Mechanika kwantowa. Teoretyczne minimum - Leonard Susskind, Art Friedman

PRZEDMOWA

Albert Einstein, którego z wielu powodów można nazwać ojcem mechaniki kwantowej, miał do niej specyficzny stosunek, będący mieszanką miłości i nienawiści. Jego dyskusje z Nielsem Bohrem, w których Bohr prezentował całkowitą akceptację mechaniki kwantowej, a Einstein pozostawał względem niej głęboko sceptyczny, należą do najsłynniejszych dysput w historii nauki. Większość fizyków uznała, że w tym sporze zwyciężył Bohr, a Einstein przegrał. Moim zdaniem podzielanym, jak sądzę, przez coraz większą grupę uczonych, takie podsumowanie nie oddaje sprawiedliwości poglądom Einsteina.

Obydwaj dyskutanci odznaczali się dużą wnikliwością. Einstein próbował z całych sił wykazać, że mechanika kwantowa jest niespójna, a Bohr po kolei odpierał wszystkie jego argumenty. W końcu jednak Einstein wskazał problem tak głęboki, tak dalece sprzeczny z intuicją, budzący tak wiele zastrzeżeń, a jednocześnie tak fascynujący, że na początku XXI wieku na nowo zaczął zajmować fizyków teoretycznych. Jedyną odpowiedzią Bohra na ostatnie wielkie odkrycie Einsteina - splątanie - było milczenie.

Zjawisko splątania to fundamentalny aspekt mechaniki kwantowej, sprawiający, że tak bardzo różni się ona od fizyki klasycznej. Stawia ono pod znakiem zapytania całe nasze rozumienie tego, co w fizycznym świecie jest rzeczywiste. Zwyczajna intuicja dotycząca układów fizycznych mówi nam, że jeśli o jakimś układzie wiemy wszystko - to znaczy wszystko, czego w teorii można się o nim dowiedzieć - to wiemy też wszystko o jego częściach. Jeśli posiadamy pełną informację o stanie samochodu, to wiemy również wszystko o jego kołach, silniku, skrzyni biegów, a nawet o śrubach mocujących tapicerkę. Jeśli mechanik stwierdziłby: "Wiem wszystko o pana samochodzie, ale niestety nie umiem nic powiedzieć o żadnej z jego części", uznalibyśmy jego słowa za pozbawione sensu.

A jednak właśnie na coś takiego Einstein zwrócił uwagę Bohrowi: w mechanice kwantowej można wiedzieć wszystko o pewnym układzie i jednocześnie nie mieć żadnej wiedzy o jego pojedynczych częściach. Bohr nie docenił wagi tego stwierdzenia. Mógłbym dodać, że zignorowało je również kilka pokoleń autorów podręczników do fizyki kwantowej.

Każdy wie, że mechanika kwantowa ma w sobie coś dziwnego, ale myślę, że bardzo nieliczni ludzie potrafiliby wyjaśnić, na czym właściwie ta dziwność polega. Ta książka to niestroniący od szczegółów technicznych cykl wykładów o mechanice kwantowej, ale różni się ona istotnie od większości innych wykładów czy podręczników. Skoncentrujemy się w niej na logicznych zasadach teorii kwantowej, a naszym celem nie będzie ukrycie niezwykłej dziwaczności kwantowej logiki, ale raczej czytelne jej przedstawienie.

Chciałbym ci przypomnieć, że ta książka to jeden z tomów serii blisko związanej z moim internetowym cyklem wykładów "Teoretyczne minimum". Jej współautor, Art Friedman, był słuchaczem tych wykładów. Nasza książka niewątpliwie zyskała na tym, że Art sam uczył się omawianej w niej teorii i w związku z tym bardzo uważnie wyłapywał kwestie, które mogłyby się okazać niejasne dla początkującego czytelnika. Pisanie jej sprawiło nam wiele uciechy. Staraliśmy się podzielić tą przyjemnością z czytelnikami, umieszczając w tekście sporo żartów. Jeśli cię nie rozśmieszą, po prostu je zignoruj.

Leonard Susskind

Kiedy kończyłem magisterskie studia informatyczne na Uniwersytecie Stanforda, nawet przez chwilę nie myślałem, że jakiś czas później wrócę tam, by słuchać wygłaszanych przez Leonarda wykładów z fizyki. Moja krótka "kariera" fizyka skończyła się wiele lat wcześniej na zdobyciu licencjatu. Zainteresowanie przedmiotem jednak nigdy nie zanikło.

Wygląda na to, że nie jestem w tym osamotniony - na świecie jest pełno ludzi, których naprawdę fascynuje fizyka, ale okoliczności nie pozwoliły im zajmować się nią zawodowo. Ta książka powstała właśnie z myślą o takich jak my.

Mechanikę kwantową można - do pewnego stopnia - docenić na czysto jakościowym, koncepcyjnym poziomie, ale to matematyka sprawia, że jej piękno staje się w pełni widoczne. Staraliśmy się, by przedstawić tę wspaniałą, bogatą teorię w sposób przystępny dla ludzi niezajmujących się zawodowo fizyką, ale mających pewne przygotowanie matematyczne. Myślę, że udało się nam to całkiem nieźle. Mam nadzieję, że się zgodzicie z tym zdaniem.

Nikomu nie udało się zakończyć pracy nad podobnym projektem bez pomocy innych. Pomoc ekipy z Brockman.Inc. zapewniła, że wszystkie sprawy dotyczące umów (i innych negocjacji biznesowych) zostały załatwione sprawnie i bez kłopotów, a zespół redakcyjny w Perseus Books okazał się najwyższej klasy. Serdecznie dziękuję TJ Kelleherowi, Rachel King i Tisse Takagi. Szczęśliwie przyszło nam też pracować z utalentowanym redaktorem, Johnem Searcym.

Jestem bardzo wdzięczny innym słuchaczom wykładów Leonarda za przemyślane i odważne pytania, które niestrudzenie stawiali, oraz za wiele inspirujących rozmów po zajęciach. Rob Colwell, Todd Craig, Monty Frost i John Nash podzielili się ze mną uwagami po przeczytaniu pierwszej wersji książki. Jeremy Branscome i Russ Bryan przejrzeli ją całą bardzo dokładnie i znaleźli miejsca, które wymagały poprawek.

Dziękuję rodzinie i przyjaciołom za wsparcie i entuzjastyczne nastawienie. Szczególnie dziękuję mojej córce Hannah za wzięcie na siebie różnych obowiązków.

Oprócz miłości, słów zachęty, przenikliwych rad i poczucia humoru wkład mojej wspaniałej żony, Margaret Sloan, do tej książki objął też stworzenie mniej więcej jednej trzeciej wykresów i obydwu ilustracji "U Hilberta". Dzięki, Maggie.

Na początku pracy nad naszym projektem Leonard, wyczuwając moją prawdziwą motywację, powiedział, że jednym z najlepszych sposobów na uczenie się fizyki jest pisanie o niej. To oczywiście słuszne stwierdzenie, ale nie miałem pojęcia, do jakiego stopnia. Bardzo się cieszę, że mogłem się o tym przekonać. Wielkie dzięki, Leonard.

Art Friedman

PROLOG

Art podnosi głowę znad kufla z piwem i mówi:

- Lenny, zagrajmy rundkę Einsteina-Bohra.

- Dobra, ale mam już dość przegrywania. Tym razem ty będziesz Artsteinem, a ja L-Bohrem. Zaczynasz.

- W porządku. Na początek zaatakuję tak: Bóg nie gra w kości. Ha ha, panie L-Bohr, punkt dla mnie.

- Nie tak szybko, panie Artstein, nie tak szybko. To pan, przyjacielu, pierwszy zwrócił uwagę na probabilistyczną naturę teorii kwantowej. I co, to chyba zasługuje na dwa punkty!

- Cóż. Cofam swoją wypowiedź.

- Nie może pan jej cofnąć.

- Ależ mogę!

Niewielu ludzi zdaje sobie sprawę, że Einstein w napisanym w 1917 roku artykule O kwantowej teorii promieniowania twierdził, iż emisja promieniowania gamma podlega prawom statystycznym.

