Przypisy

[1] Natężenia światła typowych źródeł konwencjonalnych są znacznie mniejsze od podanej wartości. Tytułem przykładu, natężenie promieniowania słonecznego w bezchmurny dzień przy powierzchni ziemi na naszej szerokości geograficznej nie przekracza wartości 0,1 W/cm2 = 1000 W/m2.

[2] Handbook of Optics, ed. M. Bass, 3 ed., Mc Graw Hill, New York (2010), Vol. I-V.

[3] Zjawisko SHG wykorzystywane jest m.in. w szeroko dostępnych zielonych wskaźnikach laserowych, w których wiązka światła podczerwonego wysyłanego przez diodę laserową (? = 1064 nm) przechodzi przez dwa sklejone ze sobą kryształki nieliniowe, w wyniku czego generowana jest druga harmoniczna - wiązka zielona (? = 532 nm).

[4] Nieliniowość kerrowska brana jest pod uwagę m.in. w światłowodach telekomunikacyjnych (zob. rozdział  5 cz. II), w których wiązka światła o względnie niewielkiej mocy prowadzona w rdzeniu o średnicy ok. 10 ?m osiąga duże natężenia.

[5] Małe pole E oznacza niewielką wartość w porównaniu do pola elektrycznego Eat działającego na elektrony zewnętrznych powłok atomu, które jest rzędu Eat ~ 1010-1011 V/m.

[6] Zob. na przykład R. Boyd: Nonlinear Optics, 3 ed. Academic Press NY (2008).

[7] Zwykle wymienia się tutaj wykonane przez Alberta A. Michelsona i Edwarda Morleya z 1887 r. słynne doświadczenie z interferometrem, mające na celu wykrycie ruchu Ziemi względem eteru. Po ogłoszeniu przez Alberta Einsteina w 1905 r. Szczególnej Teorii Względności eksperyment MM zaczęto interpretować jako test teorii relatywistycznej. W tym kontekście podobne doświadczenia przeprowadzali w kolejnych latach (do 1930 r.) inni badacze, w tym także A. Michelson i E. Morley. Niemożność wykrycia wiatru tłumaczono m.in. hipotezą porywania przez Ziemię eteru, kłóciło się to jednak z obserwacją zjawiska aberracji światła gwiazd, brano też pod uwagę koncepcję lokalnego przytrzymywania eteru. Popularnością cieszyła się teoria wyjaśniająca negatywny efekt doświadczenia MM z powodu skrócenia poruszających się w eterze przedmiotów, przedstawiona przez G. FitzGeralda i H. Lorentza. Jedne z najdokładniejszych eksperymentów przeprowadzonych przez Daytona Millera (1924, 1925 r.) z użyciem aparatury umieszczonej na szczycie góry, tak aby wykluczyć hipotezę lokalnego uwięzienia eteru, dały w interpretacji autora efekt pozytywny. Jednak powszechnie uznano je za anomalie wymagające wyjaśnienia. Szczegółowa analiza doświadczenia Millera wykonana w 1955 r. wskazała na zakłócenia pracy interferometru zmianami temperatury. Współczesne wersje doświadczenia MM wykorzystujące lasery i rezonatory optyczne (raporty z 2003 i 2009 r.) potwierdziły brak wiatru eteru na poziomie dokładności ?c/c ~ 10-17 (!).

[8] Pod pojęciem teorii klasycznych rozumie się ogólnie te teorie fizyczne, które sformułowano i uważano za poprawny matematyczny opis przyrody od XVII w. do początku XX w., tj. do chwili narodzin mechaniki kwantowej. Krótko: teoria klasyczna oznacza teorię niekwantową. Z tej przyczyny teoria Maxwella nie wyjaśnia wprost tych eksperymentów z oddziaływaniem światła na materię, w których ujawnia się korpuskularna natura promieniowania EM, jak na przykład efekt fotoelektryczny.

[9] Dodajmy, że nie ma powszechnie przyjętej umowy co do numeracji równań Maxwella, zwykle równania (1.2a), (1.2b) określa się jako pierwszą parę równań.

[10] Od 1983 roku wartość prędkości światła c jest zdefiniowana jako równa dokładnie 299792458 m/s. Ponieważ wartość ?0 jest ustalona na podstawie przyjętej w układzie SI definicji jednostki 1 ampera (A), zatem ze wzoru c2 = 1/(?0?0) wynika, iż przenikalność elektryczna ?0 ma również dokładnie określoną wartość. Tradycyjny symbol c dla prędkości światła pochodzi od łacińskiego słowa celeritas oznaczającego szybkość.

[11] Założenie o braku w przyrodzie monopoli magnetycznych jest obserwacją doświadczalną - mimo poszukiwań nie odkryto tego rodzaju cząstek. Zgodnie z niektórymi teoriami GUT (ang. Grand Unified Theories - teorie wielkiej unifikacji trzech znanych oddziaływań: EM, słabego i silnego) monopole mogą istnieć. Gdyby monopole magnetyczne zostały odkryte, wówczas równania Maxwella uzyskałyby pełną symetrię zapisu, jeśli chodzi o magnetyzm i elektryczność.

[12] W równaniach A oznacza pole wektorowe. Wyjaśnienie podanych twierdzeń, jak również znaczenia operatorów , div, rot zamieszczono w Dodatku A.

[13] Formalnie otrzymuje się ?B = constans, ale constans ? 0 jest równoważne ze stwierdzeniem, że w każdym punkcie przestrzeni istnieje niezmienna w czasie dywergencja pola magnetycznego, co jest sprzeczne z założeniem zależności pola od czasu. Pozostaje zatem przyjęcie stałej jako równej zeru.

[14] Równaniem ciągłości określa się w fizyce równanie typu: ?X/?t + ?JX = QX, gdzie X oznacza pewną wielkość (np. energię, ładunek) zmagazynowaną w jakimś obszarze przestrzeni. W myśl tego równania szybkość zmiany X w czasie następuje w wyniku przepływu X (człon ?JX) przez granicę rozważanego obszaru oraz w wyniku tworzenia lub znikania X w tym obszarze (wyraz QX). Jeśli zawsze QX = 0, to mamy zasadę zachowania X.

[15] Niektóre substancje przezroczyste w zakresie podczerwieni są magnetyczne. Jednak materiały przezroczyste w zakresie widzialnym praktycznie bez wyjątku mają pomijalny magnetyzm. Względna przenikalność magnetyczna ?r różni się od jedności nie więcej niż 10-4. Na przykład dla diamentu: ?r = 0,999978.

[16] Całka splotu, zwana także całką superpozycyjną, będzie wielokrotnie wykorzystywana i zostanie opisana dokładniej w kolejnych rozdziałach, zob. rozdział 8 i Dodatek D.

[17] W rzeczywistości wszystkie ośrodki są dyspersyjne. Jednakże funkcje ?e(?) i ?r(?) wykazują silną zależność od częstości jedynie w okolicach niektórych częstości, tzw. częstości rezonansowych, dlatego w pewnych zakresach częstości można przyjmować, iż dyspersja ośrodka jest pomijalna.

[18] W przypadku pola E fizyczna przyczyna jest następująca. Przy założeniu pola elektrostatycznego istnienie we wnętrzu przewodnika pola E ? 0 oznaczałoby przepływ prądu, co przeczy założeniu statyczności. W sytuacji zmiennego pola E przemieszczające się ładunki swobodne wytwarzają pole elektryczne neutralizujące niemal natychmiast pole zewnętrzne, tak że wewnątrz przewodnika całkowite pole E jest zerowe. Ponadto w przypadku przewodnika idealnego niezerowe pole E wywołałoby przepływ prądu o nieskończonym natężeniu.

[19] Siły pochodzące od pola EM działają na ładunki w ośrodku. Jeśli koncentrację swobodnych nośników ładunku oznaczyć przez N, to praca pola elektrycznego E nad tymi ładunkami liczona na jednostkę czasu i jednostkę objętości ośrodka wynosi dWq/dt = N(Fel?v) = NqE?v = (qNv)E; pole B nie wykonuje pracy, jako że siła magnetyczna jest prostopadła do wektora prędkości i Fm?v = (qv×B)?v = 0. W ośrodku, w którym nośniki ładunku mają ruchliwości ?q, uzyskują one w polu E prędkość v = ?qE. Zatem dWq./dt = qN?qE?E = (?E)?E = jprzew?E. Tak więc, w ośrodku o skończonej przewodności właściwej ? = qN?q indukowany jest prąd przewodzenia o gęstości jprzew = ?E i praca pola elektrycznego rozpraszana jest na ciepło.

[20] Elementarną pracę oznaczamy w książce symbolem dW, należy jednak podkreślić, że w tym przypadku symbol ten nie oznacza matematycznej różniczki funkcji, praca bowiem generalnie nie jest funkcją stanu układu.

[21] Twierdzenie podał angielski fizyk John H. Poynting w pracy: J.H. Poynting, Transfer of Energy in the Electromagnetic Field, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 175 (1884).

[22] Wektor S został wprowadzony przez angielskiego fizyka Johna H. Poyntinga w pracy podanej w przypisie 15, oraz został niezależnie przedstawiony przez angielskiego matematyka O. Heaviside'a i rosyjskiego fizyka N. Umowa.

[23] Strumieniem energii d? przepływającym przez prostopadłą powierzchnię dA nazywa się ilość energii dW przenoszonej przez tę powierzchnię w jednostce czasu, czyli d? = dW/dt [J/s = W]. Wektor Poyntinga S = d?/dA [W/m2] przedstawia zatem gęstość (powierzchniową) strumienia energii.

[24] Pominięcie dyspersji pozwala zapisać: oraz . Ograniczenie o braku dyspersji można znieść, rozważając pole EM harmoniczne - patrz p. 1.7.3.

[25] Tożsamość ta jest przypadkiem ogólnej równości wektorowej: a×(b×c) = b(a?c) - (a?b)c, jeśli uwzględnić, że operator nabla jest formalnym wektorem.

[26] Jest to wzór na pochodną z iloczynu funkcji, przy czym należy tutaj zachować kolejność mnożenia wektorowego.

[27] Obecnie wiemy, że dla sformułowania STW postulat stałości prędkości światła jest w istocie zbędny, co zauważono dość szybko po powstaniu STW. Jako pierwszy zwrócił na ten fakt uwagę rosyjski fizyk Władimir Ignatowski (1909 r.). Przyjmując założenie o słuszności zasady względności, tj. równoważności wszystkich układów inercjalnych, można wykazać, iż powinna istnieć uniwersalna prędkość niezależna od wyboru układu odniesienia. Ściślej, zasada względności prowadzi do dwóch możliwości: (1) nie ma żadnego ograniczenia prędkości, obowiązują wzory transformacyjne Galileusza, (2) istnieje uniwersalna prędkość graniczna i słuszne są wzory Lorentza dane równaniami (1.55). Doświadczenia rozstrzygają jednoznacznie na rzecz drugiej opcji.

[28] Wzory transformacyjne dla wyjaśnienia wyniku doświadczenie MM (zob. przypis 1), z których wynikało skrócenie ciał w ruchu względem eteru, przedstawił w 1895 r. fizyk holenderski Hendrik Lorentz, aczkolwiek w niejawnej postaci (jako złożenie trzech transformacji). Postać jawną, podobną do (1.57) podał w 1905 r. (tuż przed Einsteinem) francuski matematyk Henri Poincaré. Zarówno Lorentz jak Poincaré traktowali czas t? jako pomocniczy czas matematyczny, uznając jako prawdziwy tylko czas t związany z układem odniesienia spoczywającym względem eteru.

[29] Metr świetlny, tj. czas, który potrzebuje światło na przebycie w próżni 1 m, odpowiada czasowi ok. 3,3 ns.

[30] Jako ciekawy fakt można odnotować, iż ta stosunkowo prosta metoda otrzymania wzorów na transformację Lorentza jest praktycznie nieobecna w bardzo obszernej literaturze poświęconej STW. Dodajmy, że pierwszym fizykiem, który w sposób analogiczny do opisanego poszukiwał na podstawie równania falowego wzorów transformacyjnych, rozważając fale mechaniczne w ośrodku sprężystym, był niemiecki fizyk Woldemar Voigt, jednak wzory podane w jego pracy z 1887 r., wbrew temu, jak się czasem uważa, nie były identyczne z wzorami Lorentza - zob. [1.14], s. 436.

[31] Istnieje tu swoboda wyboru co do znaku w czynniku czasowym, który można zapisać jako exp(-i?t).

[32] Jeśli wybrać człon czasowy postaci exp(-i?t), to oczywiście w (1.62a), (1.62b) następuje zmiana znaków po prawej stronie równań. Równania obowiązują zarówno dla amplitud E(r), H(r), jak i dla E(r,?t), H(r,?t) - patrz (1.61).

[33] Ogólnie w matematyce równaniem Helmholtza nazywa się równanie różniczkowe postaci 2A + k2A = 0. Jest to równanie spotykane w różnych zagadnieniach fizycznych. Równanie wprowadził Hermann von Helmholtz (1821­-1894) - wszechstronny uczony niemiecki, fizjolog, fizyk i filozof, z wykształcenia lekarz, był m.in. jednym ze współodkrywców zasady zachowania energii.

[34] Wybór zapisu argumentu (?t - k?r) lub (k?r - ?t) jest sprawą konwencji, jednak należy mieć na uwadze, że przy różniczkowaniu zmienia się wtedy znak przyporządkowania (opis w tekście): ? ?ik oraz ?/?t ? ?i?.

[35] Wybór wartości kąta ? wyznacza wartość wektora pola E0 w płaszczyźnie k?r = k?r0 w chwili t = t0 = 0.

[36] Odnotujmy, że w spektroskopii liczba falowa oznacza po prostu odwrotność długości fali (bez czynnika 2?) i wyrażana jest standardowo w cm-1.

[37] Falowody planarne 1D (czasem określane jako (1+1)D, tj. jeden kierunek uwięzienia światła plus kierunek propagacji) stanowią ważny przykład głównie z uwagi na fakt, iż mają proste rozwiązania analityczne. Jednak w praktyce są one rzadko stosowane ze względu na poszerzenie dyfrakcyjne wiązki w płaszczyźnie warstwy prowadzącej. W urządzeniach fotonicznych optyki scalonej korzysta się z falowodów kanałowych lub paskowych 2D, w których fala prowadzona jest w kanale (pasku) bez efektu dyfrakcji.

Przedmowa

Prezentowana książka pisana była z myślą, aby w sposób możliwie przystępny przedstawić matematyczny opis właściwości fali świetlnej oraz jej rozchodzenia się w ośrodkach liniowych, opierając się na klasycznej teorii elektromagnetyzmu i przedstawiając zarazem kilka wybranych przykładów z optyki współczesnej. Dokładniejsze określenie, czym jest ośrodek liniowy, zostanie podane w dalszej części. W tym miejscu wystarczy zaznaczyć, że niemal wszystkie zjawiska optyczne, z którymi spotykamy się na co dzień, należą do obszaru optyki liniowej. W takim wypadku parametry optyczne ośrodka, takie jak współczynnik załamania czy współczynnik absorpcji, nie ulegają zmianie w wyniku oddziaływania nań fali świetlnej. Generalnie optyka liniowa wiąże się z małymi natężeniami światła, szereg optycznych zjawisk nieliniowych obserwuje się dopiero przy dużych gęstościach mocy światła, rzędu kW/cm2. Stąd, chociaż historycznie pierwsze obserwacje zjawisk nieliniowych datuje się na lata 50. XX wieku, gwałtowny rozwój tej dziedziny optyki nastąpił dopiero po wynalezieniu lasera w 1960 roku[1]. Tym niemniej należy zaznaczyć, że w optyce współczesnej badane są także zjawiska nieliniowe, które nie wymagają wysokich natężeń światła.

Podstawową cechą definiującą układy liniowe jest stosowalność zasady superpozycji, w ramach której badany sygnał może być przedstawiony jako kombinacja liniowa sygnałów elementarnych. Pozwala to na stosowanie do opisu sygnałów optycznych, zarówno czasowych, jak i przestrzennych, niektórych podstawowych pojęć (jak odpowiedź impulsowa, czy funkcja przenoszenia) oraz metod matematycznych zaczerpniętych z ogólnej teorii sygnałów i układów liniowych. W tym kontekście zarówno przestrzeń swobodna, jak i ośrodek liniowy może być traktowany jako rodzaj przetwornika, który zmienia strukturę czasową lub przestrzenną sygnału optycznego. Z tego powodu w książce omówiono dość szczegółowo dwie podstawowe operacje służące do analizy układów liniowych, jakimi są splot sygnałów i przekształcenie Fouriera.

Opis matematyczny stosowany w książce jest oparty na falowej teorii elektromagnetyzmu wynikającej z równań Maxwella (rozdział 1), natomiast w przypadku omawiania odpowiedzi ośrodka na falę EM (rozdział 4) korzysta się z prostego klasycznego oscylatorowego modelu materii. Tym niemniej w paru miejscach odwołano się do kwantowego obrazu światła jako strumienia fotonów.

Zwykle we wstępie do książki autor zaznacza, dla jakiego grona odbiorców jest ona adresowana. W zamyśle opracowanie przeznaczone jest dla wszystkich osób zainteresowanych właściwościami światła wynikającymi z teorii elektromagnetycznej, choć siłą rzeczy z uwagi na podręcznikowy charakter książka powinna okazać się użyteczna dla studentów fizyki, optoelektroniki czy optyki, a także młodych stażem pracowników nauki jako wprowadzenie w podstawowe zagadnienia optyki klasycznej. Lektura książki wymaga pewnej, choć w rzeczywistości niezbyt zaawansowanej wiedzy matematycznej obejmującej zakres wiadomości wykładanych na pierwszym roku studiów na uczelniach technicznych. Dotyczy ona głównie znajomości równań różniczkowych oraz elementów teorii pola. W tym ostatnim przypadku, dla przypomnienia ważniejszych pojęć z tego zakresu, na końcu książki zamieszczono dodatek matematyczny, w którym przedstawiono skrótowo podstawowe operacje z rachunku analizy pola wektorowego. Znajomość przekształcenia Fouriera, które jest wielokrotnie w książce wykorzystywane, nie jest konieczna, potrzebne wiadomości z zakresu transformaty Fouriera zostały przedstawione w opracowaniu. Przeglądając książkę Czytelnik napotka dużą liczbę wzorów, co wynika między innymi z faktu, iż podano wyprowadzenie praktycznie wszystkich zamieszczonych zależności, starając się zarazem, aby każdy z rozdziałów stanowił w miarę kompletną całość.

W niniejszej książce podjęto także próbę pokazania, że wiele z omawianych zagadnień można zilustrować, wykonując stosunkowo proste obliczenia numeryczne przy wykorzystaniu dostępnych, popularnych pakietów programowych. W tym celu zamieszczono kilkanaście krótkich skryptów napisanych w programie Matlab. Zrezygnowano ze szczegółowego wyjaśnienia znaczenia poleceń matlabowskich. Wydaje się, że dla przeciętnego użytkownika Matlaba (do tego też grona zalicza się autor) interpretacja większości, jeśli nie wszystkich podanych skryptów nie powinna sprawić większych trudności. Ponadto większość z podanych m-plików korzysta ze stosunkowo niedużej liczby podstawowych poleceń, których objaśnienie można łatwo uzyskać, sięgając do wbudowanego w programie systemu pomocy. Zasadniczo w skryptach wykorzystano niemal bez wyjątku obliczenia numeryczne z pominięciem obliczeń symbolicznych wymagających zainstalowania pakietu do tego rodzaju obliczeń. W związku z tym skrypty mogą być uruchomiane również w dużo starszych, podstawowych wersjach programu.

