WSTĘP
Książka ta powstała z potrzeby podzielenia się z Czytelnikami pewnymi nieoczywistymi, ciekawymi a może nawet - w opinii autora - zabawnymi zastosowaniami matematyki. Matematyki podstawowej, takiej, z którą każdy z nas miał do czynienia w liceum. Sam, będąc uczniem szkoły średniej, zastanawiałem się, czy kiedykolwiek (nie licząc klasówek) będę miał okazję do zastosowania tej nudnej i niepotrzebnej wiedzy. Nie zdawałem sobie sprawy, że w praktyce można wykorzystywać chociażby prawa logiki[1], logarytmy[2] czy twierdzenie o dwusiecznej[3].
Rozpoczniemy... od wróżb dotyczących dat urodzin i przepowiadania przyszłości na podstawie ulubionych liczb. Następnie przypomnimy dwa filmy: Paragraf 22 oraz Łowca jeleni. Pokażemy, jak matematycznie opisać logikę działania wspomnianego paragrafu oraz szanse na zwycięstwo w różnych wariantach tzw. rosyjskiej ruletki. Kolejne rozdziały opisywać będą ciekawe - mamy nadzieję - i bardzo intrygujące spojrzenia na takie zagadnienia, w których nie spodziewalibyście się natknąć na matematykę: przepowiednie senne, wędkarstwo, Wielka Orkiestra Świątecznej Pomocy i wiele innych. Opiszemy kilka zaskakujących paradoksów, które zmieniły sposób patrzenia (przynajmniej Autora tych słów) na zagadnienia korków w mieście, udział w grach skazanych na porażkę czy w różnego rodzaju plebiscytach.
Proszę, rzućcie również okiem na listę przebojów matematycznych, czyli najciekawszych z najprostszych do tej pory nierozwiązanych problemów matematycznych. Przeczytajcie o światowej sławy artystach, piosenkarzach, pisarzach, którzy są... matematykami.
Kilka rozdziałów książki dotyczy czasu okołoświątecznego. Problem losowania mikołajkowych prezentów potraktowany jest tutaj z całą powagą, jakiej wymaga. Zagadnienie coraz szybciej mijającego czasu pomiędzy świętami jest wytłumaczone jasno i klarownie, a rezultaty badań nie będą chyba budziły Waszych wątpliwości.
Opiszemy zasady działania i szanse na zwycięstwo w dwóch obecnie najbardziej popularnych grach w kości: Tenzi i Craps. Przyjrzymy się egzaminom z matematyki na pewnej wyższej uczelni i omówimy zasady działania jednego z najdziwniejszych praw, czyli prawa Stiglera.
Nie zabraknie czasu na łamigłówki i zagadki matematyczne. Dla wielbicieli zadań przeznaczyliśmy rozdział z kilkunastoma ciekawymi wyzwaniami matematycznymi. Na zakończenie przeczytacie o najnowszych badaniach statystycznych powadzonych z dużym przymrużeniem oka.
Mam nadzieję, że każdy znajdzie choć kilka stron, które sprawią mu przyjemność podczas czytania. Jeśli nie... to winę ponosi Autor i prosi o wyrozumiałość.
1Nasze ulubione liczby. Czy są szczęśliwe?
W trzeciej klasie szkoły podstawowej za karę za złe zachowanie na lekcji matematyki miałem zapisać obok siebie wszystkie liczby całkowite od 1 do 99. Nie muszę Wam chyba mówić, że robiłem to bardzo wolno, koślawo i cyferki nie mieściły mi się w kratkach zeszytu.
Teraz to karne zadanie zajmie mi, poczekajcie...
123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899 - 89 sekund.
Po kilkunastu latach, gdy znowu bezmyślnie podczas jakiegoś zebrania, wypisywałem te liczby, zwróciłem uwagę, że początek serii 123456789... zawiera już w sobie 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78 oraz 89, czyli niektóre z nich pojawiają się w tym ciągłym zapisie wcześniej! Zachęcony tym spostrzeżeniem obliczyłem, że wśród liczb dwucyfrowych czterdzieści sześć z nich pojawia się na swoich miejscach w kolejności wypisywania, a pozostałe czterdzieści cztery występują wcześniej. Przykładowo: 62 jest zapisana przy okazji 26 27. Największą liczbą stojącą na swoim miejscu jest 99. Największą liczbą pojawiającą się wcześniej jest 98 w zapisie 79 80.
