1Pochodna
1.1. Pojęcie pochodnej
Nie jest przypadkiem, że Izaak Newton - który położył podwaliny nowożytnej fizyki - stworzył równocześnie rachunek różniczkowy i całkowy. Po prostu ten dział matematyki stanowi podstawowy język zarówno nauk przyrodniczych jak techniki.
Zacznijmy od kilku prostych przykładów.
Prędkość średnia i prędkość chwilowa
Jeżeli ciało się porusza po linii prostej, współrzędna jego położenia x zmienia się wraz z upływem czasu t (rys. 1.1). Przypuśćmy, że w pewnym skończonym przedziale czasu ?t położenie zmieniło się o ?x, od x do x + ?x. Powiemy, że w przedziale czasu ?t ciało miało prędkość średnią:
.
(1.1)
Rys. 1.1. Ciało porusza się wzdłuż osi x jednowymiarowego układu współrzędnych
Na przykład: samochód w ciągu minuty, czyli ?t = 60 s przejechał odcinek o długości 1,2 km, czyli ?x = 1200 m. Jego prędkość średnia wynosiła więc (czyli 72). Jednak w ciągu tej minuty mógł zwalniać i przyspieszać. Można zapytać: jaka była prędkość chwilowa na początku omawianego przedziału czasu? Aby na to pytanie odpowiedzieć, należałoby zmierzyć zmianę położenia samochodu w krótszym przedziale czasu. Większą dokładność uzyskalibyśmy, dokonując pomiaru dla ?t = 1 s (samochód przejechałby w tym czasie około 20 m). Jeszcze większą - dokonując pomiaru w czasie 0,01 s (samochód przejechałby w tym czasie około 20 cm), itp. Interesuje nas więc granica:
.
(1.2)
Symbol oznacza granicę dla ?t dążącego do zera[1].
Taką granicę nazywamy pochodną położenia x względem czasu t.
Siła elektromotoryczna indukcji
Z podobną sytuacją mamy do czynienia w zjawisku indukcji elektromagnetycznej. Siła elektromotoryczna E indukowana w zwojnicy jest proporcjonalna do zmian w czasie strumienia indukcji magnetycznej B, czyli ?B:
Rys. 1.2. Na skutek zmian strumienia indukcji magnetycznej w zwojnicy powstaje siła elektromotoryczna
(1.3)
Siła elektromotoryczna indukcji jest równa - z przeciwnym znakiem - pochodnej strumienia indukcji magnetycznej względem czasu.
Ciepło właściwe
Analogicznie: ciepłem właściwym c nazywamy ilość ciepła ?Q, która trzeba dostarczyć, aby podnieść temperaturę T jednostkowej masy ciała o jednostkową wartość ?T.
Rys. 1.3. Przepływ ciepła powoduje wzrost temperatury ciała
Jeżeli jednak ciepło właściwe nie jest stałe[2], a zależy od temperatury, musimy wtedy brać nie jednostkowe, ale bardzo małe przyrosty temperatury. Prowadzi to więc do definicji:
(1.4)
Podobne przykłady można by dowolnie mnożyć.
1.2. Definicja pochodnej
Pochodna funkcji w punkcie x0
Spójrzmy na zagadnienie nieco ogólniej. Przypuśćmy, że określona jest funkcja f (x), przyporządkowująca wielkości x (zmiennej niezależnej) pewną inną wielkość y (zmienną zależną).
y = f (x).
(1.5)
Pochodną funkcji f (x)względem x w punkcie x0 będziemy nazywać wielkość:
(1.6)
Mówimy o tym, że pochodna jest granicą ilorazu różnicowego dla ?x dążącego do zera. Znajdowanie pochodnej funkcji nazywamy różniczkowaniem.
Będziemy równolegle używać na oznaczenie pochodnej dwóch symboli:
- f ?(x), bardziej "abstrakcyjnego" - pochodzącego od Lagrange'a[3];
- , pochodzącego od Leibniza[4], który oznaczał iloraz różnicowy dla "nieskończenie małego" przyrostu wielkości x, czyli dx.
1.3. Interpretacja geometryczna pochodnej
Pochodna prawostronna
Rozpatrzmy funkcję y = f (x), którą przedstawia linia krzywa na rysunku 1.4.
