28. Promieniowanie elektromagnetyczne

28.1. Elektromagnetyzm

Najbardziej dramatyczne chwile w rozwoju fizyki to te, w których następują wielkie syntezy. Nagle okazuje się, że zjawiska, które poprzednio sprawiały wrażenie niezwiązanych ze sobą, są różnymi aspektami tego samego procesu. Historia fizyki jest historią takich właśnie syntez, a podstawą sukcesu fizyki jako nauki jest głównie to, że jesteśmy zdolni do przeprowadzania takich syntez.

Najbardziej chyba dramatyczna chwila w rozwoju fizyki w XIX w. przydarzyła się gdzieś w siódmym dziesiątku lat owego wieku J.C. Maxwellowi, kiedy zestawiał prawa elektryczności i magnetyzmu z prawami zachowania się światła. Wynikiem tego było częściowe poznanie własności światła, owego pradawnego i subtelnego żywiołu, tak ważnego i tajemniczego, że przy pisaniu Księgi Rodzaju konieczne było ułożenie dla niego specjalnego aktu stwórczego. Maxwell dokonawszy swego odkrycia, mógł powiedzieć: "Niech będzie elektryczność i magnetyzm, i niech się stanie światło!"

Ten kulminacyjny moment był od dawna przygotowany przez stopniowe odkrywanie i rozwijanie praw elektryczności i magnetyzmu. Historię tę zachowamy do szczegółowego omówienia w drugim tomie. Pokrótce mówiąc, jest ona następująca. Odkrywane stopniowo własności elektryczności i magnetyzmu, elektrycznych sił przyciągania i odpychania, a także sił magnetycznych, doprowadziły do wniosku, że siły te są wprawdzie skomplikowane, ale wszystkie zanikają z odwrotnością kwadratu odległości. W dostatecznie dużych odległościach wpływ jednego układu ładunków na drugi jest bardzo mały. Maxwell zauważył, że odkryte przed nim równania i prawa były wzajemnie niezgodne, jeśli chciało się je zebrać razem. Aby uzyskać wewnętrzną zgodność całego układu, musiał on dopisać do swoich równań dodatkowy wyraz. Wyraz ten pozwolił wysnuć zaskakujący wniosek, że pola elektryczne i magnetyczne będą częściowo zanikać znacznie wolniej niż odwrotność kwadratu odległości, a mianowicie jak odwrotność jej pierwszej potęgi! Tak więc Maxwell zrozumiał, że prądy elektryczne w jednym miejscu mogą wpływać na inne odległe ładunki i przepowiedział wynikające stąd skutki, z którymi dzisiaj stykamy się na co dzień: transmisje radiowe, radar i tak dalej.

To przecież cudownie, że kogoś mówiącego w Europie można usłyszeć w Los Angeles, w odległości tysięcy kilometrów, wyłącznie dzięki oddziaływaniom elektrycznym. Jak do tego może dochodzić? Dzieje się tak, ponieważ pola zmieniają się nie jak odwrotność kwadratu odległości, ale tylko jak odwrotność jej pierwszej potęgi. Stwierdzono wreszcie, że nawet samo światło stanowi rozciągające się na wielkich odległościach oddziaływanie elektryczne i magnetyczne wytwarzane przez niewiarygodnie szybkie drgania elektronów w atomach. Wszystkie te zjawiska łączymy w pojęciu promieniowania lub dokładniej - promieniowania elektromagnetycznego, ponieważ istnieją jeszcze, jeden czy dwa, inne rodzaje promieniowania. Prawie jednak zawsze słowo promieniowanie oznacza promieniowanie elektromagnetyczne.

Tak oto cały wszechświat jest wewnętrznie powiązany. Ruchy atomów odległej gwiazdy wywierają z tej wielkiej odległości wpływ wystarczający na to, aby wprawić w ruch elektrony w naszym oku. W ten sposób dowiadujemy się czegoś o gwiazdach. Gdyby to prawo nie istniało, bylibyśmy dosłownie odcięci od świata zewnętrznego! Tymczasem drgania elektryczne w galaktyce odległej o 5 miliardów lat świetlnych - w najdalszym znalezionym dotąd obiekcie - mogą jeszcze w znaczny i wykrywalny sposób wpływać na prądy w wielkim "półmisku" radioteleskopu. Właśnie dzięki temu dostrzegamy gwiazdy i galaktyki.

Takie oto ważne zjawisko będzie przedmiotem rozważań obecnego rozdziału. Na wstępie naszego kursu fizyki naszkicowaliśmy ogólny obraz świata, a ponieważ teraz jesteśmy już lepiej przygotowani do zrozumienia niektórych jego aspektów, znowu się nimi zajmiemy, ale już bardziej szczegółowo. Zacznijmy od opisu stanu, w jakim się znajdowała fizyka w końcu XIX w. Cała ówczesna wiedza o prawach podstawowych dawała się zebrać następująco.

Przede wszystkim istniały prawa dla sił; jedną z sił opisywało prawo ciążenia, które już przedstawialiśmy wiele razy: siłę działającą na ciało o masie m, pochodzącą od innego ciała o masie M, opisuje wzór:

gdzie jest wektorem jednostkowym skierowanym od m do M, a r jest odległością między nimi.

Dalej, prawa elektryczności i magnetyzmu, takie jak je znano w końcu XIX w., były następujące: siły elektryczne działające na ładunek q mogą być opisane za pomocą dwu pól oznaczonych E i B oraz za pomocą prędkości v ładunku q równaniem

Aby uzupełnić to prawo, musimy jeszcze dopisać wzory na pola E i B w określonych warunkach. Jeśli ładunków jest więcej, zarówno pole E, jak i B jest sumą przyczynków pochodzących od poszczególnych ładunków. Jeśli więc uda się nam znaleźć pola E i B wytwarzane przez pojedynczy ładunek, wystarczy potem dodać wszystkie przyczynki od wszystkich ładunków we wszechświecie, aby otrzymać całkowite pola E i B! Na tym polega zasada superpozycji.

Jak wygląda wzór na pole elektryczne i magnetyczne wytwarzane przez pojedynczy ładunek? Okazuje się, że sprawa jest bardzo skomplikowana i żeby ją zrozumieć, potrzeba długich studiów i pewnej wprawy. Ale nie to jest istotne. Napiszemy teraz wspomniane prawo po to tylko, aby czytelnik dostrzegł w nim piękno przyrody polegające na tym, że można zebrać całą podstawową wiedzę na jednej kartce papieru, używając zapisu, z którym już jesteśmy obyci. Prawo dla pola pojedynczego ładunku jest, o ile wiemy, pełne i ścisłe (nie biorąc pod uwagę mechaniki kwantowej), ale ma postać raczej skomplikowaną. Nie będziemy teraz badać wszystkich jego aspektów. Zapiszemy je po to tylko, aby mieć o nim pojęcie, aby pokazać, że w ogóle można je napisać i że już teraz możemy zobaczyć, jak ono wygląda. W istocie najwygodniej zapisywać ścisłe prawa elektryczności i magnetyzmu nie tak, jak to teraz zrobimy, ale za pomocą tak zwanych równań pola, które poznamy lepiej w tomie drugim. Ich matematyczny zapis jest jednak odmienny i nowy i dlatego wypiszemy nasze prawo w postaci niewygodnej dla rachunków, ale za to w znanym już zapisie.

Pole elektryczne E dane jest wzorem

Co mówią nam poszczególne wyrazy wzoru? Weźmy pierwszy wyraz: . Oczywiście, jest to znane nam już prawo Coulomba: q oznacza ładunek wytwarzający pole, - wektor jednostkowy w kierunku od punktu P, w którym mierzymy pole E, r zaś odległość od punktu P do ładunku q. Prawo Coulomba jest jednak błędne. Odkrycia XIX w. pokazały, że oddziaływania nie mogą przenosić się szybciej niż z pewną podstawową szybkością c, którą obecnie nazywamy prędkością światła. Prawo Coulomba opisywane przez pierwszy tylko wyraz jest niepoprawne, nie tylko dlatego, że nie można wiedzieć, gdzie ładunek się teraz znajduje i w jakiej jest teraz odległości, ale także dlatego, że wpływać na pole w danym miejscu i czasie może jedynie zachowanie się ładunków w przeszłości. Jak odległa ma być ta przeszłość? Opóźnieniem w czasie, czyli tak zwaną retardacją, nazywamy czas potrzebny na to, aby z prędkością c dostać się od ładunku od punktu pola P. Opóźnienie wynosi więc .

Aby uwzględnić to opóźnienie w czasie, stawiamy przy r znak  ("prim") oznaczający odległość w chwili, gdy sygnał przybywający teraz do P opuszczał ładunek q. Wyobraźmy sobie na chwilę, że ładunek niesie światło, które może przybyć do punktu P tylko z prędkością c. Gdy zatem spoglądamy na ładunek q, oczywiście widzimy nie punkt, w którym znajduje się on teraz, ale w którym się znajdował w pewnej wcześniejszej chwili. W naszym wzorze pojawia się więc pozorny kierunek - kierunek wzięty z przeszłości, zwany kierunkiem retardowanym. Pojawia się też opóźniona odległość . Byłoby to łatwe do zrozumienia, gdyby nie to, że jest nieprawdziwe. Cała sprawa jest znacznie bardziej złożona.

We wzorze widzimy jeszcze kilka wyrazów. Następny wyraz pokazuje, z grubsza mówiąc, jak przyroda próbuje wziąć pod uwagę fakt opóźnienia zjawiska. Mówi on, że powinniśmy obliczyć opóźnione pole kulombowskie i dodać do niego poprawkę równą iloczynowi szybkości zmiany pola przez opóźnienie. Przyroda jak gdyby próbuje ocenić, jakie ma być pole w obecnej chwili, biorąc szybkość jego zmiany i mnożąc ją przez opóźnienie. We wzorze widzimy jeszcze trzeci wyraz - drugą pochodną czasową jednostkowego wektora skierowanego do ładunku. W ten sposób wyczerpaliśmy cały wzór i to jest wszystko, co się tyczy pola elektrycznego pochodzącego od dowolnie poruszającego się ładunku.

Pole magnetyczne dane jest wzorem

Znowu napisaliśmy to tylko w celu pokazania piękna przyrody lub, inaczej mówiąc, potęgi matematyki. Nie staramy się zrozumieć, dlaczego można napisać tak wiele na tak małej ppowierzchni, ale przecież wzory (28.3) i (28.4) opisują mechanizm, dzięki któremu pracują prądnice elektryczne działa światło, zachodzą wszystkie zjawiska elektryczne i magnetyczne. Dla uzupełnienia całej sprawy powinniśmy oczywiście powiedzieć coś jeszcze o zachowaniu się wchodzących w grę ośrodków materialnych, o własnościach materii, które nie są poprawnie opisane przez wzór (28.3).

Aby zakończyć nasz opis dziewiętnastowiecznego świata fizyki, musimy jeszcze wspomnieć o innej syntezie, której dokonano w tym stuleciu. Była to synteza zjawisk ciepła i mechaniki, a Maxwell i w niej miał swój wielki udział. Będziemy się wkrótce zajmować i tym tematem.

W XX wieku okazało się, że potrzebne są uzupełnienia. Odkryto, że prawa dynamiki Newtona są zupełnie fałszywe, a dla ich poprawienia należało wprowadzić mechanikę kwantową. Prawa Newtona są słuszne w przybliżeniu, wtedy gdy rozmiary obiektów materialnych są dostatecznie duże. Owe prawa mechaniki kwantowej zostały zupełnie niedawno połączone z prawami elektryczności w jeden układ praw zwany elektrodynamiką kwantową. Odkryto ponadto liczne nowe zjawiska, z których pierwszym była promieniotwórczość. Odkryta przez Becquerela w 1898 r. jakby wkradła się jeszcze do XIX w. Odkrycie zjawiska promieniotwórczości doprowadziło do powstania naszej wiedzy o jądrach atomowych i o nowym rodzaju sił, które nie są ani grawitacyjne, ani elektryczne. Chodzi tu o nowe cząstki przejawiające się w różnych oddziaływaniach. Zagadnienie to nie zostało jeszcze dotąd rozwikłane.

