Wstęp

Książka dotyczy zagadnień związanych z dźwiękiem oraz jego percepcją słuchową. Składa się ona z dwóch zasadniczych części. Część pierwsza obejmuje ogólną charakterystykę dźwięku - opisuje zjawiska związane z rozchodzeniem się fal dźwiękowych oraz podaje ważniejsze zasady analizy i przekształceń sygnałów dźwiękowych. W części drugiej omówiono budowę narządu słuchu, percepcję dźwięku w dziedzinie amplitudy, częstotliwości i czasu, percepcję dźwięków mowy, percepcję binauralną i obiektów słuchowych, percepcję dźwięku w przypadku zaburzeń słuchu oraz aplikacyjny aspekt wyników badań psychoakustycznych.

Celem książki jest przedstawienie fizycznych i psychoakustycznych aspektów dźwięku związanych z percepcją słuchową na podstawie dostępnej literatury oraz publikacji prezentowanych w czasopismach specjalistycznych. Bardzo pomocne w jej przygotowaniu okazały się też badania i wykłady z zakresu psychoakustyki prowadzone przez autora w Instytucie Akustyki Uniwersytetu im. A. Mickiewicza w Poznaniu.

Książka przeznaczona jest dla osób specjalizujących się w audioakustyce, młodszych pracowników naukowych tej dyscypliny wiedzy, słuchaczy studiów licencjackich, podyplomowych i doktoranckich z akustyki oraz dla tych wszystkich, którzy chcieliby poszerzyć swą wiedzę z zakresu percepcji dźwięku. Mam nadzieję, że pozwoli ona na lepsze zrozumienie i pogłębienie zagadnień związanych z percepcją słuchową oraz jej licznych powiązań interdyscyplinarnych. Niektóre jej części mogą też być pomocne w badaniach naukowych z zakresu audioakustyki.

Jednym z trudniejszych problemów podczas pisania książki było zdecydowanie, które z zagadnień na temat dźwięku i jego percepcji należy uwzględnić i rozwinąć, a które pominąć. Ponadto, mając na uwadze jasność i przystępność omawianych zagadnień, często byłem w rozterce, czy nie zostały one przedstawione w formie zbyt uproszczonej. Zdaję sobie sprawę, że mimo starań nie uniknąłem w tym zakresie pewnych nieścisłości i być może niezręcznych sformułowań. Będę bardzo zobowiązany tym wszystkim Czytelnikom, którzy przekażą do redakcji swoje spostrzeżenia, komentarze oraz uwagi krytyczne. Uwagi te zostaną uwzględnione w następnym opracowaniu książkowym tej tematyki.

Chciałbym dodać, że badania związane z percepcją dźwięku są szeroko podejmowane zarówno w zagranicznych, jak i polskich ośrodkach akustycznych. Wyniki tych badań są publikowane w różnych czasopismach naukowych. Żałuję, że w książce tej nie mogłem omówić bliżej tych wyników, głównie ze względu na jej ograniczoną objętość.

Piśmiennictwo angielskie stało się obecnie niezbędnym źródłem wzbogacania i pogłębiania wiadomości. Dlatego też oprócz nazw i terminów polskich zamieszczono w książce wiele ich odpowiedników w języku angielskim.

Niniejsza książka spełni swoje zadanie, jeśli zachęci zainteresowanych nią Czytelników do głębszych studiów nad zagadnieniem percepcji dźwięku.

Chciałbym podziękować Recenzentom tej książki w osobach Profesora doktora habilitowanego Andrzeja Rakowskiego i Docenta doktora Gustawa Budzyńskiego za wnikliwe recenzje oraz wiele cennych uwag i komentarzy. Dziękuję również tym pracownikom Instytutu Akustyki UAM, którzy przekazali mi swoje uwagi na temat tej książki.

Wydawnictwu Naukowemu PWN, a w szczególności Pani Redaktor Działu mgr Marzenie Plewie oraz jej współpracownikom składam wyrazy podziękowania za prace redakcyjne związane z wydaniem książki.

Swoją szczególną wdzięczność wyrażam mojej Żonie i Dzieciom, za ich zrozumienie dla mojego zaangażowania w napisanie tej książki oraz tolerowanie przez nich w tym okresie ciągłego braku dla nich czasu.

Poznań, 2002

Edward Ozimek

Wprowadzenie

Każdy z nas doświadcza w życiu codziennym różnych wrażeń słuchowych wywoływanych najczęściej mową, muzyką, hałasem itp., które potocznie nazywamy dźwiękami. Pojęcie dźwięku definiować można w kategoriach fizycznych bądź psychofizjologicznych1). Z punktu widzenia fizyki, przez pojęcie dźwięku rozumie się zaburzenie mechaniczne rozchodzące się w ośrodku sprężystym. Zaburzenie to wiąże się ze zmianą pewnych właściwości ośrodka. Mogą to być np. zmiany ciśnienia w tym ośrodku. Jeśli zmiany te są stosunkowo szybkie w czasie, to wywołują one wrażenie dźwięku. Z fizycznym pojęciem dźwięku wiążą się pewne jego podstawowe wielkości, takie jak amplituda, częstotliwość i faza. Te fizyczne aspekty dźwięku są przedmiotem rozważań pierwszej części książki.

Pojęcie dźwięku definiować można również w kategoriach psychofizjologicznych związanych z percepcją jego wielkości fizycznych przez narząd słuchu. Zagadnienia te są przedmiotem rozważań drugiej części książki. Percepcja ta opiera się na wrażeniach subiektywnych wywoływanych przez dźwięk. Podstawowymi cechami tych wrażeń są głośność, wysokość i barwa dźwięku. Zależności funkcyjne pomiędzy parametrami fizycznymi dźwięku i jego percepcją przez narząd słuchu są przedmiotem badań psychoakustyki2), która jest jednym z działów psychofizyki (Kingdom i Prins, 2010; Gescheider, 2013; Marks, 2014) zajmującej się percepcją różnych bodźców fizycznych przez nasze zmysły.

Psychoakustyka obejmuje szeroki krąg zagadnień percepcyjnych, dla których punktem wyjścia jest wyznaczanie, dla określonego typu wrażenia słuchowego, najmniejszej spostrzegalnej wartości danej wielkości fizycznej, która wywołuje to wrażenie (czyli tzw. progu czułości) oraz minimalnej spostrzegalnej zmiany tej wielkości (czyli tzw. progu dyskryminacji). Percepcja dźwięku łączy w sobie efekty działania trzech następujących układów: źródła dźwięku, ośrodka, w którym ten dźwięk się rozchodzi, oraz układu odbiorczego, tzn. układu słuchowego człowieka. Inaczej mówiąc, źródło wytwarza sygnał dźwiękowy, ośrodek przenosi ten sygnał, natomiast układ odbiorczy go rejestruje. Wspólną wielkością w całym tym złożonym procesie jest energia dźwięku, generowana, transmitowana, a nastepnie odbierana i przekształcana przez układ słuchowy. W ośrodku, w którym rozchodzi się dźwięk, występuje nie tylko propagacja, ale również pochłanianie, odbicie, dyfrakcja dźwięku oraz inne zjawiska fizyczne. W układzie odbiorczym rejestrowane zmiany ciśnienia akustycznego są przekształcane w drgania mechaniczne, a następnie w impulsy nerwowe, które dalej przekazywane są na wyższe piętra drogi słuchowej celem ich analizy, identyfikacji i rozpoznania.

Subiektywny charakter wrażeń słuchowych oraz specyfika układu słuchowego powodują, że wielkości związanych z percepcją dźwięku nie daje się ściśle określić i zmierzyć. Nie jest to odosobniony przypadek, gdyż w otaczającym nas świecie występuje szereg zjawisk i związanych z nimi wielkości, których nie daje się dokładnie określić i zmierzyć. W wielu przypadkach zamiast wyników pomiaru można wyznaczyć jedynie prawdopodobieństwo wartości pewnej wielkości lub też prawdopodobieństwo wystąpienia samego zjawiska. Przykładów na to dostarcza m.in. mechanika kwantowa zajmująca się badaniem ruchu cząstek elementarnych, których korpuskularno-falowy dualizm nie pozwala na jednoczesne dokładne określenie ich położenia i pędu. Mechanika kwantowa opiera się w większości przypadków na probabilistycznym opisie tego ruchu, wynikającym z zasady nieoznaczoności Heisenberga. Zgodnie z tą zasadą, im dokładniej określone jest położenie cząstki w przestrzeni (we współrzędnych x, y, z), tym mniej dokładnie określone są wartości rzutów jej pędu na osie współrzędnych3). Przykładowo, jeśli położenie cząstki na osi x określone jest bardzo dokładnie (czyli ?x = 0), to wartości rzutu pędu nie daje się w ogóle określić (?px = ?). Jak widać, według zasady nieoznaczoności przy pomiarach tej samej wielkości fizycznej, przeprowadzonych dla układów znajdujących się w tych samych warunkach, można otrzymać różne wartości. Tak więc, zgodnie z mechaniką kwantową (w odróżnieniu od klasycznej), pomiary pozwalają wyznaczyć tylko prawdopodobieństwo otrzymania takiego czy innego wyniku, a nie dokładnej wartości danej wielkości fizycznej.

Podobna sytuacja występuje również w badaniach psychoakustycznych. Badania te opierają się w wielu punktach na zasadach zbliżonych do tych, którymi rządzi się mechanika kwantowa, oparta na probabilistycznym opisie procesów fizycznych. Podobnie jak mechanika kwantowa, psychoakustyka próbuje przewidzieć zachowanie się badanego układu znajdującego się w określonych warunkach fizycznych. Układem tym jest układ słuchowy człowieka - warunki określone są przez parametry fizyczne sygnału wejściowego, reakcją zaś są wrażenia percepcyjne (zmysłowe) powstałe w mózgu. Zachowania tego oraz odpowiadających mu wielkości związanych głównie z dziedziną czasu i częstotliwości nie daje się jednakże wyznaczyć dokładnie, co wynika z zasady nieoznaczoności odnoszącej się do dźwięku (por. podrozdział 3.5). Wielkościom tym można jedynie przyporządkować wartości pewnych prawdopodobieństw, bądź też wyznaczyć rozkłady tych prawdopodobieństw. Podobna sytuacja występuje w przypadku mechaniki kwantowej, gdzie do opisu układów wykorzystuje się głównie funkcje prawdopodobieństwa oraz ich rozkłady, co również uwarunkowane jest zasadą nieoznaczoności. Również, podobnie jak w mechanice kwantowej, większości pomiarów w psychoakustyce towarzyszą pewne zaburzenia stanu badanego układu słuchowego, przy czym zaburzeń tych nie jesteśmy w stanie nigdy całkowicie wyeliminować. Dlatego też wynik pomiaru nie odzwierciedla stanu samego układu, lecz jego stan bardziej złożony (zaburzony).