Rys. 1.4. Kąt nachylenia siecznej ? (a) dla ?x > 0 i kąt nachylenia stycznej ?0 (b). Pochodna równa jest tangensowi kąta nachylenia stycznej ?0
Przyjmijmy na początku, że ?x > 0. Oznacza to, że rozpatrywać będziemy punkty x > x0, czyli znajdujące się na wykresie funkcji y = f (x) ma prawo od punktu x0. Widać na rysunku 1.4a, że wartość ilorazu różnicowego jest równa tangensowi kąta ?, określającego nachylenie siecznej, czyli linii przecinającej krzywą y = f (x) w punktach o współrzędnych x0, f (x0) oraz x0 + ?x, f (x0 + ?x). Kiedy ?x dąży do zera, sieczna dąży do stycznej do krzywej w punkcie o współrzędnych x0, f (x0). A zatem pochodna w punkcie x0 równa jest tangensowi kąta nachylenia stycznej do krzywej y = f (x). Kąt ten oznaczymy ?0 (rys1.4b). Widać, że w naszym przykładzie kiedy ?x ? 0, tg(?) jest dodatni i rośnie.
Tangens ? D. Funkcje trygonometryczne
Rys. 1.5. Kąt nachylenia siecznej ? dla ?x < 0
Pochodna lewostronna
W podobny sposób można by było obliczać ilorazy różnicowe funkcji y = f (x) dla ?x ujemnych (rys. 1.5). Oznacza to, że rozpatrywać będziemy punkty x < x0, czyli znajdujące się na wykresie funkcji y = f (x) ma lewo od punktu x0. Widać, że w tym przykładzie kiedy ?x ? 0, tg(?) jest dodatni, ale maleje.
1.4. Numeryczne obliczanie pochodnej w punkcie x0
Rozpatrzmy teraz proste przykłady numeryczne. Rozważmy funkcję, przedstawioną na rysunkach 1.4 i 1.5, czyli:
y = f (x) = 1 - (x - 1)2 = - x2 + 2x.
(1.7)
Pochodna prawostronna
Wybierzmy punkt x0 = 0,5 i malejące przyrosty Wynik obliczeń ilorazów różnicowych przedstawia tabela 1.1 i rysunek 1.6.
W naszym przykładzie: kiedy ?x maleje, iloraz różnicowy jest dodatni i rośnie - o czym mówiliśmy już wyżej. Z rysunku 1.6 wynika też, że dla ?x ? 0 wielkość ?yn /?xn dąży do jedności. Oznacza to, że pochodna w punkcie x0
f ?(x0) = 1.
(1.8)
Tabela 1.1
n
?xn
?yn
?yn /?xn
1
0,5
0,25
0,5
2
0,25
0,1875
0,75
3
0,125
0,109375
0,875
4
0,0625
0,058594
0,9375
5
0,03125
0,030273
0,96875
6
0,015625
0,015381
0,984375
Rys. 1.6 Obliczanie pochodnej prawostronnej
Pochodna lewostronna
Wybierzmy ponownie punkt x0 = 0,5, ale ujemne przyrosty o malejącej wartości bezwzględnej Wynik takich obliczeń ilorazów różnicowych przedstawia tabela 1.2 i rysunek 1.7.
Tabela 1.2
n
?xn
?yn /?xn
1
- 0,5
1,5
2
- 0,25
1,25
3
- 0,125
1,125
4
- 0,0625
1,0625
5
- 0,03125
1,03125
6
-0,015625
1,015625
Teraz: kiedy wartość bezwzględna ?x maleje, iloraz różnicowy jest dodatni i maleje - o czym mówiliśmy już wyżej. Z rysunku 1.7 wynika też, że dla ?x ? 0 wielkość ?yn /?xn dąży do jedności (ale od góry, a nie od dołu). Pochodna lewostronna jest równa pochodnej prawostronnej.
Rys. 1.7 Obliczanie pochodnej lewostronnej
1.5. Sieczna symetryczna
Wyżej opisany sposób numerycznego obliczania pochodnych jest raczej żmudny. Zupełnie dobre wyniki można jednak osiągnąć, stosując inny i znacznie prostszy sposób. Wybrać pewną wartość ?x > 0 i dwa punkty o współrzędnych x0 + ?x, f (x0 + ?x), oraz x0 - ?x, f (x0 -?x) (rys. 1.8). Przez te punkty można przeprowadzić sieczną "symetryczną" (gruba linia ukośna), której kąt nachylenia ?s będzie bliski kąta nachylenia stycznej ?0 (por. rys.1.4). A więc tg(?s) będzie bliski pochodnej f ?(x0).