Współczesna optyka jest bardzo obszernym przedmiotem, szczególnie jeśli dodatkowo wkroczyć na obszar jej zastosowań, w tym zagadnień dotyczących na przykład budowy i działania elementów fotonicznych, bardziej złożonych układów i instrumentów optycznych, czy urządzeń optoelektronicznych. Czytelnikowi, który byłby zainteresowany przykładową listą zagadnień, którymi zajmuje się współczesna optyka, można polecić zapoznanie się poprzez Internet ze spisem treści obszernej, pięciotomowej encyklopedii Handbook of Optics[2].

Z tej przyczyny niniejsza książka prezentuje przegląd jedynie wybranych zagadnień, gdzie motywem przewodnim jest analiza propagacji światła w jednorodnych ośrodkach liniowych, chociaż w kilku miejscach poruszono zagadnienia należące do optyki nieliniowej. Przedstawiono zarówno tematy obecne w większości podręczników optyki, takie jak klasyczny model dyspersji (rozdziały 3 i 4), skalarna teoria dyfrakcji (rozdziały 7 i 10), teoria wiązki gaussowskiej (rozdziały 11 i 12), czy rozchodzenie się fali świetlnej w ośrodkach izotropowych i anizotropowych (rozdziały 2 i 14), ale włączono także kilka tematów rzadko spotykanych literaturze polskojęzycznej, a które stanowią przykłady nowszych osiągnięć w obszarze współczesnej optyki. Można tu wymienić zjawisko tzw. "wolnego" i "szybkiego" światła (choć doświadczenia te mieszczą się w obszarze optyki nieliniowej), wiązek z wirem optycznym (rozdział 6), czy wiązek bezdyfrakcyjnych (rozdział 13). Szerzej niż zwykle się to czyni potraktowano zagadnienie prędkości światła, uznając je za jedno z podstawowych.

Należy podkreślić, że treść rozdziałów powinna być traktować tylko jako wprowadzenie w daną tematykę. Żyjemy w czasach, gdy w zasadzie każdy, nawet wysoce specjalistyczny temat wsparty jest obszerną literaturą przedmiotu, zarówno w postaci pozycji monograficznych, jak i licznych artykułów. Na końcu każdego rozdziału podano spis literatury, przy czym ograniczono się do podania 10-15 pozycji, głównie książkowych, które zdaniem autora można uznać za reprezentatywne i które stanowiły literaturę bazową przy opracowaniu rozdziałów.

Przeglądając zakres zamieszczonych tematów nietrudno zauważyć pominięcie w książce kilku ważnych i standardowych zagadnień optyki liniowej, jak na przykład: przybliżenia optyki geometrycznej, analizy odbicia i załamania światła za pomocą wzorów Fresnela, dyskusji optyki fourierowskiej i filtracji przestrzennej, czy braku opisu prostych układów optycznych i urządzeń wykorzystujących przedstawiane zjawiska fizyczne. Zasadniczym powodem takiego zawężenia tematycznego jest fakt, iż niniejsza książka stanowi w założeniu pierwszą część większego opracowania. W drugim tomie poświęconym rozmaitym ośrodkom niejednorodnym zamieszczone zostaną tematy, które nie znalazły się w niniejszej książce.

Autor chciałby wyrazić podziękowanie Recenzentowi prof. Wojciechowi Gawlikowi za trud przeczytania opracowania i cenne uwagi, które przyczyniły się do nadania postaci ostatecznej wersji książki. Mojemu koledze z Zakładu Telekomunikacji i Fotoniki ZUT Patrykowi Urbanowi dziękuję za przekazanie merytorycznych komentarzy dotyczących rozdziału poświęconego propagacji światła w światłowodach. Na koniec, słowa podziękowania należą się również Wydawcy PWN Panu Karolowi Zawadzkiemu za życzliwość, zaangażowanie w projekt wydawniczy i bardzo dobrą współpracę.

Z pewnością mimo starań nie wszystkie błędy i nieścisłości w książce udało się usunąć. Autor będzie wdzięczny Czytelnikowi za ich wskazanie. Wszelkie uwagi można kierować na adres marekw@zut.edu.pl.

Szczecin, styczeń 2020 Autor

Wprowadzenie

A. Widmo fal elektromagnetycznych

W ujęciu klasycznym światło jest falą elektromagnetyczną (EM). Prostych i zarazem przekonujących dowodów dostarczają doświadczenia z interferencją, dyfrakcją (faktycznie również stanowiącą efekt interferencyjny) oraz z polaryzacją światła. Zakres widmowy znanych fal EM jest niezwykle szeroki, przekracza 17 rzędów wielkości, od kilometrowych fal radiowych po promieniowanie gamma o długości rzędu rozmiarów jądra atomowego (rys. 1, tab. 1). Podział widma na poszczególne zakresy wynika ze sposobu generowania i detekcji fal EM oraz po części z ich charakterystycznych właściwości, przy czym granice między zakresami nie są ściśle określone i pasma częściowo się nakładają - wartości podane w tabeli 1 są najczęściej podawane w literaturze, ale mają charakter orientacyjny. W miarę wzrostu częstotliwości fal coraz wyraźniej uwidacznia się korpuskularna (fotonowa) natura promieniowania EM w oddziaływaniach z materią. W optyce przedmiotem zainteresowania jest przede wszystkim światło z zakresu widzialnego, tj. 380-760 nm, w urządzeniach fotonicznych interesujący zakres spektralny rozszerza się w obszar bliskiego nadfioletu i bliskiej podczerwieni, obejmując przedział w przybliżeniu (0,1-10) mm, co w znacznej mierze uwarunkowane jest właściwościami materiałów dielektrycznych i półprzewodnikowych stosowanych w urządzeniach fotonicznych.

W tabeli 2 zestawiono wzory na częstotliwości (f), częstości (?) oraz energie fotonów (Wf), a w tabeli 3 wartości tych wielkości dla wybranych długości (?) dla fal z zakresu optycznego.

Tabela 2. Wzory na częstość fali EM i energię fotonów

Wielkość

Wzór

Jednostka

Częstotliwość fali

f = c/?

Hz = 1/s

Częstość fali

? = 2?f = 2?c/?

rad/s

Energia fotonu

Wf = hf = ??

J lub eV

Energia fotonu (wygodny wzór do obliczania energii fotonów w elektronowoltach)

1 eV ? 1,602?10-19 J

c = 299792458 m/s ? 3?108 m/s - prędkość światła w próżni,

h ? 6,626?10-34 J?s - stała Plancka

? = h/(2?) ? 1,055?10-34 J?s - stała Plancka (h kreślone),

a jeśli wyrażać energię w eV, to h ? 4,14?10-15 eV?s, ? ? 6,6?10-16 eV?s,

q ? 1,602?10-19 C - ładunek elementarny

Tabela 3. Częstotliwości, częstości i energie fotonów dla fal z zakresu widzialnego

? [?m]

f × 1014 [Hz]

? × 1015 [rad/s]

Wf [eV]

0,38

7,89

4,96

3,26

0,42

7,14

4,49

2,95

0,46

6,52

4,10

2,70

0,50

6,00

3,77

2,48

0,54

5,56

3,49

2,30

0,58

5,17

3,25

2,14

0,62

4,84

3,04

2,00

0,66

4,55

2,86

1,88

0,70

4,29

2,69

1,77

0,74

4,05

2,55

1,68

0,78

3,85

2,42

1,56

B. Poziomy opisu zjawisk optycznych

Podstawowym celem wykładów zawartych w książce jest przedstawienie podstaw fizycznych dotyczących właściwości fali świetlnej jako fali EM, propagacji wiązki świetlnej w jednorodnym ośrodku liniowym oraz opis oddziaływania fali z tego typu ośrodkiem w ramach modelu klasycznego. Opis klasyczny oznacza pominięcie efektów kwantowych, zarówno jeśli chodzi o model światła, jak i cech materii. Jest rzeczą godną odnotowania, że na gruncie powyższego przybliżenia udaje się wyjaśnić bardzo szeroki wachlarz zagadnień fizycznych, uzyskując bardzo dobrą zgodność z doświadczeniem.

Patrząc od strony historycznej, opis zjawisk optycznych odbywał się na coraz wyższych poziomach złożoności. Najprostszym ujęciem jest posługiwanie się pojęciem promienia świetlnego na gruncie optyki geometrycznej. Teoria ta (z ang. ray optics) ma wciąż duże znaczenie praktyczne, m.in. w optyce stosowanej przy projektowaniu układów soczewkowych. Kolejnym poziomem opisu jest prosta optyka falowa, gdzie uwzględnia się falowy charakter światła, ale nie wnika w naturę fali świetlnej. Takie założenie pozwala wytłumaczyć (przynajmniej w pierwszym przybliżeniu) takie charakterystyczne zjawiska falowe jak interferencja i dyfrakcja światła, jak również pozwala opisać rozchodzenie się prostych typów fal świetlnych jak fala płaska, cylindryczna czy sferyczna w jednorodnym, izotropowym ośrodku. Dzięki równaniom Maxwella dostępny staje się trzeci poziom opisu, który pozwala m.in. wziąć pod uwagę efekty polaryzacji fali świetlnej i analizować propagację wiązek optycznych o bardziej skomplikowanej strukturze (jak opisane w dalszych rozdziałach wiązki gaussowskie, wirowe, czy bezdyfrakcyjne), rozchodzenie się fali EM w kryształach anizotropowych, jak również wyjaśnić w sposób klasyczny oddziaływanie światła z materią. W konsekwencji możliwe staje się określenie pochodzenia współczynnika załamania, rozkładu widma absorpcji i refrakcji czy badanie zjawiska dyspersji prowadzące do poszerzenia i zmiany kształtu impulsów optycznych. Kolejne uściślenie polega na podejściu półklasycznym, w ramach którego uwzględnia się pewne kwantowe właściwości atomów, podczas gdy światło traktuje się klasycznie jak falę EM. Przykładowo, model taki leży u podstaw półklasycznej teorii lasera. Ujęciem najdokładniejszym jest kwantowy opis światła zarówno jako strumienia fotonów, jak i atomów. W książce posługujemy się zasadniczo opisem z poziomu trzeciego, wspominając jedynie w kilku miejscach model fotonowy. Przedstawiony podział na poziomy dokładności opisu zjawisk optycznych ilustruje schematycznie rysunek 2 poniżej.

Rys. 2. Teoria kwantowa (5) dostarcza wyjaśnienia praktycznie wszystkich zjawisk optycznych. Wiele doświadczeń można wytłumaczyć na gruncie modelu półklasycznego (4), w którym zarówno pole EM, jak i elektrony traktowane są falowo. Elektromagnetyczna teoria światła (3) daje kompletny opis klasyczny zjawisk optycznych. Optyka falowa (2) stanowi przybliżenie skalarne teorii (3). Opis w ramach optyki geometrycznej (1) można rozważać jako przypadek graniczny (? ? 0) modelu falowego

C. Określenia nazw ośrodków optycznych

Przedstawione w książce rozważania odnoszą się zasadniczo do ośrodków liniowych, w większości przypadków rozpatrywane są dielektryki izotropowe. Jest to związane z faktem, że w optyce, mówiąc o rozchodzeniu się światła, interesujące są głównie materiały przezroczyste i dla fali EM będą to przede wszystkim dielektryki. Tym niemniej obok dielektryków ważnym materiałem są metale m.in. z uwagi na zdolność odbijania światła w szerokim zakresie (zwierciadła). Stąd dość szczegółowe omówienie w jednym z rozdziałów właściwości optycznych metali w ramach klasycznego modelu elektronów swobodnych.

Rozróżnienia materiałów, jeśli chodzi o ich właściwości optyczne dokonuje się najczęściej na podstawie relacji pomiędzy zmiennym w przestrzeni i czasie wektorem natężenia pola elektrycznego E = E(r, t) fali świetlnej i wektorem polaryzacji P = P(r, t) charakteryzującym odpowiedź materiału na pobudzenie falą EM. Wektor E można traktować jako sygnał wejściowy, a wektor P jako sygnał wyjściowy układu w postaci ośrodka materialnego. Określenie związku pomiędzy E i P jest podstawą do zdefiniowania różnego typu ośrodków. Poniżej podano jak należy rozumieć stosowane w dalszej części określenia dla ośrodków optycznych. Bardziej szczegółowa dyskusja zostanie zamieszczona w rozdziałach książki.

(1) Ośrodek nazywamy liniowym, jeśli dla fali świetlnej monochromatycznej (fali o określonej częstości) między wektorami E(?t) i P(?t) zachodzi zależność liniowa P(?t) = ?0?(1)E(?t). Inaczej mówiąc, na pobudzenie harmoniczne ośrodek odpowiada sygnałem o tej samej częstości. Gdy współczynnik ?(1), zwany polaryzowalnością liniową lub polaryzowalnością pierwszego rzędu, jest wielkością skalarną, wówczas ośrodek jest izotropowy. Wtedy składowe wektora P: Pj (j = x, y, z) są równe Pj = ?0?(1)Ej, inaczej mówiąc wektory P i E są równoległe. W takim przypadku właściwości ośrodka nie zależą od kierunku przykładanego pola, dla fali świetlnej oznacza to, że nie ma znaczenia kierunek polaryzacji fali. W przypadku bardziej ogólnym wielkość ?(1) przedstawia tablicę 3×3 = 9 współczynników zwaną tensorem drugiego rzędu; w takiej sytuacji relacja liniowa dla fali harmonicznej wyraża się wzorem Pj/?0 = ?jxEx + ?jyEy + ?jzEz i wektory E i P mają różne kierunki. Taki ośrodek nazywamy liniowym, anizotropowym. Znaczenie ma tutaj polaryzacja fali świetlnej.

(2) Ośrodek jest jednorodny, jeżeli relacja między P(r) i E(r) nie zależy od wektora położenia r, innymi słowy w każdym punkcie ośrodek wykazuje takie same właściwości.

(3) Ośrodek jest niedyspersyjny (czasowo), jeżeli na zmianę pola elektrycznego E(t) polaryzacja P(t) reaguje natychmiastowo; dla ośrodka liniowego, izotropowego obowiązywałoby wtedy równanie P(t) = ?0??E(t). Cechę taką można również nazwać lokalnością czasową. Jest to zawsze idealizacja, w praktyce ośrodki takie nie istnieją, czas odpowiedzi może być bardzo krótki, ale zawsze skończony. Dla rzeczywistych ośrodków dyspersyjnych ich reakcja zależy od częstości harmonicznego elektrycznego pola pobudzającego E(?t) fali EM. Zależność podatności elektrycznej od częstości pola E, czyli ? = ?(?) określa zależność dyspersyjną ośrodka.

D. Optyka liniowa i nieliniowa

Jak już wspomniano we Wstępie, w zasadzie wszystkie dobrze znane z codziennego doświadczenia zjawiska optyczne zachodzące w zakresie względnie słabych natężeń światła jak odbicie, rozproszenie, załamanie czy tłumienie światła należą do obszaru optyki liniowej. W każdym z wymienionych wyżej zjawisk światło, oddziałując z ośrodkiem, zachowuje tę samą częstość (dotyczy to fali odbitej, załamanej, rozproszonej, przechodzącej) oraz nie wpływa na zmianę wartości parametrów optycznych ośrodka, takich jak współczynnik załamania czy współczynnik absorpcji. W szczególności w ośrodku liniowym wiązki świetlne rozchodzą się niezależnie od siebie, tj. bez wzajemnego oddziaływania. Aby wyraźniej unaocznić ramy stosowalności optyki liniowej, warto choćby pobieżnie spojrzeć na kontrprzykład, jakim jest optyka nieliniowa, tym bardziej że w książce wspomniano w kilku miejscach o zjawiskach zaliczanych do domeny optyki nieliniowej, takich jak elektromagnetycznie indukowana przeźroczystość czy zjawiska nieliniowe występujące w światłowodach telekomunikacyjnych.

W przypadku ośrodków nieliniowych relacja między P(?) i E(?) może być rozpisana (choć nie zawsze) w postaci szeregu (przy czym wyrazy rozwinięcia rzędu wyższego niż trzeci są zazwyczaj pomijane)

P(?) = ?0?(1)E(?) + ?0?(2)E(?1)E(?2) + ?0?(3)E(?1)E(?2)E(?3) + ...

(i)

gdzie bezwymiarowe wielkości ?(j) oznaczają:

?(1) - podatność pierwszego rzędu (zjawiska liniowe),

?(2) - podatność drugiego rzędu (zjawiska nieliniowe drugiego rzędu, które nie występują w ośrodkach izotropowych jak gazy, ciecze, szkła, gdzie ?(2) = 0)

?(3) - podatność trzeciego rzędu (zjawiska nieliniowe trzeciego rzędu).

W ogólnym przypadku podatności elektryczne ?(1), ?(2), ?(3) są tensorami, odpowiednio drugiego, trzeciego i czwartego rzędu, tj. obiektami matematycznymi składającymi się z szeregu elementów oznaczanych kolejno dwoma, trzema lub czterema indeksami, dzięki czemu może być określona zależność odpowiedniej składowej P od składowych wektorów E1, E2, E3. Pola elektryczne E występujące w zależności (i) mogą mieć różne częstości - na przykład do ośrodka wchodzą dwie lub trzy różne wiązki optyczne lub do ośrodka przykładane jest zewnętrzne wolnozmienne pole elektryczne o częstości ? ? 0. W konsekwencji, obok częstości pól wejściowych, w odpowiedzi (polaryzacji elektrycznej) ośrodka pojawią się człony zawierające częstości sumacyjne bądź różnicowe, co określa się mianem mieszania częstości. Przykładowo, dla nieliniowości ?(2) przy założeniu ?1 = ?2 = ? możliwy jest proces typu ? +? ? 2?, zwany generacją drugiej harmonicznej (ang. second-harmonic generation, SHG)[3], natomiast w przypadku rozchodzenia się fali świetlnej (?1 = ?) w obecności stałego pola elektrycznego E0 (?2 = 0) w procesie ? + 0 ? ? może wystąpić zmiana wartości współczynnika załamania n proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego: ?? ? E0 - zjawisko nosi nazwę efektu elektrooptycznego Pockelsa.

Przykładami zjawisk dla nieliniowości z ?(3), przy najprostszym założeniu, iż ?1 = ?2 = ?3 = ?, jest generacja trzeciej harmonicznej (ang. third-harmonic generation, THG) w procesie ? + ? +? ? 3? lub generacja fali o niezmienionej częstości w procesie ? - ? + ? ? ?, ale ze zmianą współczynnika załamania n proporcjonalną do kwadratu natężenia wiązki świetlnej - jest to tzw. nieliniowy efekt Kerra[4]: ?n = n - n0 ? n2|E|2 = n2I, gdzie I = C|E|2 oznacza natężenie światła, n0 - liniowy współczynnik załamania oraz n2 ? ?(3). Jeżeli pole E jest polem stałym (? = 0), to mówi się o efekcie elektrooptycznym Kerra.

