3Ruch prostoliniowy
Kinematyka zajmuje się opisywaniem ruchu. Definiujemy takie wielkości jak: odległość, przemieszczenie, szybkość, prędkość, przyspieszenie oraz zależności między nimi.
Fizycy opisują ruch prostoliniowy, wyobrażając sobie, że odbywa się on wzdłuż jednowymiarowego układu współrzędnych, czyli osi liczbowej. Definiujemy początek układu i wskazujemy dodatni kierunek, a przeciwny definiujemy jako ujemny. Położenie to pozycja na tej osi liczbowej. (Na poniższym rysunku słupek sygnalizacji świetlnej przyjęto jako początek układu, a kierunek "w prawo" jako dodatni.)
Położenie to pozycja na osi liczbowej. Tak więc na powyższym rysunku armata znajduje się w położeniu x = +25 m, a samochód w x = +125 m.
Droga w fizyce jest tym samym co droga w codziennym użyciu - opisuje, jak daleko coś się przesunie. Mierzymy ją w metrach (lub innych jednostkach długości). Droga nie zależy od kierunku. Na rysunku widać, że przebyłeś drogę 100 metrów niezależnie od tego, czy przeszedłeś z punktu A do B czy z punktu B do A.
Przemieszczenie to prostoliniowa zmiana położenia między początkowym i końcowym punktem ruchu. Przemieszczenie jest wielkością wektorową, ponieważ obejmuje zarówno odległość, jak i kierunek. Matematycznie definiujemy przemieszczenie jako
? x = xkon - xpocz = xk - x0.
Jeśli więc przejdziesz z punktu A do B na powyższym rysunku, twoje przemieszczenie będzie wynosić
ale jeśli przejdziesz z punktu B do A, to twoje przemieszczenie wyniesie
Jeśli przejdziesz z punktu A do punktu B, a następnie z powrotem, przebyta droga wyniesie 200 m, ale przemieszczenie wyniesie zero (ponieważ zmiana położenia wynosi zero).
W przypadku ruchu pionowego również definiujemy początek i kierunek dodatni. Rozważmy ruch między podstawą i wierzchołkiem klifu o wysokości 30 m.
- Możemy przyjąć, że powierzchnia ziemi jest naszym punktem początkowym ( y = 0 m) oraz przyjąć kierunek w górę za kierunek dodatni (w takim przypadku szczyt klifu byłby na wysokości y = +30 m).
- Możemy przyjąć, że wierzchołek klifu jest naszym punktem początkowym ( y = 0 m) oraz przyjąć kierunek w górę za kierunek dodatni (w takim przypadku powierzchnia ziemi znajdowałaby się na wysokości y = -30 m).
- Możemy przyjąć, że wierzchołek klifu jest naszym punktem początkowym ( y = 0 m) oraz przyjąć kierunek w dół za kierunek dodatni (w takim przypadku powierzchnia ziemi znajdowałaby się na wysokości y = +30 m).
Każda z tych opcji działa. Fizyka nie zmienia się tylko ze względu na to, gdzie umieścimy nasz punkt początkowy! Niektóre wybory sprawiają, że problem jest łatwiejszy lub bardziej intuicyjny do rozwiązania. Ogólnie rzecz biorąc, jeśli obiekt będzie poruszał się w górę przez część swojego ruchu, najłatwiej jest wybrać kierunek w górę jako kierunek dodatni. Jeśli obiekt porusza się tylko w dół, zwykle najłatwiej jest wybrać kierunek w dół jako dodatni.
.
Symbolu ? używamy dla prędkości. Kreska nad symbolem ? oznacza prędkość "średnią". Na przykład, jeśli przejdziesz 100 metrów w 40 sekund, to twoja średnia prędkość wynosi
Jeśli znasz zarówno średnią prędkość, jak i czas, to odległość można łatwo obliczyć. Jeśli samochód jedzie średnio 60 km na godzinę przez 2 godziny, to przebyta droga wynosi d = t = 60 ? 2 h = 120 km. W każdym z tych przypadków prawdopodobnie nie idziesz lub jedziesz z dokładnie taką samą prędkością przez cały czas - przyspieszasz i zwalniasz trochę podczas podróży. Prędkość w danej chwili może więc różnić się od prędkości średniej.
Prędkość lub prędkość chwilowa ? to prędkość w danym momencie. To właśnie wskazuje prędkościomierz samochodowy. Gdy samochód rusza, wskazanie prędkościomierza przechodzi przez 10 km/h, następnie 20 km/h itd. W momencie, gdy prędkościomierz wskazuje 10 km/h, jest to prędkość chwilowa samochodu.
Średnia prędkość i prędkość chwilowa są oznaczane odpowiednio symbolami i ? i są wyrażane za pomocą tych samych równań, ale prędkość jest wielkością wektorową obejmującą zarówno szybkość (wartość), jak i kierunek. Winda wznosząca się może mieć prędkość 2 m/s w górę = +2 m/s, natomiast winda zjeżdżająca może mieć prędkość 2 m/s w dół = -2 m/s. W obu przypadkach szybkość wynosiłaby po prostu 2 m/s.
Gdy prędkość (lub szybkość) zmienia się w stałym tempie, średnia prędkość (lub średnia szybkość) jest sumą początkowej i końcowej szybkości lub prędkości podzieloną przez 2. To znaczy
, gdzie ?0 to prędkość początkowa, a ?k to prędkość końcowa.
Przebyta droga jest obliczana poprzez pomnożenie średniej prędkości przez przedział czasu, co w tym przypadku wynosi
Przyspieszenie to szybkość, z jaką zmienia się prędkość:
W tym rozdziale rozważamy tylko stałe przyspieszenie, tzn. że prędkość zmienia się w stałym tempie. Standardową jednostką przyspieszenia jest metr na sekundę na sekundę lub metr na sekundę podniesioną do kwadratu (m/s2). Na przykład, jeśli obiekt przyspiesza od 3 m/s do 11 m/s w ciągu 4 sekund, jego przyspieszenie wynosi
.
Ruch może przebiegać w następujący sposób:
W każdej sekundzie prędkość zmienia się o +2 m/s, więc przyspieszenie wynosi 2 m/s na sekundę = 2 m/s2.
Proste przekształcenie wzoru daje
?k - ?0 = at,
czyli zmiana prędkości = przyspieszenie ? czas[1] lub
?k = ?0 + at,
co oznacza, że chwilowa prędkość obiektu w chwili t jest równa jego prędkości początkowej plus at, tj. dodatkowej prędkości uzyskanej w wyniku przyspieszenia w tym czasie.
Istnieją jeszcze trzy inne równania, które są przydatne w rozwiązywaniu problemów kinematycznych:
; eliminujące prędkość końcową z równania[2],
; eliminujące prędkość początkową z równania[3],
; eliminujące czas z równania[4],
Powyższe równania nie są prawami fizyki, ale po prostu definicjami i zależnościami wyrażonymi w zapisie matematycznym. Czasami przydatne jest zastąpienie drogi poziomej i pionowej odpowiednio symbolami x i y lub przemieszczenia poziomego i pionowego symbolami ? x i ? y.
Spadek swobodny opisuje przypadek, w którym obiekt spada lub unosi się, a opór powietrza jest pomijalny. Przyspieszenie spowodowane wyłącznie grawitacją oznaczamy symbolem g i na powierzchni Ziemi ma ono stałą wartość 9,8 m/s2 (chociaż do obliczeń szacunkowych przydatne jest użycie 10 m/s2). Uzyskana prędkość obiektu swobodnie spadającego, upuszczonego ze stanu spoczynku, jest dana równaniem
?k = gt,
a odległość, na jaką spadł, jest dana wzorem
.[5]
W tym przypadku zakłada się, że kierunek w dół jest kierunkiem dodatnim, a początek znajduje się w punkcie, z którego upuszczany jest obiekt.