Rys. 1.8. Sieczna symetryczna
Napiszmy to wprost:
(1.9)
Wzór ten ma prostą interpretację. Iloraz różnicowy w 1.9 można zapisać następująco (odjęliśmy i dodaliśmy w liczniku f (x0)):
(1.10)
Widać, że jest to średnia arytmetyczna ilorazu różnicowego przy obliczaniu pochodnej prawostronnej (rys. 1.4 i górna cienka linia na rysunku 1.8) i ilorazu różnicowego przy obliczaniu pochodnej lewostronnej (rys. 1.5 i dolna cienka linia na rysunku 1.8). W granicy ?x ? 0 oba człony w nawiasie kwadratowym dążą do tej samej granicy, równej f ?(x). Zatem: jeżeli ?x będzie dążyć do zera, sieczna symetryczna będzie dążyć do stycznej. Tak więc dla dostatecznie "porządnych" funkcji będzie obowiązywał wzór:
(1.11)
Przykład 1
Zastosujmy wzór 1.9 do naszej funkcji (wzór 1.7):
f (x) = - x2 + 2x.
(1.12)
Mamy więc:
f (x0 + ?x) = - (x0 + ?x)2 + 2(x0 + ?x) = - x02 - 2x0?x - ?x2 + 2x0 + 2?x;
(1.13)
f (x0 - ?x) = - (x0 - ?x)2 + 2(x0 - ?x) = - x02 + 20x?x - ?x2 + 2x0 - 2?x;
(1.14)
f (x0 + ?x) - f (x0 - ?x) = - 4x0?x + 4?x = (- 4x0 + 4)?x;
(1.15)
(1.16)
Dla x0 = 0,5 pochodna f ?(x0) = 1, zgodnie z poprzednimi rezultatami.
Zwróćmy uwagę: w naszych obliczeniach uzyskaliśmy rezultat niezależny od wyboru wielkości ?x. Jest to wynik ścisły, do czego wrócimy w paragrafie 1.8.
Przykład 2
Wzór 1.12 przedstawia funkcje potęgową drugiego stopnia. Nasuwa się więc pytanie: czy wzór 1.9 daje wynik ścisły na pochodną dla dowolnej funkcji drugiego stopnia o postaci
f (x) = ax2 + bx + c;
(1.17)
gdzie a, b i c są dowolnymi liczbami rzeczywistymi? Sprawdźmy to!
f (x0 + ?x) = a(x0 + ?x)2 + b(x0 + ?x) + c =
(1.18)
= ax02 + 2ax0?x + a?x2 + bx0 + b?x + c;
f (x0 - ?x) = a(x0 - ?x)2 + b(x0 - ?x) + c =
(1.19)
= ax02 - 2ax0?x + a?x2 + bx0 - b?x + c;
f (x0 + ?x) - f (x0 - ?x) = 4ax0?x + 2b?x;
(1.20)
(1.21)
Teraz także uzyskaliśmy wynik niezależny od wyboru wielkości ?x. Jest to wynik ścisły, do czego wrócimy w paragrafie 3.3.
Podsumowując: możemy oczekiwać, że przybliżony wzór na pochodną 1.9 będzie dawał dobre wyniki w sytuacji, kiedy lokalnie funkcja f (x) może być przybliżona przez funkcję drugiego stopnia - czyli jej wykres da się przybliżyć wycinkiem paraboli. Do problemu wrócimy jeszcze przy omawianiu szeregów potęgowych (rozdział 7).
1.6. Funkcja pochodna
Jeżeli funkcja y(x) jest dostatecznie "przyzwoita"[5] - a z takimi zwykle mamy do czynienia w fizyce czy technice - możemy w zasadzie dla każdej wartości x obliczyć pochodną . Utworzymy w ten sposób nową funkcję zmiennej x, którą nazywamy funkcją pochodną funkcji f (x), a w skrócie - pochodną f (x).
Z taką sytuacją mamy do czynienia w pierwszym wspomnianym na początku przykładzie. Położenie ciała (samochodu) x zależy od czasu t i opisane jest funkcją x(t). Prędkość ciała v określona jest oczywiście w każdej chwili t, a jej wartość wskazuje szybkościomierz samochodu. Opisana jest funkcją v(t), która jest funkcją pochodną funkcji opisującej położenie.