Istnieją różnorakie mechanizmy nieliniowości optycznej, o różnej "sile" i szybkości odpowiedzi określonej pewnym charakterystycznym czasem ?. Można tu wymienić m.in.:

- polaryzację elektronową (wszystkie materiały; bardzo słaba nieliniowość, bardzo krótki czas ?),

- nieliniowość absorpcyjną (m.in. półprzewodniki),

- nieliniowość związaną z efektami termicznymi,

- nieliniowość orientacyjną (ciekłe kryształy),

- zjawisko fotorefrakcyjne (dielektryki i półprzewodniki; bardzo silna nieliniowość, o względnie długim czasie odpowiedzi).

W szczególności podane wyżej przykłady zjawisk nieliniowych drugiego i trzeciego rzędu wynikają z mechanizmu polaryzacji elektronowej, który polega na oddziaływaniu pola elektrycznego fali świetlnej na powłoki elektronowe atomów. Powstałe w ten sposób oscylujące indukowane dipole atomowe stają się źródłem wtórnych fal elektromagnetycznych. W rozdziałach 3 i 4 omawiany jest dokładniej taki model atomu traktowanego klasycznie jako oscylator harmoniczny. Założenie liniowości drgań atomu, poprawne przy małych wartościach pola[5] E fali świetlnej wymaga korekty przez uwzględnienie członów nieliniowych w przypadku, gdy stosowane są wiązki o dużych natężeniach, wtedy bowiem oscylacje elektronów w atomach przestają być harmoniczne. Człony nieliniowe traktowane w szeregu (i) jako małe poprawki w stosunku do wyrazu liniowego względnie łatwo wyznacza się w ramach klasycznego modelu oscylatorowego. Jeśli założyć, że częstość fali (?) jest znacznie mniejsza od częstości rezonansowej oscylatora (?0), tzn. zachodzi oddziaływanie poza rezonansem (ośrodek jest przezroczysty), to otrzymuje się podatności elektryczne wyrażone wzorami[6]:

, , ,

(ii)

skąd wynika przybliżona relacja

,

(iii)

gdzie: N - koncentracja atomów, q - ładunek elektronu, me - masa efektywna elektronu, d - średnia odległość między atomami ośrodka.

Oszacowanie rzędu wielkości ?(j) przy założeniu typowych wartości parametrów dla ciał stałych, dla których można z grubsza przyjąć: ?0 ~ 1016 rad/s, N ~ 1028 m-3, d = (1/N)1/3 ~ 3?10-10 m = 0,3 nm, daje ?(1) ~ 10 oraz p ~ 10-12 m/V, skąd ?(2) ~ 10-11 m/V, ?(3) ~ 10-23 m2/V2. Są to wartości zgodne z danymi doświadczalnymi. Ponieważ podatności rzędu drugiego i trzeciego są bardzo małe, optyczne efekty nieliniowe rozważane w ramach mechanizmu polaryzacji elektronów w atomach ujawniają się dopiero przy wysokich natężeniach światła. Tłumaczy to, dlaczego rozwój tej dziedziny nastąpił po wynalezieniu lasera (1960 r.); za pomocą wiązki światła laserowego można uzyskać gęstości mocy umożliwiające łatwą obserwację tego rodzaju zjawisk.

Należy zaznaczyć, że nie zawsze nieliniowość daje się opisać za pomocą szeregu (i), który może być rozbieżny; wówczas wymagany jest odmienny sposób przedstawienia nieliniowości. Z sytuacją tego typu mamy na przykład do czynienia w przypadku rezonansowego wzbudzenia układów atomowych prowadzącego do absorpcji nasyceniowej, a także w zjawisku oddziaływania nierezonansowego, gdy pole elektryczne wiązki świetlnej jest porównywalne z polem wewnątrzatomowym. Należy też wskazać, iż duże natężenia światła kojarzone z optyką nieliniową nie zawsze są warunkiem koniecznym. W XXI wieku prowadzi się badania nad optycznymi zjawiskami nieliniowymi, które można obserwować przy małych, a czasem bardzo małych natężeniach wiązek optycznych. Jednym z przykładów, jest wspominane w rozdziale 6 w kontekście omawiania "wolnego" światła, zjawisko elektromagnetycznie wymuszonej przezroczystości, w którym rezonansowa absorpcja prowadzi do wytworzenia okna przezroczystości w ośrodku.

Optyczne zjawiska nieliniowe jako niemieszczące się w kategorii znanych zjawisk optyki liniowej są często zaskakujące w swym przebiegu. W ramach takich efektów ośrodek daje możliwość na przykład: generacji nowych częstości fal, zmieniania kształtu wiązki (samoogniskowanie i autokolimacja), wytwarzania ultrakrótkich impulsów optycznych, otrzymywania impulsów zwanych solitonami (czasowymi) zachowujących kształt w trakcie propagacji (o których wspomniano w drugiej części rozdziału 5), jak również solitonów przestrzennych - wiązek o niezmiennym rozkładzie poprzecznym, które na wzór cząstek mogą się przyciągać lub odpychać, generować fale będące odwróceniem w czasie fali padającej (efekt odwracania frontu falowego), wzmacniania wiązki słabej kosztem silniejszej (generacja parametryczna) itd.

Powyższe krótkie spojrzenie na optykę nieliniową miało na celu uświadomienie Czytelnikowi, że zjawiska z obszaru optyki liniowej stanowią jedynie wycinek szerokiego spektrum zjawisk optycznych. Niemniej jednak to fizyka optyki liniowej buduje fundament niezbędny do zrozumienia bardziej złożonych zjawisk z tej dziedziny, tym bardziej że współczesna optyka przynosi nowe odkrycia także na tym polu, czego przykładem mogą być wiązki światła o skręconym froncie falowym, wiązki bezdyfrakcyjne, czy fascynujące, lecz nie omawiane w książce jako wykraczające poza jej zakres, doświadczenia z dziedziny optyki kwantowej.

1Prawa elektromagnetyzmu

Prace z połowy XIX wieku szkockiego fizyka teoretyka Jamesa Clerka Maxwella, który skodyfikował ówczesną wiedzę o elektryczności i magnetyzmie, pozwoliły odkryć naturę światła jako szybkozmiennej poprzecznej fali elektromagnetycznej (EM). Przez następne blisko 40 lat sądzono, że rozchodzenie się fali EM, na wzór fali mechanicznej, wymaga istnienia wszechobecnego materialnego ośrodka, który nazwano eterem światłonośnym. Dopiero nieudane eksperymentalne próby wykrycia eteru z końca XIX wieku[7] oraz sformułowanie Szczególnej Teorii Względności w 1905 roku przez Alberta Einsteina spowodowało, iż koncepcja eteru została odrzucona jako zbędna. Fale EM mogą rozchodzić się także w próżni.

W równaniach Maxwella stanowiących podstawę elektrodynamiki klasycznej[8] zawarte są informacje o właściwościach fal EM, ich sposobie rozchodzenia się w ośrodku oraz oddziaływaniu z materią na gruncie opisu makroskopowego, czyli bez wnikania w atomową strukturę materii. W bieżącym rozdziale przedstawiono najważniejsze prawa elektromagnetycznej teorii Maxwella istotne dla analizy właściwości fali świetlnej i jej propagacji w ośrodku materialnym.

1.1. Równania Maxwella dla próżni

Podstawą klasycznej analizy zjawisk elektromagnetycznych (EM) są równania Maxwella opisujące zjawiska EM w skali makroskopowej. Ośrodek traktowany jest jako ciągły i charakteryzowany poprzez parametry makroskopowe. Równania Maxwella wyznaczają strukturę pól elektrycznego i magnetycznego, wiążąc je z rozkładem ładunku elektrycznego i prądami elektrycznymi. Podstawowymi wielkościami fizycznymi charakteryzującymi pole EM pod względem dynamicznym, tzn. poprzez siłę, z jaką pole działa na ładunek elektryczny, jest wektor natężenia pola elektrycznego E oraz wektor indukcji magnetycznej B.

Siła pochodząca od pól E(r,.t), B(r,.t), działająca w chwili t na cząstkę punktową znajdującą się w położeniu r i mającą ładunek elektryczny q oraz prędkość v, zwana jest siłą Lorentza i w układzie SI wyraża się wzorem

F(r,.t) = Fel(r,.t) + Fmagn(r,.t) = q×E(r,.t) + q[v × B(r,.t)].

(1.1)

Pierwszy człon Fel = qE oznacza siłę, z jaką na ładunek działa pole elektryczne, drugi Fmagn = q(v×B) - siłę od pola magnetycznego, prostopadłą do wektorów v i B. Na podstawie (1.1) widać, że jednostką wektora E jest N/C = V/m, a jednostką B jest N/(A?m) = Vs/m2 = T (tesla). Powyższe prawo siły elektromagnetycznej w połączeniu ze wzorem na siłę F = dp/dt wyznacza zmianę pędu cząstki o ładunku elektrycznym w obecności pola elektrycznego i magnetycznego. Dla małych prędkości pęd liczony jest jako iloczyn p = mv, dla dużych prędkości należy użyć wyrażenia na pęd relatywistyczny p = m?v, gdzie ? = (1 - v2/c2)-1/2.

1.1.1. Równania Maxwella w postaci całkowej

Wyrażone za pomocą wektorów E = E(r, t) i B = B(r, t) równania Maxwella w postaci całkowej[9] zapisane w układzie SI są następujące:

- prawo Ampére'a-Maxwella

,

(1.2a)

- prawo indukcji Faradaya

,

(1.2b)

- prawo Gaussa dla pola E

,

(1.2c)

-  prawo Gaussa dla pola B

(1.2d)

W powyższych równaniach:

- ?0 = 4??10-7 N/A2 oznacza przenikalność magnetyczną próżni (jest to wartość dokładna na mocy definicji jednostki natężenia prądu - 1 ampera (A)),

- ?0 = 1/(c2?0) ? 8,85?10-12 C2/(N?m2) oznacza przenikalność elektryczną próżni,

- c = 299 792 458 m/s ? 3?108 m/s - prędkość światła w próżni[10],

- j - wektor gęstości prądu [A/m2], przy czym jeśli rozważa się pole E i B w ośrodku materialnym, to prąd obejmuje zarówno ruch ładunków swobodnych, jak i ładunków związanych z dipolami elektrycznymi oraz prądami magnetycznymi w atomach,

-  (jn jest rzutem wektora j na kierunek wersora normalnego en do powierzchni dS) oznacza natężenie prądu związanego z ładunkami przechodzącymi przez powierzchnię S rozpiętą na krzywej C, wyraz określany jest nazwą prądu przesunięcia; prąd przesunięcia, mogący istnieć w próżni i dielektrykach, wynika ze zmian w czasie strumienia elektrycznego przez powierzchnię S, które wytwarza wirowe pole magnetyczne analogicznie do prądu przewodzenia,

- ? - objętościowa gęstość ładunku [C/m3]; w ośrodku materialnym wielkość ? w (1.2c) oznacza całkowitą gęstość ładunku, tj. ładunku swobodnego oraz ładunku polaryzacyjnego w ośrodku, co zostanie wyjaśnione dokładniej w dalszej części,

- całki krzywoliniowe przedstawiają wielkości skalarne zwane krążeniem odpowiednio wektora E i B po zamkniętym konturze C stanowiącym brzeg powierzchni S,

- całki powierzchniowe oznaczają wielkości skalarne zwane strumieniem odpowiednio wektora E i B przez zamkniętą powierzchnię S ograniczającą obszar o objętości V,

- wektor dl = dl?et, gdzie et oznacza jednostkowy wektor styczny do krzywej C, dl jest elementarną długością konturu; wektor dS = dS?en, gdzie en oznacza jednostkowy wektor normalny do małego, w przybliżeniu płaskiego elementu dS powierzchni S (por. rys. A4 w Dodatku A); relację między znakiem krążenia a znakiem strumienia określa reguła śruby prawoskrętnej (zwana też regułą prawej ręki) zilustrowana na rys. 1.1: dla przyjętego kierunku obiegu krzywej (zwrotu wektora dl) reguła ustala zwrot wektora dS (lub odwrotnie, tj. dla przyjętego dS wyznacza się kierunek obiegu),

- znak minus we wzorze (1.2b) zapewnia zgodność z zasadą zachowania energii, czego wyrazem jest reguła Lenza, zwana też regułą przekory; w myśl powyższej reguły dla sytuacji zobrazowanej na rys. 1.2b kierunek prądu indukowanego w pętli przewodnika umieszczonego w zmiennym strumieniu magnetycznym jest taki, że wytwarzane przez powstały prąd wtórne pole magnetyczne przeciwdziała zmianie pierwotnego strumienia magnetycznego; w podanym przykładzie dla rosnącego w czasie pola B wektor pola magnetycznego od prądu indukcyjnego (zgodnego z kierunkiem wektora E) ma zwrot przeciwny, tj. po lewej stronie pętli mamy biegun N, po prawej biegun S i na przykład zbliżany do pętli biegun N magnesu byłby odpychany.

Podane wyżej równania Maxwella, jak również podany dalej ich zapis różniczkowy w postaci układu równań (1.3), przedstawiają fundamentalne zależności elektromagnetyzmu. Równania (1.2a)-(1.2d) można stosować wprost dla próżni. Zauważmy, że żadne parametry makroskopowe ośrodka materialnego nie pojawiają się jawnie, są one ukryte w prądach i ładunkach elektrycznych występujących w równaniach. Przy stosowaniu równań Maxwella dla danego ośrodka wymagane są dodatkowe zależności materiałowe. Z tego powodu równania (1.2a)-(1.2d) nazywa się czasami wersją mikroskopową równań Maxwella, w przeciwieństwie do przedstawionej dalej wersji makroskopowej wyrażonej układem (1.15), który uzupełnia się o wspomniane równania materiałowe.

Kilka uwag na temat równań Maxwella

James Clerk Maxwell (1831-1879) (Clerk nie jest drugim imieniem, lecz nazwiskiem rodowym) uznawany za jednego z najwybitniejszych fizyków XIX wieku, znany jest głównie ze swoich prac dotyczących teorii kinetycznej i termodynamiki, a przede wszystkim elektryczności i magnetyzmu. Profesor fizyki w Marischal College w Aberdeen (1856-1860), wykładowca w King's College w Londynie (1860-1865), od 1871 r. profesor fizyki doświadczalnej w Cavendish Laboratory w Londynie. W serii prac z lat 1855-1873 Maxwell stworzył i ostatecznie sformułował spójną teorię zjawisk elektromagnetycznych (EM), opierając się na znanych ówcześnie prawach elektryczności i magnetyzmu. Były to przede wszystkim dwie obszerne rozprawy. W pierwszej z nich zatytułowanej Dynamiczna teoria pola elektromagnetycznego (A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field) zaprezentowanej w Royal Society w 1864 r. i w rok później opublikowanej w Philosophical Transactions końcowe wyniki zostały wyrażone w postaci słynnych równań pola EM (choć w odmiennej notacji niż równania (1.2)). W 1873 r. Maxwell wydał dwutomowe, kilkuset stronicowe dzieło Traktat o elektryczności i magnetyzmie (A Treatise on Electricity and Magnetism) podsumowujące wcześniejsze jego prace na ten temat (dla zainteresowanego Czytelnika - dostępne w Internecie). W traktacie tym przedstawiona została m.in. elektromagnetyczna teoria światła oraz dyskusja problemu ciśnienia fali świetlnej.

Należy odnotować, że współczesną postać zapisu równań Maxwella wprowadził angielski matematyk i inżynier elektryk Oliver Heaviside w 1885 r., który zredukował kilkanaście oryginalnych równań Maxwella, wyrażonych za pomocą potencjałów (skalarnego i wektorowego) i zapisanych w praktycznie dziś nieużywanej w optyce notacji kwaternionów, do czterech różniczkowych równań wektorowych dla pól E i B, dużo prostszych i powszechnie dziś stosowanych.

Niezwykle ważnym, oryginalnym wkładem Maxwella było zauważenie niespójności w prawie Ampére'a i uzupełnienie równania o prąd przesunięcia zawarty w drugim wyrazie po prawej stronie równania (1.2a). W takiej formie równania elektrodynamiki są zgodne z prawem zachowania ładunku elektrycznego i dopuszczają rozwiązania w postaci fal EM rozchodzących się w próżni z prędkością c = (?0?0)-1/2.

Eksperymentalne potwierdzenie istnienia fal EM uzyskał fizyk niemiecki Heinrich Hertz w wyniku doświadczeń prowadzonych w latach 1886-1889, dostarczając zarazem dowodu na związek światła z elektromagnetyzmem. Hertz zbudował nadajnik o częstotliwości 2 GHz w postaci iskrownika podłączonego do cewki wytwarzającej wysokie napięcie (cewki Ruhmkorffa), odbiornikiem była pętla przewodnika z przerwą iskrową. Oprócz udowodnienia, że drgania EM są przekazywane na odległość z nadajnika do detektora, Hertz zmierzył również długość i prędkość fal EM, badał ich odbicie i polaryzację. Dopiero pod wpływem tych odkryć teoria Maxwella zdobyła powszechną akceptację środowiska fizyków. Hertz uważał, że odkryte przez niego fale nie znajdą żadnego praktycznego zastosowania. Tymczasem już w 1894 r. pierwsze próby z urządzeniami radiotelegraficznymi rozpoczął Guglielmo Marconi, a trzy lata później przesłał za pomocą fal EM sygnały radiowe na kilometrowe odległości.

Układ równań Maxwella wraz z równaniem (1.1) na siłę Lorentza pozwala na opisanie wszystkich zjawisk EM bez efektów kwantowych. Należy pamiętać, że dla uzyskania jednoznacznego rozwiązania równań wymagane jest dodatkowo ustalenie warunków początkowych dla ładunków i pól oraz warunków brzegowych dla pól E i B, czyli trzeba określić, jak zachowują się pola na granicach rozważanego obszaru.

Na rysunkach 1.2a-1.2d przedstawiono poglądowo sens fizyczny równań Maxwella.

Równania (1.2a-1.2d) można wysłowić następująco.

Prawo Ampére'a-Maxwella (równanie 1.2a i rys. 1.2a)

Krążenie (cyrkulacja) pola B po zamkniętym konturze C jest proporcjonalne do prądu elektrycznego płynącego przez dowolną powierzchnię S rozpiętą na tym konturze oraz do szybkości zmian strumienia pola E przenikającego przez tę powierzchnię. Pierwszy wyraz równania (1.2a) opisuje prąd związany z ruchem ładunków elektrycznych, drugi człon określa się jako prąd przesunięcia (pochodzenie nazwy historyczne), który może występować w ośrodku dielektrycznym. Mimo odmiennego pochodzenia oba prądy dają identyczny efekt, jeśli chodzi o wytwarzanie wirowego pola magnetycznego. Tytułem przykładu podanego na rys. 1.2a rozważmy stan nieustalony podczas ładowania kondensatora złożonego z dwóch kołowych płytek o powierzchni Sp. Zgodnie z równaniem (1.2a) krążenie GB pola B po kołowym konturze C o promieniu r wokół prostoliniowego przewodu z prądem I(t) jest równe GB(t) = 2prB(t) = ?0I(t), przy czym prąd dostarcza na okładki ładunek z szybkością dQ/dt. W obszarze między okładkami nie ma prądu przewodzenia, istnieje natomiast przestrzennie jednorodne pole elektryczne o natężeniu E = Q/(?0Sp), którego strumień przez powierzchnię S wynosi FE = ES = ESp = Q/?0. Przy ładowaniu płytek kondensatora szybkość zmiany strumienia daje w myśl (1.2a) prąd przesunięcia Ie(t) = ?0dFE/dt = dQ/dt = I(t), tj. o takiej samej wartości jak prąd przewodzenia.

Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya (równanie 1.2b i rys. 1.2b)

Krążenie pola E po zamkniętym konturze C jest proporcjonalne do szybkości zmian strumienia magnetycznego przenikającego przez dowolną powierzchnię S, której brzegiem jest dany kontur. Na rysunku 1.2b rosnący w czasie strumień jednorodnego pola magnetycznego przenika przez powierzchnię S rozpiętą na kołowej zamkniętej pętli z przewodnika. W efekcie w pętli wzbudzany jest prąd indukcyjny. Ponieważ w myśl prawa siły Lorentza (1.1) pole magnetyczne nie działa na nieruchome ładunki elektryczne, siła magnetyczna działająca na elektrony w kołowym przewodniku jest zerowa. Prąd musi zatem pochodzić od wirowego pola elektrycznego indukowanego przez zmienny w czasie strumień magnetyczny FB(t) = B(t)S = B(t)pr2. Krążenie pola elektrycznego (mierzone w jednostkach napięcia i zwane siłą elektromotoryczną, w skrócie SEM) po konturze pętli równe jest GE(t) = 2prE(t). Według równania (1.2b) GE(t) = -pr2dB/dt, skąd otrzymuje się (przy znajomości funkcji zmiany w czasie pola B) natężenie zmiennego w czasie pola elektrycznego równe E(t) = -(r/2)dB/dt.

Prawo Gaussa dla pola elektrycznego (równanie 1.2c i rys. 1.2c)

Strumień pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą S jest proporcjonalny do ładunku elektrycznego zgromadzonego wewnątrz tej powierzchni. Prawo to wyraża fakt, że w przyrodzie istnieją ładunki elektryczne będące źródłem pola elektrycznego. Jeśli weźmiemy pod uwagę obraz linii pola elektrycznego jak na rys. 1.2c, to prawo Gaussa oznacza, że wypadkowa liczba linii wychodzących z obszaru i wchodzących do obszaru przez powierzchnię S jest proporcjonalna do wielkości ładunku zamkniętego wewnątrz tej powierzchni. Jeśli na przykład ładunek punktowy Q umieścimy w środku sfery o promieniu r, to strumień natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię sfery wynosi ?E = E(r)4?r2 i stosując prawo Gaussa ?E = Q/?0, otrzymuje się E(r) = Q/(4??0r2). Obliczając siłę elektryczną Fel = qE(r) działającą na ładunek q znajdujący się na powierzchni sfery, dostajemy znane prawo Coulomba.

Prawo Gaussa dla pola magnetycznego (równanie 1.2d i rys. 1.2d)

Strumień pola magnetycznego B przez dowolną powierzchnię zamkniętą S jest równy zeru. Prawo wyraża fakt, że pole magnetyczne jest bezźródłowe, tzn. nie istnieją monopole magnetyczne[11]. W obrazie linii pola elektrycznego (rys. 1.2d) prawo Gaussa dla pola B oznacza, że wypadkowa liczba linii wychodzących i wchodzących przez powierzchnię S do obszaru jest zawsze zerowa - pole magnetyczne jest polem bezźródłowym.

Kilka słów o elektrodynamice jako teorii relatywistycznej

Elektrodynamika Maxwella jest teorią relatywistyczną; chociaż pojawiła się na 40 lat przed sformułowaniem w 1905 r. Szczególnej Teorii Względności (STW) przez Alberta Einsteina. Równania Maxwella są niezmiennicze względem przekształcenia Lorentza podanego w p. 1.7.4, gdzie zbadana zostanie symetria równania falowego względem tej transformacji. W teorii Maxwella nie ma żadnego wyróżnionego układu odniesienia (za taki układ uważano w XIX w. eter światłonośny), a równania nie przewidują możliwości, aby światło mogło być nieruchome - prędkość fali EM jest określona jedynie przez przenikalność elektryczną i przenikalność magnetyczną próżni wspomnianą wyżej relacją c2 = 1/(?0?0), która sugeruje niezależność prędkości c od ruchu źródła i obserwatora. Dodajmy, że historycznie to właśnie powyższa zależność zwróciła uwagę na możliwy związek między światłem a elektrycznością i magnetyzmem. W 1848 r. niemiecki fizyk Gustav Kirchhoff zauważył, że równość ta zachodzi, jeżeli podstawić doświadczalne wartości dla c, ?0, ?0. Dziesięć lat później matematyk niemiecki Bernhard Riemann wykazał, że każda hipotetyczna fala EM powinna poruszać się w próżni z prędkością opisaną powyższą zależnością. Jednak uznanie, że prędkość c ma specjalny status jako prędkość graniczna i niezmiennicza, nastąpiło dopiero pół wieku później wraz z pojawieniem się Szczególnej Teorii Względności (STW). Warto też zauważyć, że według równania (1.2a) krążenie dla pola B jest proporcjonalne do współczynnika ?0 = 1/(c2?0) stojącego przy wyrazie z gęstością prądu elektrycznego. Wartość ?0 jest c2 razy mniejsza od wartości współczynnika 1/?0 dla ładunku elektrycznego w prawie Gaussa (1.2c). W świetle STW nie jest to przypadek, ale odbicie faktu, iż pole magnetyczne może być uważane za relatywistyczną poprawkę do pola elektrycznego. Przykładowo, jeśli wziąć pod uwagę prostoliniowy przewód z prądem i cząstkę o ładunku q poruszającą się równolegle do przewodu z prędkością v, to przewodnik wytwarzając wokół siebie pole magnetyczne B działa na cząstkę siłą magnetyczną (1.1), załóżmy że siłą przyciągającą. Z kolei, jeżeli przejść do układu odniesienia związanego z ładunkiem q, który jest w tym układzie nieruchomy, to ładunek taki nie doświadcza działania pola magnetycznego, musi jednak występować zjawisko przyciągania ładunku do przewodu. Taki efekt nie zależy od wyboru obserwatora, ładunek może na przykład dotknąć przewodu zostawiając na nim ślad, co jest faktem obiektywnym. Prosty rachunek wykorzystujący wzór na relatywistyczne skrócenie długości pokazuje, że przewód z prądem staje się elektrycznie naładowany z gęstością liniową proporcjonalną do czynnika ? ? v2/c2 i na cząstkę działa w tym przypadku siła elektryczna. W istocie od wyboru układu odniesienia zależy, czy efekt doświadczenia interpretować jako przejaw oddziaływania pola B czy E, bądź obu pól. W rzeczywistości oba pola są składowymi jednej wielkości - pola EM, które w teorii relatywistycznej może być zapisane w postaci tensora (macierzy 4×4) pola elektromagnetycznego zawierającego wszystkie składowe pól E i B (tensor antysymetryczny o sześciu składowych niezależnych). Oddziaływanie ładunków za pośrednictwem pola B jest dużo słabsze niż w przypadku pola E. Powodem, dla którego łatwo zauważyć efekty magnetyczne, jest to, że w materii występują dokładnie takie same ilości ładunków dodatnich i ujemnych, dlatego w praktyce mamy do czynienia z bardzo małymi ładunkami statycznymi, natomiast łatwo uzyskać duże natężenia prądu elektrycznego będącego źródłem pola magnetycznego.

1.1.2. Równania Maxwella w postaci różniczkowej

Równania Maxwella zapisane w postaci całkowej (1.2a)-(1.2d) są łatwe do interpretacji, ale w ogólnym przypadku, z wyjątkiem specjalnych przypadków, gdzie pola E, B cechują się wysoką symetrią (np. kulistą, cylindryczną), niewygodne do obliczeń. Z tego powodu przekształca się je do postaci różniczkowej, korzystając z twierdzenia Gaussa () oraz twierdzenia Stokesa ()[12]. Stosując twierdzenie Gaussa do prawej strony równań (1.2a) i (1.2b), a twierdzenie Stokesa do prawej strony równań (1.2c) i (1.2d) oraz korzystając z przyporządkowania divA = ?A i rotA = ×A (słusznego dla współrzędnych kartezjańskich), uzyskuje się różniczkową postać równań:

,

(1.3a)

,

(1.3b)

,

(1.3c)

.

(1.3d)

Skróty div oraz rot oznaczają odpowiednio operatory różniczkowe dywergencji i rotacji, które w kartezjańskim układzie współrzędnych mogą być zapisane odpowiednio jako iloczyn skalarny i wektorowy z wykorzystaniem operatora nabla = ex?x + ey?y + ez?z, gdzie ej oznaczają wersory. Równania (1.3) można widzieć w ten sposób, że po lewej stronie równań mamy określoną charakterystykę pola, tj. jego wirowość (operator rotacji) lub źródłowość (operator dywergencji), a po prawej stronie równań - źródło tej charakterystyki. Tradycyjnie zapisuje się układ czterech równań, aczkolwiek w przypadku gdy pola są zmienne w czasie, równanie (1.3d) może być pominięte, jako że może być wyprowadzone z równania (1.3b). Biorąc bowiem dywergencję z obu stron (1.3b) i uwzględniając, że dla dowolnego wektora zachodzi div(rotA) = ?(×A) = 0, otrzymujemy 0 = ?(?B/?t) = ?(?B)/?t, skąd[13] ?B = 0.

W przypadku statycznym, gdy ? i j nie zależą od czasu (?E/?t = ?B/?t = 0), równania Maxwella rozdzielają się na dwie pary niezależnych równań: równania (1.3b) i (1.3c) opisują pole elektrostatyczne, a równania (1.3a) i (1.3d) - pole magnetostatyczne; w takim przypadku równanie (1.3d) musi być uwzględnione jawnie. Zauważmy też, iż w takim przypadku, jak wynika z (1.3b) rotacja jest zerowa, czyli pole elektrostatyczne nie jest polem wirowym.

Właściwości elektromagnetyczne próżni opisują w równaniach Maxwella współczynniki ?0 i ?0. Dwie kombinacje tych wielkości mają specjalne znaczenie:

- iloczyn wyznaczający odwrotność kwadratu prędkości fali EM w próżni,

- iloraz równy kwadratowi tzw. impedancji falowej próżni (Z0 = 120p W ? 377 W), która określa m.in. stosunek natężenia pola elektrycznego do magnetycznego dla wektorów fali EM w próżni - zob. podrozdz. 2.2.

Na koniec należy podkreślić, że równania Maxwella w próżni są liniowe (zarówno w przypadku statycznym, jak i dynamicznym), co oznacza, że dla pól E i B stosuje się zasada superpozycji (zob. Dodatek D).

1.2. Zasada zachowania ładunku elektrycznego

W równaniach Maxwella zawiera się jedno z podstawowych praw zachowania - prawo zachowania ładunku elektrycznego. Działając operatorem nabla (?) na obie strony równania (1.3a) z uwzględnieniem tożsamości ?(×B) = 0, uzyskuje się

,

(1.4)

a następnie, korzystając z (1.3c), dostajemy równanie

, lub

(1.5a)

zwane równaniem ciągłości.[14] (ang. continuity equation). W interpretacji fizycznej równanie ciągłości wyraża zasadę zachowania ładunku elektrycznego (ładunki samoistnie nie giną i nie powstają), co można wyraźniej unaocznić, biorąc całkę objętościową z obu stron równania i na podstawie twierdzenia Gaussa przekształcając je do postaci całkowej

.

(1.5b)

Powyższe równanie orzeka, że strumień gęstości prądu przez zamkniętą powierzchnię S, otaczającą pewien obszar o objętości V (lewa strona równania), równy jest szybkości zmiany ładunku elektrycznego q(t) zawartego w tym obszarze (prawa strona równania). Równanie (1.5a) lub (1.5b) stanowi matematyczny zapis lokalnej zasady zachowania ładunku, w myśl której każda zmiana ładunku w jakimś obszarze przestrzeni wynika z transportu ładunku przez granice tego obszaru, stąd określenie "lokalna zasada zachowania"; zasada nielokalna oznaczałaby na przykład, że ładunek może zniknąć w jednym miejscu i pojawić się w innym punkcie przestrzeni - ciągłość przestrzenna transportu ładunku byłaby przerwana. Na rysunku 1.3 pokazano prostopadłościan, o krawędziach równoległych do osi układu współrzędnych, przez który przepływa strumień ładunku elektrycznego w postaci wektora gęstości prądu j [jx, jy, jz]. W podpisie rysunku 1.3 podano uzasadnienie postaci równania (1.5a).

Przy założeniu, że wektor dS jest wektorem normalnym, skierowanym na zewnątrz elementu powierzchni dS = dydz, strumień wzdłuż osi x dany iloczynem skalarnym jx?dS dla lewej ścianki (wpływający) przyjmujemy jako ujemny, dla prawej ścianki (wypływający) - jako dodatni. Strumień wpływający oznacza przyrost ładunku (dq > 0), strumień wypływający - ubytek ładunku w obszarze (dq < 0), co tłumaczy użycie znaków minus w wyprowadzeniu.

Rys. 1.3. Przez element w postaci prostopadłościanu o objętości dV = dxdydz przepływa prąd o gęstości j = [jx, jy, jz]. Dla składowej jx ładunek przepływający odpowiednio przez lewą i prawą ściankę sześcianu równy jest dqx(x) = -jx(x)?dydz?dt oraz dqx(x+dx) = jx(x+dx)?dydz?dt, co daje wypadkowy przyrost ładunku dQx = dqx(x) - dqx(x+dx) = -[jx(x+dx) - jx(x)]dydz?dt. Jeżeli różnicę gęstości w nawiasie oznaczyć jako djx = (?jx/?x)dx, to ostatnie równanie można zapisać w postaci dQx/dV = -(?jx/?x)dt lub równoważnie jako d?x/dt = -(?jx/?x). Uwzględniając przepływy prądu w kierunkach y i z, otrzymamy d?/dt = -(?jx/?x + ?jy/?y + ?jz/?z), czyli równanie ciągłości (1.5)

Na koniec warto zwrócić uwagę, że zasada zachowania ładunku elektrycznego związana jest z faktem niezależności ładunku elektrycznego od prędkości, mówiąc inaczej: ładunek elektryczny jest wielkością niezmienniczą dla każdego obserwatora. Prawdopodobnie najprostszym doświadczeniem potwierdzającym ten fakt jest ogrzanie kawałka metalu. Wzrost temperatury oznacza wzrost energii kinetycznej cząstek w metalu, przy czym lekkie elektrony będą uzyskiwać prędkości znacznie większe niż ciężkie jony. Gdyby ładunek zależał od prędkości cząstek, metal powinien stać się elektrycznie naładowany, jednak zjawisko takie nie jest obserwowane. W przypadku zależności q = q(v) nie można sformułować uniwersalnej zasady zachowania ładunku elektrycznego.

1.3. Równania Maxwella w ośrodku materialnym

Teoria Maxwella jest makroskopową teorią pola elektromagnetycznego, określaną także mianem teorii fenomenologicznej (od gr. phainómenon - rzecz do obserwacji, zjawisko). W ramach tej teorii dla opisania pola EM w ośrodku materialnym wprowadza się obok wektorów E i B dwa dodatkowe wektory: wektor indukcji elektrycznej D [C/m2] oraz wektor natężenia pola magnetycznego H [A/m2]. Wektory te wiążą się z polami E i B poprzez kolejne dwa wektory, które reprezentują odpowiedź ośrodka materialnego na pole elektryczne i magnetyczne. Są to odpowiednio wektor polaryzacji elektrycznej (dielektrycznej) P [C/m2] oraz wektor namagnesowania M [T = Wb/m2]. W optyce rozważa się najczęściej rozchodzenie światła w ośrodkach dielektrycznych, dla których z bardzo dobrym przybliżeniem można przyjmować[15] M = 0. Jeśli dodatkowo ośrodek dielektryczny jest jednorodny, izotropowy i liniowy, to wówczas wektor P jest proporcjonalny do E - rys. 1.4.

Rys. 1.4. Wektor pola elektrycznego o danej częstości E(?) działając w liniowym, jednorodnym i izotropowym dielektryku wytwarza polaryzację P o tej samej częstości, równoległą do wektora E. Indukowany wektor magnetyzacji M w dielektrykach jest praktycznie zerowy. Zwraca się uwagę, że analogiczną zależność czasową P(t) = ?0?eE(t) można zapisać jedynie dla ośrodka, który reagowałby identycznie na dowolną częstotliwość pola elektrycznego (?e ? ?e(?)), tzn. dla ośrodka bez dyspersji, co zostanie wyjaśnione w dalszej części

Korzystając z wektorów H, D, P i M można zapisać równania (1.3a)-(1.3d) w standardowej postaci stosowanej w optyce do analizy oddziaływania światła z liniowym dielektrykiem, co zostanie uczynione w dalszej części. Teoria Maxwella traktuje materię w sposób ciągły dzięki wprowadzeniu makroskopowych wektorów P i M. Wiemy jednak, że materia ma strukturę atomową. Wobec powyższego, użyteczne jest rozważyć, w jaki sposób wektory makroskopowe wiążą się z ładunkami i prądami atomowymi. Wystarczą w tym celu klasyczne założenia, polegające na przyjęciu, że w polu elektrycznym cząsteczki stają się dipolami elektrycznymi, a pole magnetyczne może indukować prądy wirowe w atomach, wskutek czego pojawiają się dipole magnetyczne. W skali mikroskopowej rozkłady pola elektrycznego w cząsteczkach i między cząsteczkami są silnie niejednorodne. W równaniach Maxwella wektory E i B przedstawiają pola uśrednione po objętości V elementu ośrodka, objętości na tyle dużej, aby zawierała wiele cząsteczek, a równocześnie małej w porównaniu z objętością ciał makroskopowych.

1.3.1. Wpływ pól E i B na atomy ośrodka

Pole elektryczne i magnetyczne oddziałuje na atomy ośrodka. W dielektrykach niepolarnych złożonych z cząsteczek niebędących trwałymi dipolami pole elektryczne indukuje polaryzację elektronową molekuł, przemieszczając nieco środki ciężkości chmur elektronowych względem położenia równowagi, tak że molekuły stają się dipolami o momencie dipolowym p = qr (por. rys. 1.5a). W przypadku zmiennego pola elektrycznego fali EM pole elektryczne wywołuje oscylacje takich atomowych dipoli, co jest równoznaczne z pojawieniem się prądów wewnętrznych (jpol) związanych z ładunkami polaryzacyjnymi. Podobnie pole magnetyczne indukuje wirowe prądy (jmagn), w wyniku czego atomy stają się magnetycznymi dipolami o momentach dipolowych ? (por. rys. 1.5b). Zatem, jeśli ośrodek umieścić w zewnętrznym polu elektrycznym i magnetycznym, to indukowane będą odpowiednio ładunki polaryzacyjne i wzbudzane prądy "magnetyczne".