Traktując to zadanie nie jako karę, a jako zabawę, wyobraźmy sobie, że wypisujemy liczby naturalne kolejno, nie kończąc na liczbie 99 i brniemy dalej w gąszcz liczb wielocyfrowych. Możemy teraz zabawić się w szukanie liczb, które pojawiają się wcześniej niż na swoim miejscu wynikającym z kolejności wypisywania. Taki chociażby kod pocztowy bliskiej mi ulicy Sanockiej w Łodzi, czyli 93-031, pojawia się już w zapisie 29 30 31 32. Rok hołdu pruskiego - 1525 - występuje w sekwencji 51 52 53. Demoniczna liczba 666 po raz pierwszy znajduje się w towarzystwie 66 67. Pierwsze cyfry rozwinięcia ? 1,4142 są wśród 4141 4142. Z kolei początkowe cyfry liczby Eulera e ? 2,71828182 znalazłem w trójce czwórek: 1827 1828 1829. Największym zaskoczeniem jest przybliżenie ? ? 3,1415, które pojawia się w układzie 13 14 15.
Matematyka to sztuka wyciągania właściwych wniosków i tez w oparciu o przyjęte założenia. Nauka ta pozwala na formułowanie twierdzeń wysnutych z odpowiednio dobranych argumentów. Nie ogranicza się tylko do wzniosłych, epokowych dowodów i odkryć. W świecie matematyki jest miejsce dla każdego i każdy z nas może, w oparciu o własne założenia i aksjomaty, wprowadzać nowe pojęcia i dowodzić wniosków. Dla przyjemności, dla zabawy, dla radości wymyślania. Dlatego nie wstydzę się zaproponować następującą zabawę:
W ciągu liczb liczba n wypisywana jest jako n-ta. Może się ona pojawić wcześniej jako zlepek cyfr powstałych przy wypisywaniu liczb mniejszych od n, czyli: i, i + 1, i + 2, ..., i + k, gdzie i jest liczbą naturalną, i < n.
Cyfrową pozycję liczby n - w skrócie CPn - definiujemy jako średnią arytmetyczną liczb: i, i + 1, i + 2, ..., i + k, wśród których pojawia się ona po raz pierwszy. Biorąc pod uwagę wcześniejsze spostrzeżenia, mamy: CP62 = 26,5; CP99 = 99; CP1525 = 52.
Następnie definiujemy miarę pomyślności pozycji danej liczby n, w skrócie Pn, jako: .
Wobec powyższego otrzymujemy: CP62 = 57,25%; CP99 = 0%; CP1525 = 96,6%.
Teraz już każdy z nas może obliczyć sobie pomyślność swoich ulubionych liczb. Moją ulubioną liczbą jest 910 i mam mnóstwo powodów, żeby taką pozostała. Jednym z nich jest niezaprzeczalny fakt, że: CP910 = 9,5 oraz . Przyznacie sami, że jest to bardzo szczęśliwa liczba i jeśli tylko mogę, to umieszczam ją w wielu miejscach, gdzie tylko potrzebna jest jakakolwiek sekwencja cyfrowa.
Idźmy dalej!
Urodziłem się 14 lipca. Zapisuję to jako 714. Wydaje się, że po raz pierwszy ten układ cyfr pojawi się przy wypisywaniu 147 148. CP714 = 147,5 oraz . Gdy obliczamy potencjał szczęścia daty urodzin, sugeruję, aby opuszczać w niej początkowe 0, jeżeli takowe jest obecne. Pomyślność roku moich urodzin wynosi 51%. Zestawiając pomyślność dnia urodzin (79,3%) z pomyślnością roku urodzin (51%), wyciągam odpowiednie wnioski. Interpretuję to tak, że na co dzień mam więcej szczęścia w porównaniu z długimi rocznymi okresami życia. Bardziej cieszą mnie częste drobne, małe radości niż planowane, wyczekiwane działania.
Daty urodzin moich bliskich: 13 września, 13 lipca oraz 1 listopada mają pomyślność kolejno 0%, 0% oraz 89,6%.
