2Astronomia sferyczna
Astronomia sferyczna zajmuje się układami współrzędnych astronomicznych, widomymi ruchami ciał niebieskich, wyznaczaniem pozycji z obserwacji astronomicznych, błędami obserwacyjnymi itd. Skupimy się głównie na układach współrzędnych, pozornych ruchach gwiazd i rachubie czasu. Przedstawimy również najważniejsze katalogi gwiazd.
Dla uproszczenia przyjmiemy, że obserwator znajduje się zawsze na półkuli północnej. Choć wszystkie definicje i równania da się łatwo uogólnić na obie półkule, mogłoby to wprowadzić niepotrzebne zamieszanie. W astronomii sferycznej miary kątów wyrażane są zwykle w stopniach. Tak też będziemy czynić. W innym razie będzie to wyraźnie zaznaczone.
2.1. Trygonometria sferyczna
Zacznijmy od przedstawienia narzędzi matematycznych, potrzebnych w astronomii sferycznej.
Płaszczyzna przechodząca przez środek sfery przecina ją, tworząc tzw. koło wielkie, które dzieli sferę na dwie jednakowe półkule (rys. 2.1). Prosta prostopadła do tej płaszczyzny i przechodząca przez środek sfery przecina ją w biegunach P i P?. Przecięcie sfery płaszczyzną niezawierającą jej środka nazywamy kołem małym[1]. Istnieje dokładnie jedno koło wielkie łączące dwa punkty na sferze. Wyjątkiem są punkty leżące naprzeciw siebie względem środka sfery. W takim wypadku wszystkie okręgi przechodzące przez oba punkty są kołami wielkimi. Łuk QQ? koła wielkiego jest najkrótszą drogą na powierzchni sfery pomiędzy oboma punktami.
Rys. 2.1. Koło wielkie jest przecięciem sfery i płaszczyzny przechodzącej przez jej środek. P i P? to bieguny koła wielkiego. Najkrótsza droga od Q do Q? prowadzi wzdłuż koła wielkiego
Trójkąt sferyczny nie jest dowolną figurą o trzech wierzchołkach leżących na sferze. Jego boki muszą być łukami kół wielkich. Bokami trójkąta sferycznego ABC na rys. 2.2 są łuki AB, BC i AC. Jeśli r jest promieniem sfery, to długość łuku AB to:
gdzie c jest kątem zakreślonym przez łuk AB, z wierzchołkiem w środku okręgu. Nazywamy go kątem środkowym boku AB. Ponieważ długości boków i odpowiadające im kąty środkowe są powiązane ze sobą w sposób wzajemnie jednoznaczny, zwykle mówiąc o bokach, posługujemy się kątami środkowymi. Dzięki temu promień sfery nie wchodzi do równań trygonometrii sferycznej.
Rys. 2.2. Bokami trójkąta sferycznego są trzy łuki kół wielkich: AB, BC i AC. Odpowiadają im kąty środkowe a, b i c
Kąt w trójkącie sferycznym można zdefiniować jako kąt pomiędzy stycznymi do boków, przecinającymi się w wierzchołku trójkąta, bądź jako kąt dwuścienny pomiędzy płaszczyznami przecinającymi sferę wzdłuż tych boków. Kąty trójkąta sferycznego oznaczamy dużymi literami (A, B, C), zaś ich przeciwległe boki, a ściślej odpowiadające im kąty środkowe, małymi literami (a, b, c).
Suma kątów w trójkącie sferycznym jest zawsze większa od 180°. Wielkość
(2.1)
zwana jest nadmiarem sferycznym. Jest swoista dla każdego trójkąta; nie jest stała. Inaczej więc niż w geometrii płaskiej, tu nie wystarczy znać dwóch kątów, by obliczyć trzeci. Pole trójkąta sferycznego wiąże z nadmiarem sferycznym prosty wzór:
Pole = Er2 [E] = rad
(2.2)
To oznacza, że nadmiar sferyczny jest wyrażonym w steradianach (zob. dodatek A.1) kątem bryłowym z wierzchołkiem w środku sfery, obejmującym trójkąt.
Aby dowieść równania (2.2), przedłużmy boki trójkąta ? (rys. 2.3), tworząc pełne koła wielkie. Utworzą one drugi trójkąt ??, przystający do ?, lecz leżący po przeciwnej stronie sfery. Jeśli miarę kąta A wyrazimy w radianach, to pole S(A) obszaru ograniczonego jego ramionami (na rys. 2.3 zacieniowanego) to oczywiście 2A/2? = A/? pomnożone przez pole sfery 4?r2. Analogicznie pola obszarów S(B) i S(C) w stosunku do pola całej sfery stanowią odpowiednio ułamki B/? i C/?.
Rys. 2.3. Jeśli boki trójkąta ? przedłużymy naokoło sfery, utworzymy drugi trójkąt ??, przystający do ?, lecz leżący naprzeciwko. Zacieniowany fragment to obszar S(A)
Te trzy obszary łącznie pokrywają całą sferę, z tym że trójkąty ? i ?? należą do każdego z nich, zaś wszystkie punkty spoza tych trójkątów tylko do jednego. A zatem suma S(A), S(B) i S(C) to pole sfery plus czterokrotność pola trójkąta ?, (?):
skąd
Tak jak w przypadku trójkątów płaskich, można znaleźć związki pomiędzy bokami i kątami trójkąta sferycznego. Najłatwiej tego dokonać, rozważając przekształcenia układów współrzędnych.
Przyjmijmy dwa układy współrzędnych: x y z oraz x? y? z? (rys. 2.4), który tworzymy, obracając układ x y z wokół osi x o kąt ?. Położenie punktu P na sferze o jednostkowym promieniu jest jednoznacznie określone przez dwa kąty: kąt ? mierzymy na płaszczyźnie x y, od dodatniej części osi x w kierunku odwrotnym do ruchu wskazówek zegara; kąt ? to odległość kątowa od płaszczyzny x y. Tak samo możemy zdefiniować kąty ?? i ??, określające pozycję punktu P w układzie x? y? z?. Współrzędne prostokątne punktu P w funkcji tych kątów są:
(2.3)
Wiemy również, że współrzędne x?, y?, z? otrzymujemy z x, y, z przez obrót w płaszczyźnie y z (rys. 2.5):
(2.4)
Rys. 2.4. Położenie punktu P na sferze o jednostkowym promieniu można określić przez współrzędne prostokątne x, y, z lub przez kąty ? i ?. Układ x? y? z? otrzymujemy, obracając układ x y z wokół osi x o kąt ?
Rys. 2.5. Współrzędne punktu P w układzie obróconym są: x? = x, y? = y cos ? + z sin ?, z? = z cos ? - y sin ?
Podstawiając wyrażenia (2.3) do (2.4), otrzymujemy:
(2.5)
Zasadniczo za pomocą wzorów (2.5) można dokonać wszelkich przekształceń układów współrzędnych, z jakimi się spotykamy. Warto jednak nadać im postać bardziej użyteczną do rozwiązywania trójkątów sferycznych. W tym celu ustawmy układy współrzędnych w korzystny sposób (rys. 2.6).
Niech oś z wskazuje na wierzchołek A, a oś z? na wierzchołek B. Teraz wierzchołek C odpowiada punktowi P na rys. 2.6. Kąty ?, ?, ??, ?? i ? można wyrazić w funkcji kątów i boków trójkąta sferycznego:
(2.6)
Rys. 2.6. Aby wyprowadzić wzory trygonometrii sferycznej, współrzędne ?, ?, ?? i ?? wierzchołka C przedstawiamy jako funkcje kątów i boków trójkąta ABC
Podstawiając je do wzorów (2.5), otrzymujemy:
czyli:
(2.7)
Przestawiając cyklicznie boki a, b, c i kąty A, B, C, uzyskujemy zestawy wzorów analogiczne do (2.7). Przykładowo, pierwsze równanie, zwane wzorem sinusów, przyjmuje też postaci:
Wszystkie trzy razem można przedstawić w formie łatwej do zapamiętania:
(2.8)
Jeśli długości boków zmierzają do zera, to w granicy trójkąt sferyczny staje się płaskim. Wyrażając wszystkie kąty w radianach, mamy w przybliżeniu:
Podstawiając te przybliżenia do wzoru sinusów (2.8), otrzymujemy formułę dobrze znaną z geometrii płaskiej:
To samo można zrobić z drugim równaniem z zestawu (2.7), zwanym wzorem sinusowo-cosinusowym. Pamiętając, że boki są nieskończenie małe, ignorujemy przy tym wyrazy w drugiej potędze, co prowadzi nas do banalnego związku:
Wreszcie wzór cosinusów (trzeci w zestawie 2.7) w taki sam sposób sprowadza się do swego odpowiednika w geometrii płaskiej:
2.2. Ziemia
Położenie punktu na Ziemi określa się zwykle dwiema współrzędnymi sferycznymi (choć w niektórych obliczeniach wygodniejsze mogą być współrzędne prostokątne lub inne). W razie potrzeby dodaje się trzecią współrzędną, np. odległość od środka Ziemi.
Płaszczyzną podstawową jest płaszczyzna równika, prostopadła do osi obrotu i przecinająca powierzchnię Ziemi wzdłuż równika. Koła małe równoległe do równika to równoleżniki. Półkola wielkie łączące bieguny to południki. Długość geograficzną zdefiniowano jako kąt pomiędzy płaszczyzną danego południka, a płaszczyzną południka zerowego, przechodzącego przez Obserwatorium Greenwich. Będziemy używać liczb dodatnich na określenie długości geograficznej punktów leżących na wschód od Greenwich i ujemnych dla leżących na zachód. Ta konwencja nie jest jednak powszechnie przyjęta, w szczególności nie występuje na mapach. Dlatego lepiej jest zawsze wprost powiedzieć, czy chodzi o długość wschodnią, czy zachodnią.
Szerokość geograficzna to kąt pomiędzy kierunkiem pionu w danym miejscu a płaszczyzną równika. Jest dodatnia na półkuli północnej, a ujemna na południowej. Można ją wyznaczyć na podstawie obserwacji astronomicznych - jest to wysokość bieguna nieba nad horyzontem (rys. 2.7). (Biegun niebieski to punkt przecięcia osi obrotu Ziemi z nieskończenie odległą sferą niebieską; powrócimy do tego nieco dalej).
Rys. 2.7. Szerokość geograficzną ? uzyskujemy, mierząc wysokość bieguna nieba - nieskończenie odległego punktu, wskazywanego przez oś obrotu Ziemi
Ponieważ Ziemia wiruje, jest lekko spłaszczona. Dokładny kształt naszego globu jest dość skomplikowany. Dla większości celów wystarczy jednak przyjąć w przybliżeniu, że jest to elipsoida obrotowa, której krótsza oś pokrywa się z osią obrotu (zob. p. 7.6). W 1979 r. Międzynarodowa Unia Geodezji i Geofizyki przyjęła Geodezyjny System Odniesienia GRS80 (Geodetic Reference System 1980), stosowany przy definiowaniu układów związanych z Ziemią. W tym modelu ziemska elipsoida ma następujące parametry:
promień równikowy a = 6 378 137 m,
promień biegunowy b = 6 356 752 m,
spłaszczenie f = (a - b)/a = 1/298,25722210.
Kształt Ziemi określony powierzchnią oceanów, zwany geoidą, nie różni się od tak opisanej elipsoidy obrotowej więcej niż o ok. 100 m. Kąt pomiędzy płaszczyzną równika a prostopadłą do elipsoidy przybliżającej kształt Ziemi to szerokość geodezyjna. Ponieważ powierzchnia cieczy (a więc oceanów) jest prostopadła do pionu, to szerokość geograficzna i geodezyjna są praktycznie tym samym.
Z powodu spłaszczenia kierunek pionu nie wskazuje na środek Ziemi, z wyjątkiem biegunów i równika. Kat ?? pomiędzy płaszczyzną równika a linią poprowadzoną od centrum Ziemi do danego punktu na powierzchni zwany jest szerokością geocentryczną. Jest nieco mniejszy od szerokości geograficznej ? (rys. 2.8).
Rys. 2.8. Na skutek spłaszczenia Ziemi szerokość geograficzna ? różni się od szerokości geocentrycznej ?'
Wyprowadzimy teraz związek pomiędzy szerokością geograficzną ? a geocentryczną ?', zakładając, że Ziemia jest elipsoidą obrotową, a szerokości geograficzna i geodezyjna są równe. Wyjdziemy z równania elipsy we współrzędnych prostokątnych:
Kierunek prostopadłej do elipsy w punkcie (x, y) spełnia zależność:
Szerokość geocentryczną uzyskamy ze wzoru:
Stąd:
(2.9)
gdzie
jest mimośrodem elipsy. Różnica ?? = ? - ?? jest największa na szerokości 45°, gdzie wynosi 11,5?.
W rocznikach astronomicznych współrzędne ciał niebieskich są podawane w odniesieniu do centrum Ziemi. Jeśli wymagana jest duża dokładność, w przypadku bliskich obiektów muszą one być poprawiane na różnicę pomiędzy środkiem Ziemi a położeniem obserwatora. Innymi słowy, musimy obliczyć współrzędne topocentryczne, czyli odniesione do miejsca obserwacji. Najprościej robi się to, używając współrzędnych prostokątnych obiektu i obserwatora (przykład 2.6).
Łuk południka odpowiadający różnicy szerokości geograficznych wynoszącej 1? to mila morska. Ponieważ jednak promień krzywizny południka zmienia się z szerokością geograficzną, zwiększając się ku biegunom, długość tak zdefiniowanej mili morskiej również zależałaby od szerokości (1843 m na równiku i 1862 m przy biegunach). Ustalono więc, że 1 mila morska to długość jednominutowego łuku południka na szerokości 45°. Wynosi ona 1852 m.
2.3. Sfera niebieska
Wszechświat starożytnych zamknięty był w skończonej, sferycznej bańce. Gwiazdy były przyczepione do tej bańki, a więc równoodległe od zajmującej centralną pozycję Ziemi. Ten prosty model jest wciąż w wielu wypadkach równie użyteczny jak w starożytności. Pomaga łatwo pojąć dzienne i roczne ruchy gwiazd, a co ważniejsze, w prosty sposób je przewidywać. Przez jakiś czas będziemy więc zakładać, że gwiazdy są umieszczone na powierzchni olbrzymiej sfery, w środku której się znajdujemy. Ponieważ promień tej sfery jest praktycznie nieskończony, możemy zaniedbać efekty wynikające ze zmian pozycji obserwatora, powodowanych obrotowym i obiegowym ruchem Ziemi. Zajmiemy się nimi później, w p. 2.9 i 2.10.
