1. Czym jest logika?

[...] lo­gik po­tra­fi wy­ja­śnić lu­dziom, dla­cze­go ro­zu­mu­ją błęd­nie albo po­praw­nie, a to nie jest bła­he. Na­to­miast oczy­wi­ście lo­gik nie mówi, co jest do­bre albo złe, co jest spra­wie­dli­we albo nie­spra­wie­dli­we, czy jest Bóg, czy Go nie ma, czy anio­ły ist­nie­ją, czy też nie.

Le­szek Ko­ła­kow­ski

Lo­gi­ka for­mal­na jest na­uką, któ­ra zaj­mu­je się ana­li­zą po­praw­no­ści ro­zu­mo­wań. Ro­zu­mo­wa­nia­mi szcze­gól­nie dla nas in­te­re­su­ją­cy­mi będą wnio­sko­wa­nia. Przez wnio­sko­wa­nie ro­zu­mie­my uzna­wa­nie pew­nych są­dów (wnio­sków) na po­sta­wie in­nych uzna­nych są­dów (prze­sła­nek). Za­da­niem lo­gi­ka jest za­tem udzie­la­nie od­po­wie­dzi na py­ta­nie, czy wnio­ski wy­cią­ga­ne są z prze­sła­nek w spo­sób po­praw­ny czy nie. Wa­run­ki owej po­praw­no­ści są ści­śle okre­ślo­ne.

Na­sze roz­wa­ża­nia za­cznij­my od przy­kła­du, bez któ­re­go nie może się obejść ża­den do­bry pod­ręcz­nik lo­gi­ki.

Wszy­scy lu­dzie są śmier­tel­ni­ka­mi.

So­kra­tes był czło­wie­kiem.

(a za­tem) So­kra­tes był śmier­tel­ni­kiem.

W tym przy­kła­dzie prze­słan­ka­mi są pierw­sze dwa zda­nia, a wnio­skiem jest trze­cie. Czy wnio­sek wy­ni­ka z prze­sła­nek? Oczy­wi­ście, tak. Pierw­sza prze­słan­ka przy­pi­su­je pew­ną ce­chę każ­de­mu czło­wie­ko­wi. Wnio­sku­je­my więc, że So­kra­tes rów­nież musi mieć tę ce­chę, bo na mocy dru­giej prze­słan­ki, jest jed­nym z tych, któ­rym ta ce­cha jest przy­pi­sa­na. Roz­waż­my inny przy­kład.

Wszyst­kie bo­ga­te pań­stwa mają duże ar­mie.

Pol­ska jest bo­ga­tym pań­stwem.

(a za­tem) Pol­ska ma dużą ar­mię.

Przy­kład ten może bu­dzić pew­ne wąt­pli­wo­ści. Czy to praw­da, że bo­ga­te pań­stwa mają duże ar­mie? (A co ze Szwaj­ca­rią, Nor­we­gią?) Czy Pol­ska jest bo­ga­tym pań­stwem? Czy ma dużą ar­mię? W pierw­szym przy­kła­dzie praw­dzi­wość prze­sła­nek i wnio­sku była oczy­wi­sta. Je­śli cho­dzi zaś o przy­kład dru­gi, in­tu­icja pod­po­wia­da nam, aby zgo­dzić się z tak otrzy­ma­nym wnio­skiem. Po­rów­nu­jąc ten przy­kład z po­przed­nim, do­strze­ga­my da­le­ko idą­cą ana­lo­gię. Oka­zu­je się, że mo­że­my prze­pro­wa­dzić po­dob­ne uza­sad­nie­nie jak po­przed­nio i po­win­no ono nas usa­tys­fak­cjo­no­wać rów­nież w tym przy­pad­ku. Z for­mal­ne­go punk­tu wi­dze­nia oba przy­kła­dy ilu­stru­ją ten sam spo­sób ro­zu­mo­wa­nia.