PROFESOR I SKRZYPEK WCHODZĄ DO BARU

Pierwszy tom zawierał przerywniki opisujące krótkie rozmowy między Lennym i George'em, dwiema fikcyjnymi postaciami kojarzącymi się z bohaterami powieści Johna Steinbecka. Analogiczne fragmenty tej książki są inspirowane opowiadaniami Damona Runyona opisującymi świat zaludniony przez oszustów, kombinatorów, degeneratów, cwaniaczków, którzy potrafią wyjść obronną ręką z każdej sytuacji, oraz naiwniaków na siłę próbujących zbawić świat. Oprócz nich pojawia się oczywiście kilku zwykłych ludzi próbujących jakoś przeżyć z dnia na dzień. Akcja rozwija się przede wszystkim w popularnym barze, zwanym "U Hilberta". Pewnego dnia wchodzą do niego Lenny i Art, dwóch żółtodziobów z Kalifornii, którzy odłączyli się od swojej wycieczki. Życz im szczęścia. Będzie potrzebne.

CO ZE SOBĄ ZABRAĆ?

Aby wybrać się w tę podróż, nie musicie być fizykami, ale powinniście znać podstawy rachunku różniczkowego i algebry liniowej. Dobrze by też było, gdybyście wiedzieli coś o materiale wyłożonym w pierwszym tomie. Nie przejmujcie się, jeśli dawno nie mieliście do czynienia z matematyką. W trakcie wykładu będziemy poświęcać sporo czasu na przypominanie i wyjaśnianie potrzebnego materiału, zwłaszcza z zakresu algebry liniowej. Pierwszy tom zawierał przegląd podstaw rachunku różniczkowego.

Może wam się wydawać, że nasz żartobliwy ton oznacza, iż nie zależy nam na precyzji. To nie tak. Naszym celem jest sprawienie, aby trudny temat stał się "tak prosty, jak tylko to możliwe, ale nie prostszy". Mamy nadzieję, że przy okazji nie będziemy się nudzić. Do zobaczenia "U Hilberta".

WSTĘP

Mechanika klasyczna zgadza się z naszą intuicją: obiekty poruszają się tak, jak się tego spodziewamy. Doświadczony gracz futbolu amerykańskiego może zerknąć na lecącą piłkę i na podstawie jej położenia i prędkości stwierdzić, dokąd powinien pobiec, by ją w odpowiednim momencie złapać. Oczywiście nagły nieoczekiwany podmuch wiatru może pokrzyżować mu plany, ale stałoby się tak tylko dlatego, że nie wziął pod uwagę wszystkich istotnych zmiennych. Przyczyna, dla której mechanika klasyczna zgadza się z naszą intuicją, jest oczywista: ludzie, a przed nimi zwierzęta, wykorzystywali ją wielokrotnie każdego dnia, by przeżyć. Natomiast nikt przed XX wiekiem nie używał mechaniki kwantowej. Opisuje ona obiekty tak malutkie, że pozostające całkowicie poza zasięgiem ludzkich zmysłów. Wydaje się więc rozsądne, że ewolucja nie wyposażyła nas w intuicję praktyczną w świecie kwantowym. Jedyny sposób, na jaki możemy go zrozumieć, to dostarczenie naszym umysłom narzędzi w postaci matematyki abstrakcyjnej. Na szczęście, z pewnych dziwacznych powodów, ewolucja sprawiła, że potrafimy się nimi posługiwać.

Zwykle na początku, zanim nawet usłyszymy o mechanice kwantowej, uczymy się mechaniki klasycznej. Fizyka kwantowa jest jednak dużo bardziej fundamentalna niż fizyka klasyczna. Zgodnie z naszym stanem wiedzy mechanika kwantowa podaje dokładny opis każdego układu fizycznego. Niektóre układy są na tyle duże, że mechanikę kwantową można rozsądnie przybliżać mechaniką klasyczną. Tak naprawdę mechanika klasyczna jest właśnie tym: przybliżeniem. Z logicznego punktu widzenia należałoby najpierw uczyć się mechaniki kwantowej, ale większość nauczycieli fizyki odradza takie podejście. Nawet ten cykl wykładów - seria "Teoretyczne minimum" - zaczął się od mechaniki klasycznej. Mimo to w naszych kwantowych wykładach mechanika klasyczna nie będzie odgrywała praktycznie żadnej roli, nie licząc samego końca, kiedy to podstawowe zasady mechaniki kwantowej będą już dobrze wyjaśnione. Myślę, że to naprawdę właściwe podejście, nie tylko z logicznego, lecz także z pedagogicznego punktu widzenia. W ten sposób nie grozi nam wpadnięcie w pułapkę myślenia, że mechanika kwantowa to w zasadzie tylko mechanika klasyczna plus kilka nowych sztuczek. Przy okazji warto zauważyć, że mechanika kwantowa jest technicznie znacznie prostsza niż mechanika klasyczna.

Najprostszy układ klasyczny - elementarna jednostka logiczna w informatyce - to układ o dwóch stanach. Czasami nazywa się go bitem. Może on przedstawiać dowolny obiekt mający dwa możliwe stany: monetę, która będzie pokazywać orła bądź reszkę, włączony albo wyłączony przełącznik, albo maleńki magnesik, który może być skierowany tylko na północ bądź na południe. Jak się pewnie domyślasz, zwłaszcza jeśli przestudiowałeś pierwszy wykład pierwszego tomu, teoria klasycznych układów o dwóch stanach jest wyjątkowo prosta - można nawet powiedzieć nudna. W tej książce zaczniemy rozważania od kwantowego odpowiednika układu o dwóch stanach, zwanego kubitem, który jest dużo bardziej interesujący. Aby go zrozumieć, będziemy potrzebować całkowicie nowego sposobu myślenia - nowych podstaw logiki.

WYKŁAD 1

Układy i doświadczenia

Lenny i Art wchodzą do "Hilberta".

- Co to jest, Strefa Mroku? Czy jakieś wesołe miasteczko? Nie mogę się zorientować, co i jak - mówi Art.

- Weź głęboki oddech. Przyzwyczaisz się - przekonuje Lenny.

- W którą stronę jest góra? - pyta Art.

1.1 MECHANIKA KWANTOWA JEST INNA

Co jest tak szczególnego w mechanice kwantowej? Dlaczego tak trudno ją zrozumieć? Nasuwa się odpowiedź zrzucająca winę na "skomplikowaną matematykę", i być może ma ona nawet w sobie trochę prawdy. Nie może być jednak pełna. Wiele osób niezajmujących się zawodowo fizyką potrafi opanować mechanikę klasyczną i teorię pola, które też wymagają stosowania zaawansowanej matematyki.

Mechanika kwantowa zajmuje się zachowaniem obiektów tak miniaturowych, że ludzie są całkowicie nieprzygotowani do ich wizualizacji. Pojedyncze atomy sięgają górnego końca tej skali, jeśli chodzi o rozmiar. Zwykle rozważa się elektrony. Nasze organy zmysłowe są po prostu nieprzystosowane do odczuwania ruchu elektronu. W najlepszym wypadku pozostaje nam zrozumienie elektronów i ich ruchu jako abstrakcyjnych pojęć matematycznych.

- I co z tego? - mógłby zapytać sceptyk. - Mechanika klasyczna jest wypełniona abstrakcyjnymi pojęciami matematycznymi po brzegi. Wystarczy wspomnieć punktowe masy, ciała sztywne, inercyjne układy odniesienia, położenia, pędy, pola czy fale, a lista jest dużo, dużo dłuższa. W stosowaniu abstrakcyjnej matematyki nie ma nic nowego.

To uczciwe postawienie sprawy. Rzeczywiście światy klasyczny i kwantowy mają pewne istotne wspólne aspekty. Mechanika kwantowa jest jednak inna na dwa zasadnicze sposoby:

1. Inne pojęcia abstrakcyjne. Abstrakcyjne pojęcia używane w mechanice kwantowej różnią się diametralnie od tych pojawiających się w mechanice klasycznej. Przekonamy się na przykład, że idea stanu w mechanice kwantowej różni się od swojego klasycznego odpowiednika już na poziomie koncepcyjnym. Stany są przedstawiane za pomocą innych obiektów matematycznych i mają odmienną strukturę logiczną.

2. Stany i pomiary. W klasycznym świecie związek między stanem układu a wynikiem pomiaru ma bardzo prosty, wręcz trywialny charakter. Określenia, które opisują stan (na przykład położenie i pęd cząstki), odpowiadają dokładnie terminom charakteryzującym pomiary tego stanu. Inaczej mówiąc, stan układu można okreś­lić, wykonując na nim jakiś eksperyment. W świecie kwantowym przestaje to być prawdą. Stany i pomiary są dwiema odrębnymi koncepcjami, a związek między nimi okazuje się skomplikowany i mało intuicyjny.

Te stwierdzenia odgrywają fundamentalną rolę i nieraz jeszcze do nich wrócimy.