Odległości gwiazd ignorujemy, więc by określić ich położenie na sferze potrzebujemy tylko dwóch współrzędnych. Każdy układ współrzędnych ma ustaloną płaszczyznę podstawową, przechodzącą przez środek sfery, dzielącą ją na dwie półkule wzdłuż koła wielkiego. Jedna współrzędna mierzy odległość kątową obiektu od tej płaszczyzny. Istnieje dokładnie jedno koło wielkie przechodzące przez dany obiekt i przecinające płaszczyznę podstawową prostopadle; druga współrzędna to kąt pomiędzy tymże punktem przecięcia a pewnym ustalonym kierunkiem.
2.4. Układ horyzontalny
Z punktu widzenia obserwatora najbardziej naturalnym układem współrzędnych jest układ horyzontalny (rys. 2.9).
Rys. 2.9. (a) Widome ruchy gwiazd w ciągu nocy, oglądane z miejsca na szerokości geograficznej ? = 45°. (b) Te same gwiazdy widziane na szerokości ? = 10°
Płaszczyzna podstawowa jest w nim styczna do powierzchni Ziemi i przechodzi przez obserwatora. Jej przecięcie ze sferą niebieską to horyzont[2]. Punkt na sferze dokładnie nad obserwatorem to zenit, a przeciwległy do niego to nadir. (Te dwa punkty są biegunami względem horyzontu). Koła wielkie przechodzące przez zenit nazywamy wertykałami. Wszystkie wertykały przecinają horyzont prostopadle.
Śledząc ruch gwiazdy w ciągu nocy, obserwator stwierdzi, że zakreśla ona łuk, podobny do jednego z naszkicowanych na rys. 2.9. Gwiazdy wschodzą na wschodzie, osiągają najwyższy punkt, czyli górują, na wertykale NZS i zachodzą na zachodzie. Wertykał NZS nazywamy południkiem[3]. Punkty północy i południa definiujemy jako punkty przecięcia południka z horyzontem.
Jedną ze współrzędnych horyzontalnych jest wysokość, a, mierzona od horyzontu wzdłuż wertykału przechodzącego przez dany obiekt. Wysokość zawiera się w zakresie [-90°, +90°], przyjmując wartości dodatnie powyżej horyzontu i ujemne poniżej. Odległość zenitalna, czyli kąt pomiędzy obiektem a zenitem, to oczywiście:
(2.10)
Drugą współrzędną jest azymut, A. Jest to odległość kątowa płaszczyzny wertykału, przechodzącego przez dany obiekt, od pewnego ustalonego kierunku. Niestety, nie jest ustalone jakiego. W różnych dziedzinach stosuje się odmienne kierunki zerowego azymutu i zawsze trzeba to sprawdzić. Zazwyczaj azymut mierzy się od północy lub południa, w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara (choć bywa odwrotnie). W geografii, nawigacji i wielu innych dziedzinach azymut jest mierzony od północy. W tej książce przyjmiemy dość powszechną w astronomii konwencję mierzenia azymutu zgodnie ze wskazówkami zegara od południa[4]. Jego wartości z reguły wyrażamy liczbami od 0° do 360°, choć niekiedy od -180° do +180°. Powodem, dla którego przyjmujemy tę definicję, jest fakt, że niektóre inne ważne kąty także mierzymy od południa.
Na rysunku 2.9a zaznaczono wysokość i azymut trzech gwiazd w pewnym momencie. W trakcie ruchu dziennego ich obie współrzędne się zmieniają. Inną niedogodnością tego układu jest jego lokalny charakter. Na rysunku 2.9b mamy te same gwiazdy, ale obserwator znajduje się bardziej na południe. Jak widać, ich współrzędne w tym samym momencie są inne dla różnych obserwatorów. Z tych względów układ współrzędnych horyzontalnych nie nadaje się np. do tworzenia katalogów gwiazd.
2.5. Układ równikowy
Kierunek osi obrotu Ziemi pozostaje niemal stały. W konsekwencji niezmienne też pozostaje położenie prostopadłej do niej płaszczyzny równika. Będzie to więc wygodna płaszczyzna podstawowa dla układu współrzędnych niezależnego od czasu i pozycji obserwatora. Przecięcie płaszczyzny równika i sfery niebieskiej jest kołem wielkim, które nazywamy równikiem niebieskim. Jednym z jego biegunów jest północny biegun niebieski, punkt na niebie północnym, gdzie przedłużenie osi ziemskiej przecina sferę. Jest on odległy o ok. 1° (podwojona średnica tarczy Księżyca) od jasnej gwiazdy Polarnej. Południk zawsze przechodzi przez biegun północny, który dzieli go na część północną i południową. Pozostałe koła wielkie przechodzące przez bieguny nazywamy kołami godzinnymi (później zostanie wyjaśnione pochodzenie tej nazwy).
Obrót Ziemi nie wpływa na odległość kątową gwiazdy od płaszczyzny równika. Nazywamy ten kąt deklinacją, ?.
Gwiazdy wydają się wirować wokół bieguna raz na dobę (fot. 2.1). Aby zdefiniować drugą współrzędną, podobnie jak w przypadku układu horyzontalnego, musimy ustalić pewien kierunek, niezależny od obrotu Ziemi. Z matematycznego punktu widzenia, nie ma znaczenia, który punkt na równiku wybierzemy. Warto jednak przyjąć pewien punkt szczególny, o cennych własnościach, które opiszemy w następnym rozdziale. Nazywamy go punktem równonocy wiosennej. Niegdyś znajdował się w gwiazdozbiorze Barana, dlatego bywa nazywany punktem Barana i oznacza się go astrologicznym symbolem tego gwiazdozbioru, . Teraz możemy zdefiniować drugą współrzędną - rektascensję, ?. Jest to kąt dwuścienny, pomiędzy półpłaszczyznami koła godzinnego przechodzącego przez punkt Barana i koła godzinnego przechodzącego przez dany obiekt. Mierzymy go odwrotnie do ruchu wskazówek zegara.
Fot. 2.1. Nocą gwiazdy zdają się wirować wokół bieguna nieba. Wysokość bieguna nad horyzontem równa się szerokości geograficznej obserwatora (fot. Aimo Sillanpää i Pasi Nurmi)
Ani deklinacja, ani rektascensja nie zależą od położenia obserwatora czy ruchów Ziemi. Mogą więc być używane do tworzenia katalogów gwiazd i map nieba. W wielu teleskopach jedna z osi, oś godzinna, jest równoległa do osi obrotu Ziemi (później wyjaśnimy dlaczego). Druga, oś deklinacji, jest do niej prostopadła. Deklinację możemy po prostu odczytać na skali teleskopu. Natomiast punkt zerowy skali rektascensji przesuwa się wraz z ruchem dobowym Ziemi, dlatego znajomość rektascensji obiektu nie wystarczy, by znaleźć go na niebie. Musimy jeszcze znać położenie punktu Barana.
Wykorzystamy fakt, że południk zajmuje stałe miejsce na niebie, aby wprowadzić lokalną współrzędną, odpowiadającą rektascensji. Kąt godzinny, h, mierzymy od południka, wzdłuż równika, w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Dla danego obiektu nie jest on niezmienny, lecz stale rośnie na skutek obrotu Ziemi[5]. Kąt godzinny punktu równonocy wiosennej nazywamy czasem gwiazdowym, ?. Rysunek 2.10 pokazuje, że dla dowolnego obiektu:
(2.11)
gdzie h jest jego kątem godzinnym, a ? rektascensją.
Rys. 2.10. Związek pomiędzy rektascensją ?, kątem godzinnym h i czasem gwiazdowym ?. Kąt godzinny i czas gwiazdowy mierzymy od południka zgodnie ze wskazówkami zegara, zaś rektascensję w przeciwnym kierunku od punktu Barana. Czas gwiazdowy to kąt godzinny punktu Barana
Kąt godzinny i czas gwiazdowy rosną w stałym tempie. Wygodnie jest więc wyrażać je nie w stopniach, lecz w jednostkach czasu: godzinach, minutach i sekundach, pamiętając, że 24h = 360°, 1h = 15°, 1m = 15? itd. W tych jednostkach wyrażamy również rektascensję. Wszystkie te wielkości przybierają wartości z zakresu [0h, 24h]. Ten zwyczaj wyjaśnia nazwę koło godzinne - półkole wielkie, wzdłuż którego kąt godzinny (lub rektascensja) jest stały (łączy biegun i dany obiekt).
W praktyce czas gwiazdowy łatwo wyznaczyć, kierując teleskop na dowolną gwiazdę. Ze skali na teleskopie odczytujemy jej kąt godzinny, dodajemy znalezioną w katalogu rektascensję tej gwiazdy i oto mamy czas gwiazdowy w danej chwili. Czas gwiazdowy na dowolny inny moment obliczymy, dodając różnicę czasu od chwili obserwacji. Jeśli chcemy być dokładni, do mierzenia odstępów czasu musimy użyć zegara gwiazdowego. W stosunku do zwykłego zegara słonecznego spieszy się on o 3m 56,56s na dobę:
24h czasu słonecznego = 24h 3m 56,56s czasu gwiazdowego.
(2.12)
Przyczyną jest ruch obiegowy Ziemi. Gwiazdy wydają się poruszać po niebie szybciej niż Słońce, więc i zegar gwiazdowy musi biec szybciej. (Więcej na ten temat w p. 2.13).
Zależności pomiędzy współrzędnymi horyzontalnymi i równikowymi łatwo znajdziemy, używając wzorów trygonometrii sferycznej. Z porównania rysunków 2.6 i 2.11 wynika, że musimy dokonać następujących podstawień do wzoru (2.5):
(2.13)
Kąt ? w ostatnim równaniu jest wysokością bieguna niebieskiego, czyli szerokością geograficzną obserwatora. Dokonawszy tych podstawień, uzyskujemy:
(2.14)
Rys. 2.11. Trójkąt paralaktyczny, służący do dokonywania transformacji pomiędzy układem horyzontalnym a równikowym
Odwrotną transformację otrzymamy, podstawiając:
(2.15)
skąd:
(2.16)
Ponieważ wysokość i deklinacja zawierają się w przedziale [-90°, +90°], wystarczy znać sinusy tych kątów, żeby jednoznacznie je określić. Azymut i rektascensja jednak przybierają wartości od 0° do 360° (0h do 24h). Aby zdecydować się na właściwą ćwiartkę, musimy w ich przypadku znać zarówno sinusy, jak i cosinusy.
Ciało niebieskie osiąga największą wysokość, przechodząc przez południową część południka (półkole między biegunami zawierające zenit). Mówimy, że w tym momencie góruje, czyli znajduje się w kulminacji górnej. Jego kąt godzinny jest wtedy 0h. W dołowaniu (kulminacji dolnej) kąt godzinny jest h = 12h. Dla h = 0h ostatnie równanie w zestawie (2.16) daje nam:
Tak więc wzór na wysokość w górowaniu przyjmuje postać:
(2.17)
Wysokość górowania jest dodatnia, jeśli ? > ? - 90°. Obiekty o deklinacji mniejszej od ? - 90° nigdy nie wznoszą się ponad horyzont. Z drugiej strony gdy h = 12h, to
a wysokość dołowania jest:
(2.18)
Gwiazdy o deklinacji większej od 90° - ? nigdy nie zachodzą. Na przykład w Warszawie (? ? 52°) wszystkie gwiazdy o deklinacji większej od 38° są okołobiegunowe, natomiast gwiazdy o deklinacji mniejszej od -38° nigdy się nie pojawiają.
Rozważmy krótko, jak można ustawić układ równikowy na podstawie obserwacji. Wyobraźmy sobie, że obserwujemy jakąś gwiazdę okołobiegunową w górnej i dolnej kulminacji (rys. 2.12).
Rys. 2.12. Wysokość gwiazdy okołobiegunowej w kulminacji górnej i dolnej
Górując, osiąga ona wysokość amax = 90° - ? + ?, natomiast dołując amin = ? + ? - 90°. Dodając do siebie te równania stronami, pozbywamy się ? i otrzymujemy:
(2.19)
Możemy więc wyznaczyć deklinację gwiazdy okołobiegunowej, nie znając szerokości geograficznej miejsca obserwacji. W dalszej kolejności, korzystając z tych samych obserwacji, możemy obliczyć ? i określić kierunek bieguna nieba. Dokonawszy tego, możemy już znaleźć deklinację dowolnego obiektu, mierząc jego odległość od bieguna.
Równik możemy teraz zdefiniować jako koło wielkie, którego wszystkie punkty są odległe od biegunów o 90°. Punkt zerowy skali rektascensji można określić jako miejsce, w którym Słońce w swym pozornym ruchu po niebie przecina równik z południa na północ. W rzeczywistości sytuacja jest bardziej skomplikowana, ponieważ kierunek osi obrotu Ziemi zmienia się na skutek różnych zaburzeń. Z tego względu układ współrzędnych równikowych definiuje się dziś w odniesieniu do pewnych standardowych obiektów, których pozycje są znane bardzo dokładnie. Najlepiej nadają się do tego najdalsze obiekty, kwazary (zob. p. 19.7), których ruchy własne są niemierzalnie małe.
2.6. Momenty wschodów i zachodów
Przekształcając ostatnie z równań (2.16), otrzymujemy wzór na kąt godzinny obiektu w chwili, gdy jego wysokość wynosi a:
(2.20)
Można go użyć do obliczania momentów wschodów i zachodów. Wówczas a = 0 i powyższa relacja redukuje się do postaci:
(2.21)
Znając h i rektascensję ?, ze wzoru (2.11) obliczamy czas gwiazdowy ? wschodu lub zachodu. W p. 2.14 pokażemy, jak przekształcić czas gwiazdowy na zwykły.
Jeśli potrzebna jest większa dokładność, musimy uwzględnić poprawkę na ugięcie światła w ziemskiej atmosferze (zob. p. 2.9). W tym celu we wzorze (2.20) pod a podstawiamy niewielką ujemną wartość, zwaną refrakcją horyzontalną, wynoszącą ok. -34?.
Wschody i zachody Słońca podawane w rocznikach odnoszą się do momentów, gdy górna krawędź tarczy słonecznej styka się z horyzontem. Aby je obliczyć, musimy więc dodatkowo uwzględnić promień tarczy Słońca (16?), czyli a = -34? - 16? = -50?.
To samo dotyczy Księżyca. Jednak jego odległość od Ziemi zmienia się tak znacznie, że nie można użyć jednej stałej wartości średnicy jego tarczy. Za każdym razem trzeba ją osobno obliczyć. Co więcej, Księżyc jest tak blisko, że jego pozycja wśród gwiazd zależy od miejsca na Ziemi, z którego go obserwujemy. Wobec tego licząc momenty wschodów i zachodów Księżyca, przyjmujemy a = -34? - s + ?, gdzie s oznacza promień jego tarczy (średnio 15,5?), zaś ? to jego paralaksa (średnio 57?). Pojęcie paralaksy będzie wyjaśnione w p. 2.9.