W przypadku rzucania obiektu w górę wygodniej jest przyjąć kierunek w górę jako kierunek dodatni i umieścić początek na powierzchni ziemi. Przyspieszenie w dół spowodowane grawitacją wynosi g i przyjmuje postać , gdzie y jest wysokością obiektu nad ziemią.
Nasz wykład obejmuje dużo materiału z fizyki, więc wykładowca może pospiesznie przejść przez ten rozdział, ale nie martw się, ponieważ pojęcia kinematyki są wykorzystywane w kolejnych rozdziałach, w których będziesz miał okazję lepiej je zrozumieć. Szkoda byłoby utknąć w tej części kursu, która jest pozbawiona praw fizycznych. Zapoznaj się z pojęciami prędkości, szybkości i przyspieszenia, a następnie przejdź dalej, gdzie są one przydatne!
Oto zestawienie przydatnych równań ruchu liniowego (które mają zastosowanie, gdy przyspieszenie a jest stałe):
Którego z tych równań użyjemy, zależy od tego, jakie informacje zostały podane w zadaniu i co próbujesz znaleźć.
W podręczniku Fizyka wokół nas równania są postrzegane jako wskazówki do myślenia. Tutaj, w podręczniku rozwiązywania problemów, gdzie wyprowadzenia obejmują dwa lub więcej kolejnych kroków matematycznych, to równania kierują myśleniem przy wyborze tych kroków.
Większość zadań w tej książce zaczyna się od prośby o wyprowadzenie ogólnego rozwiązania wyrażonego za pomocą symboli. Po tym zwykle następuje etap, na którym wymagane jest rozwiązanie liczbowe wraz z odpowiednimi jednostkami miary. Rozważmy kilka przykładowych problemów i ich rozwiązań:
Przykładowe zadanie 1
Podczas jazdy autostradą ze stałą prędkością ? kichasz i twoje oczy zamykają się na krótki czas t.
(a) Napisz równanie na drogę przebytą podczas kichnięcia.
Szukane: d = ? (Skupiamy się na tym, o co pytamy, w tym przypadku na przebytej odległości).
Zaczynamy od (zaczynając od podstawowej definicji, w tym przypadku równania, które definiuje średnią lub stałą szybkość i zawiera drogę, której szukamy). Po przekształceniu otrzymujemy d = t, więc odległość przebyta z zamkniętymi oczami to średnia szybkość pomnożona przez czas kichnięcia.
Rozwiązanie: Odpowiedź to d = t.
(b) Oblicz drogę (w metrach) przebytą podczas kichania, biorąc pod uwagę, że szybkość na autostradzie wynosi 113 km/h, a podczas kichania oczy zamykają się na 0,70 s.
Szukane: Tutaj jesteśmy proszeni o znalezienie odległości d w metrach, podczas gdy prędkość jest podana w km/h. Naszym zadaniem jest przeliczenie 113 km/h na m/s. Używamy procesu zwanego analizą jednostek. Używamy takich współczynników konwersji, aby kilometry/godziny zamienić na m/s. Potrzebne współczynniki konwersji to: 1 godzina = 3600 s, a 1000 m = 1 km.
Rozwiązanie:
Ponownie wyróżniamy odpowiedź pogrubioną czcionką.
Podsumowanie konwersji jednostek
- Zacznij od wielkości, która ma zostać przeliczona. W tym przypadku jest to 113 km/h.
- Pomnóż przez współczynnik konwersji (zob. wewnętrzna strona tylnej okładki podręcznika Fizyka wokół nas). Współczynnik przeliczeniowy to stosunek równoważnych wielkości równy 1; to ilość w liczniku jest równa ilości w mianowniku, ale wyrażona w innych jednostkach. W tym przypadku współczynniki konwersji to i .
Zadanie wymaga podania odległości w metrach. Przypuśćmy jednak, że zamiast tego zadanie wymagałoby podania odległości w stopach. Wiemy, że na 1 godzinę przypada 3600 sekund, na 1 km - 1000 m, na 1 metr - 100 cm, na 1 in (cal) - 2,54 cm, a na 1 ft - 12 cali. Zatem
Widzimy, że same jednostki kierują działaniami matematycznymi. Istnieje wiele sposobów na dokonanie tej samej konwersji. Mogliśmy użyć 60 sekund = 1 minuta i 60 minut = 1 godzina, zamiast 3600 sekund = 1 godzina. Mogliśmy użyć 3,28 ft = 1 m, zamiast 2,54 cm = 1 cal.
Przykładowe zadanie 2
Mala lubi trenować i biega na dystansie x ze stałą prędkością ?.
(a) Wyprowadź równanie na czas potrzebny Mali na pokonanie dystansu x.
Szukane: t = ?
Ze wzoru
Rozwiązanie:
(b) Oblicz w minutach czas, w którym Mala przebiegła 1,7 km ze stałą szybkością 2,7 m/s.
Najpierw przelicz kilometry na metry:
Rozwiązanie: Zgodnie z analizą jednostek,
Przykładowe zadanie 3
Autobus rusza z postoju i jedzie ze stałym przyspieszeniem po równej drodze.
(a) Jaką odległość pokonuje autobus, przyspieszając od zera do prędkości ?k w przedziale czasu t ?
Szukane: d = ?
Ze wzoru i ponieważ ?0 jest zerem, to .
(Tę samą odpowiedź otrzymamy, jeśli użyjemy , gdzie ?0 = 0 i
Wtedy .
(b) Oblicz drogę przebytą przez autobus, który rusza z postoju i przyspiesza ze stałą prędkością do 12 m/s w czasie 5 s.
Rozwiązanie: .
Przykładowe zadanie 4
Dwóch rowerzystów jedzie do siebie po długiej prostej drodze bez przeszkód, każdy ze stałą prędkością ?. Gdy rowery znajdują się w odległości x od siebie, pszczoła zaczyna lecieć od przedniego koła jednego roweru do przedniego koła drugiego roweru ze stałą średnią prędkością 3?. Dotarłszy do każdego z kół, pszczoła gwałtownie zawraca i leci z powrotem, aby dotknąć drugiego koła, powtarza podróż tam i z powrotem, aż rowery się spotkają, po czym pszczoła zostaje zgnieciona.
(a) Jaką łączną drogę pokonała pszczoła podczas wszystkich lotów tam i z powrotem?
Szukane: d = ?
Ze wzoru , d = t = 3?t dla pszczoły.
Podano, że średnia prędkość pszczoły wynosi 3?, ale nie podano czasu. Kluczem do rozwiązania tego problemu jest uświadomienie sobie, że czas lotu pszczoły jest taki sam jak czas potrzebny na spotkanie rowerów. Każdy rower pokonuje całkowitą odległość w czasie t. Ze wzoru = ?t, czas t = .
Zatem pszczoła pokonuje całkowitą drogę d = 3? = 1,5 x.
(b) Oblicz łączną odległość lotu pszczoły do chwili, gdy ulega zgnieceniu, biorąc pod uwagę, że każdy z rowerów porusza się z prędkością 10 km/h, a pszczoła rozpoczyna swoją podróż tam i z powrotem z prędkością 30 km/h, gdy rowery są oddalone od siebie o 20 km.
Rozwiązanie: Jak wyżej, d = 1,5x = 1,5(20 km) = 30 km.
Sprawdzenie:
(Zauważ, że możemy korzystać bezpośrednio z jednostek kilometr i godzina bez zamiany na metry i sekundy). Czas podróży nie jest podany w zadaniu, ale równanie na przebytą drogę (średnia prędkość pomnożona przez czas) wskazuje nam, że czas jest ważnym czynnikiem. Próba rozwiązania tego zadania bez uwzględnienia czasu jest bardzo trudna. Niech wyrażenia w równaniach poprowadzą nas do rozwiązania.
