1Naprężenie
1.1. Ośrodek ciągły
Opisywane przez mechanikę materiałów zjawiska fizyczne zachodzą w ośrodkach materialnych (ciałach stałych, cieczach i gazach). Każdy taki ośrodek jest zbudowany z materii stanowiącej zbiór cząsteczek (molekuł i atomów), a jego właściwości mechaniczne zależą od złożonej struktury wewnętrznej oraz oddziaływań między cząsteczkami [1.1], [1.2].
W zagadnieniach mechaniki materiałów strukturę wewnętrzną materiału modelujemy ośrodkiem ciągłym (kontinuum materialnym), czyli uporządkowanym zbiorem nieskończonej liczby cząstek (punktów) materialnych. Każda cząstka materialna zwiera bardzo dużą liczbę cząsteczek materii i jest traktowana jako część ośrodka ciągłego zajmująca w przestrzeni nieskończenie mały obszar i mająca nieskończenie małą masę. Składniki materii i jej modelu (ośrodka ciągłego) zostały zestawione w tabeli 1.1.
Tabela 1.1.
Materia
Ośrodek ciągły
Cząsteczki materii
?
Cząstki materialne
Atomy
?
Jądra
?
Elektrony
Nukleony
?
Kwarki
Z powyższej tabeli wynika, że ośrodek ciągły różni się w skali mikroskopowej od ośrodka materialnego, który charakteryzuje nieciągła struktura wewnętrzna. Jednak w skali makroskopowej oba te ośrodki materialne możemy traktować jako ekwiwalentne (równoważne)[1].
Ośrodek ciągły pozwala na traktowanie ośrodka materialnego jako kontinuum w sensie matematycznym, czyli ciągłego, uporządkowanego zbioru nieskończonej liczby cząstek materialnych dowolnie gęsto upakowanych, przy czym zakładamy, że cząstki materialne sąsiadujące ze sobą przed odkształceniem ośrodka przechodzą w sąsiednie cząstki po jego odkształceniu. Wykluczamy w ten sposób możliwość powstawania w ośrodku ciągłym szczelin i otworów oraz łączenia się i rozdzielania jego cząstek [1.3].
Model ośrodka ciągłego pozwala na wykorzystanie do analizy zagadnień mechaniki materiałów rachunku różniczkowego i całkowego, przy czym właściwości fizyczne ośrodka ciągłego przypisywane punktom przestrzeni matematycznej odnoszą się w rzeczywistości do cząstek materialnych ośrodka ciągłego, których środki masy znajdują się w rozważanych punktach.
1.2. Klasyfikacja sił
Siły wyrażają wzajemne oddziaływania między ciałami (obiektami materialnymi) lub ich częściami. Są one rezultatem działania pól siłowych bliskiego i dalekiego zasięgu na masy i ładunki mikrocząstek materii, czyli molekuł i atomów (tab. 1.2).
Tabela 1.2.
Pole bliskiego zasięgu
Pola dalekiego zasięgu
Pole elektryczne
Pole elektromagnetyczne
Pole grawitacyjne
Skutki oddziaływania powyższych pól na ośrodek ciągły przejawiają się w postaci:
1. Sił bliskiego zasięgu uwarunkowanych wzajemnym działaniem bezpośrednio stykających się ciał lub ich części, zwanych siłami powierzchniowymi (kontaktowymi). Są one rezultatem oddziaływania między mikrocząsteczkami materii i przypisujemy je dowolnej powierzchni znajdującej się we wnętrzu ciała. Siły te zapewniają materii spoistość i przeciwstawianie się odkształceniu [1.4].
2. Sił dalekiego zasięgu związanych ze wzajemnym oddziaływaniem między ciałami bez ich bezpośredniego zetknięcia się. Siły te mogą być zależne od objętości ośrodka (siły objętościowe) albo od jego masy (siły masowe). Siłą masową jest siła grawitacji, która jest proporcjonalna do przyspieszenia grawitacyjnego.