Dla dbających o ścisłość, tych, którzy wiedzą więcej (np. dla profesorów, którym przyjdzie czytać tę książkę), trzeba dodać, że nie jest zupełnie dokładne mówienie o wzorze (28.3) jako o pełnym wyrażeniu wiedzy o elektrodynamice. Do końca XIX w. nie został mianowicie w pełni rozwiązany pewien problem. Usiłując obliczyć pole od wszystkich ładunków, włączając w to i ten ładunek, na który ma działać pole, natrafiamy na kłopot, dzieląc na przykład jakieś wyrażenie przez odległość ładunku od siebie samego, wynosi ona bowiem zero. Kwestia, jak poradzić sobie z częścią pola, wytwarzaną przez ten ładunek, na który pole ma działać, nie jest jeszcze rozwiązana i do dzisiaj. Pozostawiamy ją więc, tak jak jest. Nie mając jeszcze całkowitego rozwiązania zagadki, będziemy jej unikać tak długo, jak tylko się da.

28.2. Promieniowanie

Tak oto w skrócie wygląda obraz świata. Posłużymy się nim teraz podczas omawiania zjawisk zwanych promieniowaniem. W tym celu musimy wybrać z równania (28.3) tylko te wyrazy, które zmieniają się jak odwrotność odległości, a nie jak odwrotność jej kwadratu. Gdy je w końcu znajdziemy, okażą się one tak proste w swej postaci, że uzasadnione będzie badanie optyki i elektrodynamiki w sposób elementarny, traktując rozważaną część wzoru jako "prawo" pola elektrycznego, wytwarzanego przez poruszający się, odległy ładunek. Na razie potraktujemy to prawo jako dane, a w następnym tomie poznamy je bardziej szczegółowo.

Pierwszy z wyrazów występujących we wzorze (28.3) zachowuje się oczywiście jak odwrotność kwadratu odległości, a drugi stanowi tylko poprawkę do opóźnienia. Łatwo więc pokazać, że oba te wyrazy zmieniają się jak odwrotność kwadratu odległości. Wszystkie interesujące nas efekty pochodzą od wyrazu trzeciego, który wcale nie jest taki skomplikowany. Oto co nam ten wyraz daje: spójrzmy na ładunek i zastanówmy się nad kierunkiem wektora jednostkowego (którego koniec możemy zrzutować na powierzchnię kuli jednostkowej). Gdy ładunek kręci się dookoła, wektor jednostkowy kołysze się, my zaś interesujemy się jego przyspieszeniem. I to wszystko. Wobec tego wzór

jest sformułowaniem praw promieniowania. Zawiera on bowiem jedyny ważny wyraz dla odległości wystarczająco dużych na to, aby pola zmieniały się jak odwrotność odległości (wyrazy zachowujące się jak odwrotność kwadratu odległości wygasają na tyle, że nie trzeba się nimi interesować).

Zajmijmy się teraz bardziej wnikliwie wzorem (28.5) i zobaczmy, co on oznacza. Załóżmy, że obserwujemy z pewnej odległości dowolnie poruszający się ładunek. Wyobraźmy sobie na chwilę, że został on w pewien sposób "zaświecony" (chociaż właśnie staramy się wytłumaczyć zjawisko światła) i widzimy go jako mały biały punkcik. Punkcik ten porusza się dookoła. Nie widzimy jednak dokładnie, jak biegnie on teraz, w danej właśnie chwili, z powodu opóźnienia, o którym mówiliśmy. To, co obserwujemy, jest jego ruchem wcześniejszym. Jednostkowy wektor wskazuje kierunek pozornego położenia ładunku. Koniec wektora porusza się oczywiście po torze lekko zakrzywionym, tak że jego przyspieszenie ma dwie składowe. Jedna - to składowa transwersalna, ponieważ koniec wektora porusza się w dół i w górę, a druga - to składowa radialna, ponieważ wektor stale leży na kuli. Łatwo pokazać, że ta ostatnia składowa jest znacznie mniejsza i dla bardzo dużych r zmienia się jak odwrotność kwadratu r. Wyobraźmy sobie bowiem, że nasze źródło odsuwamy coraz dalej. Kołysanie się wektora będzie coraz to mniej widoczne, odwrotnie proporcjonalnie do odległości, natomiast radialna składowa przyspieszenia będzie się zmieniała znacznie szybciej. Do celów praktycznych musimy więc zrzutować ruch na płaszczyznę w odległości jednostkowej. W ten sposób dochodzimy do następującej reguły: Wyobraźmy sobie, że patrzymy na poruszający się ładunek i wszystko widzimy opóźnione - tak jak widzi to malarz starający się namalować jakąś scenę na ekranie w odległości jednostkowej. Prawdziwy malarz nie bierze jednak pod uwagę faktu, że światło porusza się z pewną szybkością, ale maluje świat tak, jak go widzi. Zastanówmy się, jak będzie tutaj wyglądał jego obraz. Zobaczymy punkcik przedstawiający ładunek poruszający się dookoła na obrazie. Przyspieszenie tej kropki jest proporcjonalne do pola elektrycznego. I to jest wszystko, czego potrzebujemy.

Tak więc równanie (28.5) stanowi pełny i poprawny wzór dla promieniowania; nawet wszystkie efekty relatywistyczne są w nim zawarte. Często jednak chcemy stosować wzór w jeszcze prostszych warunkach, w których ładunki przesuwają się niewiele ze stosunkowo małą prędkością. Poruszając się powoli, nie oddalają się znacznie od punktu wyjścia, tak że opóźnienie jest praktycznie stałe. Prawo staje się wówczas jeszcze prostsze, ponieważ opóźnienie jest ustalone. Wtedy możemy sobie wyobrazić, że ładunek wykonuje niewielkie ruchy w praktycznie stałej odległości. Opóźnienie w odległości r wynosi . Wobec tego nasza reguła staje się następująca: jeżeli naładowany przedmiot wykonuje małe ruchy i poprzecznie przesuwa się o odległość , kąt, o który przesuwa się wektor , wynosi , a ponieważ r jest praktycznie stałe, więc składowa x-owa jest po prostu przyspieszeniem samego x wziętym we wcześniejszym czasie podzielonym przez r. W ten sposób dostajemy wreszcie szukane prawo, które brzmi:

Ważna jest tylko składowa , prostopadła do kierunku obserwacji. Zobaczymy, dlaczego tak się dzieje. Jeżeli ładunek porusza się tam i z powrotem dokładnie w naszym kierunku, to jednostkowy wektor w tym kierunku nie kołysze się wcale i nie doznaje przyspieszenia. A więc ważny jest jedynie ruch poprzeczny, tylko to przyspieszenie, które widzimy zrzutowane na ekran.

26. Optyka: zasada najkrótszego czasu

26.1. Światło

Oto pierwszy z cyklu rozdziałów poświęconych promieniowaniu elektromagnetycznemu. Światło widzialne stanowi tylko małą część rozległego widma fal podobnych do światła, przy czym rozmaite części tego widma charakteryzują się różnymi wartościami pewnej zmiennej wielkości, którą można nazwać "długością fali". W miarę tego, jak zmienia się ona w zakresie fal widzialnych, światło w sposób widoczny zmienia barwę od czerwieni do fioletu. Chcąc zaś systematycznie badać całe widmo, poczynając od fal o dużych długościach w stronę fal o długościach coraz to mniejszych, powinniśmy zacząć od fal nazywanych zwykle falami radiowymi. W technice fale radiowe otrzymuje się w szerokim zakresie długości fali. Mogą być one nawet dłuższe od fal używanych do stałych transmisji radiowych; w regularnych programach korzystamy z fal o długości około 500 m. Po nich następują tak zwane "fale krótkie" (tzn. fale radarowe), fale milimetrowe i tak dalej. Między kolejnymi zakresami długości fali nie ma właściwie żadnych granic, ponieważ przyroda nie zna ostrych odgraniczeń. Wszelka liczbowa charakterystyka związana z daną nazwą fal jest tylko orientacyjna, podobnie jak i same nazwy nadawane poszczególnym zakresom.

Dalej, po długiej drodze przez fale milimetrowe dochodzimy wreszcie do obszaru fal zwanego podczerwienią, a jeszcze dalej - do widma widzialnego. Przeszedłszy na drugi jego kraniec, dochodzimy do obszaru zwanego nadfioletem. Tam, gdzie się kończy nadfiolet, zaczyna się obszar promieniowania rentgenowskiego, ale nie możemy dokładnie określić miejsca, w którym to następuje: dzieje się to przy około 10 m, czyli 10 m. Jest to obszar "miękkich" promieni rentgenowskich, po nich następuje obszar promieni rentgenowskich zwykłych i wreszcie promieni bardzo twardych; dalej mamy obszar promieni , które się rozciągają w obszar coraz to mniejszych wartości długości fal.

W tym ogromnym zakresie długości fal istnieją co najmniej trzy zakresy szczególnie ciekawe ze względu na dokonywane w nich przybliżenia. W jednym z nich spełniony jest warunek, który mówi, że długości fal są bardzo małe w porównaniu z rozmiarami urządzeń służących do ich badania, a ponadto energie fotonów (w języku teorii kwantów) są małe w porównaniu z czułością energetyczną przyrządu. Gdy warunki te są spełnione, możemy dokonać pierwszego przybliżenia zwanego optyką geometryczną. Jeżeli zaś długości fal są porównywalne z rozmiarami przyrządów, co trudno osiągnąć w przypadku światła, ale łatwiej w przypadku fal radiowych, i jeżeli energię fotonu nadal można pominąć, bardzo użyteczne przybliżenie polega na uwzględnieniu charakteru falowego i pominięciu mechaniki kwantowej. Metoda ta oparta jest na klasycznej teorii promieniowania elektromagnetycznego, którą omówimy w jednym z dalszych rozdziałów. Gdy przejdziemy dalej, do fal o bardzo małej długości, których charakter falowy możemy pominąć, ale których fotony mają bardzo dużą energię w porównaniu z czułością naszego przyrządu, sprawy znowu staną się proste. Będziemy mieli prosty obraz fotonowy, którym zajmiemy się tylko pobieżnie. Pełnego jednak obrazu, łączącego wszystkie te zjawiska w jednym modelu, długo jeszcze nie będziemy mieli.

W tym rozdziale ograniczymy się do omówienia obszaru fal, w którym możemy stosować prawa optyki geometrycznej. Zapominamy więc teraz o długości fali i o fotonowym charakterze światła, do spraw tych wrócimy jednak we właściwym czasie. Nie zastanawiamy się zatem teraz wcale nad tym, czym jest światło, ale po prostu badamy jak ono się zachowuje w skali dużej w porównaniu z jego długością fali. Wszystko to mówimy, aby podkreślić, że będziemy rozważać tylko bardzo grube przybliżenie. Metoda podana w tym rozdziale jest jedną z tych, których potem będziemy musieli się "oduczać". Oduczenie to nastąpi jednak bardzo szybko, ponieważ prawie zaraz przejdziemy do bardziej dokładnej metody.

Optyka geometryczna, mimo że jest tylko przybliżeniem, ma bardzo duże znaczenie praktyczne, a przy tym jest ogromnie ciekawa ze względów historycznych. Temat ten ujmiemy więc może bardziej od strony historycznej niż inne, aby dać pojęcie o rozwoju teorii lub idei fizycznej.