Rys. 1.5. (a) Suma wektorowa dipoli elektrycznych p = qd wewnątrz obszaru o objętości ?V(r) w położeniu określonym wektorem r odniesiona do tej objętości daje średni wektor polaryzacji P tego obszaru (wzór 1.6). (b) Dipole magnetyczne wytwarzane są przez momenty magnetyczne elektronów oraz orbitalne momenty magnetyczne związane z ruchem elektronów w atomach i cząsteczkach. Na przykład, płaska pętla z prądem o natężeniu I i powierzchni A ma moment magnetyczny ? = IAen, gdzie en - wersor normalny do powierzchni, a kierunek i zwrot wektora ? określony jest regułą śruby prawoskrętnej. Suma wektorów ? zawartych w pewnym obszarze wyznacza średni wektor magnetyzacji M tego obszaru

Jak już wcześniej wspomniano, w skali makroskopowej polaryzację i namagnesowanie materii pod wpływem zewnętrznych pól E i B opisuje się, definiując wektory:

- wektor polaryzacji elektrycznej P = P(r, t) [C/m2] o wymiarze powierzchniowej gęstości ładunku, który przedstawia średni moment dipolowy na jednostkę objętości (gęstość objętościową elektrycznego momentu dipolowego)

,

(1.6)

- wektor namagnesowania (magnetyzacji) M [T(tesla) = Wb/m2], który przedstawia średni moment magnetyczny na jednostkę objętości (gęstość objętościową magnetycznego momentu dipolowego)

,

(1.7)

gdzie N(r) jest średnią koncentracją atomów w objętości DV(r) zlokalizowanej w położeniu r. Wektory p, ? oznaczają elementarne momenty dipolowe atomów, odpowiednio elektryczny i magnetyczny, ?p?, ??? - wartości średnie tych momentów; znak ?...? oznacza uśrednianie, tutaj po obszarze przestrzeni.

Z wektorem polaryzacji związana jest gęstość ładunku polaryzacyjnego ?pol = -?P. Zgodnie z powyższą zależnością niejednorodna polaryzacja daje niezerową gęstość ładunku polaryzacyjnego w ośrodku dielektrycznym. Jeśli skorzystać z równania ciągłości dla ładunku polaryzacyjnego: ?jpol = -??pol/?t, to uzyskujemy wzór na gęstość prądu polaryzacyjnego dla zmiennej w czasie polaryzacji: jpol = ?P/?t. Natomiast wirowe prądy atomowe są źródłem magnetyzacji i zachodzi relacja (por. równanie (1.3a): jatom = ×M.

Złożenie wektora średniego pola E(r, t) z wektorem P(r, t) oraz pola B(r, t) z wektorem M(r, t) definiuje dwa nowe wektory:

- wektor indukcji elektrycznej [C/m2]

D(r,.t) = ?0E(r,.t) + P(r,.t), (1.8)

- wektor natężenia pola magnetycznego [A/m]

H(r,.t) = B(r,.t)/?0 - M(r,.t). (1.9),

Wektor natężenia pola magnetycznego H związany jest wyłącznie z prądami makroskopowymi (nieatomowymi) - prądem przewodzenia i przesunięcia, podobnie wektor indukcji elektrycznej D określony jest jedynie przez ładunki swobodne (niezwiązane w cząsteczkach). Innymi słowy, można tak zapisać równania Maxwella za pomocą wektorów H i D, że wektory te są określone jedynie przez mierzalne ładunki i prądy, co często ułatwia analizę. Jednak w takim przypadku konieczne jest zapisanie dodatkowo tzw. równań materiałowych (w języku angielskim określanych zwykle jako constitutive relations), które przedstawiają zależność wektorów P i M od pola elektrycznego i magnetycznego, inaczej mówiąc, średniej odpowiedzi ośrodka na pole E i B lub H. Dla ośrodków niejednorodnych, nieliniowych, anizotropowych, stratnych itd. zależności te mogą być bardzo skomplikowane. Dla ośrodków jednorodnych i liniowych związki materiałowe zapisuje się w postaci:

, .

(1.10a)

Bezwymiarowe wielkości ?e, ?m oznaczają odpowiednio podatność elektryczną i magnetyczną ośrodka. W ogólnym przypadku mamy do czynienia z ośrodkiem dyspersyjnym, podatności są funkcjami częstości pola EM i zależności (1.10a) są słuszne jedynie dla pól o danej częstości ?, czyli:

, .

(1.10b)

Wyznaczenie zależności czasowych P(r,.t), M(r,.t), na przykład dla impulsu pola elektromagnetycznego, w skład którego wchodzą różne częstości, wymaga obliczenia całki splotu[16] dla prawych stron równości (1.10b):

(1.10c)

W optyce bardzo często nie stosuje się literowego rozróżnienia dla wektorów E, B, D, H, P, M zapisywanych w dziedzinie częstości i w dziedzinie czasu. Od strony matematycznej para wielkości, na przykład E(r, t) ? E(r,?), to para transformat Fouriera; z teorii przekształcenia Fouriera przejście z iloczynu transformat ?(?)E(?) do dziedziny czasu następuje przez obliczenie splotu funkcji.

Należy zauważyć, że zapis (1.10a) w postaci P(r, t) = ?0?eE(r, t) i M(r, t) = ?mH(r, t) byłby równoważny założeniu, że ośrodek reaguje natychmiastowo na zmianę pola E lub H, co w rzeczywistości nigdy nie zachodzi (indukowanie dipoli jest procesem czasowym zależnym od szybkości zmian pola), natomiast w pewnych wypadkach jest użytecznym przybliżeniem[17]. Wprowadzając równania (1.10b) do równań (1.8), (1.9), słusznych również dla pól harmonicznych, otrzymujemy równania materiałowe w dziedzinie częstości dla wektorów D i B, przy czym dla uproszczenia pominięto dalej zapis argumentu ?t dla E = E(?t), H = H(?t), P = (?t) itd.:

,

(1.11)

,

(1.12)

gdzie wielkości ?r, ?r (indeks r - ang. relative) oznaczają odpowiednio względną przenikalność elektryczną i magnetyczną ośrodka. Ogólnie przenikalności zależą od ? przez tzw. zależności dyspersyjne: ?r = ?r(?), ?r = ?r(?). Zależności czasowe dla wektorów D i B w funkcji zmian E(t), H(t) są zapisywane identycznie jak (1.10c), gdzie funkcje ?r(t) i ?r(t) obliczamy na podstawie relacji dyspersyjnych, stosując przekształcenie Fouriera (patrz Dodatek E):

, .

(1.13)

Dalej w celu uproszczenia zapisu zależność od ? w zapisie ?r i ?r będzie pomijana, jeśli nie prowadzi to do niejednoznaczności.

Jeżeli ośrodek jest izotropowy i liniowy, to wielkości ?r i ?r są skalarami, tzn. wektor P ma ten sam kierunek co E, podobnie wektor M jest równoległy do H. W ośrodkach anizotropowych kierunki wektorów P i E oraz M i H mogą być różne, a podatności i przenikalności przedstawia się jako macierze 3×3 będące tensorami rzędu drugiego. W przypadku pola elektrycznego (analogicznie dla pola magnetycznego) pozwala to zapisać każdą składową wektora P = [Px, Py, Pz] lub D = [Dx, Dy, Dz] w sposób ogólny, jako kombinację liniową składowych wektora E = [Ex, Ey, Ez] w dziedzinie częstości, stosując kolumnowy zapis wektorów

,

(1.14a)

co zapisujemy skrótowo. Podobnie zapis skrótowy dla wektora oznacza

,

(1.14b)

gdzie przez , oznaczono odpowiednio tensor podatności i tensor przenikalności elektrycznej. Według równania macierzowego (1.14b) składowe wektora D są przedstawiane jako

; i = 1, 2, 3,

(1.14c)

gdzie indeksy i, j = 1, 2, 3 odpowiadają kolejno składowym x,. y, .z. Stosując równanie (1.14c) dla ośrodków izotropowych, uzyskuje się niezerowe, identyczne elementy przekątniowe eij = ?r, a pozostałe elementy ?ij = 0 (i ? j).

Równanie (1.8) i równanie (1.9) przepisane jako E = D/?0 - P/?0, B = ?0H + ?0M wyrażają fakt, że średnie pole elektryczne i magnetyczne w ośrodku materialnym stanowi superpozycję pola zewnętrznego wytwarzanego przez ładunki swobodne (wektor D dla pola elektrycznego) bądź prądy makroskopowe (wektor H dla pola magnetycznego) oraz pola wewnętrznego związanego z ładunkami polaryzacyjnymi (wektor P) oraz wirowymi prądami atomowymi (wektor M). Podstawiając podane wyżej wzory na E i B do równań Maxwella (1.3a)-(1.3d), otrzymuje się układ równań ukazujących w sposób jawny przyczynki od ładunków swobodnych i związanych oraz od prądów makroskopowych i mikroskopowych:

,

(1.15a)

,

(1.15b)

,

(1.15c)

.

(1.15d)

W równaniu (1.15a) j jest gęstością prądu całkowitego, na który składają się: gęstość prądu przewodzenia jprzew ładunków swobodnych oraz gęstości prądów ładunków związanych, tj. wirowe atomowe prądy "magnetyczne" (jatom = ×M) i prądy ładunków dipolowych, czyli polaryzacji (jpol = ?P/?t). W równaniu (1.15c) ?swob = ? + ?P = ? - ?pol oznacza gęstość ładunków swobodnych (tj. niezwiązanych w molekułach ośrodka), stanowiący różnicę pomiędzy gęstością ładunku całkowitego ? i ładunku polaryzacyjnego ?pol = -?P. Wartość gęstości prądu przewodzenia w (1.15a) może być określona przez makroskopowy parametr ośrodka zwany przewodnością (konduktywnością) właściwą ? [1/(??m)]

jprzew = ?E.

(1.16)

Równanie (1.16) przedstawia prawo Ohma w postaci różniczkowej i można je traktować jako jedno z równań materiałowych. Należy pamiętać, że prawo Ohma nie jest prawem fundamentalnym, ale empirycznym i nie zawsze musi być spełnione. Przewodniki, dla których prawo to zachodzi, określa się czasem nazwą przewodników omowych. Zauważmy, że dla idealnego przewodnika (w praktyce nadprzewodnika) przyjmuje się ? = ?, jednak równocześnie pole elektryczne wewnątrz przewodnika zanika (E = 0), stąd wartość gęstości prądu według (1.16) może mieć wartość skończoną. Ściślej, w takim przypadku prąd jest wzbudzany w przewodniku idealnym w chwili włączenia pola elektrycznego, utrzymując następnie swoją wartość po wyłączeniu pola. Dodajmy, że dla metali będących dobrymi przewodnikami jak glin, miedź, srebro przewodność właściwa jest rzędu 107 (?m)-1.

Układ równań w postaci (1.15a)-(1.15d) uzupełniony o zależności materiałowe (1.11), (1.12) i (1.16) jest jednym z częściej podawanych w literaturze. W tej formie, w równaniach Maxwella nie pojawiają się współczynniki ? oraz ?, dzięki czemu łatwo ustalić wymiary poszczególnych wektorów. Niekiedy użyteczne jest wprowadzić jawnie gęstość prądu polaryzacji (jpol = ?P/?t) w (1.15a), podstawiając D = ?0E + P, co daje

.

(1.17)

Warto dodać, że analizując pola EM w ośrodkach materialnych, znacznie częściej rozpatruje się wektory pól E i H niż D i B. Jednym z powodów jest łatwiejszy sposób pomiaru tych wielkości. Wartość pola E można bowiem określić przez pomiar różnicy potencjałów, a wartość pola H przez pomiar natężenia prądów zewnętrznych.

1.3.2. Równania Maxwella dla dielektryka

Polaryzacja i magnetyzacja pojawia się jako odpowiedź ośrodka na pole elektryczne i magnetyczne. Dla częstości optycznych wpływ składowej magnetycznej fali świetlnej na właściwości ośrodka jest najczęściej zaniedbywany (?m ? 0, stąd M ? 0), tak że przyjmuje się ?r = 1. W przypadku dielektryków można je zwykle traktować jako materiały niemagnetyczne również dla małych częstości pola B. W optyce najczęściej wykorzystuje się relacje materiałowe (1.11), (1.12). W przypadku gdy zakłada się brak prądów przewodnictwa (jprzew = 0) i ładunków swobodnych (?swob = 0), równania Maxwella (1.15a)-(1.15d) przybierają postać:

, ,

(1.18a,b)

, ,

(1.18c,d)

z dodaniem równań materiałowych:

B = ?0H, D = ?0?rE, ,

(1.19a,b,c)

przy czym w (1.19a) założono ?r = 1, a równania (1.19b) i (1.19c) odnoszą się odpowiednio do ośrodka dielektrycznego izotropowego lub anizotropowego (tensor przenikalności elektrycznej).

Pomijając anizotropię ośrodka, względna przenikalność elektryczna ?r jest ogólnie funkcją: częstości ? (ośrodek dyspersyjny), położenia r (ośrodek niejednorodny) i wartości pola elektrycznego E (ośrodek nieliniowy), czyli ogólnie: ?r = ?r(?, r, E). Jeśli ?r nie zależy od wartości natężenia pola elektrycznego, to dielektryk nazywany liniowym. Jednak gdy pole elektryczne jest dostatecznie duże, na przykład w skupionej wiązce laserowej lub w przypadku przyłożenia wysokiego napięcia do kryształu elektrooptycznego, wówczas należy wziąć pod uwagę zależność ?r od wartości pola E. Prowadzi to do nieliniowych efektów optycznych, w których silne pole elektryczne wiązki światła zmienia właściwości optyczne materiału, tj. wartość współczynnika załamania lub współczynnika absorpcji. Informacje o tego rodzaju optycznych efektach nieliniowych zamieszczono w części II rozdziału 5.

1.4. Warunki graniczne (brzegowe)

Dla pola EM przy powierzchni rozgraniczającej dwa różne ośrodki pola elektryczne i magnetyczne muszą zmieniać się w sposób zgodny z równaniami Maxwella po obu stronach tej powierzchni, czyli spełniać określone warunki graniczne. Warunki te są słuszne zarówno dla pól stałych, jak i zmiennych w czasie. Warunki brzegowe podawane są zwykle oddzielnie dla składowej stycznej (ang. tangential, stąd indeks t) wektora pola do powierzchni oraz dla składowej normalnej (ang. normal, stąd indeks n). W ogólnym przypadku mają one postać

Składowa styczna

Składowa normalna

Pole elektryczne

Et1 = Et2

Dn2 - Dn1 = ?swob

Pole magnetyczne

Ht2 - Ht1 = Jlin

Bn1 = Bn2,

(?1Hn1 =?2Hn2)

(1.20a)

Stosowany jest również zapis wektorowy z użyciem wersora en = e12 normalnego do powierzchni granicznej i skierowanego od ośrodka 1 do 2 (zob. rys. 1.6c) w postaci

Składowa styczna

Składowa normalna

Pole elektryczne

Et1 = Et2

Dn2 - Dn1 = ?swoben

Pole magnetyczne

Ht2 - Ht1 = Jlin×en

Bn1 = Bn2,

(?1Hn1 =?2Hn2)

(1.20b)

W równaniach (1.20) ?swob [C/m2] oznacza gęstość swobodnego ładunku elektrycznego na powierzchni granicznej, Jlin [A/m] to wektor gęstości liniowej składowej prądu płynącego na powierzchni granicznej w kierunku prostopadłym do wektorów Ht - na rys. 1.6 wektor Jlin jest skierowany prostopadle do płaszczyzny rysunku.

Rys. 1.6. Wektory pola elektrycznego i magnetycznego po obu stronach powierzchni granicznej dwóch ośrodków o względnych stałych dielektrycznych ?1, ?2 i względnych stałych magnetycznych ?1, ?2; en = e12 jest wersorem normalnym do granicy ośrodków. (a) Dla pola elektrycznego obecność swobodnego ładunku powierzchniowego o gęstości ?swob zmienia skokowo wartość składowej normalnej wektora indukcji elektrycznej Dn. (b) W przypadku pola magnetycznego istnienie prądu powierzchniowego o wektorze gęstości liniowej Jlin zmienia wektor składowej stycznej natężenia pola magnetycznego Ht (c) rysunek pomocniczy do uzasadnienia wyrażeń (1.21a,b)

Zgodnie z relacjami (1.20) w przypadku pola elektrycznego składowe styczne wektora natężenia pola elektrycznego E zachowują ciągłość na powierzchni granicznej, natomiast składowa normalna indukcji elektrycznej D zmienia się skokowo na granicy dwóch ośrodków o  wartość równą gęstości powierzchniowej ładunku na powierzchni granicznej.

Z kolei dla pola magnetycznego ciągła jest składowa normalna wektora indukcji magnetycznej B, natomiast składowa styczna wektora H zmienia się skokowo o wartość gęstości liniowej prądu powierzchniowego.

Pojęcie ładunku i prądu powierzchniowego to idealizacje, w rzeczywistości zarówno nieruchome, jak i poruszające się ładunki (prądy) zawarte są zawsze w warstwie o skończonej grubości. Tym niemniej, szczególnie w przypadku dobrych przewodników, pojęcia te stanowią dobre praktyczne przybliżenie, pozwalając na uproszczony opis, w którym grubość warstwy ładunku swobodnego (elektrostatyka) lub prądu można uważać za bliską zeru.

Dość często można spotkać nieco odmienną od (1.20b) formę zapisu wektorowego warunków brzegowych, gdzie składową prostopadłą i równoległą wektora do powierzchni granicznej wyrażamy za pomocą odpowiednio iloczynu skalarnego i wektorowego z użyciem wersora en = e12. Załóżmy ogólnie, że dany jest wektor A o dowolnym kierunku określony tuż przy powierzchni, do której wystawiony jest prostopadle wersor en - rys. 1.6c. Wtedy długość składowej normalnej wektora równa jest An = A?en, a iloczyn wektorowy en × A daje wektor o długości składowej stycznej At skierowany prostopadle do en i A. Korzystając z powyższych zapisów, warunki brzegowe wyraża się w postaci:

- składowe styczne:

en×(E2 - E1) = 0, en×(H2 - H1) = Jlin,

(1.21a,b)

- składowe normalne:

en?(D2 - D1) = ?swob, en?(B2 - B1) = 0.

(1.21c,d)

Zapisy wektorowe (1.20b) lub (1.21) mają zaletę w stosunku do zapisu skalarnego (1.20a), jeśli chodzi o warunek dla składowej stycznej wektora H, określają bowiem kierunek i zwrot wektora gęstości prądu linio­wego Jlin w stosunku do wektora H.

1.4.1. Granica dwóch dielektryków

Zwykle na powierzchni granicznej dwóch dielektryków nie ma prądów powierzchniowych (jpow = 0) i ładunków swobodnych (?swob = 0). Ponadto, dla dielektryka izotropowego, niemagnetycznego zachodzi proporcjonalność dla wektorów D = ?r?0E oraz B = ?r?0H = ?0H. W takiej sytuacji warunki brzegowe w zapisie (1.20a) upraszczają się do postaci

Składowa styczna

Składowa normalna

Pole elektryczne

Et1 = Et2

?1En1 = ?2En2

Pole magnetyczne

Ht1 = Ht2

Hn1 = Hn2

(1.22)

Jak widać, składowe styczne natężenia pola elektrycznego i magnetycznego są ciągłe na powierzchni granicznej, podobnie składowa normalna wektora H, natomiast skokowo zmienia się składowa normalna natężenia pola elektrycznego E.