Obliczanie momentów wschodów i zachodów Słońca, planet, a zwłaszcza Księżyca, bardzo komplikuje ich zmienna pozycja na niebie. Radzimy sobie z tym np. za pomocą metody kolejnych przybliżeń. Najpierw obliczamy przybliżone momenty, używając współrzędnych, podanych np. na południe danego dnia. Następnie interpolujemy współrzędne na obliczony przybliżony moment i powtarzamy rachunki, przyjmując tym razem nowe współrzędne. Na ogół otrzymuje się w ten sposób całkiem dokładne wyniki. Jeśli potrzebna jest jeszcze większa precyzja, powtarzamy procedurę.
2.7. Układ ekliptyczny
Ekliptyka to koło wielkie zataczane na sferze niebieskiej przez Słońce w jego ruchu rocznym - odbicie orbity Ziemi. Płaszczyzna ekliptyki stanowi płaszczyznę podstawową w kolejnym ważnym układzie współrzędnych, układzie ekliptycznym. Przydatny jest głównie do określania pozycji planet i innych ciał Układu Słonecznego.
Wiosną Słońce przecina równik i przesuwa się z południowej półkuli nieba na północną (rys. 2.13). Ten ważny moment nazywamy równonocą wiosenną, a punkt na niebie, w którym znajduje się wtedy Słońce, to znany nam już punkt równonocy wiosennej, czyli punkt Barana. Przeciwległy mu punkt, w którym Słońce przechodzi z północy na południe, to punkt równonocy jesiennej (punkt Wagi). W punkcie Barana deklinacja i rektascensja Słońca są zerowe. Przyjmujemy go jako punkt zerowy również w układzie ekliptycznym.
Rys. 2.13. Ekliptyka, pozorna droga Słońca na niebie, wykreślona w układzie równikowym przypomina sinusoidę. Przechodzi przez 13 gwiazdozbiorów. Większość z nich nosi nazwy zwierząt, dlatego określa się je wspólnym mianem zodiaku (z greckiego ???????? ??????, czyli dosłownie "krąg zwierzątek"). Astrologowie dzielą ekliptykę na 12 równych znaków, po 30° każdy (Wężownika ignorują). Skutkiem precesji układu współrzędnych astrologiczne znaki nie pokrywają się już z gwiazdozbiorami o tych samych nazwach. Również rozmiary gwiazdozbiorów są różne
Szerokość ekliptyczna ? to odległość kątowa od płaszczyzny ekliptyki. Zawiera się w przedziale [-90°, +90°]. Drugą współrzędną jest długość ekliptyczna ?, mierzona od punktu Barana odwrotnie do ruchu wskazówek zegara (rys. 2.14).
Rys. 2.14. Współrzędne ekliptyczne geocentryczne (?, ?) i heliocentryczne (??, ??) są jednakowe tylko dla obiektów bardzo odległych. Współrzędne geocentryczne zależą również od położenia Ziemi na orbicie
Równania transformacyjne pomiędzy układem równikowym a ekliptycznym można wyprowadzić analogicznie jak wzory (2.14) i (2.16):
(2.22)
(2.23)
Pojawiający się w tych równaniach kąt ? to nachylenie ekliptyki, czyli kąt pomiędzy płaszczyznami równika i ekliptyki. Wynosi ok. 23°26? (dokładniejsza wartość podana jest w ramce 2.1).
Zależnie od problemu, który mamy rozwiązać, możemy spotkać współrzędne heliocentryczne (początek układu w Słońcu), geocentryczne (początek w środku Ziemi) lub topocentryczne (początek w miejscu obserwacji). Dla bardzo odległych obiektów różnice są zaniedbywalne, ale nie dla ciał Układu Słonecznego. Aby przekształcić współrzędne heliocentryczne na geocentryczne lub odwrotnie, musimy znać odległość ciała. Najprościej dokonać takiej transformacji, obliczając współrzędne prostokątne obiektu i nowego początku układu, następnie przenieść początek i z powrotem przejść do współrzędnych sferycznych (zob. przykłady 2.5 i 2.6).
2.8. Układ galaktyczny
Do badań Galaktyki najbardziej naturalną płaszczyzną podstawową jest płaszczyzna Drogi Mlecznej (rys. 2.15). Słońce leży bardzo blisko niej, więc możemy umieścić je w początku układu. Długość galaktyczną l mierzy się odwrotnie do wskazówek zegara od kierunku ku centrum Galaktyki (w Strzelcu, ? = 17h 45,7m, ? = -29°00?). Szerokość galaktyczną b mierzymy od płaszczyzny Drogi Mlecznej jako dodatnią na północ od niej, a ujemną na południe. Tę definicję przyjęto oficjalnie dopiero w 1959 r., gdy z obserwacji radiowych udało się wyznaczyć dostatecznie dokładnie położenie centrum Drogi Mlecznej na niebie. W starym systemie współrzędnych galaktycznych lI i bI początkiem skali długości było przecięcie płaszczyzny Drogi Mlecznej i równika.
Rys. 2.15. Współrzędne galaktyczne l i b
Współrzędne galaktyczne można otrzymać z równikowych przy pomocy następujących równań:
(2.24)
gdzie ?P = 12h 51,4m i ?P = 27°08? to współrzędne równikowe północnego bieguna Galaktyki, zaś lN = 123,0° to długość galaktyczna bieguna nieba.
2.9. Perturbacje współrzędnych
Nawet jeśli gwiazda nie zmienia swej pozycji względem Słońca, jej współrzędne mogą się zmieniać na skutek działania kilku mechanizmów zaburzających. Oczywiście obrót Ziemi wymusza ciągłą zmianę azymutu i wysokości. Ale i współrzędne równikowe nie są stałe.
Precesja - spłaszczona bryła Ziemi to jakby kula z wybrzuszeniami, umieszczonymi symetrycznie względem równika. Płaszczyzna równika jest nachylona do płaszczyzny ekliptyki, w pobliżu której znajduje się większość ciał Układu Słonecznego. To one właśnie, a przede wszystkim Księżyc i Słońce, przyciągając różne części tego wybrzuszenia z różną siłą, usiłują "wyprostować" oś ziemską - ustawić ją prostopadle do ekliptyki. Jednak Ziemia wiruje, więc nie jest to możliwe. Zamiast tego oś ziemska obraca się wokół prostej prostopadłej do ekliptyki, zakreślając stożek. Zjawisko to nazywamy precesją. Pełny obrót zajmuje ok. 26 tys. lat. Obecnie biegun nieba znajduje się ok. 1° od Polarnej, ale za ok. 12 tys. lat będzie niedaleko Wegi (rys. 2.16).
Rys. 2.16. Skutkiem precesji biegun zatacza na niebie okrąg w okresie ok. 26 tys. lat. Około 5 tys. lat temu znajdował się niedaleko gwiazdy ? Smoka. Obecnie wciąż zbliża się do Polarnej, ale potem zacznie się od niej oddalać, by za ok. 12 tys. lat znaleźć się nieopodal Wegi
Z powodu precesji punkt Barana stale przesuwa się po ekliptyce zgodnie ze wskazówkami zegara, w tempie ok. 50? rocznie. W rezultacie w tym samym tempie rośnie długość ekliptyczna wszystkich obiektów na niebie. Zmieniają się również obie współrzędne równikowe. Wobec tego musimy znać moment, na który są podane współrzędne, czyli epokę. Obecnie większość map i katalogów sporządzona jest na epokę J2000.0, co dokładnie oznacza południe 1 stycznia 2000 r., czyli datę juliańską 2 451 545,0 (zob. p. 2.15).
Wyprowadzimy teraz wzory na spowodowane precesją zmiany rektascensji i deklinacji. Weźmy ostatnie równanie z zestawu (2.23),
i zróżniczkujmy je (precesja nie zmienia ?):
Podstawiając do prawej strony drugą zależność z zestawu (2.22), dostajemy:
(2.25)
Różniczkując użyte przed chwilą równanie:
otrzymujemy:
a po podstawieniu wcześniej uzyskanego wyrażenia na d? i zastosowaniu pierwszego równania z zestawu (2.22) mamy:
Upraszczając to, otrzymujemy:
(2.26)
Jeśli d? jest rocznym przyrostem długości ekliptycznej (ok. 50?), to precesyjne zmiany deklinacji i rektascensji można wyrazić wzorami:
(2.27)
Zwykle zapisuje się je w postaci:
(2.28)
gdzie
(2.29)
są stałymi precesji. Niestety nachylenie ekliptyki ? nie jest idealnie stałe, więc wartości m i n powoli się zmieniają. Tak nieznacznie jednak, że możemy je uważać za niezmienne, o ile tylko nie chodzi o bardzo długie odcinki czasu. Wartości m i n dla kilku epok podane są w tabeli 2.1.
Gdy chcemy obliczyć zmianę współrzędnych w czasie dłuższym niż kilkadziesiąt lat, trzeba zastosować bardziej wyrafinowaną metodę. Jej wyprowadzenie przekracza zakres tej książki, ale niezbędne wzory podane są w ramce 2.1.
Tabela 2.1. Stałe precesji m i n. Tutaj "a" oznacza rok zwrotnikowy
Epoka
m
[s/a]
n
[s/a]
[?/a]
1800
3,07048
1,33703
20,0554
1850
3,07141
1,33674
20,0511
1900
3,07234
1,33646
20,0468
1950
3,07327
1,33617
20,0426
2000
3,07419
1,33589
20,0383
Nutacja - płaszczyzna orbity Księżyca jest nachylona do ekliptyki, więc również precesuje. Pełny obrót zajmuje 18,6 lat, z tym samym okresem zakłócając precesję Ziemi. Ten efekt, zwany nutacją, zmienia długości ekliptyczne, ale również nachylenie ekliptyki (rys. 2.17).
Rys. 2.17. Skutkiem precesji bieguny nieba zataczają kręgi wokół biegunów ekliptyki. Nutacja jest drobnym kołysaniem osi ziemskiej, zaburzającym gładki ruch precesyjny. Skala nutacji na tym rysunku została mocno wyolbrzymiona
Szczegółowe rachunki są tu bardzo skomplikowane. Na szczęście zakłócenia powodowane przez nutację są stosunkowo małe, zaledwie ułamek minuty łuku. Można je obliczyć, korzystając z uproszczonych wzorów podanych w ramce 2.1, lub po prostu pominąć.
Paralaksa - obserwując pewien obiekt z różnych miejsc, widzimy go na innym tle, w różnych kierunkach. Różnica tych kierunków (a również samo zjawisko) nosi nazwę paralaksy. Wielkość paralaksy zależy od dystansu pomiędzy obserwatorem a obiektem, dlatego możemy jej użyć do pomiaru odległości. Na tym zasadza się ludzkie widzenie stereoskopowe (przynajmniej w pewnym stopniu). Do celów astronomicznych potrzebujemy znacznie dłuższych baz niż rozstaw naszych oczu (ok. 7 cm). Odpowiednio długimi i wygodnymi bazami są promień Ziemi i promień jej orbity. Odległości do gwiazd można wyznaczyć z paralaksy rocznej, czyli kąta, pod którym z danego obiektu widać promień orbity Ziemi (przedyskutujemy to szerzej w p. 2.10).
Przez pojęcie paralaksy dziennej rozumiemy zmianę położenia obiektu na niebie na skutek obrotu Ziemi. Zależy ona nie tylko od odległości obiektu, ale i szerokości geograficznej obserwatora. Gdy mowa o paralaksie jakiegoś ciała w Układzie Słonecznym (rys. 2.18), zawsze mamy na myśli kąt, pod którym widać z niego promień równika ziemskiego (6378 km).
Rys. 2.18. Paralaksa horyzontalna ? ciała niebieskiego to kąt, pod którym widać z niego promień równika ziemskiego
Odpowiada to przesunięciu obiektu na tle gwiazd, które dostrzega obserwator stojący na równiku i śledzący go od horyzontu do zenitu. Na przykład paralaksa Księżyca wynosi ok. 57?, a Słońca 8,79?.
W astronomii paralaksa jest po prostu miarą odległości, nawet jeśli została zmierzona innymi metodami.
Aberracja - skończona prędkość światła jest przyczyną, dla której ruchomy obserwator widzi obiekty przesunięte w kierunku ruchu (rys. 2.19). Zjawisko to nosi nazwę aberracji.
Rys. 2.19. Wpływ aberracji na kierunek, w którym widać obiekt. (a) Obserwator w spoczynku. (b) Obserwator w ruchu
Ścisłe wyprowadzenie wzoru na wielkość aberracji wymaga odwołania się do szczególnej teorii względności, ale do celów praktycznych wystarczy wzór przybliżony:
(2.30)
gdzie: ? - prędkość obserwatora, c - prędkość światła, ? - kąt pomiędzy rzeczywistym kierunkiem do obiektu a wektorem prędkości obserwatora (rys. 2.20).
Rys. 2.20. Teleskop ustawiony jest wprost na gwiazdę, na jej rzeczywisty kierunek. Na przebycie całej jego długości promień światła potrzebuje czasu t = l/c. Jednocześnie teleskop porusza się z prędkością v, której składowa prostopadła do promienia światła jest v sin ?. Promień światła trafi więc w spód teleskopu z przesunięciem od osi optycznej o x = t v sin ? = l (v/c) sin ?. Wyrażone w radianach odchylenie promienia od rzeczywistego kierunku jest zatem a = x/l = (v/c) sin ?
Największa możliwa wartość aberracji wynikającej z ruchu orbitalnego Ziemi, ?/c, zwana stałą aberracji, wynosi 21?. Maksymalne odchylenie spowodowane obrotem Ziemi, stała aberracji dziennej, jest znacznie mniejsze - ok. 0,3?.
Refrakcja - przechodząc przez atmosferę, promień światła ulega załamaniu, czyli refrakcji. W efekcie obserwowany kierunek ku gwieździe różni się od rzeczywistego. Wielkość refrakcji zależy od warunków atmosferycznych wzdłuż drogi promienia, przede wszystkim ciśnienia i temperatury, więc bardzo trudno wyliczyć ją dokładnie. Łatwo jednak wyprowadzić pewne przybliżenie, wystarczające do celów praktycznych. Jeśli obiekt nie jest zbyt daleko od zenitu, można przyjąć, że atmosfera na drodze promienia składa się z płaskich, równoległych warstw, z których każda ma swój współczynnik załamania ni (rys. 2.21). Poza atmosferą n = 1.