Oczywiście, oprócz wspomnianych wyżej elementów wspólnych dla fizyki i psychoakustyki istnieją też pewne elementy różnicujące te dziedziny wiedzy. Najważniejszy z nich dotyczy dokładności pomiaru mierzonych wielkości. W fizyce (głównie klasycznej) większość mierzonych wielkości fizycznych daje się określić na ogół dość dokładnie. W psychoakustyce natomiast nie jesteśmy w stanie dokładnie zmierzyć wielkości psychoakustycznych, ponieważ są one oparte na wrażeniach subiektywnych słuchaczy biorących udział w eksperymencie. Istotne jest jednak to, że wrażenia te (np. głośność, wysokość dźwięku itd.) słuchacze mogą uszeregować na skali od rosnących do malejących, lub odwrotnie, oraz przypisać tym wrażeniom pewne wartości liczbowe. Dokładność takiego uszeregowania oraz liczbowa ocena tych wrażeń zależy w określonym stopniu od predyspozycji słuchowych osób biorących udział w eksperymentach. Ta zdolność słuchaczy do uszeregowania i przypisywania wrażeniom subiektywnym określonych wartości liczbowych pozwala traktować te wrażenia podobnie jak wielkości fizyczne.

Wskazując na różnice pomiędzy fizyką i psychoakustyką, warto też zauważyć, że na wynik pomiaru psychoakustycznego składa się odpowiedź nie tylko układu słuchowego, stanowiącego wysoce złożony anatomicznie i fizjologicznie układ, ale również pewne elementy natury pamięciowej człowieka. Przykładowo, powtarzanie pomiarów dla tej samej wielkości psychoakustycznej może wpływać na odpowiedź słuchaczy, czego nie stwierdza się przy pomiarach fizycznych. Wynika to z faktu, że mózg ma zdolność uczenia się, co powoduje, że prawdopodobieństwo odpowiedzi słuchaczy zmienia się wraz ze wzrostem powtórzeń bodźca. Podobnie na wynik pomiaru psychoakustycznego mogą wpłynąć w pewnym stopniu motywacja słuchaczy do udziału w eksperymencie i ich ogólne predyspozycje psychiczne i fizyczne. Konsekwencją tego jest to, że średnia wartość wyznaczona z odpowiedzi jednego słuchacza, poddanego wielokrotnemu działaniu tego samego bodźca, może być różna od średniej wartości wyznaczonej z pojedynczych odpowiedzi wielu słuchaczy, poddanych działaniu tylko jednego bodźca. Różnice pomiędzy tymi średnimi są niekiedy przyczyną trudności powstających przy interpretacji otrzymywanych wyników pomiaru oraz trudności w formułowaniu jednoznacznych wniosków.

Psychoakustyka, oprócz wielu różnych powiązań z fizyką, wykazuje też wiele związków z innymi dziedzinami wiedzy, w tym głównie z: audioakustyką, psychologią eksperymentalną, audiologią, neurofizjologią, neuropsychologią, lingwistyką, pedagogiką, muzykologią, sztuką itp. Analiza interdyscyplinarnych powiązań psychoakustyki z neurofizjologią pozwoliła np. stwierdzić, że lewa półkula mózgu (w prawie 97% populacji) wykonuje krótkoterminowe operacje czasowe, istotne w procesie rozumienia mowy, i inne krótkoterminowe operacje sekwencyjne, takie jak myślenie. Prawa natomiast półkula włączona jest głównie w sumowanie przestrzenne i długoterminowe operacje czasowe ważne dla percepcji muzycznej oraz tworzenia się różnych obrazów dźwiękowych. Omówienie zasadniczych aspektów problematyki psychoakustycznej oraz związanych z nią zagadnień i powiązań interdyscyplinarnych znaleźć można w wielu opracowaniach książkowych (Békésy, 1960; Swets, 1964; Tobias, 1970, 1972; Green i Swets, 1974; Stevens, 1975; Green, 1976; Yost i Watson, 1987; Pickles, 1988; Handel, 1989; Bregman, 1990; Webster i in., 1992; Yost i in., 1993; Yost, 1994; Blauert, 1996; Gilkey i Anderson, 1996; Hartmann, 1997; Gelfand, 1997, 1998, 2016; Jorasz, 1998, 1999, 2010; Moore, 1999; Zwicker i Fast, 1999; Ozimek, 2002; Kowalska, 2005; Pisoni i Remez, 2005; Goldstein, 2007; Howard i Angus, 2009; Plack, 2010, 2013; Fuchs, 2010; Rees i Palmer, 2010; Kleczkowski, 2013; Hojan, 2014).

Przygotowując materiał zawarty w tej książce, uznano, że aby dobrze zrozumieć zagadnienia związane z percepcją dźwięku, należy posiadać niezbędną wiedzę w zakresie fizycznych podstaw dźwięku. Dlatego też w części pierwszej książki omówiono te elementy dźwięku, które są podstawowe dla jego opisu fizycznego, bądź niezbędne dla właściwego zrozumienia zjawisk związanych z jego percepcją. Szczególną uwagę zwrócono na zdefiniowanie najważniejszych wielkości fizycznych dźwięku, propagację fal dźwiękowych, analizę widmową oraz zasady kształtowania i przetwarzania sygnałów dźwiękowych. W części drugiej natomiast przedstawiono zagadnienia związane z percepcją słuchową, oparte na aktualnym stanie wiedzy w tym zakresie. Omówiono w niej budowę i charakterystykę narządu słuchu, percepcję dźwięku w dziedzinie amplitudy, częstotliwości i czasu, percepcję binauralną, percepcję dźwięków mowy, percepcję obiektów słuchowych, percepcję dźwięku w przypadku zaburzeń słuchu, metody badań psychoakustycznych oraz niektóre zastosowania psychoakustyki.

Przypisy

Wprowadzenie

1. Ogólna charakterystyka dźwięku

2. Rozchodzenie się fali akustycznej

1. Ogólna charakterystyka dźwięku

Dźwięk jest takim rodzajem sygnału1) fizycznego, który wywołuje określone wrażenie słuchowe. Z punktu widzenia opisu analitycznego wyróżnić można dźwięki, które dają się opisać za pomocą określonych zależności matematycznych, czyli zdeterminowane. Obejmują one dźwięki okresowe (sinusoidalne i okresowe złożone) oraz nieokresowe (prawie okresowe i nieustalone - transjentowe). Wiele przebiegów akustycznych nie daje się jednak opisać ścisłymi wyrażeniami matematycznymi, jak np. sygnał na wyjściu generatora szumu białego. Dźwięki takie, związane najczęściej ze zjawiskami losowymi, nazywa się dźwiękami niezdeterminowanymi. Dzielą się one na dźwięki stacjonarne, dla których charakterystyki statystyczne (wartości średnie i funkcje kowariancji) są niezależne od przesunięcia czasowego, i niestacjonarne, dla których charakterystyki te są funkcją tego przesunięcia (por. podrozdział 3.4, odsyłacz 2). Dźwięki niezdeterminowane mogą mieć gaussowskie bądź niegaussowskie rozkłady statystyczne.

W zakresie ogólnej charakterystyki dźwięku przedstawiono w podrozdziałach 1.1-1.3 zagadnienia związane z mechanizmem jego powstawania oraz analityczny opis fali akustycznej za pomocą równania falowego dla fali płaskiej i kulistej. W dalszej części tego rozdziału zdefiniowano podstawowe wielkości fizyczne tej fali, takie jak natężenie i gęstość energii (podrozdział 1.4) oraz podano miary logarytmiczne (decybele) tych wielkości i zasady ich sumowania (podrozdział 1.5).

1.1. Mechanizm powstawania dźwięku

Rozważmy zagadnienie powstawania dźwięku w ośrodku gazowym, jakim jest powietrze. Jak wiadomo, ośrodek ten jest mieszaniną cząsteczek różnych gazów, które poruszają się swobodnie w różnych kierunkach z różną prędkością, zależną od ich masy i temperatury ośrodka, zderzając się na swojej drodze z innymi cząsteczkami. Droga swobodna cząsteczek określona jest jako średnia odległość pomiędzy ich zderzeniami. Ruch cząsteczek ma charakter losowy i określa wartość ciśnienia zależną od prędkości cząsteczek, ich masy i gęstości gazu.

Zastanówmy się, co się stanie z losowym ruchem cząsteczek, jeśli do ośrodka wprowadzimy element drgający (źródło dźwięku). Element ten poprzez zderzenia z cząsteczkami ośrodka wymusza w swoim otoczeniu określony ich ruch, tzn. wychylenie elementu drgającego z położenia równowagi, np. w prawo powoduje przesunięcie się sąsiadujących z tym elementem cząsteczek również w prawo. W wyniku tego tworzy się lokalne zgęszczenie cząsteczek ośrodka, a tym samym wzrasta lokalnie chwilowa wartość ciśnienia atmosferycznego. Powstanie zgęszczenia cząsteczek wywołuje pojawienie się w jego sąsiedztwie rozrzedzenia cząsteczek, co oznacza lokalne zmniejszenie się tego ciśnienia. Powrót elementu drgającego w kierunku położenia równowagi powoduje, że lokalnie sprężone cząsteczki gazu zaczną powracać do stanu początkowego, tzn. wypełniać obszar, który poprzednio zajmowały. Dalszy ruch elementu drgającego powoduje, że w miejscu powstałego w pierwszej fazie rozrzedzenia tworzy się zgęszczenie cząsteczek. W ten sposób, w określonym miejscu ośrodka powstaje zaburzenie ciśnienia w postaci tworzących się na przemian zgęszczeń i rozrzedzeń cząsteczek. W fazie zgęszczeń, wypadkowe ciśnienie powietrza pw(t) jest wyższe niż ciśnienie atmosferyczne o pewną wartość p(t), tzn. pw(t) = p0 + p(t), w rozrzedzeniach zaś jest ono niższe o taką samą wartość, czyli pw(t) = p0 - p(t), gdzie p0 jest ciśnieniem atmosferycznym w przybliżeniu stałym w czasie2), równym około 105 N - m-2, natomiast p(t) jest ciśnieniem akustycznym zmiennym w czasie. Przebieg zmian ciśnienia wypadkowego ilustruje rysunek 1.1.

Wartość ciśnienia akustycznego p(t) jest wprost

proporcjonalna do amplitudy drgań źródła dźwięku. Im większa jest ta amplituda, tym większe jest ciśnienie w zgęszczeniu

Rys. 1.1. Sinusoidalny przebieg zmian ciśnienia wypadkowego jako funkcja czasu

cząsteczek i mniejsze w ich rozrzedzeniu. Zaburzenia te, ze względu na sprężystość ośrodka, przekazywane są sąsiadującym cząsteczkom, tworząc w ten sposób powstanie w ośrodku ruchu falowego. Warto dodać, że w procesie tym cząsteczki gazu nie przemieszczają się wraz z powstałym zaburzeniem, lecz poruszają się jedynie wokół swych położeń równowagi3). Ruch tych cząsteczek ma charakter zgodny z ruchem drgającego elementu. Te właśnie małe zaburzenia ośrodka, którym odpowiadają określone zmiany ciśnienia w czasie, nazywa się falą akustyczną (dźwiękową lub krótko - dźwiękiem). Jeśli zmiany tego ciśnienia mają charakter sinusoidalny, to powstała fala nazywa się falą akustyczną sinusoidalną lub harmoniczną. Jak z tego wynika, fala akustyczna ma charakter fali sprężystej ośrodka. Oznacza to, że może ona rozchodzić się w ośrodkach, które charakteryzują się określoną sprężystością, czyli w ogólności w ośrodkach gazowych, ciekłych lub stałych.