1.3. Wektor naprężenia
Rozważmy ciało materialne B o dowolnym kształcie i przetnijmy je myślowo płaszczyzną o wektorze normalnym n - wektorze jednostkowym, prostopadłym do płaszczyzny przekroju i wskazującym jej stronę zewnętrzną (rys. 1.1a). Wybierzmy na tej płaszczyźnie dowolny punkt x i wydzielmy wokół niego elementarną powierzchnię o polu dA. Skutek oddziaływania cząsteczek materii leżących po zewnętrznej stronie tej powierzchni na rozważany punkt przejawia się w postaci elementarnej siły powierzchniowej (rys. 1.1b):
df = pdA
(1.1)
gdzie p(x) jest miarą rozkładu sił na powierzchniach wewnętrznych ciała, zwaną wektorem naprężenia (naprężeniem). W sensie fizycznym naprężenie wyraża siły wzajemnego oddziaływania między molekułami ciała położonymi po przeciwnych stronach rozpatrywanego przekroju.
Rys. 1.1.
W dalszych rozważaniach przez wielkości elementarne będziemy rozumieć wielkości nieskończenie małe (infinitezymalne) w sensie zdefiniowanym w analizie niestandardowej, czyli jako wielkości stałe, dowolnie bliskie zeru [1.5], [1.6]. Tak nieskończenie małe rozumiał LEIBNIZ[2], który jest także autorem najbardziej intuicyjnego zapisu pochodnej dy/dx funkcji y = f (x) jako ilorazu nieskończenie małych dy i dx. Wydaje się, że takie ujęcie jest bliższe inżynierskiemu rozumieniu wielkości nieskończenie małych.
Wektor naprężenia, którego kierunek jest w ogólności dowolny, możemy rozłożyć na dwie prostopadłe do siebie składowe (rys. 1.1c), a mianowicie:
(1.2)
przy czym pn nazywamy naprężeniem normalnym, natomiast p? - naprężeniem stycznym.
W prostokątnym układzie odniesienia Ox1 x2 x3[3] (rys. 1.2a) wektor naprężenia możemy zapisać w postaci wskaźnikowej
(1.3)
gdzie pi = ii ? p, i = 1,2,3, czyli p1, p2, p3 oznaczają współrzędne wektora naprężenia (rys. 1.2b); kropka między wektorami oznacza ich iloczyn skalarny. W powyższym wzorze wykorzystano zapis wskaźnikowy i umowę sumacyjną (C.6).
Rys. 1.2.
1.4. Stan naprężenia. Tensor naprężeń
Wektor naprężenia zależy zarówno od położenia punktu, jak i od płaszczyzny przecięcia, czyli jest funkcją dwóch zmiennych p = p(x,n). Jeśli jednak ustalimy punkt x = const, to wektor naprężenia będzie zależny tylko od wektora normalnego do płaszczyzny przecięcia bryły w danym punkcie. W takim przypadku funkcję p = p(n) nazywamy stanem naprężenia w punkcie.
W celu określenia postaci tej funkcji wyznaczmy w pierwszej kolejności wektory naprężenia na trzech płaszczyznach przekroju przecinających punkt x i prostopadłych do osi układu odniesienia. Rysunek 1.2c przedstawia jedną z nich, prostopadłą do osi x1.
Wektory te mają następującą postać:
(1.4)
Powyższe trzy zależności możemy zapisać w postaci wskaźnikowej
pi = ?ij ij
(1.5)
Współrzędne ?ij wektorów naprężenia pi można przedstawić w postaci macierzy kwadratowej
(1.6)
zwanej macierzą naprężeń, która jest uporządkowanym zbiorem współrzędnych trzech wektorów naprężenia na trzech płaszczyznach przechodzących przez rozważany punkt i prostopadłych do osi układu odniesienia.
Wiersze macierzy naprężeń przedstawiają kolejne współrzędne kolejnych wektorów naprężenia; na przekątnej znajdują się naprężenia normalne, poza przekątną zaś - naprężenia styczne. Pierwszy wskaźnik przy naprężeniach wskazuje oś, do której płaszczyzna przecięcia jest prostopadła, drugi zaś - oś, do której to naprężenie jest równoległe. Graficzny obraz naprężeń występujących na powierzchniach sześcianu jednostkowego zawierającego dany punkt przedstawia rysunek 1.3.
Znak naprężeń zależy od zwrotu wektora normalnego przekroju. Jeśli wektor ten ma zwrot zgodny ze zwrotem osi układu odniesienia, to naprężenia są dodatnie wtedy, gdy ich zwroty są zgodne ze zwrotami tych osi. Jeśli natomiast zwrot tego wektora jest przeciwny do zwrotu osi układu odniesienia, to naprężenia dodatnie mają również zwroty przeciwne do zwrotów osi układu. Naprężenia, które nie spełniają powyższych warunków, są ujemne. Wszystkie widoczne na poniższym rysunku naprężenia są dodatnie.
