Wstęp

Celem tej książki jest przedstawienie podstawowych zagadnień z dziedziny obliczeń kwantowych w taki sposób, by mógł je zrozumieć każdy, kto zna matematykę na poziomie szkoły średniej i zechce poświęcić jej zagadnieniom nieco trudu. Zostaną w niej omówione kubity, kwantowe splątanie, teleportacja kwantowa, algorytmy kwantowe oraz inne pojęcia z dziedziny mechaniki kwantowej. I nie chodzi tu o mgliste przedstawienie tych pojęć, lecz o precyzyjne ich zaprezentowanie.

Obliczenia kwantowe to temat medialny. Chiny teleportowały kubit z powierzchni Ziemi na orbitę. Algorytm Shora zagraża wykorzystywanym metodom szyfrowania danych. Dystrybucja kluczy kwantowych sprawi, że nasza kryptografia znów stanie się bezpieczna. Algorytm Grovera przyspieszy wyszukiwania wykonywane na dużych zbiorach danych. Ale co to wszystko znaczy? Jak to działa? O tym właśnie jest ta książka.

Czy dałoby się to wszystko wytłumaczyć bez używania języka matematyki? Nie - a w każdym razie nie, o ile chcemy naprawdę zrozumieć, co się dzieje. Pojęcia podstawowe, które będą stosowane w tej publikacji, pochodzą z dziedziny mechaniki kwantowej i często przeczą naszym intuicjom. Próby, by opisać je jedynie słowami języka naturalnego, są skazane na niepowodzenie, bo nie doświadczamy podobnych zjawisk w życiu codziennym. Co więcej, słowny opis sprawia, że często mamy fałszywe poczucie zrozumienia czegoś, co właśnie wymknęło się naszemu rozumieniu. Dobra wiadomość jest taka, że tak naprawdę nie potrzeba wprowadzać dużej ilości matematyki. Moim zadaniem, jako matematyka, jest uproszczenie matematycznej części wywodu na tyle, na ile jest to możliwe, ograniczając się do rzeczy niezbędnych. Będę podawał jedynie podstawowe przykłady ilustrujące zarówno to, jak jest używane dane pojęcie, jak i to, co ono oznacza. A jednak mimo wszystko ta książka zawiera pojęcia matematyczne, które zapewne dla większości czytelników będą nowością. Jak to zwykle bywa z nowymi pojęciami, na początku mogą wydawać się one dziwne. Bardzo ważne jest to, by czytelnicy dokładnie wczytywali się w przykłady i śledzili każdy etap obliczeń.

Kwantowe obliczenia to piękne połączenie fizyki kwantowej z informatyką. Sprawia, że jedne z najbardziej zaskakujących pojęć fizyki dwudziestego wieku zostają zaprzęgnięte, by całkowicie zmienić nasz sposób myślenia o teorii obliczeń. Podstawową jednostką obliczeń kwantowych jest kubit. Pokazuję, czym właściwie jest kubit i co się dzieje w momencie jego pomiaru. Klasyczny bit przyjmuje wartość zero albo jeden (0 albo 1). Jeśli wartość jest równa 0 i dokonamy jego pomiaru1, otrzymamy 0. Jeśli wynosi 1 i dokonamy jego pomiaru, otrzymamy 1. W obu przypadkach w wyniku pomiaru wartość bitu się nie zmienia. W przypadku kubitów sytuacja wygląda zupełnie inaczej. Kubit może znajdować się w jednym z nieskończonej ilości stanów - superpozycji między 0 a 1 - ale gdy dokonamy jego pomiaru, zawsze otrzymamy jedną z dwóch wartości: 0 lub 1. Akt pomiaru zmienia kubit. Prosty model matematyczny precyzyjnie to opisuje.

Kubity mogą też znajdować się w stanie kwantowego splątania. Jeśli dokonamy pomiaru jednego z nich, zmieni to stan drugiego. W doświadczeniach dnia codziennego nie spotykamy się z niczym choć trochę podobnym do tego, a jednak model matematyczny dokładnie to opisuje.

Te trzy pojęcia - superpozycja, pomiar i splątanie - są kluczowe dla mechaniki kwantowej. Wiedząc, co one oznaczają, można ich użyć w obliczeniach. W tym miejscu wkracza na scenę ludzka pomysłowość.