1.2 SPINY I KUBITY

Koncepcja spinu wywodzi się z fizyki cząstek. Cząstki mają oprócz położenia w przestrzeni pewne dodatkowe własności, na przykład mogą mieć ładunek elektryczny czy masę - elektron nie jest tym samym co kwark czy neutrino. Jednak nawet konkretny rodzaj cząstki, takiej jak elektron, nie jest do końca określony przez swoje położenie. Wiąże się z nim dodatkowy stopień swobody, zwany spinem. Spin można sobie naiwnie wyobrażać jako małą strzałkę wskazującą pewien kierunek, ale obraz ten jest zbyt klasyczny, by mógł precyzyjnie odpowiadać rzeczywistej sytuacji. Spin elektronu to tak bardzo kwantowy układ, jak tylko się da, i próby przedstawienia go za pomocą klasycznego obrazu są skazane na niepowodzenie.

Koncepcję spinu można potraktować dużo bardziej abstrakcyjnie, rozważając ją w oderwaniu od elektronu, i właśnie tak zrobimy. Kwantowy spin to układ, który warto badać sam w sobie. Tak naprawdę kwantowy spin odizolowany od niosącego go przez przestrzeń elektronu to z jednej strony najprostszy, z drugiej zaś najbardziej kwantowy z układów.

Odizolowany spin kwantowy to przykład należący do szerokiej klasy prostych układów nazywanych kubitami - kwantowymi bitami1 - odgrywających w kwantowym świecie tę samą rolę, jaką w określaniu stanu twojego komputera mają bity logiczne. Wiele układów - może nawet wszystkie - można zbudować, łącząc ze sobą pojedyncze kubity. W związku z tym poznając je, dowiadujemy się wiele więcej, niż mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka.

1.3 EKSPERYMENT

Skonkretyzujmy teraz te rozważania, wykorzystując do tego najprostszy przykład, jaki umiemy znaleźć. Pierwszy wykład pierwszego tomu zaczęliśmy od rozważania bardzo prostego, deterministycznego układu: monety, która może pokazywać albo orła (O), albo reszkę (R). Możemy ją nazwać układem o dwóch stanach, O i R. Podchodząc do sprawy bardziej formalnie, wprowadzamy "stopień swobody" oznaczany ?, który może przyjmować jedną z dwóch wartości: +1 albo -1. Stan O zastępujemy wzorem

? = +1,

a stan R:

? = -1.

Z klasycznego punktu widzenia to już wszystko, co można powiedzieć o przestrzeni stanów. Układ jest albo w stanie ? = +1, albo w stanie ? = -1, i żadna pośrednia możliwość nie wchodzi w grę. W mechanice kwantowej będziemy myśleć o takim układzie jako o kubicie.

W pierwszym tomie omówiliśmy też proste prawa ewolucji wskazujące, jak uaktualniać w kolejnych chwilach stan układu. Najprostsze możliwe prawo to takie, przy którym nic się nie dzieje. Opisuje ono przejście od traktowanej w sposób dyskretny chwili (n) do kolejnej chwili (n + 1) wzorem

?(n + 1) = ?(n).

(1.1)

Ujawnijmy teraz ukryte założenie, które zlekceważyliśmy w pierwszym tomie. W eksperymencie zawsze bierze udział coś więcej niż tylko badany układ. Musimy też uwzględnić instrument A wykonujący pomiary i rejestrujący ich wyniki. W układzie o dwóch stanach instrument pomiarowy oddziałuje z układem (czyli ze spinem) i rejestruje wartość ?. Będziemy myśleć o instrumencie pomiarowym jako o czarnej skrzynce2 z okienkiem pokazującym wynik pomiaru. Na skrzynce umieszczona jest też strzałka wskazująca "tą stroną do góry". Strzałka odgrywa istotną rolę, gdyż mówi nam, jak instrument został zorientowany w przestrzeni, a jej kierunek wpłynie na wyniki naszych pomiarów. Zaczynamy od ustawienia jej w kierunku osi z (zob. ilustracja 1.1). Początkowo nie wiemy, czy ? = +1 czy ? = -1. Naszym zadaniem jest przeprowadzenie eksperymentu, który pozwoli nam znaleźć wartość ?.

Ilustracja 1.1. (A) Spin i niezawierający kota instrument pomiarowy przed dokonaniem pomiaru. (B) Spin i instrument po dokonaniu pojedynczego pomiaru, pokazującego ?z = +1. Spin jest teraz przygotowany w stanie ?z = +1. Jeśli nie będziemy go w żaden sposób zaburzać, a instrument pozostanie skierowany w ten sam sposób, wszystkie kolejne pomiary dadzą ten sam wynik. Osie współrzędnych przedstawiają naszą konwencję oznaczania kierunków w przestrzeni.

Zanim instrument zacznie oddziaływać ze spinem, okienko jest puste (na naszych diagramach oznaczamy to znakiem zapytania). Po pomiarze ? okienko pokazuje +1 lub -1. Spoglądając na instrument pomiarowy, możemy wyznaczyć wartość ?. Cały proces to bardzo prosty eksperyment zaprojektowany w celu zmierzenia ?.

Teraz, kiedy już zmierzyliśmy ?, ustawmy na nowo instrument w stanie początkowym i nie zaburzając w żaden sposób spinu, wykonajmy pomiar ? kolejny raz. Przy założeniu, że obowiązuje proste prawo z równania 1.1, powinniśmy otrzymać tę samą odpowiedź co za pierwszym razem. Po wyniku ? = +1 pojawi się wynik ? = +1. Podobnie byłoby dla ? = -1. Tak samo będzie po dowolnej liczbie powtórzeń. To bardzo dobrze, gdyż dzięki temu możemy potwierdzić wynik eksperymentu. Możemy też ująć ten fakt następująco: pierwsze oddziaływanie z instrumentem A przygotowuje układ w jednym z dwóch możliwych stanów. Kolejne eksperymenty potwierdzają, że układ znajduje się w tym stanie. Na razie nie ma różnicy między fizyką klasyczną i kwantową.

Ilustracja 1.2. Instrument został odwrócony, a spinu w żaden sposób nie zaburzono. Nowy pomiar pokazuje ?z = -1.

Zróbmy teraz coś nowego. Po przygotowaniu spinu przez wykonanie na nim pomiaru instrumentem A odwróćmy instrument do góry nogami i zmierzmy ? jeszcze raz (pokazuje to ilustracja 1.2). Okaże się wtedy, że jeśli początkowo przygotowaliśmy ? = +1, to odwrócony instrument zarejestruje ? = -1. Podobnie jeśli początkowo przygotowaliśmy ? = -1, to odwrócony instrument zarejestruje ? = +1. Innymi słowy, odwrócenie instrumentu pomiarowego powoduje wymianę ? = +1 i ? = -1. Na podstawie tych wyników możemy stwierdzić, że ? to stopień swobody powiązany z kierunkiem w przestrzeni. Jeśli na przykład ? byłaby jakimś wektorem, to należałoby się spodziewać, że odwrócenie instrumentu spowoduje zmianę znaku odczytywanej wartości. Proste wyjaśnienie mówiłoby, że instrument mierzy składową tego wektora odpowiadającą umocowanej wewnątrz instrumentu osi. Czy takie wyjaśnienie może pozostać poprawne dla wszystkich ustawień?

Jeśli uważalibyśmy, że spin jest wektorem, to w naturalny sposób opisywalibyśmy go przy użyciu trzech składowych: ?z, ?x i ?y. Ustawienie instrumentu pionowo wzdłuż osi z odpowiada pomiarowi ?z.

Ilustracja 1.3. Instrument obrócony o 90°. Nowy pomiar pokazuje ?x = -1 z prawdopodobieństwem 50 procent.

Wciąż nie widać różnicy między fizyką klasyczną a kwantową. Pojawia się ona dopiero wtedy, gdy obrócimy instrument o jakiś kąt, powiedzmy o ?/2 radianów (czyli 90°). Początkowo instrument stoi pionowo (strzałka wskazuje kierunek do góry wzdłuż osi z). Przygotowujemy w ten sposób spin ? = +1. Następnie obracamy A, tak by strzałka ułożyła się wzdłuż osi x, i wykonujemy pomiar wartości, którą należałoby zapewne uznać za x-ową składową spinu, ?x.