W dalszym ciągu tego rozdziału będziemy zajmowali się obliczaniem pochodnych różnych funkcji.
1.7. Numeryczne obliczanie funkcji pochodnej
Nim przystąpimy do poważnych rozważań, proponuję Czytelnikowi wspólną zabawę numeryczną. Obliczanie funkcji pochodnej za pomocą wzoru 1.6 byłoby niezmiernie uciążliwe. Łatwo natomiast to zrobić za pomocą przybliżonego wzoru 1.9.
Aby sporządzić wykres, powinniśmy obliczyć pochodne dla całej siatki równoodległych o d punktów na osi x: ... , xN-1, xN, xN+1, ... (rys. 1.9). Następnie wybieramy sobie ?x istotnie mniejsze od d i stosujemy wzór 1.9, obliczając pochodne we wszystkich wybranych uprzednio punktach siatki.
Rys. 1.9. Ilustracja numerycznego obliczania pochodnej
Przykład
Wybierzmy sobie jakąś konkretną funkcję, na przykład (rys. 1.10, krzywa górna):
.
(1.22)
Przybliżone wartości pochodnej w punktach xN obliczymy stosując wzór, analogiczny do 1.9:
(1.23)
Wyniki tych obliczeń przedstawia krzywa dolna na rysunku 1.10. Przyjęte zostały wartości: d = 0,1 oraz ?x = 0,001.
Rys. 1.10. Krzywa górna: wykres funkcji w przedziale [-2,2]. Krzywa dolna: jej numerycznie obliczona pochodna
Analityczne wyrażenie na omawianą funkcję pochodną podamy w paragrafie 2.4.
Przeanalizujmy przebieg funkcji f ?(x):
1. Dla x > 0 funkcja f (x) jest funkcja rosnącą. Pochodna f ?(x) jest dodatnia.
a. Kąt nachylenia stycznej jest największy w okolicy punktu x ? 0,6 i tam wartość pochodnej jest największa.
b. Dla x ? ? kąt nachylenia stycznej dąży do zera (przebieg funkcji jest "coraz bardziej poziomy", bo wartość funkcji dąży do jedności), pochodna f ?(x) dąży do zera.
2. Dla x < 0 funkcja f (x) jest funkcją malejącą. Pochodna f ?(x) jest ujemna.
a. Wartość bezwzględna pochodnej jest największa w okolicy punktu x ? -0,6.
b. Dla x ? - ? kąt nachylenia stycznej dąży do zera (przebieg funkcji jest "coraz bardziej poziomy"), pochodna f ?(x) dąży do zera.
3. W punkcie x = 0 styczna jest pozioma, wartość pochodnej f ?(0) = 0.
Możemy dodatkowo zauważyć, że funkcja f (x) spełnia relację (bo (-x)2 = x2):
f (-x) = f (x),
(1.24)
czyli jest funkcją parzystą.
Natomiast funkcja f ?(x) spełnia relację
f ?(-x) = -f ?(-x),
(1.25)
czyli jest funkcją nieparzystą. Do sprawy wrócimy jeszcze w paragrafach 1.12 i 2.4.
? J. Funkcje parzyste, funkcje nieparzyste
1.8. Pochodne funkcji potęgowych o wykładnikach całkowitych
W dalszym ciągu tego rozdziału będziemy obliczać pochodne prostych funkcji. Zacznijmy od funkcji potęgowych o wykładnikach całkowitych nieujemnych, czyli mających postać
y = f (x) = xn.
(1.26)
? B. Funkcje potęgowe
"Galerię" takich funkcji dla n = 1, 2, 3, 4 przedstawia rysunek 1.11:
- krzywe z punktami ? przedstawiają same funkcje,
- krzywe z punktami ? - ich funkcje pochodne.
Nim przejdziemy do rozumowań formalnych, przyjrzyjmy się tym wykresom.
1. Wszystkie omawiane funkcje przyjmują wartość równą zeru dla x = 0 (bo 0n = 0) i wartość równą jedności dla x = 1 (bo 1n = 1).
2. Tylko dla n = 1 kąt nachylenia stycznej w zerze jest różny od zera, a więc pochodna jest różna od zera. Dla n = 2, 3, 4 pochodna w zerze jest równa zeru.
