?
6 Równania wielomianowe
Innymi słowy, równanie wielomianowe to nic innego jak suma jednomianów przyrównana do 0. Równanie wielomianowe czasem bardzo trudno jest obliczyć i trzeba użyć do niego wielu metod. W tym miejscu chciałabym wymienić kilka metod rozwiązywania równań wielomianowych m z czego pierwsze 3 obowiązują uczniów po gimnazjum, natomiast ostatnia uczniów po podstawówce:
? wyciąganie czynnika przed nawias
? metoda grupowania
? dzielenie wielomianów
Zacznijmy po kolei omawiać metody. Przyłóż się do tego tematu bo dotychczas zadanie z równania wielomianowego było zawsze jako jedno z zadań otwartych na maturze !
6.1 Metoda wy łą czania czynnika przed nawias Metodę wyłączania czynnika przed nawias wykorzystujemy, gdy mamy do czynienia z wielomianem, w którym każdy element ma x. Wówczas możemy go wyłączyć przed nawias i przedstawić wielomian jako iloczyn dwóch elementów: wyłączonego x i nawiasu. Wtedy każdy z elementów możemy przyrównać do 0 tworząc dwa osobne równania. Pokażę to na przykładzie.
+2 + = 0
Jak widzimy możemy tutaj wyłączyć x przed nawias. Otrzymamy wówczas:
( +2 +1) =0
Mnożenie dwóch elementów jest równe 0 wtedy i tylko wtedy kiedy któryś z elementów przez które mnożymy jest zerem, czyli:
= 0 +2 +1 = 0
W przypadku pierwszego równania mamy jasność, drugie musimy rozwiązać korzystając z delty.
=2 -4?1?1 = 4-4 = 0
Mamy zatem jedno rozwiązanie:
= 2?1 -2 =- 2 =-1
Nasze równanie wielomianowe ma zatem 2 rozwiązania: x=0 oraz x=-1. Spróbujmy na jeszcze jednym przykładzie:
+5 +6 =0
W tym przypadku możemy wyłączyć wyższą potęgę x przed nawias, bo możemy wyłączyć aż .
( +5 +6) =0
Otrzymujemy zatem dwa osobne równania:
= 0 +5 +6 = 0
Zacznijmy od pierwszego równania :
= 0 \
=0
Drugie równanie ponownie wymaga obliczenia delty: +5 +6 = 0
?=5 -4?1?6 = 25-24 = 1
?? =1
Mamy tu zatem 2 rozwiązania:
= 2?1 =- 2 =-2
= -5 2?1 - 1 =- 62 =-3
Nasze równanie ma zatem aż trzy rozwiązania: x=0, x=-2, x=-3.
6.2 Metoda grupowania
Metoda grupowania jest troszkę trudniejsza, lecz po zrozumieniu jej zasad działa bardzo intuicyjnie. Na maturze podstawowej korzystamy z niej kiedy mamy parzystą ilość elementów w sumie i nie możemy nic wyłączyć przed nawias. Aby rozwiązać równanie metodą grupowania należy podzielić naszą sumę na 2 części i z każdej z nich wyciągnąć maksymalnie dużo przed nawias tak, aby w nawiasach zostało to samo. Najlepiej wytłumaczyć daną metodę na przykładzie: Zadanie ( matura maj 2010, zadanie 27):
-7 -4 + 28 =0
Dzielimy nasze równanie na 2 grupy:
Wyciągamy maksymalnie dużo przed nawias z grupy pierwszej oraz drugiej:
( -7) -4( -7) =0
Zauważmy, że z drugiej grupy przed nawias wyciągamy -4, zatem aby iloczyn był dodatni i wynosił 28, musimy w nawiasie mieć liczbę ujemną ponieważ tylko -?-= +. Jak widzimy teraz w nawiasach występuje dokładnie to samo. Spróbujemy zatem wyciągnąć nasz nawias przed nawias.