Jeśli ? naprawdę przedstawia składową jakiegoś wektora ułożoną w kierunku strzałki, spodziewalibyśmy się, że w wyniku pomiaru otrzymamy 0. Dlaczego? Początkowo stwierdziliśmy, że ? leży wzdłuż osi z, co sugeruje, że jej składowa wzdłuż osi x musi być równa zeru. Kiedy jednak mierzymy ?x, czeka nas niespodzianka: zamiast wyniku ?x = 0 instrument pokazuje albo ?x = +1, albo ?x = -1. A okazuje się bardzo uparty - niezależnie od tego, jak go ustawimy, odmawia udzielenia odpowiedzi innej niż ? = ?1. Jeśli ? faktycznie jest wektorem, to musi być to wyjątkowo dziwaczny wektor.

Tak czy inaczej, odkryliśmy coś interesującego. Przypuśćmy, że powtórzymy tę operację wielokrotnie, za każdym razem zachowując się zgodnie z taką samą procedurą, czyli:

- zaczynając od A ustawionego wzdłuż osi z i przygotowując ? = +1,

- obracając następnie instrument tak, by był skierowany wzdłuż osi x,

- mierząc ?.

Powtarzany eksperyment produkuje losową listę plus i minus jedynek. Determinizm zniknął, ale pozostawił po sobie coś szczególnego. Jeśli wykonamy wiele powtórzeń, przekonamy się, że liczby wyników ? = +1 i ? = -1 są statystycznie równe. Inaczej mówiąc, średnia wartość ? to 0. Wnioskujemy więc, że zamiast klasycznego wyniku - czyli stwierdzenia, że x-owa składowa ? jest równa 0 - to średnia otrzymana w powtarzanych eksperymentach jest równa 0.

Ilustracja 1.4. Instrument obrócony o pewien dowolny kąt w płaszczyźnie x-z. Średni wynik pomiaru to -

.

Zróbmy teraz to wszystko jeszcze raz, ale zamiast obracać A, tak by ułożył się wzdłuż osi x, obróćmy go tak, by był skierowany wzdłuż dowolnego wektora jednostkowego3 . W mechanice klasycznej, jeśli ? to wektor, oczekiwalibyśmy, że wynik eksperymentu powie nam, jaka jest składowa ? wzdłuż osi . Jeśli leży pod kątem ? do osi z, to klasyczna odpowiedź miałaby postać ? = cos ?. Jak jednak pewnie się domyślasz, za każdym razem, kiedy wykonujemy eksperyment, otrzymujemy ? = +1 lub ? = -1. Statystyczny rozkład uzyskiwanych wyników prowadzi do średniej wartości cos ?.

Sytuacja może być oczywiście dużo ogólniejsza. Nie musieliśmy zaczynać od A ustawionego wzdłuż osi z. Wybierzmy dowolny kierunek

i zacznijmy od strzałki ułożonej zgodnie z 

. Przygotujmy spin tak, by instrument pokazywał ? = +1. Potem, bez zaburzania spinu, obróćmy instrument, tak by strzałka wskazywała kierunek , jak pokazano to na ilustracji 1.4. Nowy eksperyment wykonany na tym samym spinie da losowy wynik ?1, ale średnia wartość wielu zaaranżowanych w ten sposób pomiarów okaże się równa cosinusowi kąta między wektorami i 

. Inaczej mówiąc, średnia wartość będzie równa -

.

Kwantowomechaniczna notacja na statystyczną średnią wielkości Q to wprowadzona przez Diraca notacja nawiasowa: <Q>. Wyniki naszych rozważań o eksperymentach można podsumować następująco: jeśli zaczniemy od A ustawionego wzdłuż

, potwierdzimy, że ? = +1, a następnie wykonamy pomiar instrumentem A ułożonym zgodnie z , to statystycznie otrzymamy

W ten sposób się dowiedzieliśmy, że układy kwantowomechaniczne nie są deterministyczne - wyniki eksperymentów mają losowy charakter - ale jeśli powtórzymy doświadczenie wielokrotnie, to średnie uzyskanych wartości mogą zachowywać się, przynajmniej do pewnego stopnia, jak wielkości znane z fizyki klasycznej.

1.4 EKSPERYMENTY NIGDY NIE SĄ DELIKATNE

W każdym eksperymencie bierze udział układ zewnętrzny - instrument pomiarowy - który musi oddziałać z badanym układem, by można było zarejestrować wynik. W tym sensie każdy eksperyment ma charakter inwazyjny. To prawda zarówno w fizyce klasycznej, jak i w kwantowej, ale tylko w odniesieniu do tej drugiej ma zasadnicze znaczenie. Z czego to wynika? W fizyce klasycznej wpływ idealnego instrumentu pomiarowego na mierzony układ jest pomijalnie mały. Doświadczenia mogą być dowolnie delikatne i nadal dawać dokładne i możliwe do powtórzenia wyniki, na przykład kierunek strzałki można ustalić, odbijając od niej promień światła i skupiając go w jakimś punkcie, by otrzymać obraz. Chociaż to prawda, że światło, by utworzyć obraz, musi mieć odpowiednio małą długość fali, to nic w klasycznej fizyce nie przeszkadza temu, by został on uzyskany przy dowolnie słabym promieniu. Inaczej mówiąc, światło może nieść dowolnie małą energię.

W mechanice kwantowej sytuacja wygląda zupełnie inaczej. Każde oddziaływanie, które jest wystarczająco silne, by pozwoliło zmierzyć jakąś cechę układu, musi być jednocześnie na tyle silne, by zaburzyć jakąś inną cechę tego samego układu. Wynika z tego, że nie sposób dowiedzieć się czegoś o układzie kwantowym, przy okazji czegoś w nim nie zmieniając.

Powinno to być jasno widoczne w przykładach dotyczących A i ?. Przypuśćmy, że zaczynamy od ? = +1 zmierzonego wzdłuż osi z. Jeśli kolejny raz zmierzymy ? za pomocą A ułożonego wzdłuż osi z, wynik ten zostanie potwierdzony. Możemy to powtarzać wielokrotnie i za każdym razem otrzymamy ten sam rezultat. Rozważmy jednak inną możliwość: między kolejnymi pomiarami wzdłuż osi z obróćmy A o 90°, wykonajmy pomiar w tym położeniu i obróćmy instrument z powrotem. Czy wykonany teraz pomiar wzdłuż osi z potwierdzi początkowy wynik? Odpowiedź okazuje się negatywna. Pośredni pomiar wzdłuż osi x powoduje, że spin znajdzie się w całkowicie losowej konfiguracji, jeśli chodzi o wynik kolejnego pomiaru. Nie potrafimy w żaden sposób wyznaczyć spinu w innym kierunku, nie wpływając tym samym na ostateczny pomiar. Można powiedzieć, że pomiar jednej składowej spinu niszczy informacje o innej składowej. Tak naprawdę po prostu nie da się poznać jednocześnie składowych spinów odpowiadających różnym osiom, a przynajmniej nie tak, by dało się odpowiednie wyniki odtworzyć w kolejnych eksperymentach. Stany układów kwantowych fundamentalnie różnią się od stanów układów klasycznych.

1.5 ZDANIA LOGICZNE

Przestrzeń stanów klasycznego układu to zbiór w znaczeniu matematycznym. Jeśli rozważany układ to moneta, przestrzeń stanów stanowi zbiór składający się z dwóch elementów, O i R. Używając oznaczeń z teorii zbiorów, możemy go zapisać jako {O, R}. Jeśli układ jest sześcienną kostką, to przestrzeń stanów ma sześć elementów, zapisywanych jako {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Logikę teorii zbiorów nazywa się logiką Boole'a. Logika Boole'a to sformalizowane podejście do dobrze znanej klasycznej logiki opartej na koncepcji zdań logicznych.

Podstawową ideą występującą w logice Boole'a jest pojęcie prawdziwości zdania. Zdanie logiczne może być prawdziwe albo fałszywe. Żadna pośrednia możliwość nie wchodzi w grę. Wiąże się z tym funkcjonujące w teorii zbiorów pojęcie podzbioru. Z grubsza rzecz biorąc, zdanie logiczne jest prawdziwe dla wszystkich elementów odpowiadającego mu podzbioru i fałszywe dla wszystkich elementów, które do tego zbioru nie należą. Jeśli na przykład badany zbiór przedstawia możliwe stany kostki, możemy rozważyć zdanie:

A: na kostce wypadła liczba nieparzysta.

Odpowiadający mu podzbiór, {1, 3, 5}, zawiera trzy elementy.

Inne zdanie mówi:

B: na kostce wypadła liczba mniejsza niż 4.

Tym razem odpowiedni podzbiór zawiera stany {1, 2, 3}.