Rys. 2.21. Refrakcja promienia światła przechodzącego przez atmosferę. Jeśli wysokość obiektu nie jest zbyt mała, możemy sobie wyobrazić, że atmosfera składa się z płaskich warstw, z których każda ma swój własny współczynnik załamania światła ni. Poza atmosferą wynosi on 1 i rośnie w stronę powierzchni Ziemi
Niech z będzie prawdziwą, a ? obserwowaną odległością zenitalną obiektu. Stosując prawo Snelliusa i oznaczenia z rys. 2.21, otrzymujemy następujący zestaw równań, opisujących załamanie światła na granicach kolejnych warstw:
Podstawiając po kolei jedno do drugiego, dostajemy:
(2.31)
Gdy kąt refrakcji R = z - ? jest mały i wyrazimy go w radianach, mamy:
W końcu otrzymujemy:
(2.32)
Współczynnik załamania światła w powietrzu zależy od jego gęstości, która z kolei jest funkcją ciśnienia i temperatury. Jeśli wysokość obiektu jest >15°, możemy użyć przybliżonej formuły:
(2.33)
gdzie: a - wysokość obiektu w stopniach, T - temperatura w °C, P - ciśnienie atmosferyczne w hPa (czyli milibarach). Przy mniejszych wysokościach obiektu trzeba uwzględnić krzywiznę Ziemi. Przybliżony wzór na kąt refrakcji przyjmuje wtedy postać:
(2.34)
Powyższe wzory są powszechnie stosowane, choć kłócą się z zasadami analizy wymiarowej. Wszystkie wielkości muszą być wyrażone w odpowiednich jednostkach, by uzyskać poprawny wynik. Użyto ich do skonstruowania przedstawionych na rys. 2.22 zależności kąta refrakcji od wysokości obiektu, dla różnych warunków fizycznych.
Rys. 2.22. Wielkość refrakcji w różnych warunkach. Kąt refrakcji R mówi, o ile wyżej widzimy obiekt w stosunku do jego prawdziwej wysokości a. Refrakcja zależy od gęstości powietrza, a więc ciśnienia i temperatury. Górne krzywe ilustrują refrakcję na poziomie morza, w raczej skrajnych warunkach pogodowych. Na wysokości 2,5 km n.p.m. ciśnienie powietrza wynosi przeciętnie tylko 700 hPa, więc efekt refrakcji jest słabszy (najniższa krzywa)
Refrakcja zawsze zwiększa obserwowaną wysokość obiektu, z wyjątkiem najbliższego sąsiedztwa zenitu. Na horyzoncie różnica wynosi ok. 34?, czyli nieco więcej niż średnica tarczy Słońca. Gdy więc dolna krawędź Słońca dotyka horyzontu, w istocie Słońce już zaszło.
W zenicie światło w ogóle nie ulega refrakcji, o ile warstwy atmosfery ułożone są równolegle. Czasem pogoda powoduje, że granice pomiędzy warstwami (np. ciepłego i zimnego powietrza) nie przebiegają poziomo. Wtedy może pojawić się drobna refrakcja zenitalna, na poziomie kilku sekund łuku.
Podane w katalogach współrzędne gwiazd to pozycje średnie, uwolnione od efektów paralaksy, aberracji i nutacji, podane na konkretną epokę. Chcąc obliczyć średnie położenie gwiazdy na inną datę, musimy poprawić dane katalogowe na jej ruch własny (zob. p. 2.10) i precesję. Pozorną pozycję gwiazdy w danym momencie uzyskamy, dodając kolejne poprawki na nutację, paralaksę i aberrację[6]. Istnieją roczniki podające pozorne położenia pewnych gwiazd referencyjnych w odstępach kilkudniowych. Są one poprawione na precesję, nutację, paralaksę i aberrację roczną[7]. Efekty aberracji dziennej i refrakcji nie są uwzględniane, ponieważ zależą od położenia obserwatora i warunków lokalnych.
2.10. Astronomia pozycyjna
Pozycję gwiazdy można mierzyć albo względem pewnych gwiazd odniesienia, o znanych współrzędnych (astrometria różnicowa), albo względem ustalonego układu odniesienia (astrometria absolutna).
Astrometrię absolutną zwykle wykonuje się przy pomocy koła południkowego - teleskopu poruszającego się tylko w płaszczyźnie południka (fot. 2.2). Ma on tylko jedną oś ruchomą, ułożoną dokładnie w kierunku wschód - zachód. Wszystkie gwiazdy przecinają południk, więc każda gwiazda widoczna z danego miejsca przynajmniej raz na dobę przechodzi przez środek pola widzenia koła południkowego. Notuje się moment kulminacji i wysokość gwiazdy w tej chwili. Czas odczytany z zegara gwiazdowego jest od razu rektascensją gwiazdy, ponieważ jej kąt godzinny wynosi wówczas h = 0. Deklinację otrzymujemy z wysokości:
Fot. 2.2. Dyskusja astronomów przy kole południkowym (fot. Obserwatorium w Helsinkach, 1904)
gdzie a jest zaobserwowaną wysokością, a ? szerokością geograficzną obserwatorium.
Astrometrię różnicową wykonuje się na płytach fotograficznych (fot. 2.3) lub zdjęciach uzyskanych kamerą CCD, na których zarejestrowano pewną liczbę gwiazd odniesienia. Ich znane współrzędne pozwalają wyznaczyć skalę obrazu i orientację układu współrzędnych. Mając to, po zmierzeniu współrzędnych prostokątnych x, y badanego obiektu na zdjęciu, możemy obliczyć jego rektascensję i deklinację.
Fot. 2.3. (a) Zdjęcie nieba wykonane w Helsinkach 21 listopada 1902 r., w ramach projektu Carte du Ciel. Pole obejmuje obszar 2° × 2°, a jego środek znajduje się w punkcie o współrzędnych ? = 18h 40m i ? = 46°. Osobno naświetlono siatkę współrzędnych co 5?. (b) Powiększenie fragmentu objętego ramką na zdjęciu (a). (c) Ten sam fragment sfotografowany 7 listopada 1948 r. Gwiazda wskazana strzałką (SAO 47747) przesunęła się o ok. 12?. Najjaśniejsza gwiazda w tym polu (SAO 47767) ma lekko kroplowaty kształt - to układ podwójny, którego składniki oddalone są od siebie o 8?
Jeśli zdjęcie pokrywa małe pole, współrzędne wszystkich zarejestrowanych gwiazd zaburzane są prawie jednakowo przez główne czynniki: precesję, nutację i aberrację. Jednak znacznie od nich drobniejszy efekt paralaksy zmienia wzajemne położenia gwiazd.
Przesunięcie położenia gwiazdy na tle odległych obiektów na skutek ruchu obiegowego Ziemi nazywamy paralaksą roczną lub trygonometryczną. Im dalej znajduje się gwiazda, tym mniejsza jest jej paralaksa trygonometryczna. Jest to więc bezpośrednia metoda pomiaru odległości gwiazd. Jedyna. Później poznamy metody pośrednie, wymagające przyjęcia pewnych założeń co do ruchów lub fizyki gwiazd. Tę samą zasadę triangulacji stosuje się do pomiaru dystansów na Ziemi. Ale chcąc mierzyć odległości do gwiazd, musimy użyć najdłuższej dostępnej bazy - średnicy orbity Ziemi.
W ciągu roku gwiazda leżąca na biegunie ekliptyki zakreśla okrąg[8]. Jeśli leży na ekliptyce - łuk, a elipsę we wszystkich pośrednich przypadkach. Wielka półoś tej elipsy to kąt, pod którym z gwiazdy widać promień orbity Ziemi, czyli jej paralaksa. Tradycyjnie oznaczamy ją literą ? (rys. 2.23).
Rys. 2.23. Paralaksa trygonometryczna ? gwiazdy S to kąt, pod którym widać z niej promień orbity Ziemi, czyli jednostkę astronomiczną (1 au)
Używaną w astronomii jednostką odległości jest parsek (pc). To taka odległość, z której 1 jednostkę astronomiczną (au) widać pod kątem 1?. Jeśli więc paralaksę wyrazimy w sekundach łuku, to:
(2.35)
Ponieważ 1 rad ? 206 265?, więc 1 pc ? 206 265 au. A skoro 1 au = 1,496 × 1011 m, to 1 pc ? 3,086 × 1016 m. W literaturze popularnej odległości wyraża się często w latach świetlnych, przy czym 1 rok świetlny to dystans, jaki światło przebiega w ciągu roku: 9,5 × 1015 m. Stąd 1 pc ? 3,26 lat św.
Pierwszy pomiar paralaksy wykonał w 1838 r. Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846), uzyskując dla gwiazdy 61 Cygni wynik 0,3?. Najbliższa gwiazda, Proxima Centauri, ma paralaksę 0,768?, czyli jej odległość wynosi 1,3 pc.
Oprócz okresowych przesunięć wywołanych paralaksą roczną wiele gwiazd wykazuje ruch na sferze we właściwym sobie, niezmiennym kierunku. To efekt wynikający z przemieszczania się Słońca i gwiazd względem siebie w przestrzeni, zwany ruchem własnym. Niezmiernie powoli, ale nieustępliwie zmienia on wygląd nieba i kształt gwiazdozbiorów (rys. 2.24).
Rys. 2.24. Ruch własny powoli zmienia wygląd gwiazdozbiorów. (a) Wielki Wóz w epoce ostatniego zlodowacenia 30 tys. lat temu, (b) obecnie, (c) za 30 tys. lat
Prędkość gwiazdy względem Słońca można rozłożyć na dwie składowe (rys. 2.25): skierowaną wzdłuż promienia widzenia (składowa radialna, czyli prędkość radialna) i prostopadłą do niej (składowa styczna). Składowa styczna zrzutowana na sferę niebieską daje efekt ruchu własnego. Można go zmierzyć, wykonując zdjęcia pola gwiazdy w odstępach kilku-kilkudziesięciu lat. Z kolei ruch własny ? także można rozłożyć na dwie składowe: zmianę deklinacji ?? i rektascensji ?? cos ?. Współczynnik cos ? jest poprawką skali rektascensji. Koła godzinne (wielkie koła stałej rektascensji) zbliżają się do siebie, zmierzając ku biegunom, więc różnicę rektascensji trzeba pomnożyć przez cos ?, żeby otrzymać prawdziwy odstęp kątowy. Całkowity ruch własny wyraża się zatem wzorem:
(2.36)
Największy ruch własny ma Gwiazda Barnarda, biegnąca po niebie z ogromną prędkością 10,3?/rok. Przemieszczenie się o średnicę tarczy Księżyca zajmuje jej tylko 200 lat.
Rys. 2.25. Składowa radialna ?r i styczna (z łacińska tangencjalna) ?t prędkości gwiazdy ?. Tę drugą postrzegamy jako ruch własny
Aby zmierzyć ruch własny, musimy śledzić gwiazdę przez wiele lat. Prędkość radialną natomiast można uzyskać z pojedynczej obserwacji dzięki efektowi Dopplera. Jest to zmiana częstotliwości i długości fali wynikająca z ruchu źródła względem obserwatora wzdłuż promienia widzenia. Tę zmianę wprost słychać, gdy np. mija nas karetka. Zbliżając się, dźwięk syreny jest wyższy, oddalając - niższy. Wzór na wielkość efektu Dopplera dla małych prędkości łatwo znaleźć, posiłkując się rys. 2.26.
Rys. 2.26. Długość fali wzrasta, gdy jej źródło się oddala
Źródło wysyła falę elektromagnetyczną, której okres wynosi T. W tym czasie promieniowanie zbliża się do obserwatora o odcinek s = cT, gdzie c to prędkość światła. W tym samym czasie źródło przebywa dystans s? = ?T, gdzie ? jest prędkością źródła względem obserwatora, dodatnią, jeśli się oddala, a ujemną, gdy zbliża. Wobec tego zaobserwowana długość fali wynosi:
Gdyby źródło pozostawało w spoczynku, obserwator odbierałby falę o długości identycznej z emitowaną: ?0 = cT. Ruch źródła zmienia obserwowaną długość fali o:
a względna zmiana długości fali wyraża się wzorem:
(2.37)
Jest to dobre przybliżenie tylko dla ? c. Dla bardzo dużych prędkości trzeba stosować wzór relatywistyczny:
(2.38)
Oba powyższe wzory odnoszą się wyłącznie do fal elektromagnetycznych. W przypadku fal mechanicznych, np. dźwięku, przesunięcie dopplerowskie zależy zarówno od prędkości źródła, jak i obserwatora względem ośrodka, w którym rozchodzi się fala.
W astronomii efekt Dopplera pojawia się często w widmach gwiazdowych. Jeśli gwiazda się do nas zbliża, widmo i widoczne w nim linie widmowe są przesunięte ku fioletowi, jeśli się oddala - ku czerwieni. Te przesunięcia są zwykle bardzo małe. Aby je zmierzyć, rejestruje się widmo porównania, pozwalające skalibrować skalę długości fal (zob. p. 3.3). Źródłem światła jest np. lampa, znajdująca się w spoczynku. Niegdyś widmo porównania naświetlano obok widma gwiazdy, na tej samej kliszy. Dziś, w dobie CCD, wykonuje się osobną klatkę.
Widma odległych galaktyk także są przesunięte ku czerwieni, ale tylko częściowo z powodu efektu Dopplera. Główną przyczyną tego zjawiska jest ekspansja Wszechświata (zob. rozdz. 20). Zgodnie z przewidywaniami ogólnej teorii względności również pola grawitacyjne powodują wydłużenie fal elektromagnetycznych (zob. dodatek B).
Przesunięcia linii widmowych dają nam prędkość radialną ?r gwiazdy. Ruch własny ? można zmierzyć na zdjęciu. Jeśli do tego znamy jej odległość (np. z pomiaru paralaksy), to prędkość styczną ?t obliczymy, korzystając ze związku:
(2.39)
Jeśli ? podane jest w sekundach łuku na rok (?/a), odległość w parsekach, a ?t chcemy uzyskać w km/s, to trzeba wykonać następujące przeliczenia jednostek:
1 rad = 206 265?, 1 rok = 3,156 × 107 s, 1 pc = 3,086 × 1013 km.
Wtedy:
(2.40)
Prędkość wypadkową gwiazdy wyraża wzór:
(2.41)
2.11. Gwiazdozbiory
W typową pogodną noc na sklepieniu niebieskim widać 1-1,5 tys. gwiazd. W idealnych warunkach liczba gwiazd widocznych gołym okiem nad horyzontem może sięgać 3 tys., czyli 6 tys. na całym niebie. Niektóre z nich zdają się układać w przypominające coś figury. W ciągu wieków widziano w nich rozmaite zwierzęta lub postacie mitologiczne. Grupowanie gwiazd w konstelacje jest tylko wytworem wyobraźni i nie ma żadnych podstaw fizycznych. Każda kultura kreśliła własne gwiazdozbiory, rzutując na niebo swoje mity, historię i otaczającą przyrodę.