Zauważmy, że jak wyciągniemy x-7 z pierwszego elementu to pozostanie nam , natomiast jak wyciągniemy to z drugiego elementu zostanie -4 Otrzymujemy zatem:
( -7)( -4) =0
Dzielimy równanie na 2 osobne (podobna sytuacja jak w metodzie wyciągania przed nawias):
- 7 = 0 -4 = 0
Z pierwszego równania wychodzi nam, że x=7. Z drugiego równania: -4 = 0
=4
Musimy się zastanowić co podniesione do kwadratu da nam 4, zatem = 2 = -2.
Nasze równanie ma zatem 3 rozwiązania: x=7, x=-2 oraz x=2 . Zróbmy jeszcze jeden przykład. Zanim opanujecie tą metodę trzeba będzie zrobić wiele przykładów. Pamiętajcie, że jeżeli w nawiasach nie pojawia wam się to samo, to coś jest źle ;)
Zadanie (matura sierpie ń 2010, zadanie 27). Rozwiąż równanie:
-3 +2 -6 = 0
Możemy zastanawiać się, czy cokolwiek podniesione do kwadratu da nam -2, ale to równanie sprzeczne! Nigdy nie otrzymamy liczby ujemnej w wyniku potęgi parzystego stopnia !
Zatem tutaj nasze równanie ma tyko jedno rozwiązanie: x=3. Tu w tym miejscu umieścimy równania wielomianowe dla osób, które są po gimnazjum. Oczywiście obowiązują również one osoby po podstawówce, z tym, że niestety, te drugie osoby mają trochę więcej materiału na podstawie.
6.3 ZADANIA: RÓWNANIA WIELOMIANOWE Zadanie 1. (matura czerwiec 2015, zadanie 27). Rozwiąż równanie:
( -2 +3) =0
Zadanie 2. (matura maj 2016, zadanie 28). Rozwiąż równanie:
(4- )( +2 -15) =0
Zadanie 3. (matura sierpie ń 2017, zadanie 27). Rozwiąż równanie:
( -6)( 3 +2) =0
Zadanie 4. (matura próbna grudzie ń 2014, zadanie 3).
Rozwiązaniami równania:
( -8)( -5)(2 + 1) =0
są liczby:
. -8; -5; 1 . -1; 5; 8 . - 12 ; 2; 5 . - 12 ; 2; 8
Zadanie 5.
Rozwiąż równanie:
( -5 +6)( -1)( +3) =0
Zadanie 6.
Rozwiąż równanie:
( -8)( -4)( -8) =0
Zadanie 7. (matura maj 2019, zadanie 26) Rozwiąż równanie:
-5 -9 +45 = 0
Zadanie 8. (matura czerwiec 2020, zadanie 27). Rozwiąż równanie:
( -1)( -2 ) =0
6.4 Rozwi ą zania
Zadanie 1.
( -2 +3) =0
Rozpatrujemy 2 osobne równania:
= 0
-2 +3 = 0
W pierwszym mamy jasność, zabieramy się za drugie: -2 +3 = 0
?=(-2) -4?1?3 = 4-12 = -8
?<0
Brak rozwiązań z równania kwadratowego, zatem jedynym rozwiązaniem jest x=0.
Zadanie 2.
Ponownie rozpatrujemy 2 przypadki:
4 - = 0
+2 -15 = 0
Z pierwszego:
4- = 0
- = -4 \? (-1)
=4
Z drugiego:
+2 -15 = 0
?=2 -4?1?(-15) =4+60=64
?? =8
= -2 2?1 + 8 = 62 =3
= -2 2?1 - 8 =- 10 2 =-5
Mamy zatem 3 rozwiązania:
Odpowiedź: x=4, x=3 oraz x=-5 .
Zadanie 3.
Rozpatrujemy 2 równania:
- 6 = 0 3 + 2 = 0
Pierwsze równanie:
=6
Co podniesione do kwadratu da nam 6?
=?6 = -?6
Drugie równanie:
3 + 2 = 0
3 = -2 \: 3
Odpowiedź: =? , = -? , = -
Zadanie 4.
Rozpatrujemy 3 równania:
-8 = 0
=8
=2
-5=0
=5
2 + 1 = 0
2 = -1 \: 2
=- 12
Odpowiedź: C.