1.4.2. Granica dielektryk - przewodnik

Szczególnym i ważnym przypadkiem jest powierzchnia graniczna między dielektrykiem (ośrodek 1) a przewodnikiem, który uznamy za przewodnik idealny (ośrodek 2). We wnętrzu idealnego przewodnika pole elektryczne zanika[18]: E2 = D2 = 0, co zachodzi zarówno dla pól statycznych, jak i zmiennych w czasie. Inaczej zachowuje się pole magnetyczne. Pole magnetyczne statyczne lub quasi-statyczne może istnieć w materiałach przewodzących, czego przykładem może być elektromagnes w postaci zwojnicy z prądem typowo nawiniętej na rdzeń ferromagnetyczny. Jednak w przypadku pola szybkozmiennego w czasie, gdy pole EM ma właściwości falowe (tj. pola E i H generują się wzajemnie), pole magnetyczne zanika wewnątrz przewodnika, ponieważ zgodnie z prawem indukcji EM byłoby źródłem pola elektrycznego, które jak stwierdzono wyżej jest zerowe. Zatem dla (szybko)zmiennego pola zachodzi H2 = 0. Szczególnym przypadkiem są materiały ferromagnetyczne, dla których wartości ?r mogą być rzędu dziesiątek tysięcy. Zakładając, że magnetyk jest ośrodkiem 2 oraz pole magnetyczne jest statyczne/quasi-statyczne i nie występuje prąd powierzchniowy, wtedy na mocy warunku granicznego Ht1 = Ht2 otrzymuje się Bt1 = (?r1/?r2)Bt2 << Bt2, a z warunku Bn1 = Bn2 mamy Hn2 = (?r1/?r2)Hn1 << Hn1. Ostatnia nierówność oznacza, że natężenie pola magnetycznego jest w ferromagnetyku znikome, całe pole B jest skutkiem bardzo silnej magnetyzacji - por. (1.9). Podsumowując:

Składowa styczna

Składowa normalna

Pole elektryczne

Et1 = 0

Dn1 = ?1En1 = ?swob

Pole magnetyczne

(zmienne w czasie)

Ht1 = -Jlin

Hn1 = 0

(1.23)

Tak więc tuż przy powierzchni przewodnika składowa normalna (zmiennego) pola magnetycznego (Hn, Bn) oraz składowa styczna pola (stałego lub zmiennego) elektrycznego (Et) zanikają, co oznacza, że linie pola elektrycznego są do tej powierzchni prostopadłe. Wynika stąd, iż różnica potencjałów między dwoma dowolnymi punktami A i B na powierzchni przewodnika jest równa zeru: , zatem powierzchnia idealnego przewodnika jest ekwipotencjalna. Z kolei wektor natężenia pola magnetycznego H równego co do wartości liniowej gęstości prądu powierzchniowego jest równoległy do powierzchni.

1.4.3. Wyprowadzenie warunków granicznych

Najprościej jest wyprowadzić warunki graniczne, stosując równania Maxwella w postaci całkowej. Rozważmy powierzchnię graniczną rozdzielającą dwa ośrodki o różnych przenikalnościach elektrycznych i magnetycznych - rys. 1.7.

W celu otrzymania warunków brzegowych dla wektorów D i B konstruujemy elementarny walec przecinający powierzchnię graniczną, jak pokazano na rys. 1.7a, przy czym podstawy walca są równoległe do tej powierzchni. Z prawa Gaussa (1.2c) zapisanego w postaci (por. też (1.15c)) obliczamy strumień indukcji elektrycznej przechodzący przez całkowitą powierzchnię walca. Zakładając, że wysokość walca zmniejsza się do zera (h ? 0), strumień przez powierzchnię boczną walca staje się pomijalnie mały i otrzymuje się strumień wypadkowy jako różnicę pomiędzy strumieniem wchodzącym i wychodzącym przez podstawy walca o powierzchni S

, (dla h?0),

(1.24a)

czyli

en?(D2 - D1) = ?swob, lub Dn2 - Dn1 = ?swob,

(1.24b)

gdzie ?swobS = qswob jest ładunkiem swobodnym znajdującym się na powierzchni granicznej wewnątrz walca. W ten sposób uzyskuje się równanie (1.21c) dla składowej normalnej indukcji elektrycznej. Całkowicie analogicznie, korzystając z prawa Gaussa dla pola magnetycznego , wyprowadza się warunek en?(B2 - B1) = 0, czyli B2n - B1n = 0.

W przypadku wektora E lub H bierzemy pod uwagę elementarną krzywą zamkniętą w postaci prostokąta przecinającego powierzchnię graniczną, jak na rys. 1.7b, przy czym długie boki prostokąta są równoległe do tej powierzchni. Dla wektora H korzystamy z prawa Ampéra-Maxwella zapisanego w postaci (por. (1.2a)) (por. też (1.15a)) i obliczamy cyrkulację wektora H wzdłuż prostokąta. Przy założeniu, że wysokość prostokąta maleje do zera (h ? 0), strumień indukcji elektrycznej przechodzący przez wnętrze konturu staje się pomijalnie mały, tj. znika drugi wyraz po prawej stronie podanego wyżej równania, skąd uzyskuje się zależność

(dla h ? 0),

(1.25a)

którą można także zapisać jako

lub .

(1.25b)

Jest to warunek brzegowy (1.21b) dla składowej stycznej natężenia pola magnetycznego. Należy zauważyć, że gdy pole prostokąta maleje do zera, prąd płynący przez powierzchnię prostokąta wciąż może mieć wartość skończoną, jako prąd powierzchniowy. Postępując w ten sam sposób z użyciem równania (1.2b) wyprowadza się warunek (1.20) dla składowych stycznych wektora E, które zawsze zachowują ciągłość.

1.5. Gęstość energii pola EM i strumień energii fali EM

Zasada zachowania energii jest jedną z podstawowych zasad w fizyce, dlatego ważne jest zbadanie, jak poprawnie sformułować i zapisać tę zasadę w elektrodynamice. Wiadomo z doświadczenia, że fala EM niesie energię oraz że występuje wymiana energii pomiędzy polem EM a ładunkami. W ośrodku materialnym mogą występować trzy rodzaje prądów elektrycznych: prąd nośników swobodnych, czyli prąd przewodzenia o gęstoś­ci jprzew oraz tzw. prądy związane, na które składa się prąd polaryzacyjny, związany z ładunkami dipoli elektrycznych, i prądy wirowe, magnetyczne, związane z dipolami magnetycznymi.

W przypadku ładunków swobodnych szybkość przetwarzania energii EM na pracę wynosi[19] dWq/dt = jprzew?E, gdzie dWq oznacza elementarną pracę[20]. W ośrodku przewodzącym ładunki pod wpływem pola elektrycznego zwiększają swoją średnią energię kinetyczną, przekazując ją także do molekuł ośrodka, następuje więc zjawisko przekształcenia pracy pola EM w energię wewnętrzną ośrodka, zwaną ciepłem Joule'a.

Jeśli założyć, że w polu EM zawarta jest energia o pewnej gęstości wem, to z transportem tej energii powinien być skojarzony pewien jej strumień oznaczany dalej przez S (będący wektorem jako mający kierunek i zwrot) oraz energia pola EM, która może być przetwarzana na pracę Wq nad ładunkami. Matematyczny zapis zasady zachowania energii postulujemy w postaci równania ciągłości, gdzie bilans energii z udziałem pola EM zilustrowano schematycznie na rys. 1.8.

Rys. 1.8. Ilustracja zasady zachowania energii dla pola elektrycznego i magnetycznego w ośrodku. Energia EM wpływająca w jednostce czasu w postaci strumienia S [W/m2] do elementu ośrodka o objętości V i ograniczonego zamkniętą powierzchnią A równa jest szybkości przetwarzania energii pola EM na pracę Wq oraz szybkości wzrostu energii elektromagnetycznej zmagazynowanej w tym elemencie przestrzeni, gdzie wem oznacza objętościową gęstość energii EM

Zasadę zachowania energii zgodnie z rysunkiem 1.8 można zapisać w postaci

,

(1.26)

gdzie wektor dA = endA ma wartość elementarnego pola powierzchni dA i kierunek wersora en skierowanego na zewnątrz i prostopadłego do tej powierzchni. Z lewej strony (1.26), przy całce z S mamy znak minus, ponieważ zakładamy, że wypadkowy strumień energii wpływa do obszaru, czyli jest skierowany przeciwnie do wektora dA. Podaną postać całkową można przekształcić do postaci różniczkowej, jeśli skorzystać z twierdzenia Gaussa (zob. Dodatek A), tak aby całkę po zamkniętej powierzchni A zamienić na całkę objętościową . W rezultacie otrzymamy

?S = ?wem/?t + dWq/dt

(1.27)

Korzystając z równań Maxwella, wszystkie człony w równaniu (1.27) daje się zapisać za pomocą wektorów pola elektrycznego i magnetycznego. W ten sposób pojawiają się kombinacje pól, które definiują wektor strumienia energii S oraz gęstość energii wem. Tak zapisane równanie (1.27) (zob. (1.30)) nosi nazwę twierdzenia Poyntinga[21]. Zakładając poprawność równań Maxwella, uzyskane na podstawie przekształceń matematycznych równanie (1.27) będzie prawdziwe, nie jest więc nowym prawem fizycznym, tylko wnioskiem z teorii. Jako reprezentację pola elektrycznego i magnetycznego wybierane są zwykle pola E i H lub E i B (rzadziej D i H oraz D i B). Wybór różnych wektorów daje nieco inną postać twierdzenia Poyntinga i wiąże się z kwestią określonej definicji strumienia energii. Tradycyjnie wybiera się pola E i H, co zostanie uczynione również tutaj, przy czym rozważymy oddzielnie ośrodek dyspersyjny i bezdyspersyjny, pamiętając, iż w tym drugim przypadku jest to zawsze przybliżenie.

A. Ośrodek dyspersyjny

Weźmy pod uwagę równania Maxwella zapisane w formie równań (1.15a) i (1.15b):

, .

Mnożąc skalarnie równanie pierwsze przez E, drugie przez H, a następnie odejmując równania stronami, otrzymuje się

.

(1.28)

Stosując tożsamość wektorową div(X×Y) = -X?rot(Y) + Y?rot(X), czyli w układzie kartezjańskim używając operatora nabla: ?(X × Y) = -X?( × Y) + Y?( × X), lewa strona równości (1.28) jest równa ?(H × E). Stąd, jeśli dodatkowo uwzględnić, że przestawienie kolejności wyrazów w iloczynie wektorowym powoduje zmianę znaku, otrzymujemy

.

(1.29)

Jeżeli podstawić za D i B zależności (1.11) i (1.12), tj. D.=.?0E.+.P, B.=.?0H.+.?0M, oraz dla pochodnych czasowych skorzystać z równości E(?tE) = (1/2)?t(E?E) i H(?tH) = (1/2)?t(H?H), to wtedy (1.29) daje po rozpisaniu

.

(1.30)

Jest to postać twierdzenia Poyntinga, gdzie E i H przyjęto jako podstawowe wektory pól. Porównanie powyższego równania z równaniem (1.27) sugeruje określoną interpretację fizyczną dla poszczególnych wyrazów we wzorze (1.30). I tak, dla wyrazu po lewej stronie definiuje się wektor S = S(r,.t) [W/m2]

S(r,.t) = E(r,.t) × H(r,.t),

(1.31)

noszący nazwę wektora Poyntinga[22], który przedstawia lokalną gęstość strumienia energii EM (ściślej powierzchniową gęstość strumienia mocy pola EM)[23], czyli wektor S przedstawia ilość energii EM przepływającej w jednostce czasu przez jednostkową powierzchnię prostopadłą do niego wskazując kierunek transportu energii fali EM i jest zawsze prostopadły do wektorów E i H. Przyjmuje się, że wzór (1.31) obowiązuje w każdym przypadku, zarówno w próżni, jak i w dowolnym ośrodku materialnym.

Wyrażenie

wem(t) = (1/2)(?0E?E + ?0H?H) = we(t) + wm(t)

(1.32a)

opisuje lokalną objętościową gęstość energii zmagazynowaną w danej chwili w polach E i H, gdzie chwilowa gęstość energii pola elektrycznego oraz pola magnetycznego dane są odpowiednio wyrażeniami:

, .

(1.32b)

Powyższe wyrażenia przedstawiają gęstość energii pola EM w próżni, jako że nie uwzględniono tu polaryzacji i magnetyzacji materii.

Ostatnie trzy wyrazy równania (1.30) reprezentują odpowiednio:

(a) E?jprzew - szybkość wymiany energii między polem EM a ośrodkiem przez wzbudzanie prądu przewodzenia; gdy iloczyn skalarny jest dodatni, wówczas energia pola EM wytwarza prąd nośników swobodnych, a gdy iloczyn skalarny jest ujemny, wówczas prąd ładunków wytwarza energię i przekazuje ją do pola EM,

(b) wyrazy E??P/?t i ?0H??M/?t określają szybkość wymiany energii między polem E a dipolami elektrycznymi w ośrodku (?P/?t jest gęstością prądu polaryzacyjnego) oraz między polem H a dipolami magnetycznymi. Zauważyć należy, że nie pojawia się tutaj prąd wirowy ×M, ale ?M/?t, co odpowiada matematycznie, przez analogię do ?P/?t, prądowi fikcyjnych związanych monopoli magnetycznych.

B. Ośrodek bezdyspersyjny, liniowy, izotropowy

Dla ośrodka bezdyspersyjnego odpowiedź w postaci polaryzacji i magnetyzacji jest natychmiastowa, co równoważne jest założeniu, że podatności elektryczna i magnetyczna nie zależą od częstości pola i słuszne są równania materiałowe w postaci: D(r,.t) = ?0?rE(r,.t), B(r,.t) = ?0?rH(r,.t); dla ośrodka dyspersyjnego zależności te wyrażone są matematycznie przez całki splotu (patrz rozdział 2). W takim przypadku twierdzenie Poyntinga (1.29) można przepisać jako

,

(1.33)

czyli zarówno polaryzacja P, jak i magnetyzacja M została włączona w stałych ?r i ?r do wyrażenia na gęstość energii pola EM, która przybiera postać

,

(1.34a)

lub w zapisie z użyciem wektorów D i B

.

(1.34b)

Jest to często spotykana postać wyrażenia na gęstość energii pola EM w ośrodku, ale należy zaznaczyć, że wzór jest właściwy dla ośrodków z pominięciem dyspersji. Wyjątkiem są pola harmonicznie zmienne w czasie, dla których ?r = ?r(?), ?r = ?r(?) są określone dla danej częstości. Wtedy

.

(1.34c)

Korzystając z wyrażenia na gęstość energii EM, równanie (1.33) można przepisać jako

.

(1.35a)

Dla ośrodka dielektrycznego bezstratnego i bez prądów przewodzących równanie (1.35a) przybiera postać analogiczną do równania ciągłości dla ładunku elektrycznego (1.5a)

,

(1.35b)

wyrażając zasadę zachowania energii dla pola EM dla takiego ośrodka.

1.6. Gęstość pędu i momentu pędu (krętu) pola EM

Oprócz energii pole EM może przenosić pęd oraz moment pędu. Można wykazać bezpośrednio z równań Maxwella (zob. rozdział 6), że chwilowa, lokalna gęstość pędu pola EM (czyli pędu na jednostkę objętości) w próżni dana jest przez

?em(r,.t) = ?0?0S(r,.t) = S(r,.t)/c2.

(1.36)

Podobnie jak w przypadku wektora Poyntinga S = E × H postuluje się, że wyrażenie (1.36) opisuje gęstość pędu pola EM w każdej sytuacji, czyli także w dowolnym ośrodku materialnym. Jak widać, wektor S pojawia się w elektrodynamice w dwojakiej roli: (1) przedstawia gęstość strumienia energii EM oraz (2) reprezentuje pęd pola EM na jednostkę objętości, gdzie czynnikiem skalującym jest 1/c2.

W mechanice klasycznej zarówno newtonowskiej, jak i relatywistycznej dla cząstki w położeniu r(t) i mającej pęd p(t) definiuje się chwilowy moment pędu (kręt) cząstki jako iloczyn L(t) = r(t) × p(t). Podobnie dla pola EM niosącego pęd można zdefiniować chwilową gęstość momentu pędu pola EM (momentu pędu na jednostkę objętości) daną wzorem

Lem(r,.t) = r(t) × S(r,.t)/c2.

(1.37)

Przyjmuje się, że wyrażenie (1.37) jest zawsze słuszne, czyli także dla pola EM w dowolnym ośrodku. Kiedy fala EM oddziałuje z ośrodkiem materialnym, zwykle przekazuje cząstkom ośrodka część energii, pędu i krętu. Przekaz pędu objawia się m.in. w postaci siły, z jaką fala EM działa na powierzchnię obiektu - ciśnienie promieniowania jest bezpośrednią manifestacją pędu pola EM. Podobnie, jeśli fala EM niosąca kręt oddziałuje z obiektem, to działa nań skręcającym momentem siły. Takie siły związane z promieniowaniem EM znalazły dziś zastosowanie do pułapkowania i manipulacji małymi obiektami, jak dielektryczne cząstki o mikrometrowych rozmiarach czy komórki biologiczne. Odpowiednio ukształtowane wiązki światła przeznaczone do chwytania i przemieszczania tego typu obiektów określa się nazwą szczypiec (pęset) optycznych (ang. optical tweezers) - zob. rozdział 6, natomiast wiązki służące do obracania mikrocząstek określa się mianem kluczy optycznych (ang. optical spanners).

1.7. Równanie falowe dla dielektryka

Równania Maxwella stanowią układ równań różniczkowych opisujących, jak zachowują się w czasie i przestrzeni wektory pola elektrycznego i magnetycznego. W przypadku zmiennych w czasie pól rozchodzących się w postaci fali EM równania przekształca się w taki sposób, aby otrzymać zależność dla jednego wybranego wektora pola. Tego rodzaju równanie nosi nazwę równania falowego. Tutaj ograniczymy się do rozważenia niemagnetycznego (?r = 1), bezstratnego, izotropowego ośrodka dielektrycznego z pominięciem dyspersji[24], bez swobodnych ładunków elektrycznych (?swob = 0) i prądów przewodzenia (jprzew = 0). Wówczas równania Max­wella (1.18a)-(1.18d) dla pól E i H przybierają postać:

,

(1.38a)

,

(1.38b)

,

(1.38c)

,

(1.38d)

gdzie założono, że ośrodek może być niejednorodny, jeśli chodzi o stałą elektryczną, czyli ?r = ?r(r), stąd pojawia się różniczkowanie iloczynu w równaniu (1.38c). W (1.38a) pozostawiono współczynnik ?r dla zachowania symetrii względem (1.38b). Mając na celu otrzymanie równania falowego, należy z powyższych równań wyrugować jedną składową pola.

1.7.1. Równanie falowe dla pola elektrycznego

Na obie strony równania (1.38a) działamy operatorem rotacji × , czyli

(1.39)

Za ×H wprowadzamy prawą stronę równania (1.38b) oraz podstawiamy

?0?0 = 1/c2,

(1.40)

gdzie c oznacza prędkość fali EM w próżni. Zależność (1.40) zostanie uzasadniona w punkcie 1.7.3. W rezultacie otrzymuje się

.