Matematycy często opisują dowody matematyczne jako piękne, a często zawierające niespodziewane spostrzeżenia. Odczuwam to samo względem wielu tematów, które zostaną poruszone w tej książce. Jeśli twierdzenie Bella, teleportacja kwantowa, kodowanie supergęste są perełkami, to kwantowa korekcja błędów i algorytm Grovera można nazwać prawdziwymi cudami.

Po uważnej lekturze tej książki czytelnicy nie tylko zrozumieją podstawowe pojęcia związane z obliczeniami kwantowymi, ale także poznają kilka genialnych i pięknych zarazem konstrukcji. Zrozumieją również, że teoria obliczeń i teoria obliczeń kwantowych nie są dwiema różnymi dyscyplinami wiedzy. Obliczenia kwantowe okazują się bowiem bardziej podstawową formą obliczeń - wszystko, co można policzyć klasycznie, można policzyć również na komputerze kwantowym. To właśnie kubit, nie bit, jest podstawową jednostką obliczeń. Wszystkie obliczenia, w tym sensie, są obliczeniami kwantowymi.

Należy jednocześnie wyraźnie podkreślić, że ta książka traktuje o teorii obliczeń kwantowych. Jej tematem jest oprogramowanie, nie sprzęt. W kilku miejscach pojawia się wzmianka o sprzęcie i okazjonalne rozważania, jak fizycznie splątać kubit, ale są to tematy poboczne. To nie jest książka o tym, jak zbudować komputer kwantowy, ale jak go używać.

Poniżej znajduje się skrótowe omówienie poszczególnych rozdziałów.

Rozdział 1. Podstawową jednostką klasycznych obliczeń jest bit. Bity mogą być reprezentowane przez wszystko, co może być w jednym z dwóch możliwych stanów. Standardowym przykładem jest włącznik elektryczny, który może być albo włączony, albo wyłączony. Podstawową jednostką obliczeń kwantowych jest kubit. Kubit może być reprezentowany przez spin pojedynczego elektronu lub polaryzację pojedynczego fotonu, ale własności spinu i polaryzacji nie są dla nas nawet w przybliżeniu tak dobrze znane, jak włącznik światła w mieszkaniu.

Przyglądamy się podstawowym własnościom spinu. Zaczniemy od klasycznego eksperymentu Ottona Sterna i Walthera Gerlacha, w którym badali oni magnetyczne własności atomów srebra. Zobaczymy, co się dzieje, gdy mierzymy spin w kilku różnych kierunkach. Co więcej, dokonanie pomiaru może zmienić stan kubitu. Wyjaśnimy nieusuwalną losowość związaną z pomiarami.

Rozdział kończymy wykazaniem, że eksperymenty analogiczne do tych mierzących spin atomów można wykonać za pomocą zwykłego światła i filtrów polaryzujących.

Rozdział 2. Teoria obliczeń kwantowych opiera się na dziale matematyki zwanym algebrą liniową. Na szczęście, potrzebujemy jedynie kilku pojęć z tego zakresu. W tym rozdziale przedstawimy potrzebne nam zagadnienia algebry liniowej oraz wyjaśnimy, w jaki sposób będziemy ich używać w późniejszych rozdziałach.

Zapoznajemy się z wektorami i macierzami, dowiadujemy się, jak obliczyć długość wektora i jak sprawdzić, czy dwa wektory są prostopadłe względem siebie. Rozdział rozpoczynamy od rozważań nad elementarnymi działaniami na wektorach oraz nad możliwością użycia macierzy w celu prostego wykonania kilku takich działań jednocześnie.

Nie od razu czytelnicy zauważą, dlaczego ten materiał będzie przydatny w dalszych rozważaniach, jednak bez wątpienia tak właśnie będzie. Algebra liniowa tworzy podstawę obliczeń kwantowych. Ponieważ w całej książce są używane wprowadzone w tym rozdziale wyrażenia matematyczne, czytelnicy powinni zachować tu szczególną uwagę.

Rozdział 3. W tym rozdziale czytelnicy przekonają się, w jaki sposób dwa poprzednie rozdziały łączą się ze sobą. Model matematyczny opisujący spin elektronu lub, równoważnie, polaryzacji fotonu został wyrażony w języku algebry liniowej. To umożliwia zdefiniowanie kubitu i precyzyjne opisanie tego, co dzieje się, gdy zajdzie jego pomiar.