Każde zdanie logiczne ma swoje zaprzeczenie (zwane też negacją), na przykład:

nie A: na kostce nie wypadła liczba nieparzysta.

Podzbiór odpowiadający temu zaprzeczeniu to {2, 4, 6}.

Pewne reguły pozwalają nam łączyć proste zdania logiczne w bardziej złożone. Najważniejsze z nich to spójniki lub, i oraz nie. Przed chwilą mieliśmy do czynienia z przykładem użycia nie, które stosuje się do pojedynczego zdania czy też podzbioru. Kolejny spójnik, i, ma bardzo prosty charakter, a stosuje się go do pary zdań4. Oznacza on, że oba te zdania są prawdziwe. Kiedy zastosujemy to stwierdzenie do dwóch podzbiorów, i prowadzi do podzbioru zawierającego elementy należące do obu podzbiorów początkowych, czyli ich części wspólnej czy też przecięcia. W przykładzie z kostką częścią wspólną podzbiorów A i B jest podzbiór składający się z elementów, które są jednocześnie nieparzyste i mniejsze od 4. Ilustracja 1.5 za pomocą diagramu Venna pokazuje, jak działa odpowiedni mechanizm.

Zasada rządząca spójnikiem lub przypomina tę dla i, ale zawiera jedną dodatkową subtelność. W potocznym języku słowa "lub" używamy zwykle w sensie wyłączności: chodzi o to, że powstałe zdanie złożone jest prawdziwe, jeśli jedno bądź drugie ze zdań składowych jest prawdziwe, ale nie wtedy, gdy prawdziwe są oba składniki. W logice Boole'a używa się innej wersji lub, czyli takiej, w której zdanie złożone jest prawdziwe, gdy prawdziwy jest którykolwiek ze składników bądź obydwa składniki. Zgodnie z tą wersją lub zdanie logiczne

Albert Einstein odkrył teorię względności lub Isaac Newton był Anglikiem

jest prawdziwe, podobnie jak zdanie

Albert Einstein odkrył teorię względności lub Isaac Newton był Rosjaninem.

Ilustracja 1.5. Przykład klasycznego modelu przestrzeni stanów. Podzbiór A odpowiada zdaniu: "na kostce wypadła liczba nieparzysta". Podzbiór B - zdaniu "na kostce wypadła liczba <4". Ciemniejsze zacieniowanie przedstawia część wspólną A i B, która odpowiada zdaniu (A i B). Białe liczby to elementy sumy A z B, odpowiadającej zdaniu (A lub B).

Zdanie połączone spójnikiem lub jest fałszywe tylko wtedy, jeśli fałszywe są oba zdania składowe. Przykładem takiej sytuacji jest zdanie

Albert Einstein odkrył Amerykę5 lub Isaac Newton był Rosjaninem.

Spójnik lub interpretuje się w języku teorii zbiorów jako sumę dwóch podzbiorów: oznacza on wtedy podzbiór zawierający wszystkie elementy jednego bądź obydwu zbiorów składowych. W przykładzie z kostką A lub B odpowiada podzbiorowi {1, 2, 3, 5}.

1.6 TESTOWANIE ZDAŃ KLASYCZNYCH

Wróćmy teraz do prostego układu kwantowego składającego się z pojedynczego spinu i rozważmy różne zdania, których prawdziwość moglibyśmy zweryfikować przy użyciu instrumentu A. Zacznijmy od następujących dwóch zdań:

A: Składowa spinu odpowiadająca osi z jest równa +1.

B: Składowa spinu odpowiadająca osi x jest równa +1.

Każde z tych zdań ma sens i może zostać przetestowane za pomocą ustawienia instrumentu A wzdłuż odpowiedniej osi. Podobnie sensowne są ich zaprzeczenia - na przykład zaprzeczenie pierwszego zdania to

nie A: Składowa spinu odpowiadająca osi z jest równa -1.

Rozważmy jednak teraz zdania złożone:

(A lub B): Składowa spinu odpowiadająca osi z jest równa +1 lub składowa spinu odpowiadająca osi x jest równa +1.

(A i B): Składowa spinu odpowiadająca osi z jest równa +1 i składowa spinu odpowiadająca osi x jest równa +1.

Zastanówmy się, jak przetestowalibyśmy zdanie (A lub B). Gdyby spiny zachowywały się zgodnie z mechaniką klasyczną - co oczywiście jest nieprawdą - moglibyśmy postępować w następujący sposób6:

- Delikatnie mierzymy ?z i zapisujemy uzyskany wynik. Jeśli było to +1, to skończyliśmy: zdanie (A lub B) jest prawdziwe. Jeśli ?z = -1, to przechodzimy do następnego kroku.

- Delikatnie mierzymy ?x. Jeśli otrzymaliśmy +1, to zdanie (A lub B) jest prawdziwe. Jeśli nie, to ani ?z, ani ?x nie były równe +1 i zdanie (A lub B) jest fałszywe.

Istnieje jednak też alternatywna procedura, polegająca na zamianie kolejności obu pomiarów. Aby podkreślić to odwrócenie kolejności, będziemy zapisywać badane tym razem zdanie jako (B lub A):

- Delikatnie mierzymy ?x i zapisujemy uzyskany wynik. Jeśli było to +1, to skończyliśmy: zdanie (B lub A) jest prawdziwe. Jeśli ?z = -1, to przechodzimy do następnego kroku.

- Delikatnie mierzymy ?z. Jeśli otrzymaliśmy +1, to zdanie (B lub A) jest prawdziwe. Jeśli nie, to ani ?x, ani ?z nie były równe +1 i zdanie (B lub A) jest fałszywe.

W fizyce klasycznej oba przypadki dają tę samą odpowiedź. Wynika to z faktu, że pomiary mogą być tak delikatne, jak tylko zażądamy - tak delikatne, że nie wpływają na wyniki kolejnych pomiarów. Tak więc zdanie (A lub B) ma takie samo znaczenie jak zdanie (B lub A).

1.7 TESTOWANIE ZDAŃ KWANTOWYCH

Teraz zajmiemy się kwantowym światem, który opisałem wcześniej. Wyobraźmy sobie sytuację, w której ktoś (albo coś) w tajemnicy przed nami przygotował spin w stanie ?z = +1. Naszym zadaniem jest teraz stwierdzenie, za pomocą instrumentu A, czy zdanie (A lub B) jest prawdziwe czy fałszywe. Spróbujemy wykorzystać do tego procedury przedstawione powyżej.

Zaczynamy od zmierzenia ?z. Ponieważ nieznana nam siła zajęła się wcześniej przygotowaniem układu, przekonamy się, że ?z = +1. Nie musimy kontynuować eksperymentu: zdanie (A lub B) jest prawdziwe. Tak czy inaczej możemy jednak przetestować ?x, po prostu by zaspokoić naszą ciekawość. Odpowiedzi nie da się przewidzieć. Losowo przekonamy się, że ?x = +1 lub ?x = -1. Żaden z tych wyników nie ma oczywiście wpływu na prawdziwość zdania (A lub B).

Teraz jednak odwróćmy kolejność wykonywania pomiarów. Tak jak to zrobiliśmy poprzednio, odwróconą procedurę określimy jako (B lub A) i zacznie się ona od pomiaru ?x. Ponieważ nieznana siła ustawiła spin jako równy +1 wzdłuż osi z, wynik pomiaru ?x jest losowy. Jeśli okaże się, że ?x = +1, to nasze zadanie jest zakończone: zdanie (B lub A) jest prawdziwe. Przypuśćmy jednak, że otrzymaliśmy przeciwny wynik, ?x = -1. Spin jest więc teraz zorientowany w kierunku -x. Zatrzymajmy się tu na moment, by dobrze zrozumieć, co się właśnie wydarzyło. W wyniku pierwszego pomiaru spin przestał znajdować się w stanie ?z = +1. Teraz jest w nowym stanie, określonym albo przez warunek ?x = +1, albo przez warunek ?x = -1. Zastanów się nad tym przez chwilę. Nie sposób przecenić istotności tej uwagi.

Jesteśmy zatem gotowi do przetestowania drugiej połowy zdania (B lub A). Ustawmy instrument wzdłuż osi z i zmierzmy ?z. Zgodnie z regułami mechaniki kwantowej otrzymany wynik będzie losowo równy ?1. Oznacza to, że z dwudziestopięcioprocentowym prawdopodobieństwem w eksperymencie dostaniemy wyniki ?x = -1 i ?z = -1. Inaczej mówiąc, z prawdopodobieństwem równym 1/4 przekonamy się, że zdanie (B lub A) jest fałszywe: stanie się tak, pomimo iż początkowo nieznany czynnik zapewnił, że ?z = +1.