A teraz uwaga, uwaga... Jeżeli do naszej liczby dopiszemy po lewej stronie 0 i dostawimy przecinek, to... otrzymamy 0,1234567891011... Oczywiście jest to liczba niewymierna. Nazwano ją liczbą Mahlera w hołdzie niemieckiemu matematykowi Kurtowi Mahlerowi (1903-1988), który wykazał, że jest to również liczba przestępna. Mówimy, że liczba jest przestępna, jeżeli nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu jednej zmiennej o całkowitych współczynnikach. Istnienie liczb przestępnych postulował już Leonard Euler (1707-1783) w 1744 r. Jednakże dopiero sto lat później francuski matematyk Joseph Liouville (1809-1882) wykazał istnienie liczb przestępnych i udowodnił, że liczba: 10-1! + 10-2! + 10-3! + 10-4! + ... = 0,11000100000000000000000100... jest przestępna. Dzięki wynikom Liouville'a wykazano w 1875 r. przestępność liczby e Eulera oraz w 1882 r. przestępność liczby ?.
Przeciwieństwem liczby przestępnej jest liczba algebraiczna - taka, którą można otrzymać jako pierwiastek wielomianu jednej zmiennej o współczynnikach całkowitych. Oczywiście każda liczba wymierna jest algebraiczna, gdyż jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = qx - p lub - jak ktoś woli - rozwiązaniem równania qx - p = 0. Liczby niewymierne też mogą być algebraiczne. Biorąc pod uwagę wielomiany: W(x) = x2 - 2 czy P(x) = x2 - x - 1, wnioskujemy, że są algebraiczne. Zatem każda liczba przestępna jest niewymierna, natomiast nie jest prawdą, że każda liczba niewymierna jest również przestępna. Przestępność liczby, tak jak czynu przestępnego, należy udowodnić z pełną precyzją i logiką. W języku angielskim liczby przestępne nazwane są transcendental numbers - co oznacza przekraczanie granic umysłu.
Tym samym obok czynu przestępnego, grupy przestępnej i związku przestępnego oraz roku przestępnego pojawiła się nam liczba przestępna, która jest tak tajemnicza, że wymyka się horyzontom poznania.
2 Logika Paragrafu 22 i rosyjska ruletka Łowcy jeleni
Ten krótki rozdział poświęcimy paradoksowi logicznemu i pewnej obserwacji z teorii prawdopodobieństwa. Pretekstem do tych rozważań będą książka Paragraf 22 (1961) Josepha Hellera i film Łowca jeleni (1979) Michaela Cimino.
Czy ktoś z Was pamięta pilota Yossariana ze znakomitej wojennej powieści Paragraf 22 Josepha Hellera? (Pierwsze polskie wydanie 1975, PIW, w tłumaczeniu Lecha Jęczmyka). Tytułowy "paragraf 22" to przepis na natychmiastowe zwolnienie ze służby żołnierza, na jego własną prośbę, z powodu choroby psychicznej. Niedomaganie to czy niezrównoważenie orzeka wyłącznie lekarz na podstawie podania pisanego przez samego zainteresowanego, a sam fakt złożenia takiego dokumentu jest przecież oznaką dobrej kondycji psychicznej. Podsumowując: jeżeli żołnierz w trosce o własne zdrowie prosi o zwolnienie ze służby, nie jest umysłowo chory, wobec czego nie może się starać o zwolnienie z powodu choroby psychicznej. Paragraf 22 jest przypadkiem bardzo ciekawego twierdzenia - prawa logiki.
Oto założenia: Jeżeli chcesz zostać zwolniony ze służby wojskowej, to musisz być chory psychicznie i wystąpić do lekarza z wnioskiem o zwolnienie z powodu takiej ułomności. Jeżeli jesteś chory psychicznie, to nie wystąpisz z wnioskiem o zwolnienie, gdyż nie zdajesz sobie sprawy, że niedomagasz.
Teza: Nie zostaniesz zwolniony ze służby wojskowej.
Niech z - oznacza zwolnienie ze służby, p - chorobę psychiczną, w - wniosek o zwolnienie ze służby. Paragraf 22 możemy zapisać jako: (z ? (p ? w)) ? (p ? (?w)) ? ?z.
Powyższe zdanie to implikacja i jednocześnie prawo logiki, czyli tautologia. Jest zawsze prawdziwe bez względu na okoliczności, różne wartości logiczne jego składników.