Przykładowe zadanie 5
Katie chce poznać wysokość mostu, więc Martin upuszcza kamień z krawędzi mostu. Kamień uderza w strumień poniżej po czasie t.
(a) Wyprowadź równanie na wysokość mostu.
Szukane: d = ?
Kamień spada swobodnie. Cały ruch w tym zadaniu odbywa się w dół, wygodnie jest więc nazwać kierunek w dół kierunkiem dodatnim i umieścić początek układu współrzędnych na krawędzi mostu. Oznacza to, że a = +g. Prędkość początkowa kamienia jest zero, ponieważ Martin upuszcza kamień, a nie rzuca nim. Znamy ?0, a i t i chcemy znaleźć d. Odpowiednim równaniem jest
(b) Wyprowadź równanie na prędkość kamienia uderzającego w strumień poniżej.
Szukane: ?k = ?
Znamy ?0, a i t i chcemy znaleźć ?k. Odpowiednie równanie to
, ponieważ ?0 = 0.
(c) Kamień zrzucony z mostu potrzebuje 2,5 s, aby uderzyć w strumień poniżej. Oblicz wysokość mostu i prędkość uderzenia kamienia.
Rozwiązanie:
Przykładowe zadanie 6
Z poziomu ziemi rzucasz ziemniakiem prosto w górę z prędkością ?0.
(a) Jaką maksymalną wysokość osiągnie ziemniak? Przyjmij, że opór powietrza jest na tyle mały, że można go pominąć.
Szukane: y = ?
Chcemy znaleźć maksymalną wysokość. Podrzucamy ziemniak w górę, więc przyjmijmy kierunek w górę za kierunek dodatni i umieśćmy punkt początkowy na ziemi. Choć nie podano tego w zadaniu, to wiemy, że:
(1) Przyspieszenie a = -g, ponieważ po wypuszczeniu ziemniaka z ręki jedynym przyspieszeniem, jakie na niego działa, jest przyspieszenie grawitacyjne. Ujemny znak wynika z tego, że przyspieszenie jest skierowane w dół, czyli w kierunku przeciwnym do tego, który określiliśmy jako dodatni.
(2) Chwilowa prędkość końcowa ?k = 0[6]. Na maksymalnej wysokości ziemniak znajduje się między wznoszeniem a opadaniem. W tym momencie jego prędkość chwilowa wynosi zero.
Mamy a, ?0, ?k i chcemy wyznaczyć odległość. Odpowiednie równanie to
(b) Wyprowadź równanie na czas potrzebny ziemniakowi do osiągnięcia maksymalnej wysokości.
Szukane: t = ?
Mamy a, ?0, ?k i chcemy znaleźć t. Odpowiednie równanie to
(c) Oblicz maksymalną osiągniętą wysokość i czas jej osiągnięcia dla ziemniaka wyrzuconego w górę z prędkością początkową 12,7 m/s.
Rozwiązanie:
(d) Jaka jest wysokość i prędkość ziemniaka 2,0 sekundy po podrzuceniu?
Szukane: y = ? ?k = ?
Teraz mamy a, ?0 i t i chcemy znaleźć y i ?k. Odpowiednie równania to: nad ziemią oraz . Ujemny znak mówi nam, że prędkość ziemniaka jest skierowana w dół, co ma sens fizyczny, ponieważ ziemniak minął już swoją maksymalną wysokość.
(e) Kiedy ziemniak uderzy w ziemię? Z jaką prędkością będzie się poruszał?
Szukane: t = ? ?k = ?
Kiedy ziemniak uderza w ziemię, y = 0. Teraz mamy a, ?0 i y i chcemy znaleźć t i ?k. Odpowiednie równania do wykorzystania to . To ostatnie ma rozwiązania, gdy t = 0 (kiedy na początku upuszczamy ziemniak) i , dokładnie dwukrotność czasu potrzebnego ziemniakowi na osiągnięcie maksymalnej wysokości. Aby znaleźć prędkość, z jaką ziemniak uderza w ziemię, możemy użyć wzoru Z tych rozwiązań wynika, że przy braku oporu powietrza trajektoria ziemniaka jest symetryczna - spadanie zajmuje tyle samo czasu, co wznoszenie się, a ziemniak uderza w ziemię z dokładnie taką samą prędkością, z jaką został wyrzucony w górę.
Rozwiązanie:
Przykładowe zadanie 7
Z krawędzi klifu o wysokości h wyrzucono w górę kamień z prędkością ?0.
(a) Wyprowadź wyrażenie na czas, jaki upłynie do uderzenia kamienia o podłoże.
Szukane: t = ?
Przyjmijmy kierunek w górę za kierunek dodatni, ponieważ prędkość ?0 jest skierowana w górę.
Oprócz tego, co podano w zadaniu, wiemy, że a = -g i że
d = zmiana położenia kamienia = wysokość końcowa - wysokość początkowa = -h.
Stąd
Jest to funkcja kwadratowa w zmiennej t. Na podstawie wzoru na rozwiązania ogólnej postaci równania kwadratowego , gdzie w naszym przypadku a = , b = -?0 i c = -h, otrzymujemy Alternatywnie możemy najpierw znaleźć prędkość, z jaką kamień uderza w ziemię, a następnie znaleźć czas:
Ze wzoru
Wybieramy ujemny pierwiastek, ponieważ wiemy, że kamień porusza się w kierunku ujemnym (w dół), gdy uderza w ziemię.
Następnie ze wzoru
Zauważ, że obie metody dają tę samą odpowiedź!
(b) Oblicz czas uderzenia w ziemię kamienia wyrzuconego w górę z prędkością 8 m/s z krawędzi klifu o wysokości 30 metrów.
Rozwiązanie:
Podstawiając liczby, lub t = -1,79 s.
Kamień nie mógł uderzyć w ziemię, zanim został rzucony, zatem właściwa odpowiedź to 3,42 s.
(Ujemny czas wynika z wyobrażenia, że ktoś rzucił piłkę w górę na tyle szybko, iż poruszała się z prędkością 8 m/s, gdy mijała górną krawędź klifu - dla tego zadania zdefiniowaliśmy t = 0. Piłka wyrzucona z odpowiednią prędkością potrzebowałaby 1,79 s, aby dotrzeć do krawędzi klifu).
Zadania dotyczące ruchu prostoliniowego
W niektórych z tych zadań przydatna może być wiedza, że 1 mila = 1,61 km i 1 ft (stopa) = 0,3048 m.
3-1. Paweł idzie b km na wschód, aby zobaczyć wodospad, a następnie idzie c km na zachód, po czym zatrzymuje się na przekąskę.
(a) Jaką drogę przeszedł Paweł?
(b) Jakie było przemieszczenie Pawła?
(c) Oblicz przebytą drogę i przemieszczenie Pawła, jeśli przeszedł 5 km na wschód, a następnie 2 km na zachód.
3-2. Najszybszym pociągiem na świecie jest obecnie lewitujący pociąg magnetyczny Transrapid Shanghai Maglev w Chinach.
(a) Napisz równanie na średnią prędkość pociągu, jeśli pokonuje on odległość x w czasie t.
(b) Oblicz średnią prędkość pociągu w m/s, jeśli przejedzie on 30,0 km w ciągu 8,0 min, a następnie przelicz na km/h.
3-3. Zaserwowana piłka tenisowa pokonuje długość kortu L w czasie t.
(a) Napisz równanie na średnią prędkość poziomą piłki.
(b) Oblicz średnią prędkość piłki, która przebyła 24,0 m w poprzek kortu w czasie 0,60 s.
3-4. Miotacz baseballowy rzuca szybką piłkę w kierunku bramki. Piłka przekracza bazę, której długość od początku do końca wynosi x, w czasie t.