Rys. 1.3.
Rozważmy stan równowagi wyciętego z ciała elementarnego sześcianu o ścianach równoległych do płaszczyzn układu odniesienia (rys. 1.4). W celu zwiększenia czytelności rysunku zostały na nim przedstawione tylko te naprężenia, których momenty sił względem osi O3 są różne od zera.
Rys. 1.4.
Warunki zerowania się momentów sił działających na sześcian względem trzech wzajemnie prostopadłych osi O1, O2 i O3, przechodzących przez jego środek i równoległych do kolejnych osi układu odniesienia, możemy przedstawić w postaci:
(1.7)
gdzie dV = dx1 dx2 dx3.
Pomijając w powyższych zależnościach wielkości nieskończenie małe (różniczki naprężeń), otrzymujemy:
?21 - ? 12 = 0, ?31 - ? 13 = 0, ?32 - ? 23 = 0
(1.8)
Powyższe relacje można zapisać w zwartej postaci
?ij = ?ji
(1.9)
Z powyższych zależności wynika, że macierz naprężeń jest symetryczna. Symetria ta pozwala na zredukowanie liczby niezależnych składowych macierzy naprężeń z dziewięciu do sześciu.
Aby wyznaczyć stan naprężenia w dowolnym punkcie rozważanej bryły, czyli postać funkcji p = p(n) określającej wektor naprężenia na dowolnej płaszczyźnie przechodzącej przez dany punkt, wytnijmy z niej myślowo nieskończenie mały czworościan, którego trzy ściany są równoległe do płaszczyzn układu odniesienia, czwarta zaś przecina trzy pozostałe (rys. 1.5). Zakładamy, że znamy macierz naprężeń w tym punkcie.
Rys. 1.5.
Z warunków równowagi sił działających na rozważany czworościan wynika równanie
(1.10)
z którego otrzymujemy następującą zależność:
(1.11)
Ponieważ powierzchnia dA1 jest rzutem powierzchni dA na płaszczyznę prostopadłą do osi Oxi (rys. 1.5), to
(1.12)
Podstawiając powyższy związek do zależności (1.11), wykorzystując relację (1.5), a także możliwość zamiany wskaźników powtarzających się (patrz podrozdz. C.2) oraz symetrię (1.9), dostajemy
(1.13)
Z powyższej zależności wynika, że stan naprężenia w punkcie określa następująca relacja:
p = T ? n
(1.14)
gdzie
T = ?ji ii ij
(1.15)
jest tensorem naprężeń CAUCHY'EGO[4], natomiast ?ji = ii ? T ? ij są jego współrzędnymi.
Z relacji (1.14) wynika, że tensor naprężeń jest odwzorowaniem (operatorem, przekształceniem) przyporządkowującym wektorowi normalnemu wektor naprężenia. Jeśli więc znamy tensor (macierz) naprężeń w danym punkcie ciała, to możemy wyznaczyć wektor naprężenia na dowolnej płaszczyźnie przechodzącej przez ten punkt. Tak więc tensor naprężeń określa stan naprężenia w punkcie.
Wykorzystanie umowy sumacyjnej (C.6) pozwala przedstawić tensor naprężeń (1.15) w następującej postaci:
(1.16)
Aby zapisać relację (1.14) w postaci wskaźnikowej, pomnożymy stronami związek (1.13) skalarnie przez wersor ik oraz wykorzystamy zależność ij ? n = nj. Otrzymamy wtedy
(1.17)
gdzie
(1.18)
oznacza symbol (deltę) KRONECKERA[5] (C.3). W (1.17) uwzględniono fakt, iż ?ij?ki = ?kj, gdyż delta KRONECKERA zmienia wskaźniki współrzędnych tensorów (patrz przykład C.2).