Spróbujmy to wykazać:
Załóżmy, że twierdzenie jest fałszywe. Oznaczałoby to, że zdania tworzące argumenty założenia są prawdziwe, a teza (wniosek) jest fałszywa. Posługując się klasycznym oznaczeniem: wl(p) = 1 (wartość logiczna zdania p - prawdziwego wynosi 1), wl(p) = 0 (wartość logiczna zdania p - fałszywego wynosi 0), mamy:
wl(z ? (p ? w)) ? (p ? (?w)) = 1 i wl(?z) = 0.
Pierwsze zdanie to koniunkcja, która jest prawdziwa tylko wtedy, gdy wszystkie jej czynniki są prawdziwe. W konsekwencji mamy:
wl(z ? (p ? w)) = 1 i wl(p ? (?w)) = 1 i wl(?z) = 0.
Skoro wl(?z) = 0, musi zachodzić wl(z) = 1.
Podstawiając tę wartość, otrzymujemy: wl(1 ? (p ? w)) = 1. W przypadku gdy cała implikacja i poprzednik są prawdziwe, to następnik też musi być prawdziwy, czyli:
wl(p ? w) = 1.
Oznacza to, że wl(p) = 1 i wl(w) = 1.
Wiadomo jeszcze, że wl(p ? (?w)) = 1. Wstawiając w miejsce p oraz w wyliczone wartości logiczne, uzyskujemy: wl(1 ? (?1)) = wl(1 ? 0) = 0 ? 1. Otrzymujemy sprzeczność. Zdanie w sensie logiki nie może być jednocześnie fałszywe i prawdziwe. Zatem założenie o fałszywości twierdzenia prowadzi do sprzeczności. Cóż... paragraf 22 działa...
Na zakończenie wspomnijmy jeszcze o polskim akcencie związanym z Paragrafem 22. Otóż Joseph Heller ukończył swoją powieść w 1961 r. jako Paragraf 18 i pod takim tytułem miała być ona opublikowana. Tymczasem na listach bestsellerów święciła triumfy książka Leona Urisa z liczbą 18 w nazwie, mianowicie Mila 18 (Miła 18), której akcja dzieje się w Warszawie w okresie okupacji. Tytułowa Miła 18 to miejsce, w którym podczas powstania w getcie znajdowała się siedziba Żydowskiej Organizacji Bojowej. (Książka ta, w tłumaczeniu A. Szydłowskiego, została wydana w Polsce w 1999 r. przez wydawnictwo AiB).
Tymczasem Łowca jeleni opowiada historię trzech przyjaciół, hutników z małego miasteczka w Pensylwanii, którzy przygotowują się do wyjazdu na wojnę w Wietnamie. Na miejscu trafiają do niewoli, gdzie zmuszani są do gry w tzw. rosyjską ruletkę. Polska premiera kinowa tego filmu, który - przypominam - powstał w 1979 r., odbyła się, z wiadomych przyczyn, dopiero w 1990 r.
W dwóch z sześciu komór bębenka rewolweru znajdują się kule. W rosyjskiej ruletce bierze udział dwóch graczy: A i B. Zakładamy, że ułożenie kul w komorze jest przypadkowe. Następnie kręcimy bębenkiem i... gracz A przykłada sobie lufę rewolweru do głowy i naciska spust. Oczywiście szanse na przeżycie wynoszą . Następnie, jeśli A przeżyje, gracz B przejmuje rewolwer. Kręci bębenkiem, przykłada lufę do głowy i naciska spust. Gra się kończy albo pistolet przejmuje gracz A. Obliczmy, jakie szanse na przeżycie mają gracze A i B. Gracz A może wygrać w I rundzie, jeżeli przeżyje po zakręceniu bębenka, a gracz B nie będzie miał szczęścia. Odbywa się to z prawdopodobieństwem: . Może też wygrać w II rundzie, jeśli A i B przetrwają I etap i gracz A będzie miał szczęście przy kręceniu bębenkiem w trakcie trwania tej II i przy założeniu, że gracz B nie będzie miał fartu. Odbędzie się to z prawdopodobieństwem: . Podobnie - szanse na zwycięstwo w III rundzie wynosić będą: .