(a) Napisz równanie na prędkość, z jaką piłka mija bazę.
(b) Oblicz prędkość piłki baseballowej, która potrzebuje 0,01 s, aby przekroczyć od początku do końca bazę domową o długości 0,30 m.
3-5. Samochód wyścigowy porusza się po okrągłym torze o promieniu r.
(a) Napisz równanie na średnią prędkość samochodu, jeśli pokonuje on pełne okrążenie w czasie t.
(b) Oblicz średnią prędkość wyścigu, biorąc pod uwagę, że promień toru wynosi 400 m, a czas okrążenia 40 s.
3-6. Wieżowiec w Tajpej na Tajwanie o wysokości h ma najszybsze windy na świecie.
(a) Napisz równanie na czas wznoszenia się windy z parteru na szczyt, gdy średnia prędkość windy wynosi ?.
(b) Oblicz czas jazdy w górę na wysokość 508 m przy średniej prędkości 15 m/s.
(c) Czy to ma sens, że prędkość maksymalna windy może wynosić 16 m/s, podczas gdy średnia prędkość wynosi tylko 15 m/s? Uzasadnij swoją odpowiedź.
3-7. Filip przebiega boisko do futbolu amerykańskiego, którego długość wynosi 91 metrów (100 jardów).
(a) Ile czasu potrzebuje na przebiegnięcie całej długości boiska z prędkością ? (w m/s)?
(b) Oblicz czas potrzebny Filipowi, biegnącemu z prędkością 6,0 m/s, na przebiegnięcie długości boiska do futbolu amerykańskiego.
3-8. Światło jest niewiarygodnie szybkie - porusza się z prędkością c. Rozważmy światło poruszające się wzdłuż linijki o długości L.
(a) W jakim czasie światło pokonuje długość linijki?
(b) Oblicz czas potrzebny światłu na pokonanie długości metrowego pręta (prędkość światła wynosi 3,00 ? 108 m/s). Odpowiedź podaj w nanosekundach (1 nanosekunda = 10-9 s).
3-9. Liliana jedzie rowerem po prostej drodze ze średnią prędkością ?.
(a) Napisz równanie na drogę przebytą przez Lilianę w czasie t.
(b) Oblicz drogę przebytą przez Lilianę w czasie 5,0 min, jeśli jej średnia prędkość wynosi 7,5 m/s.
3-10. Gekon będący początkowo w stanie spoczynku rozpędza się do prędkości ? w czasie t.
(a) Napisz równanie na średnią prędkośći gekona, zakładając stałe przyspieszenie.
(b) Napisz równanie na drogę pokonaną przez gekona podczas przyspieszania.
(c) Oblicz odległość, jaką pokonuje gekon podczas przyspieszania od stanu spoczynku do prędkości 2,0 m/s w czasie 1,5 s.
3-11. Narciarz rozpoczyna zjazd ze stoku od stanu spoczynku i osiąga prędkość ? w czasie t.
(a) Wyprowadź równanie na drogę, którą narciarz, pokonuje w 20 s, zakładając stały wzrost prędkości.
(b) Oblicz, jaką odległość pokona narciarz zjeżdżając w dół stoku od stanu spoczynku i osiągając prędkość 12 m/s w czasie 8,0 s.
3-12. Gepard jest najszybszym biegaczem spośród wszystkich zwierząt lądowych. Załóżmy, że startuje ze stanu spoczynku i przyspiesza jednostajnie do prędkości ? w czasie t.
(a) Wyprowadź proste równanie na drogę pokonywaną przez geparda.
(b) Oblicz drogę pokonaną przez geparda, jeśli startuje on ze stanu spoczynku i przyspiesza równomiernie do prędkości 100,0 km/h w czasie 8,0 s.
3-13. Poruszający się samochód dostawczy zwiększa swoją prędkość z ?1 do ?2 w przedziale czasu t.
(a) Napisz równanie na średnie przyspieszenie samochodu dostawczego.
(b) Oblicz średnie przyspieszenie w m/s2, z jakim samochód dostawczy przyspiesza równomiernie od 15 km/h do 40 km/h w ciągu 20 s.
3-14. Samochód hybrydowy poruszający się z prędkością ?1 stopniowo zwiększa prędkość do prędkości ?2 w przedziale czasu t.
(a) Napisz równanie na średnie przyspieszenie samochodu.
(b) Oblicz średnie przyspieszenie w m/s2, gdy samochód zwiększy swoją prędkość z 5,0 km/h do 20,0 km/h w ciągu 10,0 s.
(c) Oblicz drogę przebytą przez samochód podczas tego przyspieszania.
3-15. Lonnie naciska hamulec w swoim samochodzie poruszającym się z prędkością ?. Samochód zwalnia ze stałą szybkością i zatrzymuje się po czasie t.
(a) Ile wynosi przyspieszenie?
(b) Oblicz przyspieszenie, jeśli prędkość początkowa samochodu wynosiła 26 m/s, a czas do zatrzymania 20 s.
(c) Oblicz odległość przebytą podczas zwalniania samochodu.
(d) Czas reakcji Lonniego to czas, który upływa od momentu, kiedy widzi on powód do hamowania, do momentu, w którym faktycznie uruchamia hamulce. Oblicz drogę przebytą przez samochód, zanim Lonnie naciśnie hamulce, zakładając prędkość 26 m/s i czas reakcji 1,5 s.
3-16. Samolot odrzutowy ląduje na pasie startowym z prędkością ? i zatrzymuje się po czasie t.
(a) Zakładając, że jego prędkość maleje w stałym tempie, napisz równanie na przyspieszenie samolotu.
(b) Oblicz przyspieszenie, jeśli prędkość lądowania wynosi 72 m/s, a czas zatrzymania - 12 s.
(c) Oblicz drogę przebytą przez odrzutowiec między punktem lądowania a punktem zatrzymania.
3-17. Rzutka opuszcza lufę pistoletu pneumatycznego z prędkością ?. Długość lufy pistoletu wynosi L. Przyjmijmy, że przyspieszenie rzutki w lufie jest stałe.
(a) Wyprowadź równanie na czas przemieszczania się rzutki wewnątrz lufy.
(b) Oblicz czas przebywania rzutki w lufie, jeśli jej prędkość wylotowa wynosi 15,0 m/s, a długość lufy pistoletu 1,4 m.
3-18. Pocisk opuszcza lufę pistoletu z prędkością ?. Długość lufy pistoletu wynosi L. Przyjmij, że przyspieszenie pocisku w lufie jest równomierne.
(a) Napisz równanie na średnią prędkość pocisku wewnątrz lufy.
(b) Oblicz średnią prędkość, jeśli pocisk opuszcza lufę z prędkością 350 m/s. Długość lufy pistoletu wynosi 0,40 m.
(c) Oblicz czas przebywania pocisku w lufie.
3-19. Aby uniknąć uderzenia w stojący autobus, Stan hamuje swoim samochodem i zwalnia ze stałą prędkością od ?0 do ? w czasie t.
(a) Wyprowadź równanie drogi przebytej przez samochód podczas zwalniania do mniejszej prędkości.
(b) Oblicz odległość, jaką pokonuje samochód podczas hamowania od prędkości 25 m/s do 11 m/s w czasie 8,0 s.
3-20. Na klatkach filmu widać, że tocząca się kulka pokonuje drogę x między klatkami. Częstotliwość robienia zdjęć wynosi 24 na sekundę.
(a) Z jaką prędkością poruszała się kulka?
(b) Oblicz prędkość kulki, która przemieszcza się o 0,40 m w każdej klatce.
3-21. Elektron umieszczony w polu elektrycznym przyspiesza jednostajnie od spoczynku do prędkości ?, przebywając drogę x.
(a) Wyprowadź równanie na przyspieszenie elektronu.