Pod­sta­wo­we kry­te­rium po­praw­no­ści wnio­sko­wań do­ty­czy za­leż­no­ści praw­dzi­wo­ści wnio­sku od praw­dzi­wo­ści prze­sła­nek. Nie jest więc waż­na praw­dzi­wość prze­sła­nek i wnio­sku w ogó­le, lecz kwe­stia, czy za­ło­że­nie praw­dzi­wo­ści prze­sła­nek pro­wa­dzi do praw­dzi­wo­ści wnio­sku. W po­wyż­szym przy­kła­dzie nie jest istot­ne to, czy Pol­ska jest bo­ga­tym pań­stwem i czy bo­ga­te pań­stwa mają duże ar­mie, lecz fakt, że je­śli uzna­my te za­ło­że­nia za praw­dzi­we, to rów­nież za praw­dzi­wy mu­si­my uznać wnio­sek, że Pol­ska ma dużą ar­mię. Ten ro­dzaj za­leż­no­ści jed­ne­go zda­nia od in­nych de­cy­du­je o związ­ku lo­gicz­ne­go wy­ni­ka­nia. Oso­ba po­sia­da­ją­ca umie­jęt­ność lo­gicz­ne­go my­śle­nia za­wsze oce­ni po­wyż­sze ro­zu­mo­wa­nie jako po­praw­ne, na­wet je­śli nic nie bę­dzie wie­dzieć o Pol­sce, bo­ga­tych pań­stwach i ich uzbro­je­niu.

W miej­sce Pol­ski w po­wyż­szym przy­kła­dzie moż­na za­tem wsta­wić La­ilo­nię i przed wy­cią­gnię­ciem wnio­sku, że pań­stwo to ma dużą ar­mię, nie po­wstrzy­ma nas fakt, że nie wie­my, czy La­ilo­nia w ogó­le ist­nie­je. Ra­cję ma więc Le­szek Ko­ła­kow­ski twier­dząc, że lo­gi­ka nie in­te­re­su­ją praw­dy ab­so­lut­ne. Lo­gik sta­wia py­ta­nie, co wy­star­czy uznać za praw­dę, aby otrzy­mać jako wnio­sek roz­pa­try­wa­ną wy­po­wiedź, oraz co z przy­ję­tej za praw­dę wy­po­wie­dzi w spo­sób nie­za­wod­ny wy­ni­ka.

Sil­ną stro­ną lo­gicz­nej ana­li­zy ro­zu­mo­wań jest jej ogól­ność. Przy­kła­dy wnio­sko­wań do­ty­czą­ce So­kra­te­sa oraz bo­ga­tych państw pod­pa­da­ją pod ten sam ogól­ny (choć nie "zbyt" ogól­ny) sche­mat ro­zu­mo­wa­nia. Moż­na so­bie wy­obra­zić ty­sią­ce in­nych wnio­sko­wań, do­ty­czą­cych roz­ma­itych dzie­dzin ży­cia, któ­re rów­nież pod­pa­da­ją pod ten sche­mat. Za każ­dym ra­zem wnio­sek bę­dzie wy­ni­kał z prze­sła­nek z tego sa­me­go po­wo­du. Po­wo­dem tym jest for­mal­na po­praw­ność ogól­ne­go sche­ma­tu, to jest fakt, że sche­mat ów za­wsze pro­wa­dzi od praw­dzi­wych prze­sła­nek do praw­dzi­we­go wnio­sku. W dal­szych roz­dzia­łach po­zna­my wie­le róż­nych sche­ma­tów wnio­sko­wań i na­szym za­da­niem bę­dzie roz­strzy­ga­nie, czy są one po­praw­ne, czy nie.

Czło­wie­ka ro­zu­mu­ją­ce­go lo­gicz­nie, choć nie­ko­niecz­nie świa­do­me­go sto­so­wa­nych sche­ma­tów, praw­dzi­we prze­słan­ki za­wsze do­pro­wa­dzą do praw­dzi­wych wnio­sków. A za­tem, gdy ktoś otrzy­mu­je wnio­sek ewi­dent­nie fał­szy­wy, ozna­cza to, że albo ów ktoś ro­zu­mu­je w opar­ciu o nie­po­praw­ny sche­mat, albo przy­najm­niej jed­na z prze­sła­nek jest fał­szy­wa. W pierw­szym przy­pad­ku po­peł­nia błąd for­mal­ny (ro­zu­mu­je nie­lo­gicz­nie), w dru­gim - błąd ma­te­rial­ny. Uni­ka­nia pierw­sze­go po­win­na uczyć nas lo­gi­ka, dru­gie­go - do­świad­cze­nie i wie­dza o świe­cie.

Za­ska­ku­ją­cym może się wy­dać fakt, że z prze­sła­nek fał­szy­wych moż­na lo­gicz­nie otrzy­mać wnio­sek praw­dzi­wy. Świad­czy o tym na­stę­pu­ją­cy przy­kład.

Ko­per­nik był Fran­cu­zem.

Wszy­scy Fran­cu­zi są Eu­ro­pej­czy­ka­mi.

(a za­tem) Ko­per­nik był Eu­ro­pej­czy­kiem.