Odległość pomiędzy kolejnymi zgęszczeniami lub rozrzedzeniami ośrodka nazywa się długością fali akustycznej4) ?. Im wyższa jest częstotliwość drgań elementu drgającego, tym bliżej względem siebie zlokalizowane są zgęszczenia i rozrzedzenia ośrodka, czyli tym mniejsza jest długość fali akustycznej. Długość fali zależy również od prędkości jej rozchodzenia się w ośrodku w tym sensie, że rośnie ona wraz ze wzrostem tej prędkości. Zależność długości fali ?od jej prędkości c5) i częstotliwości f określa wzór

.(1.1)

Dla dźwięków słyszalnych mieszczących się w zakresie częstotliwości 16-20 000 Hz6), przy założeniu, że c = 340 m - s-1, długość fali zawiera się w granicach od 21 m do 17 mm.

Porównując fazy drgania różnych cząsteczek, można znaleźć taką powierzchnię, dla której drgające cząsteczki mają tę samą fazę. Powierzchnię taką nazywa się powierzchnią falową. Grupy cząsteczek o zgodnych fazach, które znajdują się w jednakowej odległości od źródła, tworzą miejsce geometryczne punktów w przestrzeni zwane czołem fali. Dla fal rozchodzących się ze źródła punktowego jednakowo we wszystkich kierunkach czoła fal leżą na powierzchniach kul współśrodkowych. Fale takie nazywa się falami kulistymi. W dostatecznie dużej odległości od źródła części powierzchni kulistych można traktować w przybliżeniu jako powierzchnie płaskie. Czoło fali staje się wówczas płaszczyzną prostopadłą do kierunku rozchodzenia się fali. Falę taką nazywa się falą płaską. Powierzchnie falowe takiej fali tworzą zbiór wzajemnie równoległych płaszczyzn.

W zależności od kierunku drgania cząsteczek względem powierzchni falowej rozróżnia się dwa zasadnicze rodzaje fal akustycznych. Jeśli kierunek drgań cząsteczek jest prostopadły do powierzchni falowej, a tak jest w ośrodkach gazowych, to falę taką nazywa się falą podłużną. Dla fali podłużnej ruch cząsteczek odbywa się w kierunku rozchodzenia się fali. Fale podłużne wiążą się z odkształceniem objętości ośrodka sprężystego i dlatego mogą rozchodzić się w dowolnym ośrodku - stałym, ciekłym lub gazowym.

Jeśli kierunek drgań cząsteczek jest styczny do powierzchni falowej, to falę taką nazywa się falą poprzeczną. Dla fali poprzecznej ruch cząsteczek odbywa się w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali. Fale poprzeczne związane są z odkształceniem ścinania ośrodka sprężystego i dlatego mogą powstawać i rozchodzić się tylko w ośrodkach mających sprężystość postaci, tzn. w ciałach stałych. Prędkość rozchodzenia się fal poprzecznych w danym ośrodku (materiale) jest znacznie mniejsza niż prędkość fal podłużnych.

1.2. Równanie fali akustycznej

Rozpatrzmy, jak zachowuje się fala akustyczna w ośrodku gazowym, o którym zakładamy, że jest ośrodkiem idealnym7). Załóżmy, że w pewnym punkcie tego ośrodka znajduje się źródło wytwarzające falę akustyczną. Fala taka spowoduje powstanie w ośrodku lokalnych zmian ciśnienia, gęstości i temperatury, których wartości zależeć będą od odległości od źródła dźwięku i czasu. Przy braku fali akustycznej, średnie wartości tych wielkości można uznać za stałe. Natomiast podczas propagacji tej fali wartość ciśnienia w ośrodku ulegać będzie pewnym zmianom w funkcji położenia punktu obserwacji i czasu. Ograniczając rozchodzenie się zmian ciśnienia ośrodka tylko do jednego kierunku (osi x), możemy zmiany te wyrazić w postaci

pw(x, t) = p0+ p(x, t), (1.2)

gdzie pw(x, t) - wypadkowa zmiana ciśnienia w ośrodku, w odległości x od źródła, powstała wskutek jego zaburzenia falą akustyczną, p0 - ciśnienie atmosferyczne, natomiast p(x, t) - ciśnienie akustyczne w odległości x od źródła, zmienne w czasie, przy czym p(x, t) ? p0. Podobne równanie można napisać dla lokalnych zmian gęstości ośrodka, tzn. ?w(x, t) = ?0 +?(x, t), gdzie ?0 jest gęstością ośrodka przed zaburzeniem, natomiast ?(x, t) jest zmianą gęstości ośrodka zaburzonego falą akustyczną, przy czym ?(x, t) ? ?0.

Szczegółowa analiza zmian ciśnienia i gęstości zaburzonego ośrodka pozwala na uzyskanie analitycznej zależności opisującej rozchodzenie się fali akustycznej. Zależność tę określa tzw. równanie falowe fali akustycznej opisujące drgania ośrodka we współrzędnych przestrzennych i czasie. Wyprowadzenie tego równania znaleźć można w różnych podręcznikach na temat akustyki (Malecki, 1964; Kwiek, 1968; Morse i Ingard, 1968; Skudrzyk, 1971; Pierce, 1981; Żyszkowski, 1984; Ginter, 1993, Makarewicz, 1994; Beranek i Mellow, 2012; Rossing, 2015), dlatego też poniżej podano jedynie ogólne uwagi dotyczące tego wyprowadzenia. Przy wyprowadzaniu równania falowego dla fali akustycznej korzysta się z podstawowych praw fizycznych, opartych na zasadach zachowania pędu, masy i energii. Wykorzystując zasady zachowania, poszukuje się zależności analitycznych, które opisują zachowanie się ciśnienia akustycznego w czasie, w pewnym wybranym punkcie ośrodka o współrzędnych (x, y, z), czyli funkcji p(x, y, z, t). Załóżmy dla uproszczenia, że ciśnienie to zależy tylko od jednej zmiennej przestrzennej, np. x. Oznacza to, że fala akustyczna rozchodzi się tylko w kierunku osi x i ma postać fali płaskiej, tzn. czoło fali jest płaszczyzną prostopadłą do osi x. Pomocne dla tych rozważań jest wprowadzenie pojęcia tzw. cząstki akustycznej, za którą uważa się bardzo mały fragment8) ośrodka o określonej masie i prędkości, zdolny do wykonywania drgań wymuszonych. Wykorzystując zasadę zachowania pędu w odniesieniu do cząstki akustycznej, otrzymuje się podstawowe równanie ruchu ośrodka, zwane zlinearyzowanym równaniem Eulera w postaci

. (1.3)

Równanie to pokazuje, że zmiany ciśnienia akustycznego rozchodzące się wzdłuż osi x są przyczyną ruchu ośrodka z prędkością ?. Opisuje ono dobrze ruch ośrodka przy stosunkowo małych jego zaburzeniach o charakterze liniowym, wywołanych np. dźwiękami mowy lub muzyki. Natomiast dla nieliniowych zaburzeń tego ośrodka, wywołanych dźwiękami o bardzo dużym natężeniu (np. wybuchy), równanie to jest bardziej złożone i zawiera dodatkowo składniki nieliniowe.

Korzystając z zasady zachowania masy ośrodka zaburzonego falą akustyczną, uzyskać można równanie ciągłości masy dla fali płaskiej, które przy pewnych upraszczających założeniach ma postać

. (1.4)

Podobnie jak równanie Eulera, równanie (1.4) jest słuszne dla małych zaburzeń ośrodka (małych zmian jego gęstości).

Przy założeniu, że zmiany ciśnienia i zmiany gęstości ośrodka mają charakter adiabatyczny i są bardzo małe, można, korzystając z zasady zachowania energii, otrzymać akustyczną wersję równania termodynamicznego w postaci

, (1.5)

gdzie współczynnik proporcjonalności c2 = ?p0/?0 - kwadrat prędkości propagacji fali akustycznej (prędkości dźwięku9)), ?- stosunek ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu do ciepła właściwego przy stałej objętości, p0 - ciśnienie atmosferyczne w N - m-2, a ?0 - gęstość ośrodka w kg - m-3. Układ równań (1.3), (1.4) i (1.5), zawierający trzy zmienne p, ?,?, opisuje pole akustyczne w ośrodku idealnym. Nie uwzględnia on realnych warunków rozchodzenia się fali akustycznej, czyli efektów związanych z lepkością, przewodnictwem i promieniowaniem cieplnym ośrodka.

Po przekształceniach tych równań, tzn. wykorzystaniu (1.5) w (1.4), zróżniczkowaniu (1.3) względem t oraz (1.4) względem x i odjęciu stronami, otrzymuje się podstawowe równania falowe opisujące propagację ciśnienia akustycznego i prędkości cząstki akustycznej dla fali płaskiej

(1.6)

(1.7)

Współczynnik c2 oznaczający kwadrat prędkości dźwięku jest dla ośrodka idealnego (gazu doskonałego) równy

c2 = ?RTK/M, (1.8)

gdzie ?- wykładnik adiabaty (stosunek ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu do ciepła właściwego przy stałej objętości), R - uniwersalna stała gazowa, TK - temperatura w kelwinach (temperatura bezwzględna), M - masa molowa gazu. Dla powietrza, po podstawieniu stałych ?= 1,401, R = 8314 kg - m2 - s-2 - K-1 - kmol-1, M = 29,0 kg - kmol-1 oraz zamianie kelwinów na stopnie Celsjusza (0 K = -273,16°C), wyrażenie (1.8) przyjmuje postać

. (1.9)

Można łatwo obliczyć, że przy temperaturze 0°C, prędkość dźwięku w powietrzu wyniesie około10) 331 m - s-1.

Podczas propagacji fali płaskiej w ośrodku idealnym zachowana jest stałość11) przebiegu falowego w dowolnej odległości od źródła dźwięku. Wszystkie wielkości opisujące rozchodzenie się tej fali wzdłuż osi x zależą tylko od czasu t i współrzędnej x rozpatrywanego punktu ośrodka. W tych idealnych warunkach (brak pochłaniania w ośrodku) postać fali w punkcie o współrzędnej x różni się od postaci fali w początku układu tylko tym, że fale te są przesunięte w czasie o wartość x/c. Tak więc falę rozchodzącą się w dodatnim kierunku osi x możemy opisać funkcją f (t - x/c), gdzie t jest czasem, c zaś prędkością dźwięku, natomiast falę rozchodzącą się w kierunku przeciwnym, funkcją f (t + x/c). Aby postać przebiegu falowego rozchodzącego się w kierunku osi x była stała, argument funkcji f musi być stały. Tak też właśnie jest, ponieważ wraz ze wzrostem czasu t rośnie droga x przebyta przez falę. Przy założeniu, że zaburzenie ośrodka w czasie t1 i w odległości x1 jest takie samo jak w czasie t2 i w odległości x2, argumenty funkcji f muszą być równe, czyli że . Stąd , jako stosunek przyrostów odległości do czasu przedstawia prędkość ruchu falowego, inaczej prędkość dźwięku. Jest to tzw. prędkość fazowa12) dźwięku, która określa prędkość przemieszczania się w przestrzeni punktów powierzchni o ustalonej fazie dla fali sinusoidalnej.