Zacznijmy od stwierdzenia, że światło jest oczywiście dobrze wszystkim znane i to od niepamiętnych czasów. Pojawia się jednak od razu pytanie: w wyniku jakiego procesu w ogóle widzimy światło? Teorii wyjaśniających było wiele, ale ostatecznie ustaliła się jedna, według której w procesie widzenia uczestniczy coś, co wychodzi z przedmiotów i wchodzi do oka. Z poglądem tym jesteśmy oswojeni od tak dawna, że wprost nie możemy sobie wyobrazić, jak niektórzy bardzo inteligentni ludzie mogli proponować teorie przeciwstawne, według których na przykład coś wychodzi z oka i "wymacuje" przedmiot. Pewne inne ważne spostrzeżenia pozwalają nam stwierdzić, że światło, przechodząc z jednego miejsca do drugiego, rozchodzi się po liniach prostych, gdy nic mu nie stoi na drodze, i że promienie świetlne, jak się zdaje, nie przeszkadzają sobie wzajemnie. Znaczy to, że światło porusza się wprawdzie w przestrzeni we wszystkich kierunkach, ale światło przechodzące w poprzek naszej linii wzroku nie wpływa na światło przychodzące do nas od jakiegoś przedmiotu. Był to kiedyś jeden z najpotężniejszych argumentów przeciwko teorii korpuskularnej; posługiwał się nim Huygens. Gdyby światło było pękiem lecących strzał, jakże mogłyby z taką łatwością przechodzić przezeń inne strzały? Takie filozoficzne argumenty nie mają jednak wielkiego znaczenia. Zawsze może się znaleźć ktoś, kto powie, że światło jest zrobione ze specjalnych strzał, które wzajemnie przenikają przez siebie!

26.2. Odbicie i załamanie

Powyższe rozważania dają wystarczające wyobrażenie o podstawowej idei optyki geometrycznej - czas teraz na zgłębienie jej związków ilościowych. Dotąd rozważaliśmy światło rozchodzące się po liniach prostych między dwoma punktami; zbadajmy teraz, jak zachowuje się światło, gdy natrafia na różne ośrodki materialne. Najprostszym takim przedmiotem jest zwierciadło. Obowiązuje dla niego prawo mówiące, że gdy światło pada na zwierciadło, nie biegnie dalej po linii prostej, ale odbija się po nowej linii prostej, która się zmienia, gdy zmieniamy nachylenie zwierciadła. W starożytności stawiano sobie pytanie: jaki związek zachodzi między dwoma wchodzącymi tu w grę kątami? Związek ten jest bardzo prosty i już dawno go odkryto. Światło, padając na zwierciadło, biegnie tak, że kąty między każdą z wiązek a zwierciadłem są sobie równe. Z pewnych powodów przyjęto mierzyć kąty względem normalnej do powierzchni zwierciadła. Wobec tego tak zwane prawo odbicia brzmi:

(rys. 26.1). Tutaj sprawa jest dość prosta, ale problem staje się trudniejszy, gdy światło przechodzi z jednego ośrodka do drugiego, na przykład z powietrza do wody; widzimy, że i wtedy nie biegnie ono po tej samej linii prostej. Promień w wodzie jest nachylony względem kierunku swojego rozchodzenia się w powietrzu (rys. 26.2). Jeśli dobieramy kąt tak, aby promień padał prawie pionowo w stosunku do powierzchni wody, kąt "załamania" jest bardzo niewielki. Jeżeli jednak zmienimy nachylenie wiązki światła o spory kąt, kąt odchylenia staje się bardzo duży. Powstaje pytanie: jaki jest związek między jednym kątem a drugim? Również nad tą sprawą przez długi czas zastanawiali się starożytni, ale w tym wypadku nigdy nie udało im się znaleźć odpowiedzi! Jest to jednak jedno z niewielu zagadnień całej greckiej fizyki, dla którego można znaleźć zestawienie pewnych wyników doświadczalnych. Klaudiusz Ptolemeusz sporządził wykaz kątów w wodzie, odpowiadających kilku różnym kątom w powietrzu. W tabeli 26.1 podano wartości kątów w powietrzu (mierzone w stopniach) i odpowiednie kąty zmierzone w wodzie. (Mówi się zwykle, że uczeni greccy nigdy nie przeprowadzali doświadczeń. Ale nie znając właściwego prawa, nie mogliby bez doświadczeń otrzymać tej tabeli wartości. Należy jednak zauważyć, że wartości te nie stanowią starannych, niezależnych pomiarów dla każdego kąta z osobna. Są one liczbami interpolowanymi z kilku tylko pomiarów. Sądzimy tak dlatego, że leżą dokładnie na paraboli.)

Tabela 26.1

Kąt w wodzie Kąt w powietrzu 10° 8° 20° 15?° 30° 22? ° 40° 28° 50° 35° 60° 40?° 70° 45° 80° 50°

Tabela 26.2

Kąt w wodzie Kąt w powietrzu 10° 7?° 20° 15° 30° 22c 40° 29° 50° 35° 60° 40° 70° 48° 80 ° 49?°

Na tym właśnie polega jeden z ważnych kroków w rozwoju prawa fizycznego: najpierw obserwujemy jakieś zjawisko, potem dokonujemy pomiarów i wyniki zestawiamy w tabeli; wreszcie próbujemy znaleźć regułę, za pomocą której można kilka rzeczy wzajemnie powiązać. Wspomnianą tabelę liczbową ułożono w roku 140, ale dopiero w roku 1621 znaleziono wreszcie regułę wiążącą ze sobą owe dwa kąty! Reguła znaleziona przez holenderskiego matematyka Willebrorda Snella brzmi następująco: jeżeli jest katem w powietrzu, a - kątem w wodzie, to sinus kąta jest równy pewnej stałej pomnożonej przez sinus kąta :

Dla wody liczba n wynosi w przybliżeniu . Równanie (26.2) nazywamy prawem Snella. Pozwala nam ono przewidzieć, jak się światło zakrzywi, przechodząc z powietrza do wody. W tabeli 26.2 zestawiono kąty w powietrzu i w wodzie według prawa Snella. Zauważmy wyjątkową zgodność tej tabeli z wykazem Ptolemeusza.

26.3. Zasada Fermata najkrótszego czasu

W miarę dalszego rozwoju nauki szukamy czegoś więcej niż wzoru. Najpierw obserwujemy, potem otrzymujemy liczby będące wynikami pomiarów, wreszcie dochodzimy do prawa łączącego w sobie wszystkie te liczby. Ale prawdziwa chluba nauki polega na tym, że możemy znaleźć taki sposób podejścia, w którego wyniku prawo staje się oczywiste.

Sposób podejścia, dzięki któremu prawo zachowania się światła stało się oczywiste, został odkryty przez Fermata około roku 1650 i nazywa się go zasadą najkrótszego czasu albo zasadą Fermata. Pomysł Fermata wiąże się z obserwacją, że światło spośród wszystkich możliwych torów łączących dwa punkty wybiera ten, którego przebycie wymaga najkrótszego czasu.

Pokażemy najpierw, że jest to prawda w przypadku odbicia od zwierciadła i że ta prosta zasada obejmuje zarówno prawo prostoliniowego rozchodzenia się światła, jak i prawo odbicia od zwierciadła.

Rozszerzymy w ten sposób nasz zakres rozumienia zjawisk! Spróbujmy znaleźć rozwiązanie następującego zagadnienia. Na rysunku 26.3 pokazano dwa punkty, A i B, oraz płaskie zwierciadło . Po jakiej drodze można się dostać z punktu A do B w najkrótszym czasie? Odpowiedź brzmi: idąc prosto od punktu A do B! Odpowiedź nie jest jednak już taka łatwa, jeśli dołączymy dodatkowy warunek, że światło ma w najkrótszym czasie paść na zwierciadło i wrócić. Jeden z wyborów drogi mógłby polegać na jak najszybszym pobiegnięciu do zwierciadła, a stamtąd do punktu B po drodze . Do przebycia pozostanie wtedy długa droga DB. Jeśli przesuniemy się nieco w prawo, do punktu E, zwiększymy wprawdzie trochę pierwszą odległość, ale znacznie zmniejszymy drugą, skrócimy więc całkowitą długość toru i dzięki temu czas przelotu stanie się krótszy. W jaki sposób możemy znaleźć punkt C, dla którego czas ten będzie najkrótszy? Możemy posłużyć się bardzo pomysłowym chwytem geometrycznym.

Po przeciwnej stronie płaszczyzny umieszczamy fikcyjny punkt B, który leży pod płaszczyzną w takiej samej odległości od niej jak punkt B. Rysujemy z kolei linię . Ponieważ kąt BFM jest kątem prostym i , więc EB jest równe . Wobec tego suma dwu odległości , która z kolei jest proporcjonalna do czasu przelotu światła poruszającego się ze stałą prędkością, jest równa sumie . Zagadnienie sprowadza się więc do następującego pytania: kiedy suma tych dwu długości jest najmniejsza? Odpowiedź jest prosta: wtedy, gdy linia przechodząca przez punkt C jest linią prostą łączącą punkty A i ! Musimy, innymi słowy, znaleźć punkt, przez który przechodzi prosta do punktu fikcyjnego i on właśnie będzie punktem szukanym. Jeśli będzie linią prostą, kąt BCF będzie równy kątowi , a stąd kątowi ACM. Wobec tego równość kąta padania i kąta odbicia jest równoważna stwierdzeniu, że światło biegnie do zwierciadła tak, aby przybyć do punktu w możliwie najkrótszym czasie. Twierdzenie pierwotnie wypowiedziane przez Herona z Aleksandrii mówiło, że światło od jednego punktu do drugiego porusza się po takim torze, że biegnie do zwierciadła, a następnie do tego drugiego punktu po możliwie najkrótszej drodze. Nie mówi ono więc dokładnie tego, co współczesna teoria. Ale to właśnie twierdzenie podsunęło Fermatowi myśl, że może i proces załamania światła odbywa się według podobnych zasad. Ponieważ zaś przy załamaniu światło oczywiście nie wybiera drogi zgodnie z najkrótszą odległością, Fermat wpadł na pomysł, że światło biegnie po drodze wymagającej najkrótszego czasu.

Zanim przejdziemy do rozpatrywania zjawiska załamania światła, zróbmy jeszcze jedną uwagę tyczącą się zwierciadła. Niech w punkcie B znajduje się źródło wysyłające światło w kierunku zwierciadła. Światło biegnąc od punktu B do A zachowuje się zupełnie tak, jak gdyby nie było żadnego zwierciadła, a źródło znajdowało się w punkcie . Oko wykrywa naturalnie tylko to światło, które fizycznie do niego wchodzi; jeżeli więc przedmiot znajduje się w punkcie B, a zwierciadło powoduje, że światło dochodzi do oka dokładnie tak, jak gdyby znajdował się on w punkcie , układ oko-mózg (przy założeniu, że nie wie zbyt wiele) interpretuje całe zjawisko jako obecność przedmiotu w punkcie . Tak więc złudzenie, że przedmiot znajduje się za zwierciadłem, polega po prostu na tym, że światło przychodzące do oka fizycznie wchodzi do niego tak, jak gdyby przedmiot rzeczywiście znajdował się z drugiej strony zwierciadła (nie biorąc pod uwagę zanieczyszczeń szkła i tego, że mamy świadomość obecności przedmiotu oraz tym podobnych poprawek wprowadzanych przez mózg).

Pokażmy teraz, że z zasady najkrótszego czasu wynika prawo załamania Snella. Musimy jednak założyć coś o prędkości światła w wodzie. Otóż założymy, że prędkość światła w wodzie jest n-krotnie mniejsza od prędkości światła w powietrzu.