(b) Oblicz przyspieszenie w m/s2 dla elektronu, który startuje ze stanu spoczynku i osiąga prędkość 1,8 ? 107 m/s na drodze 0,10 m.
(c) Oblicz czas potrzebny elektronowi do osiągnięcia tej prędkości.
3-22. Kierowca dragstera [samochodu używanego w wyścigach na krótkich dystansach - przyp. red.] może pokonać odległość d w czasie t, startując ze stanu spoczynku.
(a) Wyprowadź równanie na prędkość końcową dragstera przy założeniu stałego przyspieszenia.
(b) Wyprowadź równanie na przyspieszenie dragstera.
(c) Kierowca dragstera pokonuje ćwierć mili (402 m) w czasie 4,45 s. Oblicz prędkość końcową i średnie przyspieszenie dragstera.
3-23. Prędkość rakiety-zabawki wystrzeliwanej prosto w górę rośnie od prędkości ? do prędkości V w jednostajnym tempie w czasie t.
(a) Wyprowadź równanie na drogę przebytą przez rakietę w tym czasie.
(b) Oblicz przebytą drogę (w metrach), jeśli początkowa prędkość rakiety wynosi 110 m/s i rośnie jednostajnie do 250 m/s w czasie 3,5 s.
3-24. Roger podrzuca piłkę prosto w górę z prędkością ?. Pomiń opór powietrza.
(a) Wyprowadź równanie na czas potrzebny piłce do osiągnięcia najwyższego punktu.
(b) Oblicz czas w sekundach, jaki potrzebuje piłka, aby osiągnąć maksymalną wysokość, gdy jest rzucona prosto w górę z prędkością 32 m/s.
(c) Oblicz maksymalną wysokość osiągniętą przez piłkę.
3-25. Pistolet-zabawka wystrzeliwuje ziemniak prosto w górę. Ziemniak uderza w ziemię po czasie t.
(a) Wyprowadź równanie na prędkość początkową ziemniaka, pomijając opór powietrza.
(b) Oblicz prędkość początkową ziemniaka wystrzelonego prosto w górę i uderzającego w ziemię po 12 s. Ile wynosi ta prędkość w m/h?
3-26. Jerzy upuszcza kamień ze szczytu klifu o wysokości h z widokiem na ocean.
(a) Wyprowadź równanie na czas, po jakim kamień uderzy w wodę.
(b) Oblicz, po ilu sekundach kamień uderzy w wodę, jeśli został upuszczony z klifu o wysokości 25 m.
(c) Oblicz prędkość kamienia w chwili uderzenia w wodę.
3-27. Janet podrzuca piłkę prosto w górę. Piłka szybko wraca do jej ręki.
(a) Wyprowadź równanie na prędkość, z jaką Janet powinna rzucić piłkę, aby wróciła ona do jej ręki po czasie t.
(b) Oblicz, z jaką prędkością należy rzucić piłkę prosto w górę, by lot trwał 4,0 sekundy.
(c) Oblicz maksymalną wysokość osiągniętą przez piłkę.
3-28. Sufit szkolnej sali gimnastycznej znajduje się w odległości y od podłogi.
(a) Wyprowadź równanie na maksymalną prędkość, z jaką można podrzucić piłkę z wysokości 2 metrów nad podłogą, tak aby piłka niemal uderzyła w sufit.
(b) Oblicz maksymalną prędkość podrzuconej piłki, jeśli odległość od podłogi do sufitu wynosi 20,0 m.
3-29. Jeff rzuca puszkę napoju gazowanego do Karen, która stoi na balkonie na 3. piętrze, w odległości h nad ręką Jeffa. Jeff nadaje puszce prędkość początkową ?0 w górę, na tyle dużą, że puszka mija Karen, która łapie ją, gdy ta spada w dół.
(a) Wyprowadź równanie na prędkość puszki, gdy mija ona Karen w drodze w górę.
(b) Jaka jest prędkość puszki w momencie, gdy Karen łapie ją w drodze w dół?
(c) Wyprowadź równanie na czas między rzuceniem puszki przez Jeffa a jej złapaniem przez Karen.
(d) Oblicz prędkość puszki i czas jej przebywania w powietrzu w chwili poprzedzającej złapanie puszki przez Karen, jeśli Jeff rzuca puszkę z prędkością 16 m/s, a Karen znajduje się 8,5 m nad Jeffem, gdy puszka opuszcza jego rękę.
3-30.* Seth stoi na platformie do nurkowania, gdy podrzuca w górę balon z wodą z prędkością ?0. Powierzchnia wody znajduje się w odległości h poniżej dłoni Setha, gdy ten wypuszcza balon. Przyjmijmy, że opór powietrza można pominąć.
(a) Wyprowadź równanie na prędkość balonu z wodą, gdy uderzy on w wodę poniżej.
(b) Wyprowadź równanie na czas potrzebny balonowi na uderzenie w powierzchnię wody.
(c) Jaka będzie prędkość balonu po uderzeniu w wodę, jeśli Seth rzuci balon w dół z prędkością początkową ?0?
(d) Oblicz odpowiedzi na powyższe pytania dla balonu wyrzuconego z prędkością 5,0 m/s na wysokości 11,8 m nad powierzchnią wody.
3-31.* Emery stoi na balkonie i rzuca balon z wodą w dół z prędkością ?0 w stronę Zeframa stojącego w odległości h poniżej.
(a) Wyprowadź wyrażenie na czas, po jakim balon uderzy w głowę Zeframa.
(b) Wyprowadź wyrażenie na prędkość balonu w momencie uderzenia.
(c) Oblicz odpowiedzi na powyższe pytania dla balonu rzuconego w dół z prędkością 3,2 m/s z wysokości 3,5 m.
3-32.* Kierowca samochodu jadącego z prędkością ?0 stwierdza, że odległość do przeciwległej strony skrzyżowania wynosi d oraz że światło drogowe zmieni się na czerwone po czasie t.
(a) Wyprowadź wyrażenie na przyspieszenie niezbędne do tego, aby samochód zdążył przejechać przez skrzyżowanie, zanim światło zmieni się na czerwone!
(b) Oblicz niezbędne przyspieszenie dla samochodu jadącego z prędkością 13 m/s, który próbuje przejechać 120 m w czasie 5,0 s.
(c) Jaka będzie prędkość samochodu po przejechaniu przez skrzyżowanie?
(d) Przelicz odpowiedź (c) na km/h i przedyskutuj, czy próba przejechania przez to skrzyżowanie jest dobrym pomysłem, czy nie.
3-33.* Kontynuując poprzednie zadanie: kierowca wie, że początek skrzyżowania znajduje się w odległości x i że światło ponownie zmieni się na zielone po czasie tz. Decyduje się więc wcisnąć hamulec i zwolnić tak, aby dojechać do skrzyżowania w momencie, gdy światło zmieni się na zielone.
(a) Wyprowadź wyrażenie na prędkość, z jaką samochód dojedzie do skrzyżowania.
(b) Wyprowadź wyrażenie na stałe przyspieszenie niezbędne do wykonania tego zadania przez samochód.
(c) Oblicz odpowiedzi na powyższe pytania, jeśli skrzyżowanie znajduje się w odległości 95 m, a światło zmieni się na zielone za 11,9 s.
3-34.* Rita jedzie na deskorolce z prędkością ?0, pokonując wzniesienie. U podnóża wzniesienia, w odległości L, znajduje się droga. Rita uczęszczała na wykłady z fizyki i zna lokalną geografię, więc ustaliła na podstawie nachylenia wzgórza, że będzie miała przyspieszenie a w dół wzgórza. U podnóża wzgórza znajduje się droga o szerokości d, którą Rita przetnie ze stałą prędkością.
(a) Wyprowadź wyrażenie określające, ile czasu zajmie Ricie przejazd na drugą stronę drogi.