Podajemy kilka przykładów pomiaru kubitów w różnych kierunkach. Rozdział kończy się wprowadzeniem do kryptografii kwantowej poprzez opis protokołu BB84.

Rozdział 4. W tym rozdziale wyjaśniamy, co to znaczy, że dwa kubity pozostają względem siebie w stanie splątania kwantowego. Splątanie jest trudne do opisania słowami języka naturalnego, ale bardzo łatwe do wyjaśnienia językiem matematyki. Nowym pojęciem matematycznym potrzebnym do jego opisania jest iloczyn tensorowy. To najprostszy sposób, aby połączyć matematyczne modele pojedynczych kubitów tak, by otrzymać jeden model opisujący kolekcję kubitów.

Wprawdzie opis matematyczny jest dość prosty, splątanie kwantowe z pewnością nie jest czymś, co możemy obserwować w życiu codziennym. Fakt dokonania pomiaru na jednym z kubitów ze splątanej pary oddziałuje na drugi kubit. Albert Einstein, dając wyraz swemu oporowi przed podobną teoretyczną możliwością, nazwał to "przerażającym oddziaływaniem na odległość". Przypatrzymy się kilku przykładom.

Rozdział zakończy się wykazaniem, że zjawisko splątania kwantowego nie umożliwia nadświetlnej komunikacji2.

Rozdział 5. Przyglądamy się w nim wątpliwościom Einsteina wobec splątania kwantowego i rozważamy, czy jego teoria parametrów ukrytych wystarczy, by zachować lokalny realizm. Analizujemy od strony technicznej nierówności Bella - warte uwagi ze względu na to, że dają sposób na eksperymentalne ustalenie, czy argument Einsteina jest poprawny. Jak dziś powszechnie wiadomo, Einstein się mylił, jednak nawet Bell z początku uważał, że dowiedzie on raczej tego, że Einstein ma rację.

Artur Ekert zdał sobie sprawę z tego, że ten sam eksperyment, który pozwala przetestować nierówność Bella, umożliwia także wygenerowanie bezpiecznych kluczy kryptograficznych i sprawdzenie w tym samym czasie, czy ktoś nie inwigiluje procesu ich tworzenia. Rozdział kończy się opisem tego niezwykłego protokołu kryptograficznego.

Rozdział 6. Rozdział ten otwierają rozważania na tematy standardowe związane z teorią obliczeń: bity, bramki logiczne i logika. Pokrótce przyglądamy się obliczeniom odwracalnym oraz pracom Edwarda Fredkina. Wykazujemy, że zarówno bramka Fredkina, jak i bramka Toffoliego są bramkami uniwersalnymi - to znaczy, że możliwe jest zbudowanie kompletnego komputera, używając jedynie bramek Fredkina (lub bramek Toffoliego). Rozdział kończymy rozważaniami nad komputerem kul bilardowych. Te rozważania nie są niezbędne, by zrozumieć pozostałe wywody zawarte w tej książce, ale sama pomysłowość tego rozwiązania sprawia, że warto je tu zawrzeć.

Komputer kul bilardowych składa się wyłącznie z kul bilardowych zderzających się ze sobą oraz z różnych ścian, od których kule mogą się odbijać. Jego praca kojarzy się z oddziałującymi między sobą cząsteczkami elementarnymi. Takie m.in. skojarzenia skłoniły Richarda Feynmana do zainteresowania się ideą obliczeń kwantowych. Feynman jest jednym z pierwszych autorów artykułów naukowych na ten temat.

Rozdział 7. Ten rozdział rozpoczynamy od rozważań nad użyciem obwodów kwantowych w obliczeniach kwantowych. Definiujemy bramki kwantowe. Obserwujemy, jak bramka kwantowa oddziałuje na kubit, i zdajemy sobie sprawę z tego, że od początku właśnie coś takiego rozważaliśmy. Potrzeba tylko zmienić perspektywę. Nie myślimy już o macierzy ortogonalnej jako o oddziałującej na nasze urządzenie pomiarowe - teraz rozpatrujemy ją jako oddziałującą na kubit. Przeprowadzimy też dowód zaskakujących twierdzeń dotyczących kodowania supergęstego, kwantowej teleportacji i kwantowej korekcji błędu.