Nasz problem, przedstawiony na rys. 26.4, polega znowu na przejściu od punktu A do B w najkrótszym czasie. W celu zobrazowania, że poruszanie się zwyczajnie wzdłuż prostej nie jest najlepszym wyjściem, wyobraźmy sobie następującą sytuację: z łodzi wypadła piękna dziewczyna i znajdując się w wodzie w punkcie B, woła o pomoc. Niech oś X stanowi linię brzegu. Znajdujemy się na lądzie w punkcie A, widzimy wypadek i na pomoc możemy zarówno biec, jak i płynąć. Ale biec możemy szybciej niż płynąć. Co robimy? Czy biegniemy po linii prostej? (Niewątpliwie tak!) Jednakże po zastanowieniu się stwierdzimy, że lepiej będzie przebyć nieco dłuższą drogę po lądzie, aby skrócić sobie drogę w wodzie, ponieważ w wodzie poruszać się będziemy o wiele wolniej. (Rozumując w ten sposób doszlibyśmy do wniosku, że lepiej byłoby najpierw dokładnie obliczyć drogę, jaką mamy do przebycia!) Spróbujmy w każdym razie pokazać, że rozwiązaniem zagadnienia jest tor ACB i że czas jego przebycia jest najkrótszy ze wszystkich możliwych. Jeżeli ma to być najszybsza droga, to każda inna droga będzie od niej wolniejsza. Wykreślając zużyty czas w zależności od położenia punktu X (przecięcia się drogi z osią , otrzymamy krzywą podobną do pokazanej na rys. 26.5, na którym punkt C odpowiada najkrótszemu możliwemu czasowi. Znaczy to, że gdy przesuwamy punkt X w pobliżu punktu C, w pierwszym przybliżeniu nie powodujemy istotnych zmian w czasie, ponieważ w najniższym punkcie krzywej jej nachylenie wynosi zero. Nasza metoda poszukiwania matematycznej postaci prawa załamania będzie zatem polegała na rozważaniu tak niewielkich przesunięć punktu, dla których nie następuje istotna zmiana w czasie. (Będzie istniała tu naturalnie nieskończenie mała zmiana drugiego rzędu; następuje bowiem wzrost czasu dla dowolnych przesunięć od punktu C.) Rozważmy więc pobliski punkt X i obliczmy, jak długo będzie trwała droga od punktu A do B po dwu torach, co pozwoli na porównanie nowego toru z dawnym. Bardzo łatwo to zrobić. Chcemy oczywiście, aby różnica wynosiła prawie zero, gdy odległość XA będzie mała. Spójrzmy najpierw na drogę po lądzie. Prowadząc prostopadłą XE, zauważamy, że droga po lądzie ulega skróceniu w przybliżeniu o wielkość EC. Stanowi to nasz zysk, że nie potrzebujemy pokonywać tej dodatkowej odległości. Przeprowadzając z drugiej strony odpowiednią prostopadłą CF, znajdujemy, że w wodzie mamy do przebycia dodatkową odległość XF, wskutek czego tracimy czas. Zastanówmy się nad czasem przejścia. Zyskujemy czas, jaki by zabrało przebycie odległości EC, ale tracimy czas na przebycie odległości XF. Czasy te powinny być sobie równe, ponieważ w pierwszym przybliżeniu czas przejścia nie może ulec zmianie. Zakładając, że w wodzie szybkość wynosi szybkości w powietrzu, musimy mieć

Widzimy więc, że biorąc właściwy punkt, otrzymujemy zależność , czyli, skracając obie strony tej równości przez wspólną przeciwprostokątną XC i zauważając, że

mamy

Tak więc widać, że aby przejść w najkrótszym czasie od jednego punktu do drugiego, gdy stosunek prędkości wynosi n, światło powinno wchodzić pod takim kątem, aby stosunek sinusów kątów i  był równy stosunkowi prędkości w dwu ośrodkach.

26.4. Zastosowanie zasady Fermata

Rozważmy teraz pewne ciekawe konsekwencje wynikające z zasady najkrótszego czasu. Pierwsza z nich to zasada wzajemności. Mówi ona, że jeżeli najkrótszy czas przejścia od punktu A do B jest osiągany na pewnym torze, to również na nim osiągany jest najkrótszy czas przejścia w kierunku przeciwnym (przy założeniu że światło porusza się w każdym kierunku z tą samą szybkością). Jeśli zatem światło rozchodzi się w jednym kierunku, to może się także rozchodzić w kierunku przeciwnym.

Drugą ciekawą konsekwencją są zjawiska zachodzące w szklanym bloku o płaskich równoległych ścianach, ustawionym pod kątem do padającej wiązki światła. Światło biegnąc przez blok od punktu A do punktu B (rys. 26.6) nie przechodzi po linii prostej, ale skraca sobie czas przejścia przez blok, zmniejszając kąt nachylenia, mimo że wskutek tego nieco traci na drodze w powietrzu. W wyniku wiązka zostaje po prostu przesunięta równolegle względem początkowego kierunku, ponieważ kąty wyjścia i wejścia są takie same.

Trzecią ciekawą konsekwencją jest fakt, że gdy oglądamy zachodzące słońce, w rzeczywistości znajduje się ono już pod horyzontem! To tylko nam się wydaje, że jeszcze znajduje się ono nad horyzontem, ale naprawdę jest inaczej (rys. 26.7). Atmosfera ziemska jest rzadka w górnych warstwach, a gęsta w dolnych. Światło rozchodzi się w powietrzu wolniej niż w próżni i w ten sposób światło słoneczne szybciej może osiągnąć punkt S za horyzontem, jeżeli zamiast biec po prostej, będzie unikać obszarów gęstych, w których porusza się powoli, przechodząc przez nie pod większym nachyleniem. Gdy wydaje się, że słońce dopiero zachodzi za horyzont, naprawdę znajduje się ono już dobrze za nim. Innym przykładem tego zjawiska są miraże, które się często widzi jadąc po rozgrzanej szosie. Widzi się "wodę" na szosie, ale dojechawszy na miejsce okazuje się, że jest ono suche jak pustynia! Zjawisko tłumaczy się następująco: to, co naprawdę widzimy, jest światłem słonecznym "odbitym" od drogi. Światło słoneczne zmierzające w stronę szosy może dojść do oka tak, jak pokazano na rys. 26.8.

Dlaczego? Dlatego, że powietrze bezpośrednio nad szosą jest bardzo gorące, wyżej zaś chłodniejsze. Gorące powietrze jest optycznie rzadsze (tzn. ma mniejsze niż zimne i dlatego prędkość światła spada tam w mniejszym stopniu. Światło biegnie więc szybciej w obszarze gorącym niż chłodnym. Wobec tego, zamiast decydować się na bieg bezpośrednio po prostej drodze, światło porusza się po torze najkrótszego czasu, oszczędzając czas w obszarze, gdzie przez chwilę biegnie szybciej. Dlatego może poruszać się po krzywej.

Rozważając inny ważny przykład zasady najkrótszego czasu, spróbujmy stworzyć sytuację, w której wszystko światło przychodzące z jednego punktu P odnajdzie się zebrane znowu w innym punkcie (rys. 26.9).

Znaczy to naturalnie, że światło może się poruszać po linii prostej od punktu P do . Rzeczywiście tak jest, ale czy możemy tak zrobić, żeby odnaleźć w punkcie nie tylko światło biegnące na wprost, ale także rozchodzące się od punktu P w stronę Q? Chcemy z powrotem zebrać wszystko światło w punkcie zwanym ogniskiem. Jak to zrobić? Przecież jeżeli światło zawsze wybiera tor najkrótszego czasu, to naturalnie nie będzie chciało biec po jakichś innych torach. Będzie ono mogło rzeczywiście wybierać różne tory jedynie wtedy, gdy odpowiadające im czasy przejścia staną się dokładnie równe! W przeciwnym bowiem razie światło wybierze tylko tor najkrótszego czasu. Wobec tego zagadnienie zbudowania układu ogniskującego polega po prostu na ustawieniu takiego urządzenia, w którym całej rozmaitości torów odpowiada ten sam czas rozchodzenia się światła!

Sprawa jest prosta. Weźmy kawałek szkła, w którym światło rozchodzi się wolniej niż w powietrzu (rys. 26.10), i rozważmy promień, który w powietrzu biegnie po torze .

Tor ten jest dłuższy niż bezpośrednia droga i bez wątpienia zabiera więcej czasu. Ale wstawiając kawałek szkła o odpowiedniej grubości (a jakiej, obliczymy później), możemy skompensować nadmiar czasu, jaki światłu zabiera droga załamana pod pewnym kątem! W tych warunkach może się okazać, że czas odpowiadający przejściu na wprost będzie dokładnie równy czasowi upływającemu na torze . Rozważmy w podobny sposób promień . Jest on tylko częściowo nachylony, a więc nie tak długi jak i wobec tego pewne wyrównanie jest konieczne, chociaż nie tak duże jak dla promienia biegnącego prosto. Ostatecznie więc nasza płytka będzie wyglądała tak, jak na rys. 26.10. Przy takim kształcie wszystko światło wychodzące z punktu P będzie docierało do punktu . Wszystko to jest nam oczywiście dobrze znane; urządzenie takie nazywamy soczewką skupiającą. W następnym rozdziale obliczymy, jaki właściwie kształt musi mieć soczewka, aby dawać doskonałe ogniskowanie.

Weźmy inny przykład. Spróbujmy ustawić kilka zwierciadeł tak, aby światło z punktu P zawsze dochodziło do (rys. 26.11). Biegnie ono po różnych torach do zwierciadeł i wraca, odpowiednie zaś czasy muszą być sobie równe. W tym przypadku światło rozchodzi się stale w powietrzu, tak że czas i odległość są do siebie proporcjonalne. Wobec tego stwierdzenie, że wszystkie czasy są jednakowe, jest równoważne stwierdzeniu, że całkowita odległość jest zawsze taka sama. Tak więc suma dwóch odległości r1 i r2 musi być stała. Suma odległości od dwu punktów jest stała dla każdego punktu na krzywej zwanej elipsą; w takim wypadku możemy być więc pewni, że światło z jednego ogniska będzie dochodzić do drugiego.

Na tej samej zasadzie opiera się skupianie światła jakiejś gwiazdy. Wielki, prawie pięciometrowy teleskop na Mount Palomar jest zbudowany w następujący sposób: Wyobraźmy sobie gwiazdę odległą o miliony kilometrów. Chcemy wszystko przychodzące od niej światło zebrać w ognisku. Nie możemy oczywiście narysować promieni biegnących hen od gwiazdy na całej ich długości, ale mimo to spróbujmy sprawdzić, czy czasy są równe. Wiemy oczywiście, że gdy różne promienie przechodzą przez płaszczyznę do nich prostopadłą, to odpowiednie czasy na tej płaszczyźnie są wszystkie sobie równe (rys. 26.12). Promienie następnie dochodzą do zwierciadła i biegną dalej w kierunku punktu P w jednakowym czasie. Musimy więc znaleźć krzywą, która ma własność, że suma odległości jest stała, niezależna od wyboru punktu X. Prosty sposób jej znalezienia polega na przedłużeniu linii aż do płaszczyzny . Jeżeli spełniane będą warunki, że , , i tak dalej, to otrzymamy żądaną krzywą, ponieważ wówczas będzie naturalnie stałe. Wobec tego nasza krzywa jest miejscem geometrycznym punktów równo oddalonych od pewnej prostej i od punktu. Taką krzywą nazywa się parabolą; zwierciadło teleskopu jest więc zbudowane w kształcie paraboli.

Powyższe przykłady obrazują zasadę, na której można się opierać przy projektowaniu podobnych przyrządów optycznych. Dokładne krzywe można wyliczyć, posługując się zasadą, że dla uzyskania doskonałego ogniskowania czasy przebiegu muszą być dokładnie równe dla wszystkich promieni świetlnych i muszą być krótsze niż czasy odpowiadające jakiemukolwiek innemu sąsiedniemu torowi.

W następnym rozdziale będziemy dalej rozważać ogniskujące urządzenia optyczne, a teraz zajmiemy się dalszym rozwojem teorii. Śledząc rozwój nowej zasady teoretycznej, takiej jak zasada najkrótszego czasu, skłonni jesteśmy może sądzić, że jest to coś bardzo ładnego, nawet zachwycającego, ale zadajemy sobie pytanie: czy w ogóle pomaga ona w rozumieniu fizyki? Można by wprawdzie odpowiedzieć, że tak, że ułatwia ona zrozumienie wielu nowych faktów, ale prawdą jest też, że i bez niej można zrozumieć działanie zwierciadła. Wystarczy znaleźć krzywą, dla której każda płaszczyzna styczna tworzy równe kąty z dwoma promieniami. Podobnie można zrozumieć działanie soczewki, bowiem każdy promień, który do niej dochodzi, jest załamywany pod kątem danym przez prawo Snella. Bez wątpienia twierdzenie o najkrótszym czasie mówi to samo co twierdzenie, że przy odbiciu kąty są sobie równe, a przy załamaniu sinusy kątów są do siebie proporcjonalne. Czy zatem sprawa polega tylko na estetyce, czy też ma głębszy sens? Obie strony mogą tu wysunąć swoje argumenty.