Ostatecznie szanse gracza A na zwycięstwo, przeżycie, wynoszą:
Szanse na zwycięstwo gracza B ilustruje poniższa tabela:
Runda
Prawdopodobieństwo
I
II
III
itd.
itd.
Oznacza to, że prawdopodobieństwo zwycięstwa w przypadku gracza B - P(B) - wynosi:
Oczywiście mogliśmy obliczyć P(B) jako 1 - P(A), ale powiedzcie sami, ile satysfakcji sprawia samodzielna weryfikacja poprawności naszych kalkulacji?
Wyliczyliśmy zatem, że w rosyjskiej ruletce szanse na zwycięstwo mają się do siebie jak 2 : 3 ze wskazaniem na gracza B. Mówimy o przypadku, gdy bębenek pistoletu kręci się przed każdym naciśnięciem spustu.
Wyobraźmy sobie teraz inny wariant gry. Mianowicie, bębenek kręcony jest tylko przez gracza A. Jakie szanse na przeżycie mają osoby A i B? Załóżmy, że B ma w ręku pistolet podany mu przez A, któremu udało się przeżyć. Spójrzmy na przekrój bębenka pistoletu z dwoma nabojami w komorach. Mamy do czynienia z piętnastoma możliwymi układami:
Pierwsze dwa rzędy (sześć układów) to przypadek A), gdy komory z nabojami sąsiadują ze sobą. Kolejne dwa rzędy (sześć układów) to przypadek B), gdy komory z nabojami oddziela jedna pusta komora. Ostatni rząd (trzy układy) to przypadek C), gdy komory z nabojami oddzielają dwie puste komory.
Gdy zachodzi przypadek A), to szanse przetrwania gracza B wynoszą .
Gdy zachodzi przypadek B), to szanse przetrwania gracza B wynoszą .
Gdy zachodzi przypadek C), to szanse przetrwania gracza B wynoszą .
Zatem szanse przetrwania gracza B wynoszą: .
Oznacza to, że w tej wersji szanse na zwycięstwo gracza B wynoszą:
Runda
Prawdopodobieństwo
I
II
III
itd.
itd.
Ostatecznie:
Zweryfikujmy obliczenia przez określenie szansy na zwycięstwo gracza A:
Runda
Prawdopodobieństwo
I
II
III
itd.
itd.
Ostatecznie:
W tym wariancie rosyjskiej ruletki szanse na zwycięstwo gracza B zmalały z 60% do 55,5%!
Zajmijmy się jeszcze jednym wariantem. Gracz A zawsze kręci bębenkiem, natomiast B rzuca monetą i jeżeli wypadnie reszka, też kręci bębenkiem, zanim przystawi sobie pistolet do głowy i pociągnie za spust, natomiast jeżeli wypadnie orzeł, od razu przystawia sobie pistolet do głowy i pociąga za spust. Szanse przeżycia w takiej sytuacji wynoszą: .
W tym wariancie szanse na zwycięstwo gracza B wynoszą:
Runda
Prawdopodobieństwo
I
II
III
itd.
itd.
Zatem:
Jeszcze zweryfikujmy wyliczenia, określając szanse zwycięstwa gracza A:
Runda
Prawdopodobieństwo
I
II
III
itd.
itd.
Zatem:
Podsumowanie przedstawię w tabeli poniżej:
Strategia
P(A)
P(B)
A kręci
B kręci
0,4
0,6
A kręci
B nie kręci
0,444
0,555
A kręci
B: kręci z p = ?, w przeciwnym przypadku nie kręci
0,423
0,577
Gracz B w każdym z trzech wariantów ma szanse na zwycięstwo wynoszące co najmniej 55%. Zauważmy jeszcze (co jest raczej oczekiwanym rezultatem), że stosowanie z częstotliwością 50 : 50 mieszanek strategii I i II daje zwycięstwo z prawdopodobieństwem, które jest średnią arytmetyczną prawdopodobieństw zwycięstwa tych strategii. Innymi słowy, efektywność mieszanki strategii jest średnią efektywności tych strategii.
Ale poczekajcie trochę. Już niedługo opiszemy nieprawdopodobną historię - prawdziwą! Wykażemy w niej, że mieszanka gier przegrywających wcale nie musi być przegrywająca!