Rozdział 8. Ten rozdział najprawdopodobniej będzie najwięcej wymagać od czytelników. Po przyjrzeniu się w nim niektórym algorytmom kwantowym wykażemy, jak szybko mogą one obliczyć rezultat w porównaniu do algorytmów klasycznych. Aby jednak w ogóle mówić o szybszych i wolniejszych algorytmach, musimy wprowadzić nowe pojęcia z teorii złożoności obliczeniowej. Gdy już zdefiniujemy pojęcie złożoności wyszukiwania, zajmiemy się trzema algorytmami kwantowymi i przekonamy się, że są szybsze w sensie zdefiniowanego typu złożoności niż jakikolwiek ich klasyczny odpowiednik.

Algorytmy kwantowe wykorzystują strukturę problemu, który rozwiązują. Zakodowanie danych wejściowych algorytmu jako superpozycji wszystkich możliwych stanów to znacznie więcej niż tylko paralelizm kwantowy. W tym rozdziale czytelnicy poznają ostatni element matematycznej maszynerii - iloczyn Kroneckera macierzy. Jednak to nie dlatego materiał tu zawarty może być niełatwy do zrozumienia. Cała trudność polega na tym, że będziemy teraz prowadzić obliczenia w zupełnie nowy sposób i nie posiadamy żadnego uprzedniego doświadczenia w rozwiązywaniu problemów nową metodą.

Rozdział 9. Ostatni rozdział został poświęcony wpływowi, jaki kwantowe obliczenia wywrą na naszym życiu. Rozpoczynamy od krótkiego opisu dwóch ważnych algorytmów - jeden z nich został wynaleziony przez Petera Shora, drugi przez Lova Grovera.

Algorytm Shora pozwala szybko rozłożyć duże liczby naturalne na czynniki pierwsze. Może nie wydawać się to aż tak ważne dopóty, dopóki nie uświadomimy sobie, że wszystkie zabezpieczenia używane przez nas w internecie zostały zbudowane na założeniu, że jest to problem trudny do rozwiązania. Możliwość szybkiego rozkładu wielkich liczb na czynniki pierwsze zagraża aktualnym zabezpieczeniom stosowanym w komunikacji między komputerami. Zbudowanie odpowiednio potężnych komputerów kwantowych mogących rzeczywiście rozkładać liczby aktualnie używane do szyfrowania danych może zająć nieco czasu, ale niebezpieczeństwo jest realne. Już teraz zmusza ono, by myśleć o zmianie sposobów na bezpieczną komunikację między komputerami.

Algorytm Grovera obsługuje specjalne przypadki wyszukiwań w zbiorach danych. Pokażemy, jak działa na przykładzie małego zbioru i jak działa w ogólności. Oba algorytmy - Grovera i Shora - są bardzo ważne ze względu nie tylko na problemy, jakie rozwiązują, ale także na nowe pojęcia, jakie wprowadzają. Pojęcia te stworzyły podstawy do rozwoju nowego pokolenia algorytmów.

Po tych rozważaniach nad algorytmami zmienimy nieco bieg i przyjrzymy się pokrótce, jak obliczenia kwantowe mogą zostać użyte do symulowania procesów kwantowych. Chemia, na najbardziej podstawowym poziomie, sprowadza się do mechaniki kwantowej. Klasyczna chemia obliczeniowa bierze równania mechaniki kwantowej i przeprowadza ich symulację z użyciem klasycznych komputerów. Takie symulacje z konieczności są jedynie przybliżeniami i muszą pomijać pewne drobne szczegóły. W wielu przypadkach to podejście się sprawdza. Są jednak sytuacje, gdy takie podejście nie przynosi dostatecznie dobrych rezultatów. Są to przypadki, w których te drobne szczegóły odgrywają ważną rolę - komputery kwantowe będą mogły wziąć je pod uwagę.

W tym rozdziale przyglądamy się też, jak można zbudować rzeczywiste komputery kwantowe. To bardzo szybko rozwijająca się dziedzina. Pierwsze tego typu maszyny są już dostępne w sprzedaży. Jedna maszyna jest nawet dostępna w chmurze i każdy może wykonywać na niej obliczenia za darmo. Wydaje się prawdopodobne, że jako cywilizacja jesteśmy blisko etapu kwantowej supremacji / przewagi (później wyjaśnimy, co to dokładnie znaczy).