Sprawa zawiera się w tym, że znaczenie ważnej zasady polega na możności przewidzenia nowych faktów.

Łatwo pokazać, że zasada Fermata przewiduje szereg nowych faktów. Weźmy najpierw trzy ośrodki: szkło, wodę i powietrze; przeprowadźmy doświadczenie nad załamaniem światła w tych trzech ośrodkach i zmierzmy współczynnik n jednego ośrodka względem drugiego. Współczynnik załamania powietrza (1) względem wody (2) oznaczmy n12, a współczynnik załamania powietrza (1) względem szkła (3) oznaczmy n13. Przeprowadzając pomiary dla wody względem szkła, znaleźlibyśmy inny współczynnik załamania, który oznaczmy n23. A priori nie ma powodu, aby istniał jakikolwiek związek między i n23, natomiast zgodnie z zasadą najkrótszego czasu związek taki jest dobrze określony. Współczynnik n12 jest stosunkiem prędkości światła w powietrzu do prędkości światła w wodzie; n13 jest stosunkiem prędkości światła w wodzie do prędkości światła w szkle. Możemy więc pozbyć się prędkości w powietrzu, otrzymując

Przewidujemy zatem, że współczynnik załamania dla nowej pary substancji można wyliczyć ze współczynników załamania każdej z tych substancji względem powietrza lub względem próżni. Wzór nasz stanie się bardzo prosty, jeżeli z pomiarów prędkości światła we wszystkich substancjach otrzymamy charakteryzujące je liczby, mianowicie ich współczynniki załamania względem próżni oznaczone n1 (n1 jest prędkością światła w powietrzu względem prędkości światła w próżni itd.). Współczynnik załamania dla jakichkolwiek dwu substancji będzie bowiem wynosił

Korzystając tylko z prawa Snella, nie mamy podstaw do takich przewidywań[1], chociaż przewidywanie to rzeczywiście się spełnia. Związek (26.5) poznano bardzo wcześnie i stanowił poważny argument na korzyść zasady najkrótszego czasu.

Innym argumentem na korzyść tej zasady, innym przewidywaniem, jest, że prędkość światła zmierzona w wodzie okaże się mniejsza od prędkości w powietrzu. Przewidywanie to ma zupełnie inny charakter niż wszystkie dotychczasowe. Jest ono znakomite, ponieważ dotychczas mierzyliśmy kąty, teraz zaś mamy przewidywanie teoretyczne, zupełnie różne od spostrzeżeń, na których podstawie Fermat wyprowadził zasadę najkrótszego czasu. Okazuje się, że prędkość światła w wodzie jest rzeczywiście mniejsza od prędkości światła w powietrzu, dokładnie w takim samym stosunku, że daje poprawny współczynnik załamania!

26.5. Dokładniejsze sformułowanie zasady Fermata

Zasada najkrótszego czasu nie została przez nas wypowiedziana poprawnie i właściwie powinniśmy sformułować ją nieco dokładniej. Nie jest w ogóle rzeczą poprawną nazywanie jej zasadą najkrótszego czasu i tylko dla wygody posługiwaliśmy się dotąd tym niewłaściwym sformułowaniem. Teraz musimy jednak zobaczyć, jakie jest jej poprawne brzmienie. Wyobraźmy sobie zwierciadło takie jak na rys. 26.3. Skąd światło wie, że ma w ogóle biec do zwierciadła? Torem najkrótszego czasu jest oczywiście AB, a więc można by sądzić, że niekiedy czas jest maksymalny. W naszym przypadku czas jednak nie jest maksymalny, ponieważ niewątpliwie dłuższego czasu wymagałby tor zakrzywiony! Poprawne sformułowanie zasady brzmi następująco: promień biegnący po danym torze ma własność, że jeśli dokonamy w nim jakiejkolwiek niewielkiej zmiany (dajmy na to przesunięcia o , na przykład zmieniając miejsce jego padania na zwierciadło albo kształt krzywej, albo jeszcze coś innego, wówczas w czasie nastąpią zmiany nie rzędu pierwszego, a tylko drugiego. Innymi słowy, zasada ta mówi, że światło wybiera taki tor, w którego sąsiedztwie znajduje się wiele innych torów wymagających prawie dokładnie takiego samego czasu.

Z zasadą najkrótszego czasu związana jest jeszcze inna trudność i to taka, że nigdy jej nie strawią ludzie, którzy nie lubią teorii tego rodzaju. Przy użyciu teorii Snella możemy "zrozumieć" zachowanie się światła. Biegnie ono przed siebie, widzi jakąś powierzchnię i załamuje się, ponieważ na tej powierzchni coś się z nim dzieje. Światło biegnie od jednego punktu do drugiego i do następnego, i tak dalej, więc idea przyczynowości jest tu łatwo zrozumiała. Zasada najkrótszego czasu jest natomiast zupełnie odmienną filozoficznie zasadą działania przyrody. Zamiast mówić, że coś jest sprawą przyczynową, że zrobienie jednej rzeczy powoduje w następstwie coś innego i tak dalej, powyższa zasada głosi, że my ustalamy pewną sytuację, a światło decyduje, który czas jest najkrótszy lub ekstremalny i wybiera odpowiedni tor. Ale jak światło to robi? Jak wynajduje ten tor? Czyżby obwąchiwało ono sąsiadujące tory porównując je? Odpowiedź jest twierdząca; światło w pewnym sensie tak właśnie postępuje. Własność ta jest oczywiście nieznana w optyce geometrycznej i zawarta jest w pojęciu długości fali; długość fali mówi nam w przybliżeniu o tym, jak daleko do przodu światło musi "obwąchać" tor, aby móc go sprawdzić. W przypadku światła trudno zjawisko to pokazać w dużej skali, ponieważ długości jego fali są strasznie małe. Ale dla fal radiowych, np. fal o długości , odległości, na których dokonuje się porównań, są większe. Weźmy źródło fal radiowych, detektor i szczelinę, jak to przedstawiono na rys. 26.13.

Promienie będą wówczas biegły oczywiście od S do D, ponieważ jest to linia prosta, i nic się nie zmieni, jeśli szczelinę uczynimy węższą. Jeśli jednak przesuniemy detektor w bok do , fale nie przebiegną przez szeroką szczelinę od S do , ponieważ porównując szereg pobliskich torów, powiedzą sobie: "Nic z tego, wszystkie tory odpowiadają innym czasom". Jeśli jednak uda się nam zabezpieczyć promieniowanie przed porównywaniem torów przez przymknięcie szczeliny aż do utworzenia się bardzo wąskiej szparki, wówczas możliwy będzie tylko jeden tor i promieniowanie właśnie ten tor wybierze! W rezultacie więcej promieniowania dotrze do D przy wąskiej szczelinie niż przy szerokiej!

Ze światłem można zrobić to samo, ale trudno to pokazać w dużej skali. Zjawisko można jednak zauważyć w następujących prostych warunkach. Poszukajmy jakiegoś małego jasnego źródła światła, na przykład przezroczystej żarówki w dalekiej latarni ulicznej albo odbicia słońca w zakrzywionym zderzaku samochodowym. Ustawmy teraz przed jednym okiem dwa palce tak, aby patrzeć przez szparę między nimi i bardzo łagodnie starajmy się stłumić światło aż do zera. Zobaczymy, że obraz źródła światła, który przedtem był małą kropką, stanie się wydłużony i nawet rozciągnie się w długą linię. Przyczyna zjawiska leży w tym, że palce znajdują się bardzo blisko siebie i światło, które powinno przyjść po linii prostej, rozkłada się wewnątrz pewnego kąta tak, że wchodząc do oka, przybywa z różnych kierunków. Przypatrując się bardzo uważnie, spostrzeżemy również boczne maksima i liczne prążki wzdłuż brzegów. Co więcej, całe zjawisko będzie barwne. Wszystko to wyjaśnimy sobie w odpowiednim czasie, bo teraz służy to tylko do łatwego wykazania, że światło nie zawsze rozchodzi się po liniach prostych.

26.6. Jak to się wszystko odbywa naprawdę?

Na zakończenie podamy bardzo prymitywny obraz tego, co się właściwie dzieje; przedstawimy, w jaki sposób cała sprawa naprawdę się odbywa, ze ścisłego, uważanego za poprawny, punktu widzenia mechaniki kwantowej. Opis nasz będzie oczywiście tylko jakościowy. Śledząc światło między punktami A i B na rys. 26.3, stwierdzamy, że wcale nie przejawia ono swej postaci falowej. Wydaje się natomiast, że promienie składają się z fotonów i właściwie one powodują cykanie licznika fotonowego, jeśli się nim posługujemy. Jasność światła jest proporcjonalna do średniej liczby fotonów przechodzących w ciągu sekundy, a to, co liczymy, jest prawdopodobieństwem, że foton przedostanie się z punktu A do B, na przykład padając na zwierciadło. Prawdopodobieństwem tym rządzi następujące bardzo dziwne prawo. Weźmy jakiś tor i znajdźmy dla niego czas przelotu; utwórzmy następnie liczbę zespoloną albo narysujmy mały zespolony wektor , którego kąt jest proporcjonalny do czasu. Liczba jego obrotów na sekundę określa częstość światła. Weźmy teraz inny tor, któremu odpowiada jakiś inny czas; jego wektor będzie więc obrócony o inny kąt - nadal proporcjonalny do czasu. Weźmy teraz wszystkie możliwe tory i dodajmy malutkie wektory odpowiadające każdemu z nich; okazuje się, że prawdopodobieństwo przybycia fotonu jest proporcjonalne do kwadratu długości wektora wypadkowego!

Pokażmy teraz, jak z tego wynika zasada najkrótszego czasu dla zwierciadła. Rozważmy wszystkie promienie, wszelkie możliwe tory itd. na rys. 26.3. Tor daje pewien mały przyczynek, ale dla sąsiedniego toru AEB czas jest zupełnie inny, a więc jego kąt jest zupełnie inny. Niech punkt C odpowiada czasowi minimalnemu, to znaczy takiemu, dla którego czasy się nie zmieniają przy zmianie toru. Tak więc w miarę zbliżania się do punktu C (rys. 26.14) czasy najpierw ulegają zmianie, a potem zaczynają zmieniać się coraz to mniej. Wobec tego wektory, które mamy dodawać, ustawiają się w pobliżu C prawie dokładnie pod stałym kątem. Czas zaczyna potem stopniowo wzrastać, fazy zmieniają się i tak dalej. Wynika z tego ostatecznie dość zaplątany węzeł. Całkowite prawdopodobieństwo dane jest przez kwadrat odległości między obu końcami. Tak nagromadzone prawdopodobieństwo pochodzi prawie w całości z obszaru, w którym wszystkie wektory mają ten sam kierunek albo tę samą fazę. Wszystkie przyczynki od torów, których czasy bardzo się różnią między sobą, znoszą się wzajemnie, ponieważ są skierowane w różne strony. Dlatego też, gdy zasłonimy zewnętrzne części zwierciadła, będzie ono odbijać prawie tak samo jak niezasłonięte, ponieważ sprawa polega na usunięciu części diagramu wewnątrz końców spirali, co powoduje tylko bardzo małą zmianę ilości światła. W taki to sposób zasadę najkrótszego czasu wiąże się z obrazem fotonowym, w którym prawdopodobieństwo przyjścia zależy od nagromadzenia opisanych tu wektorów.