Zadanie 5.
- 5 + 6 = 0 - 1 = 0 + 3 = 0
1) -5 +6 = 0
?=(-5) -4?1?6=25-24=1
?? =1
= -(-5) 2?1 -1 = 5-1 2 = 42 =2
= -(-5) 2?1 +1 = 5+1 2 = 62 =3
2) -1=0
=1
3) +3=0
=-3
Odpowiedź: Rozwiązaniami równania są x=2, x=3, x=1 oraz x=-3. Zadanie 6.
Rozpatrujemy trzy równania:
1) -8=0
2) -4 = 0
3) -8 = 0
1. -8=0
=8
2. -4 = 0
=4
=2 =-2
3. -8 = 0
=8
=2
Odpowiedź: Rozwiązaniami równania są x=2, x=-2. Zadanie 7.
Łączymy po 2 elementy i z nich wyciągamy maksymalnie dużo przed nawias:
( -5) -9( -5) =0
Wyciągamy (x-5) przed całość otrzymując:
( -5)( -9) =0
Teraz rozpatrujemy 2 równania:
1) -5=0? =5
2) -9 = 0 ? =9
=3 =-3
Odpowiedź: Mamy 3 rozwiązania: x=5, x=3 i x=-3. Zadanie 8.
Rozpatrujemy dwa przypadki:
1) -1 = 0
=1
= 1 = -1
2) -2 = 0
Wyciągamy x przed nawias lub rozwiązujemy deltą. Ja wyłączę x przed nawias.
( -2) =0
Zatem:
=0 -2=0
Naszymi rozwiązaniami są zatem:
Odpowiedź: x=1, x=-1, x=0, x=2.
6.5 Dzielenie wielomianów
Dzielenie wielomianów wygl ą da bardzo podobnie jak dzielenie pisemne liczb. do otrzymania reszty lub te ż do braku
Jeżeli już wcześniej miałeś "pod górkę" z dzieleniem pisemnym przedstawię tutaj jeszcze jedną alternatywną metodę dzielenia wielomianów, czyli schemat Hornera. Jest on wyjątkowo korzystny dla osób z dysleksją lub dysgrafią. Zacznijmy jednak od dzielenia pisemnego.
6.6 Dzielenie pisemne wielomianów
W przypadku dzielenia pisemnego liczb schemat wyglądał następująco:
Rysunek 6.1 Schemat dzielenia pisemnego
Dzielenie pisemne liczb na egzaminie maturalnym nie ma żadnego sensu, gdyż możemy mieć na nim kalkulator, natomiast identyczny schemat wykorzystamy w dzieleniu wielomianów. Spróbujemy wytłumaczyć to na przykładzie dzielenia wielomianu: - - - przez wielomian - .
Rysunek 6.2 Schemat dzielenia pisemnego
Rysunek 6.3 Schemat dzielenia pisemnego
Rysunek 6.4 Schemat dzielenia pisemnego
W tym przypadku nie wyszła nam żadna reszta z dzielenia, zatem możemy powiedzieć, że :
( -3 -3 -35): ( -5) = +2 +7
Dla pewności możemy zrobić sprawdzenie mnożąc nasz wynik z dzielenia przez dzielnik, czyli:
( -5)( +2 +7) = +2 +7 -5 - 10 - 35 = -3 -3 -35
Wyszedł nam dokładnie ten sam wielomian, którego dzieliliśmy, zatem rozwiązanie jest poprawne.
Spróbujmy inny przykład zrobić. Tym razem podzielimy wielomian: ( ) = + + - przez wielomian : + .
Rysunek 6.5 Schemat dzielenia pisemnego
Rysunek 6.6 Schemat dzielenia pisemnego
Rysunek 6.7 Schemat dzielenia pisemnego
Możemy zatem powiedzieć, że wielomian w(x) dzielony przez dwumian (x+4) daje resztę 4. Skoro dzielenie dało nam resztę, to oznacza, podobnie jak w liczbach, że wielomian niestety nie jest podzielny przez (x+4). Wielomian w(x) możemy zapisać jako:
+7 +7 -16 = ( -4)( +3 -5) +4
Oprócz mnożenia wyniku, który nam powstał i dzielnika, musimy pamiętać o reszcie która pozostała. Zaznaczona została ona w naszym wielomianie na żółto.