Książkę zakończymy spostrzeżeniem, że obliczenia kwantowe nie są nowym rodzajem obliczeń, ale raczej że odkrycie kwantowych obliczeń okazuje się odkryciem prawdziwej natury procesu realizacji obliczeń.

1 Spin

Wszystkie obliczenia obejmują wprowadzanie danych, manipulowanie nimi zgodnie z założonymi regułami, a na końcu odczytanie wyniku. W przypadku klasycznych obliczeń podstawową jednostką danych jest bit. Analogiczną jednostką w przypadku obliczeń kwantowych jest bit kwantowy (quantum bit), skracany zazwyczaj jako kubit (qubit).

Bit klasyczny odpowiada dokładnie jednej z dwu możliwości. Cokolwiek, co może znajdować się w dokładnie jednym z dwóch stanów, może reprezentować bit. Później przyjrzymy się różnym przykładom. Niektóre z nich obejmują fałszywość lub prawdziwość zdania logicznego, włącznik w pozycji włączonej lub wyłączonej, a nawet obecność kuli bilardowej lub jej brak.

Kubit, podobnie jak bit, może znajdować się w jednym z tych dwóch możliwych stanów, ale może również - czym zupełnie różni się od bitu - znajdować się w jakiejkolwiek kombinacji tych dwu stanów. Co to znaczy? Czym dokładnie jest połączenie lub kombinacja dwóch stanów i jakie fizyczne obiekty mogą reprezentować kubity? Co jest kwantowym odpowiednikiem zero-jedynkowego włącznika prądu?

Reprezentacją kubitu może być spin elektronu lub polaryzacja fotonu. Choć to prawda, to jednak - jak się wydaje - niezbyt pomocna, gdyż spin elektronu i polaryzacja fotonu nie są tematem znanym większości, a nawet wiele osób nie ma z tym żadnego doświadczenia. Zacznijmy więc od podstawowego wprowadzenia do opisu spinu i polaryzacji. W tym celu przyjrzyjmy się klasycznemu doświadczeniu przeprowadzonemu przez Ottona Sterna i Walthera Gerlacha na spinie atomów srebra.

W roku 1922 wiedza na temat atomów była opisywana modelem planetarnym Nielsa Bohra. W modelu tym atom składał się z jądra o ładunku dodatnim okrążanego przez ujemnie naładowane elektrony. Orbity elektronów były kołowe, a okręgi je opisujące miały ograniczone możliwe wartości promieni. Orbita najbliższa jądru mogła zawierać co najwyżej dwa elektrony. Gdy ta orbita została wypełniona, był zapełniany następny możliwy poziom orbity, ten zaś mógł zawierać maksymalnie osiem elektronów. Atomy srebra mają 47 elektronów. Dwa z nich znajdują się na orbicie wewnętrznej, osiem na drugim poziomie, następnie po osiemnaście na poziomach trzecim i czwartym. Zostawia to jeden elektron na orbicie zewnętrznej.

Obdarzone ładunkiem elektrycznym elektrony poruszające się ruchem kołowym po orbitach wytwarzają pole magnetyczne. Elektrony krążące po orbitach wewnętrznych są sparowane - każdy atom w parze krąży w kierunku przeciwnym do kierunku obrotu swojego partnera, więc generowane przez nich pola magnetyczne wygaszają się nawzajem. Pojedynczy elektron znajdujący się na orbicie zewnętrznej wytwarza jednak pole magnetyczne, które nie jest równoważone przez żaden inny elektron. To sprawia, że atom srebra jako całość może być rozważany jako mały magnes z parą biegunów północ-południe.

Stern i Gerlach obmyślili doświadczenie, które miało wykazać, czy osie północ-południe pola magnetycznego atomów srebra mogły wyznaczać dowolny kierunek w przestrzeni, czy też ich możliwe kierunki były w jakikolwiek sposób ograniczone. Dokonali tego przez przepuszczenie strumienia atomów srebra między dwoma magnesami w sposób zilustrowany na rysunku 1.1. Uformowanie magnesu w kształcie litery V sprawia, że południowy biegun magnesu oddziałuje na strumień atomów mocniej niż północny. Jeśli przelatujący w strumieniu atom srebra tworzy magnes z biegunem północnym skierowanym ku górze, a biegunem południowym skierowanym ku dołowi, będzie przyciągany silniej do południowego bieguna magnesu testowego i tor atomu zostanie wykrzywiony ku górze. Podobnie jeśli atom tworzy magnes z biegunem północnym skierowanym ku dołowi, a południowym - ku górze, będzie odpychany silniej przez biegun południowy magnesu testowego i tor lotu atomu zostanie odchylony ku dołowi. Po przejściu przez aparaturę atomy srebra są zbierane na ekranie.