Równania (1.6) i (1.7) są liniowe, co oznacza, że w przypadku złożonej fali płaskiej można rozpatrywać ją jako sumę sinusoidalnych fal płaskich. Rozwiązania tych równań można zapisać jako

, (1.10)

. (1.11)

Dla szczególnego przypadku sinusoidalnej fali płaskiej rozchodzącej się tylko w kierunku dodatnim osi x, wyrażenia (1.10) i (1.11) przyjmują postać

, (1.12)

, (1.13)

gdzie ?0 - gęstość ośrodka, c - prędkość dźwięku, A - amplituda drgań, ? = 2?/T - częstość kołowa w radianach na sekundę, T - okres drgań, ?- faza początkowa w radianach w chwili t = 0. Równania (1.12) i (1.13) pokazują, że dla sinusoidalnej fali płaskiej propagacja ciśnienia akustycznego i prędkości cząstki odbywa się według podobnych zależności. Odległość ?= cT, jaką pokonuje fala sinusoidalna w czasie jednego okresu drgań, nazywa się długością fali. Długość fali jest równa odległości pomiędzy dwoma najbliższymi punktami ośrodka, między którymi różnica faz jest równa 2?. Oprócz długości fali stosuje się też inną wielkość charakteryzującą falę sinusoidalną. Jest nią liczba falowa k =2?/?= 2?/(cT) = ?/c. Korzystając z tego oznaczenia, równanie sinusoidalnej fali płaskiej (1.12) można zapisać w postaci

.

Pomiędzy wychyleniem, prędkością cząstki i ciśnieniem akustycznym istnieją określone relacje fazowe, co pokazano na rysunku 1.2. Jak widać, przy maksymalnym wychyleniu cząstki z położenia równowagi jej prędkość jest równa zeru, przy czym wartość ciśnienia akustycznego, która jest proporcjonalna do tej prędkości, jest też równa zeru. Oznacza to, że pomiędzy maksymalnym wychyleniem cząstki i jej prędkością istnieje przesunięcie fazowe równe ?/2, a prędkość tej cząstki jest zgodna w fazie z ciśnieniem akustycznym.

Rys. 1.2. Zależności czasowe (fazowe) pomiędzy wychyleniem (a), prędkością cząstki akustycznej (b) oraz ciśnieniem akustycznym (c) dla sinusoidalnej fali płaskiej rozchodzącej się w ośrodku gazowym

Podane wyżej rozważania odnosiły się do fali płaskiej, dla której czoło fali jest płaszczyzną. W przypadku, gdy czoło fali ma kształt powierzchni kulistej, mamy wówczas do czynienia z falą kulistą, opisaną w ogólności funkcją 1/r - f(t - r/c), gdzie r jest odległością punktu od środka fali. Źródłem takiej fali może być np. mała kula równomiernie pulsująca we wszystkich kierunkach. Dla tego rodzaju fal równania propagacji ciśnienia akustycznego i prędkości cząstki akustycznej są bardziej złożone niż dla fali płaskiej. Zmianę ciśnienia akustycznego w czasie w odległości r od źródła opisuje równanie

, (1.14)

natomiast równanie propagacji dla prędkości cząstki akustycznej ma postać

. (1.15)

Można wykazać, że w szczególnym przypadku, tzn. dla fali sinusoidalnej (monochromatycznej) o amplitudzie A i częstości kołowej ?=2?f =2?c/?, rozwiązaniami tych równań w postaci wykładniczej są poniższe wyrażenia (Kwiek, 1968)

(1.16)

(1.17)

Jak widać z (1.16) i (1.17), ciśnienie akustyczne dla fali kulistej propaguje się według innej zależności niż prędkość cząstki akustycznej (w przypadku fali płaskiej równania te miały tę samą postać). Ponadto ciśnienie akustyczne i prędkość cząstki nie są w każdym punkcie zgodne w fazie, jak to miało miejsce dla fali płaskiej. Przesunięcie fazy zależy od stosunku odległości r punktu obserwacji od źródła do długości fali ?. Dla dużej odległości od źródła, tzn. dla r dużo większego od długości fali ?, czyli gdy punkt obserwacji leży w tzw. polu dalekim, przesunięcie fazowe pomiędzy ciśnieniem akustycznym i prędkością cząstki jest bliskie zera i wtedy fala kulista zachowuje się podobnie jak fala płaska. Natomiast dla małej odległości od źródła, tzn. gdy odległość r jest dużo mniejsza od długości fali ?, czyli gdy punkt obserwacji znajduje się w tzw. polu bliskim, prędkość cząstki jest przesunięta w fazie o kąt ?/2 w stosunku do prędkości cząstki wyznaczonej w polu dalekim i różni się zależnością od r.

1.3. Fala sinusoidalna

Najprostszą formą ruchu falowego jest ruch harmoniczny prosty, w wyniku którego powstaje fala sinusoidalna. Falę taką opisuje następujące równanie:

, (1.18)

gdzie p(t) - chwilowe ciśnienie akustyczne, A - amplituda tego ciśnienia, T - okres drgań w sekundach (T =1/f), ? - faza wyrażona w radianach. Argument funkcji sin, tzn. 2?t/T + ? nazywa się fazą chwilową. Dla t = 0, faza chwilowa jest równa ? i nazywa się fazą początkową. Określa ona wartość ciśnienia akustycznego w chwili początkowej. Jeśli wartość tego ciśnienia jest dodatnia (lokalne zgęszczenie ośrodka) to faza początkowa zawiera się w granicach 0° < ? < 180°, natomiast dla ujemnej wartości ciśnienia akustycznego (lokalne rozrzedzenia ośrodka) faza początkowa zawiera się w przedziale 180° < ?< 360°. Ponieważ funkcja sinus przyjmuje maksymalne wartości w granicach od -1 do 1, a amplituda A jest zawsze dodatnią liczbą rzeczywistą, tak więc przebieg p(t) może przyjmować maksymalne i minimalne wartości w granicach od -A do A.

Odwrotność okresu T, tzn. czasu, w którym nastąpi jedno pełne drganie, nazywa się częstotliwością drgań i wyraża się w hercach13) (skrót Hz)

f = 1/T. (1.19)

Tak zdefiniowana częstotliwość określa więc liczbę pełnych drgań na sekundę, a jeden Hz oznacza jedno pełne drganie na sekundę14). Przykładowo, gdy A = 1, f = 5 Hz i  ? = 0°, przebieg zmian ciśnienia akustycznego opisany równaniem (1.18) ma postać przebiegu sinusoidalnego, pokazaną na rysunku 1.3.

Rys. 1.3. Przebieg zmian ciśnienia akustycznego w czasie dla fali sinusoidalnej o amplitudzie A = 1 i częstotliwości f = 5 Hz, co odpowiada okresowi T = 200 ms i fazie początkowej ? równej zeru

Ponieważ jedno pełne drganie, którego okres wynosi T, zawiera 2? radianów, tak więc częstotliwość można też wyrazić stosunkiem 2?/T. Stosunek ten określa tzw. częstość kołową15)? mierzoną w radianach16) na sekundę. Częstość kołowa związana jest z częstotliwością f wyrażeniem

? = 2?/T = 2?f. (1.20)

Oznacza to, że równanie (1.18) można zapisać jako

p(t) = A sin (?t + ?). (1.21)

Jak więc widać, sinusoidalny przebieg falowy jest scharakteryzowany amplitudą drgań, częstotliwością i fazą chwilową. Wyrażenie (1.21) zapisuje się nieraz w jeszcze prostszej postaci następująco:

p(t) = A sin ? (t), (1.22)

gdzie ? (t) = ?t + ? jest kątem mierzonym w radianach, który rośnie liniowo wraz ze wzrostem t. Przebieg ten jest najprostszym widmowo sygnałem, zawierającym tylko jedną składową sinusoidalną i nazywa się tonem. Każdy przebieg zawierający więcej niż jedną składową sinusoidalną jest przebiegiem (dźwiękiem) złożonym.

Nawiązując do pojęcia fazy początkowej sygnału, warto podkreślić jej wpływ na postać sygnału wypadkowego, stanowiącego sumę sygnałów składowych. Na rysunku 1.4a-d pokazano sumowanie dwóch sygnałów p1(t) i p2(t) i postać sygnału wypadkowego. Pierwszy z tych sygnałów, zaznaczony linią kropkowaną, ma fazę początkową równą zeru, drugi sygnał zaś, zaznaczony linią przerywaną, o częstotliwości dwukrotnie większej niż pierwszy, jest przesunięty w fazie względem pierwszego kolejno o: 0° (a), 90° (b), 180° (c) i 270° (d). Widać, że w każdym z rozpatrywanych przypadków postać sygnału wypadkowego (linia ciągła) zależy wyraźnie od różnicy faz początkowych pomiędzy sygnałami składowymi.

Rys. 1.4. Wpływ różnicy faz pomiędzy dwoma sygnałami p1(t) (linia kropkowana) i p2(t) (linia przerywana) na postać sygnału wypadkowego (linia ciągła), będącego sumą sygnałów p1(t) i p2(t)

Dla przebiegów periodycznych amplituda jako wielkość stała w czasie stanowi jedną z ważniejszych wielkości fizycznych. Jednakże dla przebiegów bardziej złożonych trudno jest posługiwać się pojęciem amplitudy, gdyż zmienia się ona w czasie, najczęściej nieregularnie. Dlatego też dla tego rodzaju przebiegów wyznacza się zamiast amplitudy średni kwadrat wartości chwilowej przebiegu p(t) w przedziale czasu T (inaczej wartość średniokwadratową). Średni kwadrat wartości chwilowej przebiegu p(t) określa wyrażenie

, (1.23)

gdzie T - czas uśredniania (okres drgania), a t - bieżąca chwila. Jak widać, wartość średniego kwadratu ciśnienia zależy od czasu uśredniania T. Takie uśrednianie nazywa się uśrednianiem liniowym17). Wyznaczając dodatnią wartość pierwiastka kwadratowego ze średniego kwadratu ciśnienia, otrzymuje się tzw. ciśnienie skuteczne prms, czyli

, (1.24)

lub, dla N dyskretnych wartości piprzebiegu p(t),

.

Przykładowo, wartość skuteczna prms (ang. root mean square) dla sinusoidalnych zmian ciśnienia p(t) = Asin(? t) wynosi

(1.25)

gdzie A jest amplitudą ciśnienia akustycznego. Na rysunku 1.5 pokazano przebieg sinusoidalnych zmian ciśnienia p(t) o amplitudzie A = 1 wraz z zaznaczoną dla niego wartością skuteczną (linia przerywana) prms= 0,707A oraz ten sam przebieg podniesiony do kwadratu wraz z zaznaczoną średnią wartością mocy (linia kropkowana).

W ogólności wartości skuteczne sygnałów są mniejsze niż ich wartości maksymalne i zależą od postaci przebiegu falowego. Przykładowo, dla przebiegu prostokątnego prms = A, dla przebiegu trójkątnego prms= 0,577A itd.

Rys. 1.5. Przebieg sinusoidalnych zmian ciśnienia p(t) o amplitudzie A = 1, dla którego linią przerywaną zaznaczono wartość skuteczną (rms) ciśnienia prms= 0,707A (a) oraz przebieg jego mocy chwilowej wraz z zaznaczoną za pomocą linii kropkowanej średnią wartością mocy .