Około połowy z najbardziej znanych konstelacji wywodzi się ze starożytnych kultur obszaru śródziemnomorskiego. Jednak ani ich nazwy, ani granice nie były ustalone aż do XX w. Dopiero w 1928 r. Międzynarodowa Unia Astronomiczna zaprowadziła porządek. Granice gwiazdozbiorów poprowadzono wzdłuż linii jednakowej rektascensji i deklinacji, według ich przebiegu na epokę 1875. Od tamtej pory precesja znacznie obróciła układ równikowy, jednak granice pozostały te same. Wszystkie gwiazdy na zawsze pozostaną w gwiazdozbiorach, do których je przypisano (chyba że wyemigrują na skutek ruchów własnych).
Nazwy wszystkich 88 oficjalnie uznanych gwiazdozbiorów spisano w tabeli C.21 na końcu książki. Podano tam także skróty i dopełniacze ich nazw łacińskich (niezbędne do poprawnego nazewnictwa gwiazd) oraz nazwy polskie.
Johannes Bayer (1572-1625), w wydanym w 1603 r. atlasie Uranometria, wprowadził powszechnie do dziś stosowaną praktykę oznaczania jasnych gwiazd literami greckimi. Z zasady najjaśniejsza gwiazda w danym gwiazdozbiorze to ?. Na przykład Deneb, najjaśniejsza gwiazda Łabędzia, to ? Cygni, co w skrócie można zapisać (ale nie wymówić) ? Cyg. Druga co do jasności to ?, następna ? itd. Są jednak wyjątki od tej reguły. Na przykład gwiazdy w Wielkim Wozie Bayer nazwał według ich układu na niebie, od prawej do lewej.
Gdy skończył się alfabet grecki, zaczęto używać liter łacińskich. Innym sposobem na oznaczanie gwiazd jest przypisanie im numerów według rosnącej rektascensji. Przykładowo, 30 Tauri to jasna gwiazda podwójna w Byku. System ten wprowadził pierwszy astronom królewski John Flamsteed (1646-1719) w wydanym w 1725 r. katalogu gwiazd Historia Coelestis Britannica. Gwiazdy zmienne nazywa się według osobnej zasady (zob. p. 13.1). Około 200 gwiazd ma swoje nazwy własne, np. ? Woźnicy to Kapella.
Wraz z rozwojem teleskopów katalogowano coraz więcej gwiazd. Wkrótce opisane wyżej sposoby przestały wystarczać. Dziś większość gwiazd ma tylko numery katalogowe. Jedna gwiazda może mieć ich wiele. Przykładowo, wspomniana przed chwilą Kapella (? Aur) to również BD+45° 1077 (w katalogu Bonner Durchmusterung) i HD 34029 (w The Henry Draper Catalogue).
2.12. Katalogi i mapy gwiazd
Pierwszy właściwy katalog gwiazd zestawił Klaudiusz Ptolemeusz w II w. n.e., w dziele znanym jako Almagest (co jest zniekształconym tytułem arabskiego przekładu: Kitab al-Midżisti). Zawierał 1025 gwiazd, których pozycje pomierzył Hipparch z Nikei 250 lat wcześniej. Aż do XVII w. był jedynym katalogiem w powszechnym użyciu.
Spośród dziś używanych pierwszy katalog został wykonany pod kierunkiem Friedricha Wilhelma Augusta Argelandera (1799-1875). Argelander pracował przez kilka lat w fińskim Turku, a potem był profesorem astronomii w Helsinkach. Jego najważniejsze prace powstały jednak w Bonn. Przy pomocy teleskopu o średnicy 72 mm, wraz z asystentami wizualnie pomierzył pozycje i oszacował jasności ponad 320 tys. gwiazd. Wydany w latach 1852-1859 katalog Bonner Durchmusterung zawiera prawie wszystkie gwiazdy jaśniejsze od 9,5m, od bieguna północnego do deklinacji -2°. (Pojęcie jasności szerzej omówimy w rozdz. 4). Dzieło Argelandera stało się później wzorem dla dwóch innych dużych katalogów, obejmujących całe niebo. Łącznie spisano w nich prawnie milion gwiazd (fot. 2.4).
Fot. 2.4. Przedstawienie Hiad, gromady gwiazd w Byku, w czterech atlasach: (a) E. Heis, Atlas Coelestis Novus, 1872, (b) Bonner Durchmusterung, (c) SAO, (d) Palomar Sky Atlas, płyta czerwona. Największa "plama" to Aldebaran, ? Tau, najjaśniejsza gwiazda Byka. (e) Mapa całego nieba, na którą naniesiono wszystkie gwiazdy zawarte w katalogu Tycho - ponad milion. Jasny pas to Droga Mleczna (fot. David Seal, NASA/JPL/Caltech)
Celem tych przeglądów, czyli katalogów ogólnych, było systematyczne spisanie jak największej liczby gwiazd. Zamysłem katalogów strefowych jest podanie możliwie dokładnych współrzędnych gwiazd. Typowym katalogiem strefowym jest niemiecki Astronomische Gesellschaft Katalog (AGK). Prace nad nim rozpoczęły się w latach 70. XIX w. i trwały do przełomu wieków. Uczestniczyło w nich 12 obserwatoriów, z których każde wykonywało pomiary w określonej części nieba[9].
Katalogi przeglądowe i strefowe oparte były na obserwacjach wizualnych. Rozwój fotografii odesłał tę metodę do lamusa w końcu XIX w. Płyty fotograficzne można przechowywać i powracać do nich długo później. Fotografując ten sam obszar po wielu latach, można pomierzyć ruchy własne. Co więcej, pomiar położeń gwiazd stał się łatwiejszy i szybszy, umożliwiając skatalogowanie większej liczby gwiazd.
Pod koniec XIX w. rozpoczęto wielki międzynarodowy program Carte du Ciel, z zamiarem sfotografowania całego nieba. Uczestniczyło w nim 18 obserwatoriów, używających podobnych instrumentów i klisz. Pozycję gwiazdy najpierw mierzono względem prostokątnej siatki, naświetlonej na każda płytę (fot. 2.3a), a potem przeliczano na rektascensję i deklinację.
Niezbędne do tego są gwiazdy odniesienia, których współrzędne znane są bardzo dokładnie. Są one zawarte w katalogach fundamentalnych. Potrzeba istnienia takich katalogów pojawiła się przy pracach nad AGK. Pierwszy, Fundamental Katalog (FK1), został opublikowany w Niemczech w 1879 r. Podawał pozycje ponad 500 gwiazd.
Szeroko używanym katalogiem jest SAO, wydany w latach 60. XX w. przez Smithsonian Astrophysical Observatory. Znajdują się w nim dokładne pozycje, jasności, ruchy własne, typy widmowe itp. dla 258 997 gwiazd jaśniejszych od 9m. Towarzyszy mu atlas z naniesionymi wszystkimi gwiazdami z katalogu.
W latach 90. XX w. AGK3 i SAO zostały zastąpione przez duży katalog PPM (Positions and Proper Motions). Zawiera dane wszystkich gwiazd jaśniejszych od 7,5m, prawie wszystkich do 8,5m i wielu słabszych. W czterech tomach katalogu są informacje o 378 910 gwiazdach.
PPM został skutecznie zastąpiony przez katalog Tycho - efekt pracy satelity Hipparcos. Był to pierwszy satelita astrometryczny, wystrzelony przez Europejską Agencję Kosmiczną (European Space Agency, ESA) w 1989 r. Choć nie osiągnął zaplanowanej orbity geosynchronicznej, oparty na jego pomiarach Hipparcos Catalogue podaje dane astrometryczne i fotometryczne dla 118 tys. gwiazd. Precyzja współrzędnych sięga paru milisekund łuku. Mniej dokładny katalog Tycho zawiera ok. 1 mln gwiazd.
W latach 1999 i 2000 wydano szóstą wersję Katalogu Fundamentalnego FK6. Dla 4150 gwiazd referencyjnych łączy on dane z wcześniej edycji FK5 i Hipparcosa. Dla najważniejszych gwiazd, średni błąd ruchów własnych wynosi tu typowo 0,00035?/rok.
W obecnym Międzynarodowym Systemie Referencyjnym Współrzędnych (International Celestial Reference System, ICRS) układy współrzędnych opierają się na odległych kwazarach, których pozycje są niemal niezmienne. Współrzędne podane na epokę J2000.0 są bardzo bliskie temu fundamentalnemu systemowi.
Wraz z rozpowszechnieniem się internetu na początku nowego tysiąclecia zaprzestano drukowania katalogów i przeniesiono je do sieci. Rozwój techniki sprawił, że rozmiary katalogów eksplodowały. Pierwsza wersja Guide Star Catalog, przygotowana na początku lat 90. XX w. na użytek kosmicznego teleskopu Hubble'a zawierała 18 mln gwiazd. Następna, z 2001 r., już prawie 500 mln. Ten rekord został pobity przez katalog USNO-B1.0 przygotowany przez Obserwatorium Morskie USA na podstawie zeskanowanych zdjęć, wykonanych w ciągu 50 lat w ramach różnych przeglądów nieba. Podaje współrzędne, ruchy własne i jasności w różnych barwach dla 1 024 619 261 gwiazd i galaktyk.
Drugi europejski satelita astrometryczny Gaia, wystrzelony w 2013 r., to następny krok ku większej precyzji astrometrii. Dla niektórych obiektów zapewnia dokładność na poziomie setnych części milisekundy łuku[10].
Zastosowanie astrometrii nie ogranicza się do tworzenia map. Dane astrometryczne mają głębsze, fizyczne znaczenie. Znając odległość do gwiazdy, można z jej obserwowanej jasności obliczyć rzeczywistą moc promieniowania (rozdz. 4), co niesie informacje o jej strukturze i statusie ewolucyjnym (rozdz. 11 i 12). Ruchy gwiazd wiążą się np. z rozkładem masy w Galaktyce (rozdz. 18).
Mapy nieba rysowano od starożytności. Najwcześniejsze globusy nieba ukazywały sferę jakby widzianą od zewnątrz. Dopiero na mapach wspomnianego już Johannesa Bayera (1603) przedstawiono niebo z naszej perspektywy. Gwiazdozbiory długo ozdabiano rysunkami figur mitologicznych (fot. 2.4a). Wydany przez Argelandera w 1843 r. atlas Uranometria Nova prezentuje etap przejściowy ku nowoczesnym mapom - figury są ledwo naszkicowane. Natomiast kreśląc mapy do Bonner Durchmusterung, Argelander już całkowicie je pominął. Nie ma tam nic oprócz gwiazd i siatki współrzędnych (fot. 2.4b).
Większość map opiera się na katalogach. Fotografia umożliwiła tworzenie map bez katalogowania. Najważniejszym reprezentantem tej filozofii jest atlas, którego pełna nazwa brzmi: The National Geographic Society - Palomar Observatory Sky Atlas. Wykonano go w latach 50. XX w. przy użyciu 1,2-metrowej kamery Schmidta w obserwatorium na Mount Palomar. Składa się z 935 par zdjęć: każde pole sfotografowano w świetle niebieskim i czerwonym. Zdjęcia wykonano w formacie 35 cm × 35 cm, a każde z nich pokrywa pole 6,6° × 6,6°. Odbitki są negatywowe (czarne gwiazdy na jasnym tle), ponieważ w ten sposób lepiej widać słabe obiekty (fot. 2.4c). Jasność graniczna wynosi 19m w dziedzinie niebieskiej i 20m w czerwonej.
Atlas Palomarski pokrywa niebo od bieguna północnego do deklinacji -30°. Zadanie sfotografowania reszty nieba podjęły później dwa obserwatoria na półkuli południowej: Siding Spring w Australii i Europejskie Obserwatorium Południowe (European Southern Observatory, ESO) w Chile. Użyte instrumenty i skala zdjęć jest podobna do fotografii palomarskich, ale ten atlas jest rozpowszechniany w postaci klisz, a nie papierowych odbitek.
Istnieje wiele amatorskich atlasów nieba rozmaitego rodzaju. Niektóre z nich wspomniano w bibliografii. Wiele katalogów jest dostępnych w sieci. Każdy, kto potrafi programować, może więc rysować własne mapy, według swoich potrzeb.
2.13. Czas słoneczny i gwiazdowy
Rachubę czasu można oprzeć na rotacji Ziemi, jej obiegu wokół Słońca lub zegarach atomowych. To ostatnie przedyskutujemy w następnym podrozdziale. Teraz zajmiemy się związkiem czasu słonecznego i gwiazdowego z obrotem Ziemi.
Zdefiniowaliśmy czas gwiazdowy jako kąt godzinny punktu Barana. Wygodną jednostką podstawową jest doba gwiazdowa, czyli syderyczna (czasem mówimy "dzień gwiazdowy"), która jest odstępem czasu pomiędzy dwoma kolejnymi górowaniami punktu Barana. Po upływie doby gwiazdowej sfera niebieska powraca do pierwotnego położenia względem obserwatora. Bieg czasu gwiazdowego jest na tyle jednostajny, na ile jednostajna jest rotacja Ziemi. Ta powoli zwalnia, więc dzień gwiazdowy się wydłuża. Na ten gładki trend nakładają się jeszcze nieregularne zmiany na poziomie milisekund.
Czas gwiazdowy występuje w dwóch odmianach: prawdziwej i średniej. Prawdziwy czas gwiazdowy jest określony przez położenie rzeczywistego punktu Barana, a więc wyznacza się go bezpośrednio z obserwacji.
Precesja zwiększa długość ekliptyczną punktu równonocy o ok. 50? rocznie. Jest to ruch równomierny. Nutacja powoduje bardziej zawiłe kołysanie. Średni punkt równonocy wiosennej to miejsce, gdzie znajdowałby się punkt Barana, gdyby nie było nutacji. Średni czas gwiazdowy to kąt godzinny średniego punktu Barana.
Różnicę pomiędzy prawdziwym czasem gwiazdowym ?a a średnim ?M nazywamy równaniem równonocy:
(2.42)
gdzie ? jest nachyleniem ekliptyki w danym momencie, a ?? nutacją w długości ekliptycznej. Wielkość ta jest stablicowana na każdy dzień roku, np. w "The Astronomical Almanac" lub "Roczniku Astronomicznym IGiK". Można ją również wyliczyć ze wzorów podanych w ramce 2.1. Wynosi co najwyżej ok. 1 s, więc uwzględnia się ją tylko wtedy, gdy wymagana jest wielka dokładność.
Na rysunku 2.27 Ziemia w chwili równonocy wiosennej znajduje się w punkcie A. Słońce góruje i jednocześnie zaczyna się kolejny dzień gwiazdowy w miejscowości, gdzie na centralnym placu stoi olbrzymia strzałka. Po upływie 1 doby gwiazdowej Ziemia przesunie się na orbicie do punktu B, zakreślając łuk o kącie środkowym ?, nieco mniejszym od 1°. W tym momencie jednak w miejscowości ze strzałką Słońce jeszcze nie góruje. Aby tak się stało, Ziemia musi się dodatkowo obrócić o kąt ?. A zatem doba słoneczna, czyli synodyczna (czas pomiędzy następującymi po sobie górowaniami Słońca), jest o 3m 56s (czasu gwiazdowego) dłuższa od syderycznej. Każdego kolejnego dnia początek doby gwiazdowej będzie przypadał o innej godzinie słonecznej, aby po roku zgrać się ponownie. W efekcie dób gwiazdowych jest w ciągu roku o 1 więcej niż słonecznych.