Z klasycznego punktu widzenia można się spodziewać, że bieguny magnetyczne atomów mogą być dowolnie skierowane. Jeśli bieguny ułożą się poziomo (wzdłuż kierunku strumienia atomów), tor lotu nie zostanie wykrzywiony w ogóle, a im bliżej pionu się ułożą, tym mocniej atom zostanie skierowany w dół lub w górę. Najsilniejsze odchylenie korespondowałoby z biegunami ułożonymi prostopadle w stosunku do kierunku strumienia atomów.

Gdyby klasyczny model był właściwym opisem rzeczywistości, po przepuszczeniu dużej ilości atomów srebra przez urządzenie otrzymalibyśmy na ekranie ciągły ślad atomów, prostą linię idącą z góry na dół. Ale nie taki był rezultat doświadczenia Sterna-Gerlacha. Gdy obaj naukowcy popatrzyli na ekran, ujrzeli jedynie dwie kropki: jedna skrajnie na górze, druga skrajnie na dole. Wszystkie atomy w wiązce zachowywały się jak małe magnesy sztabkowe ustawione prostopadle do kierunku przepływu strumienia. Ani jeden z nich nie był ustawiony inaczej. Dlaczego?

Zanim jednak zaczniemy dokładniej analizować to, co się dzieje, przyjrzyjmy się elektronom w odróżnieniu od atomów. Nie tylko bowiem atomy, ale także ich części składowe zachowują się jak małe magnesy. Podczas rozważań nad komputerami kwantowymi wielokrotnie będziemy zajmować się elektronami i ich spinami. Tak samo jak w przypadku atomów srebra, jeśli zmierzy się ich spin3 w kierunku pionowym, elektron zostanie odchylony w kierunku północnym albo południowym. I znowu, tak jak w przypadku atomów srebra, okaże się, że elektrony zachowują się jak malutkie magnesy z biegunami północnym i południowym skierowanymi idealnie w osi pionowej. Żaden z nich nie ma innej orientacji w przestrzeni.

W praktyce nie możemy zmierzyć spinu wolnego elektronu za pomocą urządzenia Sterna-Gerlacha oraz procedury powyżej opisanej, ponieważ elektrony są naładowane ujemnie, a pola magnetyczne odpychają od siebie poruszające się naładowane elektrycznie cząstki. Miejmy to na względzie. Poniższe diagramy przedstawiają mimo wszystko w sposób obrazowy rezultaty, jakie otrzymujemy, gdy mierzymy spin elektronu w różnych kierunkach. Schematy przedstawione na diagramach widać od strony źródła wiązki elektronów - strumień cząsteczek niejako płynie od czytelnika w stronę książki. Kropka obrazuje odchylenie toru lotu elektronu. Na rysunku 1.2 po lewej stronie widać odchylenie toru lotu przez magnes, po prawej stronie natomiast zobrazowany schemat elektronu jako magnesu z zaznaczonymi biegunami magnetycznymi: północnym i południowym. Sytuację tu widoczną można opisać następująco: "Elektron ma spin N w kierunku pionowym". Rysunek 1.3 ukazuje drugą ewentualność, gdzie elektron ma spin S w kierunku pionowym.

Rysunek 1.2. Elektron ze spinem N w kierunku pionowym

Rysunek 1.3. Elektron ze spinem S w kierunku pionowym

Dla zrozumienia przyczyn odchylenia toru lotu trzeba pamiętać, że południowy biegun magnesu odchylającego działa na cząstki w strumieniu elektronów silniej niż biegun północny. By przewidzieć całościowe odchylenie toru, wystarczy rozważyć wpływ bieguna południowego. Jeśli elektron jest umiejscowiony tak, że jego biegun północny znajduje się bliżej bieguna południowego magnesu odchylającego, to zostanie on przyciągnięty w stronę magnesu południowego. Jeśli elektron zajmuje taką pozycję, że jego biegun południowy znajduje się bliżej bieguna południowego magnesu odchylającego, to zostanie on odepchnięty, a jego tor lotu - zakrzywiony w kierunku magnesu północnego.