6.7 Pierwiastek ca ł kowity wielomianu
W przypadku wielomianów, których dzielnik wyrazu wolnego wielomianu. Liczba b ę dzie wielomianem, gdy
Weźmy przykład: wielomian: ( ) = - + - . Szukamy dzielników wyrazu wolnego, czyli w tym przypadku -1. Pamiętajmy, że interesują nas dzielniki całkowite, więc uwzględniamy zarówno dzielniki ujemne jak i dodatnie. Oznaczymy je jako p. Jedynym dzielnikiem -1 jest 1 i -1 zatem ? 1 .
Sprawdźmy zatem, czy wielomian od -1 lub 1 jest równy 0. (-1) = (-1) -3?(-1) +3?(-1) -1 = -1-3?1-3-1
= -1-3-3-1 = -8 ? 0
Sprawdzamy zatem nasz drugi możliwy pierwiastek, czyli 1. (1) =1 -3?1 +3?1-1 = 1-3+3-1 = 0
Zatem możemy powiedzieć, że 1 jest pierwiastkiem wielomianu a co za tym idzie, nasz wielomian W(x) będzie podzielny przez x-a, gdzie a jest pierwiastkiem wielomianu, czyli x-1. Wykonujemy dzielenie pisemne.
Wynikiem dzielenia jest kolejny wielomian, tutaj akurat trójmian kwadratowy. Aby obliczyć jego pierwiastki liczymy deltę.
6.7.1.1.1.1 =(-2) -4?1?1= 4-4 =0
Mamy zatem jeden pierwiastek:
= 2 =1
Nasz wielomian ma zatem 1 pierwiastek: x=1.
Weźmy inny przykład wielomianu i spróbujmy znaleźć jego pierwiastek. ( ) =2 +4 -3 -3
? 1. 3
(1) =2?1 +4?1 -3-3 = 2+4-3-3 = 0 Ponownie dzielnikiem wielomianu okazuje się x=1, zatem nasz wielomian musi być podzielny przez x-1. Wykonujemy dzielenie jak w poprzednich tematach i otrzymujemy trójmian kwadratowy. Liczymy zatem deltę, miejsca zerowe i koniec zadania. Spróbuj dokończyć je sam.
6.8 Równania wymierne
Równania wymierne to równania, w których w mianowniku występuje x. Przykładami równań wymiernych mogą być: - = lub = itd. Zaczynając obliczać rozwiązanie takiego równania, należy zacząć od wyznaczenia dziedziny, czyli wyznaczenia dla jakich x równanie ma sens. Pewnie wiele razy słyszeliście wierszyk, którego na potrzeby szkoły i tej książki lekko ocenzuruje:
Pami ę taj kolego, nigdy nie dziel przez Kreska ułamkowa to inaczej znak dzielenia, zatem możemy powiedzieć, że to co jest w mianowniku odpowiada temu, przez co dzielimy. Zatem zawsze chcąc obliczać równanie wymierne zaczynamy od ustalenia dziedziny czyli napisania ? 0. Takie równanie, mimo że
znak = jest przekreślony liczymy dokładnie tak samo jak każde inne, czyli doprowadzamy do postaci ?? . Przeanalizujmy ten krok na jakimś przykładzie. Załóżmy, że mamy równanie:
-3 =3
+2
Wiemy, że nasz mianownik nie może się równać 0, zatem otrzymujemy: +2?0
Przerzucamy 2 na drugą stronę ze zmienionym znakiem i otrzymujemy: ?-2.
Zatem można powiedzieć, że naszą dziedziną jest dowolny x oprócz x=-2. Możemy też zapisać ? \ -2 .