(b) Oblicz czas przejazdu przez drogę dla prędkości początkowej 3,0 m/s, wzgórza o długości 85 m, przyspieszenia 1,2 m/s2 na wzgórzu i drogi o szerokości 25 m.
3-35.* Megan prowadzi obserwacje za pomocą teleskopu na dachu budynku. Zawiesiła dzwonek tuż nad krawędzią budynku. Poprosiła Antoniego, by tak rzucił piłką prosto w dzwonek, żeby ten zadzwonił dokładnie o północy.
(a) Jeśli Antoni może rzucić piłkę w górę z prędkością ?0, to wyprowadź wyrażenie określające, jak długo przed północą piłka musi znajdować się w odległości h poniżej dzwonka.
(b) Wyprowadź wyrażenie na prędkość, z jaką będzie poruszała się piłka, gdy uderzy w dzwonek.
(c) Oblicz obie powyższe wartości dla dzwonka znajdującego się 14,7 metra nad Antonim, który może rzucić piłką z prędkością 22 m/s. (Zauważ, że istnieją dwie takie wartości czasu. Jakiej sytuacji odpowiada fizycznie każda z nich?)
3-36.* Model rakiety wystrzelony pionowo z ziemi porusza się z przyspieszeniem a przez czas t1, po którym kończy się paliwo, ale rakieta nadal wznosi się na maksymalną wysokość i swobodnie spada na ziemię. Przyjmijmy, że opór powietrza jest pomijalny.
(a) Znaleźć prędkość ?1 rakiety, gdy skończy się paliwo.
(b) Znajdź jej wysokość h1 w tym momencie.
(c) Jaką dodatkową wysokość h2 osiągnie rakieta po wyczerpaniu paliwa?
(d) Ile czasu zajmie jej pokonanie tej dodatkowej wysokości?
(e) Jaką maksymalną wysokość osiągnie rakieta?
(f) Ile czasu zajmie rakiecie uderzenie w ziemię z maksymalnej wysokości?
(g) Jaki jest całkowity czas przebywania rakiety w powietrzu?
(h) Oblicz odpowiedzi na powyższe pytania dla rakiety, której początkowe przyspieszenie wynosi 120 m/s przez 1,70 s.
3-37. Kierowca przejeżdża odległość x z jednego miasta do drugiego w czasie t, a drogę powrotną pokonuje w czasie 0,75t.
(a) Jaka jest średnia prędkość dla całej podróży? (Przypomnijmy, że definicja średniej prędkości to
.)
(b) Oblicz średnią prędkość podróży w obie strony między miastami oddalonymi od siebie o 140 km, jeśli podróż w jedną stronę trwa 2,0 h.
3-38. Aby dotrzeć do swojej chaty, Tsing idzie ze średnią prędkością ? przez 30 minut, a następnie biegnie z prędkością 2? przez kolejne 30 minut.
(a) Napisz równanie na średnią prędkość Tsing podczas jej drogi do chaty.
(b) Oblicz średnią prędkość dla całej drogi przy prędkości chodu 1,0 m/s.
(c) Oblicz odległość między punktem początkowym a chatą.
3-39. Dennis jechał przez 1 h ze średnią prędkością ?, a następnie przez kolejną godzinę ze średnią prędkością 4?.
(a) Znajdź całkowitą średnią prędkość. (Przypomnijmy, że definicja średniej prędkości to
.)
(b) Oblicz jego ogólną średnią prędkość, jeśli jego średnia prędkość w pierwszej godzinie wynosi 25 km/h, a w drugiej godzinie jego średnia prędkość wynosi 100 km/h.
3-40. Załóżmy, że przejechałeś dystans x ze średnią prędkością ?, a następnie przejechałeś taki sam dodatkowy dystans x z prędkością 1,5?.
(a) Znajdź swoją średnią prędkość.
(b) Oblicz swoją średnią prędkość, jeśli przejedziesz 1,0 km z prędkością 28 km/h, a następnie przejedziesz 1,0 km z powrotem do punktu początkowego z prędkością 42 km/h.
3-41. Judy i jej pies Atti idą na poranny spacer do hotelu Vinoy, który znajduje się w odległości x. Judy idzie szybkim krokiem z prędkością ? w linii prostej, podczas gdy Atti biega tam i z powrotem między Judy a hotelem z prędkością V, aż oboje docierają do hotelu.
(a) Znajdź całkowitą drogę, jaką przebiegnie Atti.
(b) Oblicz całkowitą drogę tam i z powrotem przebytą przez Attiego, jeśli prędkość Attiego wynosi 4,5 m/s, prędkość Judy wynosi 1,5 m/s, a odległość przebyta przez Judy wynosi 150 m.
Wykaż, że - zadania dotyczące ruchu prostoliniowego
W poniższych zadaniach podano wartości liczbowe i należy podać odpowiedź do każdego z nich. Ważne jest, abyś pokazał, w jaki sposób doszedłeś do podanej odpowiedzi. Czasami podawanych jest więcej informacji, niż jest to wymagane. (Czy w życiu codziennym problemom nie towarzyszą dodatkowe informacje?) Zanim podstawisz wartości liczbowe, znajdź rozwiązanie z użyciem symboli.
3-42. Piłka stacza się po równi pochyłej o długości 3 m w czasie 1,5 s. Wykaż, że jej średnia prędkość wynosi 2 m/s.
3-43. Piłka o temperaturze 22°C została rzucona pionowo w górę z prędkością 14,7 m/s. Wykaż, że jej maksymalna wysokość wyniesie 11 m.
3-44. Samochód jadący po równej drodze jednostajnie zwiększa swoją prędkość od 0 m/s do 27,5 m/s w czasie 8,0 s. Wykaż, że w tym czasie pokonuje odległość 110 m.
3-45. Jajko o masie 40 g spada z gniazda znajdującego się na szczycie drzewa o wysokości 16 m. Wykaż, że uderzenie jajka o ziemię nastąpi po 1,8 s,
3-46. Kula staczająca się po równi pochyłej rozpoczyna ruch od stanu spoczynku i osiąga prędkość 12 m/s w czasie 3 s. Wykaż, że jej przyspieszenie wynosi 4 m/s2.
3-47. Myśliwiec F-14 Tomcat rozpędza się od spoczynku do prędkości 75 m/s w czasie 2,5 s. Wykaż, że jego przyspieszenie wynosi 30 m/s2.
3-48. Motorówka przyspiesza w linii prostej, od stanu spoczynku w stałym tempie 2,0 m/s2 przez czas 8,0 s. Wykaż, że w tym czasie pokonuje 64 m.
3-49. Na placu zabaw Fred zjeżdża ze zjeżdżalni o długości 5,0 m w czasie 2,0 s. Startuje od stanu spoczynku i przyspiesza jednostajnie. Wykaż, że jego przyspieszenie podczas zjazdu wynosi 2,5 m/s2.
3-50. Zefram jedzie na rolkach po wzniesieniu. Startuje od stanu spoczynku i jedzie przez 5,5 s, przyspieszając jednostajnie w tempie 3,5 m/s2.Wykaż, że przebyta droga wynosi 53 m.
3-51. Czerwona piłka rzucona w górę osiąga maksymalną wysokość 3,0 m. Wykaż, że jej prędkość początkowa wynosiła 7,7 m/s.
3-52. Will podrzuca piłeczkę golfową prosto w górę. Wykaż, że jeśli piłeczka zostanie podrzucona do góry z prędkością 18 m/s, to będzie w powietrzu krócej niż 4 s.
3-53. Carmelita wyrzuca piłkę baseballową prosto w powietrze i wraca ona do jej rękawicy po 3,0 s. Wykaż, że aby piłka wróciła do rękawicy w tym czasie, Carmelita musi nadać jej prędkość pionową około 15 m/s.