Jeśli przebieg ciśnienia p(t) jest nieregularny, to fluktuujące właściwości tego przebiegu określa wariancja ?2 zdefiniowana jako

, (1.26)

gdzie p(t) - ciśnienie chwilowe, - ciśnienie średnie, T zaś - czas uśredniania (równy okresowi drgania). Można powiedzieć, że wariancja ma sens składowej dynamicznej (fluktuującej) sygnału, wartość średnia zaś ma sens składowej statycznej. Dla N dyskretnych wartości piprzebiegu p(t), wariancja jest równa

. (1.26a)

Dodatnia wartość pierwiastka kwadratowego z wariancji nazywa się odchyleniem standardowym SD i określona jest wyrażeniem

. (1.27)

Dla N dyskretnych wartości piprzebiegu p(t), odchylenie standardowe jest równe

. (1.27a)

Jak widać z (1.27), jeśli wartość średnia przebiegu równa się zeru, to odchylenie standardowe równa się wartości skutecznej przebiegu (SD = prms). Oprócz omówionych wyżej wielkości do opisu sygnału stosuje się nieraz tzw. współczynnik szczytu - CF (ang. Crest Factor). Współczynnik ten zdefiniowany jest jako stosunek maksymalnej, bezwzględnej wartości sygnału do jego wartości rms

, (1.28)

gdzie max|p(t)| oznacza maksimum bezwzględnej wartości sygnału w rozpatrywanym przedziale czasu. Dla sygnałów periodycznych wartość tę wyznaczyć można dość dokładnie. Przykładowo, dla sygnału sinusoidalnego współczynnik szczytu CF jest równy 1,4, dla sygnału prostokątnego 1, dla trapezoidalnego 1,22, a dla sygnału trójkątnego 1,73. Jednakże dla sygnału nieperiodycznego maksymalną jego wartość jest nieraz trudno ustalić ze względu na znaczne fluktuacje sygnału. Dlatego też nie zawsze daje się w sposób jednoznaczny określić dla takiego sygnału wartość współczynnika szczytu. Znajomość współczynnika szczytu jest ważna przede wszystkim dla sygnałów o dużych fluktuacjach wartości chwilowych, które nie zawsze są wiernie przenoszone przez nadajniki i odbiorniki dźwięku oraz układy pomiarowe. Znając wartość tego współczynnika, możemy często uniknąć zniekształceń sygnału w procesie jego przetwarzania. Przykładowo dobre mierniki napięcia lub poziomu ciśnienia akustycznego powinny charakteryzować się współczynnikiem szczytu nie mniejszym niż 6, dzięki czemu mierzone za ich pomocą wartości rmssą stosunkowo dokładne.

1.4. Natężenie fali akustycznej

Rozchodzenie się fal akustycznych wiąże się ściśle z przekazywaniem energii z jednych obszarów ośrodka do drugich. Ważne w tym zakresie są pojęcia natężenia i gęstości energii fali akustycznej. Natężenie fali akustycznej I definiuje się jako średnią wartość strumienia energii przepływającego w czasie 1 s przez powierzchnię jednostkową (1 m2) prostopadłą do kierunku propagacji fali. Jednostką natężenia18) jest W - m-2. Drugą ważną wielkością charakteryzującą pole akustyczne jest gęstość energii akustycznej E. Gęstość tę definiuje się jako średnią w czasie energię akustyczną zawartą w jednostce objętości. Jednostką gęstości energii19) jest J - m-3.

Chwilowa wartość gęstości energii akustycznej E(t) dla fali płaskiej jest sumą gęstości energii kinetycznej Ek(t) i energii potencjalnej Ep(t) (Hall, 1987)

. (1.29)

Natomiast uśredniona w czasie gęstość energii akustycznej jest równa

,

gdzie oraz .

Korzystając z zależności (1.12) i (1.5), można wykazać, że w szczególnym przypadku, tzn. dla sinusoidalnejfali płaskiej, , gdzie p2 oznacza średni kwadrat ciśnienia akustycznego (czyli , por. (1.23)). Tak więc średnią wartość całkowitej gęstości energii można przedstawić jako

.

Przykładowo, dla sinusoidalnej fali płaskiej o poziomie ciśnienia akustycznego 80 dB SPL (por. podrozdział 1.5) średnia wartość gęstości energii kinetycznej jest równa 1,4 - 10-7 J- m-3. Tyle samo wynosi też średnia wartość gęstości energii potencjalnej. Całkowita więc gęstość energii dla tej fali jest równa 2,8 - 10-7 J- m-3.

Natężenie fali akustycznej I otrzymuje się w wyniku uśredniania w czasie chwilowej prędkości przepływu energii akustycznej przez jednostkę powierzchni, tzn. wielkości I(t) = p(t)?(t), czyli

. (1.30)

Zgodnie z (1.30), natężenie fali płaskiej jest proporcjonalne do kwadratu ciśnienia akustycznego. Ma ono sens prędkości przepływu energii akustycznej przez powierzchnię jednostkową (J - m-2 - s-1), gdzie c jest prędkością rozchodzenia się tej fali. W polu fali płaskiej zarówno natężenie, jak i gęstość energii nie zależą ani od odległości od źródła, ani od czasu. Oznacza to, że struktura tego pola jest jednorodna i stacjonarna.

Inaczej przedstawia się natężenie dla fali kulistej. Załóżmy, że w środku kuli o promieniu r znajduje się punktowe źródło dźwięku o mocy P. Niech źródło to promieniuje falę akustyczną równomiernie we wszystkich kierunkach do nieograniczonego ośrodka jednorodnego. Przez powierzchnię tej kuli (4?r2) przepłynie w jednostce czasu energia równa iloczynowi 4?r2-I, gdzie I jest natężeniem dźwięku określonym jako średni w czasie przepływ energii przez jednostkę powierzchni prostopadłą do kierunku propagacji fali. Ten ubytek energii kompensowany jest, zgodnie z zasadą zachowania energii, przez energię dostarczaną do ośrodka przez źródło w jednostce czasu, równą

P = 4?r2I, (1.31)

gdzie P jest mocą akustyczną źródła, I jest natężeniem dźwięku. Stąd, jak widać

. (1.32)

Zgodnie z (1.32), natężenie dźwięku jest równe mocy akustycznej niesionej przez falę przechodzącą przez jednostkową powierzchnię prostopadłą do kierunku propagacji tej fali. Natężenie to mierzone w dowolnym punkcie pola swobodnego (por. rys. 2.2) spełnia tzw. prawo odwrotnej proporcjonalności, tzn. maleje ono odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości od źródła. Wynika to stąd, że wypromieniowana moc źródła, jako wartość stała, rozkłada się równomiernie na powierzchni kuli rosnącej z kwadratem promienia (S = 4?r2), przy czym promień r jest równocześnie odległością punktu pomiarowego od źródła dźwięku (por. rys. 1.6).

Rys. 1.6. Rozkład mocy promieniującego źródła punktowego na powierzchni kuli

Prawo odwrotnej proporcjonalności dla źródła punktowego przedstawia się często w postaci logarytmicznej (w decybelach) za pomocą wyrażenia (1.32a) (Howard i Angus, 2009)

LI= LP - 20 log(r) - 11dB, (1.32a)

gdzie LI jest poziomem natężenia dźwięku (LI = 10 log(I/10-12), LPjest poziomem mocy (LP = 10 log(P/10-12), r zaś jest odległością od źródła dźwięku. Zgodnie z (1.32a), poziom natężenia dźwięku, dla źródła punktowego promieniującego w obszar kuli o powierzchni S = 4?r2 spada o 6 dB przy podwojeniu odległości od źródła20).

W szczególnym przypadku, tzn. dla kulistej fali sinusoidalnej o amplitudzie A i częstości kołowej ?, średnią gęstość energii kinetycznej i potencjalnej można przedstawić w postaci (Hall, 1987)

, (1.33)

. (1.34)

W polu bliskim, tzn. gdy ? ?2?r, gęstość energii kinetycznej jest znacznie większa niż energii potencjalnej, co wynika z "przylegania" warstwy ośrodka (powietrza) do powierzchni źródła w tej odległości. W tym obszarze pola tylko niewielka część energii kinetycznej zamienia się na potencjalną. Warunkiem zaś przenoszenia się energii w przestrzeni jest zamiana energii kinetycznej na potencjalną i odwrotnie. Tak więc w obszarze, dla którego ?? 2?r, energia akustyczna rozchodzi się bardzo słabo i jest ona głównie skoncentrowana wokół źródła. Natomiast dla pola dalekiego, tzn. gdy ??2?r, średnie wartości gęstości energii kinetycznej i potencjalnej są sobie równe, następuje ich ciągła zamiana i cała energia akustyczna przenosi się z miejsca na miejsce (podobnie jak dla fali płaskiej). W tym przypadku, zgodnie z (1.30), średnie natężenie fali akustycznej jest iloczynem średniej gęstości jej energii całkowitej przez prędkość dźwięku. Podstawiając do (1.30) wartość energii całkowitej (Ek + Ep) w polu dalekim, otrzymujemy

. (1.35)

Oznacza to, że natężenie fali kulistej w polu dalekim jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości od źródła. Ponieważ, zgodnie z (1.25), dla fali sinusoidalnej , czyli, więc dla kulistej fali sinusoidalnej

, (1.36)

gdzie p2 jest średnim kwadratem ciśnienia akustycznego. Podwojenie odległości od źródła dźwięku oznacza więc czterokrotny spadek natężenia dźwięku. W skali poziomu natężenia (por. podrozdział 1.5) odpowiada to spadkowi poziomu o 6 dB (gdyż 10log 4 = 6 dB).

1.5. Decybele, dodawanie sygnałów i ich poziomów

Wartość mierzonej wielkości fizycznej porównuje się często z inną wartością tej samej wielkości przyjętą jako odniesienie. W ten sposób uzyskuje się stosunek dwóch wartości, czyli względną miarę danej wielkości fizycznej. Obliczając, zgodnie z (1.37), 10 logarytmów tego stosunku, otrzymuje się tzw. poziom L danej wielkości fizycznej mierzonej w decybelach (skrót dB)21)

L = 10 log(X/Xod) [dB], (1.37)

gdzie X - wartość tej wielkości, Xod- umowna wartość odniesienia. Stosując tę definicję poziomu do wielkości mocy lub natężenia dźwięku, uzyskać możemy odpowiednio poziom mocy oraz poziom natężenia dźwięku22) wyrażone wzorami

LP = 10 log (P/Pod), (1.38)

LI= 10 log (I/Iod). (1.39)

Pamiętając, że natężenie dźwięku jest wprost proporcjonalne do kwadratu amplitudy (por. podrozdział 1.4) i uwzględniając to w (1.39), otrzymujemy wyrażenie określające poziom ciśnienia akustycznego wyrażony w decybelach

[dB], (1.40)

gdzie wielkości p oraz pod oznaczają, odpowiednio, ciśnienie skuteczne mierzone i ciśnienie skuteczne odniesienia wyrażone w paskalach (Pa).

Poziom wielkości akustycznej wyznacza się w stosunku do jej ustalonej wartości odniesienia. Przy wyznaczaniu np. poziomu ciśnienia akustycznego, jako wartość odniesienia przyjmuje się progową wartość ciśnienia skutecznego pp, tzn. taką, która wywołuje zaledwie spostrzegane (progowe) wrażenie słuchowe dla tonu o częstotliwości 1000 Hz. Wartość tę uśrednia się dla dużej liczby słuchaczy o normalnym słuchu23). Na podstawie licznych badań przyjęto jako ciśnienie skuteczne odniesienia wartość pp= 2-10-5 Pa = 0,00002 Pa = 20 ?Pa24). Tak więc dowolnej wartości ciśnienia skutecznego p odpowiada poziom tego ciśnienia równy

L = 20log (p/pp) = 20log (p/2 - 10-5) [dB SPL]. (1.41)

Przy tak zdefiniowanej wartości odniesienia otrzymane decybele nazywa się decybelami SPL, w skrócie dB SPL (ang. Sound Pressure Level). Jeśli przykładowo mierzona wartość ciśnienia skutecznego jest 100 razy większa od ciśnienia odniesienia pp, to odpowiada ona poziomowi ciśnienia akustycznego L = 20log(100pp/pp) = 40 dB SPL. Podobnie można pokazać, że dziesięciokrotnemu wzrostowi ciśnienia względem ciśnienia odniesienia odpowiada wzrost poziomu o 20 dB SPL, dwukrotnemu zaś wzrostowi ciśnienia akustycznego względem ciśnienia odniesienia odpowiada wzrost poziomu o 6 dB SPL. Jeśli natomiast mierzona wartość ciśnienia skutecznego jest równa ciśnieniu odniesienia pp, to poziom ciśnienia akustycznego takiego dźwięku jest równy zero dB SPL (gdyż L = 20log (pp/pp)= 0 dB SPL). Jak z tego widać, zerowa wartość decybeli SPL nie oznacza braku dźwięku, lecz przyporządkowana jest ona mierzonemu ciśnieniu skutecznemu równemu ciśnieniu odniesienia. Stąd też dalej wynika, iż ujemna wartość decybeli SPL wskazuje, że mierzone ciśnienie akustyczne ma wartość mniejszą niż ciśnienie odniesienia.