27. Optyka geometryczna

27.1. Wstęp

W tym rozdziale omówimy szereg praktycznych i elementarnych urządzeń, w których znalazły zastosowanie idee podane w poprzednim rozdziale. Posłużymy się przybliżeniem zwanym optyką geometryczną. Jest to przybliżenie bardzo użyteczne przy praktycznym projektowaniu wielu układów i przyrządów optycznych. Optykę geometryczną można przedstawić w sposób albo bardzo prosty, albo bardzo złożony. Jak to należy rozumieć? Z jednej strony możemy badać ją tylko powierzchownie, tak aby móc ogólnie projektować przyrządy, posługując się bardzo prostymi regułami, które prawie nie wymagają wyjaśnień, ponieważ praktycznie są na poziomie szkoły średniej. Z drugiej strony, jeżeli chcemy się czegoś dowiedzieć o wadach soczewek i o tym podobnych szczegółach, sprawa staje się bardzo skomplikowana, ponadto tak specjalna, że nie możemy jej tutaj rozważać! Jeżeli ktoś rzeczywiście stoi przed specjalnym zagadnieniem z dziedziny projektowania soczewek, wymagającym analizy aberracji, niech poczyta sobie na ten temat, albo korzystając z prawa załamania niech po prostu nakreśli promienie przechodzące przez różne powierzchnie (a jak to zrobić - podają podręczniki) i niech znajdzie miejsce wychodzenia promieni, aby się przekonać, czy dają one zadowalający obraz. Dawniej drogę tę uważano za zbyt żmudną, ale dziś, gdy korzysta się z maszyn liczących, jest to najwłaściwsza droga postępowania. Wystarczy sformułować zagadnienie od strony matematycznej i wykonać bardzo łatwe obliczenia dla jednego promienia po drugim. Ostatecznie więc sprawa staje się naprawdę zupełnie prosta i nie wymaga nowych zasad. Okazuje się ponadto, że reguły optyki zarówno elementarnej, jak i zaawansowanej na ogół nie dają się przenieść do innych dziedzin; nie ma więc szczególnego powodu, aby się w nie bardzo zagłębiać, choć istnieje jeden ważny wyjątek.

Najbardziej rozwiniętą, abstrakcyjną teorię optyki geometrycznej opracował Hamilton i jak się okazało, znalazła ona bardzo ważne zastosowanie w mechanice. Prawdę mówiąc, ma ona nawet większe znaczenie w mechanice niż w optyce i dlatego teorię Hamiltona zostawimy jako temat dla wyższej mechaniki analitycznej, którą się studiuje na starszym roku lub na studiach podyplomowych. Uznajmy więc, że optyka geometryczna przedstawia wartość tylko ze względu na siebie samą i przejdźmy teraz do rozważenia elementarnych własności prostych układów optycznych. Będziemy je badać, opierając się na zasadach naszkicowanych w poprzednim rozdziale.

Dla naszych celów musimy mieć jeszcze następujący wzór geometryczny: weźmy trójkąt prostokątny o małej wysokości h i o długiej podstawie d. Jego przeciwprostokątna s (która będzie nam potrzebna do znalezienia różnicy w czasie między dwiema różnymi drogami) jest dłuższa niż podstawa (rys. 27.1). O ile mianowicie? Różnicę można znaleźć na wiele sposobów. Jeden z nich jest następujący. Widzimy, że , czyli . Ale , a  . A więc

I to jest cała geometria potrzebna nam do badania, w jaki sposób zakrzywione powierzchnie tworzą obrazy!

27.2. Odległość ogniskowa powierzchni kulistej

Pierwszym i najprostszym układem, który omówimy, jest pojedyncza powierzchnia załamująca, oddzielająca dwa ośrodki o różnych współczynnikach załamania (rys. 27.2). Przypadek dowolnych współczynników załamania pozostawiamy do rozważenia czytelnikowi, ponieważ najważniejszą rzeczą jest zawsze ogólna idea, a nie określona sytuacja. Zagadnienie zaś jest tak proste, że można je rozwiązać w każdym przypadku. Przypuśćmy więc, że w rozpatrywanym przypadku (rys. 27.2) prędkość na lewo wynosi 1, a na prawo , gdzie n jest współczynnikiem załamania. Światło w szkle porusza się n razy wolniej.

Weźmy teraz punkt O w odległości s od przedniej powierzchni szkła i punkt w odległości wewnątrz szkła. Chcemy dobrać zakrzywioną powierzchnię w taki sposób, aby każdy promień z O padający na powierzchnię w dowolnym punkcie P załamywał się tak, aby biec w kierunku punktu . Aby rzeczywiście tak się działo, powierzchnia musi mieć taki kształt, żeby czas zużywany przez światło na przejście od punktu O do P był stały i niezależny od punktu P. Czas ten jest równy odległości OP podzielonej przez prędkość światła (która tutaj wynosi 1) plus , co określa czas przejścia od punktu P do . Warunek ten daje nam równanie wyznaczające powierzchnię. Jako wynik otrzymujemy, że przekrój tej powierzchni jest skomplikowaną krzywą czwartego stopnia i czytelnik może spróbować ją obliczyć metodami geometrii analitycznej. Prościej jest wziąć szczególny przypadek odpowiadający , ponieważ wówczas szukana krzywa jest krzywą drugiego stopnia i łatwiej ją rozpoznać. Ciekawe jest porównanie tej krzywej z parabolą, którą znaleźliśmy dla zwierciadła ogniskującego, gdy światło przybywało z nieskończoności.

Niełatwo więc utworzyć odpowiednią powierzchnię. Ogniskowanie światła z jednego punktu w drugim wymaga powierzchni dość skomplikowanej. W praktyce zwykle nie próbujemy nawet wykonania takich skomplikowanych powierzchni i decydujemy się na kompromis. Zamiast się starać, aby wszystkie promienie dochodziły do ogniska, urządzamy się tak, że dochodzą do niego tylko promienie bliskie osi . Dalsze promienie mogą niestety zbaczać, ponieważ zamiast skomplikowanej idealnej powierzchni bierzemy powierzchnię kulistą o właściwej krzywiźnie na osi. Praktyczne wykonanie kuli jest tak dalece łatwiejsze niż innej powierzchni, że warto zobaczyć, co się dzieje z promieniami padającymi na powierzchnie kuliste przy założeniu, że doskonałe ogniskowanie ma obowiązywać tylko promienie bliskie osi. Promienie bliskie osi zwiemy niekiedy promieniami przyosiowymi (paraksjalnymi), a więc przedmiotem analizy będą warunki ogniskowania promieni przyosiowych. Omówimy potem, jakie błędy biorą się stąd, że nie wszystkie promienie są zawsze bliskie osi.

Załóżmy więc, że punkt P leży blisko osi i opuśćmy prostopadłą PQ tak, aby wysokość PQ wynosiła h. Wyobraźmy sobie na chwilę, że powierzchnia stanowi płaszczyznę przechodzącą przez punkt P. W tym wypadku czas potrzebny do przejścia od punktu O do P przewyższałby czas przejścia od punktu O do Q, a czas przejścia od punktu P do przewyższałby czas przejścia od punktu Q do . Szkło dlatego właśnie musi być zakrzywione, żeby całkowity nadmiar czasu został skompensowany przez opóźnienie na drodze od punktu V do Q! Nadwyżka czasu wzdłuż drogi OP wynosi teraz , a nadwyżka czasu na drugiej drodze wynosi . Nadwyżka, która musi zostać wyrównana przez opóźnienie na drodze VQ, jest inna niż w próżni, ponieważ obecnie droga promienia przechodzi przez ośrodek. Innymi słowy, czas przejścia od punktu V do Q nie jest po prostu taki jak w powietrzu, ale n razy dłuższy. Nadwyżka opóźnienia na tej drodze wynosi więc . A teraz, ile wynosi VQ? Jeśli punkt C jest środkiem kuli o promieniu R, to z naszego wzoru wynika, że odległość VQ równa jest . W ten sposób dochodzimy do następującego prawa, które wiąże odległości s i i daje nam R, promień krzywizny żądanej powierzchni:

czyli

Mając dane punkty O i  i chcąc zogniskować światło z punktu O w punkcie , możemy przy użyciu tego wzoru obliczyć żądany promień krzywizny R.

Ciekawe, że ta sama soczewka, o tej samej krzywiźnie , będzie ogniskowała i dla innych odległości; zachodzić to będzie dla dowolnej pary takich odległości, że suma ich odwrotności, z których jedna pomnożona jest przez n, ma wartość stałą. Dana soczewka będzie więc ogniskować (jeśli ograniczymy się do promieni przyosiowych) nie tylko dla pary punktów O i , ale dla nieskończenie wielu innych par punktów, jeżeli dla nich będzie pewną stałą charakterystyczną dla soczewki.

Interesujący przypadek zachodzi w szczególności wtedy, gdy . Ze wzoru widzimy, że gdy s rośnie, maleje. Innymi słowy, jeśli punkt O oddala się, to punkt  przybliża się, i odwrotnie. W miarę jak punkt O oddala się do nieskończoności, punkt  przybliża się, aż osiągnie pewną odległość wewnątrz szkła, zwaną odległością ogniskową . Promienie padające równolegle spotykają się z osią w odległości . Możemy także wyobrazić sobie sytuację odwrotną. (Pamiętajmy o zasadzie wzajemności: jeśli światło biegnie od punktu O do , to oczywiście będzie także biec od punktu do Weźmy zatem źródło światła wewnątrz szkła i zapytajmy, gdzie obecnie znajduje się ognisko. W szczególności, gdyby źródło światła w szkle znajdowało się w nieskończoności (to samo zagadnienie co poprzednio), to gdzie na zewnątrz następowałoby ogniskowanie? Szukaną odległość oznaczamy jako f. Możemy pomyśleć o odwrotnej sytuacji. Jeżeli źródło światła znajduje się w odległości f, światło przechodzące przez powierzchnię wychodzi na zewnątrz jako wiązka równoległa. Łatwo znaleźć czemu są równe f i :

Zauważmy ciekawą rzecz: jeśli podzielimy każdą odległość ogniskową przez odpowiedni współczynnik załamania, to otrzymamy to samo! Twierdzenie to jest rzeczywiście ogólne. Warto je zapamiętać, bo jest ono prawdziwe dla każdego dowolnie skomplikowanego układu soczewek. Twierdzenia tego nie dowiedliśmy w ogólnym przypadku - stwierdziliśmy po prostu, że jest prawdziwe dla pojedynczej powierzchni. Jest jednak prawdą, że również w ogólnym przypadku dwie ogniskowe układu są ze sobą związane w powyższy sposób. Równanie (27.3) bywa czasem pisane w postaci:

Postać ta jest bardziej użyteczna niż postać (27.3), ponieważ łatwiej zmierzyć f niż krzywiznę i współczynnik załamania soczewki: jeśli soczewkę po prostu bierzemy z półki, a nie interesuje nas ani sposób jej projektowania, ani jak została zrobiona, to ważną dla nas wielkością jest f, a nie n czy 1, czy też R!

Ciekawa będzie sytuacja, gdy s stanie się mniejsze od f. Co się wtedy dzieje? Jeśli , to i wobec tego jest ujemne; z naszego równania wynika tylko tyle, że światło będzie ogniskowane w ujemnej odległości , choć nie wiadomo, co to oznacza! Oznacza to zaś coś bardzo ciekawego i bardzo dobrze określonego. Innymi słowy, wzór nasz jest użyteczny i wtedy, gdy pojawiają się liczby ujemne. Znaczenie tego obrazuje rys. 27.3. Jeśli poprowadzimy promienie rozchodzące się z punktu O, to ulegną one załamaniu na powierzchni, ale nie będą przechodziły przez ognisko, ponieważ punkt O leży tak blisko, że są one jeszcze "pozarównoległe". Rozchodzą się one jednak tak, jak gdyby przyszły z punktu leżącego na zewnątrz szkła. Ten rodzaj obrazu nazywamy niekiedy obrazem pozornym. Jeśli światło rzeczywiście dochodzi do pewnego punktu, to obraz nazywamy obrazem rzeczywistym. Jeśli zaś światło pozornie wychodzi z jakiegoś fikcyjnego punktu różnego od punktu właściwego, mówimy wówczas o obrazie pozornym. Jeśli więc otrzymujemy ujemne oznacza to, że punkt znajduje się po przeciwnej stronie powierzchni, poza tym zaś wszystko jest w porządku.