Rys. 2.27. Doba gwiazdowa to czas pomiędzy dwoma kolejnymi górowaniami punktu Barana. W tym czasie Ziemia przesuwa się z punktu A do B. Kąt ? w rzeczywistości nie jest tak wielki jak na rysunku; jest nieco mniejszy od 1°
Przez pojęcie okresu obrotu planety zwykle rozumiemy jej okres syderyczny. Mówiąc o długości dnia, mamy na myśli dobę synodyczną. Niech P oznacza okres obiegu Słońca przez planetę, ?* - długość doby syderycznej, zaś ? - długość doby synodycznej. Wiemy już, że liczba dni syderycznych w okresie P, P/?* jest większa o 1 od liczby dni synodycznych, P/?:
czyli
(2.43)
Odnosi się to do planet wirujących w kierunku zgodnym z ruchem obiegowym (odwrotnie do wskazówek zegara). Jeśli obrót jest w kierunku przeciwnym, liczba dni syderycznych jest mniejsza o 1 od liczby dni synodycznych - wtedy:
(2.44)
Dla Ziemi P = 365,2564d, ? = 1d, więc ze wzoru 2.43 otrzymujemy ?* = 0,99727d = 23h 56m 04s, czasu słonecznego.
Rytm naszego codziennego życia reguluje następstwo dni i nocy. Wygodniej jest więc oprzeć rachubę czasu na pozornym ruchu Słońca, a nie gwiazd. Niestety czas słoneczny nie płynie w równym tempie. Po pierwsze, orbita Ziemi nie jest okręgiem, lecz elipsą, więc prędkość, z jaką Ziemia obiega Słońce, nie jest stała. Po drugie, Słońce porusza się po ekliptyce, a nie równiku. Skutkiem tego jego rektascensja nie rośnie równomiernie: najszybciej w końcu grudnia (4m 27s na dobę), najwolniej w połowie września (3m 35s na dobę). W konsekwencji kąt godzinny Słońca (który jest miarą czasu słonecznego) także przyrasta w zmiennym tempie.
Nasze zegarki nie potrafią mierzyć czasu płynącego niejednostajnie. Dlatego wprowadzono pojęcie fikcyjnego słońca średniego - punktu, który porusza się po równiku (a nie ekliptyce) ze stałą prędkością kątową, dokonując pełnego obiegu w ciągu roku. Mamy na myśli rok zwrotnikowy, czyli odstęp czasu pomiędzy dwoma kolejnymi przejściami Słońca przez punkt równonocy wiosennej. W ciągu roku zwrotnikowego rektascensja Słońca wzrasta dokładnie o 24h. Długość roku zwrotnikowego wynosi 365d 5h 48m 46s = 365,2422d. Ponieważ punkt Barana przesuwa się na skutek precesji w kierunku przeciwnym do ruchu Słońca, więc rok zwrotnikowy jest nieco krótszy od roku gwiazdowego, po którym Słońce powraca w to samo miejsce na tle gwiazd. Rok gwiazdowy trwa 365,2564d.
Wykorzystując sztuczne pojęcie słońca średniego, możemy zdefiniować równomiernie płynący średni czas słoneczny (lub w skrócie czas średni) TM jako kąt godzinny słońca średniego hM plus 12h (aby daty zmieniały się o północy, ku utrapieniu astronomów):
(2.45)
Różnicę pomiędzy prawdziwym czasem słonecznym T a czasem średnim nazywamy równaniem czasu (niefortunne określenie, ale tradycyjne):
E = T - TM.
(2.46)
Wartość E waha się w granicach od ok. -14m do ok. +16m (rys. 2.28)[11]. Jest to również różnica pomiędzy momentem południa prawdziwego (górowania Słońca) a średniego.
Rys. 2.28. Równanie czasu. Zegary słoneczne zawsze pokazują czas prawdziwy miejscowy (jeśli są poprawnie zbudowane). Chcąc poznać czas średni miejscowy, należy odjąć wartość równania czasu od godziny wskazanej przez zegar słoneczny
Zarówno prawdziwy, jak i średni czas słoneczny to czasy miejscowe, zależne od długości geograficznej obserwatora ?[12]. Jest bardzo prawdopodobne, że jeśli wyznaczymy z obserwacji czas prawdziwy, a potem z równania (2.46) obliczymy czas średni, to oba będą się różnić od godziny wskazywanej przez zegarek. Ten bowiem nie mierzy czasów miejscowych, lecz czas strefowy.
Niegdyś każde miasto miało swój własny czas lokalny. Gdy podróżowanie stało się szybsze i bardziej powszechne, ta rozmaitość stała się udręką. Dlatego w końcu XIX w. świat podzielono na 24 strefy czasowe. W każdej z nich czas różnił się od sąsiednich o 1 godzinę. Na powierzchni Ziemi 1 godzina czasowa odpowiada różnicy 15° w długości geograficznej. Czas każdej strefy jest więc określony jako czas średni miejscowy na południkach 0°, 15°, ..., 345°.
Czas południka zerowego, przechodzącego przez Greenwich, to międzynarodowy punkt odniesienia, czas uniwersalny (UT). Większość krajów europejskich leży w strefie wyprzedzającej UT o 1 godzinę (rys. 2.29).
Rys. 2.29. Strefy czasowe. Legenda podaje różnice pomiędzy czasem danej strefy a średnim czasem Greenwich (UT). Jeśli obowiązuje czas letni, do tych wartości należy dodać 1h. Przekraczając linię zmiany daty ze wschodu na zachód, dodajemy jeden dzień do bieżącej daty. Podróżując w druga stronę, odejmujemy. Przykładowo, podróżnik startujący z Honolulu do Tokio w poniedziałek rano, doleci na miejsce we wtorek, choć po drodze nie zobaczy nocy. Jest wiele lokalnych komplikacji. Na przykład Chile jest podzielone na trzy strefy czasowe, a w 2015 r. Korea Północna przyjęła czas strefowy UTC +8,5h, który spóźnia się o pół godziny w stosunku do obowiązującego w Korei Południowej
W wielu krajach przez znaczną część roku obowiązuje czas letni, wyprzedzający czas standardowy o 1h. Celem jest dostosowanie rytmu codziennego życia do rzeczywistego dnia, w nadziei zaoszczędzenia energii, zwłaszcza wieczorem (ludzie idą spać o godzinę wcześniej). Różnica pomiędzy czasem miejscowym a urzędowym rośnie wtedy jeszcze bardziej. Są głosy, że przynosi to znacznie więcej szkód niż pożytku. Wielu ludzi ma poważne problemy z przestawieniem wewnętrznego zegara biologicznego dwa razy w roku. Ponadto różne kraje stosują różne zasady wprowadzania czasu letniego.
W krajach Unii Europejskiej czas letni jest wprowadzany w ostatnią niedzielę marca o godzinie 1 UTC, gdy zegary są przestawiane o 1h do przodu. Operację odwrotną przeprowadzamy w ostatnią niedzielę października, również o godzinie 1 UTC.
2.14. Astronomiczne systemy czasu
Czas można zdefiniować na podstawie różnych zjawisk:
1. Czas słoneczny i gwiazdowy oparte są na obrocie Ziemi.
2. Sekunda, jednostka czasu w układzie SI, oparta jest na zjawiskach atomowych.
3. Równania fizyczne, np. opisujące ruch ciał niebieskich, zawierają zmienną czasową, w której czas jest idealny, jednostajnie płynący. Taki jest czas efemeryd i czas dynamiczny, omawiane nieco dalej.
Z obserwacji można uzyskać bezpośrednio prawdziwy czas gwiazdowy - kąt godzinny prawdziwego punktu Barana. Jest to czas niejednostajny, dlatego w praktyce używa się czasów średnich. Takim jest czas uniwersalny UT, który określa kąt godzinny na południku zerowym fikcyjnego słońca średniego, zwiększony o 12 godzin.
Średni czas gwiazdowy 'GMST' o godzinie 0 UT zdefiniowany jest równaniem:
(2.47)
gdzie T to stulecie juliańskie. Stulecie juliańskie uzyskuje się z daty juliańskiej JD, która jest bieżącym numerem dnia (zob. rozdz. 2.15 i ramkę 2.2):
(2.48)
Jest to wyrażony w stuleciach juliańskich czas, jaki upłynął od południa 1 stycznia 2000 r.
Czas gwiazdowy, a więc i UT, są oparte na rotacji Ziemi. Są zatem skażone wszystkimi jej nieregularnościami i systematycznymi zmianami, przede wszystkim spowalnianiem.
Stała 8 640 184,812866 s we wzorze (2.47) pokazuje, jak bardzo czas gwiazdowy spieszy się w stosunku do 8 640 000 s UT w ciągu stulecia juliańskiego. Obrót Ziemi zwalnia, dlatego doba słoneczna się wydłuża. W efekcie coraz dłuższe staje się też stulecie juliańskie, zawierające przecież określoną liczbę dni. Stąd biorą się drobne poprawki we wzorze (2.47) - dwa ostatnie składniki.
Ściśle mówiąc, czas uniwersalny użyty w powyższej definicji GMST oznacza się jako UT1. Z obserwacji dostajemy czas UT0, nieznacznie zaburzany wędrówką biegunów geograficznych. Kierunek osi obrotu Ziemi przemieszcza się względem skorupy ziemskiej z okresem ok. 430 dni (okres Chandlera) o ok. 0,1? (kilka metrów na powierzchni Ziemi). Ruch bieguna zawiera ponadto wolną składową nieokresową.
Oś z współrzędnych astronomicznych jest równoległa do wektora momentu pędu Ziemi. Trzeba jednak pamiętać, że współrzędne ziemskie odnoszą się do średniego położenia osi w roku 1903,5[13], co musi być uwzględniane w bardzo dokładnych rachunkach.
Na skutek wędrówki biegunów UT0 nie przyrasta w stałym tempie, bo również kierunek południka zerowego jest zmienny. Są jeszcze dodatkowe nieregularne zmiany na poziomie milisekund, a także wiekowe spowalnianie, spowodowane siłami pływowymi.
W układzie SI sekunda jest obecnie zdefiniowana w sposób niemający nic wspólnego ze zjawiskami na niebie. Okresy procesów kwantowych są bardziej stabilne od ruchów ciał niebieskich, zakłócanych skomplikowanymi perturbacjami.
W 1967 r. sekundę zdefiniowano jako czas równy 9 192 631 770 okresom promieniowania, odpowiadającego przejściu między dwoma poziomami F = 3 i F = 4 struktury nadsubtelnej stanu podstawowego atomu cezu 133Cs. Później definicję tę uściślono, uwzględniając małe efekty relatywistyczne, wywoływane obecnością pola grawitacyjnego. Dokładność względna czasu atomowego jest ok. 10-12. Międzynarodowy czas atomowy, TAI, przyjęto jako podstawę sygnałów czasu w 1972 r. Utrzymywany jest przez Międzynarodowe Biuro Miar i Wag w Paryżu i jest średnią wskazań kilku precyzyjnych zegarów atomowych.
Nawet przed wynalezieniem zegarów atomowych istniała potrzeba czasu idealnego, biegnącego doskonale równym tempem, odpowiadającego zmiennej czasowej w równaniach mechaniki newtonowskiej. Takim był czas efemeryd, ET. Nazwa pochodzi stąd, że używano go w tablicach efemeryd (przewidywanych położeń planet itp. zjawisk na niebie). Jako jednostką posługiwano się sekundą efemerydalną, którą określono jako długość roku zwrotnikowego 1900 podzieloną na 31 556 925,9747. Czas efemeryd nie był znany z wyprzedzeniem. Dopiero później można było z obserwacji wyznaczyć różnicę pomiędzy ET a UT.
W 1984 r. czas efemeryd zastąpiono czasem dynamicznym, istniejącym w dwóch odmianach. Ziemski czas dynamiczny, TDT, to atomowy czas własny obserwatora znajdującego się na Ziemi, uwzględniający relatywistyczną dylatację czasu związaną z jej ruchem orbitalnym, ale nie obrotowym. Prędkość ruchu obrotowego zależy od szerokości geograficznej, więc zakłada się tu, że obserwator nie wiruje wraz z Ziemią. Punkt zerowy skali TDT wybrano tak, że stary ET przeszedł w TDT bez przeskoku.
W 1991 r. przyjęto nowy czas standardowy, czas ziemski, TT, praktycznie równoważny TDT. Jest on obecnie stosowany w tablicach efemeryd, np. w "The Astronomical Almanac" lub "Roczniku Astronomicznym IGiK". "The Astronomical Almanac" podaje również różnice
(2.49)
dla minionych lat, wraz z wyekstrapolowaną z nich przewidywaną różnicą na rok bieżący i niezbyt odległą przyszłość. Dokładność tych przewidywań wynosi ok. 0,1 s. W 1990 r. różnica ta wynosiła 56,7 s i rośnie średnio o mniej niż 1 s rocznie.
Czas ziemski różni się od międzynarodowego czasu atomowego o stałą wielkość:
(2.50)
Czas TT jest wygodny przy podawaniu efemeryd zjawisk obserwowanych z Ziemi. Ale równania ruchu ciał Układu Słonecznego rozwiązywane są w układzie współrzędnych związanym z jego środkiem mas, czyli barycentrum. Czas atomowy związany z barycentrum to barycentryczny czas dynamiczny, TDB. Jednostkę tego czasu zdefiniowano tak, że średnio płynie on w tym samym tempie co TT, a różni się od niego tylko o wyrazy okresowe, spowodowane ruchem orbitalnym Ziemi. Ta różnica wynosi co najwyżej ok. 0,002 s, więc można ją zwykle pomijać.
Według którego z tych czasów chodzą nasze zegarki? Żadnego. Do tego celu jest potrzebny jeszcze inny czas: czas uniwersalny koordynowany, UTC. Czas strefowy to właśnie UTC plus całkowita (zwykle) liczba godzin.
UTC został tak zdefiniowany, aby biegł w tym samym tempie co TAI, a różnił się od niego zawsze o całkowitą liczbę sekund. Tę różnicę co jakiś czas powiększa się przez dodanie sekundy przestępnej, aby rozziew pomiędzy UTC a UT1 nigdy nie przekroczył 0,9 s (rys. 2.30).