Ponieważ ij ? p = pi, to (1.17) przyjmuje postać
pi = ?ij nj
(1.19)
gdzie wskaźnik k zamieniono na i. Jeśli wykorzystamy umowę sumacyjną oraz fakt, iż swobodny wskaźnik i przyjmuje wartości 1, 2 i 3, to powyższą zależność tensorową możemy przedstawić jako:
(1.20)
W mechanice spotykamy różnego rodzaju wielkości fizyczne zwane tensorami. Tensory możemy podzielić z uwagi na ich rząd (walencję) [1.7]. Rząd tensora jest równy liczbie wskaźników swobodnych n, a liczba jego współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej wynosi 3n. Przykłady tensorów różnych rzędów zawiera tabela 1.3 (istnieją również tensory rzędu wyższego niż 3).
Tabela 1.3.
Rodzaj tensora
Rząd tensora
Liczba współrzędnych
Przykłady
skalar
0
30 = 1
masa, energia, temperatura
wektor
1
31 = 3
siła, przemieszczenie, naprężenie
tensor
2
32 = 9
tensor naprężeń, tensor odkształceń
1.5. Naprężenia główne
Wektor naprężenia p ma zwykle inny kierunek niż wektor normalny n (rys. 1.6a). Tylko w przypadku pewnej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną główną, wektor naprężenia ma taki sam kierunek, zwany kierunkiem głównym, jak wektor normalny wyznaczający ten kierunek (rys. 1.6b). Oznacza to, że na płaszczyźnie głównej występuje tylko naprężenie normalne
p = ? n
(1.21)
gdzie ? oznacza naprężenie główne, a naprężenie styczne jest równe zeru, p? = 0.
Rys. 1.6.
Porównując stronami zależności (1.14) i (1.21), otrzymujemy równanie
(1.22)
gdzie I = ?ij ii ij oznacza tensor jednostkowy. Współrzędne tego tensora określa delta KRONECKERA.
Zapiszmy powyższe równanie w postaci wskaźnikowej
(1.23)
Wykorzystując umowę sumacyjną oraz fakt, iż swobodny wskaźnik i przyjmuje wartości 1, 2 i 3, z powyższego równania tensorowego otrzymujemy następujący układ trzech równań:
(1.24)
gdzie wielkościami poszukiwanymi są naprężenie główne ? oraz współrzędne n1, n2, n3 wektora normalnego n = ni ii.
Ponieważ powyższy układ równań jest jednorodny ze względu na współrzędne n1, n2, n3, ma on zatem rozwiązanie niezerowe tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy utworzonej ze współczynników przy niewiadomych jest równy zeru
(1.25)
Z powyższego warunku wynika następujące równanie charakterystyczne:
(1.26)
którego współczynniki I1, I2, I3, zwane niezmiennikami [6] tensora naprężeń, mają następującą postać:
(1.27)
Z uwagi na symetrię macierzy naprężeń, powyższe równanie ma trzy pierwiastki rzeczywiste ? 1, ? 2, ? 3; każdemu z tych pierwiastków (naprężeń głównych) jest przyporządkowany kierunek główny określony odpowiednio wektorem normalnym n1, n2, n3.
Kierunki główne wyznaczają układ odniesienia , a wektory normalne są wersorami osi tego układu, czyli . Wersory te są ortonormalne (jednostkowe i wzajemnie prostopadłe), czyli:
(1.28)
Wektory ni, i = 1,2,3, możemy zapisać jako ni = nij ij , gdzie nij oznaczają współrzędne tych wektorów w układzie Ox1 x2 x3. W takim przypadku warunki (1.28)1 zapisane przy wykorzystaniu współrzędnych wektorów ni przyjmują postać
(1.29)
W wyznaczonym przez kierunki główne układzie odniesienia macierz naprężeń ma prostą postać
(1.30)
a jej niezmienniki (1.27) określają zależności:
(1.31)
1.6. Równania równowagi
Rozważmy stan równowagi wyciętego z ciała elementarnego sześcianu, którego ściany są równoległe do płaszczyzn układu odniesienia (rys. 1.7). W celu zwiększenia czytelności rysunku zostały na nim przedstawione tylko te składowe tensora naprężeń, które są równoległe do osi Ox1.
Rys. 1.7.
Warunki zerowania się rzutów sił działających na sześcian na kolejne osie układu odniesienia mają następującą postać:
(1.32)
gdzie ? oznacza gęstość ciała, g1, g2, g3 są współrzędnymi siły masowej g, natomiast dV = dx1 dx2 dx3. W powyższych równaniach wyrażono różniczki naprężeń przez ich pochodne cząstkowe oznaczone zgodnie z (C.8).