W tym przykładzie widać jasno, że kwantowe lub nie jest symetryczne. Prawdziwość zdania (A lub B) może zależeć od kolejności, w jakiej zweryfikujemy prawdziwość jego składowych. Nie jest to pomijalny drobiazg: ten fakt oznacza nie tylko, że prawa fizyki kwantowej różnią się od swoich klasycznych odpowiedników, ale i że same podstawy logiki w fizyce kwantowej przybierają odmienny charakter.

Co można powiedzieć o zdaniu (A i B)? Przypuśćmy, że w pierwszym pomiarze otrzymamy wynik ?z = +1, a w drugim ?x = +1. Oczywiście może się tak zdarzyć. Chcielibyśmy wtedy uznać, że zdanie (A i B) jest prawdziwe. W nauce jednak, a zwłaszcza w fizyce, prawdziwość jakiegoś stwierdzenia oznacza, że można je pozytywnie zweryfikować w kolejnych eksperymentach. W fizyce klasycznej możliwość wykonywania delikatnych obserwacji oznacza, że kolejne eksperymenty nie wpływają w żaden sposób na stan układu i ich wyniki potwierdzą ten otrzymany za pierwszym razem. Moneta, która leży orłem do góry, nie obróci się nagle na drugą stronę tylko dlatego, że ją zaobserwowaliśmy - przynajmniej nie w świecie klasycznym. Z punktu widzenia mechaniki kwantowej drugi pomiar (?x = +1) niszczy możliwość weryfikacji wyniku pierwszego pomiaru. Kiedy tylko spin zostanie przygotowany wzdłuż osi x, następujący potem pomiar ?z da losowy wynik. Wobec tego zdanie (A i B) jest nieweryfikowalne: druga część eksperymentu ingeruje w możliwość potwierdzenia wyniku otrzymanego w jego pierwszej części.

Jeśli wiecie już trochę o mechanice kwantowej, pewnie zorientowaliście się, że to, o czym mówimy, ma związek z zasadą nieoznaczoności. Zasady nieoznaczoności nie stosuje się wyłącznie do położenia i pędu (czy też prędkości); dotyczy ona wielu par mierzalnych wielkości. W odniesieniu do spinu stosuje się do zdań dotyczących dwóch różnych składowych ?. W wypadku położenia i pędu zdania, które możemy rozważać, to:

Pewna cząstka ma położenie x.

Ta sama cząstka ma pęd p.

Możemy z nich stworzyć dwa różne zdania złożone:

Cząstka ma położenie x i cząstka ma pęd p.

Cząstka ma położenie x lub cząstka ma pęd p.

Choć zdania te mogą brzmieć nieco dziwnie, mają konkretne znaczenie w języku polskim, a także w fizyce klasycznej. W fizyce kwantowej jednak pierwsze z nich jest całkowicie pozbawione sensu (nie jest nawet błędne), a drugie oznacza coś innego, niż mogłoby ci się wydawać. Wszystko sprowadza się do głębokiej logicznej różnicy między klasyczną a kwantową koncepcją stanu układu. Wyjaśnienie kwantowej koncepcji stanu będzie wymagało wprowadzenia pewnych abstrakcyjnych pojęć matematycznych, teraz więc zatrzymamy nasze rozważania, by przedstawić krótkie interludium dotyczące liczb zespolonych i przestrzeni wektorowych. Potrzeba stosowania wielkości zespolonych stanie się jasna później, przy studiowaniu matematycznej reprezentacji stanów spinu.

1.8 INTERLUDIUM MATEMATYCZNE - LICZBY ZESPOLONE

Każdy, kto dotarł już tak daleko w serii "Teoretyczne minimum", wie coś o liczbach zespolonych. Niemniej jednak przez najbliższych kilka akapitów przypomnę podstawowe wiadomości ich dotyczące. Ilustracja 1.6 przedstawia niektóre z nich.

Liczba zespolona z to suma liczby rzeczywistej i liczby urojonej. Możemy ją zapisać jako

z = x + iy,

gdzie x oraz y to liczby rzeczywiste, a i2 = -1. Liczby zespolone można dodawać, mnożyć i dzielić zgodnie ze zwykłymi regułami arytmetyki. Można je również przedstawiać jako punkty na płaszczyźnie o współrzędnych równych odpowiednio x, y. Inne przedstawienie wykorzystuje współrzędne biegunowe:

Dodawanie liczb zespolonych jest bardzo łatwe, gdy są one zapisane przy użyciu składowych: po prostu dodajemy składowe do siebie. Mnożenie wygląda z kolei bardzo prosto we współrzędnych biegunowych: wystarczy pomnożyć promienie i dodać kąty:

Każdą liczbę zespoloną z cechuje sprzężenie z*, które powstaje po prostu przez zmianę znaku części urojonej. Jeśli

to

Ilustracja 1.6. Dwa typowe sposoby przedstawiania liczb zespolonych. We współrzędnych kartezjańskich x i y to odpowiednio pozioma (rzeczywista) i pionowa (urojona) składowa. We współrzędnych biegunowych r to promień, a ? kąt tworzony z osią x. W każdym z tych przedstawień do opisu pojedynczej liczby zespolonej używa się dwóch liczb rzeczywistych.

Pomnożenie każdej liczby zespolonej przez jej sprzężenie daje w wyniku nieujemną liczbę rzeczywistą:

To oczywiście prawda, że każde sprzężenie samo jest liczbą zespoloną, ale często przydaje się traktowanie z i z* tak, jakby należały do oddzielnych, "dualnych do siebie" zbiorów liczb. Słowo "dualny" oznacza tu, że każdemu z odpowiada dokładnie jedno z* i podobnie jest na odwrót.

Istnieje pewna szczególna klasa liczb zespolonych, które będę nazywał "czynnikami fazowymi" czy też po prostu "fazami". Czynnik fazowy to liczba zespolona, dla której r = 1. Jeśli z jest czynnikiem fazowym, to zachodzą następujące równości:

1.9 INTERLUDIUM MATEMATYCZNE - PRZESTRZENIE WEKTOROWE

1.9.1 Aksjomaty

W układzie klasycznym przestrzeń stanów to zbiór (zbiór możliwych stanów), a logika fizyki klasycznej to logika Boole'a. Wydaje się to oczywiste i trudno wyobrazić sobie jakąś inną możliwość. Niemniej jednak działanie rzeczywistego świata opiera się na zupełnie innych zasadach, przynajmniej wtedy, gdy mechanika kwantowa odgrywa istotną rolę. Przestrzeń stanów układu kwantowego nie jest zbiorem7; jest raczej przestrzenią wektorową. Związki między elementami przestrzeni wektorowej różnią się od tych między elementami zbioru, co więcej, zmienia się również logika zdań.

Zanim opowiem o przestrzeniach wektorowych, muszę wyjaśnić nasze rozumienie pojęcia wektor. Jak wiecie, wykorzystujemy to określenie do opisu obiektu znajdującego się w zwykłej przestrzeni i mającego wielkość oraz kierunek. Tak rozumiane wektory mają trzy składowe, odpowiadające trzem przestrzennym współrzędnym. Chciałbym, żebyście teraz kompletnie zapomnieli o takiej koncepcji wektora. Od tej pory kiedy tylko będę chciał powiedzieć coś o obiekcie zwykłej przestrzeni, mającym wielkość i kierunek, będę wyraźnie nazywał go 3-wektorem. Matematyczna przestrzeń wektorowa to abstrakcyjna konstrukcja, która może, ale nie musi, mieć coś wspólnego ze zwykłą przestrzenią. Może mieć dowolną liczbę wymiarów, od jednego do nieskończoności, a jej składowe mogą być liczbami całkowitymi, liczbami rzeczywistymi albo nawet bardziej ogólnymi tworami.

Przestrzenie wektorowe, których będziemy używać do definiowania stanów w mechanice kwantowej, nazywa się przestrzeniami Hilberta. Nie podamy tu ich formalnej matematycznej definicji, ale i tak znajomość tego określenia może ci się przydać. Kiedy w studiowaniu mechaniki kwantowej natkniesz się na pojęcie "przestrzeń Hilberta", to będzie chodziło o przestrzeń stanów. Przestrzeń Hilberta może być skończenie wymiarowa lub nieskończenie wymiarowa.

