Liczby Eulera II rodzaju (rzędu)

Gdy mamy do czynienia z permutacjami multizbioru {1,1,2,2,...,n,n} to liczba Eulera II rodzaju (rzędu) Liczby Eulera określa liczbę permutacji mających dokładnie k wzniesień. Dodatkowo warunkiem jest aby wszystkie liczby występujące między każdą parą liczb m były większe od m. Gdy dwie liczby m występują bezpośrednio po sobie warunek uznaje się za spełniony.

Dokładnie ta sama liczba permutacji wystąpi, gdy wszystkie liczby występujące między parą liczb m są mniejsze od m, tyle, że wtedy otrzymujemy - oczywiście - całkiem inny zestaw liczb.

Liczba permutacji multizbioru to Liczby Eulera, a liczba permutacji spełniających warunek obliczana jest z wzoru na silnie: Liczby Eulera

Liczby Eulera obliczamy z wzoru rekurencyjnego:

Liczby Eulera

Wiemy, że: Liczby Eulera, Liczby Eulera, Liczby Eulera

Przykład

Mamy multizbiór: {1,1,2,2,3,3}

Liczba permutacji jest równa Liczby Eulera

112233, 112323, 112332, 113223, 113232, 113322, 121233, 121323, 121332,
122133, 122313, 122331, 123123, 123132, 123213, 123231, 123312, 123321,
131223, 131232, 131322, 132123, 132132, 132213, 132231, 132312, 132321,
133122, 133212, 133221, 211233, 211323, 211332, 212133, 212313, 212331,
213123, 213132, 213213, 213231, 213312, 213321, 221133, 221313, 221331,
223113, 223131, 223311, 231123, 231132, 231213, 231231, 231312, 231321,
232113, 232131, 232311, 233112, 233121, 233211, 311223, 311232, 311322,
312123, 312132, 312213, 312231, 312312, 312321, 313122, 313212, 313221,
321123, 321132, 321213, 321231, 321312, 321321, 322113, 322131, 322311,
323112, 323121, 323211, 331122, 331212, 331221, 332112, 332121, 332211

Liczba permutacji z wzniesieniami spełniających podany warunek równa się:
Liczby Eulera

n k Liczby Eulera partycje
3 0 Liczby Eulera 332211
1 Liczby Eulera 113322
133221
221133
221331
223311
233211
331122
331221
2 Liczby Eulera 112233
112332
122133
122331
123321
133122
Suma 15

Kryteria wyboru:

Liczby Eulera II-go rodzaju (rzędu)
 k
n,01234567891011121314151617181920
01 
110 
2120 
31860 
412258240 
51523284441200 
611141452440037087200 
71240561032120581403398450400 
8149419950195800644020785304341136403200 
9110046726010625005765500124400641102629637339203628800 
10120262188485326160447650001553573842389049041621869124433904036288000 
1114072695038252439043143697201648384304400269508846421639522507481216568356480399168000 
1218166217062611487637620514827761554896078456041398784101180433024921997902244078830182478277190404790016000 
1311635666996965072592761266981777613432342022468772004638418181886423042549865473424188307966182469792943680011533608576062270208000 
14132738205079882189829808750160522281084676512416763483214939228299910066112574943734645926472837513987239689578055808125509040179201810992556800871782912000 
151655046240789092925269204298260063408308444327968783913848313123943655878155201111747472569680179717122069056016664244862714568650232532195842369082715430403019637698560013076743680000 
16113103818912328638917528600240002825854061026142132648756450802018384503631793847564819076135772884080424301566034385605607126498348777643708768764064128195152493412316164687098165573120532953524275200209227898880000 
171262108571432036161343812980131287496221004333576440350086942861451710184599582643602831682975931704178479208821288245836035201592677516697452416175807305480550060811715823854813576964559243611426560009704916801001728099279280751616003556874280960000 
1815242501722945672663661077072706454063128802994008352873048611674018389865206740662355301504964297211671488276816165587106767000811203957267329826206457659321137058404865280556662512717841640323215775353658705331211030149104146035200209983020940293120019467731970570240064023737057280000 
191104853651871857662713224461136375127847107776202247031192504485209860718119701287227551939410799568582228258737688557282859090335686725620488823845945517849005761740743150455672062336220668969299331576441617861985800350386831369050805679036927541762762605636416596736004740594883245849600040087891208171520001216451004088320000 
2012097110156003531301103963653212019706020916786401341025655171670724314317705619055680744919698132694406407480595429856544881604605775111899791292320179975925135611382057284559568645291804196416075687031071216250620480823807121383167514387205823117301943135839104026142102647955180877824715989409390996692480011150890784887956480008649582844492800000024329020081766400000