Uwzględniając w powyższych warunkach symetrię tensora naprężeń (1.8), zapisujemy je w postaci trzech równań równowagi, zwanych też równaniami NAVIERA[7]:
(1.33)
Wykorzystując umowę sumacyjną oraz zapis wskaźnikowy, sprowadzamy powyższy układ równań do następującej, zwartej postaci:
?ij + ? gi = 0, ?ij = ?ji
(1.34)
Należy podkreślić, że z powyższych trzech równań nie wyznaczymy sześciu współrzędnych tensora naprężeń ?ij.
Ponieważ przy wyprowadzaniu równań równowagi nie określaliśmy rodzaju ośrodka ciągłego, muszą być one zatem spełnione zarówno w przypadku ciała stałego, jak i płynnego (cieczy i gazu).
Warto też zauważyć, że równania równowagi są szczególnym przypadkiem równań ruchu CAUCHY'EGO, które można wyprowadzić z różniczkowego równania bilansu pędu [1.8].
1.7. Warunki brzegowe
Całkując powyższy układ równań równowagi (1.33), dostajemy stałe całkowania, do wyznaczenia których wykorzystujemy statyczne (naprężeniowe) warunki brzegowe
(1.35)
które po rozpisaniu względem wskaźników przyjmują postać:
(1.36)
gdzie są danymi współrzędnymi wektora naprężenia przyłożonego do części A? powierzchni ciała A, przy czym A = A? ? Au, gdzie Au jest częścią, na której zadane są przemieszczenia.
1.8. Aksjator i dewiator naprężeń
Tensor naprężeń można przedstawić jako sumę dwóch tensorów
(1.37)
Pierwszy z nich, czyli
(1.38)
nazywamy aksjatorem naprężeń (tensorem kulistym), przy czym
(1.39)
oznacza naprężenie średnie, natomiast drugi, a więc
(1.40)
zwany jest dewiatorem naprężeń.
Współrzędne tych tensorów w zapisie macierzowym przyjmują odpowiednio postać
(1.41)
oraz
(1.42)
Aksjator naprężeń opisuje wszechstronne, równomierne rozciąganie (ściskanie) elementarnego sześcianu średnim naprężeniem normalnym ?m, natomiast dewiator naprężeń jest związany z jego ścinaniem.
Jak łatwo sprawdzić, pierwszy niezmiennik aksjatora naprężeń jest równy pierwszemu niezmiennikowi tensora naprężeń, czyli , natomiast pierwszy niezmiennik dewiatora naprężeń jest równy zeru, a więc .
1.9. Ekstremalne naprężenia styczne
Wektor naprężenia p = pi ii przyporządkowany płaszczyźnie przekroju o normalnej n = nj ij można rozłożyć na naprężenie normalne ? i styczne ? (rys. 1.8a), przy czym
? 2 = p 2 - ? 2
(1.43)
gdzie ? = |? |, natomiast:
(1.44)
Rys. 1.8.
W powyższych zależnościach wykorzystano właściwości delty KRONECKERA (C.3) i konwencję sumacyjną (C.6), przy czym p1, p2, p3, oznaczają współrzędne wektora p.
W układzie osi głównych (rys. 1.8b) macierz naprężeń (1.6) ma postać (1.30), czyli , natomiast , gdzie są naprężeniami głównymi.
Z zależności (1.19) wynika zatem, że w rozważanym przypadku:
(1.45)
Podstawiając związki (1.45)2-4 do wzorów (1.44), wynik zaś do relacji (1.43), otrzymujemy po przekształceniach
(1.46)
Należy zauważyć, że współrzędne wektora normalnego n, który jest wektorem jednostkowym, muszą spełniać warunek
(1.47)
Ekstremalne wartości naprężenia stycznego ? wyznaczymy metodą mnożników LAGRANGE'A[8]. Metoda ta polega na wyznaczeniu ekstremum funkcji (1.46) przy dodatkowym warunku określonym relacją (1.47).