W mechanice kwantowej przestrzeń wektorowa składa się z elementów nazywanych wektorami ket albo po prostu ketami. Podamy teraz aksjomaty, których będziemy używać do zdefiniowania przestrzeni stanów układu kwantowego (z i w oznaczają poniżej dowolne liczby zespolone):

1. Suma dwóch wektorów ket jest wektorem ket:

2. Dodawanie wektorów jest przemienne:

3. Dodawanie wektorów jest łączne:

4. Istnieje jedyny wektor 0, który ma tę własność, że gdy dodamy go do dowolnego ketu, otrzymujemy ten sam ket:

5. Dla każdego ketu istnieje dokładnie jeden ket taki, że

6. Jeśli mamy dowolny ket i dowolną liczbę zespoloną z, to możemy je przez siebie pomnożyć, w wyniku otrzymując nowy ket. Mnożenie przez liczby zespolone jest liniowe:

7. Zachodzą prawa rozdzielności:

Aksjomaty 6 i 7 określa się czasem łącznie liniowością. Zwykłe 3-wektory spełniają powyższe aksjomaty, z jednym wyjątkiem: aksjomat 6 pozwala nam pomnożyć wektor przez dowolną liczbę zespoloną. Zwykłe 3-wektory można mnożyć przez liczby rzeczywiste (dodatnie, ujemne bądź równe zeru), ale mnożenie przez liczby zespolone jest niezdefiniowane. O 3-wektorach można myśleć jako o elementach tworzących rzeczywistą przestrzeń wektorową, a o ketach jako o elementach tworzących zespoloną przestrzeń wektorową. Nasza definicja wektorów ket jest dość abstrakcyjna. Jak się wkrótce przekonamy, istnieją różne konkretne sposoby ich przedstawiania.

1.9.2 Funkcje i wektory kolumnowe

Przyjrzyjmy się kilku konkretnym przykładom zespolonych przestrzeni wektorowych. Na początku rozważmy zbiór wszystkich ciągłych funkcji o wartościach zespolonych zależnych od zmiennej x. Będziemy je oznaczać jako A(x). Dwie takie funkcje można do siebie dodać, każdą z nich można też pomnożyć przez liczbę zespoloną. Możesz sprawdzić, że te działania spełniają wszystkie siedem aksjomatów. Ten przykład powinien cię przekonać, że mówimy o czymś ogólniejszym od trójwymiarowych strzałek.

Kolejnym konkretnym przykładem są dwuwymiarowe wektory kolumnowe. Konstruujemy je, układając dwie liczby zespolone, i , jedna nad drugą, w następujący sposób:

i utożsamiając taki "stosik" z wektorem ket . Liczby zespolone nazywamy składowymi . Dwa wektory kolumnowe można do siebie dodać, po prostu dodając do siebie odpowiednie składowe:

Wektor kolumnowy można też pomnożyć przez liczbę zespoloną z, mnożąc przez z każdą składową z osobna:

Podobnie wygląda konstrukcja kolumnowych przestrzeni wektorowych o dowolnej liczbie wymiarów. Na przykład pięciowymiarowy wektor kolumnowy wygląda tak:

Zwykle staramy się nie mieszać wektorów różnych wymiarów.

1.9.3 Bra i kety

Jak przekonaliśmy się wcześniej, liczby zespolone mają swoje dualne odpowiedniki, będące po prostu sprzężonymi liczbami zespolonymi. Podobnie każda zespolona przestrzeń wektorowa ma obiekt dualny, będący w gruncie rzeczy sprzężoną zespoloną przestrzenią wektorową. Każdemu wektorowi ket odpowiada wektor "bra" w przestrzeni dualnej, oznaczany .

Skąd się wzięły dziwne terminy "bra" i "ket"? Wkrótce zdefiniujemy iloczyny skalarne wektorów bra i ket, wykorzystując wyrażenia postaci , tworzące nawiasy - a po angielsku nawias to bracket, czyli inaczej "bra-ket". Iloczyny skalarne odgrywają w matematycznej maszynerii rządzącej mechaniką kwantową niezwykle istotną rolę, są też ważne przy ogólnych charakteryzacjach przestrzeni wektorowych. Wektory bra spełniają te same aksjomaty co wektory ket, ale warto pamiętać o dwóch faktach dotyczących związków między bra a ketami:

- Przypuśćmy, że jest bra odpowiadającym ketowi , a  jest bra odpowiadającym ketowi . Wówczas bra odpowiadający

to

- Jeśli z to liczba zespolona, to nieprawdą jest, że bra odpowiadający to . Trzeba pamiętać o sprzężeniu zespolonym: bra odpowiadający

to

Jeżeli zaś kety są przedstawiane jako wektory kolumnowe, dualne wektory bra przedstawia się jako wektory wierszowe o wyrazach będących sprzężonymi liczbami zespolonymi. I tak jeśli ket , to kolumna

a odpowiadający mu bra przedstawiamy w postaci wiersza

1.9.4 Iloczyny skalarne

Z pewnością spotkaliście się już z oznaczanym kropką iloczynem skalarnym definiowanym dla zwykłych 3-wektorów. Iloczyn skalarny to analogiczna operacja łącząca ze sobą bra i kety: zawsze występuje w nim wektor bra i wektor ket, a zapisujemy go następująco:

W wyniku otrzymujemy liczbę zespoloną. Aksjomaty opisujące iloczyny skalarne nietrudno odgadnąć:

1. Są liniowe:

2. Zamiana bra z ketem odpowiada sprzężeniu zespolonemu:

***

Ćwiczenie 1.1

a) Korzystając z aksjomatów iloczynów skalarnych, udowodnij, że

b) Udowodnij, że jest liczbą rzeczywistą.

***

Kiedy stosujemy konkretne przedstawienie bra i ketów za pomocą wektorów wierszowych i kolumnowych, iloczyn skalarny definiuje się za pomocą składowych:

(1.2)

Ogólna formuła przypomina więc tę dla 3-wektorów: trzeba dodać do siebie iloczyny odpowiednich składowych wektorów, których iloczyn skalarny chcemy obliczyć.

***

Ćwiczenie 1.2. Wykaż, że iloczyn skalarny zdefiniowany wzorem 1.2 spełnia wszystkie aksjomaty, których wymagamy od iloczynu skalarnego.

***

Przy użyciu iloczynów skalarnych możemy zdefiniować pewne pojęcia znane nam dobrze dla zwykłych 3-wektorów:

- wektor znormalizowany: mówimy, że wektor jest znormalizowany, jeśli jego iloczyn skalarny z samym sobą jest równy 1. Wektory znormalizowane spełniają więc równość:

Dla zwykłych 3-wektorów określenie wektor znormalizowany zastępuje się zwykle terminem wektor jednostkowy, czyli wektor o długości 1.

- wektory ortogonalne: mówimy, że dwa wektory są do siebie ortogonalne (czy też prostopadłe), jeśli ich iloczyn skalarny jest równy 0. i  są do siebie ortogonalne, jeśli

Odpowiada to stwierdzeniu, że dwa 3-wektory są do siebie prostopadłe, jeśli ich zwykły iloczyn skalarny jest równy 0.

1.9.5 Bazy ortonormalne

Kiedy pracujemy ze zwykłymi 3-wektorami, bardzo przydatne okazuje się wprowadzenie zbioru trzech wzajemnie prostopadłych wektorów jednostkowych i korzystanie z nich jako bazy, przy użyciu której można skonstruować dowolny wektor. Prostym przykładem są jednostkowe 3-wektory skierowane odpowiednio zgodnie z osiami x, y i z. Zwykle oznacza się je przez , i . Każdy ma długość jeden i jest prostopadły do dwóch pozostałych. Gdybyście próbowali znaleźć czwarty niezerowy wektor, który jest prostopadły do tych trzech, przekonalibyście się, że nie istnieje - a przynajmniej nie w trzech wymiarach. Jeśli jednak przestrzeń miałaby więcej wymiarów, byłoby w niej więcej wektorów bazowych. Wymiar przestrzeni można zdefiniować jako maksymalną możliwą liczbę należących do niej wzajemnie prostopadłych niezerowych wektorów.

Rzecz jasna, w wyborze konkretnych osi x, y i z nie ma nic szczególnego. Jeśli tylko wektory bazowe mają długość 1 i są do siebie prostopadłe, mówimy, że tworzą one bazę ortonormalną.