Rys. 2.30. Różnica pomiędzy czasem uniwersalnym UT1 (opartym na obrocie Ziemi) a czasem uniwersalnym koordynowanym UTC (atomowym) w latach 1972-2015. Ziemia wiruje coraz wolniej, dlatego UT1 spóźnia się w stosunku do UTC w tempie ok. 0,8 s rocznie. Tę różnicę niweluje się co jakiś czas, dodając do UTC sekundę przestępną. Każdą z tych operacji widać na wykresie jako gwałtowny skok
Tabela 2.2. Poprawki do przeliczania czasów TAI, TT i UTC (w sekundach). Czas ziemski TT, stosowany w efemerydach, uzyskuje się, dodając ?AT+32,184 s do zwykłego czasu UTC
Okres obowiązywania
?AT
TT - UTC
1 I 1972 - 30 VI 1972
10
42,184
1 VII 1972 - 31 XII 1972
11
43,184
1 I 1973 - 31 XII 1973
12
44,184
1 I 1974 - 31 XII 1974
13
45,184
1 I 1975 - 31 XII 1975
14
46,184
1 I 1976 - 31 XII 1976
15
47,184
1 I 1977 - 31 XII 1977
16
48,184
1 I 1978 - 31 XII 1978
17
49,184
1 I 1979 - 31 XII 1979
18
50,184
1 I 1980 - 30 VI 1981
19
51,184
1 VII 1981 - 30 VI 1982
20
52,184
1 VII 1982 - 30 VI 1983
21
53,184
1 VII 1983 - 30 VI 1985
22
54,184
1 VII 1985 - 31 XII 1987
23
55,184
1 I 1988 - 31 XII 1989
24
56,184
1 I 1990 - 31 XII 1990
25
57,184
1 I 1991 - 30 VI 1992
26
58,184
1 VII 1992 - 30 VI 1993
27
59,184
1 VII 1993 - 30 VI 1994
28
60,184
1 VII 1994 - 31 XII 1995
29
61,184
1 I 1996 - 31 VI 1997
30
62,184
1 VII 1997 - 31 XII 1998
31
63,184
1 I 1999 - 31 XII 2005
32
64,184
1 I 2006 - 31 XII 2008
33
65,184
1 I 2009 - 31 VI 2012
34
66,184
1 VII 2012 - 30 VI 2015
35
67,184
1 VII 2015 - 31 XII 2016
36
68,184
1 1 2017 - ...
37
69,184
Jeśli się to czyni, następuje to zawsze w nocy z 31 grudnia na 1 stycznia lub z 30 czerwca na 1 lipca.
Definiując różnicę
(2.51)
i korzystając ze wzoru (2.50), dostajemy związek między czasem ziemskim a uniwersalnym koordynowanym:
(2.52)
Poprawka ?AT jest podana w tabeli 2.2. Zgodnie z definicją UTC jest to zawsze całkowita liczba sekund. Powiększa się o 1 s za każdym razem, gdy urzędowo zarządza się dodanie sekundy przestępnej, nie sposób więc przewidzieć jej wielkość daleko w przyszłość. Można ją z grubsza oszacować, wiedząc, że sekunda przestępna jest dodawana średnio co 1,25 roku.
Jednostką czasów TAI, TT i UTC jest ta sama sekunda z układu SI. Płyną więc w jednakowym tempie, a różnią się jedynie punktem zerowym. Odstęp pomiędzy TAI a TT jest stały i tylko UTC coraz bardziej względem nich się spóźnia, wraz z każdą dodaną sekundą przestępną.
Kulminacje, wschody i zachody ciał niebieskich związane są z obrotem Ziemi. Momenty takich zjawisk w czasie gwiazdowym i UT można wyliczyć precyzyjnie. Czas UTC tych zjawisk nie może różnić się od UT o więcej jak 0,9 s, ale ile to będzie dokładnie w dalszej przyszłości, nie wiadomo. Współrzędne Słońca, Księżyca i planet z dużym wyprzedzeniem da się obliczyć w funkcji czasu TT, jednak odpowiednie momenty UTC mogą być jedynie oszacowane.
2.15. Kalendarze
Używany dziś kalendarz jest owocem długiej ewolucji. Głównym problemem, z jakim musi sobie radzić, jest niewspółmierność podstawowych jednostek: dnia, miesiąca i roku. Liczby dni i miesięcy w roku nie są całkowite. Ogromnie utrudnia to zadanie stworzenia kalendarza odpowiadającego przemianom pór roku, dnia i nocy, a może i faz Księżyca.
Nasz kalendarz wywodzi się z rzymskiego, który pierwotnie oparty był wyłącznie na fazach Księżyca. Około 700 r. p.n.e. powiązano go z pozornym ruchem Słońca i od tej pory rok składa się z 12 miesięcy. Miesiąc wciąż jednak trwał z grubsza tyle co cykl księżycowy, więc rok trwał tylko 354 dni. Aby pogodzić go z porami roku, co parę lat dodawano cały miesiąc przestępny.
W ciągu wieków chaos narastał[14]. Porządek zaprowadził Juliusz Cezar w 46 r. p.n.e., na którego polecenie aleksandryjski astronom Sosygenes opracował kalendarz juliański. Rok liczył 365 dni, a co 4 lata dodawano dzień przestępny.
Średnia długość roku w kalendarzu juliańskim wynosi 365d 06h, czyli o 11m 14s za dużo w porównaniu z rokiem zwrotnikowym. Po upływie 128 lat początek roku przypadał już o 1 dzień za późno. Ta różnica doszła do 10 dni, gdy w 1582 r. papież Grzegorz XIII zdecydował się przeprowadzić kolejną reformę kalendarza. Także w kalendarzu gregoriańskim co czwarty rok jest przestępny, ale z lat podzielnych przez 100 tylko te, które dzielą się przez 400. Tak więc rok 1900 nie był przestępny, ale 2000 był. Reforma gregoriańska była przyjmowana bardzo powoli, w różnych krajach w różnym czasie. Choć wszyscy widzieli potrzebę nowego kalendarza, nakaz wydany przez katolickiego papieża był trudny do przyjęcia, np. w krajach protestanckich. Okres przejściowy trwał aż do XX w.[15]
Nawet kalendarz gregoriański nie jest idealny. Różnica z rokiem zwrotnikowym urośnie do 1 dnia w ciągu ok. 3300 lat.
Rozmaita długość lat i miesięcy sprawia kłopot przy obliczaniu odstępów czasu. Przeszkadza to zwłaszcza astronomom, dlatego wymyślono szereg sposobów na przypisanie poszczególnym dniom bieżących numerów. Najszerzej stosowanym jest data juliańska JD. Wbrew pozorom nie ma ona nic wspólnego z kalendarzem juliańskim. Jedynie to, że pojawiające się w wielu wzorach na datę juliańską stulecie juliańskie trwa 36 525 dni, tyle samo co sto lat w kalendarzu juliańskim. Każdy dzień juliański rozpoczyna się o godzinie 12:00 UT. Numer 0 nosił jeden z dni w 4713 r. p.n.e. Dzień nr 2 451 545 rozpoczął się w południe UT 1 stycznia 2000 r. Obliczeniu daty juliańskiej służą wzory podane w ramce 2.2.
Daty juliańskie to niestety wielkie liczby. Często omija się tę przykrość, używając zmodyfikowanej daty juliańskiej MJD, np. pomija się cztery pierwsze cyfry. Zdarza się też, że początek doby juliańskiej przesuwa się z południa UT na północ (aby zgrać datę juliańską z "cywilną"). Czyniąc tak, trzeba to zawsze wyraźnie opisać.
2.16. Przykłady
Przykład 2.1. (Funkcje trygonometryczne w trójkącie sferycznym prostokątnym). Na rysunku poniżej kąt A jest prosty.
W geometrii płaskiej funkcje kąta B byłyby:
Dla trójkąta sferycznego musimy użyć wzorów (2.7), które teraz przyjmują prostą postać:
Trzecie z tych równań jest odpowiednikiem twierdzenia Pitagorasa dla geometrii sferycznej.
Pierwsze równanie daje sinus B:
Dzieląc drugie przez trzecie, dostajemy cosinus B:
Tangens B uzyskujemy, dzieląc pierwsze równanie przez drugie:
Przykład 2.2. (Odległość pomiędzy dwiema miejscowościami). Przybliżona szerokość geograficzna Helsinek jest ?1 = 60°, a długość ?1 = 25°. Współrzędne La Palmy są ?2 = 28,7° i ?2 = -17,9°. Jaka jest odległość pomiędzy tymi miastami, mierzona po powierzchni Ziemi?
Zastosujemy wzór cosinusów dla trójkąta sferycznego Biegun Północny - Helsinki - La Palma:
skąd a = 42,5°.
Inną metodą jest użycie rachunku wektorowego (dodatek A). Wektor wodzący danego punktu na Ziemi, zaczepiony w środku Ziemi ma współrzędne:
gdzie R to promień Ziemi. Dopóki interesuje nas tylko odległość kątowa pomiędzy dwoma punktami, wystarczą nam wektory jednostkowe (R pomijamy), które w naszym przykładzie są:
Iloczyn skalarny tych dwóch wektorów daje cosinus kąta pomiędzy nimi:
co znów daje nam a = 42,5° = 0,7419 rad.
Odległość liniowa, mierzona wzdłuż koła wielkiego na powierzchni Ziemi wynosi zatem Ra = 6370 km × 0,7419 = 4726 km.
Przykład 2.3. (Współrzędne Nowego Jorku). Geograficzne współrzędne Nowego Jorku są 41° N i 74° W, czyli ? = +41° i ? = -74°. W jednostkach czasowych długość wynosi 74/15 = 4h 56m na zachód od Greenwich. Szerokość geocentryczną uzyskujemy ze wzoru (2.9):
Szerokość geocentryczna jest więc o 11? 26? mniejsza od geograficznej.
Przykład 2.4. Odległość kątowa dwóch punktów na niebie to coś całkiem innego niż różnica współrzędnych.
Niech gwiazda A ma współrzędne ?1 = 10h i ?1 = 70°, zaś gwiazda B: ?2 = 11h i ?2 = 80°. Stosując twierdzenie Pitagorasa dla trójkątów płaskich, otrzymalibyśmy:
Ale jeśli użyjemy trzeciego wzoru z zestawu (2.7), uzyskujemy:
czyli d = 10,6°. Spoglądając na rysunek, widzimy, dlaczego wynik uzyskany z twierdzenia Pitagorasa jest tak bardzo błędny.
Koła godzinne (na których rektascensja jest stała), zmierzając ku biegunom, zbliżają się do siebie i ich odległość kątowa się zmniejsza, choć różnica rektascensji pozostaje taka sama.
Przykład 2.5. Obliczyć azymut i wysokość Księżyca w Helsinkach o godzinie 0 UT 1 stycznia 1996 r.
W rocznikach znajdujemy współrzędne równikowe Księżyca: ? = 2h 55m 07s = 2,9186h, ? = 14° 42? = 14,70, i czas gwiazdowy: ? = 6h 19m 26s = 6,3239h. Szerokość geograficzna Helsinek jest ? = 60,16°.
Kąt godzinny Księżyca wynosi h = ? - ? = 3,4053h = 51,08°. Teraz zastosujemy równania (2.16):
A zatem wysokość jest a = 31,5°. Aby znaleźć azymut, musimy obliczyć jego sinus i cosinus:
Stąd mamy A = 62,0°. Księżyc jest na południowym zachodzie, 31,5° nad horyzontem. Ściślej, tam by się znajdował, gdyby był nieskończenie daleko.
Przykład 2.6. Obliczyć topocentryczne współrzędne horyzontalne Księżyca dla danych z poprzedniego przykładu.
Geocentryczna odległość Księżyca w zadanym momencie wynosi R = 62,58 równikowych promieni Ziemi. Dla uproszczenia przyjmiemy, że Ziemia jest kulą. Ustalmy prostokątny układ współrzędnych w ten sposób, że oś z wskazuje biegun nieba, a miejsce obserwacji leży w płaszczyźnie xz.
Jeśli użyjemy promienia Ziemi jako jednostki odległości, promień wodzący miejsca obserwacji jest:
Promień wodzący Księżyca zaś:
Topocentryczna pozycja Księżyca jest różnicą tych dwóch wektorów:
Dzieląc ten wektor przez jego długość 62,07, otrzymujemy wektor jednostkowy e wskazujący kierunek do Księżyca. Jego współrzędne można wyrazić jako funkcje topocentrycznych współrzędnych równikowych ?? i h? :
co daje nam ?? = 14,00° i h? = 51,45°. Teraz już możemy obliczyć wysokość i azymut, tak jak w poprzednim przykładzie, uzyskując ostatecznie a = 30,7° i A = 61,9°.
Innym sposobem obliczenia wysokości jest skalarne przemnożenie wektorów e i r0, co od razu daje nam cosinus odległości zenitalnej:
czyli z = 59,3°, więc a = 90° - z = 30,7°. Zauważmy, że wynik różni się od wysokości geocentrycznej o 0,8°, czyli więcej niż średnica tarczy Księżyca.
Przykład 2.7. Obliczyć czas gwiazdowy momentów wschodu i zachodu Arktura (? = 14h 15,7m, ? = 19° 11?) w Bostonie (? = 42° 19?).
Pomijając refrakcję, ze wzoru (2.21) otrzymujemy:
Stąd h = ?108,47° = 7h 14m. Dokładniejszy wynik uzyskamy, podstawiając do wzoru (2.20) refrakcję horyzontalną:
co daje h = ?109,35° = 7h 17m. Znak plus odnosi się do zachodu, a minus do wschodu. Gdy Arktur wschodzi, czas gwiazdowy wynosi:
a gdy zachodzi:
Zwróćmy uwagę, że wynik nie zależy od daty. Gwiazda wschodzi i zachodzi codziennie o tym samym czasie gwiazdowym.
Przykład 2.8. Ruch własny Aldebarana wynosi ? = 0,20?/rok, a jego paralaksa ? = 0,048?. Linia widmowa żelaza o laboratoryjnej długości fali ? = 440,5 nm jest w jego widmie przesunięta o 0,079 nm ku czerwieni. Jaka jest radialna, styczna i całkowita prędkość tej gwiazdy?
Prędkość radialną obliczymy ze wzoru (2.37):
Prędkość styczną dostajemy natychmiast ze wzoru (2.40), ponieważ ? i ? są we właściwych jednostkach:
Zgodnie ze wzorem (2.41) prędkość całkowita jest:
Przykład 2.9. Obliczyć czas miejscowy w Paryżu (długość geograficzna ? = 2°) w południe czasu strefowego.