(1.41)

Lewą stronę równania można przekształcić, stosując tożsamość wekto­rową[25]: ×(×E) = (?E) - 2E, wobec czego równanie (1.41) przybiera postać

.

(1.42)

Jeśli z równania (1.38c) podstawić ?E = -(?r/?r)?E, to równanie (1.42) można zapisać jako

.

(1.43)

Jeżeli względna zmiana przenikalności elektrycznej spełnia warunek ?r/?r<<1 na odległości rzędu długości fali ?, to wówczas drugi wyraz w równaniu (1.43) może zostać pominięty. Jeżeli warunek ten jest spełniony, to propagację fali EM w takim ośrodku można opisywać, posługując się równaniem dla pola elektrycznego w postaci

.

(1.44)

Równość we wzorze (1.44) jest oczywiście ścisła dla ośrodka jednorodnego (?r = constans). Należy podkreślić, że równość może być dokładna także dla struktur niejednorodnych, jak na przykład światłowody planarne, pod warunkiem, że iloczyn skalarny wektorów (?r)?E = 0.

1.7.2. Równanie falowe dla pola magnetycznego

Dzieląc równanie (1.38b) przez ?r(r) i działając operatorem rotacji na obie strony równania, dostajemy

.

(1.45)

Po podstawieniu z równania (1.38a) ×E = -?0?r?H/?t otrzymuje się równanie falowe

.

(1.46)

Czasem wygodniej jest stosować równanie falowe dla pola H zapisane w nieco odmiennej postaci. Stosując rotację do obu stron równania (1.38b), mamy

.

(1.47)

Wykorzystując tożsamość wektorową jak przy (1.41) do lewej strony równania (1.47) z uwzględnieniem ?H = 0 oraz , w wyniku[26] dostaje się

,

(1.48)

a uwzględniając równania (1.38a) i (1.38b), otrzymujemy ostatecznie

.

(1.49)

Dla ośrodka jednorodnego (?r = 0) równanie redukuje się do postaci

,

(1.50)

czyli staje się identyczne jak równanie dla wektora E dane wzorem (1.44).

1.7.3. Stała c w równaniu falowym

Uzasadnimy podaną wcześniej zależność ?0?0 = 1/c2, która fizycznie oznacza, że fale elektromagnetyczne rozchodzą się w próżni z prędkością światła. Historycznie potwierdzenie powyższej równości stanowiło pierwszą przesłankę na rzecz hipotezy, że światło jest falą EM. Dla uproszczenia rachunków załóżmy wektor pola elektrycznego w postaci E(z, t) = exEx(z, t) ze składowymi Ey = Ez = 0, innymi słowy, fala jest liniowo spolaryzowana w kierunku x. W takim wypadku lewa strona równania falowego (1.44) jest równa 2E = , czyli

.

(1.51)

Weźmy pod uwagę dowolną funkcję postaci

,

(1.52)

która jest dwukrotnie różniczkowalna względem zmiennych z i t. Funkcja taka przedstawia rozkład o niezmiennym kształcie, czyli falę przesuwającą się z prędkością v w kierunku +z (argument funkcji F ze znakiem minus) lub w kierunku -z (argument funkcji F ze znakiem plus). Łatwo sprawdzić, że powyższa funkcja spełnia równanie falowe (1.51). Istotnie, oznaczając argument jako ? = z ? vt i obliczając pochodne, uzyskuje się:

i ,

oraz

.

Wprowadzając obliczone pochodne do równania (1.51), znajdujemy

.

(1.53)

Widać, że równanie jest spełnione, pod warunkiem że . Ta prędkość fali okazuje się być równa prędkości światła, czyli v = c, co uzasadnia wzór (1.40). Rozpatrywane równanie falowe dla próżni jest równaniem bezdyspersyjnym, tzn. fale EM o dowolnej częstości rozchodzą się z tą samą prędkością i fala nie zmienia kształtu podczas ruchu. Zaznaczmy, że próżnia jest tak naprawdę jedynym znanym jednorodnym ośrodkiem bezdyspersyjnym.

1.7.4. Równanie falowe jako równanie liniowe

Do analizy rozchodzenia się fali EM w ośrodku jednorodnym wykorzystuje się równanie falowe (1.44) lub w przypadku fali jednowymiarowej równanie w wersji uproszczonej (1.51). Podkreślmy tu fakt, że równania te są liniowe. Przypomnijmy, że matematycznie równanie różniczkowe jest liniowe, jeżeli szukana funkcja ?(x, y, z, t) oraz pochodne tej funkcji występują tylko w pierwszej potędze i nie występują wyrazy mieszane w postaci iloczynu pochodnej i funkcji. W części II rozdziału 5 napotkamy przykład nieliniowego równania falowego opisanego wzorem (5.125b), w którym występuje człon typu |?|2?. Wszystkie pozostałe postacie rozważanych w książce równań falowych należą do klasy równań liniowych, w szczególności będą to równania: (1.66) dla fali monochromatycznej, (5.124) dla obwiedni impulsu w ośrodku liniowym, (7.17) dla obwiedni fali w przybliżeniu przyosiowym. Cechą charakterystyczną równań liniowych jest, że superpozycja, tj. kombinacja liniowa dwóch lub więcej rozwiązań równania także stanowi rozwiązanie. W szczególności oznacza to, że fala w ośrodku liniowym może być przedstawiona jako suma wielu fal harmonicznych o różnych częstościach i amplitudach, co matematycznie realizuje się przez zastosowanie analizy fourierowskiej. Zagadnienie to jest omawiane dokładniej w kolejnych rozdziałach. Z faktu liniowości wynika także, fale EM rozchodzą się w ośrodkach liniowych niezależnie, nie zakłócając się wzajemnie. Inaczej dzieje się w ośrodkach nieliniowych opisanych równaniem falowym nieliniowym, gdzie jedna fala poprzez zmianę właściwości ośrodka wywiera wpływ na inną falę, co określa się mianem sprzężenia lub mieszania fal.

1.7.5. Równanie falowe jako równanie relatywistyczne

Światło jest zjawiskiem relatywistycznym i z faktem tym wiąże się m.in. określona symetria struktury równania falowego. Zauważmy, że skalarne równanie falowe (1.51) zapisane jako

(1.54)

ma identyczną postać jak równanie dla fali mechanicznej, gdzie c oznaczałoby prędkość fali względem ośrodka materialnego. Jak wiadomo, mierzona prędkość fali mechanicznej, na przykład fali dźwiękowej, zależy od układu odniesienia, w którym fala jest obserwowana. I tak na przykład, obserwator poruszający się z prędkością u naprzeciwko fali dźwiękowej zmierzy prędkość czoła fali równą u + c. W przypadku światła obowiązuje natomiast zasada, iż prędkość c jest zawsze taka sama i nie zależy ani od ruchu źródła, ani obserwatora. Postulat niezmienniczości prędkości światła oraz przyjęcie zasady względności, iż prawa fizyki zachowują identyczną postać w każdym układzie inercjalnym, stał się dla Alberta Einsteina podstawą do sformułowania w 1905 r. Szczególnej Teorii Względności (STW)[27]. W ramach STW wyprowadzane są tzw. wzory transformacyjne Lorentza[28], które wiążą współrzędne zajścia tego samego zdarzenia w dwóch układach inercjalnych przemieszczających się względem siebie ze stałą prędkością u = ux (tutaj zakładamy, że wzdłuż osi x)

(1.55)

gdzie człon ?(u) = (1 - u2/c2)-1/2 ? 1 zwany jest czynnikiem Lorentza.

W granicy małych prędkości (u/c << 1) czynnik ?(u) ? 1 i równania (1.55) z dobrym przybliżeniem można zapisać w postaci

x? ? x - ut, t? ? t,

tj. w postaci wzorów transformacyjnych Galileusza słusznych w mechanice nierelatywistycznej.

Wspomniana na wstępie symetria równania falowego (1.54) polega na tym, że po podstawieniu doń wyrażeń (1.55), czyli przejściu do innego układu inercjalnego, równanie nie zmieni postaci. Dowód sprowadza się do zaledwie kilku przekształceń, jednak dla uproszczenia rachunków użyteczne jest wprowadzenie niewielkiej modyfikacji zapisu równań, polegającej na zdefiniowaniu czasów ? = ct i ?? = ct? mierzonych w metrach świetlnych[29], czyli w jednostkach odległości. W  ten sposób współrzędne przestrzenna oraz czasowa stają się matematycznie równoważne i podane wyżej równania (1.54) i (1.55) przybierają symetryczną postać:

(1.56)

(1.57a,b)

gdzie ? = u/c. Symbol -, oznacza operator zwany delambercjanem (operatorem d'Alemberta) i postawione zadanie można matematycznie sformułować jako wykazanie niezmienniczości delambercjanu względem przekształcenia Lorentza. Operatory różniczkowe po zmiennych x i ? dają się przedstawić jako kombinacje liniowe operatorów po współrzędnych x? i ??:

(1.58)

a operatory drugich pochodnych jako:

(1.59)

Odejmując równania (1.59) stronami i uwzględniając, że , otrzymuje się

,

(1.60)

co należało wykazać.

Przedstawione postępowanie można odwrócić i wychodząc od równania falowego (1.54) szukać takiej postaci transformacji współrzędnych między układami inercjalnymi, aby równanie falowe zachowało niezmienioną postać. W rezultacie znajduje się wzory (1.57) na przekształcenie Lorentza[30].

1.7.6. Równanie falowe dla fali monochromatycznej

Przy badaniu propagacji światła bardzo często zakłada się, że mamy do czynienia z falą monochromatyczną, czyli falą harmoniczną, w której pole elektryczne i magnetyczne oscyluje z jedną, określoną częstością ?, co pozwala zapisać zależność od czasu w notacji zespolonej jako[31] exp(i?t) = cos(?t) + i?sin(?t) i przedstawić wektory pól w postaci iloczynu części przestrzennej i czynnika czasowego:

E(r,?t) = E(r)exp(i?t), H(r,?t) = H(r)exp(i?t),

(1.61)

gdzie E(r) = eE.E(r)exp(i?E), H(r) = eH.H(r)exp(i?H) reprezentują wektory zespolonych amplitud, w których uwzględnia się przesunięcia fazowe ?E, ?H. Wersory eE, eH wskazują kierunek wektorów pola. W zapisie zespolonym sens fizyczny ma część rzeczywista wektorów E i H, jednak notacja zespolona jest znacznie wygodniejsza ze względów rachunkowych, m.in. z powodu łatwości różniczkowania funkcji wykładniczej. Ponadto dla pól monochromatycznych E(?), H(?) stałe materiałowe ?r(?), ?r(?) dla danej częstości ? to ustalone wielkości, które można wyprowadzić przez pochodną czasową. Znacząco ułatwia to prowadzenie analizy dla ośrodka dyspersyjnego.

Podstawiając (1.61) do równań (1.38a)-(1.38d), powyższe równania Maxwella dla amplitud zespolonych harmonicznego pola EM przybierają postać[32]:

, ,

(1.62a, b)

?(?rE) = 0, ?H = 0.

(1.62c, d)

Jeżeli w równaniu (1.62b), na podstawie zależności materiałowej (1.11), podstawić ?rE = D/?0 = E + P/?0, to (1.62b) zapisywane jest w formie .

W celu uzyskania postaci równania falowego można, stosując równania (1.62a) i (1.62b), powtórzyć wyprowadzenia jak w punktach 1.7.1 i 1.7.2 lub od razu skorzystać z podanych tam równań falowych. I tak, podstawiając wyrażenia (1.61) kolejno do (1.41) i (1.46), otrzymamy odpowiednio

, ,

(1.63a,b)

a wprowadzając (1.61) do (1.43) i (1.49), równania:

, .

(1.63c,d)

Jeżeli zmiany stałej dielektrycznej ?r = ?r(x,.y,.z) w każdym kierunku są na tyle małe, że można przyjąć ?r/?r << 1, to wtedy równania (1.63a,b) i (1.63c,d) upraszczają się do postaci

, .

(1.64a,b)

Są to równania ścisłe dla ośrodka jednorodnego oraz z dobrym przybliżeniem słuszne dla ośrodka quasi-jednorodnego. Jeśli w (1.64) rozpisać wektor pola na składowe, przykładowo dla pola E

,

(1.65)

i porównać składowe, to widać, że w tym przypadku równanie falowe dla każdej składowej Ej (j = x,.y,.z) ma taką samą postać. Równanie takie nosi nazwę równania falowego skalarnego

.

(1.66a)

Posługując się równaniem falowym skalarnym, zakłada się więc, iż wszystkie składowe pola rozchodzą się w ośrodku jednakowo i są niezależne od siebie. Identyczne równanie uzyskuje się dla składowych pola H. Niezależne od czasu równanie (1.66a) zwane jest równaniem falowym Helm­holtza[33]. Często badana jest fala biegnąca w bezstratnym dielektryku, dla którego zakłada się ?r = 1. Jeśli wprowadzić oznaczenia k0 = ?/c oraz ?r = n2, gdzie k0 oznacza tzw. liczbę falową, a n - współczynnik załamania ośrodka, to wtedy równanie (1.66a) zapisuje się w prostszej, często używanej formie

.

(1.66b)

Znaczenie fizyczne obu wielkości k0 i n zostanie dokładniej wyjaśnione w rozdziale 2. Równanie skalarne jest wykorzystywane przy analizie rozchodzenia się światła w ośrodkach jednorodnych, jak również przy określonych założeniach w analizie propagacji wiązki światła w strukturach falowodowych. Jednak należy mieć na uwadze, że aproksymację skalarną w ośrodkach niejednorodnych uzyskuje się zasadniczo przy założeniu małych zmian przenikalności elektrycznej ośrodka, co jest równoważne z małymi zmianami współczynnika załamania.

1.8. Podsumowanie

Jako podsumowanie rozdziału w tabeli poniżej zamieszczono zestawienie podstawowych wielkości w elektrodynamice, które zostały użyte w tekście rozdziału wraz z podaniem jednostek oraz wzorów określających relacje między tymi wielkościami.

Tabela 1.1. Zestawienie podstawowych wielkości w elektrodynamice

Wielkość fizyczna

Nazwa

Jednostka w SI

?0

przenikalność elektryczna próżni

?0

przenikalność magnetyczna próżni

Z0 = (?0/?0)1/2 ? 377 ?

impedancja falowa próżni

?

przewodność elektryczna właściwa (konduktywność)

E

natężenie pola elektrycznego

P = ?0?eE

polaryzacja elektryczna (liniowa)

?e,

podatność elektryczna,

tensor podatności elektrycznej

-

D = ?0E + P = ?0?rE

indukcja elektryczna

?r = 1 + ?e

względna przenikalność elektryczna (rzadziej: stała dielektryczna),

tensor względnej przenikalności elektrycznej

-

H

natężenie pola magnetycznego

M = ?mH

namagnesowanie

?m

podatność magnetyczna

-

B = ?0(H + M) = ?0?rH

indukcja magnetyczna

?r = 1 + ?m

względna przenikalność magnetyczna

-

jprzew = ?E

gęstość prądu przewodnictwa (prawo Ohma w postaci różniczkowej)

j = jatom + jpol + jprzew =

=×M + ?P/?t + jprzew

gęstość prądu całkowitego w ośrodku

?pol = -?P

gęstość ładunku polaryzacyjnego

? = ?swob + ?pol

całkowita gęstość ładunku elektrycznego

(swobodnego i polaryzacyjnego)

Jlin

gęstość liniowa prądu

wem = we + wm =

=(1/2)(?0E?E + ?0H?H)

objętościowa gęstość energii pola elektrycznego i magnetycznego

S = E×H

wektor Poyntinga (gęstość strumienia energii pola EM)

?em = S/c2

gęstość pędu pola EM

Lem = r × S/c2

gęstość momentu pędu pola EM

Literatura do rozdziału 1

1.1. Born M., Wolf E., Principles of Optics, 7 ed. University Press, Cambridge 1999, Ch. 1.

1.2. Feynman R.P., Leighton R.B., Sands M., Feynmana wykłady z fizyki, t. II, PWN, Warszawa 2000.

1.3. Griffiths G.J., Introduction to Electrodynamic, Prentice Hall,  1999, tłum. pol. Griffiths G. J., Podstawy elektrodynamiki, PWN, Warszawa 2001.

1.4. Kinsler P., Favaro A., McCall M.W., Four Poynting theorems, Eur. J. Phys. 30, 983, (2009).

1.5. Mansuripur M., Field, Force, Energy and Momentum in Classical Electrodynamics, Bentham eBooks 2011.

1.6. Mansuripur M., On the Foundational Equations of the Classical Theory of Electrodynamics, Resonance (2013).

1.7. Morawski T., Gwarek W., Pola i fale elektromagnetyczne, WNT, Warszawa 1998.

1.8. Orfanidis S.J., Electromagnetic Waves, Antennas, Rutgers University 2016, książka dostępna pod adresem: www.ece.rutgers.edu/~orfanidi/ewa.

1.9. Peatross J., Ware M., Physics of Light and Optics, Brigham Young University 2015, książka dostępna na stronie: www.optics.byu.edu.

1.10. Petykiewicz J., Optyka falowa, PWN, Warszawa 1986.

1.11. Piątek Z., Jabłoński P., Podstawy teorii pola elektromagnetycznego, WNT, Warszawa 2010.

1.12. Purcell E.M., Electricity and Magnetism, McGraw-Hill,  1965, tłum. pol. Purcell E.M., Elektryczność i magnetyzm, PWN, Warszawa 1975.

1.13. Saleh B.E.A., Teich M.C., Fundamentals of Photonics, 2 ed., Wiley & Sons,  2007.

1.14. Wróblewski A.K., Historia fizyki, PWN, Warszawa 2006.

1.15. Yariv A., Yeh P., Optical Waves in Crystals, Wiley & Sons,  1984.

2Rozchodzenie się fali monochromatycznej w ośrodku

Rozważmy jednorodny, izotropowy ośrodek bez ładunków swobodnych i prądów przewodzenia scharakteryzowany stałą dielektryczną ?r i stałą magnetyczną ?r. Jak pokazano w rozdziale 1, w takim przypadku z równań Maxwella wyprowadza się dla wektorów E(r, t) lub H(r, t) równania falowe postaci (1.44), (1.50), a dla pól harmonicznych E = E(r,?t), H = H(r,?t) równania w formie (1.64). Dla przypomnienia powtórzymy tutaj oba równania, skupiając uwagę na wektorze E (dla wektora H równania są takie same):

, .

(2.1a,b)

Każde z powyższych równań wektorowych jest równoważne trzem równaniom skalarnym dla każdej składowej x, y, z identycznych dla ośrodka jednorodnego. Przypomnijmy, że dla nieharmonicznej funkcji E = E(r, t) równanie (2.1) w dziedzinie czasu obowiązuje dla ośrodka niedyspersyjnego, podczas gdy w równaniu (2.1b) stałe ?r(?), ?r(?) są funkcjami częstości. Równanie (2.1a) nosi ogólną nazwę równania falowego, natomiast (2.1b) - równania falowego Helmholtza. Określenie "falowe" uzasadnione jest faktem, iż rozwiązaniem równań (2.1) jest wyrażenie opisujące falę EM. Najprostszym i niezwykle ważnym przykładem takiej fali jest monochromatyczna fala płaska.