Wartości ciśnienia odniesienia równej 2 - 10-5 Pa można przyporządkować okreś­loną wartość natężenia odniesienia Ip, która dla fali płaskiej jest równa (por. (1.30))

Ip = pp2/(?0c) = (2 - 10-5)2/415 = 0,964 - 10-12 W/m2 ? 10-12 W/m2 = 10-16 W/cm2.

(1.42)

Wielkość ?0c, zwana impedancją akustyczną właściwą powietrza, jest równa 415 rejli (por. podrozdział 2.1). Znając wartość odniesienia dla natężenia dźwięku (tonu o częstotliwości 1000 Hz) równą Ip = 10-12 W/m2, możemy, dla dźwięku o natężeniu I (wyrażonym w W/m2), wyznaczyć jego poziom natężenia zgodnie z wzorem

L = 10 log (I/Ip) = 10 log (I/10-12) [dB SPL]25). (1.43)

Podstawiając przykładowo do wzoru (1.43) zamiast I natężenie odniesienia, tzn. I = Ip= 10-12 W/m2, widzimy, że poziom natężenia takiego dźwięku jest równy zeru decybeli SPL. Natomiast dla natężenia dźwięku I równego np. 1 W/m2 (co odpowiada natężeniu dźwięku przy starcie samolotu odrzutowego), poziom natężenia dźwięku wyniesie L = 10log (1/10-12) = 120 dB SPL.

W tabeli 1.1 podano przykładowe wartości poziomów ciśnienia akustycznego w dB SPL spotykanych w praktyce oraz odpowiadające tym poziomom przybliżone wartości natężenia i ciśnienia akustycznego.

Źródło dźwięku (hałasu)

Poziom ciśnienia akustycznego [dB SPL]

Natężenie dźwięku [W/m2]

Ciśnienie akustyczne [Pa]

Hałas silnika odrzutowego w odległości 30 m

140

102

200

Hałas przy starcie samolotu odrzutowego w odległości 500 m

120

1

20

Hałas w warsztacie maszyn ciężkich

100

10-2

2

Hałas w fabryce

80

10-4

0,2

Cicha rozmowa

60

10-6

2 - 10-2

Biblioteka

40

10-8

2 - 10-3

Szept w odległości 1 m

20

10-10

2 - 10-4

Tabela 1.1. Przykładowe wartości poziomu ciśnienia akustycznego spotykane w praktyce oraz odpowiadające im wartości natężenia i ciśnienia akustycznego

W pewnych przypadkach, kiedy np. interesuje nas tylko stosunek ciśnień akustycznych dwóch dźwięków, wartość odniesienia nie jest istotna. Jeśli przyjąć dla przykładu, że różnica poziomu ciśnień akustycznych dwóch dźwięków jest równa 40 dB, tzn. L2 - L1 = 20 log(p2/pp) - 20 log(p1/pp) = 20 log(p2/p1) = 40 dB, to stosunek ciśnień akustycznych tych dźwięków wynosi p2/p1 = 100, a z zależności L2 - L1 = 10log (I2/I1) widać, że stosunek ich natężeń jest równy I2/I1 = 10 000.

W zależności od przyjętej wartości ciśnienia odniesienia wprowadzono też inne miary decybelowe. Jedną z nich są decybele HL, w skrócie dB HL (ang. Hearing Level), stosowane głównie w audiologii przy wyznaczaniu progu słyszalności. Decybele HL wyrażają poziom słyszalności tonu i są wyznaczane podobnie jak dB SPL, z tą jednak różnicą, że jako wartość odniesienia przyjmuje się dla dB HL ciśnienie skuteczne dla danego tonu odpowiadające progowi jego słyszalności. Te wartości odniesienia uśrednia się dla dużej populacji osób ze słuchem normalnym, oddzielnie dla kolejnych częstotliwości tonu. Natomiast dla dB SPL za progową wartość odniesienia przyjmuje się, jak już wspomniano, ciśnienie skuteczne równe 2 - 10-5 Pa, przyporządkowane częstotliwości 1000 Hz. W przypadku więc dB HL, dla progowych wartości mierzonego ciśnienia krzywa progowa w funkcji częstotliwości przyjmuje postać linii prostej, o zerowych wartościach dB HL (por. rys. 12.3b, krzywa 1). Oprócz dB SPL i dB HL istnieją też inne miary decybelowe, takie jak: dB SL i dB nHL. Decybele SL (ang. Sensation Level) są miarą tzw. poziomu odczucia dźwięku (wrażenia słuchowego). Otrzymuje się je wówczas, gdy za ciśnienie odniesienia przyjmie się nie wartość progową uśrednioną dla dużej liczby osób (czyli wartość standardową), lecz wartość progową dla danej osoby. Oznacza to, że jeśli zmienia się wartość progowa dla tej osoby, to zmienia się też odpowiednio poziom odczucia wyrażony w dB SL. Jeśli np. dla częstotliwości 1000 Hz próg słyszalności dla danej osoby wynosi 20 dB SPL, a poziom ciśnienia akustycznego sygnału o tej częstotliwości jest równy 70 dB SPL, to poziom odczucia tego sygnału dla tej osoby wynosi 50 dB SL. Natomiast decybele nHL (dB nHL; ang. normal Hearing Level) wyrażają poziom słyszalności sygnałów nietonalnych (np. trzasków stosowanych w badaniu słuchowych potencjałów pnia mózgu, por. punkt 12.3.3) w odróżnieniu od decybeli HL, które odnoszą się do sygnałów tonalnych. Ponadto w przypadku dB nHL uśrednienia progowych wartości odniesienia dokonuje się dla mniejszej grupy osób ze słuchem normalnym (testowanych w danym ośrodku) niż w przypadku dB HL.

Omawiając zagadnienie poziomu ciśnienia akustycznego, warto podkreślić, że poziomy te nie podlegają prostym transformacjom liniowym, np. dodawaniu, ponieważ są one wykładnikami potęg (wartościami logarytmów), które uzyskuje się na podstawie przekształceń nieliniowych. Inaczej mówiąc, jeśli np. dla dwóch niezależnych sygnałów wypadkowa wartość średniego kwadratu ich ciśnienia równa się sumie średnich wartości kwadratów ciśnienia tych sygnałów, to poziom wypadkowej wartości średniego kwadratu ciśnienia nie równa się sumie poziomów kwadratu ciśnienia tych sygnałów. Aby to lepiej zrozumieć, przeanalizujmy najpierw prosty przypadek liniowego dodawania dwóch sygnałów, a następnie przypadek dodawania poziomów tych sygnałów.

Dodawanie sygnałów dotyczy w ogólności sumowania wartości ich napięć w przypadku sygnałów elektrycznych lub ciśnień w przypadku sygnałów akustycznych. Jeśli przykładowo na wyjściu jednego wzmacniacza rejestruje się sygnał elektryczny x1(t), na wyjściu zaś drugiego sygnał x2(t), to liniowe sumowanie tych sygnałów (za pomocą np. miksera) daje sygnał wypadkowy xw(t) równy

xw(t) = a1 x1(t) + a2 x2(t), (1.44)

gdzie a1 i a2 są stałymi wzmocnienia wzmacniaczy.

Zakładając dla uproszczenia, że stałe wzmocnienia są równe 1, wyrażenie (1.44) można zapisać jako

xw(t) = x1(t) + x2(t). (1.45)

Warto zauważyć, że jakakolwiek inna operacja niż liniowe dodawanie dokonana na tych sygnałach prowadziłaby do zniekształceń sygnału wypadkowego. W wyniku liniowego sumowania moc chwilowa wypadkowego sygnału elektrycznego Pe(t) jest równa kwadratowi sumy tych sygnałów, czyli

. (1.46)

Jeśli, podobnie, zmiany ciśnienia akustycznego generowane przez jedno źródło dźwięku są opisane funkcją p1(t), natomiast drugie źródło dźwięku generuje zmiany ciśnienia p2(t), to przy równoczesnym włączeniu tych źródeł dźwięku przebiegi p1(t) i p2(t) dodają się, w wyniku czego otrzymuje się wypadkową zmianę ciśnienia w postaci

pw(t) = p1(t) + p2(t). (1.47)

Moc chwilowa wypadkowego sygnału akustycznego, analogicznie jak wypadkowego sygnału elektrycznego, będzie równa

. (1.48)

Jak widać z (1.48), moc chwilowa sygnału wypadkowego jest równa sumie mocy poszczególnych sygnałów plus składnik będący iloczynem tych sygnałów, tzn.

P (t) = P1(t)+P2(t)+2p1(t)p2(t), (1.49)

gdzie P1(t) = p12(t), a P2(t) = p22(t).

W praktyce interesuje nas nie wartość mocy chwilowej sygnału, lecz moc średnia, którą otrzymuje się w drodze uśredniania czasowego mocy chwilowej. Uśredniając moc chwilową sygnału akustycznego w czasie T, otrzymujemy

. (1.50)

Analiza wyrażenia (1.50) pozwala wyróżnić dwa następujące przypadki różniące się stopniem korelacji sygnałów p1(t) i p2(t). Otóż jeśli sygnały te nie są ze sobą w żaden sposób skorelowane (czyli jeśli są niezależne od siebie, np. pochodzą z różnych źródeł), to wartość całki w wyrażeniu (1.50) jest równa zeru. Tak więc moc średnia dwóch sygnałów nieskorelowanych równa się sumie mocy sygnałów składowych, czyli

. (1.51)

Jeśli dwa dodawane sygnały dźwiękowe są w pełni skorelowane (korelacja pomiędzy nimi wynosi 1, co oznacza, że są one identyczne, np. pochodzą z tego samego źródła), to wyrażenie (1.50 ) przyjmie postać

. (1.52)

Wyrażenie to pokazuje, że gdy amplituda sygnału podwaja się, wówczas moc tego sygnału wzrasta czterokrotnie.