Sformułujmy zatem funkcję LAGRANGE'A F(?, n1, n2, n3) w następującej postaci [1.9]:
(1.48)
gdzie ? jest mnożnikiem LAGRANGE'A, i poszukajmy warunków na istnienie jej ekstremum względem zmiennych ?, n1, n2, n3. Warunki te prowadzą do następującego układu równań:
(1.49)
Analizując powyższy układ równań, przy uwzględnieniu zależności (1.46), otrzymujemy następujące, poszukiwane wartości ekstremalnych naprężeń stycznych [1.10]:
(1.50)
Z powyższych zależności wynika, że naprężenia styczne osiągają wartości ekstremalne na płaszczyznach równoległych do jednej z osi głównych, a do pozostałych osi nachylonych pod kątem 45o (rys. 1.9a-c).
Rys. 1.9.
Jeśli uporządkujemy naprężenia główne w kolejności od największego do najmniejszego, czyli ? 1 > ? 2 > ? 3, to z (1.50) wynika, że
(1.51)
1.10. Koła MOHRA
Przetnijmy jednostkowy sześcian (rys. 1.10a), o krawędziach równoległych do osi głównych , płaszczyzną równoległą do osi i nachyloną pod kątem ? do osi (rys. 1.10b). Zakładamy przy tym, że znamy naprężenia główne ? 1, ? 2, ? 3 na ściankach tego sześcianu, przyjmując, iż ? 1 > ? 2 > ? 3. Obliczmy naprężenie normalne ?? i styczne ?? na rozważanej płaszczyźnie przecięcia.
Z warunków równowagi sił działających na wyciętą część sześcianu (czyli graniastosłup trójkątny) wynikają następujące równania:
(1.52)
Rys. 1.10.
które po uporządkowaniu przyjmują postać
(1.53)
Równania te - po prostych przekształceniach - możemy zapisać w następującej postaci:
(1.54)
Powyższe równania w układzie odniesienia O?? są równaniami okręgu w postaci parametrycznej, gdzie oznacza współrzędną środka okręgu, - jego promień, natomiast kąt ? jest parametrem (rys. 1.11a).
Rys. 1.11.
Równania (1.54) pozwalają wyznaczyć naprężenia normalne ?? i styczne ?? na dowolnej płaszczyźnie równoległej do osi głównej .
Należy zauważyć, że ze wzoru (1.54)2 wynika, że maksymalne naprężenie styczne, a mianowicie
(1.55)
występuje na płaszczyźnie nachylonej pod kątem ? = 45° do osi głównych i . Z powyższego rysunku wynika, że w takim przypadku ?? = s, natomiast ? max = r (rys. 1.11b).
Jeśli związki (1.54) podniesiemy stronami do kwadratu, a otrzymane zależności dodamy do siebie stronami, to wyeliminujemy z nich kąt ? i otrzymamy równanie okręgu w postaci
(1.56)
W układzie odniesienia O?? jest to równanie okręgu o środku w punkcie s = (? 2 + ? 3) /2 i promieniu r = (? 2 - ? 3) /2 (rys. 1.11a). Otrzymany w ten sposób okrąg nazywamy kołem MOHRA[9] i oznaczamy jako K23.
Powtarzając powyższe postępowanie w przypadku przecięcia rozważanego sześcianu płaszczyznami równoległymi odpowiednio do osi oraz otrzymujemy dwa kolejne koła MOHRA (rys. 1.12a), a mianowicie K12
(1.57)
gdzie
(1.58)
oraz największe, czyli K13
(1.59)
gdzie
(1.60)
MOHR wykazał, że współrzędne punktu K leżącego w obszarze zakreskowanym ograniczonym trzema kołami K12, K23 oraz K13, o środkach leżących na osi O? (rys. 1.12a), określają wielkość naprężenia normalnego ?? i stycznego ?? w punkcie K leżącym na płaszczyźnie dowolnie zorientowanej względem osi układu (rys. 1.12b).
Rys. 1.12.
Równania (1.58)2 i (1.60)2 pozwalają wyznaczyć maksymalne naprężenia styczne ?? na płaszczyznach równoległych do osi głównych oraz , a mianowicie
(1.61)
oraz
(1.62)
Podobnie jak w przypadku maksymalnego naprężenia stycznego (1.55), naprężenia te występują na płaszczyznach nachylonych pod kątem ? = 45° odpowiednio do osi głównych i oraz i .
Z rysunku 1.12a wynika, że długość promienia największego koła MOHRA jest równa największemu naprężeniu stycznemu danemu zależnością (1.62).