Rozważmy teraz inny ciekawy przypadek, gdy R jest nieskończone; wtedy . Innymi słowy, , co oznacza, że patrząc z ośrodka gęstego do rzadkiego, widzimy punkt w ośrodku rzadkim pozornie n razy głębiej. Możemy także posłużyć się tym równaniem w odwrotnej sytuacji. Tak więc, gdy patrzymy na płaską powierzchnię w stronę przedmiotu znajdującego się w pewnej odległości wewnątrz gęstego ośrodka, będzie się nam wydawać, że światło przychodzi z odległości mniejszej (rys. 27.4). Jeśli patrzymy z góry na dno basenu pływackiego, to wydaje się on nam płytszy niż w rzeczywistości i to -krotnie. Czynnik jest odwrotnością współczynnika załamania wody.

W dalszym ciągu moglibyśmy jeszcze omówić działanie zwierciadła kulistego. Kto jednak zrozumiał idee tu zawarte, może dalej już liczyć sam. Pozostawiamy więc czytelnikowi wyprowadzenie wzoru dla zwierciadła kulistego, nadmieniając tylko, że dobrze jest przyjąć pewne założenia tyczące się rozważanych odległości:

1. Odległość przedmiotu s jest dodatnia, jeśli punkt O leży na lewo od powierzchni.

2. Odległość obrazu jest dodatnia, jeśli punkt leży na prawo od powierzchni.

3. Promień krzywizny powierzchni jest dodatni, jeśli jej środek leży na prawo od powierzchni.

Na rysunku 27.2, na przykład, wielkości oraz R są wielkościami dodatnimi, na rys. 27.3 wielkości s i R są dodatnie, natomiast jest ujemne. Jeżeli weźmiemy powierzchnię wklęsłą i po prostu przyjmiemy, że R jest wielkością ujemną, nasz wzór (27.3) nadal będzie dawał poprawny wynik.

Gdybyśmy korzystali z powyższych założeń przy wyprowadzeniu odpowiedniego wzoru dla zwierciadła, to okazałoby się, że poprawny wzór otrzymamy, przyjmując wszędzie we wzorze (27.3) ! (Tak jak gdyby ośrodek za zwierciadłem miał współczynnik załamania równy !)

Wywód wzoru (27.3) przy użyciu zasady najkrótszego czasu jest prosty i elegancki, ale można oczywiście wyprowadzić go za pomocą prawa Snella, pamiętając o tym, że sinusy kątów można zastąpić przez same kąty, ponieważ są one bardzo małe.

27.3. Odległość ogniskowa soczewki

Rozważmy teraz inną sytuację mającą znaczenie praktyczne. Większość używanych soczewek ma dwie powierzchnie zakrzywione, a nie tylko jedną. Jak dalece zmienia to sprawę? Załóżmy, że mamy dwie powierzchnie o różnej krzywiźnie, a przestrzeń między nimi wypełniona jest szkłem (rys. 27.5).

Chcemy zbadać kwestię ogniskowania między punktem O, a zmiennym punktem . Jak to zrobić? Odpowiedź jest następująca: Korzystamy najpierw ze wzoru (27.3) dla pierwszej powierzchni, zapominając na razie o drugiej. Wzór ten powie nam, że światło rozchodzące się z punktu O pozornie zbiega się lub rozbiega (zależnie od znaku ) z pewnego innego punktu, powiedzmy . Rozważmy następnie nowe zagadnienie. Mamy drugą powierzchnię, oddzielającą szkło od powietrza, wewnątrz której promienie schodzą się w kierunku pewnego punktu . W którym miejscu zejdą się one naprawdę? Korzystamy ponownie z tego samego wzoru i stwierdzamy, że zbiegają się one w punkcie . Jeśli zajdzie więc potrzeba, możemy tak przejść kolejno 75 powierzchni, korzystając raz po raz z tego samego wzoru!

Istnieją pewne bardzo specjalne wzory, które mogłyby nam zaoszczędzić sporo trudu w tych kilku wypadkach w naszym życiu, w których zajdzie potrzeba śledzenia biegu światła przez 5 powierzchni. Jeżeli taki problem w ogóle się pojawi, to prościej będzie prześledzić bieg światła przez 5 powierzchni, niż zapamiętywać mnóstwo wzorów, gdyż może nigdy nie będziemy musieli śledzić biegu światła przez jakieś powierzchnie!

W każdym razie zasada jest taka, że przy przechodzeniu światła przez jakąś powierzchnię znajdujemy nowe położenie punktu ogniskowania; bierzemy ten punkt za punkt wyjściowy dla następnej powierzchni i tak dalej. Aby to wszystko naprawdę móc policzyć, potrzebne jest uogólnienie wzoru (27.3) na przypadek, gdy mamy dwa różne współczynniki załamania, n1 i n2, a nie tylko n. Chodzi o to, że na drugiej powierzchni przechodzimy od współczynnika n do 1, a nie od 1 do n, a poza tym w wielu układach występuje więcej niż jeden rodzaj szkła, tak że współczynniki załamania są równe Nie trudno wtedy udowodnić, że takie uogólnienie wzoru (27.3) ma postać

Wyjątkowo prosty jest szczególny przypadek, w którym obie powierzchnie leżą tak blisko siebie, że możemy pominąć małe błędy pochodzące od grubości soczewki. Narysujmy soczewkę tak, jak pokazano na rys. 27.6 i zadajmy sobie pytanie: w jaki sposób musi być ona zbudowana, aby w punkcie ogniskować światło z punktu O? Załóżmy, że światło pada dokładnie na brzeg soczewki, w punkcie P. Nadmiar czasu przy przejściu od punktu O do wynosi wówczas , jeśli pominiemy na chwilę grubość T szkła o względnym współczynniku załamania n2. Aby czas przejścia na wprost stał się równy czasowi przejścia drogą , musimy wstawić kawałek szkła o takiej grubości T w środku, aby opóźnienie wywołane przejściem przez szkło wystarczało do zrównoważenia obliczonego nadmiaru czasu. Wobec tego grubość soczewki w środku musi być dana wzorem:

Możemy także wyrazić T za pomocą promieni R1 i R2 obu powierzchni. Mając w pamięci nasze założenie 3, znajdujemy dla (soczewka wypukła)

stąd otrzymujemy ostatecznie:

Zauważmy teraz znowu, że jeżeli jeden z punktów znajdzie się w nieskończoności, to drugi będzie się znajdował w odległości zwanej odległością ogniskową f. Jest ona określona wzorem:

gdzie .

Weźmiemy teraz przypadek odwrotny, w którym s ucieka do nieskończoności. Widzimy, że znajdzie się teraz w odległości ogniskowej , przy czym obie odległości ogniskowe są tym razem równe. (Jest to jeszcze jeden szczególny przypadek ogólnej reguły, że stosunek dwu odległości ogniskowych jest równy stosunkowi współczynników załamania dwu ośrodków, w których promienie ulegają ogniskowaniu. W tym szczególnym układzie optycznym początkowy i końcowy współczynnik jest taki sam i obie ogniskowe są równe.)

Zapomnijmy na chwilę o naszym wzorze na odległość ogniskową. Gdybyśmy kupili zaprojektowaną przez kogoś soczewkę o pewnych promieniach krzywizny i o pewnym współczynniku załamania, moglibyśmy zmierzyć odległość ogniskową, poszukując na przykład miejsca, w którym ogniskuje się punkt z nieskończoności.

Mając już odległość ogniskową, lepiej byłoby zapisać nasze równanie, korzystając z niej bezpośrednio. Wówczas wzór nasz przybiera postać:

Zobaczymy teraz, jak się tym wzorem posługiwać i co z niego w różnych warunkach wynika. Przede wszystkim wynika z niego, że jeżeli s jest nieskończone, to jest równe f, i odwrotnie. Oznacza to, że wiązka równoległa ogniskuje się w odległości f, co stanowi właściwie definicję f. Drugą ciekawą rzeczą, o której się dowiadujemy z tego wzoru, jest to, że oba punkty przesuwają się w tym samym kierunku. Jeżeli jeden z nich przesuwa się w prawo, to z drugim dzieje się to samo. Inną rzeczą, o której mówi nasz wzór, jest to, że s i  są równe wtedy, gdy oba wynoszą 2f. Innymi słowy, jeśli szukamy sytuacji wykazującej symetrię względem soczewki, okazuje się, że ogniskowanie z obu stron następuje w odległości 2f.

27.4. Powiększanie

Na razie rozważaliśmy tylko działanie ogniskujące dla punktów na osi. Teraz zaś rozważymy tworzenie się obrazów przedmiotów, które nie leżą dokładnie na osi, ale w jej pobliżu. Chodzi nam teraz o zrozumienie zjawiska powiększania. Ustawmy soczewkę tak, aby światło z niewielkiego włókna zogniskować "punktowo" na ekranie. Zauważymy wówczas na nim "obraz" włókna, tyle że rozmiarów większych lub mniejszych od prawdziwego przedmiotu. Światło musi więc przybywać do ogniska z każdego punktu włókna. Aby to lepiej zrozumieć, zbadajmy cienki układ soczewek, pokazany schematycznie na rys. 27.7. Wiemy już, że:

1. Dowolny promień wchodzący równolegle do osi soczewki z jednej jej strony podąża do pewnego szczególnego punktu zwanego ogniskiem, położonego po drugiej stronie soczewki w odległości f.

2. Dowolny promień przybywający do soczewki z ogniska po jednej jej stronie wychodzi z drugiej strony równolegle do osi.

To jest wszystko, co nam będzie potrzebne do geometrycznego wyprowadzenia wzoru (27.12). Załóżmy, że przedmiot leży w pewnej odległości x od ogniska; niech jego wysokość wynosi y. Wiemy, że jeden z promieni, oznaczmy go PQ, załamie się tak, że przejdzie przez ognisko R po drugiej stronie soczewki. Jeżeli soczewka będzie w ogóle ogniskować punkt P, to łatwo znaleźć, gdzie to nastąpi, badając po prostu bieg jakiegoś innego promienia. Nowe ognisko znajdzie się bowiem w punkcie przecięcia obu promieni. Musimy tylko dobrze pomyśleć, jak znaleźć dokładny kierunek jeszcze jednego promienia. Przypomnijmy sobie, że promień równoległy do osi przechodzi przez ognisko i vice versa: promień przechodzący przez ognisko będzie wychodził równolegle do osi! Prowadzimy więc promień PT przez punkt U. (Rzeczywiste promienie, ulegające ogniskowaniu, powinny być co prawda znacznie bliżej osi niż te dwa, które poprowadziliśmy, ale ponieważ trudniej je przedstawić, więc uznajmy, że te, które narysowaliśmy, są jeszcze dobre.) Ponieważ będzie on wychodził równolegle do osi, prowadzimy prostą TS równolegle do XW. Punkt przecięcia S wyznacza poszukiwany punkt. Określać on będzie poprawne położenie i poprawną wysokość obrazu. Oznaczmy jego wysokość przez , a odległość od ogniska . Teraz już możemy wyprowadzić wzór soczewkowy. Korzystając z trójkątów podobnych PVU i TXU, znajdujemy:

Podobnie, z trójkątów SWR i QXR otrzymujemy:

Rozwiązując każdy z tych wzorów względem , znajdujemy, że

Równanie (27.15) jest słynnym wzorem soczewkowym; zawiera on wszystko, co trzeba wiedzieć o soczewkach: daje nam powiększenie wyrażone przez odległości obrazu i przedmiotu od ognisk i odległości ogniskowe. Wiąże on także dwie odległości x i  z ogniskową f:

Wzór ten jest w praktyce znacznie wygodniejszy niż równanie (27.12). Czytelnik łatwo może pokazać, że jeśli i , równanie (27.12) będzie równoważne równaniu (27.16).