Jeśli jednak dwa sygnały są w pełni skorelowane, lecz w sensie ujemnym (tzn. korelacja pomiędzy nimi wynosi -1, czyli np. wzrost amplitudy jednego sygnału o pewną wartość powoduje zmniejszenie amplitudy drugiego sygnału o tę samą wartość), to przy dodawaniu te dwa sygnały się znoszą i ich moc średnia wynosi zero. Jak więc widać, dla dwóch sygnałów o równych mocach średnich ich moc wypadkowa może wahać się w granicach od zera do 4P, zależnie od stopnia korelacji pomiędzy tymi sygnałami. Z podanych wyżej uwag wynika następujący wniosek praktyczny. Jeżeli dodajemy do siebie dwa niezależne (nieskorelowane) sygnały akustyczne o różnych częstotliwościach, to sumowaniu podlegają moce tych sygnałów, które są proporcjonalne do kwadratów ich ciśnień akustycznych. Ciśnienie wypadkowe będzie w tym przypadku równe .

Jeśli zaś dodajemy do siebie dwa sygnały o tej samej częstotliwości (czyli skorelowane), to sumowaniu podlegają ich ciśnienia akustyczne26). Ciśnienie wypadkowe będzie równe pw skorel(t) = p1(t) + p2(t). Wynik tego ostatniego sumowania zależy od przesunięcia fazowego pomiędzy tymi sygnałami (dla przesunięcia fazowego równego zeru suma ciśnień wynosi 2p,co odpowiada mocy wypadkowej 4P, natomiast dla przesunięcia fazowego ? suma ciśnień równa się zeru, czyli fala wypadkowa się znosi i moc wypadkowa równa się zeru. Jak więc widać, dodawanie dźwięków nieskorelowanych różni się w zasadniczy sposób od dodawania dźwięków skorelowanych. Przy dodawaniu dźwięków nieskorelowanych wypadkowa moc sygnału jest równa sumie mocy sygnałów składowych i nie zależy od ich relacji fazowych. Brak tych relacji oznacza, że fluktuacje wypadkowej mocy dla dźwięków nieskorelowanych, wyznaczone w pewnym obszarze pola akustycznego, są mniejsze niż fluktuacje tej mocy otrzymane w przypadku sumowania sygnałów skorelowanych.

Warto jeszcze wspomnieć o zasadach dodawania poziomów określonych wielkości wyrażonych w decybelach. Dodawanie to wymaga przekształcenia tych poziomów do takiej postaci, aby uzyskać wielkości addytywne, dla których wyznacza się ich sumę, a następnie dla sumy tej oblicza się poziom wypadkowy. Aby to bliżej wyjaśnić, weźmy pod uwagę dwa sygnały niezależne od siebie (nieskorelowane), dla których przebiegi czasowe ciśnienia akustycznego opisane są funkcjami p1(t) oraz p2(t). Niech sygnałom tym odpowiadają poziomy ciśnienia akustycznego L1 i L2 równe

,

.

Wyznaczając dla tych sygnałów średnie kwadraty ciśnienia akustycznego p12 i p22, otrzymujemy

, (1.53)

. (1.54)

Wypadkowa wartość średniego kwadratu ciśnienia pw2 jest równa sumie średnich kwadratów ciśnienia tych sygnałów, tzn.

. (1.55)

Poziom wypadkowego ciśnienia akustycznego Lwdla tych sygnałów będzie równy

. (1.56)

Załóżmy dla przykładu, że poziom ciśnienia akustycznego jednego źródła wynosi L1 = 60 dB SPL, a drugiego niezależnego źródła L2 = 80 dB SPL. Obliczmy, jaki będzie wypadkowy poziom ciśnienia akustycznego dla tych dwóch źródeł. Dla pierwszego źródła możemy zapisać, że 60 dB SPL = 10 log(p1/2 ? 10-5)2. Stąd wartość kwadratu ciśnienia akustycznego dla pierwszego źródła jest równa = 1060/10 - 4 ? 10-10 = 4 - 10-4 Pa2. Podobnie dla drugiego źródła otrzymujemy27) = 1080/10 - 4 ? 10-10 = 4 - 10-2 Pa2. Wypadkowy kwadrat ciśnienia akustycznego dla obydwu źródeł będzie równy == 4(10-2 + 10-4) Pa2. Natomiast poziom wypadkowego ciśnienia akustycznego wynosi Lw== 10 log[pw/2 ? 10-5]2 = 10 log(4 ? 101 ? 10-4/4 ? 10-10) = 60 + 10log 101 ? 60 + 20,04 = 80,04 dB SPL. Jak widać z tego przykładu, dodanie do siebie dwóch poziomów ciśnienia akustycznego różniących się o 20 dB daje wypadkowy poziom ciśnienia tylko nieznacznie większy (o 0,04 dB SPL) od najwyższego poziomu sumowanych sygnałów.

W ogólnym przypadku, dla sygnału wypadkowego p(t) złożonego z n sygnałów

, (1.57)

po podniesieniu go do kwadratu otrzymujemy

. (1.58)

Przy założeniu niezależności sygnałów składowych można w przybliżeniu przyjąć, że średnia wartość drugiego składnika w równaniu (1.58) jest znacznie mniejsza niż średnia wartość pierwszego składnika, w związku z czym średni kwadrat wypadkowego ciśnienia akustycznego jest w przybliżeniu równy

. (1.59)

Wypadkowy poziom ciśnienia akustycznego dla n niezależnych sygnałów będzie więc równy

, (1.60)

gdzie Lkjest poziomem ciśnienia k-tego sygnału. Jeśli poziomy ciśnienia akustycznego sygnałów składowych są równe, L1 = L2 = ... = Ln, czyli mamy do czynienia z tymi samymi źródłami, to wzór (1.60) przyjmuje prostszą postać, a mianowicie

Lw = L1 + 10 log n. (1.61)

Jak widać z (1.61), wartość wypadkowego poziomu ciśnienia akustycznego dla dwóch niezależnych źródeł o tych samych poziomach ciśnienia będzie większa jedynie o 3 dB SPL względem poziomu pojedynczego źródła. Natomiast wartość wypadkowego poziomu ciśnienia akustycznego w przypadku, gdy działa równocześnie 100 niezależnych źródeł dźwięku, z których każde generuje np. sygnał o poziomie ciśnienia 80 dB SPL, będzie, zgodnie z (1.61), równa Lw = 80 + 10 log 100 = 100 dB SPL, co oznacza wzrost poziomu wypadkowego o 20 dB ponad poziom pojedynczego źródła.

Literatura

Beranek L. L., Mellow T. (2012), Acoustics: Sound Fields and Transducers, Academic Press.

Békésy G. von. (1960), Experiments in Hearing (red. Wever E. G.), McGraw-Hill, New York.

Blauert J. (1996), Spatial Hearing: The Psychophysics of Human Sound Localization, Trans. Allen J. S., Cambridge MA, MIT Press.

Bregman A. S. (1990), Auditory Scene Analysis: The Perceptual Organization of Sound, Bradford Books, MIT Press, Cambridge, Mass.

Fuchs P. A. (red.) (2010), The Oxford Handbook of Auditory Science, The Ear,Vol. 1, Oxford University Press.

Gelfand S. A. (1997), Essentials of Audiology, Thieme, New York, Stuttgart.

Gelfand S. A. (1998), Hearing: an Introduction to Psychological and Physiological Acoustics, Marcel Dekker, Inc., New York, Basel, Hong Kong.

Gelfand S. A. (2016), Essentials of Audiology, wyd. 4, Thieme, New York, Stuttgart.

Gescheider G. A. (2013), Psychophysics: The Fundamentals, Psychology Press.

Gilkey R., Anderson T. (1996), Binaural and Spatial Hearing, Erlbaum, Hillsdale, New Jersey.

Ginter L. (1993), Fizyka fal, Część I, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa.

Goldstein E. B. (2007), Sensation and Perception, Wadsworth, Cengage Learning, USA.

Green D. M. (1976), An Introduction to Hearing, Erlbaum, New York.

Green D. M., Swets J. A. (1974), Signal Detection Theory and Psychophysics, Krieger, New York.

Hall D. E. (1987), Basic Acoustics, Wiley, New York, Toronto, Singapore.

Handel S. (1989), Listening. An Introduction to the Perception of Auditory Events, A Bradford Book, The MTI Press, Cambridge, Massachusetts.

Hartmann W. M. (1997), Signals, Sound, and Sensation, American Institute of Physics, Woodbury, New York.

Hojan E. (red.) (2014), Protetyka słuchu, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań.

Howard D. M., Angus J. A. (2009), Acoustics and Psychoacoustics, Elsevier, Focal Press.

Jorasz U. (1998), Wykłady z psychoakustyki, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań.

Jorasz U. (1999), Selektywność układu słuchowego, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań.

Jorasz U. (2010), Słuchając, czyli kontredans akustyki ze sztuką, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań.

Kingdom F. A., Prins N. (2010), Psychophysics. A Practical Introduction, Academic Press.

Kleczkowski P. (2013), Percepcja dźwięku, Wydawnictwa AGH, Kraków.

Kowalska-Śliwińska M. (red.) (2005), Audiologia kliniczna, Mediton Oficyna Wydawnicza, Łódź.

Kwiek M. (1968), Akustyka laboratoryjna, Część I, PWN, Warszawa.

Makarewicz R. (1994), Dźwięk w środowisku, Ośrodek Wydawnictw Naukowych, Poznań

Malecki I. (1964), Teoria fal i układów akustycznych, PWN, Warszawa.

Marks L. (2014), Sensory Processes: The New Psychophysics, Elsevier.

Moore B. C. J. (1989), An Introduction to the Psychology of Hearing, Third Edition, Academic Press, London.

Moore B. C. J. (1999), Wprowadzenie do psychologii słyszenia, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa-Poznań.

Morse P. M., Ingard K. U. (1968), Theoretical Acoustics, McGraw-Hill.

Neuhoff J. G. (2004), Ecological Psychoacoustics, Elsevier Academic Press.

Ozimek E. (2002), Dźwięk i jego percepcja. Aspekty fizyczne i psychoakustyczne,Wydawnictwo Naukowe PWN.

Pickles J. O. (1988), An Introduction to the Physiology of Hearing, Second Edition, Academic Press, London.

Pierce A. D. (1981), Acoustics, McGraw-Hill.

Pisoni D. B., Remez R. E. (red.) (2005), The Handbook of Speech Perception, Blackwell Publishing Ltd.

Plack C. J. (red.) (2010), The Oxford Handbook of Auditory Science. Hearing, Vol. 3, Oxford University Press.

Plack C. J. (2013), The Sense of Hearing, Psychology Press.

Rees A., Palmer A. R. (red.) (2010), The Oxford Handbook of Auditory Science. The Auditory Brain, Vol. 2, Oxford University Press.

Rossing T. (red.) (2015), Springer Handbook of Acoustics, Springer.

Skudrzyk E. (1971), Foundation of Acoustics, Springer, New York.

Stevens S. S. (1975), Psychophysics, Wiley, New York.

Swets J. A. (1964), Signal Detection and Recognition by Human Observers, Wiley, New York.

Tobias J. V. (red.). (1970, vol. 1 i 1972, vol. 2), Foundations of Modern Auditory Theory, New York.

Webster D., Fay R. R., Popper A. N. (red.) (1992), Springer Handbook of Auditory Research, Vol. I. The Auditory Pathway: Neuroanatomy, Springer, New York.

Yost W. A. (1994), Fundamentals of Hearing, Academic Press, San Diego, New York.

Yost W. A., Popper A. N., Fay R. R. (1993), Human Psychophysics, Springer.

Yost W. A., Watson C. S. (1987), Auditory Processing of Complex Sounds, Erlbaum, New Jersey.

Zwicker E., Fastl H. (1999), Psychoacoustics - Facts and Models, Springer, Berlin.