1.11. Płaski stan naprężenia
Płaski stan naprężenia występuje wtedy, gdy wszystkie współrzędne tensora naprężeń na płaszczyźnie prostopadłej do jednej z osi układu odniesienia są w każdym punkcie bryły równe zeru, pozostałe zaś współrzędne tego tensora są funkcjami tylko dwóch zmiennych określających położenie punktu na tej płaszczyźnie.
Przyjmijmy zatem, że osią tą Ox jest natomiast płaszczyzną - Ox1x2 (rys. 1.13). W takim przypadku ? 13 = ? 23 = ? 33 = 0, pozostałe zaś współrzędne tensora naprężeń są funkcjami współrzędnych x1 i x2. Rozpatrywana płaszczyzna jest zatem płaszczyzną główną, na której naprężenie ? 3 = 0, natomiast pozostałe naprężenia, czyli ? 11, ? 22, ? 12 = ? 21, występują tylko w płaszczyźnie Ox1x2.
Rys. 1.13.
Płaski stan naprężenia występuje na przykład w tarczy, gdy działające obciążenie jest równomiernie rozłożone po jej grubości (rys. 1.14).
Rys. 1.14.
W przypadku płaskiego stanu naprężenia macierz naprężeń (1.6) możemy zapisać w następującej postaci:
(1.63)
Aby wyznaczyć naprężenia główne tej macierzy, obliczamy jej wyznacznik
(1.64)
gdzie ? jest naprężeniem głównym.
Przyrównując powyższy wyznacznik do zera, otrzymujemy równanie charakterystyczne drugiego stopnia
(1.65)
gdzie współczynniki
(1.66)
są niezmiennikami macierzy [?ij ].
Ponieważ wyróżnik powyższego równania
(1.67)
jest zawsze większy od zera (dodatni), to ekstremalne wartości naprężeń (pierwiastki powyższego równania), czyli naprężenia główne, określają następujące relacje:
(1.68)
Każdemu z powyższych naprężeń głównych jest przyporządkowany kierunek główny, określony wektorem normalnym n1, n2, czyli:
(1.69)
Do wyznaczenia kierunków głównych wykorzystujemy układ równań (1.24), który w rozpatrywanym przypadku przyjmuje postać:
(1.70)
z dodatkowym warunkiem ortonormalności wektorów n1 i n2 wyznaczających kierunki główne
ni ? nj = ?ij
(1.71)
Z warunku tego wynika, że:
(1.72)
W układzie odniesienia wyznaczonym przez kierunki główne macierz naprężeń ma postać
(1.73)
jej niezmienniki zaś określają zależności:
(1.74)
Przykłady
Przykład 1.1.
Wyznaczyć naprężenia główne i kierunki główne w przypadku macierzy naprężeń
, [N/m2]
Dane: ? 11, ? 12, ? 22
Szukane: ? 1, ? 2, n1, n2
Rozwiązanie
Naprężenia główne. Obliczamy naprężenia główne:
A zatem w układzie osi głównych macierz naprężeń przyjmuje następującą postać:
, [N/m2]
Kierunki główne. Współrzędne n11, n12 wektora n1 wyznaczamy, podstawiając do równań (1.70) ? = ? 1 = 3,62 oraz n1 = n11, n2 = n12. Otrzymujemy wtedy:
Ponieważ powyższe równania są liniowo zależne, to dodatkowo wykorzystujemy pierwszy z warunków (1.72), z którego wynika, że
Współrzędne n21, n22 wektora n2 wyznaczamy, przyjmując w równaniach (1.70), że ? = ? 2 oraz n1 = n21, n2 = n22. Otrzymujemy wtedy:
Podobnie jak poprzednio, wykorzystamy dodatkowo drugi z warunków (1.72), a mianowicie
Z powyższych zależności wynika, że w układzie osi głównych :
natomiast:
Niezmienniki. Obliczamy wartości niezmienników (1.66) i (1.74):
Ortogonalność. Korzystając ze wzoru (1.72)3, sprawdzamy ortogonalność (prostopadłość) wektorów n1 i n2
Współrzędna n11 wektora n1 jest jego cosinusem kierunkowym, czyli cosinusem kąta między kierunkiem tego wektora a osią Ox1. Ponieważ n11 = 0,85, to wektor n1 (a tym samym i kierunek główny określony osią ) jest nachylony do tej osi pod kątem 31,8°.
