrasta, pismo staje się coraz bardziej przydatne. Język pisany rozszerza język mówiony zarówno w czasie, jak i przestrzeni. Możemy przenieść pisemną wiadomość do odbiorcy znajdującego się daleko poza zasięgiem słuchu nadawcy. Można ją odczytać wiele lat później, aby przypomnieć, co dokładnie zostało powiedziane. Język pisany pozwala przechowywać informacje.
Napisałem tę książkę w języku angielskim, używając standardowego alfabetu, ale nie wszystkie języki pisane używają alfabetów. Na przykład chiński mandaryński używa logogramów, gdzie każdy symbol wyraża ideę zawartą w słowie. Natomiast alfabety składają się z symboli, które reprezentują najmniejsze jednostki dźwięku języka mówionego - fonemy. Angielski jest mieszaniną innych języków, czerpie słowa z francuskiego, niemieckiego i skandynawskiego. Ma wiele fonemów - około czterdziestu pięciu. Oprócz użycia pojedynczej litery do oznaczenia pojedynczego fonemu, możemy użyć kombinacji liter, aby uzyskać dźwięki, takie jak ch, sh i th. Oznacza to, że możemy ograniczyć nasz alfabet do bardziej poręcznego rozmiaru. Standardowy angielski składa się z dwudziestu sześciu liter, podobnie jak większość innych alfabetów. Nauka alfabetu polega na poznawaniu nazw liter i kojarzeniu ich z fonemami. Alfabet jest niezwykłą konstrukcją. Fonemy są znacznie bardziej podstawowe niż sylaby, ale nie zawierają informacji o wysokości, tonie lub głośności. Jednak struktura fonetyczna jest pomocna, gdy po raz pierwszy uczymy się czytać. Zaczynamy od rozpoznawania kolejnych liter i wymawiania odpowiadających im fonemów, a następnie składamy je w brzmienie całego słowa.
Nasz alfabet łaciński wywodzi się z alfabetu greckiego, a słowo alfabet pochodzi od jego dwóch pierwszych liter: alpha i beta. Grecy z kolei przejęli swój alfabet od Fenicjan, którzy byli kupcami i musieli komunikować się z ludźmi mówiącymi wieloma językami. Prawdopodobnie stworzyli swój alfabet w oparciu o system używany przez jeszcze wcześniejszych handlarzy; jego dokładne pochodzenie nie jest do końca jasne. Jednak same symbole używane w pierwszych alfabetach wywodziły się z egipskich hieroglifów. Hieroglify początkowo miały charakter piktogramów, ale z czasem stały się bardziej wyrafinowane, gdy Grecy opracowali prawdziwy system pisma, zdolny do wyrażania czegoś więcej niż tylko prostych pojęć. Możemy prześledzić historię naszej litery A aż do piktogramu przedstawiającego głowę krowy. (Jeśli odwrócimy ten symbol, zobaczymy rogi). Historia litery A mówi nam również coś ważnego o alfabetach.
Język fenicki należy do grupy języków semickich i nie opiera się na sylabach, lecz na grupach spółgłosek. Fenicki alfabet nie zawiera samogłosek, składa się wyłącznie ze spółgłosek. Starożytna greka, podobnie jak współczesny angielski, znacznie bardziej polega na samogłoskach. Pominięcie samogłosek sprawiłoby, że słowa stałyby się niejednoznaczne, dlatego Grecy zmienili niektóre z fenickich liter na samogłoski. Nasza litera A była jedną z nich.
Różne języki mogą mieć zupełnie inne elementy podstawowe, ale możemy dostosować znaczenie liter do specyfiki danego języka. Chociaż alfabety mogą się różnić, wszystkie mają te same kluczowe właściwości: istnieje skończona i określona liczba symboli, a zbiory tych symboli mogą w pełni opisywać język. Z perspektywy współczesnej matematyki wiadomości składające się z ciągów symboli ze skończonego alfabetu określane są jako cyfrowe, w przeciwieństwie do analogowych, gdzie wielkości mogą się zmieniać w sposób ciągły. Podczas mówienia możemy zmieniać głośność słów, tempo wypowiedzi oraz intonację; wszystko to zmienia się w sposób ciągły, a nie dyskretny. Niezwykłą właściwością alfabetów jest to, że przekształcając język mówiony w język pisany, wyodrębniają one ważne informacje dyskretne, ignorując jednocześnie niektóre elementy analogowe. Oczywiście sposób wypowiadania słów jest ważny i niesie ze sobą znaczenie, ale w piśmie możemy użyć dodatkowych słów, by przekazać te same informacje. Na przykład zapis "Pomocy! - krzyknął nagląco" opisuje sytuację, gdy ktoś wpada do dołu, ale osoba wołająca o pomoc nie musi dodawać słów wyrażających ponaglenie, bo jest ono przekazywane przez sposób wykrzykiwania słowa.
Kiedy przechodzimy do matematycznego opisu komunikacji, musimy bardziej precyzyjnie zdefiniować używane pojęcia. Przyjrzymy się ciągom symboli, a słowo "alfabet" będzie oznaczało pełną listę wszystkich możliwych symboli dopuszczalnych w tych ciągach. Na przykład, jeśli opisujemy ciąg symboli, które tworzą tekst tej książki, uwzględniamy nie tylko wielkie i małe litery, ale także znaki interpunkcyjne i spację. W języku angielskim używamy spacji do oznaczania końca słów i zdań. Na pierwszy rzut oka nie wydaje się ona symbolem, ponieważ nie wymaga atramentu do jej napisania, ale jednak zajmuje miejsce. Klawisz spacji jest największym klawiszem na standardowej klawiaturze. Dzieje się tak, ponieważ w języku angielskim i wielu innych językach jest to najczęściej używany symbol - w języku angielskim używamy go częściej niż litery E.
Na ogół analizujemy ciągi zer i jedynek. Wtedy nasz alfabet składa się tylko z dwóch symboli: 0 i 1. Może to wydawać się dziwne, bo kojarzymy je z liczbami, a nie z literami, ale takie użycie jest przyjęte i pomaga nam pamiętać, że traktujemy 0 i 1 jako symbole, a nie liczby.
Jak wspomnieliśmy wcześniej, pismo umożliwia komunikację na duże odległości. Kiedy ludzie mają już możliwość przekazywania informacji, kluczowa staje się szybkość transmisji. Przypomnijmy sobie na przykład starożytnych greckich posłańców biegających wiele kilometrów z wiadomościami wojskowymi albo amerykańskiego Pony Express[2]. Zazwyczaj chcemy, aby ważne informacje docierały do odbiorcy jak najszybciej. Wynalezienie telegrafu było ważnym krokiem w tym kierunku.