3. Dla n = 2 i 4 (parzystych) w punkcie x = 0 funkcja ma minimum.
4. Dla n = 3 (nieparzystego) w punkcie x = 0 funkcja ma punkt przegięcia. Funkcja jest rosnąca, pochodna dla x ? 0 jest dodatnia.
5. Kiedy n rośnie, nachylenie stycznej w punkcie x = 1 jest coraz większe, a więc wartość pochodnej jest coraz większa.
Rys. 1.11. Wykresy wybranych funkcji potęgowych f (x) = xn o wykładnikach całkowitych i ich pochodnych
Opiszmy teraz nasze obserwacje w sposób formalny.
Funkcja stała, n = 0
Rozważmy najpierw przypadek najprostszy (nie przedstawiony na rysunku 1.11), czyli funkcję stałą: f (x) = 1 (czyli f (x) = x0). Na początku "weźmy sprawę na chłopski rozum". Wykres funkcji jest prostą poziomą. Styczna do niej jest tą samą prosta poziomą. Kąt nachylenia stycznej i tangens tego kąta są wszędzie równe zeru. Pochodna wszędzie jest równa zeru.
Bardziej formalnie powiemy: licznik ilorazu różnicowego we wzorze 1.6 jest równy zeru dla dowolnego ?x:
?y = f (x + ?x) - f (x) = 1 - 1 = 0.
(1.27)
Zero podzielone przez dowolną skończoną wartość ?x też jest równe zeru. A zatem pochodna funkcji stałej jest równa zeru.
Funkcja liniowa, n = 1
Rozważmy teraz przypadek f (x) = x (czyli f (x) = x1). Wykres funkcji f (x) = x jest prostą, nachyloną pod kątem ? = 45° = do poziomu (rys. 1.11a). Styczna do tej prostej jest tą samą prostą. Pochodna - czyli tangens nachylenia kąta ? - jest równa jedności, bo tg () = 1. Jest więc funkcją stałą, nie zależy od x.
? C. Łukowa miara kąta
Bardziej formalnie powiemy: dla naszej funkcji licznik ilorazu różnicowego jest równy:
?y = f (x + ?x) - f (x) = (x + ?x) - x = ?x.
(1.28)
Stąd iloraz różnicowy
(1.29)
Funkcja kwadratowa, n = 2
Dla funkcji f (x) = x2 rozumowanie jest trochę bardziej skomplikowane. Wykres funkcji jest parabolą. Kąt nachylenia stycznej ? i tangens tego kata tg(?) rosną ze wzrostem x (rys. 1.11b). Możemy do tego przypadku zastosować program numeryczny, z algorytmem określonym wzorem 1.9 (Pochodna x^a). Widzimy, że pochodna funkcji kwadratowej jest funkcją liniową (rys. 1.9), zauważamy przy tym, że f ?(x) = 2x. Dla x < 0 funkcja maleje, pochodna jest mniejsza od zera. Dla x > 0 funkcja rośnie, pochodna jest większa od zera.
Rys. 1.12. Dla funkcji kwadratowej kąt nachylenia stycznej ? i tangens tego kata tg ? rosną ze wzrostem x
N3 Pochodna x^a.
A teraz rozumowanie formalne (wzór 1.6). Licznik ilorazu różnicowego dla funkcji f (x) = x2 jest równy:
?y = f (x + ?x) - f (x) = (x + ?x)2 - x2 = x2 + 2x?x + ?x2 - x2 = 2x?x + ?x2.
(1.30)
Stąd iloraz różnicowy
(1.31)
Pochodna jest granicą tego ilorazu dla ?x dążącego do zera przy ustalonym x. Pierwszy człon od ?x nie zależy, drugi dąży do zera, kiedy ?x ? 0. Stąd ostatecznie:
f ?(x) =
(1.32)
Mogliśmy tego oczekiwać, bo wynika to też ze wzoru 1.21 dla a = 1 oraz b = c = 0.
Funkcja trzeciego stopnia
Podobnie przebiega rozumowanie dla funkcji f (x) = x3. Numerycznie można obliczyć pochodną za pomocą programu Num.3, zmieniając wartość wykładnika. Wynik przedstawia rysunek 1.11c, funkcja pochodna jest parabolą.
A formalnie: licznik ilorazu różnicowego jest równy
?y = f (x + ?x) - f (x) = (x + ?x)3 - x3 = x3 + 3x2?x + 3x?x2 + ?x3 - x3 = 3x2?x + 3x?x2 + ?x2.