Naprężenia normalne ? 11 = 3, ? 22 = 2 i styczne ? 12 = ? 21 = 1 przedstawia rysunek 1.15a, natomiast obliczone naprężenia główne ? 1 = 3,62 i ? 2 = 1,38, a także osie główne i - rysunek 1.15b.
Rys. 1.15.
Przykład 1.2.
Dana jest macierz naprężeń [?ij] z przykładu 1.1. Wyznaczyć macierz naprężeń w układzie , jeśli dana jest macierz przejścia
Dane: a11, a12, a22
Szukane:
Rozwiązanie
Zapisujemy prawo transformacji (C.28) w postaci
Ponieważ w rozważanym przypadku
to w układzie macierz naprężeń ma postać
Wskutek przekształcenia macierzy naprężeń [?ij] otrzymaliśmy macierz naprężeń w układzie osi głównych z przykładu 1.1.
Przykład 1.3.
Wyznaczyć współrzędne wektora p1, p2 naprężenia p na płaszczyźnie przekroju o wektorze normalnym n (rys. 1.16a), jeśli dana jest macierz naprężeń z przykładu 1.1.
Dane: n1 = 0,85, n2 = 0,53
Szukane: p1, p2
Rozwiązanie
Współrzędne wektora. Z zależności (1.20) wynika, że w rozważanym przypadku płaskiego stanu naprężenia poszukiwane współrzędne wektora naprężenia mają następującą postać:
Rys. 1.16.
A zatem (rys. 1.16b)
Sprawdzenie poprawność otrzymanych wyników. Korzystając z zależności (1.2), obliczamy składową normalną powyższego wektora
Ponieważ w rozpatrywanym przypadku
to
Podstawiając powyższą składową normalną wektora do zależności (1.2), wyznaczamy jego składową styczną
gdzie o oznacza wektor zerowy.
Z powyższej relacji wynika, że p = pn, wektor p jest zatem wektorem głównym (czyli prostopadłym do rozpatrywanej płaszczyzny przekroju). Długość tego wektora jest następująca:
i jest ona równa wartości pierwszego naprężenia głównego ? 1 z przykładu 1.1, czyli | p | = ? 1.
Otrzymany wynik jest oczywisty, gdyż zadany w rozpatrywanym przykładzie wektor n jest wektorem normalnym do pierwszej płaszczyzny głównej z przykładu 1.1, czyli n = n1.
Zagadnienia do utrwalenia
1. Zdefiniować i omówić wektor naprężenia, stan naprężenia i tensor (macierz) naprężeń. Podać interpretację fizyczną składowych tensora naprężeń i podać konwencję ich znakowania.
2. Zdefiniować i omówić aksjator (tensor kulisty) i dewiator naprężeń.
3. Wyprowadzić i omówić wzory określające naprężenia główne w przypadku płaskiego stanu naprężenia. Zdefiniować i omówić niezmienniki tensora naprężeń.
Literatura
[1.1] FEYNMAN R.: Charakter praw fizycznych. Prószyński i S-ka, Warszawa 2000.
[1.2] STRUGARSKI Z.: Struktura wewnętrzna materiałów. WNT, Warszawa 1981.
[1.3] RYMARZ C.: Mechanika ośrodków ciągłych. PWN, Warszawa 1993.
[1.4] RUTKOWSKI J.: Podstawy bilansowania masy, pędu, energii i entropii. Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1976.
[1.5] ROBINSON A.: Non-Standard Analysis, 3rd ed. Princeton University Press, Princeton 1996.
[1.6] KEISLER H. J.: Elementary Calculus. an Infinitesimal Approach, 3rd ed. Dover Publications, Boston 2012.
[1.7] MASE G. T., SMELSER R. E., MASE G. E.: Continuum Mechanics for Engineers. 3rd ed., CRC Press, New York 2010.
[1.8] WYRWAŁ J.: Termodynamiczne podstawy fizyki budowli. Oficyna Wydawnicza PO, Opole 2004.
[1.9] FUNG Y. C.: Podstawy mechaniki ciała stałego. PWN, Warszawa 1969.
[1.10] PIECHNIK S.: Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych. PWN, Warszawa-Kraków 1978.