Najszybszą metodą rozwiązywania równań wymiernych jest tzw. metoda "na krzyż". Załóżmy, że mamy rozwiązać równanie podane powyżej. Wówczas warto zapisać je sobie w nieco inny sposób tzn.: = . Mnożąc dane równanie na krzyż otrzymamy :
( -3) ?1 = ( +2) ?3
Wykonujemy działania i wyliczamy x.
-3=3 +6
-3 =6+3
-2 = 9 \: (-2)
=- lub jak kto woli = -4,5.
Rozwiązanie jest zgodne z dziedziną, ponieważ z niej wynika, że x nie mógł być równy tylko -2, zatem to koniec naszego równania. Zadanie ( matura sierpie ń 2012, zadanie 11).
Równanie ( )( ) =0 ma
A. Dokładnie jedno rozwiązanie
B. Dokładnie dwa rozwiązania
C. Dokładnie trzy rozwiązania
D. Dokładnie cztery rozwiązania
Tradycyjnie zaczynamy od dziedziny:
( -3)( +2) ?0
- 3 ? 0 + 2 ? 0
? 3 ? -2
Zatem naszą dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste za wyjątkiem x =3 i x=-2, możemy to zapisać jako ? \ 3,-2 . Przechodzimy do naszego równania:
( +3)( -2) =0 \?( -3)( +2)
( -3)( +2)
( +3)( -2) =0
+3=0 -2=0
= -3 = 2
Mamy zatem 2 rozwiązania i oba są zgodne z dziedziną funkcji. Odpowiedź: B.
6.9 ZADANIA: RÓWNANIA WYMIERNE
Zadanie 1. (matura sierpie ń 2014, zadanie 6). Rozwiązaniem równania : = jest liczba:
. -11 . 2 . 11 . 11
Zadanie 2. ( matura maj 2015, zadanie 7) Rozwiązaniem równania: = jest liczba :
. = 0 . = 12 5 . = 2 . = 2511
Zadanie 3. ( matura maj 2015, zadanie 7). Równanie: = -
A. Ma dokładnie jedno rozwiązanie x=1
B. Ma dokładnie jedno rozwiązanie x=0
C. Ma dokładnie jedno rozwiązanie x=-1
D. Ma dokładnie dwa rozwiązania x=0, x=1
Zadanie 4.
Rozwiązaniem równania: = , ? , jest liczba należąca do
przedziału :
. (-?, -2) . < -2, -1) . < -1,0) . (0, ?)
Zadanie 5. (matura sierpie ń 2015, zadanie 26). Rozwiąż równanie = , gdzie ? ? .
6.10 SPRAWD Ź SI Ę ! ZESKANUJ KOD I ZRÓB QUIZZ!
6.11 Rozwi ą zania
Zadanie 1.
-5 = 1
7- 3
3( -5) =1(7- )
3 - 15 = 7 -
4 = 22\: 4
= 22 4
= 11 2
Odpowiedź: B.
Zadanie 2.
2 - 4 = 4
3- 3
3(2 - 4) =4(3- )
6 - 12 = 12 - 4
6 + 4 = 12 + 12
10 = 24
= 2410
= 12 5
Odpowiedź: B.
Zadanie 3.
+1 = -1
D: +1?0 ,
?-1
-1=( +1)( -1)
-1= -1
-1- +1 = 0
- + = 0
(- + 1) =0
= 0 - + 1 = 0
=1
Z dziedziny wynikało, że ?- zatem oba rozwiązania które nam wyszły są poprawne.
Odpowiedź: D
Zadanie 4.
: ? 0
-7 =5 \?
-7=5
-5 =7
-4 = 7\: (-4)
=- 74 =-1 34
Odpowiedź: B .
Zadanie 5.
? 0 2 - 4 ? 0
2 ? 4
?2
: ? \ 0,2
Mnożymy równanie na krzyż:
(2 - 4)(2 - 4) = ?
4 -8 -8 +16 =
Przerzucamy na jedną stronę i przyrównujemy do 0. 3 - 16 + 16 = 0
?=(-16) - 4 ? 3 ? 16 = 256 - 192 = 64
?? =8
= 16 2?3 - 8 = 86 = 43
= 16 6+ 8 = 24 6 =4