(1.33)
? A. Potęgi dwumianu
Iloraz różnicowy jest więc równy:
(1.34)
Pochodna jest granicą tego ilorazu dla ?x dążącego do zera przy ustalonym x. Pierwszy człon od ?x nie zależy, a drugi i trzeci dążą do zera, kiedy ?x ? 0. Stąd ostatecznie:
(1.35)
Funkcja potęgowa dowolnego stopnia
Podsumowując nasze dotychczasowe wyniki możemy się domyślić, że dla funkcji f (x) = xn, gdzie n jest liczbą całkowitą dodatnią, pochodna jest równa
f ?(x) = nxn-1.
(1.36)
Wzór ten jest słuszny także dla n ujemnych (patrz niżej) i ułamkowych (patrz §1.9 i §2.3).
Pochodne prostych funkcji zebrane zostały w tabeli w rozdziale M.
Funkcja stopnia -1
Sprawdźmy jeszcze, że wzór 1.23 jest słuszny dla funkcji (ten wynik jest w fizyce ważny dla pola grawitacyjnego i elektrostatycznego). Dla n = -1 oczekujemy wyniku:
f ?(x) = nxn-1 = (-1) x -1-1 = -x -2 = .
(1.37)
Wykażmy to. Obliczmy najpierw licznik ilorazu różnicowego:
(1.38)
Iloraz różnicowy jest więc równy:
(1.39)
Dla ?x ? 0 wyrażenie w nawiasie w mianowniku dąży do x. A więc całość dąży do:
;
(1.40)
czego oczekiwaliśmy.
Spójrzmy jeszcze na rysunek 1.13. Funkcja jest dodatnia, ale maleje. Jej pochodna jest więc ujemna. Kąt nachylenia stycznej jest ujemny, a jego wartość bezwzględna maleje do zera dla x ? ?. Zatem i pochodna funkcji jest ujemna, a jej wartość bezwzględna maleje ze wzrostem x.
Rys. 1.13. Krzywa górna: funkcja ; krzywa dolna: jej pochodna.
1.9. Pochodna pierwiastka
Obliczmy jeszcze pochodną funkcji (rys. 1.14,"leżąca" parabola):
(1.41)
Rys. 1.14. Funkcja i jej pochodna
Funkcja f (x) jest dodatnia i rosnąca. Jej pochodna jest więc dodatnia. Widać z wykresu także, że dla x ? 0 kąt nachylenia stycznej dąży do 90° = . Natomiast maleje ze wzrostem x. Oczekujemy, że dla x ? 0 pochodna naszej funkcji będzie rosnąć do nieskończoności. Będzie natomiast maleć ze wzrostem x.
Opiszmy to bardziej formalnie. Licznik ilorazu różnicowego ma postać:
(1.42)
Użyliśmy tu triku formalnego: licznik ilorazu różnicowego pomnożyliśmy i podzieliliśmy przez , a następnie wykorzystaliśmy wzór (a - b)(a + b) = a2 - b2.
Napiszmy teraz iloraz różnicowy:
(1.43)
Dla ?x ? 0 pierwiastek dąży do , mianownik wyrażenia 1.43 dąży do . Zatem
(1.44)
Dotychczasowe przykłady pozwalają przypuszczać, że spełniony jest wzór trochę ogólniejszy od 1.36, o postaci
f ?(x) = ?x?-1,
(1.45)
w którym ? jest dowolną liczbą rzeczywistą.
Do pochodnych funkcji potęgowych o dowolnych wykładnikach wymiernych powrócimy jeszcze w paragrafie 2.3.
1.10. Pochodne funkcji trygonometrycznych sin(x) i cos(x)
W paragrafie tym omówimy pochodne funkcji trygonometrycznych sin(x) i cos(x). Wykresy tych funkcji przedstawia rysunek 1.15. Wartości zmiennej x wyrażone są na nim w mierze łukowej, co jest ogólnie przyjęte i w matematyce i w fizyce.
Sinus i cosinus są funkcjami okresowymi. Mają wiele (nieskończenie wiele) maksimów, odległych o 2?, a także wiele minimów, odległych także o 2?.
Przy okazji wprowadźmy nazwę, której będziemy używać wielokrotnie w przyszłości: minima i maksima funkcji określa się wspólną nazwą ekstremum[6]. Ekstrema funkcji sinus i cosinus odległe są oczywiście o ?.