Żyszkowski Z. (1984), Podstawy elektroakustyki, WNT, Warszawa.

2. Rozchodzenie się fali akustycznej

Rozchodzenie się fali akustycznej odbywa się zawsze w określonym ośrodku, którego właściwości mechano-akustyczne scharakteryzowane są za pomocą impedancji. Podstawowe wiadomości związane z tym pojęciem podano w podrozdziale 2.1. Warto zauważyć, że pojęcie impedancji odgrywa ważną rolę przy opisie działania układu słuchowego (transmisji energii akustycznej do ucha środkowego i wewnętrznego). Percepcji dźwięku towarzyszą w sposób naturalny różne efekty związane z jego rozchodzeniem się w określonym ośrodku, takie jak odbicie, pochłanianie, ugięcie itp. Efekty te opisano w podrozdziale 2.2. W dalszej części tego rozdziału omówiono zjawisko rezonansu (podrozdział 2.3) oraz rozchodzenie się dźwięku w rurze (podrozdział 2.4). Zagadnienia te są ważne dla interpretacji różnych zjawisk występujących w przewodzie słuchowym. Pewną uwagę poświęcono też dudnieniom (podrozdział 2.5), modulacji amplitudowej, częstotliwościowej i mieszanej (podrozdziały 2.6-2.8) oraz zniekształceniom nieliniowym (podrozdział 2.9). Zagadnienia te wiążą się z takimi elementami percepcji dźwięku, jak detekcja i dyskryminacja, ocena wysokości i barwy dźwięku, subiektywna ocena jego jakości itp.

2.1. Impedancja

Impedancja charakteryzuje w ogólności oporność układu fizycznego w zakresie przenoszenia energii dostarczanej do tego układu. Jeśli np. na ciało o masie M działa siła F, w wyniku czego porusza się ono z pewną prędkością ?M, to stosunek tej siły do prędkości ciała nazywa się impedancją mechaniczną. Z tego wynika, że im większa jest wartość siły potrzebnej na nadanie temu ciału określonej prędkości, tym większa jest impedancja tego układu. Impedancję mechaniczną Zmewyraża wzór

, (2.1)

gdzie M - masa układu, s - jego współczynnik sztywności, ?- częstotliwość przyłożonej siły. Moduł (bezwzględna wartość) impedancji, charakteryzujący opór całkowity tego układu, jest równy

.

Jak widać ze wzoru (2.1), impedancja układu jest w ogólności zespoloną1) funkcją częstotliwości, na którą składają się: rezystancja - oporność czynna Rme, związana z tarciem w układzie, oraz reaktancja - oporność bierna Xme, złożona z reaktancji bezwładności ?M, związanej z masą układu, i reaktancji sztywności s/?, związanej ze sztywnością układu. Te składowe impedancji mechanicznej pokazano na rysunku 2.1a, natomiast zależności fazowe pomiędzy tymi składowymi przedstawia rysunek 2.1b.

Rys. 2.1. Elementy składowe impedancji mechanicznej układu (a) i zależności fazowe pomiędzy tymi składowymi (b)

Rezystancja Rmejako rzeczywista część impedancji nie zależy od częstotliwości i jest zgodna w fazie z przyłożoną siłą. Reaktancja bezwładności jest proporcjonalna do częstotliwości przyłożonej siły i wyprzedza w fazie tę siłę o 90°, natomiast reaktancja sztywności jest odwrotnie proporcjonalna do częstotliwości i opóźniona w fazie o 90° względem przyłożonej siły. Z tego wynika, że przesunięcie fazowe pomiędzy reaktancją bezwładności i reaktancją sztywności wynosi 180°. Ponieważ reaktancja sztywności jest odwrotnie proporcjonalna do częstotliwości, a reaktancja bezwładności jest proporcjonalna do częstotliwości, tak więc wartości tych reaktancji są równe dla pewnej charakterystycznej częstotliwości, którą nazywa się częstotliwością rezonansową układu. Przy tej częstotliwości wypadkowa reaktancja jest równa zeru, co oznacza, że impedancja układu jest równa jego rezystancji (oporności rzeczywistej). W zależności od wartości tej rezystancji, krzywe rezonansowe układu są mniej lub bardziej ostre (im mniejsza jest rezystancja układu, tym krzywa rezonansowa jest węższa).

Korzystając z analogii mechano-akustycznych (Kwiek i in., 1971; Żyszkowski, 1984; Hall, 1987), można, opierając się na definicji impedancji mechanicznej, określić również impedancję akustyczną2), która w sensie fizycznym jest miarą sprawności zamiany energii mechanicznej (drgającego elementu) w energię akustyczną (drgających cząsteczek powietrza). Zgodnie z (2.1) wzór na impedancję akustyczną Zakprzyjmuje postać

. (2.1a)

Stosunek średniego ciśnienia akustycznego p do średniej prędkości cząstki ? nazywa się impedancją akustyczną jednostkową Za (jednostkową dlatego, gdyż ciśnienie p jest w tym przypadku stosunkiem siły do powierzchni jednostkowej), tzn.

. (2.2)

Dla przypadku sinusoidalnej fali płaskiej, po uwzględnieniu zależności (1.12) i (1.13) wzór (2.2) przyjmuje postać (2.3) i określa tzw. impedancję akustyczną właściwą ośrodka

. (2.3)

Jak widać ze wzoru (2.3), impedancja akustyczna dla fali płaskiej jest wielkością rzeczywistą i zależy od właściwości ośrodka, dlatego też nazywa się ją często rezystancją akustyczną właściwą ośrodka (oporem akustycznym właściwym). Jednostką rezystancji akustycznej właściwej jest [kg - m-2 - s-1], którą nazywa się rejlem3). Obliczmy dla przykładu wartość impedancji właściwej (Za0) dla powietrza4) o temperaturze 20°C i ciśnieniu atmosferycznym p0 = 1 atm. Będzie ona miała wartość Za0 = 1,21 kg - m-3 - 343 m - s-1 = 415 kg - m-2 - s-1 = 415 rejli. Impedancja akustyczna powietrza nie jest stała i w zależności od temperatury i ciśnienia atmosferycznego może zmieniać się w granicach ? 20%. Zmiany te prowadzą do pewnych niedokładności w określeniu poziomu ciśnienia akustycznego (rzędu ?1,5 dB). Znając wartość impedancji właściwej powietrza oraz wartość ciśnienia akustycznego, można, na podstawie wzoru (2.2), wyznaczyć prędkość cząstki akustycznej5).

Rozpatrując impedancję akustyczną dla fali płaskiej, załóżmy, że w polu tej fali znajduje się w odległości l od źródła płaszczyzna odbijająca (przegroda) o powierzchni S, ustawiona prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali. Po dotarciu do tej płaszczyzny fala odbije się od niej, zatem oprócz składnika f(t - x/c) pojawi się składnik f(t + x/c), czyli fala rozchodząca się w kierunku przeciwnym. Tak więc dla warunku x = l, ciśnienie akustyczne i prędkość cząstki akustycznej na tej powierzchni można wyrazić jako

, (2.4)

, (2.5)

natomiast impedancję płaszczyzny odbijającej określić można jako

, (2.6)

gdzie S - pole tej płaszczyzny. Z wyrażenia (2.6) wynika, że fala odbita jest równa

. (2.7)

Dla fali sinusoidalnej i przy wykorzystaniu zapisu eksponencjalnego, wyrażenie (2.7) można przedstawić w postaci

. (2.8)

Jeżeli założyć, że amplituda fali odbitej jest równa zeru, to wzór (2.8) przyjmuje postać Zr = ?0c/S, co wskazuje, że impedancja przegrody równa się impedancji ośrodka (czyli fala całkowicie wnika do tej przegrody).

Należy podkreślić, że impedancja akustyczna zależy nie tylko od właściwości ośrodka, w którym rozchodzi się fala akustyczna, ale także od rodzaju tej fali. Przykładowo, wyrażenie na akustyczną impedancję właściwą, jaką przedstawia ośrodek dla fali kulistej, jest bardziej złożone niż dla fali płaskiej i ma postać (Hall, 1987)

, (2.9)

gdzie 2?r/?= 2?fr/c =(?/c)r = kr, przy czym k jest liczbą falową, a wielkość ? określa przesunięcie fazowe pomiędzy ciśnieniem akustycznym i prędkością cząstki i wyraża się wzorem

.

Zgodnie z (2.9), impedancja dla fali kulistej jest wielkością zespoloną składającą się z części rzeczywistej (rezystancji) i urojonej (reaktancji) i zależy nie tylko od właściwości ośrodka, ale również od odległości r od źródła. Dla dużych odległości od źródła, czyli dla kr ? 1, kąt ? jest bliski zera i akustyczna impedancja właściwa, jaką ośrodek przeciwstawia fali kulistej, staje się równa akustycznej impedancji (rezystancji) właściwej fali płaskiej. Dla małych odległości od źródła kr < 1 w impedancji Zkdominuje składowa reaktancyjna (masowa), w wyniku czego energia akustyczna tylko w ograniczonym stopniu przekazywana jest do ośrodka. Jak z tego widać, impedancja akustyczna, jaką ośrodek przeciwstawia fali akustycznej, zależy w ogólności nie tylko od właściwości tego ośrodka, ale również od częstotliwości, rodzaju fali akustycznej oraz położenia punktu obserwacji.

2.2. Odbicie, pochłanianie i ugięcie fal akustycznych

Fale akustyczne rozchodzące się w ośrodku tworzą tzw. pole akustyczne, w którym wystąpić mogą efekty odbicia, pochłaniania, ugięcia itp. Efekty te zależą głównie od struktury ośrodka oraz elementów znajdujących się w obszarze pola akustycznego.

Załóżmy, że na drodze fali płaskiej rozchodzącej się w kierunku osi x znajduje się pewna sztywna przegroda ustawiona prostopadle do tej osi. Istnienie przegrody spowoduje, że oprócz fali bezpośredniej biegnącej w kierunku osi x pojawi się również fala odbita biegnąca w kierunku przeciwnym. Równania opisujące wychylenie cząstki akustycznej, jej prędkość i ciśnienie akustyczne pokazują, że w pewnych określonych miejscach pola akustycznego wartości tych trzech wielkości są równe zeru, w innych zaś zmieniają się okresowo w funkcji odległości od przegrody. Miejsca, w których wartości te są maksymalne, nazywa się strzałkami fali akustycznej, te zaś, w których są one równe zeru, nazywa się węzłami tej fali. Falę o takich właściwościach nazywa się falą stojącą (w odróżnieniu od fali biegnącej6)). Odległość pomiędzy dwiema sąsiednimi strzałkami (lub węzłami) jest równa połowie długości fali biegnącej ?i wyznacza długość fali stojącej: ?st = ?/2. Odległość pomiędzy strzałką i węzłem fali stojącej jest równa ?st/2. Na samej przegrodzie tworzy się strzałka ciśnienia i węzeł prędkości (także wychylenia) cząstki akustycznej. Oznacza to, że ciśnienie akustyczne oraz prędkość cząstki są przesunięte względem siebie o ?/4. Ponadto wielkości te są również przesunięte w czasie o T/4. Ponieważ w miejscu ustawienia przegrody wartość ciśnienia jest maksymalna, a wartość prędkości cząstki równa jest zeru, więc stosunek tych wielkości dąży do nieskończoności. Zgodnie z (2.2), przegroda idealnie sztywna przedstawia dla padającej fali akustycznej nieskończenie wielką impedancję akustyczną.