3-54. Wykaż, że upuszczona piłka pokona trzykrotnie większą drogę w drugiej sekundzie spadania niż w pierwszej.
3-55. Podczas erupcji niektórych wulkanów zmierzono, że duże głazy wyrzucane są w górę z prędkością około 1000 m/s. Wykaż, pomijając opór powietrza, że głazy te mogą osiągnąć wysokość ponad 50 km.
3-56. Pomarańczę wyrzucono w górę z prędkością 22 m/s. Wykaż, że 3,5 s później znajdzie się ona 17 m powyżej początkowej wysokości.
3-57. Niedźwiedź grizzly może biegać z maksymalną prędkością około 13 m/s. Dwa obozowiska są oddalone od siebie o 65 m. Wykaż, że niedźwiedź grizzly może przebiec z jednego obozowiska do drugiego w ciągu 5 s.
3-58. Elegancki samochód sportowy przyspiesza od prędkości 0 m/s do 28 m/s (100 km/h) ze średnim przyspieszeniem 7,0 m/s2. Wykaż, że czas przyspieszania wynosi 4,0 s.
3-59. Mały samolot startuje ze stanu spoczynku i osiąga prędkość startową ?, pokonując drogę d.
(a) Wykaż, że czas startu samolotu ze stanu spoczynku wynosi 2d/?.
(b) Wykaż, że przyspieszenie samolotu wynosi ?2/2d.
(c) Wykaż, że jeśli samolot ma prędkość startową 28 m/s i drogę startu 140 m, to czas startu wynosi 10 s, a przyspieszenie samolotu wynosi 2,8 m/s2.
3-60. Samochód przyspiesza jednostajnie od stanu spoczynku do prędkości 25 m/s w czasie 5,0 s. Wykaż, że samochód pokonuje odległość 63 m.
3-61. Prędkość orbitalna promu kosmicznego wynosi około 28 000 km/h. Wykaż, że z tą prędkością można by zrobić wycieczkę z Los Angeles do Nowego Jorku, czyli pokonać dystans 2462 mile (1 km = 0,621 mi) w 8,5 minuty.
3-62. Prom kosmiczny ląduje z prędkością około 220 mi/h i zatrzymuje się po po przebyciu około 800 m. Wykaż, że przyspieszenie promu wynosi około -6 m/s2 (1 mi = 1,61 km).
3-63. Wagon metra przyspiesza od stanu spoczynku w tempie 1,5 m/s2 przez 12 s, następnie utrzymuje stałą prędkość przez 38 s, a na koniec ma przyspieszenie -1,5 m/s2 przez 12 s, gdy zatrzymuje się na następnej stacji. Wykaż, że całkowita droga pokonana przez wagon metra wynosi 900 m.
3-64. Samochód wyścigowy jedzie z prędkością 45 m/s, przyspieszając w tempie 3,2 m/s2. Wykaż, że pokonanie 440 m zajmie mu 7,7 sekundy.
3-65. Balkon Lizzy znajduje się 4,2 m nad ziemią. Balkon ma barierkę o wysokości 1,1 m wzdłuż krawędzi. John opracował wyrzutnię, która wystrzeli tabliczkę czekolady na balkon, wyrzucając ją w górę i ponad barierkę balkonu.
(a) Wykaż, że minimalna prędkość pionowa czekolady wynosi 10,2 m/s.
(b) Wykaż, że czekolada będzie w powietrzu przez 1,52 s.
3-66. Phil i Mala biegną na 100 m i Mala zwycięża w czasie 12,8 s, podczas gdy Philowi przebiegnięcie tego dystansu zajmuje 13,6 s. Wykaż, że Mala wygrywa wyścig o 6 m.
3-67. Podczas wykonywania zwycięskiego rzutu z wyskoku Terrence podskakuje na wysokość około 0,6 m nad podłogę boiska. Wykaż, że czas jego unoszenia się wynosi 0,7 s.
3-68. Przy prędkości 60 km/h przejechanie kilometra zajmuje 60 s. Przy dwukrotnie większej prędkości (120 km/h) czas ten wynosi 30 s. Wykaż, że pokonanie kilometra w czasie 45 s wymaga prędkości 80 km/h.
3-69. Norma jedzie do celu ze średnią prędkością 40 km/h i wraca ze średnią prędkością 60 km/h. Wykaż, że jej średnia prędkość w podróży w obie strony wynosi 48 km/h (a nie 50 km/h!).
4/5Podstawy trygonometrii
Krótkie wprowadzenie do trygonometrii
Trygonometria łączy w sobie odrobinę geometrii z dużą dozą zdrowego rozsądku. Pozwala rozwiązywać problemy, które w innym przypadku byłyby nie do rozwiązania. Część trygonometrii, która będzie przydatna w tej książce, dotyczy zależności między długościami boków trójkąta prostokątnego.
Rozważmy następujące dwa podobne trójkąty prostokątne[7]:
Symbol ? to grecka litera "theta". Używamy ? do oznaczania kąta. Ponieważ trójkąty są podobne, kąt ? jest taki sam w obu trójkątach.
Interesującym faktem (związanym z podobieństwem trójkątów) jest to, że stosunek długości boku leżącego naprzeciwko kąta ? do długości przeciwprostokątnej daje ten sam wynik dla obu trójkątów:
=
Dla każdego trójkąta prostokątnego, który ma kąt ? o takiej samej mierze, ten stosunek ma taką samą
wartość. Temu stosunkowi nadajemy nazwę funkcja sinus kąta ? i zwykle
zapisujemy jako sin?. Dwie inne funkcje trygonometryczne, które okazują się przydatne, to:
w tym przykładzie
oraz
w tym przykładzie.
Możemy więc traktować sinus, cosinus i tangens jako funkcje pewnego kąta, ponieważ są one takie same dla każdego trójkąta prostokątnego zawierającego dany kąt.
Jeśli wybierzemy inny trójkąt prostokątny, to otrzymamy inny zestaw wartości tych funkcji:
Warto wyobrazić sobie, że ludzie narysowali każdy możliwy trójkąt prostokątny, zmierzyli wszystkie te współczynniki dla każdego możliwego kąta i zapisali te informacje w formie tablic trygonometrycznych albo w kalkulatorze, aby można było uzyskać do nich dostęp, naciskając klawisze sin, cos i tg (w rzeczywistości tak się tego nie robi, ale warto to sobie wyobrazić).
Przykładowe zadanie 1
Opierasz drabinę o długości 2,1 metra o ścianę w taki sposób, że tworzy kąt 65° z podłogą.
(a) Na jakiej wysokości na ścianie oparty jest wierzchołek drabiny?
Szukane: y = ? Możemy drabinę opartą o ścianę uznać za przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego.
Rozwiązanie: sin 65° = ; y = (2,1 m) sin 65° = 2,1 m ? 0,906 = 1,9026 m.
(b) Jak daleko od ściany znajduje się podstawa drabiny?
Rozwiązanie: x = ? Ze wzoru cos 65° = = (2,1 m) cos 65° = 2,1 m ? 0,423 = 0,89 m.
Przykładowe zadanie 2
Leżysz na równym podłożu i patrzysz na drzewo oddalone o 45 metrów. Aby zobaczyć wierzchołek drzewa, musisz spojrzeć pod kątem 32° w górę powyżej poziomu gruntu.
(a) Jak wysokie jest drzewo?
Szukane: y = ? (y jest wysokością drzewa)
Modelujemy sytuację jako trójkąt prostokątny.
y jest bokiem trójkąta przeciwległym do kąta 32°.
Znamy kąt i bok przylegający do kąta 32°.
Ze wzoru tg ? =
? y = tg? ? 45 m.
Rozwiązanie: y = (tg 32°)(45 m) = (0,625)(45 m) = 28,1 m ? 28 m.