Rys. 1.15. Funkcje sinus i cosinus
? C. Łukowa miara kąta. D. Funkcje trygonometryczne
Sinus
Nim przystąpimy do formalnych rozważań, przyjrzyjmy się funkcji sinus.
a. Styczna do tej funkcji jest pozioma w maksimach i minimach, czyli w punktach x = ... -, -,, , , ... ( ? 1,57). W tych punktach pochodna funkcji sinus znika. Zauważamy: w tych samych punktach zeruje się cosinus.
b. Dla x = 0, 2?, 4?, ... kąt nachylenia stycznej jest równy = 45°. Tangens kąta, czyli pochodna, jest równa 1. W tych punktach wartość 1 przyjmuje cosinus.
c. Dla x = ?, 3?, 5?, ... kąt nachylenia stycznej jest równy - = -45°. Tangens kąta, czyli pochodna, jest równa -1. W tych punktach wartość -1 przyjmuje cosinus.
Można na tej podstawie przypuszczać, że pochodną funkcji sinus jest funkcja cosinus. Potwierdzają to obliczenia numeryczne, oparte o algorytm 1.9 (Tabela 1.3, Pochodna sinusa obliczona numerycznie to kolumna 3, cosinus to kolumna czwarta; program Pochodne sinusa i cosinusa). Przyjęte wartości d = 0,2 oraz ?x = 0,001.
Opiszmy teraz problem formalnie. Dla funkcji f (x) = sin(x) licznik ilorazu różnicowego (wzór 1.6) jest równy:
(1.46)
Tabela 1.3. Pochodna sinusa
x
f = sin(x)
f ?(x)
cos(x)
0,0
0
1
1
0,2
0,198669
0,980066
0,980067
0,4
0,389418
0,921061
0,921061
0,6
0,564642
0,825335
0,825336
0,8
0,717356
0,696707
0,696707
1,0
0,841471
0,540302
0,540302
1,2
0,932039
0,362358
0,362358
1,4
0,98545
0,169967
0,169967
1,6
0,999574
-0,0292
-0,0292
1,8
0,973848
-0,2272
-0,2272
Pochodne sinusa i cosinusa. N.Numeryczne. Num.4
Zastosowaliśmy tu ogólny wzór:
(1.47)
? E. Tożsamości trygonometryczne
Iloraz różnicowy jest więc równy:
(1.48)
Interesuje nas granica ilorazu różnicowego dla ?x ? 0. Iloraz różnicowy ma postać iloczynu dwóch funkcji. Człon w argumencie funkcji cosinus dąży do zera, pierwszy czynnik dąży więc do cos(x). Wyrażenie dla ?x ? 0 dąży do jedności, bo dla małych ?x funkcja sin(?x/2) ? ?x/2.
Granica sin(x)/x dla x dążącego do 0 ? D. Funkcje trygonometryczne
(1.49)
Cosinus
Mamy teraz znaleźć pochodną f (x) = cos(x). Przyjrzyjmy się tej funkcji (rys. 1.15).
a. Styczna do wykresu funkcji jest pozioma w maksimach i minimach, czyli w punktach x = 0, ?, 2?, 3?, ... . W tych punktach pochodna funkcji cosinus znika. Zauważamy: w tych samych punktach zeruje się sinus.
b. Dla x = , , ... kąt nachylenia stycznej jest równy - = -45°. Tangens kąta, czyli pochodna, jest równa -1. W tych punktach funkcja sinus przyjmuje wartość 1.
c. Dla x = , ,... kąt nachylenia stycznej jest równy = 45°. Tangens kąta, czyli pochodna, jest równa 1. W tych punktach funkcja sinus przyjmuje wartość -1.
Można na tej podstawie przypuszczać, że pochodną funkcji cos(x) jest funkcja - sin(x). Potwierdzają to obliczenia numeryczne, oparte o algorytm 1.9.
Pochodne sinusa i cosinusa N. Numeryczne. Num. 4
A bardziej formalnie: licznik ilorazu różnicowego jest równy
(1.50)
bo:
(1.51)
? E. Tożsamości trygonometryczne
Stąd
(1.52)
Dla ?x ? 0 pierwszy czynnik wyrażenia dąży do sin(x), a drugi do jedności. Zatem
(1.53)
Pochodną funkcji tg(x) zajmiemy się w następnym rozdziale.