Ta­kie wnio­sko­wa­nia nie są jed­nak cie­ka­we. Na­uka po­le­ga na od­kry­wa­niu pew­nych prawd na pod­sta­wie in­nych prawd. Fałsz jako punkt wyj­ścia nie in­te­re­su­je więc na­ukow­ców, po­nie­waż oprócz tego, że daje nie­traf­ny opis świa­ta, moż­na z nie­go wy­wnio­sko­wać za dużo - za­rów­no fałsz, jak i praw­dę.

Me­to­da oce­ny po­praw­no­ści wnio­sko­wań za po­mo­cą po­jęć praw­dy i fał­szu na­zy­wa­na jest me­to­dą se­man­tycz­ną. Bę­dzie ona głów­nym te­ma­tem roz­dzia­łu "Wy­ni­ka­nie lo­gicz­ne".

Oprócz me­to­dy se­man­tycz­nej ist­nie­je inny spo­sób ba­da­nia po­praw­no­ści for­mal­nej, po­le­ga­ją­cy na spraw­dza­niu, czy kształt wy­po­wie­dzi, któ­ra jest wnio­skiem, daje się otrzy­mać po­przez zmia­ny kształ­tu prze­sła­nek. Zmia­ny te moż­li­we są je­dy­nie przy uży­ciu ści­śle okre­ślo­nych re­guł "gra­ma­tycz­nych". Taka me­to­da nosi na­zwę syn­tak­tycz­nej i bar­dziej szcze­gó­ło­wo po­zna­my ją w roz­dzia­le "De­duk­cja na­tu­ral­na".

Na­miast­ką me­to­dy syn­tak­tycz­nej jest pew­na za­ba­wa ję­zy­ko­wa, któ­ra po­le­ga na prze­kształ­ca­niu jed­nych słów w inne za po­mo­cą dwóch re­guł. Pierw­sza z nich po­zwa­la za każ­dym ra­zem zmie­nić tyl­ko jed­ną li­te­rę. Dru­ga na­ka­zuj e, aby za każ­dym ra­zem otrzy­mać sło­wo w ję­zy­ku pol­skim (w do­wol­nej for­mie gra­ma­tycz­nej).

Dla przy­kła­du, prze­kształć­my zgod­nie z tymi re­gu­ła­mi sło­wo "wo­rek" w sło­wo "ba­nan" oraz sło­wo "sło­wo" w sło­wo "iko­na".

Dwa przed­sta­wio­ne szki­co­wo po­dej­ścia do tego sa­me­go pro­ble­mu ilu­stru­ją z grub­sza przed­miot lo­gi­ki for­mal­nej. Mo­że­my za­tem stwier­dzić, że jed­nym z jej głów­nych za­dań jest do­star­cza­nie róż­no­rod­nych środ­ków tech­nicz­nych słu­żą­cych ana­li­zie po­praw­no­ści wnio­sko­wań. Opo­wie­my o nie­któ­rych z nich, choć nie wy­czer­pie­my na­wet czę­ści te­ma­tu.

Lo­gi­ka for­mal­na to dziś po­tęż­na ga­łąź na­uki. Jej po­cząt­ki się­ga­ją sta­ro­żyt­no­ści (Ary­sto­te­les, sto­icy), ale praw­dzi­wy jej roz­kwit za­po­cząt­ko­wał dzia­ła­ją­cy do­pie­ro na prze­ło­mie XIX i XX w. nie­miec­ki ma­te­ma­tyk i fi­lo­zof Got­tlob Fre­ge. War­to pod­kre­ślić, że szcze­gól­ne za­słu­gi dla roz­wo­ju lo­gi­ki mie­li Po­la­cy. W okre­sie mię­dzy­wo­jen­nym jej fun­da­men­ty two­rzy­li: Jan Łu­ka­sie­wicz, Al­fred Tar­ski i Adolf Lin­den­baum. Po woj­nie lo­gi­cy An­drzej Mo­stow­ski, Je­rzy Łoś, Ro­man Susz­ko i An­drzej

Grze­gor­czyk kon­ty­nu­owa­li dzie­ło, czy­niąc z lo­gi­ki iście pol­ską spe­cjal­ność.

Za­da­nia

1. Za po­mo­cą dwóch po­da­nych wy­żej re­guł prze­kształć na­stę­pu­ją­ce sło­wa:

ZIMA w LATO

MEWA w KOSA

LAWA w POLE

LE­CZO w MO­RZE

ŻY­CIE w GA­CEK

RYB­KA w PAL­TO

WODA w WINO

2. Znajdź inne przy­kła­dy moż­li­wie dłu­gich słów i prze­kształć je tak, aby zmie­nić każ­dą z wy­stę­pu­ją­cych w nich li­ter.