Zasada ta pozostaje w mocy dla zespolonych przestrzeni wektorowych. Zawsze można zacząć od jakiegoś wektora znormalizowanego, a następnie szukać drugiego niezerowego wektora, który byłby do niego prostopadły. Jeśli się to uda, to przestrzeń jest co najmniej dwuwymiarowa. Potem można szukać trzeciego wektora, czwartego i tak dalej. W końcu może się zdarzyć tak, że nie będzie już żadnych ortogonalnych kandydatów. Maksymalna liczba niezerowych wektorów prostopadłych do siebie parami to wymiar przestrzeni. W wypadku wektorów kolumnowych wymiar to po prostu liczba wyrazów w kolumnie.

Rozważmy teraz przestrzeń N-wymiarową z pewną szczególną bazą ortonormalną8 złożoną z wektorów ket oznaczonych , gdzie wskaźnik i przebiega liczby od 1 do N. Przypuśćmy, że wektor daje się zapisać jako suma wektorów bazowych:

(1.3)

są tu liczbami zespolonymi, nazywanymi składowymi wektora. By je wyznaczyć, wystarczy policzyć iloczyn skalarny obu stron z wektorem bazowym bra postaci :

(1.4)

W następnym kroku korzystamy z tego, że wektory bazowe są ortonormalne. Oznacza to, że , gdy i nie jest równe j oraz , gdy i = j. Inaczej mówiąc, . Powoduje to, że suma w równaniu 1.4 redukuje się do pojedynczego wyrazu:

(1.5)

Przekonaliśmy się więc, że składowe wektora to po prostu jego iloczyny skalarne z odpowiednimi wektorami bazowymi. Równanie 1.3 daje się teraz przepisać w eleganckiej postaci

CIĄG DALSZY DOSTĘPNY W PEŁNEJ, PŁATNEJ WERSJI

PEŁNY SPIS TREŚCI

PRZEDMOWA

PROLOG

PROFESOR I SKRZYPEK WCHODZĄ DO BARU

CO ZE SOBĄ ZABRAĆ?

WSTĘP

WYKŁAD 1.Układy i doświadczenia

1.1 MECHANIKA KWANTOWA JEST INNA

1.2 SPINY I KUBITY

1.3 EKSPERYMENT

1.4 EKSPERYMENTY NIGDY NIE SĄ DELIKATNE

1.5 ZDANIA LOGICZNE

1.6 TESTOWANIE ZDAŃ KLASYCZNYCH

1.7 TESTOWANIE ZDAŃ KWANTOWYCH

1.8 INTERLUDIUM MATEMATYCZNE - LICZBY ZESPOLONE

1.9 INTERLUDIUM MATEMATYCZNE - PRZESTRZENIE WEKTOROWE

WYKŁAD 2. Stany kwantowe

2.1 STANY I WEKTORY

2.2 PRZEDSTAWIANIE STANÓW SPINU

2.3 WZDŁUŻ OSI X

2.4 WZDŁUŻ OSI Y

2.5 LICZENIE PARAMETRÓW

2.6 REPREZENTACJA STANÓW SPINOWYCH ZA POMOCĄ WEKTORÓW KOLUMNOWYCH

2.7 PODSUMOWANIE

WYKŁAD 3. Zasady mechaniki kwantowej

3.1 INTERLUDIUM MATEMATYCZNE - OPERATORY LINIOWE

3.2 ZASADY MECHANIKI KWANTOWEJ

3.3 PRZYKŁAD: OPERATORY SPINU

3.4 KONSTRUKCJA OPERATORÓW SPINU

3.5 CZĘSTO SPOTYKANA POMYŁKA

3.6 JESZCZE RAZ O OPERATORACH 3-WEKTOROWYCH

3.7 ZBIERANIE NAUKOWYCH OWOCÓW

3.8 REGUŁA POLARYZACJI SPINU

WYKŁAD 4. Czas i zmiana

4.1 PRZYPOMNIENIE WERSJI KLASYCZNEJ

4.2 UNITARNOŚĆ

4.3 DETERMINIZM W MECHANICE KWANTOWEJ

4.4 PRZYJRZYJMY SIĘ BLIŻEJ U(T)

4.5 HAMILTONIAN

4.6 CO SIĘ STAŁO Z ?

4.7 WARTOŚCI OCZEKIWANE

4.8 POMINIĘCIE CZYNNIKA FAZOWEGO

4.9 ZWIĄZKI Z MECHANIKĄ KLASYCZNĄ

4.10 ZASADA ZACHOWANIA ENERGII

4.11 SPIN W POLU MAGNETYCZNYM

4.12 ROZWIĄZYWANIE RÓWNANIA SCHRÖDINGERA

4.13 PRZEPIS NA KET(A) SCHRÖDINGERA

4.14 KOLAPS

WYKŁAD 5. Nieoznaczoność i zależność od czasu

5.1 INTERLUDIUM MATEMATYCZNE - ZBIORY ZUPEŁNE KOMUTUJĄCYCH OBSERWABLI

5.2 POMIAR

5.3 ZASADA NIEOZNACZONOŚCI

5.4 SENS NIEOZNACZONOŚCI

5.5 NIERÓWNOŚĆ CAUCHY'EGO-SCHWARZA

5.6 NIERÓWNOŚĆ TRÓJKĄTA I NIERÓWNOŚĆ CAUCHY'EGO-SCHWARZA

5.7 OGÓLNA ZASADA NIEOZNACZONOŚCI

WYKŁAD 6. Łączenie układów ze sobą: splątanie

6.1 INTERLUDIUM MATEMATYCZNE - ILOCZYNY TENSOROWE

6.2 KLASYCZNE KORELACJE

6.3 ŁĄCZENIE UKŁADÓW KWANTOWYCH ZE SOBĄ

6.4 DWA SPINY

6.5 STANY PRODUKTOWE

6.6 ZLICZANIE PARAMETRÓW DLA STANÓW PRODUKTOWYCH

6.7 STANY SPLĄTANE

6.8 OBSERWABLE ALICE I BOBA

6.9 OBSERWABLE ZŁOŻONE

WYKŁAD 7. Bardziej szczegółowo o splątaniu

7.1 INTERLUDIUM MATEMATYCZNE - ILOCZYNY TENSOROWE W POSTACI ZALEŻNEJ OD KONKRETNYCH WSPÓŁRZĘDNYCH

7.2 INTERLUDIUM MATEMATYCZNE - ILOCZYNY ZEWNĘTRZNE

7.3 MACIERZE GĘSTOŚCI: NOWE NARZĘDZIE

7.4 SPLĄTANIE I MACIERZE GĘSTOŚCI

7.5 SPLĄTANIE DLA DWÓCH SPINÓW

7.6 KONKRETNY PRZYKŁAD: OBLICZANIE MACIERZY GĘSTOŚCI ALICE

7.7 TESTY NA SPLĄTANIE

7.8 PROCES POMIARU

7.9 SPLĄTANIE I LOKALNOŚĆ

7.10 KWANTOWY SYMULATOR: WPROWADZENIE DO TWIERDZENIA BELLA

7.11 PODSUMOWANIE WIADOMOŚCI O SPLĄTANIU

WYKŁAD 8. Cząstki i fale

8.1 INTERLUDIUM MATEMATYCZNE - WŁASNOŚCI FUNKCJI CIĄGŁYCH

8.2 STAN CZĄSTKI

8.3 TRANSFORMATA FOURIERA I BAZA PĘDU

8.4 KOMUTATORY I NAWIASY POISSONA

8.5 ZASADA NIEOZNACZONOŚCI HEISENBERGA

WYKŁAD 9. Dynamika cząstek

9.1 PROSTY PRZYKŁAD

9.2 NIERELATYWISTYCZNE CZĄSTKI SWOBODNE

9.3 RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU

9.4 PRĘDKOŚĆ I PĘD

9.5 KWANTYZACJA

9.6 SIŁY

9.7 RUCH PO PROSTEJ I GRANICA KLASYCZNA

9.8 CAŁKI PO TRAJEKTORIACH

WYKŁAD 10. Oscylator harmoniczny

10.1 OPIS KLASYCZNY

10.2 OPIS KWANTOWOMECHANICZNY

10.3 RÓWNANIE SCHRÖDINGERA

10.4 POZIOMY ENERGETYCZNE

10.5 STAN PODSTAWOWY

10.6 OPERATORY ANIHILACJI I KREACJI

10.7 Z POWROTEM DO FUNKCJI FALOWYCH

10.8 FUNDAMENTALNA ROLA KWANTYZACJI

DODATEK

MACIERZE PAULIEGO

DZIAŁANIE OPERATORÓW SPINU

ZMIANA BAZY

SKŁADOWA SPINU W KIERUNKU

TABELKI MNOŻENIA OPERATORÓW SPINU