(b) Wbiłeś słupek w ziemię trochę krzywo, tak, że słupek tworzy z ziemią kąt 83°. Wystająca część słupka ma 180 cm długości. Jak długi jest cień słupka, gdy w południe Słońce znajduje się bezpośrednio nad głową?
Szukane: x = ? (x oznacza długość cienia słupka)
Ponownie narysuj trójkąt prostokątny, gdzie x jest bokiem trójkąta przylegającym do kąta. Znamy przeciwprostokątną i kąt.
Ze wzoru cos? =
? x = cos ? ? 180 cm.
Rozwiązanie: x = (cos 83°)(180 cm) = (0,122)(180 cm) = 22 cm.
Odwrotne funkcje trygonometryczne
Rozważmy ponownie jeden z trójkątów, którym już się zajmowaliśmy:
Wiemy, że dla powyższego trójkąta . Ale jak znaleźć ? ?
Tak naprawdę pytamy: Jaki to kąt, którego sinus wynosi 0,60?
Na to pytanie odpowiadają odwrotne funkcje trygonometryczne. Odwrotność sinusa liczby 0,60, zapisana jako arcsin (0,60), daje w wyniku kąt, którego sinus wynosi 0,60. Podobnie arccos (0,80) daje kąt, którego cosinus wynosi 0,80, a arctg (0,75) daje kąt, którego tangens wynosi 0,75.
W przypadku większości kalkulatorów można uzyskać funkcję odwrotną, naciskając najpierw odpowiedni przycisk, a następnie żądaną funkcję trygonometryczną. Powinieneś to potwierdzić na swoim kalkulatorze lub skorzystać z tablic trygonometrycznych.
? = arcsin (0,60) = arccos (0,80) = arctg (0,75) = 36,9° że ? 37°.
Zadania praktyczne
Biorąc pod uwagę bok i kąt na rysunkach (a) i (b), znajdź pozostałe dwa boki.
Biorąc pod uwagę dwa boki na rysunkach (c) i (d), znajdź brakujące kąty i boki.
Rozwiązania:
(a) x = ? h = ?
(b) x = ? h = ?
(c) ? = ? ? = ?; h = ?
(d) y = ? x = ?
Przemieszczenie
Przykładowe zadanie 3
Załóżmy, że jesteś na pustyni i szukasz pewnego miasta. Najbliższe miasto znajduje się 5,0 km na północ, a miasto, którego szukasz, znajduje się 8,0 km na zachód od niego. Zamiast iść najpierw od miejsca, w którym się znajdujesz, do miasta na północy, a następnie do szukanego miasta leżącego na zachód od niego, decydujesz się pójść skrótem bezpośrednio do tego drugiego miasta.
(a) W jakim kierunku powinieneś iść?
Rozwiązanie: Ze schematu wynika, że , więc nasze ? to kąt, którego tangens wynosi 1,6, a zatem jest odwrotnością tangensa 1,6, czyli arctg (1,6). Zatem ? = arctg (1,6). Kalkulator lub tablice trygonometryczne powiny dać odpowiedź 58°.
Kierunek powinien wynosić 58° na zachód od północy.
(b) Jaką odległość "zaoszczędzisz", wybierając ten skrót?
Rozwiązanie: Aby obliczyć odległość, można użyć wzoru Pitagorasa
Przejedziesz więc ? 9,4 km. Pozwala to zaoszczędzić (5,0 km + 8,0 km) - 9,4 km, czyli 3,6 km wędrówki przez pustynię. Znajomość trygonometrii może skrócić o godzinę marsz w gorącym słońcu!
Przykładowe zadanie 4
Przypuśćmy, że dotarłeś do szerokiej rzeki, która porusza się ze stałą prędkością 3,0 km/h. Pewien mężczyzna wynajmuje łódź, która może płynąć z prędkością 7,0 km/h. Miłość twojego życia czeka na ciebie dokładnie naprzeciwko po drugiej stronie rzeki. W jakim kierunku należy skierować łódź, aby jak najszybciej dotrzeć do celu?
Rozwiązanie: Gdybyś płynął łodzią przez 1 godzinę, przepłynąłbyś 7 km w stosunku do rzeki, ale rzeka zniosłaby cię 3 km w dół rzeki. Chcesz płynąć prosto, więc musisz skierować łódź nieco w górę rzeki, jak pokazano na rysunku.
Z rysunku wynika, że żądany kąt ma sinus równy 3,0/7,0. To znaczy,
Przykładowy problem 5
Rozważmy następujące trzy sytuacje. W każdym przypadku mamy wagonik o masie 1000 kg poruszający się w prawo, ciągnięty siłą 100 N w pokazanych kierunkach[8]. Jak przyłożona siła w każdym przypadku wpływa na ruch wagonu?
Rozwiązania:
Przypadek 1:
Cała siła 100 N działa poziomo i przyczynia się do przyspieszania wózka.
Przypadek 2:
Cała siła 100 N nie przyczynia się do przyspieszania wózka. Siła ta ciągnie wózek w górę, ale ani nie podnosi go z ziemi, ani nie przyspiesza, ani nie spowalnia.
Przypadek 3:
Wózek przyspieszy nieco, ale mniej niż w przypadku 1, ponieważ tylko skierowana do przodu część siły 100 N (składowa pozioma) przyczynia się do przyspieszania wózka.
Siła 100 N działająca pod kątem 37° ma dwie składowe: poziomą składową x (która przyczynia się do przyspieszania wózka) i pionową składową y (która w tym przypadku nie przyspiesza wózka).
Wielkość składowej poziomej Fx można znaleźć ze wzoru
.
Składowa pozioma siły działającej na wózek jest mniejsza od 100 N, więc przyspieszenie wózka jest mniejsze niż w przypadku 1.
Zadania dotyczące składowych wektora
Dla każdego z tych zadań należy narysować wektor siły działającej i naszkicować jej składowe przed rozwiązaniem zadania.
4&5-1. Joe pcha kosiarkę z siłą F skierowaną w dół wzdłuż rączki urządzenia. Siła pchająca tworzy kąt ? z powierzchnią ziemi.
(a) Jaka jest wielkość składowej siły F równoległej do ziemi?
(b) Jaka jest wielkość składowej siły F prostopadłej do ziemi?
(c) Znajdź wielkość poziomej i pionowej składowej siły, jeśli Joe naciska uchwyt kosiarki siłą 55 N skierowaną pod kątem 53° do poziomu.
4&5-2. W wietrzny dzień balon wypełniony helem wywiera siłę T w górę na sznurek mocujący balon do ziemi. Wiatr sprawia, że sznurek balonu tworzy kąt ? w stosunku do jego pierwotnego położenia pionowego.
(a) Jak duża jest pozioma składowa siły działającej na balon?
(b) Jak duża jest pionowa składowa siły działającej na balon?
(c) Oblicz poziomą i pionową składową siły 1,2 N działającej na balon, gdy sznurek tworzy kąt 20° do początkowego położenia pionowego.
4&5-3. Bryła lodu o ciężarze W zsuwa się po stoku nachylonym pod kątem ?.
(a) Jak duża jest składowa ciężaru działająca równolegle do zbocza?
(b) Jak duża jest składowa ciężaru działająca prostopadle do zbocza?
(c) Znajdź składowe ciężaru: równoległą i prostopadłą do stoku o nachyleniu 26°, dla bryły lodu o masie 200 N.
4&5-4. Juan rzuca owoc kiwi z prędkością początkową ?0 pod kątem ? do podłoża.
(a) Jaka jest wielkość składowej x (poziomej) początkowej prędkości kiwi?
(b) Jaka jest wielkość składowej y (pionowej) początkowej prędkości kiwi?
(c) Oblicz składowe x i y początkowej prędkości kosmatego owocu rzuconego z prędkością 18,0 m/s pod kątem 17° do podłoża.