2.1. Fala płaska monochromatyczna

Zmienne pole elektryczne harmonicznej fali płaskiej, periodycznej w czasie i przestrzeni, w notacji wykładniczej reprezentuje wyrażenie[34]

E(r,?t) = E0exp[i(?t - k?r)],

(2.2a)

które odpowiada funkcji rzeczywistej Re[E(r,?t)] = epE0cos(?t - k?r + ?), gdzie ep oznacza wersor określający kierunek wektora E0. W zapisie (2.2a) zakłada się, że wektor E0 nie zależy od czasu, zachowując stałą wartość i stały kierunek w przestrzeni; tego rodzaju falę nazywamy falą spolaryzowaną liniowo, stąd indeks p (polaryzacja) dla wersora ep. Ogólnie E0 = epE0exp(i?) przedstawia zespoloną amplitudę pola elektrycznego, gdzie exp(i?) jest czynnikiem przesunięcia fazowego[35], wektor k [rad/m-1] nosi nazwę wektora falowego. Jako że E0 = constans, wobec tego w danej chwili t taki sam stan oscylacji pola E(r,?t) występuje w punktach, dla których iloczyn skalarny

k?r = kxx + kyy + kzz = constans.

Jest to równanie płaszczyzny frontu falowego, na którym wektory E drgają w tej samej fazie, stąd płaszczyzny stanowią powierzchnie ekwifazowe, tj. powierzchnie stałej fazy - patrz rys. 2.1.

Rys. 2.1. Fala płaska harmoniczna opisana równaniem (2.2a). Fronty falowe będące powierzchniami ekwifazowymi określane są zależnością k?r = constans. Wektor falowy k = (2?/?)en o kierunku wersora normalnego en wskazuje kierunek propagacji fali

Rozpisując iloczyn skalarny k?r na składowe, równanie (2.2a) monochromatycznej fali płaskiej przybiera postać

E(r,?t) = E0exp(i?t)?exp[-i(kxx + kyy + kzz)].

(2.2b)

Pokażemy dalej, że wzór (2.2a) spełnia równanie falowe (2.1a). Wielką korzyścią zapisu zespolonego jest łatwość różniczkowania. Dla funkcji exp(i?t) występuje w takim przypadku przyporządkowanie ?/?t ? i?, w wyniku czego z (2.1a) uzyskuje się natychmiast (2.1b). W przypadku zmiennych przestrzennych działanie operatorem nabla na wektor E = E0exp(-ik?r) jest równoważne mnożeniu przez -ik, czyli ?E = -ik?E, co oznacza odpowiedniość ? -ik. Przyporządkowanie powyższe stosuje się dla każdej operacji zawierającej operator nabla, tj. dla operatora Laplace'a, operatorów gradientu, rotacji i dywergencji.

Przykład 2.1

W celu wykazania, że ? -ik wystarczy obliczyć iloczyn ?E, rozpisując na składowe operator nabla = ex?x + ey?y + ez?z oraz wektor E(r) = (E0xex + E0yey + E0zez)?e-ik?r. Traktując operator jak wektor, otrzymujemy jak dla iloczynu skalarnego

?E = E0x?xe-ik?r + E0y?ye-ik?r + E0z?ze-ik?r =

= -ikxE0xe-ik?r - ikyE0ye-ik?r - ikzE0ze-ik?r =

= -i(kxE0x + kyE0y + kzE0z) e-ik?r = -ik?E(r).

W przypadku operatora Laplace'a (nabla kwadrat) na podstawie powyższego równania znajduje się

?(?E) = ?(-ik?E) = -ik?E = -k?k?E = -k2E.

Wykorzystując podane przyporządkowania, po wstawieniu (2.2a) do równania (2.1) uzyskuje się natychmiast

,

(2.3)

skąd wynika, że zależność (2.2a) spełnia równanie falowe, pod warunkiem że

.

(2.4)

Współczynnik nosi nazwę współczynnika załamania ośrodka, który dla próżni (?r.=.1, ?r.=.1) równy jest jedności. Wektor k = k?en jest wektorem falowym o kierunku prostopadłym do płaskiego frontu falowego, gdzie en oznacza wersor normalny do czoła fali.

Wartość wektora |k| = k = 2?/? zwana jest liczbą falową[36]; wielkości z indeksem zero, tj. k0 = ?/c, ?0 oznaczają wartości dla próżni, ? = ?0/n przedstawia długość fali w ośrodku. Zgodnie ze wzorem (2.2a), analogicznie do częstości czasowej ? = 2?/T [rad/s], liczba falowa k ma sens częstości przestrzennej [rad/m]. Składowe wektora k = [kx, ky, kz], można wyrazić poprzez kosinusy kierunkowe kątów ?x, ?y, ?z, jakie wektor k tworzy z osiami układu współrzędnych, czyli k = k0[cos?x, cos?y, cos?z]. Zachodzi zależność

k?k = k2 = kx2 + ky2 + kz2.

Dla dielektryka, przy założeniu ?r = 1, współczynnik załamania ośrodka można zapisać

.

(2.5)

Generalnie stałe optyczne ?r i n są funkcjami częstości fali, tj. ?r = ?r(?), n = n(?), i przedstawiają zależności dyspersyjne. Stałe te wygodnie jest zapisywać jako liczby zespolone. Jak zobaczymy dalej, część urojona stałych optycznych określa w takim wypadku stratność ośrodka.

Na powierzchni płaskich frontów falowych wartość wektora E określona jest przez funkcję fazową, zwykle zwaną krótko fazą: ? = ?t - k?r. W celu ustalenia, z jaką prędkością poruszają się fronty falowe, należy śledzić płaszczyznę o danej fazie, co matematycznie wyraża równanie ? = ?t - k?r = constans. Różniczkując obie strony powyższego równania po czasie i zapisując wektor k = ken, otrzymuje się (dr/dt)en = ?/k. Po przemnożeniu przez en znajdujemy

,

(2.6a)

a posługując się długością fali ? = ?0n = 2?/k i częstotliwością f = 2?/?

.

(2.6b)

Równania (2.6) określają prędkość fazową fali harmonicznej. Ze względu na zależność dyspersyjną n(?) prędkość fazowa również jest funkcją częstości. Kierunek wektora prędkości fazowej pokrywa się z wersorem en normalnym do płaszczyzny frontu falowego. W tabeli 2.1 zamieszczono kilka przykładów ośrodków dielektrycznych z podaniem wartości współczynnika załamania i prędkości fazowych fali świetlnej.

Tabela 2.1. Prędkości fazowe w wybranych ośrodkach dielektrycznych

Materiał

Współczynnik załamania*

Prędkość fazowa światła

próżnia

powietrze

czysta woda

szkło

diament

1

1,0003

1,33

1,5-1,7

2,42

c

0,9997c

0,75c

(0,67-0,59)c

0,41c

* Współczynnik załamania podawany dla linii D sodu (589 nm)

2.2. Fala elektromagnetyczna jako fala poprzeczna (TEM)

Równania Maxwella pozwalają na wyznaczenie wszystkich właściwości fali elektromagnetycznej (EM). Zakładając ośrodek jednorodny (?r = constans) i podstawiając wzór (2.2a) na falę harmoniczną zapisany dla pól E i H, odpowiednio do równań Maxwella (1.62c), (1.62d), tj. ?E = 0 i ?H = 0, przy wykorzystaniu przyporządkowania ? -ik, uzyskuje się:

k?E(r,?t) = 0, k?H(r,?t) = 0 .

(2.7)

Równania (2.7) pokazują, że wektory E i H są prostopadłe do wektora falowego k, czyli do kierunku propagacji. Oznacza to, że płaska fala EM jest falą poprzeczną (ang. transverse electromagnetic, TEM). Z kolei podstawienie (2.2a) do równań Maxwella (1.62a) i (1.62b) prowadzi, odpowiednio dla par wektorów E, H i E, B, do wyrażeń:

k × E(r,?t) = ??0?rH(r,?t), -k × H(r,?t) = ??0?rE(r,?t),

(2.8a)

k × E(r,?t) = ?B(r,?t), -k × B(r,t) = ??0?r?0?r E(r,?t).

(2.8b)

Z powyższych równań wynika dodatkowa informacja, że trójka wektorów: E, H, k lub E, B, k dla fali płaskiej tworzy układ wektorów wzajemnie ortogonalnych - patrz rys. 2.2.

Ponieważ zgodnie z (2.4) , więc na podstawie (2.8a) znajdujemy, że wartości wektorów E i H pozostają w każdej chwili w tym samym stosunku

.

(2.9)

Wielkość Z nosi nazwę impedancji falowej ośrodka, a Z0 - impedancji falowej próżni o wartości

= 120? [?] ? 377 ?.

(2.10)

W dielektryku bezstratnym i niemagnetycznym (?r = 1), dla którego n2 = ?r, mamy Z = Z0/n = 1/(?0cn).

Rys. 2.2. Orientacja wektorów pola względem wektora falowego k dla fali płaskiej w ośrodku jednorodnym, izotropowym. W myśl wzorów (2.8) iloczyn k×E wskazuje kierunek H, natomiast k×H wskazuje kierunek -E. W ośrodku izotropowym wektory D i E oraz B i H są wzajemnie równoległe. W ośrodkach anizotropowych wektor polaryzacji P nie jest ogólnie skierowany zgodnie z wektorem pola E, stąd wektor indukcji elektrycznej D = ?0E + P nie będzie równoległy do E. Kierunek wektora Poyntinga S = E×H pokrywa się z kierunkiem wektora falowego

Z zależności (2.9) wynika, że natężenie pola magnetycznego dla fali płaskiej jest równe

,

(2.11a)

a jeśli dla pola magnetycznego posłużyć się wektorem B = ?0?rH, wtedy

.

(2.11b)

Jak widać, wektory E i vf.B mają takie same wartości. Relacje (2.9), (2.11) pozostają słuszne dla wektorów pól w każdej chwili, w szczególności obowiązują dla amplitud E0, H0, B0.

Podsumowując, wektory pola elektrycznego i magnetycznego dla płaskiej harmonicznej fali EM można zapisać w postaci:

,

(2.12a)

.

(2.12b)

W ośrodku bezstratnym ?r i ?r wyrażone są przez liczby rzeczywiste i pola E i H oscylują w tej samej fazie (rys. 2.3). W ośrodku niemagnetycznym i stratnym przenikalność ?r wyraża się liczbą zespoloną; w takim wypadku, jak zobaczymy dalej, pojawia się przesunięcie fazowe pomiędzy polami E i H.

Nieograniczona w czasie i przestrzeni matematyczna fala płaska TEM stanowi teoretyczne rozwiązanie równania falowego, ale fizycznie jest nierealizowalna. Fala taka, mając skończoną gęstość mocy na jednostkę nieskończonej powierzchni, przenosiłaby nieskończoną moc, ponadto jako fala harmoniczna byłaby reprezentowana przez nieskończony ciąg falowy.

Rys. 2.3. Spolaryzowana liniowo, płaska, harmoniczna fala elektromagnetyczna w dielektryku bezstratnym - wzajemnie prostopadłe wektory pól E i H oscylują w fazie. Linie pola E i H "zamykają się" w nieskończoności. Iloczyn wektorowy E×H = S określa wektor Poyntinga przedstawiający gęstość strumienia energii (W/m2) fali EM

Linie pól E i H, będącymi polami o niezerowej rotacji, powinny być liniami zamkniętymi. W przypadku fali płaskiej linie te "zamykają się" w nieskończoności. Tym niemniej fala płaska jest niezwykle użytecznym obiektem matematycznym, a w wielu przypadkach stanowi także dobre praktyczne przybliżenie, ponieważ w odpowiednio dużej odległości od źródła front falowy różnych fal może być lokalnie rozważany jako płaski - patrz p. 2.4.2.

Należy zauważyć, że z odmienną sytuacją mamy do czynienia, gdy fala nie propaguje się w ośrodku jednorodnym, ale w niejednorodnym. W optyce dobrze znanym przykładem takich struktur są m.in. światłowody dielektryczne. W takim wypadku fale EM świetlne nie są falami typu TEM. Mogą to być fale tzw. typu TE (ang. transverse electric), gdy w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji poprzeczna jest tylko składowa elektryczna, natomiast w kierunku propagacji występuje składowa H ? 0, lub tzw. fale TM (ang. transverse magnetic), gdy poprzeczna jest tylko składowa magnetyczna, natomiast w kierunku propagacji składowa E ? 0. W celu przybliżenia obrazu rozkładu pól tego typu fal na rys. 2.4 przedstawiono schematycznie linie pola E i H dla fal TE i TM w najprostszej strukturze falowodowej, którą stanowi falowód planarny jednowymiarowy (1D) (ang. one-dimensional).

Rys. 2.4. Ilustracja fal niebędących falami TEM w ośrodku niejednorodnym w postaci falowodu planarnego 1D. Pokazano planarną warstwę prowadzącą, czyli rdzeń falowodu (szerokość rdzenia w kierunku y jest formalnie nieskończona) oraz linie pola elektromagnetycznego dla fal TE i TM. Dla polaryzacji TE składowe pola to E = [0, Ey, 0] i H = [Hx, 0, Hz], podczas gdy dla polaryzacji TM są to składowe H = [0, Hy, 0] i E = [Ex , 0, Ez]. Dla uzyskania efektu prowadzenia światła w rdzeniu musi zachodzić warunek n2 > n1, n3. Wektor Poyntinga S wskazuje kierunek transportu energii

Pokazany na rysunku falowód składa się z dielektrycznej warstwy prowadzącej światło, zwanej rdzeniem o grubości h rzędu długości fali, umieszczonej między podłożem a pokryciem - ośrodkami dielektrycznymi o mniejszych współczynnikach załamania. Określenie jednowymiarowy oznacza, że fala świetlna uwięziona jest tylko w kierunku poprzecznym rdzenia, natomiast ulega dyfrakcyjnemu poszerzeniu w płaszczyźnie warstwy - na rys. 2.4 jest to kierunek osi y[37]. Do falowodu planarnego powrócimy w p. 5.2.3 przy okazji omawiania prędkości fali, a w p. 5.5.2 zostaną scharakteryzowane krótko światłowody cylindryczne stosowane powszechnie w telekomunikacji optycznej. Na koniec wypada wspomnieć, że oprócz fal TE i TM prowadzonych w falowodach 1D znane są fale hybrydowe HE, EH powstające w falowodach dwuwymiarowych (2D) paskowych lub kanałowych, stosowanych powszechnie w urządzeniach optyki scalonej, gdzie w kierunku propagacji występuje zarówno składowa E, jak i H.

Przykład 2.2

Wyżej rozważano falę płaską o dowolnej orientacji względem układu współrzędnych. Często zakłada się, że taka fala biegnie wzdłuż jednej z osi układu współrzędnych. Rozpatrzymy tutaj dodatkowo ten szczególny przypadek, ponieważ taki wybór kierunku propagacji pozwala na prostsze wyprowadzenie właściwości fali.

Dla ustalenia uwagi weźmy falę płaską biegnącą w kierunku +z, tj. falę o wektorze falowym k = kzez. Ponieważ w każdym punkcie płaszczyzny ekwifazowej wektor E (podobnie H) jest tak samo zorientowany, nie ma zmiany w rozkładzie wektora w kierunkach x i y, czyli wektory E i H zależą tylko od współrzędnej z oraz od czasu. Pomijając dla uproszczenia zapisywanie czynnika exp(i?t), dla wektora E mamy

E(z) = E0e-ikz = (E0xex + E0yey + E0zez) e-ikz, ?xE = ?yE = 0.

(i)

Takie same równania zapisuje się dla wektora H. Z równania Maxwella (1.62c): ?E = 0, po rozpisaniu iloczynu po prawej strony na składowe otrzymujemy

?E = ex??xE + ey??yE + ez??zE = 0 + 0 + ez??zE = -ikE0ze-ikz = 0,

(ii)

skąd wynika E0z = 0. Analogicznie z równania ?H = 0 otrzymuje się H0z = 0. Oznacza to, że E, H ^ k, czyli fala jest falą poprzeczną typu TEM.

W celu ustalenia wzajemnej orientacji wektorów E i H załóżmy polaryzację liniową fali, przyjmując wektor pola elektrycznego w postaci E = (0, E0e-ikz, 0). Korzystając z równania (1.62a): ×E = -i??H, po rozpisaniu lewej strony równania według wyznacznika, mamy

.

(iii)

Porównując składowe, widać, że H0y = 0, zatem dla pola magnetycznego istnieje tylko składowa o wartości H0x = H0 = (k/??)E0, gdzie ? = ?0?r. Wynika stąd, że pola E i H są wzajemnie prostopadłe: E ^ H. Włączając do zapisu człon czasowy exp(i?t), dla rozważanej fali płaskiej otrzymujemy ostatecznie:

E(z,?t) = eyE0exp[i(?t - kz)], H(z,?t) = -ex(k/??)E0exp[i(?t - kz)].

(2.13)

W powyższym wyprowadzeniu nie skorzystano z równania (1.62b): ×H = i??E, dlatego w (2.13) nie pojawia się stała ? oraz nie jest wyznaczany wektor falowy - por. wzór (2.4).

Front falowy z fazą ? = ?t - kz = constans porusza się z prędkością fazową vf = dz/dt = ?/k = c/n. Znak minus we wzorze na fazę ? odpowiada fali biegnącej w prawo, jako że dla utrzymania stałej wartości fazy w miarę zwiększania czasu t musi rosnąć także wartość współrzędnej z. Znak plus odpowiadałby fali biegnącej w lewo, wówczas dla H w (2.13) należy zmienić znak +ex.

W kontekście analizy rozwiązań równania falowego warto podkreślić, że równania Maxwella zwykle nakładają na wektory E i H określone warunki, które nie zawierają się w samym równaniu falowym. Inaczej mówiąc, nie każde rozwiązanie spełniające równanie falowe będzie zgodne z równaniami Maxwella. Niech za przykład posłuży hipotetyczna, harmoniczna fala podłużna o wektorze pola elektrycznego E = (0, 0, E0)?exp[i(?t - kz)] = ezE0exp[-ik(z - vt)]. Łatwo sprawdzić, że wektor tej postaci stanowi rozwiązanie równania falowego (2.1a) lub (2.1b), podobnie jak każda podwójnie różniczkowalna funkcja argumentu (z - vt) - por. p. 1.7.3. Równocześnie podstawienie postulowanego rozwiązania do równania Maxwella ?E = 0 prowadzi do sprzeczności, ponieważ wszystkie składowe należałoby przyjąć jako zerowe - por. (ii). Z kolei obliczenie jak w równaniu (iii) rotacji ×E daje zero, co na mocy równ­ania ×E = -i??H oznacza H = 0, czyli nie istnieje dozwolone pole H o częstości ?. Widać więc, że rozwiązanie równania falowego w postaci fali podłużnej jest zakazane przez równania Maxwella. Z drugiej strony fale podłużne stanowią poprawne rozwiązania formalnie identycznego równania falowego dla fal mechanicznych w ośrodku jednorodnym, jednak w tym przypadku nie ma ograniczeń nakładanych na rozwiązania przez dodatkowe równania, które byłyby analogiem równań Maxwella.