27.5. Soczewki złożone

Opiszemy teraz krótko, bez wyprowadzenia, ogólny wynik dla większej liczby soczewek. Jak w ogóle możemy analizować układ wielu soczewek? Sprawa jest prosta. Rozpoczynamy od jakiegoś przedmiotu i obliczamy, gdzie znajduje się jego obraz dla pierwszej soczewki. Posługujemy się wzorem (27.16) lub (27.12), lub innym im równoważnym, lub też robimy wykresy. Znaleziony w ten sposób obraz przedmiotu traktujemy następnie jako przedmiot dla następnej soczewki o dowolnej ogniskowej i posługujemy się nią do ponownego znalezienia obrazu. Przechodzimy tak po prostu przez cały ciąg soczewek. Oto i wszystko, co można powiedzieć. Nie ma tu w zasadzie niczego nowego, nie musimy się więc w te sprawy zagłębiać. Ciekawy jest jednak ostateczny wynik działania dowolnego układu soczewek na światło, które wchodzi do układu z jakiegoś ośrodka zewnętrznego i wychodzi z układu z powrotem do tego samego ośrodka. Ośrodkiem tym może być na przykład powietrze. Dowolny przyrząd optyczny - teleskop lub mikroskop zawierający dowolną liczbę soczewek i zwierciadeł - ma następującą własność. Istnieją w nim dwie płaszczyzny, zwane płaszczyznami głównymi układu (płaszczyzny te leżą blisko pierwszej powierzchni pierwszej soczewki i ostatniej powierzchni ostatniej soczewki). Mają one następujące własności: (1) Światło wchodzące do układu równolegle do osi z jednej jego strony, wychodząc skupia się w pewnym ognisku odległym od drugiej płaszczyzny o odległość ogniskową, tak jak gdyby układ stanowił cienką soczewkę ustawioną w tej właśnie płaszczyźnie. (2) Wiązka równoległa do osi, wchodząca z drugiej strony układu, skupia się w ognisku oddalonym o tę samą odległość f od pierwszej płaszczyzny głównej, znowu tak jak gdyby była w niej ustawiona cienka soczewka (patrz rys. 27.8).

Jeśli tak jak poprzednio mierzymy odległości x i  oraz y i , wzór (27.16) napisany dla cienkiej soczewki będzie oczywiście zupełnie ogólny, byle tylko mierzyć ogniskowe od płaszczyzn głównych, a nie od środka soczewki. Okazuje się, że dla cienkiej soczewki, płaszczyzny główne się ze sobą pokrywają. Sprawa wygląda tak, jak gdyby można było rozciąć cienką soczewkę w środku i rozsunąć, nie zauważając, że została ona rozdzielona. Każdy wchodzący promień wyskakuje z przeciwnej strony drugiej płaszczyzny głównej, dokładnie w tym samym punkcie, w którym przeszedł on przez płaszczyznę pierwszą! Płaszczyzny główne i ogniskowe można znaleźć metodą albo doświadczalną, albo rachunkową i daje to nam cały zbiór własności układu optycznego. Ciekawe, że gdy się już uporamy z takim wielkim i skomplikowanym układem optycznym, wynik wcale nie będzie skomplikowany.

27.6. Aberracje

Zanim zdążymy wpaść w zachwyt nad tym, jakie to cudowne są te soczewki, musimy pospieszyć się i dodać, że istnieje tu jednak poważne ograniczenie. Pochodzi ono stąd, że sami ściśle mówiąc ograniczyliśmy się do promieni przyosiowych. Rzeczywiste soczewki o skończonych rozmiarach będą na ogół wykazywać aberracje. I tak na przykład promień, który leży na osi, oczywiście przechodzi dokładnie przez ognisko, a promień, który jest bardzo bliski osi, nadal będzie z bardzo dobrym przybliżeniem przechodził przez ognisko. Ale w miarę oddalania się od osi promienie zaczynają się odchylać od ogniska i może nawet wcale do niego nie dojdą, a promień przechodzący w pobliżu górnej krawędzi soczewki załamie się do dołu i minie ognisko w sporej odległości. W ten sposób, zamiast otrzymać obraz punktowy, otrzymamy plamę. Zjawisko to zwiemy aberracją sferyczną, ponieważ jest własnością powierzchni kulistych, które zastępują powierzchnie właściwego kształtu. Aberrację można poprawić dla każdej określonej odległości przedmiotu, zmieniając kształt powierzchni soczewki albo biorąc szereg soczewek ułożonych tak, że aberracje poszczególnych elementów układu będą się wzajemnie znosić.

Soczewki wykazują jeszcze inną wadę: światło o różnych barwach ma różne prędkości, a co za tym idzie - różne współczynniki załamania w szkle i wobec tego odległość ogniskowa danej soczewki jest różna dla różnych barw. Obraz białego punktu jest więc barwny, ponieważ gdy osiągniemy ogniskowanie się światła czerwonego, niebieskie wypadnie poza ogniskiem, i odwrotnie. Zjawisko to nazywamy aberracją chromatyczną.

Istnieją jeszcze inne wady soczewek. Dla przedmiotu znajdującego się poza osią ogniskowanie nie jest doskonałe, szczególnie jeżeli ognisko leży dostatecznie daleko od osi. Najłatwiej sprawdzić to, najpierw ogniskując światło w soczewce, a następnie przechylając ją tak, aby promienie padały pod dużym kątem względem osi. Tworzący się wówczas obraz będzie na ogół zupełnie nieostry i można wcale nie znaleźć takiego miejsca, w którym będzie dobre ogniskowanie. Soczewki mają więc różne wady, które optyk-projektant stara się usunąć, używając wielu soczewek do wzajemnego wyrównywania tych wad.

Jaką dokładność jesteśmy w stanie osiągnąć? Czy jest możliwe zbudowanie bezwzględnie doskonałego układu optycznego? Wyobraźmy sobie, że zbudowaliśmy układ optyczny, który z założenia skupia światło dokładnie w punkcie. Jak znaleźć warunek na doskonałość układu, posługując się zasadą najkrótszego czasu? Układ będzie zaopatrzony w jakiś rodzaj wejściowego otworu dla światła. Weźmy najdalszy od osi promień mogący trafić do ogniska (oczywiście, jeśli układ jest doskonały); wówczas czasy dla wszystkich innych promieni są dokładnie takie same. Ale nie ma rzeczy doskonałych, tak że powstaje pytanie, jakim błędem może być obarczony czas dla tego promienia, aby nie trzeba było wprowadzać dalszych poprawek? To zależy od tego, jak doskonały chcemy mieć obraz. Ale załóżmy, że chcemy mieć obraz tak doskonały, jak tylko można. Przypuszczamy oczywiście, że trzeba, aby czas przebiegu każdego promienia był prawie taki sam, tak dalece jak tylko to jest możliwe. Okazuje się jednak, że nie jest to możliwe; poczynając od pewnego punktu staramy się zrobić coś, co przekracza możliwości optyki geometrycznej, ponieważ sama teoria optyki geometrycznej już tam nie działa!

Pamiętajmy, że zasada najkrótszego czasu nie jest dokładnym sformułowaniem, inaczej niż zasada zachowania energii, czy też zasada zachowania pędu. Zasada najkrótszego czasu jest tylko przybliżeniem i warto wiedzieć, jak wielki błąd można popełnić, nie powodując jeszcze widocznych różnic. Odpowiedzią na to jest stwierdzenie, że jeśli różnica w czasie między promieniem maksymalnym, czyli "najgorszym", tzn. najbardziej zewnętrznym, a promieniem środkowym jest mniejsza niż w przybliżeniu okres odpowiadający jednemu drganiu światła, wówczas dalsze poprawianie nie ma sensu. Światło jest obiektem drgającym z określoną częstością związaną z długością fali i jeżeli zadbamy o to, aby różnice czasów dla różnych promieni były mniejsze niż czas rzędu okresu, wówczas nie ma celu dalej zwiększać dokładności.

27.7. Zdolność rozdzielcza

Inną, bardzo ciekawą kwestią z punktu widzenia zastosowań technicznych, dotyczącą wszystkich przyrządów optycznych, jest sprawa ich zdolności rozdzielczej. Mikroskop musimy zbudować tak, aby rzeczywiście widzieć oglądane pod nim przedmioty.

Oznacza to na przykład, że jeżeli bakteria ma dwa punkciki, to w powiększeniu chcemy naprawdę zobaczyć na niej dwie kropki. Można by sądzić, że sprawa polega tylko na uzyskaniu dostatecznego powiększenia. Możemy przecież zawsze dodawać nowe soczewki i uzyskiwać coraz to większe powiększenia, a przy pewnej pomysłowości konstruktorów znieść wszystkie aberracje, sferyczne i chromatyczne. Mogłoby się więc wydawać, iż nie ma powodu, który uniemożliwiłby nam otrzymywanie coraz to większych powiększeń obrazu. Tymczasem ograniczenia mikroskopu polegają nie na trudnościach zbudowania soczewki, która powiększa więcej niż 2000 razy. Możemy zbudować układ soczewek powiększający 10 000-krotnie, ale mimo to nie będziemy mogli zobaczyć dwóch punktów leżących zbyt blisko siebie. Powodem są ograniczenia optyki geometrycznej, czyli fakt, że zasada najkrótszego czasu nie jest ścisła. Regułę określającą, jak daleko od siebie muszą znajdować się dwa punkty, aby ich obrazy pojawiły się oddzielnie, można wyprowadzić w piękny sposób uwzględniający, jaki czas jest potrzebny dla przebiegu różnych promieni. Pomińmy teraz aberracje i wyobraźmy sobie, że dla pewnego punktu P (rys. 27.9) wszystkie promienie zużyją ten sam czas na przejście od przedmiotu do obrazu T. (Nie jest to oczywiście prawdą, ponieważ układ nie jest doskonały, ale to już inna sprawa.) Weźmy teraz inny pobliski punkt, , i zapytajmy, czy jego obraz będzie oddzielony od obrazu T. Innymi słowy, czy możemy je od siebie odróżnić? Zgodnie z zasadami optyki geometrycznej powinny się pojawić dwa obrazy punktowe, ale to, co naprawdę zobaczymy, może być tak rozmyte, że nie będziemy w stanie stwierdzić obecności dwóch punktów. Drugi punkt będzie zogniskowany w punkcie wyraźnie różnym od pierwszego, jeżeli dwóm skrajnym promieniom i  po obu stronach dużego otworu soczewki będą odpowiadały nierówne czasy przejścia od obu możliwych punktów przedmiotów do danego punktu-obrazu. Dlaczego? Gdyby bowiem czasy przebiegu były równe, oczywiście oba punkty zostałyby zogniskowane w jednym miejscu. Czasy więc nie mogą być równe. Jak bardzo muszą się one jednak różnić od siebie, abyśmy mogli stwierdzić, że dwa punkty nie ogniskują się razem i możemy rozróżnić ich punkty-obrazy? Ogólne prawidło dotyczące zdolności rozdzielczej każdego przyrządu optycznego jest następujące: Dwa różne źródła punktowe mogą być rozdzielone tylko wówczas, jeżeli pierwsze źródło jest zogniskowane w takim punkcie, że czasy przebiegu promieni skrajnych od drugiego źródła do tego punktu-obrazu różnią się o więcej niż jeden okres od czasów przebiegu tych promieni do drugiego punktu-obrazu. Różnica czasów przebiegu do fałszywego ogniska dla promienia górnego i dolnego (na rys. 27.9) musi więc przewyższać pewną wielkość, mianowicie w przybliżeniu okres drgań światła

gdzie jest częstotliwością światła (czyli liczbą drgań na sekundę albo prędkością podzieloną przez długość fali). Niech odległość dwu punktów wynosi D; kąt widzenia soczewki oznaczymy jako . Można wówczas pokazać, że wzór (27.17) jest dokładnie równoważny twierdzeniu, że D musi być większe od , gdzie n jest współczynnikiem załamania w punkcie P, a jest długością fali. Najmniejsze przedmioty, jakie możemy zauważyć, mają więc w przybliżeniu rozmiary długości fali świetlnej. Odpowiedni wzór istnieje i dla teleskopów. Mówi on nam o najmniejszej różnicy w kącie widzenia dwu gwiazd, którą można jeszcze stwierdzić[2].