Paryż leży w strefie, w której miejscowy czas średni zgadza się ze strefowym na południku 15° E. Różnica w długości geograficznej 15° - 2° = 13° przekłada się na różnicę czasową (13°/15°) × 60m = 52m. Czas miejscowy jest więc o 52m wcześniejszy, czyli wskazuje 11:08. To jest średni czas słoneczny. Aby obliczyć prawdziwy czas słoneczny, trzeba jeszcze dodać równanie czasu. Na początku lutego E = -14m i prawdziwy czas słoneczny wynosi 11:08 - 14m = 10:54. Na początku listopada E = +16m i wtedy jest 11:24. Owe -14m i +16m to wartości skrajne, poszukiwany czas więc zawsze zawiera się w granicach 10:54-11:24, a dokładna wartość zależy od daty. W okresie obowiązywania czasu letniego trzeba jeszcze odjąć 1 godzinę.
Przykład 2.10. (Szacowanie czasu gwiazdowego). Czas gwiazdowy to kąt godzinny punktu równonocy wiosennej, czyli jest 0h, gdy punkt Barana góruje. W chwili równonocy wiosennej Słońce znajduje się właśnie w punkcie Barana, kulminuje więc jednocześnie z nim. Godzina 0:00 czasu gwiazdowego wypada tego dnia o godzinie 12:00 czasu słonecznego i z dokładnością do paru minut mamy:
gdzie T oznacza miejscowy czas słoneczny. Czas gwiazdowy spieszy się w stosunku do słonecznego o 4m na dobę, zatem n dni po równonocy będzie:
W chwili równonocy jesiennej punkt Barana góruje o godzinie 0:00 miejscowego czasu słonecznego i oba czasy są sobie równe.
Spróbujmy oszacować czas gwiazdowy w Paryżu 15 kwietnia o godz. 22:00 czasu środkowoeuropejskiego (23:00 czasu letniego). Od dnia równonocy wiosennej, która przeciętnie przypada 21 marca, minęło 10 + 15 = 25 dni. Pomijając równanie czasu, czas miejscowy jest wcześniejszy od strefowego o 52m. Wobec tego:
Równonoc wiosenna wypada czasem dzień wcześniej lub później niż 21 marca, co sprawia, że dokładność naszego wyniku to ok. 5m.
Przykład 2.11. O której godzinie wschodzi Arktur w Bostonie 10 stycznia?
W przykładzie 2.6 znaleźliśmy czas gwiazdowy tego zjawiska: ? = 6h 59m. Nie znamy roku, więc użyjemy przybliżonej metody z przykładu 2.10. Równonoc wiosenna wypada ok. 70 dni po 10 stycznia. Miejscowy czas T wschodu Arktura 10 stycznia obliczymy ze związku:
skąd
Długość geograficzna Bostonu to 71°W i leży on w strefie czasowej południka 75°W. Różnica między czasem miejscowym a strefowym wynosi (4°/15°) × 60m = 16m. Należy ją odjąć od obliczonego momentu T, co ostatecznie daje nam 23:23.
Przykład 2.12. Obliczyć czas gwiazdowy w Helsinkach 15 kwietnia 1982 r. o godz. 20:00 UT.
Data juliańska o godzinie 0 UT tego dnia była JD = 2 445 074,5. Aby obliczyć czas gwiazdowy w tym momencie, skorzystamy najpierw ze wzoru (2.48),
a następnie (2.47):
Czas gwiazdowy spieszy się w stosunku do słonecznego o 3m57s na dobę. Wobec tego różnica 20 godzin odpowiada przesunięciu o:
Czas gwiazdowy w Greenwich o godzinie 20 UT jest 13h 31m 19s + 20h 03m 17s = 33h 34m 36s = 9h 34m 36s. Należy pamiętać, że Helsinki leżą na 25°E, czyli 1h 40m 00s na wschód od Greenwich, co należy dodać do uzyskanej wartości. Ostatecznie otrzymujemy więc, że w tym momencie o godzinie 22:00 czasu fińskiego (23:00 czasu letniego) czas gwiazdowy w Helsinkach był 11h 14m 36s.
2.17. Zadania
Zadanie 2.1. Znaleźć odległość z Helsinek do Seattle po najkrótszej drodze. Gdzie znajduje się położony najbardziej na północ punkt tej trasy i jaka jest jego odległość od bieguna północnego? Współrzędne geograficzne Helsinek: 25°E, 60°N, Seattle: 122°W, 48°N. Przyjąć, że promień Ziemi wynosi 6370 km.
Zadanie 2.2. W kulminacji górnej gwiazda osiąga wysokość 85°, a w dolnej 45°. Obliczyć deklinację tej gwiazdy i szerokość geograficzną obserwatora.
Zadanie 2.3. W których miejscach na Ziemi poniższe zdania są prawdziwe?
(a) Kastor (? Gem, deklinacja ? = 31°53?) jest gwiazdą okołobiegunową.
(b) Betelgeza (? Ori, ? = 7°24?) góruje w zenicie.
(c) gwiazdę ? Cen (? = -60°50?) widuje się na wysokości 30°.
Zadanie 2.4. W opowiadaniu Stary człowiek i morze Hemingway napisał:
Było już ciemno, bo we wrześniu szybko się ściemnia po zachodzie Słońca. Leżał oparty o sterane belki dziobu i odpoczywał, jak się dało. Pojawiły się pierwsze gwiazdy. Nie znał nazwy "Rigel", ale widział tę gwiazdę i wiedział, że wkrótce pokażą się wszystkie inne i będzie miał przy sobie wszystkich swoich odległych przyjaciół.
Jak mona by ocenić wiedzę astronomiczną Hemingwaya?
Zadanie 2.5. Rektascensja Słońca 1 czerwca 1983 r. wynosiła 4h 35m, a deklinacja 22°00?. Obliczyć długość i szerokość ekliptyczną Słońca (geocentryczną) i Ziemi (heliocentryczną) w tym momencie.
Zadanie 2.6. Wykazać, że na kole podbiegunowym północnym Słońce:
(a) pomiędzy 22 grudnia a 22 czerwca wschodzi o tym samym czasie gwiazdowym ?0,
(b) pomiędzy 22 czerwca a 22 grudnia zachodzi o tym samym czasie gwiazdowym ?0.
Jakie jest ?0?
Zadanie 2.7. Wyprowadzić odpowiedniki wzorów (2.24), wiążące współrzędne galaktyczne z ekliptycznymi.
Zadanie 2.8. Współrzędne Syriusza na epokę 1900.0 wynosiły ? = 6h 40m 45s i ? = -16°35?, a składowe jego ruchu własnego ?? = -0,037 s/rok i ?? = -1,12 ?/rok. Znaleźć współrzędne Syriusza na epokę 2000.0. Trzeba uwzględnić precesję.
Zadanie 2.9. Paralaksa Syriusza wynosi 0,375?, a jego prędkość radialna -8 km/s.
(a) Jaka jest jego prędkość styczna i całkowita (potrzebne dane wziąć z poprzedniego zadania)?
(b) Kiedy Syriusz będzie najbliżej Słońca?
(c) Jaki wtedy będzie jego ruch własny i paralaksa?
Zadanie 2.10. Średni okres pulsacji gwiazdy zmiennej Mira (? Cet) wynosi 331,96d. W 2000 r. maksimum blasku osiągnęła 22 września. Kiedy była najjaśniejsza w 2010 r.?
Ramka 2.1. Redukcja współrzędnych
Katalogi gwiazd podają współrzędne na określoną epokę standardową. Poniżej pokażemy procedurę przeliczania współrzędnych na inną datę. Pełna redukcja jest dość pracochłonna, ale uproszczona wersja, którą tu zaprezentujemy, wystarcza do większości praktycznych zadań.
Przyjmijmy, że współrzędne podane są na epokę J2000.0.
1. Najpierw dodajemy poprawki na ruch własny gwiazdy, jeśli nie jest zaniedbywalny.
2. Następnie uwzględniamy precesję. Po pierwsze, wykorzystując współrzędne na epokę standardową (?0, ?0), znajdujemy wektor jednostkowy wskazujący kierunek do gwiazdy we współrzędnych prostokątnych:
Precesja zmienia długość ekliptyczną obiektu. Jej wpływ na rektascensję i deklinację można obliczyć, dokonując trzech obrotów opisanych trzema macierzami. Mnożąc te macierze przez siebie, otrzymujemy macierz precesji, przekształcającą pierwotny wektor na jego nową postać po precesji. Podobną macierz można też uzyskać dla nutacji (pkt. 3 procedury). Podane niżej stałe i transformacje oparte są na standardowym systemie, przyjętym przez Międzynarodową Unię Astronomiczną w 1976 r.
Macierze precesji i nutacji zawierają kilka wielkości zależnych od czasu, który pojawia się w dwóch postaciach:
Tutaj J to data juliańska chwili, na którą przeliczamy współrzędne, t - odstęp w dniach od epoki J2000.0 (czyli południa 1 stycznia 2000 r.), T - ten sam odstęp czasu w stuleciach juliańskich.
Do zbudowania macierzy precesji będziemy potrzebowali następujących trzech kątów:
Macierz precesji ma postać:
Jej elementy są następującymi funkcjami wyżej określonych kątów z, ? i ?:
Nowy wektor jednostkowy (nowe współrzędne) otrzymamy, mnożąc pierwotny wektor jednostkowy przez macierz precesji:
W ten sposób dostaliśmy średnie miejsce gwiazdy w zadanym momencie.
Co zrobić, jeśli epoka naszych danych nie jest J2000.0? Chyba najłatwiej będzie najpierw przeliczyć je na epokę J2000.0. Czyni się to, licząc w pierwszym kroku macierz precesji dla epoki naszych danych. (We wzorach na T i t podstawiamy datę juliańską tej epoki). W drugim kroku mnoży się wektor jednostkowy kierunku do gwiazdy przez odwrotność tej macierzy:
Otrzymawszy w ten sposób współrzędne obiektu na epokę J2000.0, postępujemy jak wyżej.
Jeśli wymagana jest dokładność lepsza od ok. 1?, trzeba wprowadzić dalsze poprawki: na nutację i aberrację.
3. Uzyskanie dokładnej wartości nutacji jest bardzo skomplikowane. Autorzy almanachów liczą szeregi składające się z ponad stu wyrazów. Na szczęście w wielu wypadkach zadowalający wynik daje poniższy, uproszczony algorytm.
Zaczynamy od obliczenia średniego nachylenia ekliptyki w momencie obserwacji:
Ten wzór jest ważny na kilka stuleci przed i po roku 2000. Pominęliśmy w nim perturbacje okresowe, dlatego ?0 jest nachyleniem średnim.
Nachylenie prawdziwe, ?, dostaniemy, dodając poprawkę na nutację:
Wynikające z nutacji poprawki długości ekliptycznej obiektu ?? i nachylenia ekliptyki ?? znajdujemy w taki sposób:
Zarówno ??, jak i ?? to bardzo małe kąty. Jeśli wyrazimy je w radianach, to możemy przyjąć, że w przybliżeniu ich sinusy równają się im samym, a cosinusy są równe 1. Macierz nutacji ostatecznie przyjmuje postać:
Jest to zlinearyzowana wersja pełnej transformacji. Wektor kierunkowy gwiazdy na epokę obserwacji p2 znajdujemy, wykonując mnożenie (kąty w radianach):
4. Aberracja roczna może zaburzyć pozycję gwiazdy o tyle samo co nutacja. Przybliżone poprawki obliczamy ze wzorów:
gdzie tym razem ? jest długością ekliptyczną Słońca. Dla naszych celów dostatecznie dokładnie obliczamy ją następująco:
Wykonanie powyższych czterech kroków redukcji daje nam współrzędne obiektu na wybraną chwilę z dokładnością do kilku sekund łuku. Efekty paralaksy i aberracji dziennej są jeszcze mniejsze.
Przykład - współrzędne Regulusa (? Leo) na epokę J2000.0 są:
Obliczyć pozycję Regulusa 12 marca 1995 r.
Rozpoczynamy od znalezienia jednostkowego wektora kierunkowego na epokę J2000.0.
Data juliańska 12 marca 1995 r. jest JD = 2 449 789,0, więc t = -1756, a T = -0,04807666. Kąty macierzy precesji są: ? = -0,03079849°, z = -0,03079798° i ? = -0,02676709°. Mamy już macierz precesji:
Teraz znajdujemy jednostkowy wektor kierunkowy po precesji:
Kąty potrzebne do uwzględnienia nutacji są: ?? = 0,00309516°, ?? = -0,00186227°, ? = 23,43805403°. Macierz nutacji jest więc:
Pozycję Regulusa na założoną epokę wskazuje wektor:
skąd:
Aberrację roczną uwzględniamy, obliczając najpierw długość ekliptyczną Słońca: G = -1373,2° = 66,8°, ? = -8,6°, następnie odpowiednie poprawki:
Dodając je do poprzednio uzyskanych współrzędnych, dostajemy położenie Regulusa 12 marca 1995 r.:
Ten wynik można porównać z dokładnymi współrzędnymi, podanymi w katalogu Apparent Places of Fundamental Stars. Okazuje się, że pomyliliśmy się o ok. 3?. Całkiem nieźle.
Ramka 2.2. Data juliańska
Jest kilka metod liczenia daty juliańskiej. Przedstawimy sposób dobrze przystosowany do użytku w programach komputerowych, który w 1968 r. podali Fliegel i Van Flandern.
Niech y oznacza numer roku (wszystkie cztery cyfry), m - numer miesiąca, d - dzień. Data juliańska w południe UT tego dnia jest:
Znak dzielenia oznacza tutaj dzielenie całkowite - część ułamkową wyniku ignorujemy. Na przykład 7/3 = 2 i -7/3 = -2.
Przykład - znaleźć datę juliańską 1 stycznia 1990 r.
Mamy: y = 1900, m = 1, d = 1.
Roczniki astronomiczne podają zwykle daty juliańskie na godzinę 0 UT. W naszym wypadku byłoby 2 447 892,5.
Procedura odwrotna jest nieco bardziej zawiła. Poniżej JD oznacza datę juliańską w południe UT, jest więc całkowite.
dzień = e - (2447 f)/80,
g = f /11,
miesiąc = f + 2 - 12 g,
rok = 100 (b - 49) + d + g.
Przykład - w poprzednim przykładzie uzyskaliśmy JD = 2 447 893. Sprawdźmy, jakiej dacie kalendarzowej to odpowiada.
dzień = 337 - (2447 × 11)/80 = 1,
g = 11/11 = 1,
miesiąc = 11 + 2 - 12 × 1 = 1,
rok = 100 (68 - 49) + 89 + 1 = 1990.
Szczęśliwie wróciliśmy do daty wyjściowej.
Ponieważ dni tygodnia powtarzają się w cyklu 7-dniowym, reszta z dzielenia daty juliańskiej przez 7 jednoznacznie określa dzień tygodnia:
0 - poniedziałek,
5 - sobota,
6 - niedziela.
Przykład - 1 stycznia 1990 r. w południe data juliańska była 2 447 893. Liczba ta jest akurat całkowitą wielokrotnością siódemki: 2 447 893 = 7 × 349 699. Reszta wynosi 0, więc był to poniedziałek.
